关于多元微分学的论文（样例5）

第一篇：关于多元微分学的论文

关于多元微分学的论文

在我们的生活中，很多时候一个事物的变化是由许多其他事物共同作用的结果，反映到数学上，就形。我们在研究这类问题时，需要建立数学模型，来更好的研究变量的性质和它们之间的作用关系等等，这就是为嘛我们要学习多元函数微积分学。

1、多元函数的概念

例、圆柱体的体积V和它的底半径r、高h之间的具有关系 V=πr2h 这里r、h在集合｛（r、h）｜r>0，h>0｝内取定一对值（r，h）时，V的对应值随之确定。

定义 设D是R2的一个非空子集，称映射f：D→R为定义在D上的二元函数，通常记为 z=f（x，y），（x，y）∈D，把定义中的D换成n维空间Rn内的点集D，映射f：D→R就称为定义在D上的n元函数。

多元函数的定义域的求法与一元函数类似，也是先写出其构成部分的各简单函数的定义域的不等式，然后解联立不等式组，得出各变量的依存关系，即定义域。

与一元函数一样，二元和二元以上的函数也只与定义域和定义关系有关，而与用什么字母表示自变量和因变量无关。

2、多元函数的极限

定义 设二元函数f（P）= f（x，y）的定义域为D，P0（x0，y0）是D的聚点，如果存在常数A，对于任意给定的正数ε，总存在正数δ，使得当点P（x，y）∈D∩U（P0，δ）时，都有｜f（P）-A｜=｜ f（x，y）-A｜<ε成立，那么就称常数A为函数f（x，y）当（x，y）→（x0，y0）时的极限，记作lim f（x，y）=A。

与一元函数极限不同的是：二元函数的极限要求点P（x，y）以任何方式、任何方向、任何路径趋向于P0（x0，y0）时，都有f（x，y）→f（x0，y0）。

3、多元函数的连续性

定义 设二元函数f（P）= f（x，y）的定义域为D，P0（x0，y0）是D的聚点，且P0∈D，如果lim f（x，y）=f（x0，y0），则称函数f（x，y）在点P0（x0，y0）连续。

在有界闭区域上连续的函数有这样一些性质①有界性②最大值、最小值③介值。

定义 设函数f（x，y）的定义域为D，P0（x0，y0）是D的聚点。如果函数f（x，y）在点P0（x0，y0）不连续，则称P0（x0，y0）为函数f（x，y）的间断点。

4、偏导数的定义

其实就是把一个自变量看成常数再对另一个自变量求导。要注意的就是：对于多元函数来说，即使各偏导数在某点都存在，也不能保证函数在该点连续，这是因为各偏导数存在只能保证点P沿着平行于坐标轴的方向趋于P0时，函数f（P）趋于f（P0），但不能保证点P按任何方式趋于P0时，函数值f（P）都趋于f（P0）。多元函数对子变量可导与否与函数在某一点是否连续无关。它的几何意义就是：Z在x0，y0处对X的偏导数表示曲面Z= f（x，y）与平行与xoz平面y= y0x交线上过点（x0，y0）的切线斜率。

一般讲求某点处的偏导数是先求偏导函数，然后再求偏导函数在该点处的值。多元函数求偏导问题的实质仍是一元函数的求导问题，故一元函数的求导公式、法则仍可直接应用。求偏导时，关键是要分清对哪个变量求导，把哪个变量暂时当作常量。分段函数在分界点处的偏导数用定义求。

高阶偏导数:二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数。二阶混合偏导数在连续的条件下与求导的次序无关，同样，二阶以上的高阶混合偏导数在相应高阶偏导数连续的条件下也与求导的次序无关。

5、全微分的定义 定义 若在点的全增量可以写成，其中A、B与关，、无，则称为 在点

全微分.在点处可微，且称注意，在多元函数中，个偏导数存在只是全微分存在的必要条件而不是充分条件。即“可微一定可导，可导不一定可微”通常我们把二元函数的全微分等于它的两个偏微分之和这件事称为二元函数的微分符合叠加原理。还有就是对分段函数在分段点处的可微性，应按定义判定。

6、多元复合函数的求导法则

有三种情况，注意全微分形式不变性就行了。

7、隐函数的求导公式

细分的话有三类，就是三个公式，特别注意每个公式等号右边都有个负号。

8、多元函数微分学的几何应用

一个是求空间曲线的切线都和法平面，一个是求曲面的切平面的法线。这里还提到了方向余弦的求法。

9、方向导数与梯度

描述多元函数的在某点处的一般变化率的是梯度，而梯度是一个向量，因此它在某个确定的点处是具有确定的方向的。而在实际应用当中，我们不只是需要知道函数在梯度方向的变化率，也还要求知道其他特定方向的变化率，这种根据特定方向而计算出来的变化率，称为方向导数。

10、多元函数的极值及其求法 定义比较简单。

定理1 设函数z= f（x，y）在点（x0，y0）具有偏导数，且在点（x0，y0）处有极值，则有fx（x0，y0）=0，fy（x0，y0）=0。

定理2 设函数z= f（x，y）在点（x0，y0）的某邻域内连续且有一阶及二阶连续偏导数，又fx（x0，y0）=0，fy（x0，y0）=0，令fxx（x0，y0）=A，fxy（x0，y0）=B，fyy（x0，y0）=C，则f（x，y）在（x0，y0）处是否取得极值的条件如下：

（1）AC-B2>0时具有极值，且当A<0时有极大值，当A>0时有极小值；

（2）AC-B2<0时没有极值；

（3）AC-B2=0时可能有极值，也可能没有极值，需另讨论。条件极值 拉格朗日

自变量有附加条件的极值称为条件极值。在求解具有等式约束条件的条件极值问题时，一般并不是从约束等式解出一个变量，再代入目标函数，因为从约束等式解出一个变量往往并不简单，反而相当麻烦，因此，我们一般使用所谓的拉格朗日乘数法。

拉格朗日乘数法 要找条件极值，先做拉格朗日函数，其中k为参数，求其对x与y的一阶偏导数后可得由这方程组解出x，y及k，这样得到的（x，y）就是函数f（x，y）在附加条件下的可能极值点。

举例

一个限制条件求极值的题——

1、试求底边平行于椭圆x23y212的长轴的内接等腰三角形面积的最大值。

解：将椭圆化成标准方程，有

x2y21 124如图所示三角顶点为A(0,2)，另外两顶点B(x,y)和C(x,y)，此处x0,y0。

图

于是ABC的面积为

S122y2x(2y)x 限制条件为

x23y2120

令F(2y)x(x23y212)，则由

Fx(2y)2x0Fyx6y0 x23y2120解出

x3,y1

(3,-1)是惟一驻点，也是S最大值点，最大值为 Smax(2y)x(3,1)9

一个多元函数微分学几何应用的题——

2、求曲线:2yxx2z，在点P0(1,1,1)处的切线方程。

解：选x为参数，把写成

xxyx zx2于是，切向量为

1T1，2x 2x在给定点P0(1,1,1)处

1T1，2

2所求切线方程为

x1y1z1 1122写着写着就写了这么多字了。老是说写不够字数、写不够字数，最终没想的写了这么多了……我总是觉得学得不错随便写写就能写的很好。但是现在觉得我再写下去就真是在单纯凑字数了。看看平时上课时老师不用看书也可以侃侃而谈的样子，就知道我们还差的远了……

第二篇：多元函数微分学

多元函数的极限与连续

一、平面点集与多元函数

（一）平面点集:平面点集的表示: E{(x,y)|(x,y)满足的条件}.1.常见平面点集:

⑴ 全平面和半平面: {(x,y)|x0}, {(x,y)|x0}, {(x,y)|xa}, {(x,y)|yaxb}等.⑵ 矩形域: [a,b][c,d], {(x,y)|x||y|1}.⑶ 圆域: 开圆, 闭圆, 圆环.圆的个部分.极坐标表示, 特别是 {(r,)|r2acos}和{(r,)|r2asin}.⑷ 角域: {(r,)|}.⑸ 简单域:X型域和Y型域.2.邻域: 圆邻域和方邻域，圆邻域内有方邻域，方邻域内有圆邻域.空心邻域和实心邻域, 空心方邻域与集

{(x,y)|0|xx0| , 0|yy0|}的区别.（二）点集的基本概念: 1.内点、外点和界点：集合E的全体内点集表示为intE, 边界表示为E.集合的内点E, 外点E, 界点不定.2.聚点和孤立点: 孤立点必为界点.例1 确定集E{(x,y)|3.开集和闭集: 1(x1)2(y2)24 }的内点、外点集、边界和聚点.intEE时称E为开集,E的聚点集E时称E为闭集.存在非开非闭集.R2和空集为既开又闭集.4.开区域、闭区域、区域：以上常见平面点集均为区域.5.有界集与无界集: 6.点集的直径d(E)：两点的距离(P1 , P2).7.三角不等式：

|x1x2|（或|y1y2|）(x1x2)2(y1y2)2 |x1x2||y1y2|.（三）二元函数: 1.二元函数的定义、记法、图象： 2.定义域： 例4 求定义域：

ⅰ> f(x,y)3.有界函数: 4.n元函数: 9x2y2x2y21;ⅱ> f(x,y)lny.ln(yx21)

二、二元函数的极限

（一）.二元函数的极限: 1.二重极限limf(P)A的定义: 也可记为PP0PD(x,y)(x0,y0)limf(x,y)A或xx0yy0limf(x,y)A

例1 用“”定义验证极限

(x,y)(2,1)lim(x2xyy2)7.[1]P94 E1.xy20.例2 用“”定义验证极限 lim2x0xy2y0x2y2,(x,y)(0,0),xy例3 设f(x,y)x2y

20 ,(x,y)(0,0). 证明(x,y)(0,0)limf(x,y)0.(用极坐标变换)

PP0PETh 1 limf(P)A对D的每一个子集E ,只要点P0是E的聚点,就有limf(P)A.PP0PD推论1 设E1D,P0是E1的聚点.若极限limf(P)不存在, 则极限limf(P)也不存在.PP0PE1PP0PD推论2 设E1,E2D,P0是E1和E2的聚点.若存在极限limf(P)A1,limf(P)A2，PP0PE1PP0PE2但A1A2,则极限limf(P)不存在.PP0PD推论3 极限limf(P)存在对D内任一点列{ Pn },PnP0但PnP0,数列{f(Pn)}PP0PD xy ,(x,y)(0,0),22收敛 例4 设f(x,y)xy 证明极限limf(x,y)不存在.(x,y)(0,0)0 ,(x,y)(0,0).(考虑沿直线ykx的方向极限).例5 设f(x,y)1,0,当0yx2,x时，证明极限limf(x,y)不

(x,y)(0,0)其余部分.存在.二重极限具有与一元函数极限类似的运算性质.例6 求下列极限: ⅰ>(x,y)(0,0)limsinxyx2ylim;ⅱ>;(x,y)(3,0)yx2y2 ⅲ>(x,y)(0,0)limxy11ln(1x2y2);ⅳ> lim.22(x,y)(0,0)xyxyf(x,y)的定义: 3． 极限(x,y)(x0,y0)lim其他类型的非正常极限，(x,y)无穷远点的情况.例7 验证(x,y)(0,0)lim1.222x3yEx

[1]P99—100 1⑴—⑹，4，5.（二）累次极限:

1.累次极限的定义: 定义.例8 设f(x,y)xy, 求在点(0 , 0)的两个累次极限.22xyx2y2例9 设f(x,y)2, 求在点(0 , 0)的两个累次极限.2xy例10 设f(x,y)xsin11ysin, 求在点(0 , 0)的两个累次极限与二重极限.yx 2.二重极限与累次极限的关系:

⑴ 两个累次极限存在时, 可以不相等.(例9)

⑵ 两个累次极限中的一个存在时, 另一个可以不存在.例如函数f(x,y)xsin1y在点(0 , 0)的情况.⑶ 二重极限存在时, 两个累次极限可以不存在.(例10)

⑷ 两个累次极限存在(甚至相等)二重极限存在.(参阅例4和例8).综上, 二重极限、两个累次极限三者的存在性彼此没有关系.但有以下确定关系.Th 2 若全面极限(x,y)(x0,y0)limf(x,y)和累次极限limlimf(x,y)(或另一次序)都存在,则

xx0yy0必相等.推论1 二重极限和两个累次极限三者都存在时, 三者相等.注: 推论1给出了累次极限次序可换的一个充分条件.推论2 两个累次极限存在但不相等时, 全面极限不存在.注: 两个累次极限中一个存在,另一个不存在全面极限不存在.参阅⑵的例.三、二元函数的连续性

（一）二元函数的连续概念：

xy22 , xy0 ,22xy例1 设f(x,y)

m , x2y20.1m2证明函数f(x,y)在点(0 , 0)沿方向ymx连续.1 , 0yx2, x ,例1 设f(x,y)

([1]P101)0 , 其他.证明函数f(x,y)在点(0 , 0)不全面连续但在点(0 , 0)f对x和y分别连续.2.函数的增量: 全增量、偏增量.用增量定义连续性.3.函数在区域上的连续性.4.连续函数的性质: 运算性质、局部有界性、局部保号性、复合函数连续性.

第三篇：多元函数微分学复习

第六章 多元函数微分学及其应用

6.1 多元函数的基本概念 一、二元函数的极限

定义 f(P)= f(x，y)的定义域为D, oP0(x0,y0)是D的聚点.对常数A，对于任意给定的正数，总存在正数，使得当点P(x，y)∈D U(P0,)，即

0|P0P|

(xx0)(yy0)22

时，都有

|f(P)–A|=|f(x，y)–A|<



成立，那么就称常数A为函数f(x，y)当(x，y)→(x0，(x,y)(x0,y0)y0)时的极限，记作

y0)), lim f(x,y)A或f(x，y)→A((x，y)→(x0,也记作

PP0limf(P)A

或

f(P)→A(P→P0)为了区别于一元函数的极限，上述二元函数的极限也称做二重极限.二、二元函数的连续性

(x,y)(x0,y0)limf(x,y)f

(x0,y0)，(x,y)(0,0)limz0

如果函数f(x , y)在D的每一点都连续，那么就称函数f(x , y)在D上连续，或者称f(x , y)是D上的连续函数.如果函数f(x , y)在点P0(x0,y0)不连续，则称P0(x0,y0)为函数f(x , y)的间断点.多元连续函数的和、差、积仍为连续函数；连续函数的商在分母不为零处仍连续；多元连续函数的复合函数也是连续函数。一切多元初等函数在其定义区域内是连续的.多元初等函数的极限值就是函数在该点的函数值，即

pp0limf(P)f(P0).有界性与最大值最小值定理 在有界闭区域D上的多元连续函数，必定在D上有界，且能取得它的最大值和最小值.介值定理 在有界闭区域D上的多元连续函数必取复介于最大值和最小值之间的任何值。

三、例题 例1 设f(x,y)xyg(xy)，已知f(x,0)xf(x,0)xg(x)x222，求

f(x,y)的表达式。

2解 由题设，有g(x)xx2，于是

。f(x,y)xy[(xy)(xy)]，即 f(x,y)(xy)2y例2 证明极限limxyxy623不存在。

x0y0 证 当(x,y)沿三次抛物线ykx

3趋于(0,0)时，有

limxyxyxyxy。

623623x0y0limxkx62336x0y0xkxlimk1k2

x0y0其值随k去不同值而取不同值。故极限lim不存在。

x0y0 例3 求极限limxy11xy2222x0y0 解

原式limxy2222x0y0xy1xy11zx2212limxx0y022y22xy0

6.2 偏导数与高阶导数 6.2.1 偏导数

一、概念

说明对x求导视zf(x,y)，ylimf(xx,y)f(x,y)x

x0为常数，几何意义也说明了这个问题

二元函数z=f(x , y)在点M0(偏导数数

x0,y0)的偏导数有下述几何意义.0fx(x0,y0)，就是曲面zf(x,y)与平面yy0的交线在点M0处的切线M0Tx对x轴的斜率.同样，偏导fy(x0,y0)的几何意义是曲面zf(x,y)与平面x=x0的交线在点M 2 基于如上理由，求

处的切线M0Ty对y轴的斜率.zx(x0,y0)时，（因此可能简化函数）再对xy0可先代入，求导

例 f(x,y)xarctany(xarctany(xarctany))，求fx(1,0)。

n重 解 f(x,0)x，fx(x,0)1，fx(1,0)1

二、可微，偏导数存在，连续的关系

偏导数存在可微连续

三、高阶偏导数

设函数z=f(x , y)在区域D内具有偏导数，偏导数连续可微，fxy和

fyx都连续，则

fxy=

fyx;

zx2fx(x,y),zyfy(x,y)，则这两个函数的偏导数称为函数z=f(x , y)的二阶

2偏导数。按照对变量求导次序的不同有下列四个二阶偏导数：

zzzzf(x,y),fxy(x,y),xx2xxxyxxyzxyzf(x,y),yxyyx2zyzfyy(x,y).2y2

四、偏导数，微分运算公式 1．z 2．dz f(x,y)，uu(x,y)，vv(x,y)

zxfuuxfvvx

zyfuuyfvvy

fudufvdvfu(udxuydy)fv(vdxvydy)xx(fuufvv)dx(fuuyfvvy)dyxx

d(uv)dudvd(uv)udvvduzx2

uvduudvd2vv

3．F(x,y,z)0 确定zz(x,y)，FxFz；

zy2FyFz6.2.2 求偏导数算例 例1（1）zarctanxy1xy，求

zx，zy，zx22，zxy。

解 zx1xy11xy11y221(1xy)(xy)(y)(1xy)11x2

由对称性 zy2，zx2222x(1x)，求

22；

2zxy220；（2）ulnxyz2ux22uy2uz2。

解ux122x222xyzxxyz22，2 ux由对称性 222xyzx2x(xyz)22222222222xyz2222222222(xyz)22

uy222xyz222，uz1222(xyz)uy22xyz2(xyz)2

故 ux2uz22xyz222。

（3）xy22f(x,y)xy0x022xy0，求

fx(0,0)，fy(0,0)

xy022 解 fx(0,0)limx0x0x220，同理fy(0,0)0；

ux，例2 uyf(xy,xy)，求

uxy2。

解 ux22yf12xf2y2xyf1yf2

uxy

(2y)f12x2yf2y2f21(2y)f22x 2xf12xyf1122x2yf122yf22y3f21xy2f22 2xf14xyf11

例3

zyzf(xy,)g，求

xyxxy2

解

yyf1yf22g2xxx2z

11y1xf12f1yf11ffxf2222221xyxxxxy1yy12f23f222gf12ff1xyf11xxxxxy)，求du。例4 uf(xy,xy,x解（1）z1xx2gg

yx2g1x

y3 duuxdxuydy

u1yuf1f2(1)f3f1f2f32；xxxy

故

y1duf1f22f3dxf1f2f3dy xxxdyydxd(xy)f2d(xy)f3解（2）duf12x

f1(dxdy)f2(dxdy)f3[f1f2yx2xdyydxx1x2

f3]dx[f1f2f3]dy

例5 设zz(x,y)由方程F(xzy,yzx)0，确定，F有连续一阶偏导数，求

zx，zy。

解（1）方程两边对x求导

zzxz0 F11xF2x2yxzyzF12F2xyF1F2zxx11xxF1yF2F1F2yx；

方程两边对y求导

zyz1zyFF11220 yxyzxzFFFxyF2122zyy 11yxF1yF2F1F2yxzy)F2d(yzx2；

解（2）方程两边取微分 F1d(x)0)F2(dyzy2F1(dxydzzdyyzx2xdzzdxx2)0

(F1

F2)dx(1yF11xF1F2)dy dzF2xyF1yzF2； 则 zxF11yF1zx12F2F2xyF1yzxxF1yF2F2；

zxxxF1yF2dydxx 例6 设yf(x,t)，tt(x,y)由F(x,y,t)0确定F,f可微，求。

解（1）对方程取微分

(1)dyfxdxftdtFxdxFydyFtdt0(2)dyfxdxft0

由（1）解得dt代入（2）得 FxdxFydyFt

则 FxFtfx/ftFxftFtfxdydxdxFtFfFytFyft解（2）

dy，即

dxFxftFtfxFyftF

yf(x,t(x,y))

dyttdyfxftdxxydx

dydxfxft1ftt 而xtyxtxFxFt；

tyux22FyFt，则

dydxFxftFtfxFyftF2

y， 例7 证明：当y时，方程x22xyuxy2y2uy20可化成标准形式

u220，其中uu(x,y)二阶偏导数连续。

证明：将u看成由u(,)，而yx，y复合成x,y的函数，uu((x,y),(y))

则 ux2ux2uuu1uuyu2；

xyyyx22yu1u22；

2xyxxx

ux222uyuy2223xxu21u

u22221u1uu1u1

222yxxx2则 xux222xyuxy2y2u22y2u220u220

小结

① 显函数（复合）二阶混合偏导数

② 隐函数求偏导，会用微分法，用复合法习题 1．zf(u)，u由方程u(u)

xyp(t)dt确定的x,y的函数，f,可微，P,连续，(u)1，求P(y)zxP(x)zy

（答案：0）（蔡 P146）

22．zz(x,y)由zexyz确定，求

zxy；

23．F(xy,yz)1确定了隐函数zz(x,y)，Fyy(x),zz(x)是由方程zxf(xy)和

具有连续二阶偏导数求

zyx

4．设5．t6．zF(x,y,z)0确定，f,F有连续偏导数，求

dzdx。

0，f可微且满足

kf(tx,ty,tz)tf(x,y,z)，证明 xfxyfyzfzkf。

。f(x,y)于(1,1)点可微，且f(1,1)1，fx(1,1)23x1。，fy(1,1)3。(x)f(x,f(x,x))求ddx[(x)]ux2y7．设变换vxay8．设可把方程6zx22zxy2zyx220化简为

zuvzx22202，求常数a的值。（a＝3）。

f(u)u有连续二阶导数，而uzf(esiny)满足

zy2ez2x，求

f(u)。（f(u)c1ec2e）

6.2 偏导数应用

偏导数应用注意四个方面：空间曲面曲线切平面、法线、切线、法平面；方向导数；梯度、散度、旋度；极值与条件极值。

6.3.1 内容小结

1． 空间曲线切线与法平面

xx(t)1）yy(t)

zz(t)切向量v(xt,yt,zt)

切线方程：

xx0xtyy0ytzz0zt

(x法平面方程：xtx0)yt(yy0)zt(zz0)0

xxyy(x)yy(x)2）zz(x)zz(x)切线方程：

v(1,y,z)类似的

xx01yy0yzz0z

法平面方程：xx0y(yy0)z(zz0)0

Fzz0F(x,z,y)0xxFxFyy3）v(1,y,z)xxG(x,y,z)0GxGyyxGzzx02． 空间曲面切平面与法线

1）F(x,y,z)0,n(Fx,Fy,Fz)|P0切平面：Fx|p0法线：

(xx0)Fy|p0(yy0)Fz|p0(zz0)0xx0Fx|p0yy0Fy|p0zz0Fz|p0

2）zf(x,y)Ff(x,y)zn(fx,fy,1)

切平面：类似地

fx(xx0)fy(yy0)(zz0)0

法线：xx0fxyy0fyzz01

xx(u,v)3）*yy(u,v)

zz(u,v)（参数方程形式）

切线 ,yu,zu),v2(xv,yv,zv)v1(xuixvjyuyvnv1v2xu(y,z)(z,x)(x,y)zu(u,v),(u,v),(u,v)zvk

3． 方向导数

uu(x,y,z)uluxcosuycosuzcosgradul（梯度在l方向投影）

4． 梯度、散度、旋度

，

xyzuuugraduu，xyz

divAAPxQyRz

rotAAixPjyQkzR

6.3.2 例题

例1 求曲线xt,yt,zt223上与平面x2yz4平行的切线方程。

解 切向量2(1,2t,3t)，n(1,2,1)由n，则n0，即，14t3t0t11,t2当t1时 (1,2,3),x11,y11,z11，切线方程为13x11y12z13

当t时 2(1,21111,),x2,y1,z1333927，x切线方程为13y11923z13127

22xy10例2 求空间曲线22xz10在点(3,1,1)处的切线方程和法平面方程。

解 22xy1022xz10确定了

yy(x),zz(x)，对x求导2x2yy02x2zz0x3y13，yzz13

xyxz

于

1法平面方程为x33(y1)3(z1)0，即x3y3z30 例3 求曲面x2M(3,1,1)点：y3,z3,v(1,3,3)切线方程为 yzx的切平面。使之与平面xy22z22垂直，同时也与xyz2垂直。

解 切平面法向量n(2x1,2y,2z)，n1(1,1,12)，n2(1,1,1)，依题意

n1n0

既有2x 12yz0

（1）

（2）n2n0 2x12y12z0

联立（1）（2）和原方程 22x42得解y4z022x42，y4z0

 n012222，0，n02,,0 2222切平面22(x242)22(y24)0

即

xyxy121222

得

22222x(y)0 2424x2y3z222即

例4 求u解 令

在(1,1,1)点沿x2yz3的外法线方向的方向导数。

22222F(x,y,z)xyz3，Fx2x,Fy2y,Fz2z于P(1,1,1)点n(2,2,2)，n(13,13,13)

unuxcosuycosuzcos111122x4y6z|43(1,1,1)3333

例5 设f(x,y)在fL3|p0fx1111p0点可微，L1，,L222227。，fL11,fL20

试确定L3使52fycos11，fL2fxcos2fycos20，则 解 fL1cos1 fxfx12fy121fx12y,f12

1f10y22 设L3(cos3,cos3)

从而fL3fxcos375fxcos375235 即

1245cos3 此时cos12cos345或cos752

cos3sin3，解得cos3或cos33335

34即L3,55例6 或L3243, 552 ulnxyz2，求div2(gradu)。

解 div(gradu)(u)u12ln(xyz)222ux22uy222uz22。

u，2ux22xxyz222222，2222ux22xyzx2x(xyz)xyz222(xyz)

由对称性 uy22xyz222222(xyz)2，uz22xyz222222(xyz)2

从而 div(gradu)1xyz222

例7 设a, b, c为常数，F证明(u,v)有连续一阶偏导数。

证 xayb,)0上任一点切平面都通过某定点。zczc11xayb，FyF2，FFFxF1Fz1222zczc(zc)(zc)F（则切平面方程为 F1取1zc(Xx)F21zc(Yy)1(zc)2F(xa)F2(yb)(zy)0

xa,Yb,Zc，则对任一的(x,y,z)点上式均满足，即过任一点的切平面都过(a,b,c)点。

。(xaz,ybz)0上任一点切平面都通过某定直线平行（F具有连续偏导数）

例8 设a,b为常数，证明曲面F证

FxF1，FyF2，FzaF1bF2，即n(F1,F2,aF1bF2)，取l(a,b,1)，则nl0，nl，曲面平行l，取直线

xx0ayy0bzz01，则曲面上任一点的切平面都与上述直线平行。例9 求二元函数u5方向导数最大？这个最大的方向导数值是多少？u沿那个方向减少得最快，沿哪个方向u的值不变？

解 xxyy22在点M(1,1)沿方向n1(2,1)的方向导数，并指出u在该点沿哪个方向的gradu|(1,1)(2xy,2yx)|(1,1)(3,3)，uM在点M(1,1)沿n方向的方向导数为

un132(gradu)n|M(3,3),555，方向导数取得最大值的方向为梯度方向，其最大值为为求使u变化的变化率为零的方向，令l

gradu|M32，u沿负梯度方向减少最快。

(cos,sin)，则，ululM(gradu|M)l3cos3sin32sin44或令0，得4，故在点(1,1)处沿4和4函数u得值不变化。

例10 一条鲨鱼在发现血腥味时，总是沿血腥味最浓的方向追寻。在海上进行试验表明，如果血源在海平面上，建立坐标系味：坐标原点在血源处，xOy2坐标面为海平面，Oz轴铅直向下，则点(x,224y,z)处血源的浓度C（每百万份水中所含血的份数）的近似值Ce(xy2z)/10。

（1）求鲨鱼从点1,1,1（单位为海里）出发向血源前进的路线2的方程；

（2）若鲨鱼以40海里/小时的速度前进，鲨鱼从1,1,1点出发需要用多少时间才能到达血源处？ 2解（1）鲨鱼追踪最强的血腥味，所以每一瞬时它都将按血液浓度变化最快，即C的梯度方向前进。由梯度的计算公式，得

2224CCC4(xy2z)/10gradC，10e(2x.2y,4z)xyz设曲线的方程为xx(t)，yy(t)，zz(t)，则的切线向量(dx,dy,dz)必与gradC平行，从而有 dx2xdy2ydz4z

解初始值问题

dydx2y2xy|1x1dzdx2x4zz|1x12

得

yx

解初始值问题

得

z12x2，所以所求曲线的方程为

xx，yx，z 12（2）曲线的长度 x2(0x1)s101yzdxxxln(31)2210x2xdx22x2ln(x2x1)

03212ln2（海里）

31)1。ln2（小时）

2因此到达血源处所用的时间为T6.4 多元函数的极值

13ln(402

一、无条件极值 限于二元函数zf(x,y)

1． z0x求驻点z0y驻点P

2． 于驻点P处计算Azx22，Bzxy2，Czy22。B2AC0是极值点，A0可取得极小值，A0可取极大值。

3． 条件极值：minuf(x,y,z)S.t.(x,y,z)0，令

Lf(x,y,z)(x,y,z)求无条件极值。

例1 求内接于椭球面，且棱平行对称轴的体积最大的长方体。

解 设椭球面方程为 xa22yb22zc221，长方体于第一卦限上的点的坐标为(x,y,z)，则

V8xyz，s.t.xa 22yb22zc221，令

2xa222x2yz L8xyz1a2b2c28yzLxL8xzy8xyLz及0(1)0(2)0(3)2yb2zc22xa22yb22zc221

由（1）（2）（3）得xa22b3yb22zc22tc3，代入（3）得t13，从而 xa3，y2，z22，此时V8abc33839abc。

例2 求由方程2x2yz8xzz80所确定的二元函数zf(x,y)的极值。解

方程两边对x,y求偏导数得：

4x2zzx8z8xzxzx0

„（1）

4y2zzy8xzyzy0

„（2）

4x8z016和原方程联立得驻点(2,0)，(,0)0，得x74y0y方程（1）对x,y再求偏导，方程（2）对y求偏导 令z0，z。

zzzzzz42888x0 2z222xxxxxx2zzyx2z22222„（3）

zxy282zy8x2zxy22zxy20

„（4）

zzzz

422z8x0

222yyyy将驻点(2,0)代入（此时z1）

„（5）

42A16AA0

AC415415

2B16BB0

B0

242C16CC0

BAC0，z1是极小值（因A>0）

将驻点8（4）（5）（此时z,0代入（3）

7716），同上过程有

A 415，B0，C415，2BAC0，A0，z87是极大值。

习题： 1 设uF(x,y,z)在条件(x,y,z)0和(x,y,z)0限制下，在P0(x0,y0,z0)处取得极值mFx1Lx20xx

。证明F(x,y,z)m，(x,y,z)0，(x,y,z)0在P0点法线共面。

正：L F(x,y,z)m12LFy120yyy

Fz1Lz20 zzFxxyzx0yzxyz5r2222由于(1,1,2)0，从而原方程有非零解，及系数矩阵为0FyFz，即三法向量共面。

2． 设f(x,y,z)lnxlny3lnz。点

3(x,y,z)在第一卦限球面

3上，①求f(x,y,z)的最大值。②证明 对任意正数a,b,c成立abc

abc275。

习题课

ye例1 设f(xy,lnx)1，求f(x,y)yxxeln(x)解 令xyu，lnxv。

yef(u,v)f(xy,lnx)1yxxeln(x)

xxxyxueveu2vexyxlnx(xy)ee2lnxxylnx

所以

f(x,y)xeyex2y.例2 讨论limxyxy是否存在.x0y0 解

当点 P(x,y)沿直线ykx趋向（0，0）时，limxyxy2ykxx0limxkxxkxx0limkx1kx00

(k1)，当点P(x,y)沿直线yxxlim2xyxy趋向（0，0）时，yxxx0lim2x(xx)x(xx)22lim(x1)1yxxx0x01，所以limxyxy不存在.x0y0 例3 22(xy)sinzf(x,y)0在（0，0）处是否连续？

1xy22(xy0)，22(xy0),22（1）（2）（3）（4）fx(0,0),fy(0,0)是否存在？

偏导数fx(x,y),fy(x,y)在（0，0）处是否连续？

f(x,y)在（0，0）处是否可微？

f(x,y)在（0，0）处是否连续，只要看limf(x,y)＝f(0,0)是否成立.因为

x0y0解

（1）函数 limf(x,y)lim(xy)sinx0y0221xy22

x0y0

limsin0210f(0,0).所以

f(x,y)在（0，0）处连续.（2）如同一元函数一样，分段函数在分界点处的偏导数应按定义来求.因为

(x)sinx021(x)x1(x)220 limf(x,0)f(0,0)xlimx0limxsinx00,所以

(3)fx(0,0)0，类似地可求得fy(0,0)0.当(x,y)(0,0)时

fx(x,y)2xsin

1xy1xy2222(xy)cosxxy22221xy221222xx2y23

2xsincos1xy2.因为 limfx(x,y)lim2xsinx0x0y0y01xy22xxy22cos不存在.22xy1所以 fx(x,y)在（0，0）处不连续。同理fy(x,y)在（0，0）处也不连续

（4）由于由fx(x,y),fy(x,y)在（0，0）处不连续，所以只能按定义判别f(x,y)在（0，0）处是否可微.fx(0,0)0，fy(0,0)0，故

x0y0limz[fx(0,0)xfy(0,0)y](x)(y)222

[(x)(y)]sinlimx0y02221(x)(y)220(x)(y)(x)(y)sin122 lim1(x)(y)22

x0y0limsinx0y00由全微分定义知f(x,y)在（0，0）处可微，且df(0,0)0.f(x,y,z)，zg(x,y)，yh(x,t)，t 例4 设u(x)，求

dudx.解

对于复合函数求导来说，最主要的是搞清变量之间的关系.哪些是自变量，哪些是中间变量，可借助于“树图”来分析.图9－1 由上图可见，u最终是x的函数，y，z，t都是中间变量.所以

dudxfxfxfhhdfgghhdyxtdxzxyxtdxfhyxfhdytdxfgzxfghzyx.fghdzytdx 从最后结论可以看出:若对x求导数(或求偏导数),有几条线通到”树梢”上的x,结果中就应有几项,而每一项又都是一条线上的函数对变量的导数或偏导数的乘积.简言之,按线相乘,分线相加 例5 z12xfxy1f2，f 可导，求zx.解 zx1f2x.y

例6 已知yetyx，而t是由方程ytx1确定的x，y的函数，求

ty222dydx.解

将两个方程对x求导数，得

ye(tyyt)12yy2tt2x0

解方程可得

2dydxtxye2ty2tyt(yt)e.例7 求曲面x2y3z21平行于平面x4y6z0的切平面方程.解

曲面在点(x,y,z)的法向量为 n ＝(Fx,Fy,Fz)(2x,4y,6z)，2x14y42已知平面的法向量为n1＝(1，4，6),因为切平面与已知平面平行，所以n//n1,从而有

6z6（1）

又因为点在曲面上，应满足曲面方程

x2y3z212

（2）

由（1）、（2）解得切点为(1,2,2)及(1,2,2), 所求切平面方程为：

或(x1)4(y2)6(z2)0(x1)4(y2)6(z2)012,1,1)。

这里特别要指出的是不要将n//n1不经意的写成n=n1,从而得出切点为(例8 在椭球面2x222的错误结论.2222yz1上求一点，使函数f(x,y,z)xyzel在该点沿l＝(1,–1,0)方向的方向导数最大.11,,0，22所以 fl fx12fy12fz20

2(xy)2(xy)在条件2x由题意，要考查函数

2yz1下的最大值，为此构造拉格朗日函数

222F(x,y,z)2(xy)(2x2yz1)，14

Fx24x0,Fy24y0, Fz2z0,2222x2yz1.解得可能取极值的点为 11,,0 22 及

11，0.222，因为所要求的最大值一定存在，比较

fl11,,022fl11，02222知12,1,02为所求的点.例9 求函数zxy222在圆(x22)(y22)9上的最大值与最小值.0,zy0，解得点(0,0).显然z(0,0)=0为最小值.解

先求函数z再求z2xy2在圆内的可能极值点.为此令zxxy在圆上的最大、最小值.为此做拉格朗日函数

22F(x,y)xy[(x2)(y22)9]，2Fx2x2(x2)0,Fy2y2(y2)0,22(x2)(y2)9.，代入（3）解得

(1)(2)(3)由（1）、（2）可知xy xy522，和

xy22，5252z,2225221.z,222)(y25252,22为z25，最小值为z0.比较z(0,0)、z

22、z三值可知：在(x,222)92上，最大值

第四篇：多元函数的微分学内容小结（本站推荐）

第二章 多元函数的微分学内容小结

多元函数微分学是一元函数微分学的推广和发展，两者的处理方法有很多相似之处．由于

自变量个数的增加，多元函数的微分学又产生了很多新内容，如偏导数、全微分、方向导数、条

件极值等．本章以二元函数为主讲述有关内容．

一、多元函数的定义、极限、连续及其性质

二、偏导数与全微分

3．全微分 三、二元函数的极值

四、多元微分学的几何应用

五、方向导数与梯度

第五篇：数学分析教案_(华东师大版)第十七章__多元函数微分学

《数学分析》教案

第十七章 多元函数微分学

教学目的：1.理解多元函数微分学的概念，特别应掌握偏导数、全微分、连续及偏导存在、偏导连续等之间的关系；2.掌握多元函数特别是二元函数可微性及其应用。

教学重点难点：本章的重点是全微分的概念、偏导数的计算以及应用；难点是复合函数偏导数的计算及二元函数的泰勒公式。教学时数：18学时

§ 1 可微性

一． 可微性与全微分：

1．可微性： 由一元函数引入.亦可写为 , 时

2．全微分:

.例1 考查函数

二.偏导数:

在点

处的可微性.P107例1 1.偏导数的定义、记法:

2.偏导数的几何意义: P109 图案17—1.《数学分析》教案

不存在.三.可微条件:

1.必要条件:

Th 1 设为函数定义域的内点.在点可微 , 和

存在 , 且

.(证)由于 , 微分记为

.定理1给出了计算可微函数全微分的方法.两个偏导数存在是可微的必要条件 , 但不充分.例10

考查函数

在原点的可微性.[1]P110 例5.2.充分条件:

《数学分析》教案

因此 , 即 , 在点 可微 ，.但

时, 有

, 沿方向

不存在，沿方向

极限

不存在;又 ,因此, 续.由 关于 和 对称,也在点

不存在 ，时，在点

处不连

处不连续.四.中值定理:

Th 4 设函数 在点 该邻域 , 则存在 , 使得 的某邻域内存在偏导数.若 和 ，属于.(证)例1

2设在区域D内

.证明在D内

.五.连续、偏导数存在及可微之间的关系：

六.可微性的几何意义与应用：

《数学分析》教案

简介二元复合函数 :

.以下列三种情况介绍复合线路图

;,;

.一.链导法则: 以“外二内二”型复合函数为例.Th 设函数

在点

在点

可微, 且

在点 D可微 , 函数

可微 , 则复合函数

,.(证)P118

称这一公式为链导公式.该公式的形式可在复合线路图中用所谓“分线加，沿线乘”或“并联加，串联乘”）来概括.对所谓“外三内二”、“外二内三”、“外一内二”等复合情况，用“并联加，串 联乘”的原则可写出相应的链导公式.《数学分析》教案

.P120例2 例7

设函数

可微 ,.求证

.二.复合函数的全微分: 全微分和全微分形式不变性.例8

.P122 例5

.利用全微分形式不变性求 , 并由此导出

和

§ 3 方向导数和梯度

一． 方向导数：

1． 方向导数的定义：

定义 设三元函数 在点 为从点 以表示 出发的射线.的某邻域 为 上且含于

内有定义.内的任一点 , 与 两点间的距离.若极限

存在 , 则称此极限为函数、.在点

沿方向 的方向导数 , 记为

或

《数学分析》教案

2.方向导数的计算:

Th 若函数 在点 方向导数都存在 , 且

可微 , 则 在点

处沿任一方向 的 +

+ , 其中、和 ，为 的方向余弦.(证)P125

+, 其中 和 对二元函数 是 的方向角.註

由 = 可见 , 为向量

+

+

，= , , , , , ，在方向 上的投影.例2(上述例1)解 ⅰ> 的方向余弦为

= , = , =.=1 , =

+., =

.因此 , =

+

=

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ⅰ>

.ⅱ>（+)=

+

.ⅲ>（）=

+

.ⅳ>.ⅴ>

()=

.证ⅳ> ,..§ 4 Taylor公式和极值问题

一、高阶偏导数: 1.高阶偏导数的定义、记法：

例9 求二阶偏导数和

.P128

例10.求二阶偏导数.P1282.关于混合偏导数: P129—131.3

《数学分析》教案

解 ,.=

+

+

+

= = +2

+

.=

+

+

+

= =

+

+

.=

+ +

.因此 ，+（+.令 , 或

.或 ……, 此时方程

化简为

二． 中值定理和泰肋公式：

凸区域.5

《数学分析》教案

例2 P136例5 2． 极值的必要条件：与一元函数比较.Th 3 设 =为函数 的极值点.则当

和存在时 , 有

.(证)函数的驻点、不可导点，函数的可疑点.3.极值的充分条件:

代数准备: 给出二元(实)二次型 矩阵为

.其.ⅰ> 是正定的, 顺序主子式全 ，是半正定的, 是负定的，顺序主子式全;ⅱ> , 其中

为 阶顺序主子式.是半负定的，.ⅲ> < 0时, 是不定的.7

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ⅰ>

时 , 时 ，为极小值点;ⅱ> 为极大值点;ⅲ> 时 , 不是极值点;ⅳ> 时 , 可能是极值点 , 也可能不是极值点.例3—7 P138—140 例6—10.四． 函数的最值：

例8 求函数

在域D = 上的最值.解 令

解得驻点为

..在边界

;

上 , , 驻点为 , 在边界

在边界 驻点为 ，上 , , 没有驻点;

上 , ，.9