西畈中学教案：《垂直于弦的直径》

第一篇：西畈中学教案：《垂直于弦的直径》

垂直于弦的直径

一、素质教育目标

（一）知识教学点

1．使学生通过观察实验理解圆的轴对称性； 2．掌握垂径定理，理解垂径定理的推证过程； 3．能初步应用垂径定理进行计算和证明．

（二）能力训练点

1．培养学生独立思考、勇于创新精神；

2．进一步培养学生观察问题、分析问题和解决问题的能力．

（三）德育渗透点

1．结合本课教学特点，向学生进行美育教育； 2．逐步树立已知与未知，一般与特殊的思考方法．

二、教学重点、难点和疑点 1．重点：垂径定理及应用． 2．难点：垂径定理的证明．

3．疑点：垂径定理的题设是“直径垂直于弦”，学生容易忽略是“直径”．教师教学中要有意举一些容易错的例子，加深对定理的理解．

三、教学步骤

（一）明确目标

请同学们回答下列问题：

1．如果一个图形沿着一条直线折叠，直线的两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做________；那么这条直线叫做________．

2．等腰三角形是轴对称图形吗？ 3．“圆”是不是轴对称图形？它的对称轴是什么？ 教师利用提问1．，2．的形式，复习轴对称图形的概念．提问3．的目的是引出本节课的第一个知识点． 在学生回答后，引导学生观察电脑演示将圆对折的情形．教师讲解将圆沿着一条直径对折，你观察到了什么情况？这时学生回答，教师板书．

圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴． 接着电脑继续演示，教师讲解：

由图7-9（1）中CD为⊙O的直径；变到图7-9（2）中在⊙O上任意取一点A；再变到图7-9（3）从点A作直径CD的垂线交⊙O于另一个交点B．这时我们可以看出图（3）中的点B与点A是否是对称点呢？A、B是关于什么对称．教师进一步提出当直径CD垂直于弦AB，将能得到什么结论呢？这就是本节学习的内容．“7．3垂直于弦的直径

（一）”．教师这样引入课题的目的，使学生从认识上初步完成实验——观察——感性——理性的认识过程．逐步学会从实践中引入、从现象中抽象、从事实中概括，从而激发学生的学习动机．

（二）整体感知

为了使学生进一步通过实验的观察，很快地概括出本课的教学内容，由图7-9（1）可知CD所在直线是⊙O的对称轴；到图7-9（2）从⊙O上取一点A，过点A作直径CD的垂线交⊙O于点B，得到图7-9（3），这时沿着CD折叠，引导学生观察重合部分，学生纷纷猜想结论．通过实验——观察——猜想获得感性认识．这个实验结论是否正确，还需要证明．学生带着一种好奇心，积极主动参与到证明这个结论中去．学生回答证明过程，教师板书．

已知：在⊙O中，CD是直径，AB是弦，CD⊥AB，垂足为E． 求证：AE=EB，=，=

．

证明：连结OA，OB，则OA=OB．又CD⊥AB，∴直线CD是等腰△OAB的对称轴，又是△O的对称轴．所以沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，A点和B点重合，AE和BE重合，此，AE=BE，=，=

．从而得到圆的一条重要性质．、分别和、重合．因垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．

教师这样从设计电脑演示的全过程，目的是指导学生注重知识的发生、发展过程．使学生在观察中不知不觉地接受了新知识，既获得了知识，又产生了浓厚的兴趣．

（三）重点、难点的教学及目标完成过程

垂径定理是由演示实验——观察——感性——理性的全过程．为了使学生能够真正理解垂径定理，引导学生分析垂径定理的题设和结论，加深对定理的认识并强化用数学表达式表示出来：

垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧． 〈2〉 〈1〉〈3〉 〈4〉〈5〉 把直径化分为（1）；把垂直于弦化分为（2）；把平分弦化为（3）；平分优弧化为（4）；平分劣弧化分为（5）． 为了运用的方便，不易出现错误，将原定理叙述为：（1）过圆心；（2）垂直于弦；（3）平分弦；（4）平分弦所对的优弧；（5）平分弦所对的劣弧．这样做目的是加深对定理的理解，突出重点，分散难点，避免学生记混． 接着为了巩固垂径定理，引导学生完成下面两道题．

例1 如图7-10，已知在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求⊙O的半径．

教师分析：要求⊙O的半径，连结OA，只要求出OA的长就可以了，因为已知条件点O到AB的距离为3cm，所以作OE⊥AB于E，学生回答，教师板书计算过程．

解：连结OA，作OE⊥AB，垂足为E． ∵OE⊥AB，∴AE=EB． ∵AB=8cm，∴AE=4cm． 又∵OE=3cm，在Rt△AOE中，∵⊙O的半径为5cm．

教师强调：从例1可以知道作“弦心距”是很重要的一条辅助线，弦心距的作用就是平分弦，平分弦所对的弧，它和直径一样．

求圆的半径问题，要和弦心距，弦的一半和半径构造出一个直角三角形，和勾股定理联系起来．

例2 已知：如图7-11，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D两点．求证AC=BD． 例2由学生分析证明思路，学生板书证明过程．师生共同参与评价． 练习1：教材P．78中1题． 练习2：教材P．78中2题．

练习1，2两道题教师把题打在幻灯片上，由学生上黑板分析思路，学生之间展开评价．这样做给学生充分的表现机会，不是老师牵着学生走，而是学生通过积极思维主动获得知识．

最后找两名同学上黑板写出证明过程，其它同学在练习本上完成．每小组派一名学生辅导有问题的学生，使不同层次的学生共同提高．

（四）总结、扩展

小结由学生完成，教师进一步强调． 1．本节课学习的知识点（1）圆的轴对称性；（2）垂径定理及应用． 2．方法上主要学习了

（1）垂径定理和勾股定理有机结合计算弦长、半径、弦心距等问题的方法，构造直角三角形．（2）在圆中解决与弦有关问题经常作的辅助线——弦心距．（3）为了更好理解垂径定理，一条直线只要满足（1）过圆心；（2）垂直于弦；则可得（3）平分弦；（4）平分弦所对的优弧；（5）平分弦所对的劣弧．

四、布置作业

教材P．84中11、12、13．

五、板书设计

第二篇：24.1.2 垂直于弦的直径 教案

24.1.2 垂直于弦的直径

教学设计

教学目标：

1.使学生理解圆的轴对称性；

2.掌握垂径定理； 3.学会运用垂径定理解决有关的证明、计算问题。过程与方法：

1.通过观察、动手操作培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力； 2.锻炼学生的逻辑思维能力,体验数学来源于生活又用于生活。

情感、态度与价值观：通过联系、发展、对立与统一的思考方法对学生进行辩证唯物主义观点及美育教育。教学重点：垂径定理及应用 教学难点：垂径定理的理解及其应用 教学用具：圆形纸片，多媒体 教学过程：

一、创设情景：你知道赵州桥吗?它是1300多年前我国隋代建造的石拱桥, 是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.23m，赵洲桥主桥拱的半径是多少？怎样求?学完本节课后就可以解决这个问题了

二、引入新课---揭示课题：

1、运用教具与学具（学生自制的圆形纸片）演示，让每个学生都动手实验，把圆形纸片沿直径对折，观察两部分是否重合，通过实验，引导学生得出结论：

(1)圆是轴对称图形

(2)经过圆心的每一条直线（注：不能说直径）都是它的对称轴

(3)圆的对称轴有无数条

(4)圆也是中心对称图形.（出示教具演示）。

2、再请同学们在自己作的圆中作图：(1)任意作一条弦 AB；(2)作直径CD垂直弦AB垂足为E。（出示教具演示）引导学生分析直径CD与弦AB此时的关系，说明直径CD垂直于弦AB的，并设问：垂直于弦的直径它除了上述性质外，是否还有其他性质呢？

三、讲解新课---探求新知

（1）实验--观察--猜想： 让学生将上述作好的圆沿直径CD对折，观察重合部分后，发现有哪些线段相等、弧相等，并得出猜想：在圆O中，CD是直径，AB是弦，CD垂直AB于E.那么AE=BE，弧AC=弧BC，弧AD=弧BD.（2）结合图形用几何语言表述

（3）垂径定理的变式

四、定理的应用：

例题

1、如图，已知在圆O中，弦AB的长为8㎝，圆心O到AB的距离为3 ㎝，求圆O的半径。

2、一千三百年前，我国隋代建造的赵州石拱桥的桥拱是圆弧形.已知桥拱的跨度（弧所对的弦的长）为37米，拱高（弧的中点到弦的距离）为7.23米，求桥拱所在圆的半径长（精确到0.1米）.五、小结升华

回顾本节课的学习历程，你有哪些收获？

六、作业布置

教科书83页练习第1题

90页第11题

第三篇：24.1.2 垂直于弦的直径(教案)

24.1.2垂直于弦的直径

教学目标

【知识与技能】

1.通过观察实验，使学生理解圆的轴对称性.2.掌握垂径定理及其推论.理解其证明，并会用它解决有关的证明与计算问题.【过程与方法】

通过探索垂径定理及其推论的过程，进一步体会和理解研究几何图形的各种方法.【情感态度】

1.结合本课特点，向学生进行爱国主义教育和美育渗透.2.激发学生探究、发现数学问题的兴趣和欲望.【教学重点】

垂径定理及其推论，会运用垂径定理等结论解决一些有关证明，计算和作图问题.【教学难点】 垂径定理及其推论.教学过程

一、情境导入，初步认识

你知道赵州桥吗？它是1300多年前我国隋代建造的石拱桥，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶.它的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为37.4m，拱高（弧的中心点到弦的距离）为7.2m.你能求出主桥拱的半径吗？（图：课本第82页图24.1-7）

【教学说明】赵州桥问题充分体现了数学与应用数学的关系，了解我国古代人民的勤劳与智慧，要解决此问题需要用到这节课的知识，这样较好地调动了学生的积极性，开启了学生的思维，成功地引入新课.二、思考探究，获取新知 1.圆的轴对称性 问题1用纸剪一个圆，沿着圆的任意一条直径对折，重复做几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？

【教学说明】学生通过自己动手操作，归纳出圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴.2.垂径定理及其推论

问题2 请同学们完成下列问题：

如右图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD.使CD⊥AB，垂足为E.（1）右图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么呢？（2）你能发现图中有哪些等量关系？说说理由.【教学说明】问题（1）是对圆的轴对称性这一结论的复习与应用，也是为问题（2）作下铺垫，垂径定理是根据圆的轴对称性得出来的.问题（2）可由问题（1）得到，问题（2）由学生合作交流完成，培养他们合作交流和主动参与的意识.【归纳结论】垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧（优弧、劣弧）.数学语言：如上图，在⊙O中，AB是弦，直径CD垂直于弦AB..。∴AE=BE.ACBCADBD问（1）一条直线满足：①过圆心.②垂直于弦，则可得到什么结论？ 【教学说明】本问题是帮助学生进一步分析定理的题设和结论，这样可以加深学生对定理的理解.问（2）已知直径AB，弦CD且CE=DE（点E在CD上），那么可得到结论有哪些？（可要学生自己画图）

提示：分E点为“圆心”和“不是圆心”来讨论.即：CD是直径或CD是除直径外的弦来讨论.结论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.问（3）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦并且平分弦所对的两条弧，为什么不是直径的弦？

【教学说明】问题（2）是为了推出垂径定理的推论而设立的，通过学生动手画图，观察思考，得出结论.问题（3）是对推论进行强调，使学生抓住实质，注意条件，加深印象.3.利用垂径定理及推论解决实际问题

问题3 如图，用AB表示主桥拱，设AB所在圆的圆心为O，半径为R，经过圆心O作弦AB的垂线OC，D为垂足，OC与根据垂径定理，AB相交于点C，D是AB的中点，C是AB的中点，CD就是拱高，AB=37.4，CD=7.2，则

AD=1/2AB=1/2×37.4=18.7，OD=OC-CD=R-7.2.在Rt△OAD中，由勾股定理，得OA2=AD2+OD2.即：R2=18.72+(R-7.2)2 解得R≈27.9(m)∴赵州桥主桥拱半径约为27.9m.【教学说明】教师引导学生分析题意，先把实际问题转化为数学问题，然后画出图形进行解答.并且在解答过程中，让学生意识到勾股定理在这节课中的充分运用，以及圆的半径、弦、圆心到弦的距离和拱形高之间存在一定的联系.三、运用新知，深化理解

1.如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，且CD⊥AB，根据圆的轴对称性可得：=______；CE=______，BCAC=______.2.如图，在⊙O中，MN为直径，若MN⊥AB，则______，______，______，若AC=BC，AB不是直径，则______，______，______.3.如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（图中，点O是这段弧的圆心，AB）C是AB上一点，OC⊥AB，垂足为D.AB=300m，CD=50m，则这段弯路的半径是____m.【教学说明】让学生当堂完成，第1、2题是对垂径定理及其推论的巩固.第3题是对垂径定理的应用，需要将实际问题转化为数学问题.

【答案】1.DE

BDAD







MN⊥AB

 2.AC=BC

AB=BMAM=BMAN=BNAN=BN3.250

四、师生互动，课堂小结

通过这节课的学习，你有哪些收获和体会？

【教学说明】教师应让学生交流总结，然后补充说明，强调定理及其推论的应用.课后作业

1.布置作业：从教材“习题24.1”中选取.2.完成练习册中本课时练习的“课后作业”部分.课后反思

第四篇：《24.1.2垂直于弦的直径》

《24.1.2垂直于弦的直径》

教学设计

庄河市第九初级中学

数学教师

李丽

***

课题

《24.1.2垂直于弦的直径》

教学

目标

知识技能1.探索圆的对称性，进而得到垂直于弦的直径所具有的性质；

2.能够利用垂直于弦的直径的性质解决相关实际问题．

数学思考

在探索问题的过程中培养学生的动手操作能力，使学生感受圆的对称性，体会圆的一些性质，经历探索圆的对称性及相关性质的过程。

解决问题

进一步体会和理解研究几何图形的各种方法；培养学生独立探索，相互合作交流的精神。

情感态度

使学生领会数学的严谨性和探索精神，培养学生实事求是的科学态度和积极参与的主动精神．

教学重点

垂直于弦的直径所具有的性质以及证明

教学难点

利用垂直于弦的直径的性质解决实际问题

教学资源

多媒体课件

教学过程

教学　环节

教师活动

学生活动

设计意图

一、情境引入

【探究】

用纸剪一个圆，沿着圆的任意一条直径对折，重复做几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？

（板书课题）教师在学生归纳的过程注意学生动手操作。

观察操作结果学生语言的准确性和简洁性。

可以发现沿着圆的任意一条直径对折，直径两旁的部分能够完全重合，由此可以得到：，圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴．

创设问题情境，激发学生兴趣，探索圆的对称性，引出本节内容。

二、探索新知

【思考】

按下面的步骤做一做：

第一步，在一张纸上任意画一个⊙O，沿圆周将圆剪下，把这个圆对折，使圆的两半部分重合；

第二步，得到一条折痕CD；

第三步，在⊙O上任取一点A，过点A作CD折痕的垂线，得到新的折痕，其中点M是两条折痕的交点，即垂足；

第四步，将纸打开，新的折痕与圆交于另一点B，在上述的操作过程中，你发现了哪些相等的线段和相等的弧?为什么？

学生动手操作，观察操作结果，教师在学生操作、分析、归纳的基础上，引导学生归纳垂直于弦的直径的性质：

（1）垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧；

（2）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．

探究垂直于弦的直径的性质，培养学生的探究精神

【应用】

例1：如图，弦AB所在圆的圆心是点O，过O作OC⊥AB于点D，若CD=4

m，弦AB=16

m，求此圆的半径．

例2：如图，已知弧AB，请你利用尺规作图的方法作出弧AB的中点，说出你的作法．

解：1．连接AB；

2．作AB的中垂线，交弧AB于点C，点C就是所求的点．

学生观察图形，利用垂直于弦的直径的性质分析图形条件，发现若OC⊥AB，则有AD=BD，且△ADO是直角三角形，在直角三角形中可以利用勾股定理构造方程。

教师在学生解决问题的基础上引导学生进行归纳：弦长、半径、拱形高、弦心距（圆心到弦的距离）四个量中，只需要知道两个量，其余两个量就可以求出来。

学生作图，教师巡视、指导

应用垂径定理解题

通过寻找一段弧的中点,进一步理解垂径定理

三、反馈练习

课本P89

练习1，2

补充练习：

某居民区一处圆形下水管道破裂，修理人员准备更换一段新管道．如图所示，污水水面宽度为60

cm，水面至管道顶部距离为10

cm，问修理人员应准备内径多大的管道?

学生独立思考、独立解题．

教师巡视、指导，并选取两名学生上台书写解答过程（或用投影仪展示学生的解答过程）

检查学生对所学知识的掌握情况.四、课堂检测

五、小结作业

1．问题：本节课你学到了什么知识？从中得到了什么启发？

本节课应掌握：

垂直于弦的直径的性质，圆对称性。

2．作业：教材P94

习题24.1第7、8、9、12题

教师引导学生归纳小结，学生反思学习和解决问题的过程．

学生独立完成作业，教师批改、总结．

通过归纳总结，课外作业，使学生优化概念，内化知识

第五篇：垂直于弦的直径说课稿

《垂直于弦的直径》的说课稿

商丘市夏邑县太平三中

刘 社

一、教材分析：

1、教材所处的地位：

本节教材是在学生学习了圆的有关性质和过三点的圆等内容之后对垂直于弦的直径和这弦的关系的进一步学习`，研究的是垂直于弦的直径和这弦的关系。垂径定理的推证是以轴对称图形的性质和圆是轴对称图形的性质为依据的。本节内容是本章基础，是圆的有关计算和圆的有关证明一个重要工具。本节课的学习也为下节课奠定基础。

2、教学内容：

本节课是人教版九年义务教育九年级数学第二十四章第一节。《垂直于弦的直径》的第一课时的内容——垂径定理的证明和基本应用。第二课时将学习研究垂径定理的推论和基本应用。第三课时将学习研究垂径定理及其推论的综合应用。

3、教学目的要求：

使学生记住垂径定理的题设和结论。

使学生掌握垂径定理的证明。

使学生掌握能垂径定理进行计算或简单的证明。

使学生懂得研究问题的常用方法：从特殊到一般，由猜测到论证。

4、教学重点和难点：（1）重点：掌握应用垂径定理进行计算或简单的证明。

难点：

（1）区分垂径定理的题设和结论。

（2）应用垂径定理进行计算或简单的证明。

（3）研究问题的常用方法：从特殊到一般，由猜想到论证。

5.知识要点：

轴对称图形：一个图形沿着一条直线折叠，如果直线两旁的部分，能够完全重合。那么这个图形叫轴对称图形。

等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫等弧。

弦：圆上两点间的线段。

直径：过圆心的弦。

二．教法、学法分析

1、教法研究

本节课的设计是以教学大纲和教材为依据，遵循因材施教的原则，坚持以学生为主体，充分发挥学生的主观能动性。教学过程中，注重学生探究能力的培养。还课堂给学生，让学生去亲身体验知识的产生过程，拓展学生的创造性思维。同时，注意加强对学生的启发和引导，鼓励培养学生们大胆猜想，小心求证的科学研究的思想。

本节课如果采用多媒体辅助教学，会呈现更直观的形象，也就会很大提高学生的积极性和主动性，并提高课堂效率。

2、学法研究

教师应创造一种环境，引导学生从已知的、熟悉的知识入手，让学生自己在某一种环境下不知不觉中运用旧知识的钥匙去打开新知识的大门，进入新知识的领域，从不同角度去分析、解决新问题，通过基础练习、提高练习和拓展练习发掘不同层次学生的不同能力，从而达到发展学生思维能力和自学能力的目的，发掘学生的创新精神。

三．说教学过程

1、引入 ：（教师出示一个擦去圆心的圆心纸片）问：大家能不能用折叠的方法把这个圆的圆心找到？课的引入从创设问题情境入手，设计了与本课密切相关的实际问题，既有直观的动画 演示，又有把实际问题抽象成数学问题的过程，以引起学生的学习兴趣。引导学 生通过对折发现圆的对称性，又运用对称性通过对折找到了圆心。）

（1）轴对称图形的的有关性质，让学生回忆有关性质，然后教师评述。

（2）圆的轴对称性，通过对折圆形纸片来分析圆的轴对称性

（3）垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且一部分弦所对的两条弧。（学生的叙述可能是粗糙的，不准确的，课堂讨论可以引导学生注意语言的准确和精炼。）

2、基础练习；第78页第2题。

3、拓展练习；（让学生自己做，教师评议）

（1）如图，已知AB是⊙O的直径，MN是弦，AB MN于P，则

MOPNABMP=_______，=_______，=__________。

O到（2）如图，⊙O的半径为50mm，弦AB=50

3mm，则点AB的距离为________，∠AOB=__________度。

4、小结（尽可能由学生自己归纳）

1、圆的两条重要性质；（1）圆是轴对称图形；

AB

（2）垂径定理（在复述内容基础上突出二个条件，三个结论，及三种语言的相互转换）

2、垂径定理的应用：

（1）解决有关弦、弧、半径等问题的计算、证明（和作图）；（2）解决某些实际问题（如引例、拱桥等）； ——强化应用意识。

3、常用的辅助线：

（1）作半径；（2）过圆心作弦的垂线段。

垂径定理与勾股定理相结合，得出６、作业布置

第84页，11、12题（2）

四、板书设计

ar2=d2+（2）2