小五数学第6讲组合(学生版)（含5篇）

第一篇：小五数学第6讲组合(学生版)

第6讲组合

组合定义：一般地，从n个不同元素中取出m个（m≤n）元素组成一组不计较组内各元素的次序，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.由组合的定义可以看出，两个组合是否相同，只与这两个组合中的元素有关，而与取到这些元素的先后顺序无关.只有当两个组合中的元素不完全相同时，它们才是不同的组合.从n个不同元素中取出m个元素（m≤n）的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取

m出m个不同元素的组合数.记作Cn.一般地，求从n个不同元素中取出m个元素排成一列的排列数Pnm可以分两步求得：

m第一步：从n个不同元素中取出m个元素组成一组，共有Cn种方法；

第二步：将每一个组合中的m个元素进行全排列，共有Pnm种排法.故由乘法原理得到：P是组合数公式.mnm一般地，组合数有下面的重要性质：Cn＝Cn（m≤n）n0规定Cn＝1，Cn＝1.mn＝

Cmn·

Pmn，因此

Pnmnn1n2nm1这就Cmmm1m2321Pmmn

教学重点: 掌握组合应用题

教学难点：正确利用加法原理、乘法原理，计算出所要求的组合钟数

负数

数学家、生物学家和物理学家坐在街头咖啡屋里，看着人们从街对面的一间房子走进走出。他们先看到两个人进去，时光流逝，他们又看到三个人出来。物理学家:“测量不够准确。”生物学家：“他们进行了繁殖。”数学家:“如果现在再进去一个人，那房子就空了。”

1．某客轮航行于天津、青岛、大连三个城市之间.那么，船票共有几种价格（往返票价相同）？

2.计算： C6C6

551983 计算：①C200；②C56；

4从分别写有1、3、5、7、9的五张卡片中任取两张，作成一道两个一位数的乘法题，问： ①有多少个不同的乘积？ ②有多少个不同的乘法算式？ 在一个圆周上有10个点，以这些点为端点或顶点，可以画出多少不同的①直线段，②三角形，③四边形？ 如下图，问：

①下左图中，共有多少条线段？ ②下右图中，共有多少个角？

1.计算：

31998①C15；②C2000；

A

2.从分别写有1、2、3、4、5、6、7、8的八张卡片中任取两张作成一道两个一位数的加法题.问：

①有多少种不同的和？ ②有多少个不同的加法算式？

3.某班毕业生中有10名同学相见了，他们互相都握了一次手，问这次聚会大家一共握了多少次手？

4.在圆周上有12个点.①过每两个点可以画一条直线，一共可以画出多少条直线？ ②过每三个点可以画一个三角形，一共可以画出多少个三角形？

5.5本不同的书，全部分给4个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为多少种？

B 98100341.计算：C100 2C100C122C

52．有4名学生报名参加数学、物理、化学竞赛，每人限报一科，有多少种不同的报名方法？

3.有4名学生参加争夺数学、物理、化学竞赛冠军，有多少种不同的结果？

4.1名老师和4名获奖同学排成一排照相留念，若老师不站两端则有不同的排法有多少种？

5.有七名学生站成一排，某甲不排在首位也不排在末位的排法有多少种？

C 1.7名志愿者中安排6人在周六、周日两天参加社区公益活动。若每天安排3人，则不同的安排方案共有________________种（用数字作答）。

2.将4名大学生分配到3个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，则不同的分配方案有种（用数字作答）．

3．某校举行排球单循环赛，有12个队参加.问：共需要进行多少场比赛？

4．某班要在42名同学中选出3名同学去参加夏令营，问共有多少种选法？如果在42人中选3人站成一排，有多少种站法？

5、由0，1，2，3，4，5这六个数字。（1）能组成多少个无重复数字的四位数？（2）能组成多少个无重复数字的四位偶数？

（3）能组成多少个无重复数字且被25个整除的四位数？（4）组成无重复数字的四位数中比4032大的数有多少个？

1由数字0、1、2、3可以组成多少个没有重复数字的偶数？

2.国家举行足球赛，共15个队参加.比赛时，先分成两个组，第一组8个队，第二组7个队.各组都进行单循环赛（即每个队要同本组的其他各队比赛一场）.然后再由各组的前两名共4个队进行单循环赛，决出冠亚军.问：①共需比赛多少场？②如果实行主客场制（即A、B两个队比赛时，既要在A队所在的城市比赛一场，也要在B队所在的城市比赛一场），共需比赛多少场？

3在一个半圆周上共有12个点，如右图，以这些点为顶点，可以画出多少个 ①三角形？ ②四边形？

4.如下图，问

①下左图中，有多少个长方形（包括正方形）？ ②下右图中，有多少个长方体（包括正方体）？

5．甲、乙、丙、丁4人各有一个作业本混放在一起，4人每人随便拿了一本，问： ①甲拿到自己作业本的拿法有多少种？ ②恰有一人拿到自己作业本的拿法有多少种？ ③至少有一人没有拿到自己作业本的拿法有多少种？ ④谁也没有拿到自己作业本的拿法有多少种？

33261．计算：C4；PC88C8

2.由数字0、1、2、3、4可以组成多少个 ①三位数？

②没有重复数字的三位数？ ③没有重复数字的三位偶数？ ④小于1000的自然数？

3.将3封不同的信投入4个不同的邮筒，则有多少种不同投法？

4.从15名同学中选5人参加数学竞赛，求分别满足下列条件的选法各有多少种？ ①某两人必须入选； ②某两人中至少有一人入选； ③某三人中恰入选一人； ④某三人不能同时都入选.5.如右图，两条相交直线上共有9个点，问：一共可以组成多少个不同的三角形？

6.计算下左图中有多少个梯形？

7.计算下右图中有多少个长方体？

8.七个同学照相，分别求出在下列条件下有多少种站法？ ①七个人排成一排；

②七个人排成一排，某两人必须有一人站在中间； ③七个人排成一排，某两人必须站在两头； ④七个人排成一排，某两人不能站在两头；

⑤七个人排成两排，前排三人，后排四人，某两人不在同一排.

第二篇：小五数学第6讲组合(教师版)

第6讲组合

组合定义：一般地，从n个不同元素中取出m个（m≤n）元素组成一组不计较组内各元素的次序，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.由组合的定义可以看出，两个组合是否相同，只与这两个组合中的元素有关，而与取到这些元素的先后顺序无关.只有当两个组合中的元素不完全相同时，它们才是不同的组合.从n个不同元素中取出m个元素（m≤n）的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取

m出m个不同元素的组合数.记作Cn.一般地，求从n个不同元素中取出m个元素排成一列的排列数Pnm可以分两步求得：

m第一步：从n个不同元素中取出m个元素组成一组，共有Cn种方法；

第二步：将每一个组合中的m个元素进行全排列，共有Pnm种排法.故由乘法原理得到：P是组合数公式.mnm一般地，组合数有下面的重要性质：Cn＝Cn（m≤n）n0规定Cn＝1，Cn＝1.mn＝

Cmn·

Pmn，因此

Pnmnn1n2nm1这就Cmmm1m2321Pmmn

教学重点: 掌握组合应用题

教学难点：正确利用加法原理、乘法原理，计算出所要求的组合钟数

负数

数学家、生物学家和物理学家坐在街头咖啡屋里，看着人们从街对面的一间房子走进走出。他们先看到两个人进去，时光流逝，他们又看到三个人出来。物理学家:“测量不够准确。”生物学家：“他们进行了繁殖。”数学家:“如果现在再进去一个人，那房子就空了。”

1．某客轮航行于天津、青岛、大连三个城市之间.那么，船票共有几种价格（往返票价相同）？ 分析：这个问题实际上可以这样分两步完成：第一步是从三个城市中选两个城市，是一个组

2合问题，由组合数公式，有取C3法.第二步是将取出的两个城市进行排列，由全排列公式，222222有P22种排法，所以，由乘法原理得到P3C3P2.故有：C3P3P2＝（3×2）÷2＝3种价格.答案：3种。2.计算： C6C6解析：组合计算 6515 解：2654315

4321551983 计算：①C200；②C56；

解析：组合计算 解： 565520019919800=1540

224从分别写有1、3、5、7、9的五张卡片中任取两张，作成一道两个一位数的乘法题，问： ①有多少个不同的乘积？ ②有多少个不同的乘法算式？

分析①中，要考虑有多少个不同乘积.由于只要从5张卡片中取两张，就可以得到一个乘积，所以，有多少个乘积只与所取的卡片有关，而与卡片取出的顺序无关，所以这是一个组合问题.②中，要考虑有多少个不同的乘法算式，它不仅与两张卡片上的数字有关，而且与取到两张卡片的顺序有关，所以这是一个排列问题.P52解：①由组合数公式，共有C210个不同的乘积.P225②由排列数公式，共有P52＝ 5×4＝20种不同的乘法算式.5 在一个圆周上有10个点，以这些点为端点或顶点，可以画出多少不同的①直线段，②三角形，③四边形？

分析由于10个点全在圆周上，所以这10个点没有三点共线，故只要在10个点中取2个点，就可以画出一条线段；在10个点中取3个点，就可以画出一个三角形；在10个点中取4个点，就可以画出一个四边形，三个问题都是组合问题.解：由组合数公式.2P10①C245

C22103P10②C3120

C33104 P10③C4210

C4410 如下图，问：

①下左图中，共有多少条线段？ ②下右图中，共有多少个角？

分析①中，在线段AB上共有7个点（包括端点A、B）.注意到，只要在这七个点中选出两

2个点，就有一条以这两个点为端点的线段，所以，这是一个组合问题，而C7表示从7个点

2中取两个不同点的所有取法，每种取法可以确定一条线段，所以共有C7条线段.②中，从O点出发的射线一共有11条，它们是OA，OP1，OP，OP，„，OP9，OB.注意到每两条射线可以形成一个角，所以，只要看从11条射线中取两条射线有多少种取法，就有

22多少个角.显然，是组合问题，共有C11种不同的取法，所以，可组成C11个角.2

3P72解：①由组合数公式知，共有C221条不同的线段；

P2272P11②由组合数公式知，共有C255

P2211

1.计算：

31998①C15；②C2000；

A 答案：①455；②1998000；

2.从分别写有1、2、3、4、5、6、7、8的八张卡片中任取两张作成一道两个一位数的加法题.问：

①有多少种不同的和？ ②有多少个不同的加法算式？ 答案：① 28；②56.3.某班毕业生中有10名同学相见了，他们互相都握了一次手，问这次聚会大家一共握了多少次手？ 答案： 45.4.在圆周上有12个点.①过每两个点可以画一条直线，一共可以画出多少条直线？ ②过每三个点可以画一个三角形，一共可以画出多少个三角形？ 答案：① 66；②220.5.5本不同的书，全部分给4个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为多少种？ 答案：240种

B

98100341.计算：C100 2C100C122C5答案：4948； 230 2．有4名学生报名参加数学、物理、化学竞赛，每人限报一科，有多少种不同的报名方法？ 答案：34

3.有4名学生参加争夺数学、物理、化学竞赛冠军，有多少种不同的结果？ 答案：4

4.1名老师和4名获奖同学排成一排照相留念，若老师不站两端则有不同的排法有多少种？ 答案：共有72种。.5.有七名学生站成一排，某甲不排在首位也不排在末位的排法有多少种？ 答案:3600

C 1.7名志愿者中安排6人在周六、周日两天参加社区公益活动。若每天安排3人，则不同的安排方案共有________________种（用数字作答）。

33解析：C7C4140，3答案：140 2.将4名大学生分配到3个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，则不同的分配方案有种（用数字作答）． 答案36 3．某校举行排球单循环赛，有12个队参加.问：共需要进行多少场比赛？ 答案：由组合数公式知，共需进行C1266场比赛.4．某班要在42名同学中选出3名同学去参加夏令营，问共有多少种选法？如果在42人中选3人站成一排，有多少种站法？ 答案： 68880

25、由0，1，2，3，4，5这六个数字。（1）能组成多少个无重复数字的四位数？（2）能组成多少个无重复数字的四位偶数？

（3）能组成多少个无重复数字且被25个整除的四位数？（4）组成无重复数字的四位数中比4032大的数有多少个？ 答案：（1）300(2)156(3)21(4)112

1由数字0、1、2、3可以组成多少个没有重复数字的偶数？ 答案：27个

2.国家举行足球赛，共15个队参加.比赛时，先分成两个组，第一组8个队，第二组7个队.各组都进行单循环赛（即每个队要同本组的其他各队比赛一场）.然后再由各组的前两名共4个队进行单循环赛，决出冠亚军.问：①共需比赛多少场？②如果实行主客场制（即A、B两个队比赛时，既要在A队所在的城市比赛一场，也要在B队所在的城市比赛一场），共需比赛多少场？ 答案：110场

3在一个半圆周上共有12个点，如右图，以这些点为顶点，可以画出多少个 ①三角形？ ②四边形？

答案：①210个 ②420个 4.如下图，问

①下左图中，有多少个长方形（包括正方形）？ ②下右图中，有多少个长方体（包括正方体）？

答案：①左图中共有210个长方形.②右图中共有900个长方体.5．甲、乙、丙、丁4人各有一个作业本混放在一起，4人每人随便拿了一本，问： ①甲拿到自己作业本的拿法有多少种？ ②恰有一人拿到自己作业本的拿法有多少种？ ③至少有一人没有拿到自己作业本的拿法有多少种？ ④谁也没有拿到自己作业本的拿法有多少种？ 解：①6 ②8 ③23 ④9

33261．计算：C4；PC88C8 答案：224； 28.2.由数字0、1、2、3、4可以组成多少个 ①三位数？

②没有重复数字的三位数？ ③没有重复数字的三位偶数？ ④小于1000的自然数？

答案：①100；②48；③30；④124.3.将3封不同的信投入4个不同的邮筒，则有多少种不同投法？ 答案：4

4.从15名同学中选5人参加数学竞赛，求分别满足下列条件的选法各有多少种？ ①某两人必须入选； ②某两人中至少有一人入选； ③某三人中恰入选一人； ④某三人不能同时都入选.答案：① 286；②1716；③1485；④2937.5.如右图，两条相交直线上共有9个点，问：一共可以组成多少个不同的三角形？ 答案：60.6.计算下左图中有多少个梯形？ 3

22答案：C6×C6＝225； 7.计算下右图中有多少个长方体？

222答案C5×C6×C5＝1500.8.七个同学照相，分别求出在下列条件下有多少种站法？ ①七个人排成一排；

②七个人排成一排，某两人必须有一人站在中间； ③七个人排成一排，某两人必须站在两头； ④七个人排成一排，某两人不能站在两头；

⑤七个人排成两排，前排三人，后排四人，某两人不在同一排.答案：①5040；②1440；③240；④ 2400；⑤ 2880.

第三篇：小五数学第14讲：分数的问题(学生版)

第十四讲

分数的问题

1、分数的意义：把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数，叫做分数。

2、分数单位：把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份的数叫做分数单位。

一、分数与除法的关系，真分数和假分数

1、分数与除法的关系：除法中的被除数相当于分数的分子，除数相等于分母。

2、真分数和假分数：

① 分子比分母小的分数叫做真分数，真分数小于1。

② 分子比分母大或分子和分母相等的分数叫做假分数，假分数大于1或等于1。③ 由整数部分和分数部分组成的分数叫做带分数。

2、假分数与带分数的互化：

① 把假分数化成带分数，用分子除以分母，所得商作整数部分，余数作分子，分母不变。

② 把带分数化成假分数，用整数部分乘以分母加上分子作分子，分母不变。

二、分数的基本性质

分数的分子和分母同时乘或除以相同的数（0除外），分数的大小不变，这叫做分数的基本性质。

2、分数的大小比较：

① 同分母分数，分子大的分数就大，分子小的分数就小； ② 同分子分数，分母大的分数反而小，分母小的分数反而大。③ 异分母分数，先化成同分母分数（分数单位相同），再进行比较。（依据分数的基本性质进行变化）

三、约分（最简分数）

1、最简分数：分子和分母只有公因数1的分数叫做最简分数。

2、约分：把一个分数化成和它相等，但分子和分母都比较小的分数，叫做约分。（并不是一定要把分数化成与它相等的最简分数才叫约分；但一般要约到最简分数为止）

注意：分数加减法中，计算结果能约分的，一般要约分成最简分数。

五、分数和小数的互化：

1、小数化分数：一位小数表示十分之几，两位小数表示百分之几，三位小数表示千分之几??，能约分的必须约成最简分数；

2、分数化小数：用分子除以分母，除不尽的按要求保留几位小数。（一般保留三位小数。）

3、分数和小数比较大小：一般把分数变成小数后比较更简便。

六、分数的加法和减法

1、真分数加减法

（1）同分母分数加、减法（分母不变，分子相加减）（2）异分母分数加、减法（通分后再加减）（3）分数加减混合运算：同整数。（4）结果要是最简分数

2、带分数加减法: 带分数相加减，整数部分和分数部分分别相加减，再把所得的结果合并起来。

3、（1）同分母分数加、减法 ①同分母分数加、减法：

同分母分数相加、减，分母不变，只把分子相加减。②计算的结果，能约分的要约成最简分数。（2）异分母分数加、减法

①分母不同，也就是分数单位不同，不能直接相加、减。②异分母分数的加减法： 异分母分数相加、减，要先通分，再按照同分母分数加减法的方法进行计算。（3）分数加减混合运算

①分数加减混合运算的运算顺序与整数加减混合运算的顺序相同。

在一个算式中，如果有括号，应先算括号里面的，再算括号外面的；如果只含有同一级运算，应从左到右依次计算。36722412、、、四个分数中，第二大的是.41832913112.有一个分数,分子加1可以约简为,分子减1可约简为,这个分数是.351．在3.已知A1241B90%C75%DE1.把A、B、C、D、E这五个数355从小到大排列,第二个数是.4.所有分母小于30并且分母是质数的真分数相加,和是.5.三个质数的倒数和为

a,则a=.2316.计算,把结果写成若干个分母是质数的既约分数之和: 15111=.9919951995

A

1.分数717192、、、从小到大排列为.31026292.有分母都是7的真分数、假分数和带分数各一个，它们的大小只差一个分数单位.这三个分数分别是.3.已知A151123473B15C15.2D14.8.A、B、C、D四个9934574数中最大的是.4.所有分子为11,而且不能化成有限小数的假分数共有个.5.在等式a1是.B

6.在下面算式的两个括号中,各填入一个三位数,使等式成立: 3b中,a,b都是由三个数字1,4,7组成的带分数,这两个带分数的和4111.1998  7.将五个数1012152030，，按从小到大的顺序排列,其中第3个位置与第4个位置1923293759上的两数之和为.8.设111，化为循环小数后,它们的循环节长度分别是m,n,k(即它们的循环节37143271分别有m,n,k位),则m+n+k=.13表示成三个不同的分数单位和的式子是.238332331910.小林写了八个分数,已知其中的五个分数是、、、、，如果

77317222291839.把这八个分数从小到大排列的第四个分数是

3，那么按从大到小排列的第三个分数是.29C

111，其中A>B,求AB.1997AB1111112.将写成分母是连续自然数的五个真分数的和.2123056902213.在分母小于15的最简分数中,比大并且最接近的是哪一个?

553a514.分数中的a是一个自然数,为了使这个分数成为可约分数, a最小是多少? a811．如果15.(1)要把9块完全相同的巧克力平均分给4个孩子(每块巧克力最多只能切成两部分),怎么分?(2)如果把上面(1)中的“4个孩子”改为“7个孩子”，好不好分？如果好分，怎么分？如果不好分，为什么？

1.有一个分数,它的分母比分子多4.如果把分子、分母都加上9,得到的分数约分后是这个分数是.2.甲、乙两数是自然数,如果甲数的是.3.商店的书包降价元钱一个.7,951恰好是乙数的.那么甲、乙两数之和的最小值6411后,又提价,最后的价格是8元1角一个,那么最初是 451,二年前母子年龄相差24岁,四年后小萍的年龄是.355.甲从A地到B地需要5小时,乙从B地到A地,速度是甲的.现在甲、乙二人分别从A、B84.小萍今年的年龄是妈妈的两地同时出发,相向而行.在途中相遇后继续前进.甲到B地后立即返回,乙到A地后也立即返回,他们在途中又一次相遇.如果两次相遇点相距72千米,A、B两地相距多少千米?

1.足球赛门票15元一张,降价后观众增加了一半,收入增加了五分之一,一张门票降价是元.2.把一根绳子分别等分折成5股和6股,如果折成5股比6股长20厘米,那么这根绳子的长度是厘米.3.张、王、李三人共有54元,张用了自己钱数的钱数的元.4.某工厂的27位师傅共带徒弟40名,每位师傅可以带一名徒弟、两名徒弟或三名徒弟.如果带一名徒弟的师傅人数是其他师傅的人数的两倍,那么带两名徒弟的师傅有位.5.李明到商店买一盒花球,一盒白球,两盒球的数量相等.花球原价是1元钱2个,白球原价是1元钱3个.节日降价,两种球的售价都是2元钱5个,结果李明少花了4元钱,那么他共买了个球.6.把100个人分成四队,一队人数是二队人数的1倍,一队人数是三队人数的133,王用了自己钱数的,李用了自己542,各买了一支相同的钢笔,那么张和李两人剩下的钱共有 3131倍,那4么四队有人.7.有一篓苹果,甲取一半少一个,乙取余下的一半多一个,丙又取余下的一半,结果还剩下一个,如果每个苹果1元9角8分,那儿这篓苹果共值元.8.小刚有若干本书,小华借走一半加一本,剩下的书小明借走一半加两本,再剩下的书小峰借走一半加三本,最后小刚还剩下两本书,那么小刚原有本书.9.一条绳子第一次剪掉1米,第二次剪掉剩余部分的余部分的长米.第四次剪前绳长(41)11,第三次剪掉1米,第四次剪掉剩223,第五次剪掉1米,第六次剪掉剩余部分的,这条绳子还剩下1米.这条绳子原342=15(米), 3232(米),绳子原长32+1=33米.3 第二次剪前绳长(151)1



第四篇：小五数学第15讲：牛吃草(教师版)

第十五讲

牛吃草问题

牛吃草问题是牛顿问题，因牛顿提出而得名的。“一堆草可供10头牛吃3天，供6头牛吃几天？”这题很简单，用3×10÷6=5（天），如果把“一堆草”换成“一片正在生长的草地”，问题就不那么简单了。因为草每天走在生长，草的数量在不断变化。这类工作总量不固定（均匀变化）的问题就是“牛吃草”问题。

解题思路培养：解答这类题的关键是要想办法从变化中找到不变的量。牧场上原有的草是不变的，新长出的草虽然在变化，因为是匀速生长，所以每天新长出的草是不变的。正确计算草地上原有的草及每天长出的草，问题就容易解决了。

掌握四个基本：公式解决牛吃草问题常用到四个基本公式，分别是︰

假设定一头牛一天吃草量为“1”

1）草的生长速度＝（对应的牛头数×吃的较多天数－相应的牛头数×吃的较少天数）÷（吃的较多天数－吃的较少天数）；

2）原有草量＝牛头数×吃的天数－草的生长速度×吃的天数；`

3）吃的天数＝原有草量÷（牛头数－草的生长速度）；

4）牛头数＝原有草量÷吃的天数＋草的生长速度。

1.牧场上有一片牧草，可供27头牛吃6周，或者供23头牛吃9周。如果牧草每周匀速生长，可供21头牛吃几周？

答案：12周

解析：27×6=16223×9=207207-162=4545/(9-6)=15每周生长数 162-15×6=72(原有量)72/(21-15)=12周

2.有一口水井，如果水位降低，水就不断地匀速涌出，且到了一定的水位就不再上升。现在用水桶吊水，如果每分吊4桶，则15分钟能吊干，如果每分钟吊8桶，则7分吊干。现在需要5分钟吊干，每分钟应吊多少桶水？

答案：11桶

解析：4×15=608×7=5660-56=44/(15-7)=0.5(每分钟涌量)60-15×0、5=52、5（原有水量）

52、5+/(5×0.5)/5=11桶

3.有一片牧草，每天以均匀的速度生长，现在派17人去割草，30天才能把草割完，如果派19人去割草，则24天就能割完。如果需要6天割完，需要派多少人去割草？

答案：49人

解析：17×30=51019×24=456510-456=5454/(30-24)=9每天生长量 510-30×9=240原有草量240+6×9=294294/6=49人

4.有一桶酒，每天都因桶有裂缝而要漏掉等量的酒，现在这桶酒如果给6人喝，4天可喝完；如果由4人喝，5天可喝完。这桶酒每天漏掉的酒可供几人喝一天？

答案：4人

解析：6×4=244×5=2024-20=44/(5-4)=4每天漏掉数 24+4×4=40原有数

这桶酒每天漏掉的酒可供4人喝一天

5.一水库存水量一定，河水均匀入库。5台抽水机连续20天可抽干；6台同样的抽水机连续15天可抽干。若要6天抽干，需要多少台同样的抽水机？

答案：12台

解析：5×20=1006×15=90100-90=1010/（20-15）=2每天入库数 100-20×2=60原有库存数60+2×6=7272/6=12台

6.自动扶梯以均匀速度由下往上行驶，小明和小红要从扶梯上楼，已知小明每分钟走20梯级，小红每分钟走14梯级，结果小明4分钟到达楼上，小红用5分钟到达楼上，求扶梯共有多少级？

答案：120 解析：20×4=8014×5=7080-70=1010/（5-4）=10每分钟减少数 80+4×10=120原有数70+5×10=120

A

1.牧场上长满了牧草，牧草每天匀速生长，这片牧草可供10头牛吃20天，可供15 头牛吃10天。问：这片牧草可供25头牛吃多少天？ 答案：5天

解析：假设1头牛1天吃的草的数量是1份 草每天的生长量：（200-150）÷（20-10）=5份10×20=200份„„原草量+20天的生长量 原草量：200-20×5=100 或150-10×5=100份15×10=150份„„原草量+10天的生长量

100÷（25-5）=5天

2.牧场上长满了青草，而且每天还在匀速生长，这片牧场上的草可供9头牛吃20天，可供15头牛吃10天，如果要供18头牛吃，可吃几天？

解析：假设1头牛1天吃的草的数量是1份 草每天的生长量：（180-150）÷（20-10）=3份

9×20=180份„„原草量+20天的生长量 原草量：180-20×3=120份 或150-10×3=120份 15×10=150份„„原草量+10天的生长量 120÷（18-3）=8天

3.由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不长大，反而以固定速度在减少。已知某块 草地上的草可供20头牛吃5天，或可供15头牛吃6天。照此计算，可供多少头牛吃10天？ 解析：假设1头牛1天吃的草的数量是1份 草每天的减少量：（100-90）÷（6-5）=10份

20×5=100份„„原草量-5天的减少量 原草量：100+5×10=150 或90+6×10=150份 15×6=90份„„原草量-6天的减少量（150-10×10）÷10=5头

4.由于天气逐渐寒冷，牧场上的牧草每天以均匀的速度减少，经测算，牧场上的草可供30头牛吃8天，可供25头牛吃9天，那么可供21头牛吃几天？

解析：假设1头牛1天吃的草的数量是1份 草每天的减少量：（240-225）÷（9-8）=15份

30×8=240份„„原草量-8天的减少量 原草量：240+8×15=360份或220+9×15=360份 25×9=225份„„原草量-9天的减少量 360÷（21+15）=10天

5.自动扶梯以均匀速度由下往上行驶着，两位性急的孩子要从扶梯上楼。已知男孩每

分钟走20级梯级，女孩每分钟走15级梯级，结果男孩用了5分钟到达楼上，女孩用了6分钟到达楼上。问：该扶梯共有多少级？

解析：男孩：20×5 =100（级）自动扶梯的级数-5分钟减少的级数 女孩;15×6=90（级）自动扶梯的级数-6分钟减少的级数 每分钟减少的级数=(20×5-15×6)÷(6-5)=10(级)自动扶梯的级数=20×5+5×10=150（级）

B 6.两个顽皮孩子逆着自动扶梯行驶的方向行走，男孩每秒可走3级阶梯，女孩每秒可走2级阶梯，结果从扶梯的一端到达另一端男孩走了100秒，女孩走了300秒。问该扶梯共有多少级？

解析：3×100=300自动扶梯级数+100秒新增的级数 2×300=600自动扶梯级数+300秒新增的级数

每秒新增的级数：（2×300-3×100）÷（300-100）=1.5（级）自动扶梯级数=3×100-100×1.5=150（级）

7.有一片牧场，操每天都在匀速生长（每天的增长量相等），如果放牧24头牛，则6天吃完草，如果放牧21头牛，则8天吃完草，设每头牛每天的吃草量相等，问：要使草永远吃不完，最多只能放牧几头牛？ 解析：假设1头1天吃1个单位 24*6=144 21*8=168 168-144=24 每天长的草可供24/2=12头牛吃 最多只能放12头牛

8.有一片草地，草每天生长的速度相同。这片草地可供5头牛吃40天，或6供头牛吃30天。如果4头牛吃了30天后，又增加2头牛一起吃，这片草地还可以再吃几天？ 解析：假设1头1天吃1个单位 5*40=200；6*30=180 200-180=20 每天长的草:20/(40-30)=2 原有草：200-2*40=120 4*30=120，30*2=60 60/4=15天

9.假设地球上新增长资源的增长速度是一定的，照此推算，地球上的资源可供110亿人生活90年，或可供90亿人生活210年，为了人类不断繁衍，那么地球最多可以养活多少亿人？ 解析：假设1亿人头1天吃1个单位 110*90=9900；90*210=18900 18900-9900=9000 9000/(210-90)=75 10.两只蜗牛由于耐不住阳光照射，从井顶走向井底，白天往下走，一只蜗牛一个白天能走20分米，另一只只能走15分米；黑夜里往下滑，两只蜗牛下滑速度相同，结果一只蜗牛5昼夜到达井底，另一只却恰好用了6昼夜。问井深是多少？

解析：20×5=10015*6=90100-90=1010/(6-5)=10黒夜下滑数 100+5×10=15015×6+10×6=150

C

11.李村组织农民抗旱，从一个有地下泉的池塘担水浇地。如果50人担水，20小时可把池水担完。如果70人担水，10小时可把池水担完。现有130人担水，几小时可把池水担完？

解析：50×20=100070×10=7001000-700=300300/(20-10)=30每小时增加1000-30×20=400原有

400/(130-30)=4小时 12.一片青草地，每天都匀速长出青草，这片青草可供27头牛吃6周或23头牛吃9周，那么这片草地可供21头牛吃几周？

解析：这片草地上的草的数量每天都在变化，解题的关键应找到不变量——即原来的草的数量。因为总草量可以分成两部分：原有的草与新长出的草。新长出的草虽然在变，但应注意到是匀速生长，因而这片草地每天新长出的草的数量也是不变的。

假设1头牛一周吃的草的数量为1份，那么27头牛6周需要吃27×6=162（份），此时新草与原有的草均被吃完；23头牛9周需吃23×9=207（份），此时新草与原有的草也均被吃完。而162份是原有的草的数量与6周新长出的草的数量的总和；207份是原有的草的数量与9周新长出的草的数量的总和，因此每周新长出的草的份数为：（207-162）÷（9-6）=15（份），所以，原有草的数量为：162-15×6=72（份）。这片草地每周新长草15份相当于可安排15头牛专吃新长出来的草，于是这片草地可供21 头牛吃72÷（21-15）＝12（周）

13.一块1000平方米的牧场能让12头牛吃16个星期，或让18头牛吃8个星期，那么一块4000平方米的牧场6个星期能养活多少头牛？

解析：12×16-18×8=192-144=4848/(16-8)=6每星期生长数 192-16×6==96原有数96+6×6=132132/6=2222×4=88头

14.有一只船有一个漏洞，水用均匀的速度进入船内，发现漏洞时已经进了一些水。如果用12个人淘水，3小时可以淘完。如果只有5个人淘水，要10小时才能淘完。现在要想2小时淘完，需要多少人？

解析：12×3=365×10=5050-36=1414/(10-3)=2每小时增加数 36-3×2=30原有30+2×2=3434/2=17人

15.有一个水井，水不断由泉涌出，井满则溢出。若用4台抽水机，15小时可把井水抽干。若用8台抽水机，7小时可把井水抽干。现在要用几台抽水机，能5小时把井水抽干？

解析：4×15=608×7=5660-56=44/(15-7)=0.560-15×0.5=52.552.5+5×0.5=5555/5=11台

1.一片草地，每天都匀速长出青草。如果可供24头牛吃6天，或20头牛吃10天吃完。那么可供19头牛吃几天？

答案：12天

解析：6天时共有草：24×6＝144 10天时共有草：20×10＝200 草每天生长的速度为：（200－144）÷（10－6）＝14 原有草量：144－6×14＝60 可供19头牛： 60÷（19－14）＝12（天）

2.牧场有一片青草，每天生成速度相同。现在这片牧场可供16头牛吃20天，或者供80只羊吃12天，如果一头牛一天吃草量等于4只羊一天的吃草量，那么10头牛与60只羊一起吃可以吃多少天？

解析：思路，把羊转化为牛

4羊＝1牛，“也可以供80只羊吃12天”相当于“20头牛吃12天”

现在是“10头牛与60只羊一起吃这一片草”相当于“10＋60÷4＝25头牛吃草” [16-x]*20=[20-x]*12=[25-x]*y x=10

y=8 3.某牧场上长满牧草，每天匀速生长,这片牧草供17头牛吃30天,19头牛吃24天,现有一群牛吃了6天,主人卖掉了4头牛,余下的牛吃了两天后刚好把草吃完,问这群牛原有几头? 解析：设原有Y头，x还是“剪草的” [17-x]*30=[19-x]*24=[y-x]*6+[y-4-x]*2 注意：剩下的2天已经卖掉了4头牛，要分开计算（y-x-4）*（6+2），这样列式就错了 x=9 y=40 4.某市水库水量的增长速度是一定的，可供全市12万人使用20年，在迁入3万人之后，只能供全市人民使用15年，市政府号召大家节约用水，希望将水库的使用寿命延长至30年，那么居民平均需要节约用水量的比例是多少?()A.2/5 B.2/7 C.1/3 D.1/4 答案：A

解析：

[12-x]*20=[15-x]*15=[y-x]*30 x=3

y=9 15-9=6 即多出6万人，这6万人要用15万人的6/15=2/5 5.有一个水池，池底有一个出水口，用3台抽水机24小时可将水抽完，用9台抽水机12小时可将水抽完。如果仅靠出水口出水，那么多长时间将水漏完？

解析：（3-X）*24=（9-X）*12 得X=-3(不要理会负数，按正3理解好了)带入X到上式，（（3+3）*24）/X=48所以是48

1.旅客在车站候车室等车,并且排队的乘客按一定速度增加,检查速度也一定,当车站放一个检票口,需用半小时把所有乘客解决完毕,当开放2个检票口时,只要10分钟就把所有乘客OK了 求增加人数的速度还有原来的人数

解析：设一个检票口一分钟一个人

1个检票口30分钟30个人

2个检票口10分钟20个人

(30-20)÷(30-10)=0.5个人

原有1×30-30×0.5=15人

或2×10-10×0.5=15人

2.有三块草地，面积分别是5，15，24亩。草地上的草一样厚，而且长得一样快。第一块草地可供10头牛吃30天，第二块草地可供28头牛吃45天，问第三块地可供多少头牛吃80天？

解析：这是一道是比较复杂的牛吃草问题。

把每头牛每天吃的草看作1份。

因为第一块草地5亩面积原有草量＋5亩面积30天长的草＝10×30＝300份

所以每亩面积原有草量和每亩面积30天长的草是300÷5＝60份

因为第二块草地15亩面积原有草量＋15亩面积45天长的草＝28×45＝1260份

所以每亩面积原有草量和每亩面积45天长的草是1260÷15＝84份

所以45－30＝15天，每亩面积长84－60＝24份

所以，每亩面积每天长24÷15＝1.6份

所以，每亩原有草量60－30×1.6＝12份

第三块地面积是24亩，所以每天要长1.6×24＝38.4份，原有草就有24×12＝288份

新生长的每天就要用38.4头牛去吃，其余的牛每天去吃原有的草，那么原有的草就要够吃80天，因此288÷80＝3.6头牛

所以，一共需要38.4＋3.6＝42头牛来吃。

两种解法：

解法一：

设每头牛每天的吃草量为1，则每亩30天的总草量为：10*30/5=60；每亩45天的总草量为：28*45/15=84那么每亩每天的新生长草量为(84-60)/(45-30)=1.6每亩原有草量为60-1.6*30=12，那么24亩原有草量为12*24=288，24亩80天新长草量为24*1.6*80=3072，24亩80天共有草量3072+288=3360，所有3360/80=42(头)解法二：

10头牛30天吃5亩可推出30头牛30天吃15亩，根据28头牛45天吃15亩，可以推出15亩每天新长草量(28×45-30×30)/(45-30)=24；15亩原有草量：1260-24×45=180；15亩80天所需牛180/80+24(头)24亩需牛：(180/80+24)*(24/15)=42头

3.一只船有一个漏洞，水以均匀速度进入船内，发现漏洞时已经进了一些水。如果有12个人淘水，3小时可以淘完；如果只有5人淘水，要10小时才能淘完。求17人几小时可以淘完？

解析：这是一道变相的“牛吃草”问题。与上题不同的是，最后一问给出了人数（相当于“牛数”），求时间。设每人每小时淘水量为1，按以下步骤计算：（1）求每小时进水量

因为，3小时内的总水量＝1×12×3＝原有水量＋3小时进水量 10小时内的总水量＝1×5×10＝原有水量＋10小时进水量

所以，（10－3）小时内的进水量为

1×5×10－1×12×3＝14 因此，每小时的进水量为

14÷（10－3）＝2（2）求淘水前原有水量

原有水量＝1×12×3－3小时进水量＝36－2×3＝30（3）求17人几小时淘完

17人每小时淘水量为17，因为每小时漏进水为2，所以实际上船中每小时减少的水量为（17－2），所以17人淘完水的时间是 30÷（17－2）＝2（小时）答：17人2小时可以淘完水。

4.牧场上有一片均匀生长的牧草，可供27头牛吃6天，或供23头牛吃9天。那么它可供21头牛吃几天？ 解析：将它想象成一个非常理想化的数学模型：假设27头牛中有X头是“剪草工”，这X头牛只负责吃“每天新长出的草，并且把它们吃完”，这样以来草场相当于不长草，永远维持原来的草量，而剩下的(27－X)头牛是真正的“顾客”，它们负责把草场原来的草吃完。（请慢慢理解，这是关键）

设每天新增加草量恰可供X头牛吃一天,21牛可吃Y天（后面所有X均为此意）可供27头牛吃6天，列式:（27－X）·6 注：（27－X）头牛6天把草场吃完 可供23头牛吃9天，列式:（23－X）·9 注：（23－X）头牛9天把草场吃完 可供21头牛吃几天？列式：（21－X）·Y 注：（21－X）头牛Y天把草场吃完 因为草场草量已被“清洁工”修理过，总草量相同，所以，联立上面1、2、3（27－X）·6＝（23－X）·9＝（21－X）·Y（27－X）·6＝（23－X）·9 【1】（23－X）·9＝（21－X）·Y 【2】

解这个方程组，得 X＝15（头）

Y＝12（天）

5.有三块草地，面积分别为5，6和8公顷．草地上的草一样厚，而且长得一样快．第一块草地可供11头牛吃10天，第二块草地可供12头牛吃14天．问：第三块草地可供19头牛吃多少天？

解析：现在是三块面积不同的草地．为了解决这个问题，需要将三块草地的面积统一起来．（这是面积不同时得解题关键）求【5，6，8】得最小公倍数为120

1、因为5公顷草地可供11头牛吃10天，120÷5＝24，所以120公顷草地可供11*24＝264(头)牛吃10天．

2、因为6公顷草地可供12头牛吃14天，120÷6＝20，所以120公顷草地可供12*20＝240(头)牛吃14天． 3、120÷8＝15，问题变为：120公顷草地可供19*15＝285(头)牛吃几天？ 这样一来，例2就转化为例1，同理可得：

（264－X）·10＝（240－X）·14＝（285－X）·Y（264－X）·10＝（240－X）·14

【1】（240－X）·14＝（285－X）·Y

【2】 解方程组：X=180（头）

Y=8（天）典型例题“牛吃草”已介绍完毕。

6.有三块草地，面积分别为5，6，和8公顷。草地上的草一样厚，而且长得一样快。第一块草荐地可供11头牛吃10天，第二块草地可供12头牛吃14天。问第三块草地可供19头牛吃多少天？

解析：前几天我们接触的是在同一块草地上，同一个水池中，现在是三块面积不同的草地。为了解决这个问题，只需将三块草地的面积统一起来。即

[5，6，8]=120 这样，第一块5公顷可供11头牛吃10天，120÷5=24，变为120公顷草地可供11×24=264（头）牛吃10天

第二块6公顷可供12头牛吃14天，120÷6=20，变为120公顷草地可供12×20=240（头）牛吃14天。

120÷8=15。问题变成：120公顷草地可供19×15=285（头）牛吃几天？ 因为草地面积相同，可忽略具体公顷数，原题可变为：

一块草地匀速生长，可供264头牛吃10天或供240头牛吃14天，那么可供285头牛齿及天？即 每天新长出的草：（240×14—264×10）÷（14—10）=180（份）草地原有草：（264—180）×10=840（份）

可供285头牛吃的时间：840÷（285—180）=8（天）答：第三块草地可供19头牛吃8天。

7.一片草地，每天都匀速长出青草，如果可供24头牛吃6天，或20头牛吃10天那么可供18头牛吃几天？

答案：15天．

解析：设1头牛1天吃的草为1份。则每天新生的草量是（20×10-24×6）÷(10-6)=14份，原来的草量是（24-14）×6=60份。可供18头牛吃60÷（18-14）=15 8.由于天气逐渐变冷，牧场上的草每天以固定的速度在减少，经计算，牧

场上的草可供20头牛吃5天，或可供16头牛吃6天。那么，可供11头牛吃几天？ 答案：8天

解析：设一头牛一天吃的草量为一份。牧场每天减少的草量：（20×5-16×6）÷（6-5）=4份，原来的草量：（20+4）× 5=120份，可供11头牛吃120÷(11+4)=8天。

第五篇：组合数学教案第9讲..

教案

教研室:数学分析教研室 教师姓名:授课时间: 课程名称 专业课选讲 授课专业和班级 数学 0603授课内容 §3.4相对位置上有限制的排列问题 授课学时 2学时 教学目的 应用容斥原理解决实际问题

教学重点 总集 S 及各个子集 i A 的建立

教学难点 涉及的集合中的元素的个数的求法 教具和媒体使用 板书 教学方法 讲授法、讨论法

教 学 过 程 包括复习旧课、引入新课、重点难点讲授、置、问题讨论、归纳总结及课后辅导等内容 时间分配(90分钟

一、复习旧课 ①重集的 r 组合 ②错排问题

二、引入新课

三、重点难点讲授

1、相对位置上有限制的排列问题

作业和习题布

2、有限制的排列问题与错排问题的关系

3、应用

四、作业和习题布置

五、归纳总结

10分 5分 30分 20分 15分 5分 5分

板 书 设 计 §3.4相对位置上有限制的排列问题

1、相对位置上有限制的排列问题

2、有限制的排列问题与错排问题的关系

3、应用 讲授新 拓展内容 课后总结

教研室主任签字 年 月 日 讲 稿 授 课 内 容 备注

一、复习旧课

1、重集的-r 组合

2、错排问题

二、引入新课

n 个小学生列队散步,除第一个学生外,每个学生前面都有另一个

学生,由于学生们不喜欢每天排在自己前面的同学总是一个人,他们希 望每天都要改变一个排在自己前面的那个人,问有多少种方式改变他们 的位置。

三、重点难点讲授

这个问题实质上是一个相对位置上有限的排列问题。将它抽象成一 般的数学问题:对于给定的正整数 n ,计算集合{1,2, ···, n }的且不 允许出现 12,23,34, ···, n n 1(-的全排列个数 n Q。

对于这个问题,有下列定理,其结论就是该问题的解。定理 1:对于 1≥n 有!2(21!1(11!-⎪⎪⎭ ⎫

⎝⎛-+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=n n n n n Q n!111 1(...1 ⋅⎪⎪⎭ ⎫

⎝⎛---+--n n n 证明:设 S 是集合{1,2, ···, n!n S =令 1,..., 2, 1(-=n j p j 表示 S 中的排列具有形式 1(+j j 出现这一性 质。而 j A 1,..., 2, 1(-=n j 表示 S 中具有性质 j p 的排列组成的集合。于是

S 中不具有性质 121,..., ,-n p p p 的排列的集合为 121...-n。因而有 1 21...-=n n Q

讲 稿 授 课 内 容 备注

由容斥原理有 1 21...-=n n Q ∑∑≠-=+-=j i j i n i i A A A S 1 1 1 211...1(...--≠≠-++-∑n n j i k j i A A A A A A 由于 j A 表示 S 中具有性质 j p 的排列所组成的集合。于是 1A 中的一 个排列可以看作是具有 1(-n 元素{12, ···, n }的一个排列,有

!1(1-=n A 同理!

1(-=n A j 1,..., 3, 2(-=n j 又由于 j i A A 表示 S 中同时具有性质 j i p p , 的排列所组成的集合。于是 21A A 中的一个排列可以看作是具有 2(-n 个元素{123, 4, 5, ···n }的一个排列,因此有

!2(2 1-=n A A 同理!2(31-=n A A!2(-=n A A j i 一般地,有!(...21k n A A A k i i i-= 将以上值代人 n Q 表达式可得!2(21!1(11!-⎪⎪⎭ ⎫

⎝⎛-+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=n n n n n Q n 讲 稿 授 课 内 容

备注!111 1(...1⋅⎪⎪⎭ ⎫

⎝⎛---+--n n n 总结:相对位置上有限制的错排也是错排的问题,可以看作是错排 问题的一种特殊情况。

定理 2:当 2≥n 时,有 1-+=n n n D D Q 例 有 n 名儿童坐在一旋转木马上,问有多少种方式改变他们的座

次,能使得:每个儿童有一个不同的儿童坐在他们的前面。

解:问题的实质是求集合 {}n ,..., 2, 1的圆排列中不出现 12, 23, ···, n n 1(-, 1n 的圆排列个数。

设 S 是集合 { }n ,..., 2, 1的所有圆排列组成的集合,则!1(-=n S 又设 i p 1,..., 2, 1(-=n i 表示 S 中圆排列具有 1(+i i 形式这一性质。n p 表示圆排列具有 1n 形式这一性质。令 ,..., 2, 1(n i A i =表示 S 中具有性 质 i p 的元素组成的集合,则 n...21就表示 S 中不具有性质 n p p p ,..., , 21的元素组成的集合。由容斥原理 ∑∑≠=+-=j

i j i n i i n A A A S 1 21...n n j i k j i A A A A A A...1(...21-++-∑≠≠由于 1A 是所有圆排列中出现 12的圆排列的集合, 故 1A 的一个圆排 列可以看成是具有 1-n 个元素的集合 { }n ,..., 3, 12的一个圆排列,因此有 讲 稿 授 课 内 容 备注!2(1-=n A 同理!2(-=n A i n i ,..., 3, 2-类似, 21A A 中的一个圆排列可以看成是具有 2-n 个元素的集合

{}n ,..., 4, 123的一个圆排列,故有!3(21-=n A A 同理!3(-=n A A j i ,..., 2, 1,;(n j i j i =≠一般地,对于 11-≤≤n k ,有!1(...21--=k n A A A k i i i 1...21=n A A A 故所求方式数为...!2(1!1(...21+-⎪⎪⎭ ⎫

⎝⎛--=n n n n 1 1(!01 1(1⋅⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+-n n n n n n

四、作业和习题布置 课本中 1855-P。

五、归纳总结

本节介绍相对位置上有限制的排列问题和相对位置上有限制的排 列问题与错排问题的关系,在应用时技巧性较强,需多加练习。

讲 授 课 内 容 参考教材： 稿 备注

1、教材：孙世新 编 组合数学（第三版）电子科技大学出版社出版 1999

2、孙淑玲 编 组合数学引论 中国科学技术大学出版社

3、卢开澄 编 组合数学 清华大学出版社

4、杨振生 编 组合数学及其算法中国科学技术大学出版社