专题六 线与三角形

第一篇：专题六 线与三角形

专题六 线与三角形

一、考点知识扫描 最简单图形：线与角 线：

1.直线、线段和射线的区别，表示方法；两条相交直线确定一个交点。

2．线段的中点、两点间的距离。

3．了解垂线段最短的性质，平行线的基本性质，掌握垂线、垂线段、点到直线的距离等概念，※经过直线上或直线外一点，有且只有一条直线与已知直线垂直。

※直线外一点与直线上各点连结的所有线段中，垂线段最短。其中垂线段的长叫做点到直线的距离。

4．三类角的识别：同位角、内错角、同旁内角。

※导角的方法：1）两直线平行，内错角相等；两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补。2）直角三角形两锐角互余。3）等量代换法。4）全等法。5）外角定理。6）等边对等角。

7）同角（或等角）的余角相等。

※证明平行的方法：1）内错角相等，两直线平行；同位角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行。2）平行四边形的两组对边分别平行。※证明线段相等的方法：

1）等角对等边。（用于要证明的两线段在同一个三角形中）2）全等。（用于要证明的两线段在两个三角形中）

3）垂直平分线性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。（到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上）

4）角平分线性质：角平分线上的点到角两边的距离相等（到角两边距离相等的点在这个角的平分线上）。5）等量加（或减）等量，和（或者差）相等。6）面积相等法。

7）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

三角形：

1． 定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接

所组成的图形叫做三角形。

※ 外角：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。

2． 边的大小比较：※三角形任意两边之和大于第三边。※三角形任意两边之差小于第三边。

3． 角的大小比较：※三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。※三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。

4． 三角形的分类：按角分有锐角三角形，直角三角形和钝角

三角形。按边分有不等边三角形和等腰三角形（等边三角形是其中的特殊情况）。※等边三角形也叫正三角形。

5． 三线：三角形的角平分线、中线和高线（简称高）。※三

角形的三条角平分线交于一点；三角形的三条中线交于一点；三角形的三条高所在的直线交于一点。

6． 全等：※全等三角形的对应边相等，对应角相等（反过来

也成立，既可做为一种证明全等的方法，也可做为全等的性质来应用）。

7． 全等证明：证明一般的两个三角形全等有以下四种方法：

边边边（SSS），边角边（SAS）；角边角（ASA）；角角边（AAS）。证明两个直角三角形全等时，除了可以用以上四种方法外，还有一种方法：“斜边、直角边”或“HL”。具体内容：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。

8．等腰三角形：1）性质；2）判定方法；3）三线合一（等腰三角形顶角的角平分线、底边上的中线、底边上的高重合）； 4）确定一个三角形是等边三角形有如下方法：A 定义；B 有一个角是600的等腰三角形是等边三角形。C 三个内角都相等的三角形是等边三角形。

9．关于直角三角形的性质：1）在直角三角形中，如果一个锐角等于300，那么它所对的直角边等于斜边的一半。2）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。3）勾股定理；（逆定理）

第二篇：相似三角形小结与复习

相似三角形小结与复习

教学目标

1.对全章知识有一个系统的认识，掌握知识的结构和内在联系.2.利用基本图形结构的形成过程，掌握本章的重点：平行线分线段成比例定理和相似三角形的判定及性质定理.3.通过例题分析，系统总结本章常用的数学思想方法，提高分析问题和解决问题的能力.教学重点和难点

重点是掌握本章的主要概念、定理及数学方法.难点是灵活运用以上知识，提高解题能力.教学过程设计

一、掌握本章知识结构

具体内容见课本第258页内容提要.二、按照“特殊——一般——特殊”的认识规律，理解本章的基本图形的形成、变化及发展 过程，把握本章的两个重点

1.平行线分线段成比例定理所对应的基本图形(如图5－123).要求：

(1)用平行线分线段成比例定理及推论证明比例式，会分线段成已知比；(2)对图5－123(a),(b)要求会用比例式证明两直线平行.2.相似三角形所对应的基本图形.(1)类比推广：从特殊到一般，如图5－124；

(2)从一般到特殊：如图5－125.要求：用对比的方法掌握相似三角形和相似多边形的定义及性质，系统总结相似三角形的判 定方法和使用范围，尤其注意利用中间相似三角形的方法.3.熟悉一些常用的基本图形中的典型结论有助于探求解题思路.(1)在图5－125(a)中的相似三角形及相似比、面积比；

(2)在图5－125(b)中有公边共角的两个相似三角形：公边的平方等于两相似三角形落在一条直线上的两边之积；(3)在图5－125(d)中射影定理及面积关系等常用的乘积式.三、通过例题分析，系统总结本章常用的数学思想及方法

例1 已知：的值.分析：已知等比条件时常有以下几种求值方法：(1)设比值为k;(2)比例的基本性质；

(3)方程的思想，用其中一个字母表示其他字母.解法一 由则(a+b):(b－c)=25:3.，得a:b=2:3,b:c=5:4,即a:b:c=10:15:12.设a=10k,b=15k,c=12k, 解法二 ∵

∴, ∴ 解法三 ∵,∴a=, ∴

例2 已知：如图5－126(a)，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线交于O点，过O作EF∥BC，分别交AB，DC于E，F.求证：(1)OE=OF;(2);(3)若MN为梯形中位线，求证AF∥MC.分析：

(1)利用比例证明两线段相等的方法.①若,a=c(或b=d或a=b)，则b=d(或a=c或c=d)；

②若,则a=b(只适用于线段，对实数不成立)；

③若，a=a′,b=b′,c=c′,则d=d′.(2)利用平行线证明比例式及换中间比的方法.(3)证明时，可将其转化为“”类型后：

①化为直接求出各比值，或可用中间比求出各比值再相加，证明比值的和为1；

②直接通分或移项转化为证明四条线段成比例.(4)可用分析法证明第(3)题，并延长两腰将梯形问题转化为三角形问题.延长BA，CD交于S，AF∥MC

∴ AF∥MC成立.(5)用运动的观点将问题进行推广.若直线EF平行移动后不过点O，分别交AB，BD，AC，CD于E，O1，O2，F，如图5－126(b),O1F 与O2F是否相等?为什么?(6)其它常用的推广问题的方法有：类比、从特殊到一般等.例3 已知：如图5－127，在ΔABC中，AB=AC，D为BC中点，DE⊥AC于E，F为DE中点，BE交AD于N，AF交BE于M.求证：AF⊥BE.分析：

(1)分解基本图形探求解题思路.(2)总结利用相似三角形的性质证明两角相等，进一步证明两直线位置关系(平行、垂直等)的方法，利用ΔADE∽ΔDCE得到

结合中点定义得到得到AF⊥BE.,结合∠3=∠C,得到ΔBEC∽ΔAFD，因此∠1=∠2.进一步可

(3)总结证明四条线段成比例的常用方法：①比例的定义；②平行线分线段成比例定理；③ 三角形相似的预备定理；④直接利用相似三角形的性质；⑤利用中间比等量代换；⑥利用面 积关系.例4 已知：如图5－128，RtΔABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，DE⊥AC于E，DF⊥BC于F.求证：(1)CD3=AAE·BF·AB；(2)BC2：AC2=CE:EA;(3)BC3:AC3=BF:AE.分析：

(1)掌握基本图形“RtΔABC，∠C=90°，CD⊥AB于D”中的常用结论.①勾股定理：AC+BC=AB.②面积公式：AC·BC=AB·CD.③三个比例中项：AC=AD·AB,BC=BD·BA,CD=DA·DB.2

22222

⑤

(2)灵活运用以上结论，并掌握恒等变形的各种方法，是解决此类问题的基本途径，如等式 两边都乘或除以某项，都平方、立方，或两等式相乘等.(3)学习三类问题的常见的思考方法，并熟悉常用的恒等变形方法.①证明a型：先得到a=bc型，再两边乘方，求出a来，进行化简(证法一).或在a=bc两边乘以同一线段a，再进行化简(证法二).②证明a:b=c:d型问题的常用方法： 22

3242(ⅰ)先证,再利用中间比证明(ⅱ)先证再两边平方：,然后设法将右边降次，得

(ⅲ)先分别求出,两式相乘得,再将右边化简.③证明a3:b3=c:d型问题的常用方法：

(ⅰ)先用有关定理求出，再通过代换变形实现；

(ⅱ)先证,两边平方或立方，再通过代换实现；

(ⅲ)先分别求出第(1)题：

证法一 ∵ CD=AD·BD, 2，然后相乘并化简：

∴ CD=AD·BD=(AE·AC)·(BF·BC)=(AE·BF)(AC·BC)

=(AE·BF)·(AB·CD).422证法二 ∵ CD=AD·BD,CD=2

∴ CD=AD·BD·3=

=AE·BF·AB.第(2)题：

证法一 ∵,利用ΔBDF∽ΔDAE，证得,命 题得证.证法二 由证法三 ∵ ΔBCD∽ΔCAD，∴(相似三角形对应高的比等于对应边的比)∵ DE∥BC，∴第(3)题： ,∴

证法一 ∵, ∴,∴

证法二： ΔADC∽ΔCDB，∴

∴·

证法三 ∵, ∴

四、师生共同小结

在学生思考总结的基础上，教师归纳：

1.本章重点内容及基本图形.2.本章重要的解题方法、数学思想方法及研究问题的方法.五、作业

课本第261～265页复习题五中选取.补充题：

1.利用相似三角形的性质计算.已知：如图5－129，在RtΔABC，中∠ACB=90°，E为AB上一点，过E作ED∥BC交AC于D，过D作DF⊥AC交AB于F.若EF：FB=2:1，ED=2，CD=,求FB的长.(答：2)

2.证明相似三角形的方法.如图5－130，在ΔABC，中∠C=60°，AD，BE是ΔABC的高，DF为ΔABD的中线.求证：DE=DF.(提示：证明ΔCDE∽ΔCAB，得到.)3.已知：如图5－131，ΔABC内一点O，过O分别作各边的平行线DE∥BC，FG∥AB，HK∥AC.求证：

(1)

(2)设SΔOEF=S1,SΔODH=S2,SΔOGK=S3,SΔABC=S.则4.构造相似三角形来解决问题.(1)已知：如图5－132，ΔABC中，点E为BC中点，点D在AC上，AC=1，∠BAC=60°∠ABC=

100°，∠DEC=80°.求SΔABC+2SΔCDE；(答：)(提示：延长AB至F，使F=AC.作∠BCF平分线交AF于G.—

(2)已知：如图5－133，在ΔABC中，∠A：∠B：∠C=1:2:4.求证：.(提示：把变形为，进一步变形为.设法

构造相似三角形，使其对应边的比分别为，作AE=AC,交BC延长线于E，延长AB至D，使BD=AC.)

5.构造基本图形(平行线分线段成比例定理).已知：如图5－134，ΔABC的三边BC，CA，AB上有点D，E，F.若AD，BE，CF三线交于一点O.求证：.(塞瓦定理)

课堂教学设计说明 本教案需用1课时完成.本节例2在三角形相似的判定(四)中出现过，如果学生已经掌握，教师可在这节复习课中选 取补充题2或其它题目说明利用比例证明线段相等的方法.

第三篇：与三角形有关的角

与三角形有关的角

一．填空题（共8小题）

1．（2013•威海）将一副直角三角板如图摆放，点C在EF上，AC经过点D．已知∠A=∠EDF=90°，AB=AC．∠E=30°，∠BCE=40°，则∠CDF=．

2．（2013•上海）当三角形中一个内角α是另一个内角β的两倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中α称为“特征角”．如果一个“特征三角形”的“特征角”为100°，那么这个“特征三角形”的最小内角的度数为 _________ ．

3．（2013•黔西南州）如图，已知△ABC是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且CG=CD，DF=DE，则∠E=

4．（2013•荆门）若等腰三角形的一个角为50°，则它的顶角为．

5．（2013•葫芦岛）三个等边三角形的位置如图所示，若∠3=50°，则∠1+∠2=°．

6．（2013•河北）如图，四边形ABCD中，点M，N分别在AB，BC上，将△BMN沿MN翻折，得△FMN，若MF∥AD，FN∥DC，则∠B= _________ °．

7．（2013•达州）如图，在△ABC中，∠A=m°，∠ABC和∠ACD的平分线交于点A1，得∠A1；∠A1BC和∠A1CD的平分线交于点A2，得∠A2；…∠A2012BC和∠A2012CD的平分线交于点A2013，则∠A2013=

8．（2012•呼和浩特）如图，在△ABC中，∠B=47°，三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，则∠AEC= _________ ．

二．解答题（共13小题）

9．（2011•青海）认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹角的探究片段，完成所提出的问题．

探究1：如图1，在△ABC中，O是∠ABC与∠ACB的平分线BO和CO的交点，通过分析发现∠BOC=90°+，理由如下：

∵BO和CO分别是∠ABC和∠ACB的角平分线

∴

∴

又∵∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A

∴

∴∠BOC=180°﹣（∠1+∠2）=180°﹣（90°﹣∠A）

=

探究2：如图2中，O是∠ABC与外角∠ACD的平分线BO和CO的交点，试分析∠BOC与∠A有怎样的关系？请说明理由．

探究3：如图3中，O是外角∠DBC与外角∠ECB的平分线BO和CO的交点，则∠BOC与∠A有怎样的关系？（只写结论，不需证明）

结论： _________ ．

10．（2010•玉溪）平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系

（1）如图a，若AB∥CD，点P在AB、CD外部，则有∠B=∠BOD，又因∠BOD是△POD的外角，故∠BOD=∠BPD+∠D，得∠BPD=∠B﹣∠D．将点P移到AB、CD内部，如图b，以上结论是否成立？若成立，说明理由；若不成立，则∠BPD、∠B、∠D之间有何数量关系？请证明你的结论；

（2）在图b中，将直线AB绕点B逆时针方向旋转一定角度交直线CD于点Q，如图c，则∠BPD﹑∠B﹑∠D﹑∠BQD之间有何数量关系？（不需证明）

（3）根据（2）的结论求图d中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数．

11．如图，CB∥OA，∠B=∠A=100°，E、F在CB上，且满足∠FOC=∠AOC，OE平分∠BOF．

（1）求∠EOC的度数；

（2）若平行移动AC，那么∠OCB：∠OFB的值是否随之发生变化？若变化，试说明理由；若不变，求出这个比值；

（3）在平行移动AC的过程中，是否存在某种情况，使∠OEB=∠OCA？若存在，求出∠OCA度数；若不存在，说明理由．

12．实验证明，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等．

（1）如图，一束光线m射到平面镜上，被a反射到平面镜b上，又被b镜反射，若被b反射出的光线n与光线m平行，且∠1=50°，则∠2= _________ °，∠3= _________ °；

（2）在（1）中，若∠1=55°，则∠3= _________ °，若∠1=40°，则∠3= _________ °；

（3）由（1）、（2）请你猜想：当两平面镜a、b的夹角∠3= _________ °时，可以使任何射到平面镜a上的光线m，经过平面镜a、b的两次反射后，入射光线m与反射光线n平行，请说明理由．

13．已知：△ABC中，记∠BAC=α，∠ACB=β．

（1）如图1，若AP平分∠BAC，BP，CP分别平分△ABC的外角∠CBM和∠BCN，BD⊥AP于点D，用α的代数式表示∠BPC的度数，用β的代数式表示∠PBD的度数

（2）如图2，若点P为△ABC的三条内角平分线的交点，BD⊥AP于点D，猜想（1）中的两个结论是否发生变化，补全图形并直接写出你的结论．

14．已知：△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，请根据题中所给的条件，解答下列问题：

（1）如图1，若∠BAD=60°，∠EAD=15°，求∠ACB的度数．

（2）通过以上的计算你发现∠EAD和∠ACB﹣∠B之间的关系应为： _________ ．

（3）在图2的△ABC中，∠ACB＞90°，那么（2）中的结论仍然成立吗？为什么？

15．如图1，在平面直角坐标系中，A、B两点同时从原点O出发，点A以每秒m个单位长度沿x轴的正方向运动，点B以每秒n个单位长度沿y轴正方向运动．

（1）已知运动1秒时，B点比A点多运动1个单位；运动2秒时，B点与A点运动的路程和为6个单位，求m、n；

（2）如图2，设∠OBA的邻补角的平分线、∠OAB的邻补角的平分线相交于点P，∠P的大小是否发生改变？若不变，求其值；若变化，说明理由．

（3）若∠OBA的平分线与∠OAB的邻补角的平分线的反向延长线相交于点Q，∠Q的大小是否发生改变？如不发生改变，求其值；若发生改变，请说明理由．

16．生活中到处都存在着数学知识，只要同学们学会用数学的眼光观察生活，就会有许多意想不到的收获，如图两幅图都是由同一副三角板拼凑得到的：

（1）请你计算出图1中的∠ABC的度数．

（2）图2中AE∥BC，请你计算出∠AFD的度数．

17．如图，在△ABC中，∠A=40°，∠B=72°，CD是AB边上的高；CE是∠ACB的平分线，DF⊥CE于F，求∠BCE和∠CDF的度数．

18．已知如图1，线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB，我们把形如图1的图形称之为“8字形”．如图2，在图1的条件下，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于M、N．试解答下列问题：

（1）在图1中，请直接写出∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系： _________ ；

（2）仔细观察，在图2中“8字形”的个数： _________ 个；

（3）在图2中，若∠D=40°，∠B=36°，试求∠P的度数；

19．（1）如图①∵∠B+∠D+∠1=180°

又∵∠1=∠A+∠2

∠2=∠C+∠E

∴∠A+∠C+∠E+∠B+∠D=180°

（2）将图①变形成图②，∠A+∠DBE+∠C+∠D+∠E仍然为180°，请证明这个结论．

（3）将图①变形成图③，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E还为180°，请继续证明这个结

论．

20．如图

（1）如图（1），∠ADC=100°，试求∠A+∠B+∠C的度数；

（2）如图（2）所示，DO平分∠CDA，BO平分∠CBA，∠A=20°，∠C=30°，试求∠O的度数．

21．在小学学习中，我们已经知道三角形的三个角之和等于180°，如图，在三角形ABC中，∠C=70°，∠B=38°，AE是∠BAC的平分线，AD⊥BC于D．

（1）求∠DAE的度数；

（2）判定AD是∠EAC的平分线吗？说明理由．

（3）若∠C=α°，∠B=β°，求∠DAE的度数．（∠C＞∠B）

第四篇：向量与三角形的重心

向量与三角形的重心

例1 已知A，B，C是不共线的三点，G是△ABC内一点，若GAGBGC0．求

证：G是△ABC的重心．

证明：如图1所示，因为GAGBGC0，所以GA(GBGC)．

以GB，GC为邻边作平行四边形BGCD，则有GDGBGC，所以GDGA．

又因为在平行四边形BGCD中，BC交GD于点E，所以BEEC，GEED．所以AE是△ABC的边BC的中线，且GA2GE．

故G是△ABC的重心．

点评：①解此题要联系重心的性质和向量加法的意义；②把平面几何知识和向量知识结合起来解决问题是解此类问题的常用方法．

变式引申：已知D，E，F分别为△ABC的边BC，AC，AB的中点．求证： ADBECF0．

证明：如图2的所示，ADACCD2ADACABCDBD，即2ADACAB． ADABBD

同理2BEBABC，2CFCACB．

2A(DBEC)FAC

0CFADBE． ．ABBAB0C CACB

点评：该例考查了三角形法则和向量的加法．

例2 如图3所示，△ABC的重心为G，O为坐标原点，OAa，OBb，OCc，试用a，b，c表示OG．

解：设AG交BC于点M，则M是BC的中点，baABACBCcb．则，ca，111AMABbCa(cb)(cb2a)． 22

221AGA(cb2a．)3

311故OGOAAGa(cb2a)(abc)． 33

点评：重心问题是三角形的一个重要知识点，充分利用重心性质及向量加、减运算的几何意义是解决此类题的关键．

变式引申：如图4，平行四边形ABCD的中心为O，1P为该平面上任意一点，则PO(PAPBPCPD)． 4

POPAAO，POPBBO，POPCCO，证法1：

POPDDO，PBPC PD4POPA， 1即PO(PAPBPCPD)． 4

11证法2：PO(PAPC)，PO(PBPD)，22

1PO(PAPBPCPD)． 4

点评：（1）证法1运用了向量加法的三角形法则，证法2运用了向量加法的平行四边形法则．

（2）若P与O重合，则上式变为OAOBOCOD0．

第五篇：全等三角形定义与证明

全等三角形

能够完全重合的两个图形叫做全等形。

能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。

把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角。

全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等。

三边对应相等的两个三角形全等，可以简写成“SSS”

两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，可以简写成“SAS”

两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等，可以简写成“ASA”

两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等，可以简写成“AAS” 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，可以简写成“HL”

角平分线的性质:角的平分线上的点到角的两边的距离相等，角的内部到角两边的距离相等的点在角平分线上。

轴对称

一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴，我们也说这个图形关于这条直线成轴对称。

能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重叠的点是对应点，叫做对称点。

如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。

线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等。

与一条线短两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。

点（X,Y）关于X轴对称的点的坐标为（X,-Y）

点（X,Y）关于Y轴对称的点的坐标为（-X,Y）

两条边是相等的三角形是等腰三角形。

等腰三角形的性质：等腰三角形的两个底角相等，简写成“等边对等角”。等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合。

如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。

三条边都相等的三角形叫做等边三角形。

等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°，三个角都是相等的三角形是等边三角形，有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形

在直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半

实数

如果一个正数x的平方等于a，即x²=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根。a的算术平方根记为a,读作“根号a”，a叫做被开方数。

规定，0的算术平方根是0。

如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根或二次方跟。这就是说如果x的平方等于a，那么x叫做a的平方根。求一个数a平方根的运算叫做开平方。

正数有两个平方根，它们互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根。

如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根，这就是说，如果x³=a，那么x叫做a的立方根。求一个数的立方根运算，叫做开立方。

正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0.类似于平方根，一个数的a的立方根，用符号“3a”表示，读作“三次根号a”。其中a是开方数，3是根指数。

很多数的平方根和立方根都是无限不循环小数，无限不循环小数又叫做无理数。有理数和无理数统称实数。

实数有理数有限小数或无限循环小

无理数无限不循环小数数

数a的相反数是-a，一个正实数的绝对值是本身，一个负实数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0.一次函数

我们称数值发生变化的量为变量，有些量的数值是始终不变的，我们称它们为常量。

在一个变化对象中，如果有两个变量x和y，并且对于x每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么我们就说a是自变量，y是x的函数。当x=a时y=b，那么b叫做当自变量的值为a是的函数值。

对于一个函数，如果把自变量与函数的每队对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图像。

正比例函数

形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例系数。

正比例函数y=kx（k是常数，k≠0）的图像是一条经过原点的直线，我们称它为y=kx。当k＞0时，直线y=kx经过三、一象限，从左向右上升，即随着X的增大y也增大，当k＜0时，直线y=kx经过第二、四象限，从左向右下降，即随着x的增大y反而减小。

一次函数

形如y=kx+b（k，b是常数，k≠0）的函数，叫做一次函数。当b=0时，y=kx+b，即y=kx，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数。当k＞0时,y随x的增大而增大，当k＜0时，y随x的增大而减小。

函数解析式ykxb选取

解出满足条件的两定点（x1，y1）与（x2，y2）画出取数一次函数的图像

任何一元一次方程都可以转化成ax+b=0(a,b为常数，a≠0)的形式，所以借一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值。

由于任何一元一次不等式都可以转化为ax+b＞0或ax+b＜0（a，b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当函数值大(小)于0时，求自变量相应的取值范围。每个二元一次方程都对应两个一次函数，于是也就对应两条直线。从“数”的角度看，解方程相当于考虑自变量为何值时两个函数的值相等，以及这个函数值是何值；从“形”的角度看，解方程相当于确定两条直线交点的坐标。

整式的乘法

am

同底数幂相乘，底数不变，指数相加。

幂的乘方，底数不变，指数相乘。乘anamn（m，n都是正整数）amnamn（m，n都是正整数）

n积的乘方，等于我们把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。abanbn（n为

正整数）

单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。

多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得积相加。两个数的和与这两个数差的积，等与这两个数的平方差。ababab 22

两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加，（或减）它们的积的2倍。ab2

2aaba22abb2abb222

添括号时，如果括号前面是正号，扩到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，扩到括号里的各项都改变符号。

同底数幂相除，底数不变，指数相减。aamnamn(a≠0，m，n都是正整数，并且m

＞n)

任何不等于0的数的0次幂都等于一。a1(a0)

单项式相除，把系数与同底数分别相乘作为商的因式，对于只在被除数里含有的之母，则连同它的指数作为商的一个因式。

多项式除以多项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加。

因式分解

我们把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解。即整式乘法的逆运算。两个数的平方差，等于这个数的和与这个数的差的积。ababab

两个数的平方加上（或减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方。220ab2

2aaba22abb2abb222