数的拆分和奇约数问题

第一篇：数的拆分和奇约数问题

数的拆分和奇约数问题（儒风海韵原创）

整数的拆分：就是把一个自然数表示成为若干个自然数的和的形式。整数的分拆是古老而又有趣的问题，其中最著名的是哥德巴赫猜想。在国内外数学竞赛中，整数分拆的问题常常以各种形式出现，如，存在性问题、计数问题、最优化问题等。

奇约数：首先要知道什么是奇约数，简单的说就是一个数约数当中的奇数，比如说6的奇约数就只有1，3.那么如何算一个数字的奇约数的个数，如果一个数字A若可以写成A=M*N*Q....的形式 他的奇约数就有（a+1)(b+1)(c+1)....个

其中M,N,Q必须是奇数。

特别的，A=a*b=c*d=e*f=.........=g*h, 一般约数都是成对出现，只有当约数出现g=h，A为平方数时，整体约数为奇数个。abc

例1 电视台要播放一部30集电视连续剧，若要求每天安排播出的集数互不相等，则该电视连续剧最多可以播几天？

【解析】这个题比较简单，由于希望播出的天数尽可能地多，所以，在每天播出的集数互不相等的条件下，每天播放的集数应尽可能地

少。

1+2+3+4+5+6+7=28。如果各天播出的集数分别为1，2，3，4，5，6，7时，那么七天共可播出28集，还剩2集未播出。由于已有过一天播出2集的情形，因此，这余下的2集不 能再单独于一天播出，而只好把它们分到以前的日子，通过改动某一天或某二天播出的集数，来解决这个问题。例如，各天播出的集数安排为 1，2，3，4，5，7，8或1，2，3，4，5，6，9都可以。所以就是7天。类似于某年国考题。

例2 求满足下列条件的最小自然数：它既可以表示为9个连续自然数之和，又可以表示为10个连续自然数之和，还可以表示为11个连续自然数之和。

【解 析】：9个连续自然数之和是其中第5个数的9倍，10个连续自然数之和是其中第5个数和第6个数之和的5倍，11个连续自然数之和是其中第6个数的11 倍。这样，可以表示为9个、10个、11个连续自然数之和的数必是5，9和11的倍数，故最小的这样的数是［5，9，11］=495。

对495进行分拆可利用平均数，采取“以平均数为中心，向两边推进的方法”。例如，495÷10=49.5，则10个连续的自然数为45，46，47，48，49，（49.5），50，51，52，53，54。于是495=45+46+„+54。

同理可得495=51+52+„+59=40+41+„+50。

例3：把945写成连续自然数相加的形式，有多少种？

【解析】：945=3*5*7

奇约数就是（3+1)*(1+1)*(1+1)=16个。

还有一个结论就是一个整数若有N个奇约数，就有N-1种拆分成连续自然数加和的形式

所以答案就是16-1=15种

例4：学校准备了2310块正方形彩板，用它们拼成一个长方形，有多少种不同的拼法？

【解析】：先将2310分解一下。

2310=2*3*5*7*11 这个地方有点小失误，这题考虑的是约数，不是奇约数，所以2是要考虑的求出约数2*2*2*2*2=32，也就是长和宽有32种情况.这个地方要注意的是，一个长方形，长和宽互换是等效的, 存在重复的情况，3所以要除2，答案是32/2=16。

例5：将450分拆成若干连续自然数的和，有多少种分拆方法？？

【解析】：解法基本同例

1450=2*3*5（2不算）

奇约数就有（2+1）*（2+1）=9个

又因为一个整数若有N个奇约数，就有N-1种拆分成连续自然数加和的形式。

所以9-1=8个

例6 试把1999分拆为8个自然数的和，使其乘积最大。

【解析】：要使分拆成的8个自然数的乘积最大，必须使这8个数中的任意两数相等或差数为1。

1999=8×249+7，拆法应是1个249，7个250，其乘积249×250为最大。

2例7：将14分拆成若干个自然数的和，并使这两个自然数的积最大，应该如何分拆？

【解析】：我们先考虑分成哪些数时乘积才能尽可能地大。首先，分成数中不能有1

其次，分成的数中不能有大于4的数，否则可以将这个数再分拆成2与另外一个数的和，这两个数的乘积一定比原数大，例如7就比它分拆成的2和5的乘积小。

再次，因为4=2×2，故我们可以只考虑将数分拆成2和3。

注意到2+2+2=6，2×2×2=8；3+3=6，3×3=9，因此分成的数中若有三个2，则不如换成两个3，换句话说，分成的数中至多只能有两个2，其余都是3。

根据上面的讨论，我们应该把14分拆成四个3与一个2之和，即14=3+3+3+3+2，这五数的积有最大值

3×3×3×3×2=162。

结论：要使的乘积最大，必须使分解出的数尽量相等或者差1.比较难的题，学习一下就可以了

例8 若干只同样的盒子排成一列，小聪把42个同样的小球放在这些盒子里然后外出，小明从每只盒子里取出一个小球，然后把这些小球

再放到小球数最少的盒子里去，再把盒子重排了一下。小聪回来，仔细查看，没有发现有人动过小球和盒子。问：一共有多少只盒子？

【解析】：设原来小球数最少的盒子里装有a只小球，现在增加到了b只，由于小明没有发现有人动过小球和盒子，这说明现在又有了一只装有a个小球的盒子，这只盒子里原来装有（a+1）个小球。同理，现在另有一个盒子里装有（a+1）个小球，这只盒子里原来装有（a+2）个小球。

依此类推，原来还有一只盒子装有（a+3）个小球，（a+4）个小球等等，故原来那些盒子中装有的小球数是一些连续整数。

现在这个问题就变成了：将42分拆成若干个连续整数的和，一共有多少种分法，每一种分法有多少个加数？

因为42=6×7，故可将42看成7个6的和，又（7+5）+（8+4）+（9+3）是6个6，从而 42=3+4+5+6+7+8+9，一共有7个加数。

又因42=14×3，故可将42写成13+14+15，一共有3个加数。又因42=21×2，故可将42写成9+10+11+12，一共有4个加数。于是原题有三个解：一共有7只盒子、4只盒子或3只盒子。

第二篇：约数和倍数教案

教学内容：人教版九年义务教育六年制小学数学第十册“约数和倍数”

教学目标：

1．使学生理解整除的意义，理清“除尽”和“整除”的关系；理解和掌握约数和倍数的意义，了解约数和倍数相互依存的关系。

2．能判断一个数能否被另一个数整除，会根据约数和倍数的意义描述两个数之间的关系，培养学生根据信息进行分类、总结、概括的能力，培养学生会进行初步的观察、比较、分析、判断、概括的能力。

3．渗透初步的辩证唯物主义思想教育；并通过各种方式，激发学生的交流、对话的意识，积极探索的精神，从而树立学好数学的自信心。

教学重点：理解和掌握整除的意义、约数和倍数的意义。

教学难点：引导学生探索并理解约数和倍数之间的相互依存的关系。教学过程：

一、创设情境

师：今天老师带来了一些数学信息，让我们一起来看一下吧！（课件出示）

A组 B组

（1）35张新年贺卡（8）共用去6.6元

（2）每本练习本2.2元（9）平均分给11个同学（3）有5个同学给灾区捐款（10）共捐了15.5元

（4）小芹每天读2页课外书（11）已经读了24页

（5）买了4只同样的钢笔（12）共用布15米（6）小李参加三门考试（13）共考了273分

（7）做7套同样的校服（14）小明带32元钱买钢笔 师：请根据你们的生活经验，选择两条相关的信息组成一道简单的应用题，并列式计算。（学生伴随轻音乐读题思考）同桌的同学可以互相说一说。

师：谁来说说看，你选择的是哪两条，求的是什么？怎么列式？ 生1：我选（2）和（8）求的是可买多少本？列式为6.6÷2.2=3 生2：我选的是（1）和（9）求的是平均每人得到几张贺卡，列式为35÷11=3……2（怎么除不尽？？？）生3：……

共得到7道算式，分别是：6.6÷2.2=3 35÷11=3……2 15.5÷5=3.1 24÷2=12 32÷4=8 273÷3=91 15÷7=2……1

二、自主探究

师：请同学们观察以上这些算式，并根据算式的特点分类，分好后小组交流。（学生自己分好类后小组交流）

师：哪位同学来说说你是怎么分类的？

师：为了方便，老师给它们加上序号。（分别给7道算式加上序号）①6.6÷2.2=3 ②35÷11=3……2 ③15.5÷5=3.1 ④24÷2=12 ⑤32÷4=8 ⑥273÷3=91 ⑦15÷7=2……1

生1：我将②和⑦分为一类，①为一类，③④⑤⑥分为一类，第一类是有余数的，第二类的被除数和除数都是小数，第三类的除数都是整数。生2：我也将②和⑦分为一类，①③④⑤⑥分为一类。第一类是有余数的，第二类是没有余数的。生3……

师：从同学们的分类中可以看出：分类的标准不同所得的答案也不同。那我们先选择其中的一种分类来研究。（课件出示）

师：（选择②和⑦分为一类，①③④⑤⑥分为一类）这位同学他按是不是除尽来分类的，那什么叫除尽？什么又叫除不尽呢？

生：商是有限小数的就是除尽，商是无限小数的就是除不尽。

三、归纳特征

师：我们再来仔细观察这些除尽的算式（①6.6÷2.2=3 ③15.5÷5=3.1④24÷2=12 ⑤32÷4=8 ⑥273÷3=91），看看这些算式还能不能再分分类，你准备怎么分？ 生：①6.6÷2.2=3和 ③15.5÷5=3.1分为一类，因为这里面有小数，④24÷2=

12、⑤32÷4=8和 ⑥273÷3=91这三个算式分为一类，因为这三个算式中的被除数、除数和商都是整数，而且没有余数。

师：我们可以将（指着整除的一组算式）这样被除数、除数和商都是整数而且没有余数的称它为“整除”（板书“整除”）（课件出示）

师：那我们仔细地观察整除和除尽有什么关系呢？ 生：除尽的范围比整除的大。

师：如果我们用一个大圈来表示除尽，那整除就是其中的一个小圈。（课件出示集合图）师：你还能再举出一些整除的算式吗? 生1：4÷2=2。生2：30÷5=6 生3：280÷70=4。……

师：整除的算式实在是太多了(在整除的小圈后加……)那我们能不能用一个含有字母的式子来概括整除算式呢？ 生：用a÷b=c（板书）

师：是不是要加个什么条件呢？

生：b≠0（板书），因为b=0，除法就无意义了。

师：如果a、b、c都是整数（板书），且b≠0，那我们就说a能被b整除，或b能整除a。师：如15÷3=5，我们就说15能被3整除，或3能整除15。谁来说说这几道的（指着黑板上的几道整除算式）？ 生1：24÷2=12我们就说24能被2整除，或2能整除24。生2：32÷4=8我们就说32能被4整除，或4能整除32。生3：273÷3=91我们就说273能被3整除，或3能整除273。师：我们一起看看书P49的练一练1。（课件出示）生答…

四、感悟关系

师：我们已经知道整数a除以整数b（b≠0），除得的商是整数而且没有余数，我们就说数a能被数b整除，数b能整除数a。如果满足了这个条件，a和b就有了一种新的关系。请同学们自学课本第39页倒数第二节，看看谁能很快记住它们的关系。生：它们是约数和倍数的关系。（板书课题：约数和倍数）师：在这些整除算式中，谁是谁的倍数？谁又是谁的约数？ 生1：24÷2=12我们就说24是2的倍数，2是24的约数。生2：32÷4=8我们就说32是4的倍数，4是32的约数。

生3：273÷3=91我们就说273是3的倍数，3是273的约数。师：那我们能单独说24是倍数数，2是约数吗？

生：不能，因为约数和倍数是相互依存的关系，谁也离不开谁。师：在1.5÷3=0.5中，谁是谁的倍数？谁是谁的约数？为什么？ 生：只有在整除的条件下，才能产生约数和倍数，而1.5÷3=0.5不是整除，所以谈不上约数和倍数的关系。

五、巩固练习

1.下面各组数中，哪一个数是另一个数的倍数？哪一个数是另一个数的约数？ 56和7 180和20 64和16 35和105 师：当两个数是整除关系时，就可以说成谁能被谁整除，谁能整除谁，谁是谁的倍数？谁又是谁的约数，我们一起来做练习七第3题。（课件出示）生练习……

2．判断下面的说法是否正确。

①8能整除4。…………………………………………（）②因为36÷6＝6，所以36是倍数，6是约数。………（）③5是5的倍数，5又是5的约数。…………………（）④63÷3＝21，3和21都是63的约数。………………（）⑤3.5÷0.5=7,所以3.5是0.5的倍数。………………（）3．0和1的特殊性

师：老师这儿有一首咏雪的诗，大家想看吗？ 生齐说：想。

师：在看诗的时候要考虑这首诗里一共出现了几个数字。生：好。

师放课件：

咏雪 一片两片三四片，五片六片七八片，九片十片十一片，飞入草丛看不见。

师：这里共有多少个数？ 生：11个。师：哪11个？

生：1、2、3、……11。

师：这11个数字，你们是从哪几句诗中得到的。

一生迫不及待地说：我知道还有一个0，因为“飞入草丛看不见。”表示什么也没有。

师课件出示0~11这个12个数字中你能说出谁能被谁整除，谁能整除谁，谁是谁的倍数？谁又是谁的约数？小组内的几个同学说说看。生互相说。

生1：12能被6整除，6能整除12，12是6的倍数，6是12的约数。生2：12也能被4…… 生3：12还能被3…… 生4：还有2…… 生5：还有1……

生6：12还能被12……

师：同学们说了这么多数字跟12有关，那你们能说一句话来概括一下吗？ 生7：12能被1、2、3、4、6、12整除，1、2、3、4、6、12能整除12…… 师：同学们说得真不错，那谁还能说得比这个更多。

生8：我来，这里的12个数都能被1整除，1能整除这里的12个数，1是这12个数的约数，这12个数都是1的倍数。

师：就这里的12个数能与1有这里的关系吗？ 生9：任何数。

生10：我觉得不能是任何数，如果是小数就不能构成整除关系了，我觉得应该是任何整数都能被1整除……

师：说得多好啊。（课件出示：任何整数都能被1整除。）

生11：老师，我发觉0也很特殊，这里的12个数都是0的约数，也可以说成0是任何整数的倍数。

生12：0就不能是0的倍数，因为0÷0就无意义了，所以我觉得就这句话应该将0除外。生11：我同意他的说法。

师：补充得好。（课件出示：0是任何不是0的整数的倍数）

师：为了方便，我们在研究约数和倍数时，所说的数一般指不是零的自然数。师：想不到一首咏雪的诗里还蕴藏着这么多的数学知识，让我们非常有感情地再把这首诗朗读一下。

（学生有感情地朗读，甚至有的同学已经背上了。）

六、全课总结

师：今天这节课我们一起学习了“约数和倍数”，你有哪些收获？把你的收获跟你的同桌说一说。

2006.8

第三篇：约数和倍数教案

约数和倍数教案设计

教学内容：

教学教材50页有关内容、完成做一做及练习十一第1---3题。教学目标

1、知识目标：使学生理解整除、约数、倍数的意义，了解约数和倍数相互依存的关系。

2、能力目标：判断一个数能否被第二个数整除，会根据约数与倍数的意义描述两个数之间的关系，培养学生的观察、比较、分析、判断、概括能力。

3、情感目标：通过各种方式，激发学生的交流、对话意识、积极探索的精神，从而树立学好数学的自信心。教学重点：约数和倍数的意义。

教学难点：探索、理解约数和倍数之间的相互依存关系。教学过程：

一、联系生活实际，理解“相互依存”关系。

师：（指左右两位同学）问：你在他的哪边？你在他的哪边？

师：（前后各起立一位学生）问：谁能说出这两位同学的位置关系？ 小结：这就是我们实际生活中相互依存的关系。在数学中数与数之间也有这样的相互依存的现象。今天，我们就来一起学习有相互依存关系的“约数和倍数’。（板书课题：约数和倍数）

二、在探究过程中，建立整除的概念

课件出示：下面哪个算式中的第一个数能被第二个数整除？

①15÷3=3

②10÷3=3„„1

③28÷7=4 ④3.3÷1.1=3

⑤28÷0.7＝40

⑥

6÷5 =1.2 ⑦33÷11=3 生回答后，问②④⑤⑥题中为什么不能说第一个数能被第二个数整除？根据生回

答将上述算式分为两类，课件出示。①15÷3=5

②10÷3=3„„1 ③28÷7=4 ④3.3÷1.1=3 ⑦33÷11=3 ⑤28÷0.7＝40

⑥ 6÷5 =1.2

师：请同学们再仔细观察能整除的三个算式，看看它们的被除数、除数、商有什麽特点。

师：那么老师有一个问题，在什么情况下，才可以说“一个数能被另一个数整除”？

师：谁来完整的说一说什么叫整除？

师：那么整除的意义能不能用比较简洁的话来说呢？比如说我们用字 母a和b表示两个整数，那么整除的意义还可以怎么说？（板书：a、b）

（同桌互说）（提问）

课件出示：整数a 除以整数b（b≠0）,除得的商正好是整数而没有余数，我们就说a能被b整除（也可以说 b 能整除a）。（生读）

师：你认为这段话中哪几句话比较重要？

师：为什么 b 不能为0？师：你能举出整除的算式说一说吗？

（生举出式例子、说出被除数和除数的关系，师板书、4人4式）师：同桌把你准备的例子互相说一说，看看说的是否正确。

三、建立约数和倍数的概念

师：如果数a能被数b整除，a 和 b之间就产生了一种新的关系，是什么关系？

课件出示：如果数a能被数b（b≠0）整除,a就叫做 b 的倍数，b就叫做a的约数（或a 的因数）。倍数和约数是相互依存的。（生齐读）

师：什么情况下，可以说 a是 b 的倍数，b 是 a 的约数？ 师：约数和倍数的关系怎样？

那么这句话该怎样理解呢？同学们来看一个练习题。课件出示：

判断下面说法是否正确。

如果15能被3整除，15就是倍数，3就是约数。

学生说后出示正确答案课件出示：如果15能被3整除，15就是3的倍数，3就是15约数。

师：你能仿照来说一说24和2的关系吗？为什么可以这么说？

师：谁能举例，并用我们这一节学过的知识来说说它们的关系？（生答，师板书提问3人）

师：（板书3 2）这两个数之间有约数和倍数的关系吗？为什么？（学生回答后师小结）师举例：

0÷10=0 0÷21=0 0÷7=0 通过提问，让学生明白0是所有不是0 的整数的倍数，所有非0整数都是0的约数。

师：为了方便，以后在研究约数和倍数时，所说的数一般不包括零。师：通过今天的学习，你都学会了哪些知识？还有什么问题不明白吗?(让生看课本50内容)师：老师还有一个问题：倍和倍数有什么不同？（举例说明）

四、实践和反思

1、下面每组数中，哪个数是另一个数的倍数，哪个数是另一个数的约数？说出为什么？

16和12

4和24

72和8

140和20

2、下面说法对吗？说出理由 ① 因为36÷9=4, ②57是3的倍数。

③ 5是5的倍数，5又是5的约数。

3、从36、4、9、12、3、0．2中选出具有倍数和约数关系的几组数。你能选出几组？说说它们的关系。

师：为什么0．2和其它的几个数之间没有约数和倍数的关系？

4、游戏，找朋友。

师：每个同学都有学号，每个学号都是一个整数。如果老师找的朋友是你，请你站起来，并且把卡片高高举起，让其他同学看看你是不是我的朋友。

所以36是倍数，9是约数。师（举卡片10）：我是10，我的倍数朋友在哪里？问学号是10的学生，为什么是我的倍数朋友？

师（举卡片10）：我的约数朋友在哪里？问学号10的学生：你是10，为什么又是我的约数朋友？

师（举卡片1）：我是1，我的倍数朋友在哪里？为什么大家都站起来了？ 你能说说1都是谁的约数？有那些数是1的倍数？

第四篇：《约数和倍数的意义》教学反思

《约数和倍数的意义》教学反思

《约数和倍数的意义》教学反思1

【背景与导读】

《约数和倍数》是人教版义务教材五年级下册的教学内容。本节课属于概念教学，可操作性不强，对学生来说比较抽象，理解较困难。可以说，目前，想把概念教学讲透、讲活是众多数学教师所面临的一个难题。理解约数和倍数的涵义是建立在“整除”的基础之上。在之前学生对整除只是有个初步的认识，但还不能以严密的定义形式再现，所以我先让学生通过给几道除法算式求商，然后根据算式特点将算式分类，通过观察、比较建立“整除”的意义。在此基础上提出两个数的另一种关系：约数和倍数的关系。通过自主学习、合作探究的形式，掌握约数和倍数的意义，并抓住了对关健词“相互依存”的理解，又通过学生互辨互评的过程，以及趣味的变式练习，深化了对约数和倍数的理解。在整个新知识的教学中，学生始终保持着饱满的热情，积极地去探索、去体验，主动地建构知识。

【案例与反思】

活动探究，建立整除概念。

[片断一]

1.将下面几道算式卡片分发到各小组

15÷36÷1.23÷224÷8

30÷153.3÷1.120÷6

师：先计算，再根据你们在计算时的体验将这些算式分类，并说出分类的依据。

（小组计算、商讨，汇报交流）

生1：我们组认为可以分为两类，一类是除不尽的，另一类是除尽的。（同时展示）

（1）15÷3=5（2）7÷3=2……1

6÷1.2=520÷6=3……2

3÷2=1.5

24÷8=3

30÷15=2

3.3÷1.1=3

生2：我们组认为可以分为这样的两类：一类是被除数和除数都是整数的，另一类是被除数和除数有小数的。（同时展示）

（1）15÷3=5（2）6÷1.2=5

3÷2=1.53.3÷1.1=3

30÷15=2

7÷3=2……1

20÷6=3……2

生3：我觉得生1组的分类合理些，生2组的分类没什么意义。

生4：我们也同意生1组的分法，但我们认为还可以将第（1）类再分成两类，这样可以分成三类：一类是一般除尽的；一类是不仅能除尽并且整除的；一类是除不尽的。（同时展示）

（1）3÷2=1.5（2）15÷3=5（3）7÷3=2……1

6÷1.2=524÷8=320÷6=3……2

3.3÷1.1=330÷15=2

师：依据不同的标准，就有不同的分法。生3将能除尽的算式又分成了两类，将整除算

式单独列出来。你能用一句话或一幅图表示整除和除尽的关系吗？

（小组内商量）抽生汇报：能整除一定能除尽，能除尽不一定能整除，除尽的范围要比整除的范围大一些。

生：我们还可以用一个集合图来表示整除和除尽的关系：

师：请你们再举出几道整除算式来。同桌交流。

师：如果用数a表示被除数，数b表示除数，数c表示商，那么它们的整除条件是怎样的？（小组内商量、汇报，师板书）

a÷b=c（1）a、b、c都是整数，并且没有余数。

（2）b不等于0。

师：一道除法算式如果具备了整除条件，我们就说数a能被数b整除，B能整除a。

生自读教材整除定义。

师：那么15÷3=5这个整除算式，谁能被谁整除，谁能整除谁？（抽几名学生说一说）

小组内学生互说互评。

师：能否说3能被2整除？为什么？

……

[反思]

理解“整除”是认识“约数和倍数”的前提，概念的学习，对学生来说比较抽象。教师必须激发学生的学习兴趣，只有在学生主动的状态下的学习才是最有效的，课堂上一方面要体现以学生为主体，另一方面要培养学生自我探究的意识，让学生主动参与学习过程，才能激发他们的探究欲望，培养学生自主学习的能力。学生在以前虽然学习过整除，但已冷却了很长时间，何况当时也没有明确地下定义，而理解“整除”对于本节课很关键。于是我没有按教材安排的那样一开始就让学生回忆什么叫“整除”，而是依据学生对整除算式的表象印象将几道除法算式求商后进行分类，进而从中筛选出整除算式，通过筛选对“整除”的表象深化，从而理解“整除的意义”。另外，我也不是将计算好的'算式直接让学生分类，而是先计算，再让学生根据自己的实践体验，分类时也更有依据性。还把算式制成活动卡片的形式，创设了操作契机，学生分类也较灵便，学得也很积极主动。

[片断二]

交流探索，理解“约数和倍数”

师：当数a能被数b整除时，它们也具备了另一种关系，那就是我们今天要学习的约数和倍数的关系。（板书课题）

这种关系是什么样的呢？自读教材“约数和倍数”的意义。

自学提示：

（1）在什么情况下两个数才具有约数和倍数的关系？

（2）这种关系是怎样的？

（3）“相互依存”是什么意思？（可查字典）

生1：必须在整除的前提重要条件下，两个数才具备约数和倍数的关系。（其他同学举手同意）

生2：当数a能被数b整除时，a就是b的倍数，b就是a的约数或因数。如15÷3=5，15是3的倍数，3是15的约数。

生3：生2的回答很好，他还举了例子，让大家听得非常明白。

师：（以7÷3=2……1为例）能说7是3的倍数，3是7的约数吗？

生哗然：不能！

为什么？

生4：约数和倍数必须建立在整除的前提条件下，7不能被3整除，所以不能说7是3的倍数，3是7的约数。

师作明白状，然后擦掉不是整除的算式。

同桌相互说出一组数的约数和倍数的关系。

师：书中有这样一句话，约数和倍数是相互依存的，怎样理解？

生5：我们查过字典，也相互讲座过，“相互依存”是相互依靠、相互依赖的意思，简单地说，就是“相依为命，谁也离不开谁”。

师：我也以15÷3=5为例，因为15能被3整除，所以15是倍数，3是约数。请你们判断我说的对吗？

生：“对”“不对”

师：为什么不对？

生15是3的倍数，但在30÷15=2中，15又是30的约数，所以不能单说15是倍数，它也可能成为另一个数的约数。必须说清谁是谁的倍数，谁是谁的约数。

师强调：这就是约数和倍数的相互依存交通系统，必须说清谁是谁的倍数，谁是谁的约数。

……

[反思]

在引入约数和倍数时，注意了新旧知识的联系，让学生感受到新知识的生长点。认识约数和倍数的意义时，让学生在看书自学的基础上谈收获和体会，体现了让学生在学习中的自主建构，而自学提示又给学生点亮了指明灯，让学生学有目标。对于第一次认识的两个数的约数和倍数关系，通过让学生相互说、评的过程，加强了学生对“约数和倍数”的认识，又通过查字典、互辨互说中理解“相互依存”的含义，从而深化对“约数和倍数”的理解。而在数学课堂上查字典，学生感觉很新鲜，也体会到学科之间是相互联系的，学生学得更主动了。

[片断三]

趣味练习，深化主题。

课堂练习

……

课后练习第四题：下面哪些数是60的约数，哪些数是6的倍数

481256018

我是这样设计的：将这几个数制成数字卡片，抽两名学生上黑板选出之后贴入下面的集合里

生1选出12、5贴到第一个集合里。

生2也选出48、18，然后又将12从第一个集合里拿到第二个集合里。（生1还没看见）

生1刚拿到60，生2也去拿60，这样两人相持不下，“我的”“我的”

生1：哎，12本来是我的，你怎么拿走了？（生1这才发现12已被生2拿走，而现在又在争夺这个60）

其他同学都笑了。

师：同学们，你们看，这两个数该给谁呢？

生：他们俩都对！（学生们都愣住了，噢，这两个数他们都需要。）

师：谁能说说这说明了一个什么道理？

生1：说明了一个数可能是某个数的约数，也可能是另一个数的倍数。

生2：这正说明了约数和倍数得相互依存的。

生3：正因为这样，所以不能单说谁是约数，谁是倍数。一定要说清谁是谁的约数，谁是谁的倍数；谁的约数是谁，谁的倍数是谁。

……

[反思]

巧妙地将这个练习题设计成了趣味游戏，将静态教材动态化，符合学生的年龄特点。在两个学生争夺这两个数时将课堂气氛推向了高潮。不仅增强了数学学习的趣味性，而且使学生加深了对约数和倍数的认识，并对深化本节课的主题也起到了推波助澜的作用。让学生真正成为学习的主人，调动了学生学习数学的兴趣。

[点评与拓展]

这节课是概念教学，教师没有落入“枯燥乏味”的老套，而是根据学生的年龄特点和教材特点，灵活地驾驭教材，取得了非常好的教学效果。本节课在教学设计上体现了新的课程理念，注重了学生的主动参与、自主建构，让学生在活动中理解约数和倍数的意义。教师在角色上只是作好引导，帮助学生质疑解难，当学生的学习有困难时，教师采用了分组讨论，采取合作交流的学习方式排除疑难，让学生真正成为学习的主人，亲自品尝到了成功的喜悦。

一是将静态教材动态化。新课程强调教师不仅是教材的使用者，同时也是教材的开发者，本节教学中，教师在理解、研究教材的基础上，在胆地对教材进行二度开发，实现了教材由静态向动态的转变。教师没有如教材所提供的教学思路，先复习什么是整除，然后找出整除算式，而是先将静态的算式制成动态的卡片，为学生将算式进行分类提供了动态情境，成功地实现了“整除”在学生心中的辨别与概括的建构过程，也为下面学习约数和倍数做好了准备。在课堂练习时，教师又将静态的选择题设计成活动卡片的形式，不仅调动了学生的学习数学的兴趣，而且深化了对约数和倍数的理解，实现了在数学课中的“活中乐、活中学、活中悟、活中索”的数学学习新体验。

二是教学内容探究化。“教学不是告诉，”教师没有直接把整除的意义告知学生，而是让学生在算一算、比一比、摆一摆、议一议、说一说的过程中，探究除法算式的特点，感知整除与除尽、小数除法的不同；在学习约数和倍数的意义时，则通过自主学习与合作探究的形式，当有了疑难，则通过让学生互辨互评的方式，顺利地突破了重难点，体现了“学生是教学的主体”这一新课程的核心理念。

三是概念教学活动化。以往教师在概念教学中大多采用讲解法，教学沉闷，教师讲得吃力，学生听得费劲。而在本节课中，教师让学生在拼摆算式、合作交流、变式练习等形式使课堂气氛活跃生动，学生学得轻松愉快，提高了学生学习数学的兴趣。同时也培养了学生在活动中合作学习、团结互助的精神，拓展了学生的学习能力，学生也从中尝到了成功的乐趣。

《约数和倍数的意义》教学反思2

教学内容：

小学数学第十册第三单元中的第一小节授课内容。

目标分析：

进一步探索理解整除的意义，知道约数、倍数的含义以及它们之间相互依存的关系。

难点分析：

这部分内容是在第八册整除知识的基础上进行教学的，是这一单元中最基本的概念，也是下一步学习质数、合数、互质数，以及求最小公倍数、最大公约数的前提。因此，约数、倍数的含义以及它们之间相互依存的关系是本小节的难点。要让学生明确以下情况：1、被除数、除数（0除外）、商必须都是整数，而商后没有余数，同时明确“除尽”和“整除”的区别，还要说明如A能被B整除，反过来可以说B能整除A的道理；2、约数和倍数必须以整除为前提，约数和倍数是一对相互依存的概念，不能独立存在，同时，因为0是任何非0自然数的倍数，任何非0自然数都是0的约数，在以后学习分解质因数等内容时，一般限于非0自然数，所以本节内容应把0排除在外；3、要把倍数与倍区分清楚；4、通过一些简单的方法找出一个数的约数和倍数。

解决策略：

由于知识内容比较抽象，为了使学生掌握好这部分知识，应尽量从学生已有的知识出发，用实际例子引出概念。

在复习整除概念的意义和教学例1时，一可以通过一些除法算式的对比形式，用定义对整除加以概括，并用字母表示相除的两个数，突出除数不为0，这样就使学生对整除的意义的`理解在已有的基础上得到加深。二可以通过约数和倍数必须以整除为前提的认识过程，很快说出两个倍数关系谁能被谁整除，谁能整除谁，谁是谁的倍数，谁是谁的约数，避免学生常出现的谁是倍数，谁是约数的错误认识，并强调倍数与约数是一对相互依存的关系。

在教学例2时，利用画彩条和集合图的方法表示一个数的约数。为了解决学生内容遗漏，可以用一对一的找法，如12÷12=1，就可以找到12÷1=12。通过以上找法，让学生归纳出：一个数的约数个数是有限的，其中最大的约数是本身，最小的约数是1。

在例3时，同样可以参照例2画彩条和集合图的方法表示一个数的倍数。但必须强调找一个数的倍数，应从最小的倍数开始找，引导学生探索自然数是无限的，因此2的倍数也是无限的，所以可以用省略号表示，在用集合图表示倍数时，要注意在圈里写上省略号。在概括出一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它的本身时，要让学生弄清为什么一个数的倍数没有最大的，因为自然数的个数是无限的，所以一个数的倍数的个数也是无限的，因此没有最大的倍数。

课堂活动：

这节课注重学生的主动参与，自主建构，让学生在生活中理解约数、倍数的概念。具体表现如：

—是注重知识的内在联系，让学生利用已有知识经验推动新知识的学习。整除是建立约数、倍数概念的重要基础，针对知识的这一内在联系和学生已经学习了整除概念这一实际。新课前进行的复习准备，既能唤起学生对整除的回忆，激活学生的认知结构，又能为新课的学习作好充分的认知准备此外，在新课的学习和练习中，让学生感受到很多数的约数和倍数都不止一个，为公约数、公倍数等学习作铺垫。

二是充分激发学生主动参与，让学生进行自主建构．本节课在对约数、倍数的理解和关系把握的教学中，教师注重角色的转换，置学生于教学的主体地位，通过不同表述方式表达两个数的关系等，为学生进行自主探索搭建平台，学生在教师的引导、组织下，独立思考，合作交流，全面、深入理解约数、倍数的含义，清楚把握它们的关系。

三是课堂活动性强，练习形式丰富，内容全面。本节课在课堂活动的安排上，体现全面性、趣味性、深刻性。通过这样的练习，不但有利于学生全面巩固所学知识，更有利于激发学生参与的积极性，让学生体验到数学学习的乐趣。

《约数和倍数的意义》教学反思3

1、让学生大胆地、自由地想、说、做。

语言是思维的外壳。天真烂漫的孩子是怎么想的，只有通过他们的说才能反映出来。为此，在进行整除意义的教学时，首先让学生独立研究（即自主探究），通过自己动手分一分、想一想，然后再小组合作交流彼此的想法、分法，求同存异，最后通过争论得出正确结论。这样的方法正符合新课程标准所倡导的学习方法。

2、让学生在游戏中体会、感悟。

玩，是孩子的天性，让孩子在玩耍中；轻松地获取知识是极好的学习途径。因此，在约数和倍数的概念建立之后，组织学生做游戏，在游戏中找具体数的倍数和约数，从中体会、感悟知识的内涵与外延。这正符合新课程标准所要求的重视学生的情感体验，重视学生的体会、感悟。同时也使学生感受到了数学的趣味性和无穷魅力。

3、置身于学生当中，做学生的`一员，增强与学生的亲和力。

古人云，亲其师则信其道。我觉得当今的教育也是如此。老师只有不断增强与学生的亲和力，学生才能乐意跟着学习。为此，在学习约数和倍数之前，我组织学生编号时，把自己也编入学生之列，并与学生共同游戏，置身于学生当中，使学生感受到教师就是他们的朋友，就是他们中的一员，这也正体现了师生平等的新理念。

《约数和倍数的意义》教学反思4

素质教育的重要着眼点是改变学生的学习方式。实施素质教育就必须要以学生的发展为本，要改变学生在原有的教育教学条件下所形成的那种偏重于记忆和理解、立足于接受教师知识传输的学习方式，帮助学生形成一种主动探究知识、并重视解决实际问题的积极学习方式，这是一种有利于终身学习、发展学习的方式。为了倡导这种学习方式，使素质教育落到实处，我在设计约数和倍数的意义这一课时，采用了以问题为中心，在教师的指导下，让学生以合作交流、讨论、自学等形式主动地去获取知识、应用知识、解决问题，从而使学生的`创新精神和实践能力的发展有了切实的落脚点。

综观整堂课，教师教得非常少，而学生讲得非常多，学生之间合作交流多，学生自主学习多，教师只是一个组织者和参与者，学生真正成为学习的主人，不仅积极参与每一个教学环节，切身感受了学习数学的快乐，品尝了成功的喜悦，而且不同的学生得到不同的发展，满足了学生求知、参与、成功、交流和自尊的需要。

《约数和倍数的意义》教学反思5

参与是个体投身认识与实践活动的过程和基本形式。学生主体参与教学是其在教学中主体地位最基本的表现形式，因而具有非常重要的价值。新课程的核心理念是以学生发展为本，让学生参与教学是课程实施的核心。参与的根本目的是解决学生会学习的问题，也就是会自主学习。因此，积极参与和有效参与二者就缺一不可。“约数和倍数”就是在这种理念指导下的有效尝试。

（一）、积极参与是学生自主学习的前提。

从情感上愿意学习就是积极学习，积极学习的情绪状态下学习效果最佳。因此积极参与是学生自主学习的前提。本节课从以下三个方面可以看出学生的参与是积极的：

1、情绪饱满，积极学习。本节课自始自终贯彻以学生为主体的教育理念，从开头的列举生活中的数学信息、看信息列算式、到算式分类，学生充分发表自己的观点；再到后面的练习，“练说倍数和约数”、“判断”、“咏雪”、到“动脑筋离课堂”就更热闹了，学生每人都想自己说。学生在课堂上表现出的状态是：抢着说、纷纷地说、热烈地交流，这些充分说明了学生具有浓厚的学习兴趣与高昂的学习热情。

2、频繁交往。扩大参与。素质教育强调面向全体，要求学生积极参与、全员参与，这就要求教者要为学生提供更广阔的交往空间，这种交往应该是多向式、交互式的，既有师生的交往，又有生生的交往。在本节课中，多次采用合作学习，学生都是人人参与，个个动脑、动口又动手。这些生生之间的交往，既为学生交往提供了广阔的空间，又能满足学生的求知欲，发挥学生的主观能动性，还能提高学生的智力活动水平。

（二）、有效参与是自主学习的保证。

新课程的培养目标是培养会学习的人。只有学会怎样去学，也就是会自主学习才能适应终身教育，而有效参与恰恰是思维的参与，思维的真正参与就能开发智力，培养创新能力。因此，有效参与是学生自主学习的保证。在本节课中有效参与表现为：

1、思维活跃。这是学生真正参与教学的关键所在。在本节课中，学生对除法算式的分类必须独立思考，约数和倍数的`概念必须自己看书自学，“动脑筋离课堂”也不是随便乱猜就可以离开课堂，要考虑哪些数是符合要求的才能猜出，知识的构建图要理顺新旧知识的关系才能完成。一句话，没有思考就不会有真正的收获。

2、独立学习时间多。独立学习的时间就是学生自由支配的时间。自由支配的时间是学生主体参与的必要条件，也是个性发展的必要条件。本节课的课堂教学中，教师努力把自由支配的时间还给学生，让每一个学生有更多的独立思考时间。

3、表现机会充分。表现是社会人发展的途径。小学生在校学习的过程实际上是个体社会化的过程，而表现则是一个人实现社会化的台阶。在本节课的课堂上，从对除法算式进行各种各样的分类引入整除开始，教师是处处放手，真正做到学生会说的教师不讲，学生有能力探究的教师不教，学生能够升华的教师不去总结，课堂变成了学生舒展灵性的空间。尤其在对待学生学习结果的处理上，“总结”这一大环节教师没有去做，而是给学生一种极好的自我反思的机会。

综观整堂课，尽管内容枯燥抽象，而且内容较少，我力求：教师灌输得不多，而师生的启发对话多，学生之间合作交流多，学生自主学习多，教师只是一个组织者、引导着和参与者，努力让学生真正成为学习的主人，不仅积极参与每一个教学环节，切身去感受学习数学的快乐，品尝了成功的喜悦，而且尽量使不同的学生得到不同的发展，满足学生求知、参与、成功、交流和自尊的需要。

第五篇：《约数和倍数》的数学教学反思

最近我上了“约数和倍数”一课。开头一部分最初我是这样设计的：

师：我们学了四年多数学了，我们都感受到数学其实就是有关“数”的“学问”。而数在我们生活中无处不在，你能举些例子吗？生：（举例）

师：老师这里也有一些含有数的信息（出示一组数据），你能选其中两个组成应用题吗？生：（口答组成的应用题及算式）教师板书。

师：请同学们观察以上这些算式，并根据算式的特点分类，分好后小组交流。（学生自己分好类后小组交流）

师：哪位同学来说说你是怎么分类的？

随后在思考这节课时，我发现按这样的方案上的话虽然能在一定程度上调动学生的参与积极性，使学生更多地参与进来，但耗时太多，情节太多太杂，这样既不能突出课的重点，也减少了这节课学生接受新知和练习的时间，显然得不偿失。于是我“忍痛割爱”把这一环节进行了简化：

首先出示9个算式，让学生进行口算，这样一方面进行基本训练，提高口算能力，另一方面让学生感受除法计算中的不同情况，为分组、认识整除埋下伏笔。

上完这节课后，丁主任对这节课进行了指导，我进而认识到，经过调整后虽然摒齐了对课的形式的过分追求，但对课的设计思考是不到位的。对教学的目标教师和学生还都不够清楚，重点还不够突出。于是我又进行了调整：

课一开始，教师首先揭示课题，并提问学生由这个课题想到了什么。这样就让学生在一开始就有一个明确的目标。然后教师直接点出：要认识约数和倍数，我们首先要认识一个非常重要的概念——整除。随后就出示已计算好的一组算式，看一下计算是否正确，再按照算式中被除数、除数和商的特点来进行分类。

第二次上这节课时，我就感觉到，教师和学生都有了明确的目标，也因为有了明确的目标，教师的教学思路清晰了，学生的学也有了明确的方向，从而也使得这节课的重点很好地体现了出来，效果明显比第一次上时好多了。

随着新课改的不断深入，我们从最初的狂热中逐渐冷静下来，也开始更多地思考如何重实效轻形式的问题。通过两改两上这节课，我进一步感受到，我们的数学课堂不是一定需要吸引人的问题情境来调动学生的学习积极性。清晰的思路、严密的逻辑、成功的体验，用数学本身的魅力来吸引学生，也许更有利于学生的长远发展。