三角形课堂实录[范文]

第一篇：三角形课堂实录[范文]

三角形课堂实录

马安中学-----徐付军

一、对新授课课型的认识

如何优化课堂教学，让学生学会学习，是我们教育工作者追求的永恒的课题。“自主探究、合作交流”正是新一轮数学课程改革所倡导的学习方式．临沂市课题组就是本着这一教学理念，承担了新教学策略这一课题的研究，按照这一策略进行授课，有效地开展了自主学习，探究学习和合作学习，充分地展示了学生的思路、成果、疑惑，尽情的享受学习带来的满足感、成就感，极大地调动了学生学习的主动性和积极性，学生真正成了学习的主人。

本文整理了人教版七年级下册第七章 “三角形的边”这节新授课的实录并加以点评，作为新课程改革试验研究中的一个素材，以“促进学生全员发展、和谐发展、可持续发展和自主发展，全面提高课堂教学的水平与效率”为宗旨，以“学会学习”为主题，以“自主探究—尝试应用—成果展示—补偿提高”为基本教学流程，以“新教学策略”为载体进行试验和实施的。

当然，研究永无止境，改革需有待于进一步深化和优化，任何改革都须经历一个过程，本策略的试验有待于大家共同研究、完善和深化。

二、教材分析

1．地位与作用：

三角形是一种常见的几何图形，本节内容是学习三角形的基础和准备。其中三边关系体现了数学源于生活，反过来服务于生活的数学理念，是对学生现有生活经验的一种概括提升，同时又是后继学习的基础.2．教学目标：

①知识与技能：

了解三角形有关的概念，会把三角形分别按边、角分类。能运用三角形的三边关系解决实际问题。

②过程与方法：

在将三角形分类的过程中，进一步体会分类的原则及类比的数学思想方法；在参与操作、探索的学习过程中，掌握归纳、概括、反思、展示与交流和语言表达的方法与要领；在运用三角形的三边关系解决实际问题的过程中，进一步理解分类讨论的数学思想.③情感态度与价值观：

体会数学与生活的密切联系，培养学生的数学应用意识，提高学生学数学的兴趣.3．重难点：

本节内容重点是三角形三边关系定理，它不仅给出了三角形的三边间的大小关系，更重要的是提供了判断三条线段能否组成三角形的标准；熟练的运用三角形的两边之和大于第三边，是数学严谨性的体现，同时也有助于提高学生全面思考数学问题的能力，它在解决等腰三角形的周长与边长问题时又是给学生渗透分类思想的重要素材。

本节的难点一是三角形按边分类，很多学生常把等腰三角形与等边三角形看成独立的两类，而在解题时产生错误；二是利用三边关系定理解题时，求出三条

线段后，学生常常忽视检验它们是否能构成三角形，分类讨论思想在解题中也是学生感到困难的一个地方。

4．学前准备：每人准备长短不同的三条细木棒。

三、课堂实录及简析

第七章三角形7.1.1三角形的边

一、自主探究

1．情景引入

教师：展示多媒体课件：金字塔、飞机、香港中银大厦、分子结构等。从课件中你发现了什么？

学生：观察、欣赏课件中的图形，引起了强烈的求知欲。

教师：同学们，三角形是一种基本的几何图形，从古埃及的金字塔到现代的飞机，从宏伟的建筑物到微小的分子结构，到处都有三角形的形象。那么你知道为什么在工程建筑、机械制造中经常采用三角形的结构吗？下面就让我们一起来走进三角形的世界，探讨7.1.1 三角形的边。

学生：领会新课意图，情绪高昂地投入到学习中。

[评析]创设富有新意，联系生活实际的问题情境，让学生体会到数学就在我们身边，从而激起强烈的好奇心和求知欲，为下一步的自主学习奠定了基础。

2．自主学习

教师：同学们，三角形是我们生活中最常见，用途最广的几何图形，它是学习其它一切图形的基础，请你通过阅读课本，自主完成学案中的自主探究题组。学生：阅读课本，边看课本边完成学案中的自主探究题组。

教师：教师巡视,帮助做题有困难的学生，了解各小组的自主学习进展情况。

[评析] “一切天赋和诺言都不如习惯更有力量”，自主学习习惯是新课标的基本要求。为学生创新、发现、表现提供相应的平台、空间，使主动参与到自主探究的学习活动中去，这样不仅能开发出学生潜在的能力，而且又激活了学生学习的积极性.养成良好的学习习惯。

3．组内交流

教师：巡视、了解各小组的题组完成情况，及时搜集信息。

学生：完成题组后，各学习小组的同学自发地交流。

第1题各小组通过拼接，各种不同的见解在小组内产生了激烈的讨论，但最终达成了共识，对三角形有了新的认识。

学生1：第2题：对错误的叙述举出了反例，并归纳出理解三角形的概念应注意的三个条件：①不共线；②首尾顺次相接；③三条线段。

学生2：第3题：回答了如何数三角形的个数：①先数单个的三角形的个数；②再数相邻两个三角形能构成的三角形的个数；③然后数相邻三个三角形能构成的三角形的个数；④以此类推.并类比以前数线段的条数，角的个数。

教师：同学们，通过以上两位同学的发言，你有何感想？

学生3：通过以上两题的学习，我得到的启示：①学习新知识可以类比以前学过的方法进行学习，譬如数三角形的个数可以类比数线段的条数，角的个数等；②对较复杂的图形数个数时应按一定的顺序（标准）来数。

学生4：第4题：按边和角分别将三角形分类，并类比以前学习的有理数分类，体会分类时应注意：①分类应先选一标准；②分类时应做到不重不漏。教师：还有其它想法吗？可以起来说说。

学生5：对于第5题，通过作图，我体会到怎样的三条线段可以构成三角形？ 方法1：看其中任两条线段之和是否大于第三条。

方法2：看较短的两条线段之和是否大于第三条。

教师：很好！同学们都有了自己的见解，通过自主探究，你们可以交流一下自己的感受。

学生：我们学到了很多新的知识点；各知识点应注意的问题；题目中所渗透的数学思想和方法；解决问题所用的不同方法；还存在什么疑惑等等。

4．归纳总结

学生：自主归纳出方法、规律性的东西及该注意的问题。小组间互相争辩、矫正，个别题目教师以问题的形式启发学生来总结。

教师：针对学生回答的情况，对出现的共性问题在归纳中给出及时的明晰。从而让学生选择出此类题的做法。

[评析]因为学生的程度千差万别，学生在自主学习中，必然学到了一些新的知识点、方法和规律，同时也会产生新的疑惑，这时他们自发地在本组内充分交流，既给学生提供了展示表现的机会，又增强了学生的合作意识。当学生的归纳总结有缺陷时，教师适当的补充和提升.二、尝试应用

教师：通过刚才的自主探究，你们已对知识有了新的认识，对方法和规律有了更深的了解，究竟对新知识学习的如何？请完成自我尝试题组。

学生：

1．自我尝试

学生根据自主探究出的知识和方法，自主完成尝试应用中的题组.问题完全由学生自主解决。

2．自我反思

根据自我尝试所完成的问题，自主思考，总结出解决问题时所用的知识点、方法规律、问题解决的策略和易错点，从不同角度提出新的问题。并学会自我反思。

3．组内交流

教师：巡回指导，对学有困难的学生进行个别指导。

学生：全员参与。根据自我尝试，交流总结问题解决的方法、技巧、创新思路和未能解决的问题，为成果展示奠定基础。

[评析]自主探究的效果如何，必须通过应用才能知晓。知识是能力的基础，能力是知识的升华，升华的途径是应用和整合。所以，自主探究后，必须提供必要的问题让学生自行解决，方法是在应用中探究出来的，应用学过的知识解决新的问题是学生能力形成的根本途径，也是学生对自主学习效果的自我评价和检测。因此，尝试应用是自主探究的检测和深化。

三、成果展示

教师：同学们，通过刚才的讨论交流，你们完成的如何，想不想来展示一下你们的成果？

学生甲：我们小组在做第2题时，一开始是相信的，但在别的同学说明理由时，就马上感觉不太可能了。

学生乙：我们小组是通过量出靖宏伟（身高190cm）的腿长（84cm）后，才知道即使是姚明也不可能一步走两米多。

进而有学生谈了自己的感想：有些问题凭感觉，凭猜测是不准确的，而应该根据所学的知识说出理由才能确定。

学生丙：我们组在做第4题时，有些同学只考虑了一种情况，其他同学给予补充.通过第3题和第4题的解决，很多同学受到了启发：

①解决此类问题时要注意分类讨论（分类思想）。

②求出三条线段的长度后要注意检验是否能构成三角形。

[评析]学会分享与合作是研究性学习的目标之一，也是现代人必备的重要素质。学生在探究学习过程中形成的观点和看法，往往都还有很大的完善空间，这些空间的完善不能仅靠教师的讲解补充（甚至纠正）来实现，而应通过学生之间成果的交流，进行互动争辩，以实现自我完善。这样教师就要给学生提供充分展示自己的机会，创设一个交流争辩的平台，以增进相互之间的交流，使学生在展示中得到互补，在争辩中得到提高。通过成果展示，进行思维碰撞，点燃创新火花，从而培养了学生的成就感和自信心。

四、补偿提高

教师：同学们，通过本节课的学习，谈谈你们的收获。

学生甲：归纳总结本节学到的知识点、思想方法、易错点。

学生乙：首先受自主探究第3题的启发，以后如果遇到没做过，不会的题，可以借鉴以前学过的类似问题的解决思路和方法（类比思想）；其次通过情景引入和尝试运用的第2题的学习，我觉得只有努力学习，掌握了足够的文化知识，才能解决现实生活中的一些实际问题，才能提高自己的本事，为以后的工作和生活打下坚实的基础。

[评析]通过这一环节，既对前几个环节中出现的问题进行了针对性的补偿，又对学有余力的学生进行了拓展提高.特别是通过谈收获，学生又对本节进行了深度反思，对本节所涉及的方法规律、数学思想、易错内容等又进行了一轮回顾与理解。尤其是学生对学习方法和数学意识的总结，更体现出学生反思的深度和广度。

第二篇：全等三角形判定 课堂实录

12.2三角形全等的判定

题外话：先给大家谈一个教师节前一天发生在我身上的一件真实的事情。从中学到教管会，对于我这样一个路痴老师来说，竟然在镇上转到半个多小时。高德地图竟然把我带到了一个无路可走的地方。最后我询问了若干人之后，终于到达了目的地。（笑）这是什么原因呢？（对了。不认识路）所以说从一个地方到另一个地方路径很重要。数学也是如此。从已知的领域到未知的领域，研究路径很重要，相信本节课之后你一定有更深的感悟。

言归正传：

问题一：同学们能否在纸上快速的画出一个三角形呢？画完的请举手。（请你到黑板上画△ABC）

追问1：大家以闪电的速度画好了三角形，你能说出话三角形的依据吗？

（评价语：数学是讲究道理的学科，他行走的每一步都要有理有据。）

追问2：你知道三角形有哪些元素吗？

问题二：所有的同学还能快速的画出与上面的△ABC一模一样的三角形吗？

追问1：“一模一样”是从数学上怎么理解？

（预设：完全重合或者形状大小相同。）也就是全等三角形的定义，上一节已经研究过。

追问2：根据定义，你能说出全等三角形的性质吗？

（全等三角形的对应边相等，对应角相等）

问题三：如果要画出与△ABC全等的三角形，你认为需要哪些条件呢？

教师引导：

1.我们在前面学习过，同位角相等，两直线平行。以及他的逆命题，两直线平行，同位角相等。都是成立的。那么我们能否大胆类比:既然全等三角形的对应边，对应角相等。那么他的逆命题，三条边分别相等，三个角也分别相等的三角形，是否一定能满足全等？

2.有一些条件是相关的。比如，两个三角形的两组角分别相等，那么第三组角由三角形内角和定理一定会相等。他给我们的启发就是能否用较少的条件。去判断三角形全等吗？少是多少呢？大家都喜欢用最简单最快捷的方法解决问题。那我们就从最简单的“1”开始研究起。

追问1：你觉得一个条件可以是怎样的条件？（边，角）此时全等吗？

追问2：研究完了“1”，再研究几？（“2”），那两个条件，有你认为有哪些情况？（两边,两角，一边一角）

实践是检验真理的唯一标准。大家先画一画，再做判断。（生1画两边，生2画两角，生3画一边一角的情况）其他同学在下面画。

追问3：接下来，不用我说，大家应该研究几个条件的呢？（3个）三个条件又分为哪几类研究呢？（三边，三角，两边一角，两角一边）

一口吃不了胖子，我们先从“三边”开始研究。

追问4：课前已经画出了3㎝，4㎝，5㎝的线段。以它们为边画△ABC，尝试着画一画，会画吗？或者有困难吗？有困难的话小组交流。（之后教师集体引导，作出一条边后，三角形的两个顶点就确定了，关键就是如何确定第三个顶点）

追问5：此时相信大家一定能迅速的画出刚才的三角形。并裁剪下来，大家的彼此叠放一下，你有什么发现？

追问6：请用一句话表述你的发现。

（判定：三边分别相等的两个三角形全等。简写成“边边边”或“SSS”)

追问7：用三根木条制成一个三角形木架，它还会变形吗？为什么?(预设：学生会说三角形的稳定性。教师追问：不会变形，就是稳定，为什么具有稳定性？）SSS

过渡语：这是SSS的一个应用，我们再来看看更多的应用。

学以致用

例1

在如图所示的三角形钢架中，AB=AC,AD是连接点A与BC中点D的支架.求证：（1）△ABD≌△ACD.(2)你还能发现什么结论？

变式1：将△ADC翻折后，如图所示，AB=CD,AC=BD.求证：（1）△ABD≌△DCA（2）∠ADB=∠DAC,AC∥BD吗？

（3）

你还发现了什么结论？（AB∥CD等）

（4）

檫掉AD,平行还成立吗？（强调辅助线是一条神奇而重要的线）

变式2：已知，AB=CF,BD=CE,AE=DF,求证：AB∥CF

变式3：与变式2中的条件不变，你又能得到那些结论？

（开放设计）

小结梳理：学完本节课，你有什么收获感悟或疑惑？请你谈一谈。

我们练习了这么多题，图形不断变化，好多结论都是你们自己发现的，而且你们好像越做越轻松，越做越快。大家考虑过原因吗？能否对解决的问题做一个总结？

(备注：△ABD为白色不动，△ADC换为红色，分别通过翻折、再平移、获得变式1、2、3的图形）（备用）

（方法归纳:

1.学习任何一个几何图形，我们都有研究的方向与路径，一般按照定义、性质、判定、应用的程序进行的。同时在探究一个问题时，也要讲究条理性，层次清晰。

2.借助于翻折、平移、旋转由静到动，形成了千变万化、丰富多彩的图形世界。但再仔细想一想，千变万化背后是有其本质的。多个题目最后都是通过SSS证明全等，进而获得角相等，线段平行或垂直或是平分角。这就是多题归一，用的是通法，是解题的更高境界，也是数学中变与不变的本质，更是数学的魅力所在。）

作业：1.将例1中的图形△ABD依旧保持不动，另一个三角形进行（翻折、平移、旋转的）图形变换，形成新的图形，设计出新的问题，并证明或解答。（在一张纸上做，并上交）

2、其它题目3-5题。多做不限。

板书设计：

第三篇：《三角形的面积》课堂实录

三角形的面积

教材分析：三角形的面积是本单元教学内容的第二课时，是在学生掌握了三角形的特征以及长方形、正方形、平行四边形面积计算的基础上学习的，是进一步学习梯形面积和组合图形面积的基础，教材首先由怎样计算红领巾的面积这样一个实际问题引入三角形面积计算的问题，接着根据平行四边形面积公式推导的方法提出解决问题的思路，把三角形也转化成学过的图形，通过学生动手操作和探索，推导出三角形面积计算公式，最后用字母表示出面积计算公式，这样一方面使学

学情分析：学生在以前的学习中，初步认识了各种平面图形的特征，掌握了长方形、正方形、平行四边形的面积生初步体会到几何图形的位置变换和转化是有规律的，另一方面有助于发展学生计算，学生学习时并不陌生，在前面的图形教学中，学生学会了运用折、剪、拼、量、算等方法探究有关图形的知识，在学习方法上也有一定的基础，教学时从学生的现实生活与日常经验出发，设置贴近生活现实的情境，通过多姿多彩的图形，把学习过程变成有趣的、充满想象和富有推理的活动。

教学目标：

1．知识与技能：引导学生用多种方法推导三角形面积的计算公式，理解长方形、平行四边形和三角形之间的内在联系。

2．过程与方法：使学生经历操作、观察、讨论、归纳等数学活动，进一步体会转化方法的价值，发展学生的空间观念和初步的推理能力。

3．情感、态度与价值观：让学生在探索活动中获得积极的情感体验，进一步培养学生学习数学的兴趣。

教学重点：理解并掌握三角形面积的计算公式。

教学难点：理解三角形面积的推导过程。

教法与学法：教法：演示讲解、指导实践。

学法：小组合作、动手操作。

教学准备：三角形卡片、多媒体课件

教学过程：

一、创设情境，引入探索

师：同学们，我们每天都佩戴着鲜艳的红领巾，高高兴兴地来到学校学习新的知识，那你知道做一条红领巾需要多少布料呢？（不知道）我们佩戴的红领巾是什么形状的？（三角形），怎样计算三角形的面积呢？这节课我们就一起来研究三角形的计算方法（板书课题）

[设计意图]通过情境的创设，给学生提供现实的问题情境，使学生产生解决问题的欲望，积极主动地参与到学习活动之中。

二、自主合作，探究新知

1、复习近平行四边形面积的求法

师：回忆一下，平行四边形面积计算公式是什么？是怎么推导的？

师：我们是先把平行四边形转化成长方形，运用学过的长方形面积的计算公式，找到平行四边形与长方形之间的联系，推导出了平行四边形面积的计算公式，今天这节课，我们继续用转化的数学思想来探索三角形的面积怎样计算。[设计意图]抓住新旧知识的生长点进行复习，检验学生对已有知识的掌握情况和转化思想的理解情况，建立起新旧知识的联系，为学习新知做好铺垫。

2、第一次操作实践

师：好，那怎样把三角形转化成我们所学过的图形呢？请同学们拿出学具袋里的各种三角形，两人一组想一想，拼一拼。（教师巡回指导）

3、交流反馈

师：同学们都拼好了，谁来说说你是怎样拼的？

生：我用两个直角三角形拼成了一个平行四边形。

师：我这也有两个直角三角形，可是拼不成，为什么？你有什么发现？

生：要用完全相同的三角形来拼。

师：你拼时怎么知道是两个完全相同的三角形呢？

生：把两个三角形重合就知道了。

师：对，要用两个完全相同的三角形来拼。

师：还有不同的拼法吗？

生：我用两个完全相同的锐角三角形拼成了一个平行四边形。

生：我用两个完全相同的钝角三角形也拼成了一个平行四边形。

（学生汇报并且交流拼法，明确用两个完全一样的三角形能拼成一个平行四边形。）

师：看看这几种拼法它们有什么共同点呢？认真观察，同桌互相说说。

4、第二次操作实践

师：说的真好，刚才同学们把两个形状完全一样的三角形通过拼组，转化成了平行四边形，也就把三角形面积的计算和我们刚学过的平行四过形面积计算联系起来了，下面我们再次合作，根据你们转化的图形，找到它们之间的联系，推导出三角形面积的计算公式。（生讨论交流）

[设计意图]放手让学生自己通过前面的拼摆操作，探索三角形与拼成的长方形，平行四边形或正方形之间的内在联系，能够使学生更好地理解三角形面积公式的推导过程。

师：谁来说说你是怎样推导的？（学生汇报）

师板书：三角形的面积＝底×高÷

2师：你们的发现太棒了！下面请同学再仔细观察所拼成的平行四边形的底与三角形的底，所拼成的平行四边形的高与三角形的高看看有什么发现？

师：我们把这种相等的关系叫等底等高。

师：那么三角形的底乘以三角形的高求出的是什么？

生：与三角形等底等高的平行四边形的面积。

师：为什么除以2呢？

生：因为三角形的面积是与它等底等高的平行四边形面积的一半，所以要除以2。

师：大家同意吗？无论什么样的三角形，它的面积都可以转化成平行四边形的面积来计算，所以我们得到三角形的面积公式＝底×高÷2

师： 除了刚才我们用的三角形面积公式推导方法外，请同学们再用剪拼的方法进行推导。

师：学生小组讨论：怎样剪拼可以推导出三角形的面积公式？

师：请学生展示剪拼过程

生：（三角形的面积）（三角形的底）（三角形高的一半）

三角形的面积=底×高÷2

师：老师还会一种推导方法，叫折叠法，看哪位同学最聪明，能用这种方法推导出三角形的面积。

师：请学生展示折叠过程

生： 长方形的面积=长×宽

（三角形的面积）（三角形的底÷2）（三角形高的÷2）

4、教师小结：我们用拼图法、剪拼法、折叠法的方法把三角形转化成学过的图形，推导出了三角形的面积公式。那么，如果用字母a表示三角形的底，h表示三角形的高，S表示三角形的面积，你能用字母表示三角形的面积公式吗？

板书： S=ah÷2（生齐读）

三、巩固应用,巩固拓展

（1）师：利用三角形面积公式，我们可以方便地解决一些实际问题了！老师这里有一条红领巾，求它的面积，你需要知道什么条件？你能估测一下这条底边有多长吗？（100厘米）

师：（出示课件）它的高是33厘米，你能计算出它的面积吗？ 在练习本上算一算

〔设计意图〕在解决实际问题中巩固新知，培养学生学数学、用数学的思想，感受数学的价值。

（2）我们经常见到类似的标志的标志牌（课件出示），你知道这个标志牌的面积吗？谁口算一下。

3×4÷2＝6（平方分米）

2.5×4.8÷2＝6（平方分米）

师：都是这样做的吗？为什么不用2.5分米？

如果这条底边是4.8分米（课件出示）还可以怎样列式。（2.5×4.8÷2）

师：通过这道题的解答，你明白了什么？

〔设计意图〕通过解决实际生活，提升学生思考能力，培养学生认真观察的能力。

（3）你认识下面的这些道路交通警示标志吗？

向右急转弯 注意危险 减速慢行 注意行人

师：我们学校的上下两个路口在放学时经常交通混乱，为了改变这种状况，交警队准备用铁皮制作四块这样警示牌，你能算出需要多少铁皮吗？（课件）学生试算

〔设计意图〕这道练习的设计，既巩固了数学知识又自然地渗透了安全教育。

（4）小精灵也给大家带来了问题，请大家看屏幕

师：下图中哪两个三角形的面积相等？你还能画出和它们面积相等的三角形吗？

学生打开书87页，在书中画一画

师：你画出了几个面积相等的三角形？如果给你足够的时间你能画出多少个这样的三角形？

生：无数个

师：通过画这样的三角形，你发现了什么？

生：三角形的面积与底和高有关，与形状无关。

[设计意图]让学生通过思考、讨论、揭示“等底等高的三角形，它们的面积相等”这一规律。

四、总结收获 这节课我们运用转化的思想，通过拼摆把三角形转化成与它等底等高的平行四边形，推导出三角形面积公式，大家还有不明白的地方吗？实际上我们还可以运用剪拼或折叠的方法来推导三角形面积公式（课件演示）课下同学们可以动手试一试。

师：同学们，这节课你最大的收获是什么？

生：我学会了三角形的面积怎样计算。

生：我学会了用转化的方法推导三角形的面积计算公式。

师：下节课我们继续运用转化的思想探究梯形面积的计算方法。

[设计意图]通过反思和总结，能使学生建构的知识框架更加清晰、明了，使学生不仅掌握了知识，而且也掌握了学习方法。

第四篇：《三角形边的关系》的教学设计和课堂实录

我观看了《三角形边的关系》的教学设计和课堂实录后，从有效开展探究性学习活动的价值来看，我觉得这堂课以下这些环节的设计体现了探究：

1、从四根中任选出三根，首尾相连的围成三角形，我们四人一组，把围三角形的情况填写在实验记录单上。

2、学生亲自动手操作，取任意三根不同颜色的小棍首尾相连进行组合，看是否能组合成三角形。通过探究活动，进而得出结论：任意两边的和大于第三边。其探究价值是：在这个过程中充分的调动了学生的动手、动脑，发挥学生个性，发张四学生思维能力，体现了学生学习的主体地位。

3、本节课注重培养学生的逻辑推理能力, 逻辑推理能力应该是学生必须具有的基本数学能力之一。数学中的逻辑推理能力是指正确地运用思维规律和形式对数学对象的属性或数学问题进行分析综合、推理证明的能力。那教学中如何培养学生数学逻辑推理能力呢?

一、重视基本概念和基本原理的教学数数学具有严谨逻辑性的特点,逻辑推理能力应该是学生必须具有的基本数学能力之一。数学中的逻辑推理能力是指正确地运用思维规律和形式对数学对象的属性或数学问题进行分析综合、推理证明的能力。那教学中如何培养学生数学逻辑推理能力呢?

一、重视基本概念和基本原理的教学数学知识中的基本概念、基本原理和基本方法是数学教学中的核心内容。基本概念、基本原理一旦为学生所掌握,就成为进一步认识新对象,解决新问题的逻辑思维工具。如果没有系统的科学概念和原理的掌握作为前提,要进行分析、判断、推理等思维活动是困难的。

二、结合具体数学内容讲授一些必要的逻辑知识在数学教学中,结合具体数学内容讲授一些必要的逻辑知识,是学生能运用它们来进行推理和证明。培养学生的推理能力,必须掌握逻辑的同一律、矛盾律、排中律和充足理由律等基本规律。教师应该结合数学的具体教学帮助学生掌握这些基本规律,使他们明了不能偷换概念和论题。要使学生懂得论断不能自相矛盾,在同一关系下对同一对象的互相矛盾的判断至少有一个是错误的;论断不得含糊其词,模棱两可,在同一关系下,对同一对象的判断或者肯定或者否定,不能有第三种情况成立.引导学生把这些已有的知识和资料进行分析、逻辑、推理，也就培养了学生的推理能力。

第五篇：华应龙《三角形的三边关系》课堂实录

——“千课万人”第二届小学数学生态课堂教学研讨观摩活动

这是本人做的一节课堂实录，没有经过华应龙老师的同意！花了好几个下午才搞定，呵呵，真不容易。

感觉一：要仔细观摩一节课，你最好做这节课的课堂实录。如果你爱她，就让她到草原；如果你恨她，请带她到草原。两者有点相似的味道。

感觉二：确实是独具匠心，我们这辈子怕是达不到了。对了，这就是“名家”的含义了。

感觉三：有些话从他口中讲出来，学生就特明白，这些语言就是“千锤百炼”的例子了。

感觉四：要上好一节课，特别是借班上课，还真的要有主持人的功力，呵呵，随机应变、套近乎什么的。有时候，也真为老师难受„„

感觉五：老华同志也遭遇了“时间不够”的问题，自己看吧，会心一笑吧„„ 这节课应该说不新了，因为刚才我们学校的老师已经上了一遍，我现在再上一遍，肯定不一样，所以当时我们会务的老师跟我要教案的时候，我说：真的还没有，还没有形成一个教案，所以我想等会儿这节课讲完之后，请老师们多多地给予我“批”和“评”。请大家多多关照！（抱拳、鞠躬）谢谢！谢谢！师：同学们好！生齐：老师您好！

师：真好！我就听刚才有人的那个声音好像还没有放开。同学们好—— 生（大声）：老师您好！

师：我这有两个话筒，你身边没有话筒。那好，这个话筒„„红衣服女孩，放你这，旁边那有同学发言，就请你帮我给他们吧，好不好？这个话筒呢„„（轻拍话筒试音）行，放你这吧。那这样，我们今天要大家一起合作，刚才老师发了一个信封，是两个同学合用的，明白？两个人合用。然后还有一把剪刀，带了吗？拿出来吧，拿出来。

师：好了。这堂课我们就是动手„„还有„„（生）动脑，当然也要动嘴了，要表达出来对不对？我们是彩虹小学，对吧？是几班？（生接：四（4）班）四（4）班。认识我吗？ 生：华老师！

师：哦，怎么知道我是华老师的？哪个华？中国人就是“华人”。每一个中国人，不管是大陆的，还是台湾的，都是一条龙。我的名字——华应龙！我们一起上课，已经有话筒了，等会儿我想，接着，我要提醒的：等会儿我们不但要动手、动脑、动嘴，还要比谁的眼睛更厉害。刚才我也注意到了，有同学眼睛不看我，却看上面这个大屏幕（笑）。哟，真是可以看到我们自己，不过那不要，不要看那大屏幕，好不好？你可以看下面两个小屏幕，好不好？好，可以上课了吗？ 师：屏幕上出现三根小纸条（红、黄、蓝）。好，上课！同学们好！生：老师您好！

师：真可爱！请坐。好，孩子，请看这：三根纸条，如果每根纸条代表一条线段，能用这三根纸条，围成一个三角形吗？好，你来，试一下，过来吧。哇塞，你从那边过来就行了。我们看看她是怎么围的。生围好后，学生自发为其鼓掌。

师：孩子，就这么一围，就让我感觉到——四几班的？四（4）班的同学前面的认识学得非常棒！（竖起大拇指）是，应该这么围。不过，好像还有一点小问题吔。你觉得哪还要调整一下？你来吧，女孩。我们看她调在哪。哦，sory!我刚才没拿话筒。

生：我认为这个线段上（指顶点处）应该调整一下，因为这里有点多出来了。师：同意吗？我喜欢这样的认真，就差一点点都不行！是吧，必须是顶点和顶点相连，是不是？为什么要这么做？你看到的三角形，围成的三角形在哪？是不是在这？就是这三根纸条围成的中间的空白的部分。是不是？这样围，才是真正地用上了三根纸条的长度，对不对？好，那现在，你会围三角形了吗？打开信封。把纸条拿出来。几根？对，两根，两根，别找了！就是两根，都是两根。咦，用这两根纸条能围成一个三角形吗？怎么做就行了？对，剪，把其中的一根剪一刀，一刀两断，就有了三根纸条，就可以围了，是不是？不过，请注意，剪的时候，我们应该这么剪（剪刀与纸条垂直），而不应该这么剪（斜着剪），明白吗？那下面我们就来个比赛：看哪一桌的同学围的三角形最标准，最规范；比比哪一大组的同学完成得最棒！好不好？时间：30秒钟。开始！（钢琴曲响起，学生操作）

师：好，时间到了，时间到了！这样，围成三角形的请举手。哇，这大组大部分全部完成了！这一大组也全部完成了，第一大组、第三大组、第五大组，很多人都没有完成。差距怎么这么大呢？你有什么问题吗？看看你能发现什么问题？ 生：我觉得两条短的边，跟下面这条一摸一样长的话，两个顶点接不上。师：哦，这是你发现的一个答案了！不是发现的问题。我们说发现问题，答案等下再说，只说问题。女孩。话筒呢，话筒赶快过去。生：我觉得好像剪蓝色的那条线，好像拼不成一个三角形。师：她的问题是：好像拼不成一个三角形。注意提问题噢，是提问题，不是说你通过刚才的实验，得到了什么结论。而是你从刚才的大组的差距那么大，有的组全部完成了，有的组全部没完成，有的组少数同学完成，有什么疑问？孩子！是不是可以问很多很多的问题呀！（屏幕逐个出示：发现问题——

大组之间的差距怎么这么大呢？

难道有了三条边，还不一定能拼成三角形？

拼成的，为什么拼成了？

没有拼成的，为什么没能拼成呢？

能不能围成三角形与什么有关？

三角形三条边之间有什么关系呢？

是不是可以提很多问题出来呀。我想，你肯定还有一些其他问题。嘿，那么，大组之间的差距怎么这么大呢？你想说是吧？说吧，小伙子！

生：嗯„„我觉得、我觉得应该是一个大组剪的一条边，另一个大组剪的是另一条边！

师：哦，呵呵呵，你发现这点了，很能动脑筋，小伙子！我佩服，来，给他掌声！他发现了有的小组剪了一条边，另一些大组剪了另一条边。不过，我们有了约定啊，好了，孩子，我是“刘谦”，刚才在发给你们的信封上做了手脚，第一、第三、第五小组的两根纸条是一样长的；第二、第四小组的纸条是一长一短。呵呵，我忒不老实是吧！有意见，是吧？啊，不管他。其实这是表面的，别后的原因是什么呢？好好分析一下，成功失败都是收获！来，孩子，围成的同学，来，第二大组，有围成的吗？围成的过来展示一下，最后一个小伙子，带着你的纸条，到前面来。请到前面来展示，你一边说，一边做，好不好？先把两根纸条还原。生：（把黄色纸条的拼回原来的样子）我们先这样想的，本来蓝色的纸条就比黄色的纸条短。

师：（打断学生的话）稍等稍等。

生：本来这个蓝色的纸条就比桔黄色的纸条短，如果再剪成一半的话，斜线就比直线要短了。所以的话，肯定拼不成。那我们就剪橘黄色的，然后（边拼摆）我就这样子的。（仔细地让每条纸的一个角对着另一条纸的一个角）好了。（学生自发鼓掌）

师：很棒，很棒！咦，听清了吗？看看，真的拼成了，不过还可以稍微地调整一下，是不是？应该是顶点跟顶点相连，看到了吧，那，还可以再调整一下，是吧？来，来来来，小伙子，继续！过来。还差一点点，是吧？这样子，（笑）我发现越调越乱了。来来来，稍等稍等，我帮你，我帮你，（帮学生摆）你眼睛盯着看。好。（学生又自发鼓掌）这样行不行？围成一个三角形，行不行？想想，为什么就围成了呢？有没有想过呢，三角形三边之间有什么关系呢？来，最后那个女孩，话筒！赶快！

生：他那三条，两条斜线，下面那条底线。两条斜线一定要比下面那条线长一点，不然如果它是比下面那条线段短的话，那么，他最上方的那个顶点会出现一定的空隙。（师不置可否，学生有几人自发鼓掌）

师：嗯，好，同意是吧，掌声表达了，是吧？对，还可以点点头。嘿，刚才我觉得那位同学我很佩服的。除了他围成了一个非常规范的三角形而外，他还说了个，他说：我不能剪短的，有没有人剪短的？觉得剪短的行不行？他刚才说了为什么剪短的不行？哪个人说，剪短的为什么不行？来，你说！话筒，话筒。生：嗯，因为那个短的本来就比长的要短，如果再剪短的话，那、那、那、那两条更短的边比那条长的边还要短，这样就不能拼成了。

师：嗯，真好！真好！孩子。所以我觉得刚才我欣赏那位同学，包括和那位同学一样想法的同学。非常棒的就是，我们拼成的，一长一短的两根纸条拼成一个三角形，不是碰巧拼成了，而是我们思考过了。来，我们实际看看：如果两根纸条，一长一短，来剪那根短的，会是什么结果。（师操作：剪，然后拼在两端顶点上，中间有很大空隙搭不在一起）能拼上吗？为什么就拼不上了呢？为什么拼不上？来，小女孩。

生：因为蓝色的这条线段，要比红色的这条线段要长，之后拼成，如果把红色的线段再剪短的话，本来就比蓝色的线段长了，它就不能拼成一个三角形。师：什么？你听到了吗？把话再说一遍，为什么拼不成？

生：因为红色的线段比蓝色的线段要短，再把红色的线段再剪短的话，就不能„„ 师：嗯，没有“再剪短”，只把它们一分为二了，呵呵，是不是？ 生：（继续）就不能拼成一个完整的三角形。

师：谁能比她说得更流畅一些！（拇指竖着对发言的学生）佩服，你是第一个站起来说的，说的就是对的。来谁能比她说得更流畅一些！来，那女孩，最边上的那个女孩。（面向大家）你想想，应该怎么说呢？为什么就没本能拼成呢？ 生：我认为的话，它本身就是比它这条边短，再剪短的话，它„„

师：注意，注意，你说得又跟她一样。她说“再剪短”，不是，把它分成了—— 生：两份了。

师：这两份合起来—— 生：合起来两份，斜起来就更短了，然后就拼不成了。

师：哦，我明白了，还是刚才我错了，你是对的！你的意思就是本来就更短，斜起来就更短了，就拼不成了，是这意思，是吧？谢谢你教育了我，你想的是对的。斜起来就更短了，（双手指上翘斜起来），往下一点，就更靠近了，但是，能够接得上吗？接不上，是吧。但你想一想：怎样才能围成一个三角形呢？怎样才能围？话筒拿在手中啊。

生：我们剪那条较长的那根线段，就能围成了。

师：剪短的就不行，剪长的就行了，是吧？你这么想想：剪长的为什么就行了？剪长的为什么就行了？是不是刚才那位女同学说的，因为把长的一分为二之后，那两条边的和怎么样——

生：如果我们把那个短的剪短的话，“曲线”是比直线短的，那就会更；如果我们剪长的话，“曲线”就可能跟直线差不多长。

师：好，孩子，明白他的意思？（在实物投影上指着说）这是一个曲的，这是一个直的，它这两条边合起来肯定要比这条边怎么样？（生：长）说得真好！我觉得更佩服你的，是你能够联系以前所学过的知识：直的更短，拐弯的、曲的就怎么样——长了。真好，咦，孩子，不说了，看看，刚才这样一个剪短的和剪长的，有剪短的做比较，我们就更好地认识了剪长的才行，为什么？是不是呀？这就像空气一样，我们置身其中毫不觉察，当我们的身边没有空气了，我们不能活了，才会感觉到空气的重要。是吧，往往我们都是等到失去了，才知道曾经拥有过。人一般都是这样。（笑）

好，孩子，我们刚才知道了：三角形必须，它的两条边要怎样？这两条边的和，比第三条边短行不行？怎么才行？哎，要比它长！也就是说：两边的和要怎么样？（生：比第三条边„„）对，比第三条边怎么样？对，比第三条边长。也可以用一个词叫“大于”第三边，两边的和大于第三边，是吧。三角形具有这样的特点。哎，刚才我们是拼成的，一长一短的。我们发现了，刚才那个没有拼成的，第一大组是两条一样长的，是不？第三大组也是，是吧？哎，两个一样长的，有没有拼成的？你，说！

生：不可以拼成，因为曲线本身就比直线短，本身两条边是一样长的。如果把它改成曲线的话，那就更短了，就拼不成了。

师：嗯，要注意，我们本来两个纸条是怎么样？一样长的。请你们再考虑一下他说的话。好了，孩子。请问刚才两根纸条一样长的，有没有拼成的？有没有？看见有人举手的。来、来、来，第五大组，刚才不就有人举手的吗？来，过来展示一下。来，就这上面。先把两根纸条还原，让我们看到是什么样的。

生：嗯，他就是两根一样的，两根一样的可以把一根剪断，或者把另一根剪断，都是一样的。师：（笑）只要剪断其中一根。来，稍等，孩子！好。生：先剪断蓝色的这根，这样就可以了。

师：怎么样？（生自发鼓掌）我佩服你的勇气！那么多人都没举手，你还敢到前面来做，并且还真的做成了！来，为他的勇气鼓掌！真好，真好！哎，刚才你们其他人说拼不成，现在不是拼成了吗？嗯，你说？

生：嗯，因为那个两边的和等于或者大于第三边，都能拼成三角形。

师：哦，好，很好，小伙子！修改我们刚才的结论了。不是说“大于”，“等于”也行是吧？同意的请举手。真好，真好！我为你们及时地修改自己的观点感到高兴。（发现刚才操作的学生准备收拾实物投影仪上的东西）哎，拿了？放在那边呀。等一会儿，等一会儿。事情没结束呢！故事还没完！（学生赶忙重新拼）你怎么这么为难我们，还让我们这么歪着脖子看。（笑）哎，再看看他拼的这个三角形，你同意吗？你觉得哪要调整？来，女孩，你说，让他调整。话筒在旁边。生：他右边那个顶点没对牢。

师：右边那个顶点没对牢。现在怎么样？对牢了？满意了吗？再看看，是不是发现左边的点也没有对牢，快，调整呀！哎，右边又没有对牢，看，这。嗯，是，他眼力真好，发现中间又分开了，是吗？现在行了吗？行了？有没有不同意见？有没有人坚持自己的观点？刚才修正自己的观点，我觉得非常佩服！现在——看看，还真是拼成了耶。好像还差点，你发现了吗？看这个屏幕，看是不是还差点。这是不是也差点？是吧，是不是右边再调整啊，不调整了，不调整了。不过，我很喜欢刚才我们同学这种认真劲儿，是（回过身板书：就差一点点）就差一点点，究竟行不行？行不行？认为行的举手。举高点。认为不行的请举手。就差一点点怎么就不行呢？有没有人能说出理由？来，女孩！

生：我认为三角形它是由三个顶点组成的，它现在就差一点点，快要，那两个顶点快要没了。那么，就不行了。它两个顶点没有了。

师：就差一点点，那这就是两个点了，是吗？如果说，我们现在就吻合得很好，是不是也要考虑：可能是纸条——对，不是那么特别的准确，不是一样长的，是吧？还可能有误差，是不是？哎，孩子，其实啊，我们学数学，很多的时候是不能够相信自己的眼睛的。刘谦的魔术看过吗？眼睛告诉我们：那都是真的，其实是什么——（生接：假的）。真的是不可思议，是不是？那现在，你闭上两只眼睛，睁开你的第三只眼。（众笑）第三只眼在哪呢？在眉毛之间呢！如果你不知道第三只眼，下课以后，回家以后可以“百度”一下：第三只眼是什么。好不好？嗨，闭上双眼，睁开第三只眼，看一看：如果两根纸条是一样长的，把其中的一根一刀两断，然后把它们拼起来，顶点跟顶点接在一起，顶点跟顶点接在一起，能不能围成一个三角形呢？还拱得起来吗？看到了吗？能不能围成？（笑）有人说不能，有人说能。我为你们说真话，感到高兴，来，鼓掌。好，孩子，我们一起看一看。（媒体演示，边解说）两根纸条一样长，把其中的一根剪开，然后来围，行么？（演示：停在中间）哈，还差一点！（演示：再往下压一点）行吗？（演示：再往下压一点）行吗？行不行？有人说行！是不是那还差一点点？是不是？（演示：街头处碰在一起，但已经落在平行的位置上了）什么时候才能够顶点和顶点完全地连在一起？什么时候？来，最后一个小伙子。生：是——嗯，跟另一条线一样平的时候，可以那个对牢。

师：哦，一样平的时候，它们才是完全相等的，是不是？哦，那你说：两根一样长的纸条，像这样其中一根剪开，还能围成一个三角形吗？你有话要说，是吧？可以，那话筒。

生：既然纸条不能，我觉得用点来试试看。师：纸条不行，用“点”？ 生：嗯！

师：你是我的知音！根本不是用“点”，而是（笑）——纸条不行，更细一点的“线”，是不是？（演示：两根线段）是这意思吗？好！来，看看：两根线段一样长（演示：线段重合，分开后往下压）行不行？就差一点点。（演示：非常接近）可以！可以！（笑）是不是还差一点点？（演示：重合）现在才真正是首尾相接了，是吧？那这个时候，首尾相接了，还有三个角吗？没有了，成了一条——直线了。能不能围成啊？那你现在想想：刚才我们说这三角形两边之和等于第三边，还能不能加？（生：不能）两根纸条一样长，能不能围成三角形？为什么？来，女孩，你说。

生：因为如果它上面两个顶点接不牢，接了，就变一条了，它就合在一起了。师：对、对、对。好了，孩子，那这么看：三角形的两条边，比第三条边短的时候，好，老师，帮我切换一下。（切换成实物投影）行吗？三角形两边的和，比第三条边短的时候，能不能围成？三角形两边的和，和第三条边相等的时候，能不能围成？不能。什么时候能围成？对，两边的和，大于第三条边短时候，才能够围成。现在我们确认了吗？确认了！来，一起读一下，读！（板书：三角形（在课题位置））

生：两边的和大于第三天边

三角形两边的和大于第三天边，同意了吗？我们回过头来想：两根一样长的，开始还觉得能，眼睛看，哎呦，真拼成了。但最后脑子想，怎么样？看来学数学，真的，有时候不能单凭眼睛，是吧？然后，我们用线段演示的时候，也有的同学觉得能，其实，就差一点点，行不行？不行，是吧？那再想想：两根纸条，当两根纸条一样长的是不行的，一长一短，剪短的行不行？剪长的行不行？思考一下：剪长的一定行吗？为什么？认为一定的请举手。两根纸条，一长一短。来，孩子，我们看：两根纸条，一长一短，剪长的，行不行？为什么？想到了就说，人真多，来，小女孩，你说。生：因为这样，两条边的和就大于了第三边。

师：同意不同意？真好！（带头鼓掌）这理由说得多好呀！因为，当我们剪开长的，三角形两边的和就大于第三边了，是吧？好，认为剪长的一定行的，请举手。认为不一定行的，请举手。两位、三位、四位。弃权的请举手，刚才有人都没举手。哎，刚才我看到这位小伙子，你认为是不一定行，是吧。你过来剪给我们看看。来，快！在上面剪。

学生故意剪成两段差距很大，有一段很短。师：啊！

生：剪少一点，那就不一定能拼成三角形了。

师：你拼。（生拼，不成功）能拼上吗？女孩，你想说什么？ 生：我知道了。如果两条边中的一边，大于第三边，也是拼不成的。

师：“两条边中的其中一边，大于第三边”，哇塞，你把我们搞糊涂了，你明白她的意思吗？你这样吧，小女孩，你指着说，好不好？你说那条边比那一条边，中间的，对、对、对。哦，她说红的这条边大于蓝的这条边，就不行了。同意吗？同意的请举手。（很多学生举手）怎么都不动脑子呢？孩子，请看这个。这个是不是也比这个长啊？所以说，她刚才说的观点同意不同意？（下课音乐响起）哎呦，老师，没到时间呢！我开始说话的时间你不能算。（笑）真没到，真没到，因为我在控制着时间呢。好了，孩子，我们没时间了，抓紧！好、好、好！好了，孩子，刚才这位同学说了，这条边比这条边长久就不行了。Sory!sory!真是没到（时间）！好、好、好。我抓紧完成，抓紧完成！（观众鼓掌）谢谢！谢谢！孩子，你看：三角形三条边当中是不是一定能找到一条最长的边，它肯定比另一条边长是吧？刚才我们讲，这条边和这条边，它是剪下来的，那么它们俩的长度，肯定就比这条边长，对不对？那么，两边之和大于第三边，为什么不行了呢？我看看，谁能换个角度再看！没人举手了，真好！都在思考。来，小伙子，你来！生：因为那条最长的，红的那条边比蓝的那条边要长。

师：哦呵，我明白了：你还敢重复刚才那位女同学的话，一“重”，我明白了，看来你要说“红的要比蓝的长”，后面（还有话）没说完。长得多！是吧？那也就是说：另外两条边合起来也没它长，是吧？是不是这个道理呀？对呀，你看看：三角形的两边之和大于第三边。这两边的和大于第三边吗？行不行？不一定行！还必须保证什么呀？这两条边合起来，也要怎么样？大于它。那你想：三角形有几组两边的和？几组？三组，是不是？那你想想：两边的和大于第三边，前边是不是还要加个什么词？来，你说吧，女孩。生：任意两边„„ 师：哦，真好！任意！还有没有其他说法？随便！行！哎，能不能只有一组两边的和大于第三边？那就不行，是吧？看来三角形是具有这样的特点。孩子，为什么呢？为什么三角形任意两边的和大于第三边呢？来，请看：这是一个三角形，为什么两边的和大于第三边呢？请盯住屏幕看。嗯——从家到学校，那条路最近呀？（图示：三角形三个顶点上分别标示“家”、“学校”、“书店”）生：直线。

师：为什么呀？——两点之间的距离，线段最短。是不是？“两边的和大于第三边”跟我们以前学的是不是一致的？好了，孩子，刚才一起来研究了：一长一短的两根纸条，只能剪长的。这么剪能不能围成一个三角形？能不能？可以！什么样子？（媒体演示：中间剪线段）来，再看看：这么剪呢？（媒体演示：四分之三处剪线段）这么剪行不行？（媒体演示：八分之七处剪线段）我想：你可能有理由了，没有理由再想。行吗？（媒体演示：十六分之十五处剪线段）更不行！我喜欢做这个！数学好玩啊！孩子，世界上一切的变化，往往是由于数量上发生了变化。是吧？开始行行行行，后来是不是不行了。好了，孩子，把眼睛闭起来，回想一下这节课：你有什么收获呢？来，女孩。【媒体出示：自己说给自己听——

大组之间的差距怎么这么大呢？

难道有了三条边，还不一定能拼成三角形？

拼成的，为什么拼成了？

没有拼成的，为什么没能拼成呢？

能不能围成三角形与什么有关？

三角形三条边之间有什么关系呢？】

生：嗯，从这节课里，我学到了任意两边的和大于第三边，才能拼成一个完整的三角形。

师：也就是说，看最后一个问题：三角形三条边之间有什么关系呢？就是任意两边的和大于第三边。还有什么收获？来，小伙子，你来。话筒，在这。生：我还知道：有三条边不一定能拼成一个三角形，一定要那个是两条边的和大于第三边才行。

师：（鼓掌）还有不同的收获吗？来，男孩，话筒，（笑）忘了，忘了。生：在这节课中我收获了：三角形的三条边它不是在于粗细，而在于长短。师：真好，真好。哦，孩子，我有三点收获和大家分享。第一，三角形边的关系很简单，跟以前学的两点之间距离线段最短是一致的。第二，三角形边的关系很有趣，不是相等，而是大于；不是一条边和另一条边之间的关系，而是两条边的和与第三边之间的关系。第三点，成功和失败往往就差一点点。补充一点：我们彩虹小学的同学敢想、会想，敢说、会说，同学们真厉害！这，不是一个传说。（众笑）好，孩子，下课了！同学们好！生：老师再见！谢谢老师！