北师大九年级数学上册第一章证明(二)复习要点

第一篇：北师大九年级数学上册第一章证明(二)复习要点

第一章知识要点

1.（1）三角形全等的性质（公理）：全等三角形的对应边相等，对应角也相等

.B

F

（2）三角形全等的判定（公理及推论）：SSS、SAS、ASA、AAS、2.等腰三角形的判定、性质及推论

(1)性质定理：等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）

.A

BC

(2)推论：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（即“三线合一”）.AB

D

C

(3)判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）.BC

3.等边三角形的性质及判定定理

（1）性质定理：等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于60 °.B

C

（2）判定定理：

①有一个角是60° 的等腰三角形是等边三角形.B

C

②三个角都相等的三角形是等边三角形.4.直角三角形

(1)勾股定理：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方

.A

CB

(2)勾股定理的逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形

.A

C

B

(3)含30°角的直角三角形的边的性质定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直

角边等于斜边的一半.A

C

B

(4)判定定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（HL）

(2)判定定理：在一个角的内部，且到角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上.A

B

C

E

5.线段的垂直平分线

(1)性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.(3)三角形三条角平分线的性质定理：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等

.A

B

B

(2)判定定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.C

7.尺规作图（基本作图）

（1）用尺规作图法作线段的垂直平分线：分别以线段的两个端点A、B为圆心，以大于 AB的长为半径作弧，两弧交于点C、D两点；作直线CD，则直线CD就 是线段AB的垂直平分线

.A

B

(3)三角形三边垂直平分线的性质定理：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等

.（2）用尺规作图法作出角平分线：在OA和OB上分别分别截取OD、OE，使OD = OE，分别以D、E为圆心，以大于 DE的长为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点C，作射线OC，OC就是∠AOB的平分线．

6.角平分线

(1)性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.B

第二篇：北师大初三数学证明二知识要点

证明

（二）知识点一、三角形分类：

钝角三角形

1.按角分直角三角形



锐角三角形不等边三角形2.按边分

底和腰不相等的等腰三角形

等腰三角形

底和腰相等的等腰三角形（即等边三角形）

二、三角形全等 1.三角形全等判定方法

① 公理 三边对应相等的两个三角形全等。（简称“边边边”或“SSS”）

② 公理 两边及其夹角对应相等的两个三角形全等。（简称“边角边”或“SAS”）③ 公理 两角及其夹边对应相等的两个三角形全等。（简称“角边角”或“ASA”）④ 推论 两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。

（简称“角角边”或“AAS”）

⑤ 定理 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等

（简称“斜边、直角边”或 “HL”）2.全等三角形性质

公理 全等三角形的对应边、对应角相等。

三、等腰三角形

（）定义：有两条边相等的三角形是等腰三角形。

(2)判定：可用定义

1.等腰三角形有两个角相等的三角形是等腰三角形。（简称:等角对等边）

(3)性质： 定理 等腰三角形的两个底角相等。（简称:等边对等角）



推论 等腰三角形顶多的平分线、底边上的中线、底边上的高线互相重合。（简称“三线合一”）等腰三角形是轴对称图形。（）定义： 三条边相等的三角形是等边三角形。

1(2)判定：可用定义

有一个角等于602.等边三角形的等腰三角形是等边三角形。

三个角都相等的三角形是等边三角形。



(3)性质： 等边三角形的三边相等。等边三角形三个角都相等且都等于60。等边三角形具有等腰三角形的性质。

四、直角三角形。

1.勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方；

2.勾股定理的逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角

三角形；

3.性质定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；

4.判定定理：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°。

5.性质定理：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半。

五、线段的垂直平分线。

1.性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；

（线段垂直平分线上的点有何性质）

2.判定定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。

（满足什么条件的点在线段的垂直平分线上）

3.三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。角平分线。（这一点叫做三角形的外心）

4.外心：三角形三条垂直平分线的交点叫做三角形的外心。5.三角形外心的性质：外心到三角形三个顶点的距离相等。

六、角平分线上

1.性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。

（角平分线上的点有何性质）

2.判定定理：在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。

（满足什么条件的点在角平分线上）

3.三角形三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等。（这一点叫做三角形的内心）

4.内心：三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心。5.三角形内心的性质：内心到三角形三条角平分线的距离相等。4.逆命题、互逆命题的概念，及反证法

如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题。

七、反证法、逆命题、互逆命题、互逆定理。

第三篇：北师大版,九年级数学上册,证明(二)(三)知识点总结（最终版）

第一章 证明

（二）知识点

一、证明三角形全等的方法

SSSSASASAAASHL

全等三角形的对应边相等，对应角相等。

二、与等腰三角形有关的定理

定义：有两条边相等的三角形是等腰三角形

1、等边对等角

2、等腰三角形三线合一（底边上的中线、底边上的高、顶角的角平分线）

3、等角对等边

三、与等边三角形有关的定理

定义：有三条边相等的三角形是等边三角形

1、等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于

60°

2、三个角都相等的三角形是等边三角形

3、有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形

四、与直角三角形有关的定理

1、在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。

2、在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一

半，那么这条直角边所对的锐角等于30°

3、勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于

斜边的平方

4、勾股定理的逆定理：如果三角形两边的平方和等

于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形

五、与线段的垂直平分线有关的定理

1、线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等

2、到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上

3、三角形三条边的垂直平分线相较于一点，并且这

一点到三个顶点的距离相等

六、与角平分线有关的定理

1、角平分线上的点到这个角的两边的距离相等

2、在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上

3、三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点

到三条边的距离相等

七、线段垂直平分线的作法

八、角平分线的作法

第三章证明

（三）知识点

一、平行四边形：

1、性质定理：

平行四边形的对边相等；平行四边形的对角相等；

平行四边形的对角线互相平分。

2、判定定理：

两组对边分别平行的四边形是平行四边形（定义）；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；两条对角线互相平分的四边形是平行四边形；两组对角分别相等的四边形是平行四边形。

二、等腰梯形：

1、性质定理：

等腰梯形在同一底上的两个角相等； 等腰梯形的两条对角线相等。

2、判定定理：

同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形。三、三角形中位线定理：

三角形的中位线平行且等于第三边的一半。

四、矩形：

1、性质定理：

矩形的四个角都是直角；矩形的对角线相等

2、判定定理：

有一个角是90°的平行四边形是矩形（定义）； 有三个角是直角的四边形是矩形；

对角线相等的平行四边形是矩形。

3、定理：

直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；

如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。

五、菱形：

1、性质定理：

菱形的四条边相等．

菱形的对角线互相垂直，并且每条对角线平分一组对角．

2、判定定理：

有一组临边相等的平行四边形是菱形（定义）；四条边都相等的四边形是菱形；

对角线互相垂直的平行四边形是菱形．

六、正方形：

1、性质定理

正方形的四个角都是直角，四条边都相等；

正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角。

2、判定定理

有一组临边相等的矩形是正方形（定义）； 有一个角是直角的菱形是正方形；对角线相等的菱形是正方形；对角线互相垂直的矩形是正方形。菱形的面积等于对角线乘积的一半。

七、中点四边形：

任意四边形的中点四边形是平行四边形；平行四边形的中点四边形是平行四边形； 矩形的中点四边形是菱形； 菱形的中点四边形是矩形； 正方形的中点四边形是正方形； 等腰梯形的中点四边形是菱形。

第四篇：北师大六年级上册总复习(二)

姓名：

年级：

六年级上

总复习

（二）课后作业解析：

王阿姨用25.12米的篱笆围成一个圆形菜地，这个菜地的面积是多少？

rC2Sr2

根据线段图列式计算

单位“1”：鸡的只数 1000×（1＋25%）

1妈妈买早餐，买的萝卜包比豆沙包多，正好多3个，萝卜包有多少个？

3单位“1”：豆沙包个数

1豆沙包个数：3÷=9（个）

31萝卜包个数：9×（1＋）

一款新手机在某手机店的标价是4000元，阿姨上网参加团购，只需要3400元。阿姨上网购买这款新手机比手机店便宜了百分之几？ 单位“1”：手机店手机标价（4000－3400）÷4000

欢欢是一个胖小孩，经过锻炼，她的体重是36千克，比之前轻了10%。她之前的体重是多少千克？ 单位“1”：欢欢之前的体重 36÷（1－10%）

甲是乙的11，乙是丙的，甲是丙的多少？ 3411 34

一条公路，第一天修了全长的11，第二天修了全长，这时距离中点还有125米，这条公路有多长？ 38111125（－－）

238

第 1 页

一、填空题

（分数混合运算）

1、最小的四位数与最大的三位数的差的

2、已知a）。

3、一个数的倒数的

4、有一根15米长的彩带，用去了

5、(9是（10）。

161bc（a、b、c均不等于0），那么a、b、c的大小关系是（）＞（）＞（561等于最小的质数，这个数是（714，还剩下（15）。）米。)11(15)170.5()1

（百分数应用）

1、排球个数比篮球个数多18%，排球个数相当于篮球个数的（）%。2、5千克的20%是（）千克，50米比40米多（）%，150吨比（）吨轻25%。

3、一只紫砂壶原价800元，现在降价80%，现在这只紫砂壶的价格是（）元。

4、一根钢材长12米，截去25%，还剩下（）米。

5、要修一条长300米的路，已经修了30%，再修（）米正好修完这条路的一半。

6、一个果园今年产苹果720吨，比去年增加了12.5%，去年产苹果（）吨。

7、小红在书店买了两本打八折出售的书，共花了12元，小红买这两本书便宜了（）元。

8、一件衣服80元，比原来降低了20元，这件衣服是打（）折出售的。

9、甲、乙两人同时从两地相向而行，在距离中点40米处相遇，已知甲行了全程的55%，两地相距（）米。

二、判断题。

（分数混合运算）

1，也就是男生人数是女生人数的1.2倍。5442、甲数比乙数多，也就是甲数=乙数＋。

774343

13、710710114、一件衣服先降价，再提价，价格不变。

10101、男生比女生多

第 2 页

（）（）（）（）

5、把一根6米长的绳子平均截成5段，每段长（百分数应用）

1、甲数是乙数的125%，乙数是甲数的80%。

1米。5

（）

（）

2、在4后面添上百分号，这个数就缩小到原来的1。

（）

3、一根1米长的绳子，用去它的50%后，还剩50%米。

（）

4、在含盐率是10%的盐水中，加入10克盐和10克水后，盐水的含盐率仍是10%（）

5、一件衣服降价20%出售，也就是打八折出售。

（）

三、计算题

1、直接写出得数。

6437＝7346

11－1＝45－1.4－1.06＝

20%5%＝

2、脱式计算

30%50%＝2550%＝

42255516

12425355（＋）24 6880（1－84%）

235－5＋5510.2532

81337[－（－）]24510

四、解方程

71125＋ 95911532x－85

5514＋2x99161x－877131x＋x 483第 3 页

0.25＋25%x1.5

五、看图列式计算

x－20%x40x＋50%x450x－25%x3

课后作业：

1、口算

20.68＋＋0.32＝3500.2%＝

2、脱式计算

570＝6191＋25%＝1111（－－）12＝1223

1125%＝787（－）8783、方程

217（）99817107＋ 1191194x－x1854、列式计算。

14x＋x26352＋2x 93 第 4 页

有点挑战：

1、学校买来35个足球，买来篮球的个数是足球个数的排球？

2、希望小学图书室购买故事书361本，购买的科普读物比故事书多

3、水果店今天共卖出香蕉48千克，下午卖出的香蕉是上午的4、黑熊皮皮买来一桶蜂蜜，第一天吃掉

26，买来篮球的个数是排球个数的。学校买来多少个733，购买的科普读物有多少本？ 87。上午卖出香蕉多少千克？ 92，第二天吃掉10千克，还剩一半，这桶蜂蜜原来有多少千克？

55、一堆货物第一次运走总数的20%，第二次运走的货物是第一次运走的1.5倍，第一次比第二次少运3吨，这堆货物有多少吨？

6、一辆汽车从甲地开往乙地，行了全程的20%后，距甲地160米，甲乙两地相距多少千米？

第 5 页

第五篇：北师大版八年级历史上册第一、二单元复习要点

北师大版八年级历史上册第一、二单元复习要点

第一单元:列强的侵略与中国人民的反抗

第一课: 鸦片战争的烽烟

背景: 第一:英国向中国大量倾销鸦片;第二:鸦片的输入给中华民族带来沉重的灾难.1839年3月林则徐到达广州,开始禁烟,.6月3日,林则徐在广州虎门海滩当众销毁收缴全部鸦片,前后用了23天,销毁鸦片110多万公斤.虎门销烟的意义: 向全世界表的了中国人民反抗侵略的决心和勇气,振奋了民族精神,维护了民族尊严.1840年6月,英国侵略中固广东海面,鸦片战争正式爆发.,1842年8月,英国直逼南京城下,用武力强迫清政府签订了《南京条约》.主要内容: 1,开放广州,厦门,福州,宁波,上海为通商口岸;2,中国赔款2100万银元;3,割让香港岛给英国;4,英国商人进出口货物缴纳的税款,中国须同英国商定.危害: 《南京条约》是中国近代第一个不平等条约.中固的国家主权和领土完整遭到破坏,丧失了独立自主的地位.古老的中国开始卷入世界资本主义的漩涡.“鸦片战争”是封建落后的中国同西方资本主义的第一次较量.魏源以《三国志》为基础编著了《海国图志》,提出“师夷长技以制夷”的主张.中国近代史以鸦片战争为开端.原因是社会性质开始发生变化.第二课: 劫难中的抗争

1856年英、法联军发动第二次鸦片战争.1860年10月,英法联军闯入了北京西郊著名的皇家园林——圆明园.同月,奕忻与英法两国签订《北京条约》,增开汉口,南京,天津为通商口岸.第二次鸦片战争前后,俄国割占中国东北和西北领土150多万平方千米.1851年,洪秀全在广西桂平金田村发动起义,建号太平天国,起义军称“太平军”,1853年占领南京,改名天京.定为都城,建立起与清朝对峙的政权.在浙江的一次战斗中,击毙洋枪队头目华尔.1864年7月,太平天国运动失败.19世纪60年代,阿古柏入侵新疆,1871年俄国出兵侵占伊犁.1876年,左宗棠进入新疆采用“缓进急战”的战术,收复阿古柏.1881年,中国收回伊犁.清政府于1884年在新疆建立行省（左宗棠意见）.第二次鸦片战争的标志是:英国炮轰广州.第三课甲午中日战争

1894年7月,日本不宣而战,发动了对华战争.8月,清政府被迫应战.称甲午中日战争.在黄海海战中,邓世昌指挥 ‘致远号’冲向敌舰,壮烈牺牲

清军主帅李鸿章命令舰队躲进威海卫军港“避战保船”日军海陆夹击,北洋舰队全军覆没.1895年,李鸿章与伊藤博文在马关签订了《马关条约》.其主要内容:清政府割辽东半岛、台湾、澎湖列岛给日本；赔偿日本军费白银2亿两；开、放沙市、重庆、苏州、杭州为通商口岸；允许日本在通商口岸开设工厂等。

影响:《马关条约》是继《南京条约》以来最严重的不平等条约，它大大加深了

中国的民族危机。

帝国主义瓜分中国的有:德国,俄国,法国,英国,日本.第四课:八国联军侵华活动

19世纪末,义和团开展,打出“扶清灭洋”的旗帜.1900年6月,英,俄,美,日,德,法,意,奥八个国家由英国海军中将西摩尔率领,从大沽口经天津向北京进犯.1901年9月,李鸿章与八国签订了《辛丑条约》.其内容为:（1）清政府向各国至赔款白银4.5亿两，以海关等税收作担保，分39年还清，本息共计9.8亿两；（2）划定北京东交民巷为使馆界，允许各国驻兵保护，不准中国在界内居住；（3）清政府保证严禁人民参加反帝活动；（4）拆毁天津大沽到北京沿线设防的炮台，允许列强各国派兵驻扎北京到山海关铁路沿线要地。

危害：《辛丑条约》是西方列强强加给中国人民的一副沉重枷锁。通过《辛丑条约》,西方列强进一步控制了中国，清政府完全成为西方列强统治中国的工具，变成了“洋人的朝廷”。

《辛丑条约》标志看中国完全沦为半殖民地和半封建社会.第二单元近代化的艰难起步

第六课近代工业的兴起

第二次鸦片战争后,奕,曾国藩,李鸿章,左宗棠主张学习西方的技术,这些人称为“洋务派”.其起初以“自强”为口号,创办了一批军事工业.筹建了北洋、南洋、福建三支海军.70年代又提出“求富”的口号,创为民用企业.洋务派运动是中国第一批近代工业企业.轮船招商局——中国规模最大的民用企业之一军事——江南制造总局

唐胥铁路在1893年通车,全长11千米,是当时中国最长的一条铁路,也是投入运营的第一条.1881年,天津与上海的电报线完工

《马关条约》后,爱国分子如张謇（状元）实业救国,创办大生纱厂.1909年詹天佑修好京张铁路,是中国人白己设计和修筑的第一条铁路干线.第七课维新变法运动

《马关条约》的消息传来后,康有为和梁启超等1300人上书光绪帝,反对议和,称“公车上书”,没成功.但维新变法从此拉开了序幕.严复译述《天演论》,提出中国只有变法维新,才能 “自强保种”.还宣传“物竞天择”观点.是中国近代的启蒙思想家.1898年6月,光绪帝颁布“明定国是”诏书,又称戊戌变法.其主要内容为:经济上:发展农工商业.政治上:开放言论,取消多余的衙门和无用的官职.军事上:训练新式陆海军.文代教育上:开办新式学堂,培育新式人才,废除科举考试上的八股文,创办报刊.戊戍变法失败原因:1.维新变法触犯了以慈禧大后为首的封建顽固派的切身利益,遭到他们的极力反对,顽固派力量过于强大,2.采取改良道路不符合中国半殖民半封建社会的国情.第八课辛亥革命

1894年11月,孙中山在檀香山建立兴中会,是第一个全国规模的革命团体,口号为“振兴中华”,1905年8月,孙中山联合华兴会,兴中会,光复会在日本东京成立中国同盟会,并推举为“总理”.此是第一个全国规模的资产阶级革命政党.纲领——“驱逐鞑虏,恢复中华,创立民国,平均地权”

目标——推翻清朝统治,建立资产民主共和国.旗帜（领导思想）——“三民主义”即民族主义,民生主义,民权主义.1911年10月10日武昌起义爆发,又称辛亥革命.1911年12月,选举孙中山为中华民国临时大总统,1912年1月1日就职.清朝的统治在辛亥革命的浪潮中崩溃,中国两千年的封建帝制结束——最伟大和最有意义.发布了一系列政治,经济和社会改革的法令，颁布了具有资产共和国宪法性质的《中华民国临时约法》.第九课开启思想解放的闸门

1915年9月,陈独秀在上海创办《新青年》杂志.应邀北京大学文科学长.新文化活动的兴起:

背景——北洋军阀掀起尊孔复古的逆流,先进知识分子出现.标志——《新青年》杂志的创办.人物——陈独秀,李大钊,胡适,鲁迅.主要阵地——《新青年》杂志和北京大学两大旗帜—— “民主”与“科学”.口号——“打倒孔家店”

内容——提倡民主,反对专制;提倡科学反对愚味;提倡新道德,反对旧道德;提倡新文学,反对旧文学.意义——激发广大青年追求新思想的热情,促使人们冲破封建思想的罗网, 探索救国求民的新出路,在近代中国掀起了一场思想解放的风暴.1917年胡适发表《文学改良刍议》主张用白话文代替文言文.陈独秀提出“文学革命”的口号.鲁迅是中国近代伟大的文学家,思想家和革命家,著作了中国文学史上第一篇白话小说——《狂人日记》.第十课清末民初的文化与教育

戊戌变法期间,光绪帝设立京师大学堂即今北京大学,这是中国近代弟一所国家建立的最高学府,也是百日维新留下的惟一成果.1904年,清政府颁布《奏定学堂章程》.这是中国近代第一个以教育法令公布并在全国实行的学制.1905年,清政府废止科举试.19世纪70年代,《申报》在上海创刊,是国近代第一份商业性报纸.1897年,商务印书馆在上海创办,是中国近代规模最大的文化出版机构之一.第十一课社会生活的变迁

照相术于19世纪30年代末诞生,40年代传入我国.1896年,上海徐园“又一村”放映“西洋影戏”这是中国近代第一次放映电影.1905年,中国人自己拍摄了第一部影片《定军山》.1912年3月,孙中山以临时大总统名义颁布剪辫令,革除“老爷”,“大人”等称呼,改为“先生”,“君”.等称呼.清末民初,最具特色的衣服是中山装,其融合了西式与中式服装的特点（男士）,女士服装方面,高领服流行,是现代中式旗袍的雏形