垂直于弦的直径说课稿

第一篇：垂直于弦的直径说课稿

《垂直于弦的直径》的说课稿

商丘市夏邑县太平三中

刘 社

一、教材分析：

1、教材所处的地位：

本节教材是在学生学习了圆的有关性质和过三点的圆等内容之后对垂直于弦的直径和这弦的关系的进一步学习`，研究的是垂直于弦的直径和这弦的关系。垂径定理的推证是以轴对称图形的性质和圆是轴对称图形的性质为依据的。本节内容是本章基础，是圆的有关计算和圆的有关证明一个重要工具。本节课的学习也为下节课奠定基础。

2、教学内容：

本节课是人教版九年义务教育九年级数学第二十四章第一节。《垂直于弦的直径》的第一课时的内容——垂径定理的证明和基本应用。第二课时将学习研究垂径定理的推论和基本应用。第三课时将学习研究垂径定理及其推论的综合应用。

3、教学目的要求：

使学生记住垂径定理的题设和结论。

使学生掌握垂径定理的证明。

使学生掌握能垂径定理进行计算或简单的证明。

使学生懂得研究问题的常用方法：从特殊到一般，由猜测到论证。

4、教学重点和难点：（1）重点：掌握应用垂径定理进行计算或简单的证明。

难点：

（1）区分垂径定理的题设和结论。

（2）应用垂径定理进行计算或简单的证明。

（3）研究问题的常用方法：从特殊到一般，由猜想到论证。

5.知识要点：

轴对称图形：一个图形沿着一条直线折叠，如果直线两旁的部分，能够完全重合。那么这个图形叫轴对称图形。

等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫等弧。

弦：圆上两点间的线段。

直径：过圆心的弦。

二．教法、学法分析

1、教法研究

本节课的设计是以教学大纲和教材为依据，遵循因材施教的原则，坚持以学生为主体，充分发挥学生的主观能动性。教学过程中，注重学生探究能力的培养。还课堂给学生，让学生去亲身体验知识的产生过程，拓展学生的创造性思维。同时，注意加强对学生的启发和引导，鼓励培养学生们大胆猜想，小心求证的科学研究的思想。

本节课如果采用多媒体辅助教学，会呈现更直观的形象，也就会很大提高学生的积极性和主动性，并提高课堂效率。

2、学法研究

教师应创造一种环境，引导学生从已知的、熟悉的知识入手，让学生自己在某一种环境下不知不觉中运用旧知识的钥匙去打开新知识的大门，进入新知识的领域，从不同角度去分析、解决新问题，通过基础练习、提高练习和拓展练习发掘不同层次学生的不同能力，从而达到发展学生思维能力和自学能力的目的，发掘学生的创新精神。

三．说教学过程

1、引入 ：（教师出示一个擦去圆心的圆心纸片）问：大家能不能用折叠的方法把这个圆的圆心找到？课的引入从创设问题情境入手，设计了与本课密切相关的实际问题，既有直观的动画 演示，又有把实际问题抽象成数学问题的过程，以引起学生的学习兴趣。引导学 生通过对折发现圆的对称性，又运用对称性通过对折找到了圆心。）

（1）轴对称图形的的有关性质，让学生回忆有关性质，然后教师评述。

（2）圆的轴对称性，通过对折圆形纸片来分析圆的轴对称性

（3）垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且一部分弦所对的两条弧。（学生的叙述可能是粗糙的，不准确的，课堂讨论可以引导学生注意语言的准确和精炼。）

2、基础练习；第78页第2题。

3、拓展练习；（让学生自己做，教师评议）

（1）如图，已知AB是⊙O的直径，MN是弦，AB MN于P，则

MOPNABMP=_______，=_______，=__________。

O到（2）如图，⊙O的半径为50mm，弦AB=50

3mm，则点AB的距离为________，∠AOB=__________度。

4、小结（尽可能由学生自己归纳）

1、圆的两条重要性质；（1）圆是轴对称图形；

AB

（2）垂径定理（在复述内容基础上突出二个条件，三个结论，及三种语言的相互转换）

2、垂径定理的应用：

（1）解决有关弦、弧、半径等问题的计算、证明（和作图）；（2）解决某些实际问题（如引例、拱桥等）； ——强化应用意识。

3、常用的辅助线：

（1）作半径；（2）过圆心作弦的垂线段。

垂径定理与勾股定理相结合，得出６、作业布置

第84页，11、12题（2）

四、板书设计

ar2=d2+（2）2

第二篇：垂直于弦的直径教案

垂直于弦的直径（1）

学习目标

1.了解圆的轴对称性； 2.理解垂径定理；（重点）

3.运用垂径定理解决有关弦、弧、弦心距以及半径之间的证明和计算问题． 重点：运用垂径定理解决有关弦、弧、弦心距以及半径之间的证明和计算问题． 难点：运用垂径定理解决有关弦、弧、弦心距以及半径之间的证明和计算问题．

一、课前预习【教材自学】：请学生自主学习教材第二十四章P80至P81，完成如下问题：

1.圆的对称性：圆是________图形，对称轴是________所在的直线。

2.垂径定理：垂直于弦的直径_____________，并且________________弦所对的两条弧。

二、课堂探究

【探究一】：圆的对称性：

1、请学生说说圆的对称性及对对称轴的认识（利用手中的圆进行探究）

2、圆的对称性（小组交流识记）

【探究二】：垂径定理：

问题1：如图（1），⊙O中，CD是直径，AB是弦，CD⊥AB于E。把圆沿着直径CD所在的直线对折，你发现哪些点、线段、圆弧重合？

问题2：你能证明图中AE=BE吗？（口头证明）

问题3：当上述的弦AB为直径时，结论成立吗？ 【小结归纳】

1、垂径定理（小组交流识记）

2、对照上图将垂径定理写成推理形式

在⊙O中，∵_________________、_________________；

∴_________________、__________________、__________________。【针对训练】判断下列命题是否正确：

（1）直径是圆的对称轴。（）

（2）垂直于弦的直径平分这条弦。（）（3）过圆心垂直于弦的直线平分弦所对的弧。（）探究三】：垂径定理的运用

问题1：利用垂径定理求圆中线段的长

已知：如图，已知在⊙O中，弦AB的长为6，OC⊥AB交AB于E，（1）若弦心距OE长为4，则半径OA长为多少？

（2）若弓形高CE长为1，则半径OA长为多少？（独做、交流、展示）

【小结归纳】

圆中常见的辅助线：构造由_______、________、_______组成的直角三角形，利用垂径定理和勾股定理解决有关弦、弧、弦心距以及半径之间的证明和计算问题．

【针对训练】

1、如图，已知⊙O中，AB为弦，OC⊥AB交AB于E。（1）若AB=12，0A=10，则OE=______，EC=______；（2）若OA=10，OE=8，则AB=______；

（3）若AB=12，EC=2，则OA=？（列式解答）问题2：利用垂径定理证明圆中的线段相等

已知，如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于 C，D两点，求证：AC＝BD。（独立完成、小组交流、个别展示）

【针对训练】在圆O中，AB、AC是互相垂直且相等的弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC与E.求证：四边形ADOE是正方形

变式提升.已知：如图，AB、CD是半径为5cm的圆O的两条弦，AB∥CD，AB=8cm,CD=6cm,求弦AB与CD的距离.【课堂总结】

（1）圆的轴对称性；（2）垂径定理；

（3）圆中常见的辅助线是：构造由_______、________、_______组成的直角三角形，利用垂径定理和勾股定理解决有关弦、弧、弦心距以及半径之间的证明和计算问题．

【当堂评价】（25分，5分钟）

1、如图，已知⊙O中，AB为弦，OC⊥AB交AB于E。（1）若AB=6，0A=5，则OE=______，EC=______；（2）若OA=5，OE=4，则AB=______.2、如图是排水管的截面，水面宽AB=16cm，排水管里的水深（弓形高）为4cm。求排水管的半径。

【作业布置】教材P88第1题、P89第8、9题；选做P90第13题； 【学习反思】

第三篇：《24.1.2垂直于弦的直径》

《24.1.2垂直于弦的直径》

教学设计

庄河市第九初级中学

数学教师

李丽

***

课题

《24.1.2垂直于弦的直径》

教学

目标

知识技能1.探索圆的对称性，进而得到垂直于弦的直径所具有的性质；

2.能够利用垂直于弦的直径的性质解决相关实际问题．

数学思考

在探索问题的过程中培养学生的动手操作能力，使学生感受圆的对称性，体会圆的一些性质，经历探索圆的对称性及相关性质的过程。

解决问题

进一步体会和理解研究几何图形的各种方法；培养学生独立探索，相互合作交流的精神。

情感态度

使学生领会数学的严谨性和探索精神，培养学生实事求是的科学态度和积极参与的主动精神．

教学重点

垂直于弦的直径所具有的性质以及证明

教学难点

利用垂直于弦的直径的性质解决实际问题

教学资源

多媒体课件

教学过程

教学　环节

教师活动

学生活动

设计意图

一、情境引入

【探究】

用纸剪一个圆，沿着圆的任意一条直径对折，重复做几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？

（板书课题）教师在学生归纳的过程注意学生动手操作。

观察操作结果学生语言的准确性和简洁性。

可以发现沿着圆的任意一条直径对折，直径两旁的部分能够完全重合，由此可以得到：，圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴．

创设问题情境，激发学生兴趣，探索圆的对称性，引出本节内容。

二、探索新知

【思考】

按下面的步骤做一做：

第一步，在一张纸上任意画一个⊙O，沿圆周将圆剪下，把这个圆对折，使圆的两半部分重合；

第二步，得到一条折痕CD；

第三步，在⊙O上任取一点A，过点A作CD折痕的垂线，得到新的折痕，其中点M是两条折痕的交点，即垂足；

第四步，将纸打开，新的折痕与圆交于另一点B，在上述的操作过程中，你发现了哪些相等的线段和相等的弧?为什么？

学生动手操作，观察操作结果，教师在学生操作、分析、归纳的基础上，引导学生归纳垂直于弦的直径的性质：

（1）垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧；

（2）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．

探究垂直于弦的直径的性质，培养学生的探究精神

【应用】

例1：如图，弦AB所在圆的圆心是点O，过O作OC⊥AB于点D，若CD=4

m，弦AB=16

m，求此圆的半径．

例2：如图，已知弧AB，请你利用尺规作图的方法作出弧AB的中点，说出你的作法．

解：1．连接AB；

2．作AB的中垂线，交弧AB于点C，点C就是所求的点．

学生观察图形，利用垂直于弦的直径的性质分析图形条件，发现若OC⊥AB，则有AD=BD，且△ADO是直角三角形，在直角三角形中可以利用勾股定理构造方程。

教师在学生解决问题的基础上引导学生进行归纳：弦长、半径、拱形高、弦心距（圆心到弦的距离）四个量中，只需要知道两个量，其余两个量就可以求出来。

学生作图，教师巡视、指导

应用垂径定理解题

通过寻找一段弧的中点,进一步理解垂径定理

三、反馈练习

课本P89

练习1，2

补充练习：

某居民区一处圆形下水管道破裂，修理人员准备更换一段新管道．如图所示，污水水面宽度为60

cm，水面至管道顶部距离为10

cm，问修理人员应准备内径多大的管道?

学生独立思考、独立解题．

教师巡视、指导，并选取两名学生上台书写解答过程（或用投影仪展示学生的解答过程）

检查学生对所学知识的掌握情况.四、课堂检测

五、小结作业

1．问题：本节课你学到了什么知识？从中得到了什么启发？

本节课应掌握：

垂直于弦的直径的性质，圆对称性。

2．作业：教材P94

习题24.1第7、8、9、12题

教师引导学生归纳小结，学生反思学习和解决问题的过程．

学生独立完成作业，教师批改、总结．

通过归纳总结，课外作业，使学生优化概念，内化知识

第四篇：《垂直于弦的直径》说课稿

《垂直于弦的直径》说课稿

尊敬的各位领导、老师，大家好：

今天我说课的内容是：人教版义务教育课程标准实验教材，九年级《数学》上册第二十四章第一节24.1.2垂直于弦的直径。

下面，我从教材分析、目的分析、教学方法与教材处理、学法指导、教学程序、板书设计等方面对本课的设计进行说明，不当之处请各位老师批评指正。

一、教材分析

（一）教材的地位与作用

本节是《圆》这一章的重要内容，也是本章的基础。它揭示了垂直于弦的直径和这条弦及这条弦所对的弧之间的内在关系，是圆的轴对称性的具体化；也是今后证明线段相等、角相等、弧相等、垂直关系的重要依据；同时也为进行圆的有关计算和作图提供了方法和依据；由垂径定理的得出，使学生的认识从感性到理性，从具体到抽象，有助于培养学生思维的严谨性。同时，通过本节课的教学，对学生渗透类比、转化、数形结合、方程、建模等数学思想和方法，培养学生实验、观察、猜想、抽象、概括、推理等逻辑思维能力和识图能力。所以它在教材中处于非常重要的位置。(二）教学重点、难点

“垂径定理”在教材中起着重要的作用，是今后解决有关计算、证明和作图问题的重要依据，它有广泛的应用,因此，本节课的教学重点是：垂径定理及其应用。

由于垂径定理的题设与结论比较复杂，很容易混淆遗漏，所以，对垂径定理的题设与结论区分是难点之一，同时，对定理的证明方法“叠合法”学生不常用到，是本节的又一难点。因此，本节课的难点是：对垂径定理题设与结论的区分及定理的证明方法。

二、教学目标：

新课程下的数学活动必须建立在学生已有的认知发展水平及知识经验基础之上。新数学课程数理念下的数学教学不仅是知识的教学，技能的训练，更应重视能力的培养及情感的教育，因此根据本节课教材的地位和作用，结合我所教学生的特点，我确定本节课的教学目标如下：

知识与技能：使学生理解圆的轴对称性；掌握垂径定理；学会运用垂径定理解决有关的证明、计算和作图问题。培养学生观察能力、分析能力及联想能力。

过程与方法：创设情境，激发学生的求知欲望；学生在老师的引导下进行自主探索、合作交流，收获新知；通过分组训练、深化新知，共同感受收获的喜悦。

情感态度与价值观： 通过联系、发展、对立与统一的思考方法对学生进行辩证唯物主义观点及美育教育。

三、教法分析

鉴于教材特点及我所教知识的感知的培养及情感教育，因此确定教学目标学生的认知水平，我选用引导发现法和直观演示法。让学生在课堂上多活动、多观察、多合作、多交流，主动参与到整个教学活动中来，组织学生参与“实验---观察---猜想---证明”的活动，最后得出定理，这符合新课程理念下的“要把学生学习知识当作认识事物的过程来进行教学”的观点，也符合教师的主导作用与学生的主体地位相统一的原则。同时，在教学中，我充分利用教具，提高教学效果，在实验，演示，操作，观察，练习等师生的共同活动中启发学生，让每个学生动手、动口、动眼、动脑，培养学生直觉思维能力，这符合新课程理念下的直观性与可接受性原则。另外，教学中我还注重用不同颜色作图对比来启发学生。

四、学法指导：

通过本节课的教学，我应引导学生学会观察、归纳的学习方法。培养学生的想象力，充分调动学生自己动手、动脑，引导他们自己分析、讨论、得出结论。鼓励他们合作交流、发扬集体主义精神。

五、教学过程设计：

整个教学过程分七个环节来完成。

1、创设情境，提出问题

通过多媒体出示课本80页的赵州桥问题，（1）弘扬民族文化，增强爱国教育，展示我国古代劳动人民的科技成就。（2）通过数学建模，把实际问题转化为数学问题。（3）即：已知弦长，弓形高求半径的问题

2、引入新课---揭示课题：

引导学生为解决上述问题，利用以前学过的知识已经不能解决，需要学习新的知识。----24.1--2垂直于弦的直径

3、动手操作：运用教具与学具（学生自制的圆形纸片）演示，让每个学生都动手实验、观察，通过实验，引导学生得出结论：(1)圆是轴对称图形；(2)经过圆心的每一条直线（注：不能说直径）都是它的对称轴；(3)圆的对称轴有无数条。（出示教具演示）。然后再请同学们在自己作的圆中作图：(1)任意作一条弦 AB；(2)过圆心作AB的垂线得直径CD且交AB于E。（出示教具演示）引导学生分析直径CD与弦AB的垂直关系，说明CD是垂于弦的直径，并设问：它除了上述性质外，是否还有其他性质呢？

3、探究新知：

首先让学生实验、观察并得出猜想，然后引导学生分析上述猜想的条件和结论，并将文字语言转化为符号语言，写出已知、求证，为分清定理的题设和结论作好铺垫，从而达到解决难点的目的。接下来再对学生引导分析，让学生分组交流，合作探究，小组展示成果。此时再板书垂径定理的内容：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。

教师结合图形，让学生说出定理的符号语言，即已知：（1）直径（2）垂直于弦

得出结论（3）平分弦

（4）平分弦所对的优弧（5）平分弦所对的劣弧

4、通过前面的观察、猜想、验证，归纳总结垂径定理。再此对垂径定理的内容加以推广、辨析。

判断正误：

1、平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧

2、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧

3、弦的垂直平分线过圆心，并且平分弦所对的两条弧

4、平分劣弧的直径，垂直平分弦并且平分弦所对的优弧

让学生思考：还有其它成立的结论吗？ 归纳总结：垂径定理的推论 即 知二推三

5、巩固练习：通过多媒体出示练习题，巩固垂径定理和推论。

6、定理的应用：

让学生回到赵州桥问题，让学生尝试解决赵州桥问题。通过本题让学生灵活应用垂径定理，并且例题反思:（1）解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的垂线，或作垂直于弦的直径，连结半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件（2），垂径定理与勾股定理合用，将问题化归为直角三角形求解，并渗透方程思想。

7、课堂检测：

设计有关垂径定理的有关题目，加强本节课知识的落实，并根据学生学生解答情况，及时评判。

8、课堂小结---深化提高：

估计学生基本能够掌握定理，达到预定目标，这时，利用提问形式，师生共同进行小结。

9、分层作业

结合学生的实际情况，为了更好地因材施教，作业题分为必做题与选做题，必做题。目的是调动学生学习积极性，提高学生思维的广度，培养学生良好的学习习惯及思维品质，让学有余力的学生进一步的提高。

10、板书设计 24.1.2 垂直于弦的直径 1.圆是轴对称图形 2.垂径定理的内容：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。

第五篇：24.1.2 垂直于弦的直径(教案)

24.1.2垂直于弦的直径

教学目标

【知识与技能】

1.通过观察实验，使学生理解圆的轴对称性.2.掌握垂径定理及其推论.理解其证明，并会用它解决有关的证明与计算问题.【过程与方法】

通过探索垂径定理及其推论的过程，进一步体会和理解研究几何图形的各种方法.【情感态度】

1.结合本课特点，向学生进行爱国主义教育和美育渗透.2.激发学生探究、发现数学问题的兴趣和欲望.【教学重点】

垂径定理及其推论，会运用垂径定理等结论解决一些有关证明，计算和作图问题.【教学难点】 垂径定理及其推论.教学过程

一、情境导入，初步认识

你知道赵州桥吗？它是1300多年前我国隋代建造的石拱桥，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶.它的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为37.4m，拱高（弧的中心点到弦的距离）为7.2m.你能求出主桥拱的半径吗？（图：课本第82页图24.1-7）

【教学说明】赵州桥问题充分体现了数学与应用数学的关系，了解我国古代人民的勤劳与智慧，要解决此问题需要用到这节课的知识，这样较好地调动了学生的积极性，开启了学生的思维，成功地引入新课.二、思考探究，获取新知 1.圆的轴对称性 问题1用纸剪一个圆，沿着圆的任意一条直径对折，重复做几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？

【教学说明】学生通过自己动手操作，归纳出圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴.2.垂径定理及其推论

问题2 请同学们完成下列问题：

如右图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD.使CD⊥AB，垂足为E.（1）右图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么呢？（2）你能发现图中有哪些等量关系？说说理由.【教学说明】问题（1）是对圆的轴对称性这一结论的复习与应用，也是为问题（2）作下铺垫，垂径定理是根据圆的轴对称性得出来的.问题（2）可由问题（1）得到，问题（2）由学生合作交流完成，培养他们合作交流和主动参与的意识.【归纳结论】垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧（优弧、劣弧）.数学语言：如上图，在⊙O中，AB是弦，直径CD垂直于弦AB..。∴AE=BE.ACBCADBD问（1）一条直线满足：①过圆心.②垂直于弦，则可得到什么结论？ 【教学说明】本问题是帮助学生进一步分析定理的题设和结论，这样可以加深学生对定理的理解.问（2）已知直径AB，弦CD且CE=DE（点E在CD上），那么可得到结论有哪些？（可要学生自己画图）

提示：分E点为“圆心”和“不是圆心”来讨论.即：CD是直径或CD是除直径外的弦来讨论.结论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.问（3）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦并且平分弦所对的两条弧，为什么不是直径的弦？

【教学说明】问题（2）是为了推出垂径定理的推论而设立的，通过学生动手画图，观察思考，得出结论.问题（3）是对推论进行强调，使学生抓住实质，注意条件，加深印象.3.利用垂径定理及推论解决实际问题

问题3 如图，用AB表示主桥拱，设AB所在圆的圆心为O，半径为R，经过圆心O作弦AB的垂线OC，D为垂足，OC与根据垂径定理，AB相交于点C，D是AB的中点，C是AB的中点，CD就是拱高，AB=37.4，CD=7.2，则

AD=1/2AB=1/2×37.4=18.7，OD=OC-CD=R-7.2.在Rt△OAD中，由勾股定理，得OA2=AD2+OD2.即：R2=18.72+(R-7.2)2 解得R≈27.9(m)∴赵州桥主桥拱半径约为27.9m.【教学说明】教师引导学生分析题意，先把实际问题转化为数学问题，然后画出图形进行解答.并且在解答过程中，让学生意识到勾股定理在这节课中的充分运用，以及圆的半径、弦、圆心到弦的距离和拱形高之间存在一定的联系.三、运用新知，深化理解

1.如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，且CD⊥AB，根据圆的轴对称性可得：=______；CE=______，BCAC=______.2.如图，在⊙O中，MN为直径，若MN⊥AB，则______，______，______，若AC=BC，AB不是直径，则______，______，______.3.如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（图中，点O是这段弧的圆心，AB）C是AB上一点，OC⊥AB，垂足为D.AB=300m，CD=50m，则这段弯路的半径是____m.【教学说明】让学生当堂完成，第1、2题是对垂径定理及其推论的巩固.第3题是对垂径定理的应用，需要将实际问题转化为数学问题.

【答案】1.DE

BDAD







MN⊥AB

 2.AC=BC

AB=BMAM=BMAN=BNAN=BN3.250

四、师生互动，课堂小结

通过这节课的学习，你有哪些收获和体会？

【教学说明】教师应让学生交流总结，然后补充说明，强调定理及其推论的应用.课后作业

1.布置作业：从教材“习题24.1”中选取.2.完成练习册中本课时练习的“课后作业”部分.课后反思