闭区间连续函数性质证明题的解题方法

第一篇：闭区间连续函数性质证明题的解题方法

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闭区间连续函数性质证明题的解题方法 作者：朱云鹏 张天

来源：《学园》2013年第34期

【摘 要】在高等数学的学习过程中，证明题是非常重要的一类题型，也是让学生感到最棘手的一类题型。尤其是刚刚接触高等数学的初学者，适应和掌握高等数学的证明思路需要一定的积累过程。关于“闭区间上连续函数性质”的证明题，本文给出了“直接证明法”与“辅助函数法”两种方法，对其加以总结并给出了相应例题，希望对初学者与考研复习的同学有所帮助。

【关键词】连续函数性质 证明方法 辅助函数 零点定理 介值定理

【中图分类号】G642 【文献标识码】A 【文章编号】1674-4810（2013）34-0062-01

三 结束语

对于证明类的题型，在高等数学的整个学习过程中需要反复总结方法，并形成一种证明逻辑，灵活运用定理证明各种问题。当然，读者在看完以上证明方法之后，最好能够总结提炼出自己的方法，能真正在应试和学习的过程中找到适合自己的证明方法，真正掌握连续函数的定义及其性质。

参考文献

[1]同济大学数学系.高等数学[M].北京：高等教育出版社，2007

[2]陈文灯、黄先开.考研数学复习指南[M].北京：北京理工大学出版社，2012

[3]盛祥耀、葛严麟、胡金德等.高等数学辅导[M].北京：清华大学出版社，2003〔责任编辑：范可〕

第二篇：闭区间上连续函数性质证明

§2 闭区间上连续函数性质的证明

教学目的：掌握闭区间上连续函数性质证明思路与方法，加深对实数完备性若干定理的理解。重点难点：重点与难点为其证明思路与方法。教学方法：讲练结合。

在本节中，我们利用实数完备性的基本定理，来证明闭区间上连续函数的基本性质．

有界性定理

若函数f在闭区间a,b上连续，则f在a,b上有界．

证

[证法一](应用有限覆盖定理)由连续函数的局部有界性(定理4．2)，对每一点xa,b,都存在邻域U(x;x)及正数Mx，使得f(x)Mx,xU(x;x)a,b.考虑开区间集

HU(x;x)xa,b, 显然是a,b的一个无限开覆盖．由有限覆盖定理，存在的一个有限子集

*Uxi;ixia,b,i1,2,,k

覆盖了a,b，且存在正数M1,M2,,Mk，使得对一切xUxi;ia,b有fxMi,i1,2,,k.令

MmaxMi，1ik则对任何xa,b，x必属于某Uxi;ifxMiM．即证得f在a,b上有界．

[证法二](应用致密性定理)倘若f在a,b上无上界，则对任何正整数n，存在xna,b，使得fxnn．依次取n1,2,，则得到数列xna,b．由致密性定理，它含有收敛子列xnk，记limxnk。由axnkb及数列极限的保不等式性，a,b．利用f在点连续，推得

klimfxnkf

k另一方面，由xn的选取方法又有fxnknkklimfxnk

k与(1)式矛盾．所以f在a,b有上界．类似可证f在a,b有下界，从而f在a,b上有界.最大、最小值定理 若函数f在闭区间a,b上连续，则f在a,b上有最大值与最小值．

证

(应用确界原理)已证f在a,b上有界，故由确界原理，f的值域fa,b有上确界，记为M．以下我们证明：存在a,b，使fM．倘若不然，对一切xa,b都有fxM．令

第七章第二节第1页

gx1,x[a,b]

Mf(x)易见g在a,b连续,故g在a,b有上界.设G是g的一个上界,则

0gx1,x[a,b]

Mf(x)1,x[a,b] G从而推得fxM但这与M为fa,b的上确界矛盾.故必存在a,b,使fM,即f在a,b上有最大值,同理可证f在a,b上有最小值.介值性定理 设函数f在闭区间a,b上连续，且fafb.若为介于fa与fb之间的任何实数,则存在x0a,b，使得fx0

证[证法一](应用确界原理)不妨设 fafb．令 gx= fx，则g也是 a,b上的连续函数，且ga0,gb0.于是定理的结论转化为：存在x0a,b，使得gx00．这个简化的情形称为根的存在性定理．

记gx0,xa,b．显然为非空有界数集(a,b且b)，故由确界原理，有下确界，记x0inf．因ga0,gb0，由连续函数的局部保号性，存在0，使得在a,a内gx0，在b,b内gx0，由此易见x0a,x0b，即x0a,b．

下证gx00．倘若gx00，不妨设gx00，则又由局部保号性，存在Ux0;a,b，使在其内gx0，特别有gx00x0．但这与x0inf正相矛盾，故必有22gx00．

[证法二](应用区间套定理)同上述证法一，我们把问题转化为证明根的存在性定理，即若函数g在a,b上连续，ga0,gb0，则存在x0a,b，使得gx00．

将a,b等分为两个子区间a,c与b,c．若gc0，则c即为所求；若gc0，则当gc0时记a1,b1a,c，当gc0时记a1,b1c,b。于是有ga10,gb10，且

第七章第二节第2页

a1,b1a,b,b1a11ba． 2再从区间a1,b1出发，重复上述过程，得到：或者在a1,b1的中点c1上有gc10，或者有闭区间a2,b2，满足ga20,gb20，且

a2,b2a1,b1,b2a21ba 22

将上述过程不断地进行下去，可能出现两种情形：

(1)在某一区间的中点ci上有gci0，则ci即为所求；

(2)在任一区间的中点ci上均有gci0，则得到闭区间列

an,bn,满足gan0,gbn0，且

an1,bn1an,bn,bnan1ba,n1,2,.n2由区间套定理，存在点x0an,bn,n1,2,.下证．gx00，倘若gx00，不妨设gx00，则由局部保号性，存在Ux0;,使在其内有gx0．而由定理7.1的推论，当n充分大时有an,bnUx0;，因而有gan0．但这与an,bn选取时应满足的gan0相矛盾，故必有gx00

一致连续性定理

若函数f在闭区间a,b上连续，则f在a,b上一致连续．

证[证法一](应用有限覆盖定理)由f在a,b上的连续性，任给0，对每一点xa,b，都存在x0，使得当xUx;x时有

fxfx考虑开区间集合 Ux,2.(2)xxa,b

2显然H是a,b的一个开覆盖．由有限覆盖定理，存在H的一个有限子集

Uxi,*ii1,2,,k 2覆盖了a,b．记mini0 1ik2*对任何x,xa,b,xx,x必属于中某开区间,设xUxi;i即xxii.22第七章第二节第3页

此时有xxixxxxi故由(2)式同时有fxfxii2i2i2i

2

和

fxfxi2

由此得fxfx.所以f在a,b上一致连续.[证法二](应用致密性定理)用反证法.倘若f在a,b上不一致连续,则存在某00,对任何0,都存在相应的两点x,xa,b,尽管xx,但有

fxfx0.令11,xna,b，尽管xx,但有

(n为正整数)，与它相应的两点记为xnnnfxn0.(3)

fxn与xna,b．由致密性定理，存在xn的收敛子列xnk，当n取遍所有正整数时，得数列xnkx0a,bk．同时由 设xnkxnkxn1kx0xnkxnkxnkx00xnnkk

kx0k。又得xnkfxnk0，最后，由(3)式有

fxn在上式中令 k，由 f的连续性及数列极限的保不等式性，得到

kfxnk0，0fx0fx0limfxnk这与00相矛盾．所以f在a,b上一致连续．

第七章第二节第4页

第三篇：高数闭区间上连续函数的性质教案（模版）

第17、18课时：【教学目的】

1、掌握闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质；

2、熟练掌握零点定理及其应用。【教学重点】

1、介值性定理及其应用；

2、零点定理及其应用。【教学难点】

介值性定理及其应用

§1 10 闭区间上连续函数的性质

一、有界性与最大值与最小值

最大值与最小值 对于在区间I上有定义的函数f(x) 如果有x0I 使得对于任一xI都有

f(x)f(x0)(f(x)f(x0))

则称f(x0)是函数f(x)在区间I上的最大值（最小值）

例如 函数f(x)1sin x在区间[0 2]上有最大值2和最小值0 又如 函数f(x)sgn x 在区间( )内有最大值 1和最小值1 在开区间(0 )内 sgn x的最大值和最小值都是1 但函数f(x)x在开区间(a b)内既无最大值又无最小值

定理1（最大值和最小值定理）在闭区间上连续的函数在该区间上一定能取得它的最大值和最小值

定理1说明 如果函数f(x)在闭区间[a b]上连续 那么至少有一点1[a b] 使f(1)是f(x)在[a b]上的最大值 又至少有一点 2[a b] 使f( 2)是f(x)在[a b]上的最小值

注意 如果函数在开区间内连续 或函数在闭区间上有间断点 那么函数在该区间上就不一定有最大值或最小值

例 在开区间(a b)考察函数yx

又如 如图所示的函数在闭区间[0 2]上无最大值和最小值

x1 0x1yf(x)1 x1

x3 1x

2定理2（有界性定理）在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界

二、零点定理与介值定理

零点 如果x0 使f(x0)0 则x0 称为函数f(x)的零点

定理3（零点定理）设函数f(x)在闭区间[a b]上连续 且f(a)与f(b)异号 那么在开区间(a b)内至少有一点使f()0

定理4（介值定理）设函数f(x)在闭区间[a b]上连续 且在这区间的端点取不同的函数值

f(a)A及f(b)B 那么 对于A与B之间的任意一个数C 在开区间(a b)内至少有一点  使得

f()C 

定理4（介值定理）设函数f(x)在闭区间[a b]上连续 且f(a)f(b) 那么 对于f(a)与f(b)之间的任意一个数C 在开区间(a b)内至少有一点  使得

f()C 

证 设(x)f(x)C 则(x)在闭区间[a b]上连续 且(a)AC与(b)BC异号 根据零点定理 在开区间(a b)内至少有一点 使得

()0(a<

但()f()C 因此由上式即得

f()C(a<

定理4 的几何意义 连续曲线弧yf(x)与水平直线yC至少交于一点

推论

在闭区间上连续的函数必取得介于最大值M与最小值m之间的任何值

例1 证明方程x 34x 210在区间（0 1）内至少有一个根

证

函数f(x) x 34x 21在闭区间[0 1]上连续 又f(0)1>0

f(1)2<0

根据零点定理 在(0 1)内至少有一点  使得f()0 即

 34 210(0<<1)

这等式说明方程x 34x 210在区间（0 1）内至少有一个根是 

第四篇：数学证明题解题方法

数学证明题解题方法

第一步：结合几何意义记住零点存在定理、中值定理、泰勒公式、极限存在的两个准则等基本原理，包括条件及结论。知道基本原理是证明的基础，知道的程度(即就是对定理理解的深入程度)不同会导致不同的推理能力。如2006年数学一真题第16题(1)是证明极限的存在性并求极限。只要证明了极限存在，求值是很容易的，但是如果没有证明第一步，即使求出了极限值也是不能得分的。因为数学推理是环环相扣的，如果第一步未得到结论，那么第二步就是空中楼阁。这个题目非常简单，只用了极限存在的两个准则之一：单调有界数列必有极限。只要知道这个准则，该问题就能轻松解决，因为对于该题中的数列来说，“单调性”与“有界性”都是很好验证的。像这样直接可以利用基本原理的证明题并不是很多，更多的是要用到第二步。

第二步：借助几何意义寻求证明思路。一个证明题，大多时候是能用其几何意义来正确解释的，当然最为基础的是要正确理解题目文字的含义。如2007年数学一第19题是一个关于中值定理的证明题，可以在直角坐标系中画出满足题设条件的函数草图，再联系结论能够发现：两个函数除两个端点外还有一个函数值相等的点，那就是两个函数分别取最大值的点(正确审题：两个函数取得最大值的点不一定是同一个点)之间的一个点。这样很容易想到辅助函数F(x)=f(x)-g(x)有三个零点，两次应用罗尔中值定理就能得到所证结论。再如2005年数学一第18题(1)是关于零点存在定理的证明题，只要在直角坐标系中结合所给条件作出函数y=f(x)及y=1-x在上的图形就立刻能看到两个函数图形有交点，这就是所证结论，重要的是写出推理过程。从图形也应该看到两函数在两个端点处大小关系恰好相反，也就是差函数在两个端点的值是异号的，零点存在定理保证了区间内有零点，这就证得所需结果。如果第二步实在无法完满解决问题的话，转第三步。

第三步：逆推。从结论出发寻求证明方法。如2004年第15题是不等式证明题，该题只要应用不等式证明的一般步骤就能解决问题：即从结论出发构造函数，利用函数的单调性推出结论。在判定函数的单调性时需借助导数符号与单调性之间的关系，正常情况只需一阶导的符号就可判断函数的单调性，非正常情况却出现的更多(这里所举出的例子就属非正常情况)，这时需先用二阶导数的符号判定一阶导数的单调性，再用一阶导的符号判定原来函数的单调性，从而得所要证的结果。该题中可设F(x)=ln*x-ln*a-4(x-a)/e*,其中eF(a)就是所要证的不等式。

第五篇：考研数学证明题三大解题方法

考研数学证明题三大解题方法

纵观近十年考研数学真题，大家会发现：几乎每一年的试题中都会有一个证明题，而且基本上都是应用中值定理来解决问题的。但是要参加硕士入学数学统一考试的同学所学专业要么是理工要么是经管，同学们在大学学习数学的时候对于逻辑推理方面的训练大多是不够的，这就导致数学考试中遇到证明推理题就发怵，以致简单的证明题得分率却极低。除了个别考研辅导书中有一些证明思路之外，大多数考研辅导书在这一方面没有花太大力气，本人自认为在推理证明方面有不凡的效绩，在此给大家简单介绍一些解决数学证明题的入手点，希望对有此隐患的同学有所帮助。

一、结合几何意义记住零点存在定理、中值定理、泰勒公式、极限存在的两个准则等基本原理，包括条件及结论。

知道基本原理是证明的基础，知道的程度（即就是对定理理解的深入程度）不同会导致不同的推理能力。如2006年数学一真题第16题（1）是证明极限的存在性并求极限。只要证明了极限存在，求值是很容易的，但是如果没有证明第一步，即使求出了极限值也是不能得分的。因为数学推理是环环相扣的，如果第一步未得到结论，那么第二步就是空中楼阁。这个题目非常简单，只用了极限存在的两个准则之一：单调有界数列必有极限。只要知道这个准则，该问题就能轻松解决，因为对于该题中的数列来说，“单调性”与“有界性”都是很好验证的。像这样直接可以利用基本原理的证明题并不是很多，更多的是要用到第二步。

二、借助几何意义寻求证明思路

一个证明题，大多时候是能用其几何意义来正确解释的，当然最为基础的是要正确理解题目文字的含义。如2007年数学一第19题是一个关于中值定理的证明题，可以在直角坐标系中画出满足题设条件的函数草图，再联系结论能够发现：两个函数除两个端点外还有一个函数值相等的点，那就是两个函数分别取最大值的点（正确审题：两个函数取得最大值的点不一定是同一个点）之间的一个点。这样很容易想到辅助函数F（x）=f（x）-g（x）有三个零点，两次应用罗尔中值定理就能得到所证结论。再如2005年数学一第18题（1）是关于零点存在定理的证明题，只要在直角坐标系中结合所给条件作出函数y=f（x）及y=1-x在[0，1]上的图形就立刻能看到两个函数图形有交点，这就是所证结论，重要的是写出推理过程。从图形也应该看到两函数在两个端点处大小关系恰好相反，也就是差函数在两个端点的值是异号的，零点存在定理保证了区间内有零点，这就证得所需结果。如果第二步实在无法完满解决问题的话，转第三步。

三、逆推

从结论出发寻求证明方法。如2004年第15题是不等式证明题，该题只要应用不等式证明的一般步骤就能解决问题：即从结论出发构造函数，利用函数的单调性推出结论。在判定函数的单调性时需借助导数符号与单调性之间的关系，正常情况只需一阶导的符号就可判断函数的单调性，非正常情况却出现的更多（这里所举出的例子就属非正常情况），这时需先用二阶导数的符号判定一阶导数的单调性，再用一阶导的符号判定原来函数的单调性，从而得所要证的结果。该题中可设F（x）=ln*x-ln*a-4（x-a）/e*，其中eF（a）就是所要证的不等式。

对于那些经常使用如上方法的同学来说，利用三步走就能轻松收获数学证明的12分，但对于从心理上就不自信能解决证明题的同学来说，却常常轻易丢失12分，后一部分同学请按“证明三步走”来建立自信心，以阻止考试分数的白白流失。