高中数学“数列的基本问题”教学研究

第一篇：高中数学“数列的基本问题”教学研究

高中数学“数列的基本问题”教学研究

郭洁 北京市东城区教师研修中心

一、对“数列的基本问题”中数学知识的深层次理解

（一）数列内容的知识结构

数列作为一种特殊的函数，是反映自然规律的基本数学模型．研究等差数列和等比数列这两种特殊数列模型，探索并掌握它们的一些基本数量关系，感受这两种数列模型的广泛应用，并利用它们解决一些实际问题．

（二）深入理解数列内容在知识体系中的地位及相互联系 数列是函数学习的继续；

数列作为一种特殊函数，是反映自然规律的基本数学模型； 数列在整个中学数学教学内容中，处于一个知识汇合点的地位 ；

归纳和类比是两种用途最广的合情推理.也是数列教学和学习中最重要的方 法。

（三）数列教学内容的重点、难点 等差数列与等比数列的通项公式与前项和公式的探求，在实际问题的情境中抽象出等差数列或等比数列模型，数列递推关系的建立及其应用是这部分内容的重点和难点．

二、“ 数列的基本问题 ” 的教与学的策略

（一）学生在学习数列概念时的障碍及对策

数列概念是学习数列的起始课，在学习中学生会遇到如下障碍： 1．对数列定义中的关键词“按一定次序”的理解有些模糊． 2．对数列与函数的关系认识不清． 3．对数列的表示，特别是通项公式以不只一个觉得不可思议．

4．由数列的前几项写不出数列的通项公式． 教学策略：

1．为激发学生学习数列的兴趣，体会数列知识在实际生活中的作用，可由实际问题引入，从中抽象出数列要研究的问题，使学生对所要研究的内容心中有数，如书中所给的例子等。

2．数列中蕴含的函数思想是研究数列的指导思想，应及早引导学生发现数列与函数的关系．在教学中强调数列的项是按一定顺序排列的，“次序”便是函数的自变量，相同的数组成的数列，次序不同则就是不同的数列．函数表示法有列表法、图象法、解析式法，类似地，数列就有列举法、图示法、通项公式法。数列的概念

定义：像这样按照一定次序排列起来的一列数称为数列.从三个层次来理解“次序”（1）语言描述

把位置编上号码，这些号码是所有的非零自然数按从小到大顺序排列，每一个有序号的位置都有一个确定的值，由所有这样的数值组成一个数列； 数列的一般形式可以写成 a1，a2，a3，„，an，„，这种有序性是对数列本质的刻画

感到困惑．对数列的通项公式可（2）映射角度

“次序”用数学语言来表示，就是一种特殊的对应，即映射：

（3）函数角度

数列可以看成以正整数集 N *（或它的有限子集 {1，2，„，n}）为定义域的函数 an= f(n)，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时，所对应的一列函数值． 数列——初等函数

对于任意的函数 y = f(x)（x ≥0），我们可以得到一个数列

3．由数列的通项公式写出数列的前几项是简单的代入法，对程度差的学生，可多举几个例子，让学生观察归纳通项公式与各项的结构关系，尽量为写通项公式提供帮助． 归纳数列的通项

教学的目的：归纳法的运用，数列概念的理解。教学中，分几个层次： 可以先给一些特殊的数列：

再给和特殊数列有关的数列：

4．由数列的前几项写出数列的一个通项公式是学生学习中的一个难点，要帮助学生分析各项中的结构特征，让学生依据前几项的规律，猜想该数列的下一项或下几项的值，以便寻求项与项数的关系。最后老师可以和学生共同归纳一些规律性的结论：

（1）并非所有数列都能写出它的通项公式，如： 0，-1，3，7，11 „；（2）有些数列的通项公式在形式上不一定是唯一的，如：数列 1，-1，1，-1，1，-1，„的通项可写成（3）当一个数列出现“ + ”、“-”相间时，应先把符号分离出来，用

等来控制，然后再寻找数量间关系；（4）有些数列的通项公式可以用分段的形式来表示；（5）熟悉常见数列的通项：

例如，全体正偶数按从小到大的顺序构成数列 2，4，6，„，2 n，„，这个数列还可以用列表和图象分别表示为

总之：数列概念的要求比过去高，用图形的变化描述数列，把图形的几何结构量化。

（二）用函数的观点进行等差数列的教学 关于等差数列定义的教学

给出一些等差数列的例子，让学生从项与项关系的角度去观察、归纳、概括得等差数列的定义.在这一段的教学中，一定要重视归纳的过程，这是学生能理解等差数列的所必须的，不要一笔带过！研究数列的一个很重要的方法是：从整体上看数列，研究数列中的项与项之间的关系

引入：（2004 北京卷）定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和.已知数列

是等和数列，且a1=2，公和为 5，那么 a18的值为

从定义的数学表达式：

得： 表明从第二项起，等差数列的任意项都可以表示为它的前一项与公差的和 , 因此，等差数列的任意项也就应该可以用首项和公差来表示.2．等差数列通项与一次函数 得到结论： 是等差数列

这样，由于公差不为零的等差数列的每一项an是关于项数 n 的一次函数式 于是可以利用一次函数的性质来认识等差数列

例如，理解为什么.根据一次函数的图象是一条直线和直线由两个点唯一确定的性质，就容易理解为什么两项可以确定一个等差数列 由斜率的计算方法）3．等差数列的性质，它的含义是什么呢？（可以适当拓展到直线

表面看是两项之和相等，从对应的项数之间又是一种什么关系呢？ 由此归纳得出：

使用等差数列的性质

注意：必须是两项相加等于两项相加，否则不成立。如

.时要，有等差中项的定义是针对三个数的，即如果 x，A，y组成等差数列，则 A叫做 x，y的等差中项.从等差数列的整体看： a1，a2，a3，„，an，„，从第二项起，每一项（有穷数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等差中项.推广：从第二项起，每一项都是到它距离相等的两项的等差中项，即与数列中的任一项“等距离”的两项之和等于该项的 2 倍.这个性质体现的是数列的对称性，这种对称性是由项数之间的关系决定的.例题：

（三）把握等差数列的前 n项和公式的教学实质 1 ．等差数列的前 n项和公式的教学实质

有些教师在教学中利用“梯形钢管堆的计数”“梯形面积公式”等模型来体现数形结合，认为“倒序求和”是等差数列前 项和公式这一内容蕴含的思想方法。因此，把基础定位在要让学生掌握求和公式及其变式，学会“倒序求和”的思想方法。

其实，“倒序求和”只是为避免对项数 n进行奇偶讨论而引入的一个技巧，并不是什么思想方法。基础性表现在几个层次： 用等差数列的“基本量”

；

用等差数列的性质“等差数列”，将不同数求和化归为相同数求和，从数量关系上看是利用了“平均数”概念； 更进一步地，为了体现从概念出发思考和解决问题的思想，利用等差数列的概念和通项公式求

教学设计：

引入高斯故事，归纳方法本质。，所以实质就是从“高斯的故事”引入；归纳“高斯方法”的本质，即实质是利用，将不同数化为相同数求和；

探究求值方法，引出分类讨论 用这一方法求的值，引出需要分 n为奇数、偶数讨论的问题，并

求出和；过渡到利用归纳思想方法，提升解题技巧

求等差数列前 n项和公式。

聚焦基本概念和基本原理，引导学生经历从特殊到一般的归纳过程，从中领悟“化归”的思想方法的思路。

教学中不必急于引入“倒序求和”的技巧。可以在讨论 n的奇偶性而得出求和公式后，再让学生思考“能否想个办法避免讨论”，把公式

变形为，再联系性质得到。

应把等差数列前 项和这节课看成是等差数列概念、性质的应用课。这一节课的教学，重要的是培养学生从基本概念、基本原理出发思考问题的习惯。具体教学时应明确任务（即用基本量）的基础上，引导学生从基本性质、通项公式入手，寻找化归的方法，在不断“求简”中得到“倒序求和”。2.公式的推导 ．从函数的观点来认识 Sn

首项为 a1、公差为 d 的等差数列前 n 项和的公式可以写为：

即当 时，Sn是 n 的二次函数式，于是可以运用二次函数的观点和方法来认识求等差数列前 n 项和的问题 如可以根据二次函数的图象了解 Sn的增减变化、极值等情况 ．通过 Sn的有关问题进一步认识等差数列的结构特征

本题给出了等差数列前 6 项的和，应该关注最后六项的和，利用等差数列的性质和前 n项和公式解决问题。要求学生对等差数列前 n项和概念要有深刻理解。例 2 等差数列 的公差为 d，前 n项和为 Sn，当首项 a1和 d变化时，a2+a8+a11是一个定值，则下列各数中也为定值的是（C）

本题利用整体代换求解，体现了整体代换的思想。

（四）典型例题的作用及教学

所以，满足不等式组的正整数 n的取值只能是 8，9.（五）数列研究的几个基本问题 1 ．关注 an与 Sn

（六）数学归纳法的教学定位 1 ．数学归纳法教学的重点和难点 重 点

（1）初步理解数学归纳法的原理.（2）明确用数学归纳法证明命题的两个步骤.（3）初步会用数学归纳法证明简单的与正整数有关的恒等式.难 点

（1）对数学归纳法原理的理解，即理解数学归纳法证题的严密性与有效性.（2）假设的利用，即如何利用假设证明当 n=k+1 时结论正确.2 ．数学归纳法原理形成的教学定位

由于数学归纳法原理的高度的抽象性，学生在学习时，往往限于掌握了一些应用数学归纳法的技巧，而不能真正理解它的意义.因此学习停留在单纯的模仿之中.所以原理的形成过程的教学，既是本节课的重点，也是难点.教师要组织形象、生动、与所学内容密切相关的素材，作为数学归纳法原理产生的背景，以激发学生浓厚的学习兴趣，帮助、引导学生从中感悟其蕴含的数学思想，最终产生迁移效果.抽象出数学归纳法的原理，如何通过探究顺利实现迁移抽象的目标，就成了本节课能否成功的关键.有些教师对数学归纳法原理形成过程的教学不够重视，表现在有的教师没有安排实验探究，急于向学生展示一种思维“模式”和“套路”，接着通过大量的例题、习题进行强化；有的教师虽然安排了实验，但也是一带而过，很快抽象出了数学归纳法原理，这只能是教师的“成果”，而不是学生的成果，仍然摆脱不了生硬灌输这种教学模式的影子；甚至有的教师将相当多的时间和精力花在举例说明“不完全归纳法”的缺陷上，这显然偏离了本节课的主题与核心.“多米诺骨牌实验”的教学定位

本节课所需的“引例”，形式丰富多样，教师用的最多的是“多米诺骨牌实验”，因为这几乎是所有学生小时候都玩过的一种游戏，贴近学生的生活实际，具有一种无形的亲近感。同时“多米诺骨牌实验”以简便的形式蕴含了数学归纳法的深刻原理，因而成为这节课的典型素材.问题是如何正确认识，科学定位“多米诺骨牌实验”？在实验的方式上，“多米诺骨牌实验”应从不同角度多次进行，每次实验都要有不同的目的，都要引发学生不同的思考、探究，让学生既要有实验成功的体验，又要有实验失败的反思；而多次的实验又能形成一个有机的整体，当将每次实验的体验和反思糅合在一起后，数学归纳法的内在原理就扎根于学生的心中了。从学生的基础来看，学生用原有的知识结构同化数学归纳法存在着数学知识和逻辑知识上的准备不足，需要具体的实例帮助；从学生的认知规律来看认知抽象的事物应尽可能将其具体化、形象化，同时，对抽象事物本质的认识不能一步到位，应该由浅入深、由表及里、正反对比，方能凸显本质。

“多米诺骨牌实验”的功能应该包含两个层次：一是将实验转化为关于正整数的命题，即“第一块骨牌倒下”对应“当 n取第一个正整数 n0时命题成立”，“第二块骨牌倒下”对应“当 n取第一个正整数 n0+1时命题成立”，„，“所有的骨牌都倒下（即游戏成功）”对应“命题对从 n0开始的所有正整数都成立”，若“第“若

块骨牌倒下，则一定有第 k+1块骨牌跟着倒下”对应时命题成立，则 n=K+1时命题也一定成立”。

二是将游戏转化为具体的数学问题，引导学生通过解决具体的数学问题进一步体验数学归纳法的思想，并从中感受到成功的喜悦，然后在此基础上才能推广到一般命题，抽象概括，得到数学归纳法原理。这样学生才能够切实掌握数学归纳法原理，本节课的难点才能够得到有效突破。“多米诺骨牌实验”的教学设计 三次实验

实验 1 ：用手推倒 1 号骨牌，然后 2 号骨牌，3 号骨牌，„，紧跟着全部倒下，让学生讨论为什么会出现这种结果，在这个环节，学生对现象的本质的认识可能是比较模糊的，但必要的讨论为下面显现本质奠定了基础。

实验 2 ：课件展示动画，在该实验中，骨牌的间距和实验 1 相同，用手推倒 1 号骨牌，没有推倒，然后 2 号骨牌，3 号骨牌，„，自然就没有倒下，即游戏失败。这时教师让学生对比实验 1 和实验 2，讨论游戏失败的原因，从而得到游戏成功的第一个必要条件，1 号骨牌必须被推倒。

实验 3 ：课件展示动画，在该实验中，骨牌的间距出现分化，1 号骨牌与 2 号骨牌的间距拉开的足够大，其他骨牌间距不变（同实验 1），这是用手推倒了 1 号骨牌，但 2 号骨牌没有倒下，3 号骨牌，4 号骨牌„，自然就没有倒下，即游戏失败。同样让学生对比不同实验及其结果，分析原因。这是学生得到的结论往往在具体骨牌上，即 1 号骨牌倒下，没有带动 2 号骨牌倒下导致了失败，而学生对其中的任意性很难提炼出来。继续下去，再将 2 号骨牌和 3 号骨牌 ,3 号骨牌和 4 号骨牌„，的间距拉开的足够大，（每一次试验只改变一个间距），重复实验 3，如此反复几次，学生不难悟出游戏成功的第二个必要条件，即第 k块骨牌倒下，则一定有第 k+1块骨牌倒下（这里暗示了无穷推理的合理性）。至此，用数学归纳法证明数学问题时，为何两步缺一不可，便不言自明。两次迁移：

骨牌游戏虽然有数学归纳法的影子，但毕竟不是数学归纳法原理本身，不能直接用来证明数学问题，这就需要将游戏迁移到数学问题中去。迁移 1 将骨牌游戏换成数学问题，提出问题：设等差数列 的首项为 a1，公差为 d，我们在前面推导其通项公式时，得到与正整数有关的无穷多等式：

要使这无穷多个等式都成立，你能否用数学语言概括上面游戏成功的两个条件？然后让学生独立思考、合作讨论、得到（1）第一个等式成立（即当 n=1成立）（2）假设第个等式成立，一定能推出第k+1个等式也成立。这样就实现了由游戏向原理的第一次迁移。

迁移 2 教师请同学就等差数列通项公式问题具体尝试，是否能做到这两步？最后将无穷多个等式统一为

。至此，由游戏向原理的第二次迁移顺利完成。数学归纳法原理的得出已经是水到渠成。（1）归纳奠基（2）归纳递推

从多米诺骨牌实验到数学归纳法原理，清晰地反映了生活问题 — 数学问题 — 数学形式化的发展轨迹。在对实验的探究过程中，学生经历了成功与失败的种种体验，经历了将生活语言转化为数学语言的过程，经历了将生活中蕴含的原理转化为数学原理的过程。由于始终坚持在学生的“最近发展区”内设置问题情境，注重层层递进，避免一步到位，因而学生能够积极思考。乐于交流讨论，不断体验到成功的快乐，从而顺利地建立了新旧知识及其本质之间的联系。

学生通过数列一章内容和其它相关内容的学习，已经初步掌握了由有限多个特殊事例得出一般结论的推理方法，即不完全归纳法。不完全归纳法是研究数学问题，猜想或发现数学规律的重要手段。但是，由有限多个特殊事例得出的结论不一定正确，这种推理方法不能作为一种论证方法。因此，在不完全归纳法的基础上，必须进一步学习严谨的科学的论证方法─数学归纳法。

三、学生学习目标的检测

（一）课程标准与高考对数列内容的要求

数列作为一种特殊的函数，是反映自然规律的基本数学模型．学生将通过对日常生活中大量实际问题的分析，建立等差数列和等比数列这两种数列模型，探索并掌握它们的一些基本数量关系，感受这两种数列模型的广泛应用，并利用它们解决一些实际问题．

（1）数列的概念和简单表示法

通过日常生活中的实例，了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图象、通项公式），了解数列是一种特殊函数．（2）等差数列、等比数列

①通过实例，理解等差数列、等比数列的概念．

②探索并掌握等差数列、等比数列的通项公式与前 n 项和的公式．

③能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系或等比关系，并能用有关知识解决相应的问题.④体会等差数列、等比数列与一次函数、指数函数的关系． 因此教师在检测中要注意 ．等差数列和等比数列有着广泛的应用，教学中应重视通过具体实例（如教育贷款、购房贷款、放射性物质的衰变、人口增长等），使学生理解这两种数列模型的作用，培养学生从实际问题中抽象出数列模型的能力． ．在数列的教学中，应保证基本技能的训练，引导学生通过必要的练习，掌握数列中各量之间的基本关系．但训练要控制难度和复杂程度．

（二）典型题目分析

本题涉及到等差数列与等比数列的基本知识，涉及到求公比的问题，应该注意对公比q的讨论，这一点学生往往容易忽略。

本题的第一问涉及到判断数列是否是等比数列的问题，通过解决本题，教师应该让学生掌握证明等比数列的方法，第二问是数列求和问题，教师应该让学生掌握根据已知条件选择恰当的求和方法。

此题为 1996 年全国高考文史类数学试题第（21）题，试卷中不少考生的解法同错误解法，根据评分标准而痛失 2 分，因此在检测中要加强这方面的训练。

第二篇：高中数学-公式-数列

数列

1、等差数列的通项公式是ana1(n1)d，前n项和公式是：Snn(a1an)1=na1n(n1)d。22.等差数列 ｛an｝ anan1d(d为常数）2anan1an1(n2,nN*)ananbSnAn2Bn。

na1(q1)nn

12、等比数列的通项公式是ana1q，前n项和公式是：Sna1(1q)(q1)1q

2n-13.等比数列 ｛an}anan-1an1(n2,nN)ana1q;

＊

4、当m+n=p+q=2t(m、n、p、q∈N)时，对等差数列｛an｝有：amanapaq2at；对等比数列｛an｝

有：amanapaqat。

5、等差数列中, am=an+(n－m)d, daman;等比数列中，an=amqn-m;q=nmn

{anbn}等也是等比数列。

7、设Sn表示数列前n项和；等差数列中有：Sn,S2nSn,S3nS2n,也是等差数列；在等比数列中，2an;am6、若{an}、{bn}是等差数列，则{kanbbn}(k、b、a是非零常数)是等差数列；若{an}、{bn}是等比数列，则｛kankan｝、Sn,S2nSn,S3nS2n,是等比数列。

8、等差(或等比)数列的“间隔相等的连续等长片断和序列”(如a1+a2+a3,a4+a5+a6,a7+a8+a9…)仍是等差(或等比)数列；

9、等差数列中：a1ana2an1a3an2；

等比数列中：a1ana2an1a3an2

10、对等差数列｛an｝,当项数为2n时，S偶S奇nd；项数为2n－1时，S奇S偶a中项(n∈N*)。

11、由Sn求an，an={S1(n1)

*SnSn1(n2,nN)

一般已知条件中含an与Sn的关系的数列题均可考虑用上述公式；

12、首项为正(或为负)的递减(或递增)的等差数列前n项和的最大(或最小)问题，转化为解不等式an0an0解决； 或a0a0n1n1 注意验证a1是否包含在后面an 的公式中，若不符合要单独列出。

13、熟记等差、等比数列的定义，通项公式，前n项和公式，在用等比数列前n项和公式时，勿忘分类讨论思想；

14、若一阶线性递归数列an=kan－1+b(k≠0,k≠1),则总可以将其改写变形成如下形

式:anbk(an1b)(n≥2)，于是可依据等比数列的定义求出其通项公式； k1k115、当等比数列an的公比q满足q<1时，limSn=S=

na1。一般地，如果无穷数列an的前n项和的极限n1qlimSn存在，就把这个极限称为这个数列的各项和(或所有项的和)，用S表示，即S=limSn。n

第三篇：高中数学数列说课稿

高中数学数列说课稿

高中数学数列说课稿1

以下是高中数学《等差数列前n项和的公式》说课稿，仅供参考。

教学目标

A、知识目标：

掌握等差数列前n项和公式的推导方法;掌握公式的运用。

B、能力目标：

(1)通过公式的探索、发现，在知识发生、发展以及形成过程中培养学生观察、联想、归纳、分析、综合和逻辑推理的能力。

(2)利用以退求进的思维策略，遵循从特殊到一般的认知规律，让学生在实践中通过观察、尝试、分析、类比的方法导出等差数列的求和公式，培养学生类比思维能力。

(3)通过对公式从不同角度、不同侧面的剖析，培养学生思维的灵活性，提高学生分析问题和解决问题的能力。

C、情感目标：(数学文化价值)

(1)公式的发现反映了普遍性寓于特殊性之中，从而使学生受到辩证唯物主义思想的熏陶。

(2)通过公式的运用，树立学生“大众教学”的思想意识。

(3)通过生动具体的现实问题，令人着迷的数学史，激发学生探究的兴趣和欲望，树立学生求真的勇气和自信心，增强学生学好数学的心理体验，产生热爱数学的情感。

教学重点：等差数列前n项和的公式。

教学难点：等差数列前n项和的公式的灵活运用。

教学方法：启发、讨论、引导式。

教具：现代教育多媒体技术。

教学过程

一、创设情景，导入新课。

师：上几节，我们已经掌握了等差数列的概念、通项公式及其有关性质，今天要进一步研究等差数列的前n项和公式。提起数列求和，我们自然会想到德国伟大的数学家高斯“神速求和”的故事，小高斯上小学四年级时，一次教师布置了一道数学习题：“把从1到100的自然数加起来，和是多少?”年仅10岁的小高斯略一思索就得到答案5050，这使教师非常吃惊，那么高斯是采用了什么方法来巧妙地计算出来的呢?如果大家也懂得那样巧妙计算，那你们就是二十世纪末的新高斯。(教师观察学生的表情反映，然后将此问题缩小十倍)。我们来看这样一道一例题。

例1，计算：1+2+3+4+5+6+7+8+9+10.

这道题除了累加计算以外，还有没有其他有趣的解法呢?小组讨论后，让学生自行发言解答。

生1:因为1+10=2+9=3+8=4+7=5+6，所以可凑成5个11，得到55。

生2：可设S=1+2+3+4+5+6+7+8+9+10，根据加法交换律，又可写成 S=10+9+8+7+6+5+4+3+2+1。

上面两式相加得2S=11+10+......+11=10×11=110

10个

所以我们得到S=55，

即1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55

师：高斯神速计算出1到100所有自然数的各的方法，和上述两位同学的方法相类似。

理由是：1+100=2+99=3+98=......=50+51=101，有50个101，所以1+2+3+......+100=50×101=5050。请同学们想一下，上面的方法用到等差数列的哪一个性质呢?

生3：数列{an}是等差数列，若m+n=p+q，则am+an=ap+aq.

二、教授新课(尝试推导)

师：如果已知等差数列的首项a1，项数为n，第n项an，根据等差数列的性质，如何来导出它的前n项和Sn计算公式呢?根据上面的例子同学们自己完成推导，并请一位学生板演。

生4：Sn=a1+a2+......an-1+an也可写成

Sn=an+an-1+......a2+a1

两式相加得2Sn=(a1+an)+(a2+an-1)+......(an+a1)

n个

=n(a1+an)

所以Sn=

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(I)

师：好!如果已知等差数列的首项为a1，公差为d，项数为n，则an=a1+(n-1)d代入公式(1)得

Sn=na1+

#FormatImgID_1#

d(II) 上面(I)、(II)两个式子称为等差数列的前n项和公式。公式(I)是基本的，我们可以发现，它可与梯形面积公式(上底+下底)×高÷2相类比，这里的上底是等差数列的首项a1，下底是第n项an，高是项数n。引导学生总结：这些公式中出现了几个量?(a1，d，n，an，Sn)，它们由哪几个关系联系?[an=a1+(n-1)d，Sn=

#FormatImgID_2#

=na1+

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d];这些量中有几个可自由变化?(三个)从而了解到：只要知道其中任意三个就可以求另外两个了。下面我们举例说明公式(I)和(II)的一些应用。

三、公式的应用(通过实例演练，形成技能)。

1、直接代公式(让学生迅速熟悉公式，即用基本量观点认识公式)例2、计算：

(1)1+2+3+......+n

(2)1+3+5+......+(2n-1)

(3)2+4+6+......+2n

(4)1-2+3-4+5-6+......+(2n-1)-2n

请同学们先完成(1)-(3)，并请一位同学回答。

生5：直接利用等差数列求和公式(I)，得

(1)1+2+3+......+n=

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(2)1+3+5+......+(2n-1)=

#FormatImgID_5#

(3)2+4+6+......+2n=

#FormatImgID_6#

=n(n+1)

师：第(4)小题数列共有几项?是否为等差数列?能否直接运用Sn公式求解?若不能，那应如何解答?小组讨论后，让学生发言解答。

生6：(4)中的数列共有2n项，不是等差数列，但把正项和负项分开，可看成两个等差数列，所以

原式=[1+3+5+......+(2n-1)]-(2+4+6+......+2n)

=n2-n(n+1)=-n

生7：上题虽然不是等差数列，但有一个规律，两项结合都为-1，故可得另一解法：

原式=-1-1-......-1=-n

n个

师：很好!在解题时我们应仔细观察，寻找规律，往往会寻找到好的方法。注意在运用Sn公式时，要看清等差数列的项数，否则会引起错解。

例3、(1)数列{an}是公差d=-2的等差数列，如果a1+a2+a3=12，a8+a9+a10=75，求a1，d，S10。

生8：(1)由a1+a2+a3=12得3a1+3d=12，即a1+d=4

又∵d=-2，∴a1=6

∴S12=12 a1+66×(-2)=-60

生9：(2)由a1+a2+a3=12，a1+d=4

a8+a9+a10=75，a1+8d=25

解得a1=1，d=3 ∴S10=10a1+

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=145

师：通过上面例题我们掌握了等差数列前n项和的公式。在Sn公式有5个变量。已知三个变量，可利用构造方程或方程组求另外两个变量(知三求二)，请同学们根据例3自己编题，作为本节的课外练习题，以便下节课交流。

师：(继续引导学生，将第(2)小题改编)

①数列{an}等差数列，若a1+a2+a3=12，a8+a9+a10=75，且Sn=145，求a1，d，n

②若此题不求a1，d而只求S10时，是否一定非来求得a1，d不可呢?引导学生运用等差数列性质，用整体思想考虑求a1+a10的`值。

2、用整体观点认识Sn公式。

例4，在等差数列{an}， (1)已知a2+a5+a12+a15=36，求S16;(2)已知a6=20，求S11。(教师启发学生解)

师：来看第(1)小题，写出的计算公式S16=

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=8(a1+a6)与已知相比较，你发现了什么?

生10：根据等差数列的性质，有a1+a16=a2+a15=a5+a12=18，所以S16=8×18=144。

师：对!(简单小结)这个题目根据已知等式是不能直接求出a1，a16和d的，但由等差数列的性质可求a1与an的和，于是这个问题就得到解决。这是整体思想在解数学问题的体现。

师：由于时间关系，我们对等差数列前n项和公式Sn的运用一一剖析，引导学生观察当d≠0时，Sn是n的二次函数，那么从二次(或一次)的函数的观点如何来认识Sn公式后，这留给同学们课外继续思考。

最后请大家课外思考Sn公式(1)的逆命题：

已知数列{an}的前n项和为Sn，若对于所有自然数n，都有Sn=

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。数列{an}是否为等差数列，并说明理由。

四、小结与作业。

师：接下来请同学们一起来小结本节课所讲的内容。

生11：1、用倒序相加法推导等差数列前n项和公式。

2、用所推导的两个公式解决有关例题，熟悉对Sn公式的运用。

生12：1、运用Sn公式要注意此等差数列的项数n的值。

2、具体用Sn公式时，要根据已知灵活选择公式(I)或(II)，掌握知三求二的解题通法。

3、当已知条件不足以求此项a1和公差d时，要认真观察，灵活应用等差数列的有关性质，看能否用整体思想的方法求a1+an的值。

师：通过以上几例，说明在解题中灵活应用所学性质，要纠正那种不明理由盲目套用公式的学习方法。同时希望大家在学习中做一个有心人，去发现更多的性质，主动积极地去学习。

本节所渗透的数学方法;观察、尝试、分析、归纳、类比、特定系数等。

数学思想：类比思想、整体思想、方程思想、函数思想等。

高中数学数列说课稿2

一、教材分析

1、从在教材中的地位与作用来看

《等比数列的前n项和》是数列这一章中的一个重要内容，它不仅在现实生活中有着广泛的实际应用，如储蓄、分期付款的有关计算等等，而且公式推导过程中所渗透的类比、化归、分类讨论、整体变换和方程等思想方法，都是学生今后学习和工作中必备的数学素养。

2、从学生认知角度看

从学生的思维特点看，很容易把本节内容与等差数列前n项和从公式的形成、特点等方面进行类比，这是积极因素，应因势利导。不利因素是：本节公式的推导与等差数列前n项和公式的推导有着本质的不同，这对学生的思维是一个突破，另外，对于q=1这一特殊情况，学生往往容易忽视，尤其是在后面使用的过程中容易出错。

3、学情分析

教学对象是刚进入高中的学生，虽然具有一定的分析问题和解决问题的能力，逻辑思维能力也初步形成，但由于年龄的原因，思维尽管活跃、敏捷，却缺乏冷静、深刻，因此片面、不严谨。

4、重点、难点

教学重点：公式的推导、公式的特点和公式的运用。

教学难点：公式的推导方法和公式的灵活运用。

公式推导所使用的“错位相减法”是高中数学数列求和方法中最常用的方法之一，它蕴含了重要的数学思想，所以既是重点也是难点。

二、目标分析

知识与技能目标：

理解并掌握等比数列前n项和公式的推导过程、公式的特点，在此基础上能初步应用公式解决与之有关的问题。

过程与方法目标：

通过对公式推导方法的探索与发现，向学生渗透特殊到一般、类比与转

化、分类讨论等数学思想，培养学生观察、比较、抽象、概括等逻辑思维能力和逆向思维的能力。

情感与态度价值观：

通过对公式推导方法的探索与发现，优化学生的思维品质，渗透事物之间等价转化和理论联系实际的辩证唯物主义观点。

三、过程分析

学生是认知的主体，设计教学过程必须遵循学生的认知规律，尽可能地让学生去经历知识的形成与发展过程，结合本节课的特点，我设计了如下的教学过程：

1、创设情境，提出问题

在古印度，有个名叫西萨的人，发明了国际象棋，当时的印度国王大为赞赏，对他说：我可以满足你的任何要求。西萨说：请给我棋盘的64个方格上，第一格放1粒小麦，第二格放2粒，第三格放4粒，往后每一格都是前一格的两倍，直至第64格。国王令宫廷数学家计算，结果出来后，国王大吃一惊。为什么呢？

设计意图：设计这个情境目的是在引入课题的同时激发学生的兴趣，调动学习的积极性。故事内容紧扣本节课的主题与重点。

此时我问：同学们，你们知道西萨要的是多少粒小麦吗？引导学生写出麦粒总数。带着这样的问题，学生会动手算了起来，他们想到用计算器依次算出各项的值，然后再求和。这时我对他们的这种思路给予肯定。

设计意图：在实际教学中，由于受课堂时间限制，教师舍不得花时间让学生去做所谓的“无用功”，急急忙忙地抛出“错位相减法”，这样做有悖学生的认知规律：求和就想到相加，这是合乎逻辑顺理成章的事，教师为什么不相加而马上相减呢？在整个教学关键处学生难以转过弯来，因而在教学中应舍得花时间营造知识形成过程的氛围，突破学生学习的障碍。同时，形成繁难的情境激起了学生的求知欲，迫使学生急于寻求解决问题的新方法，为后面的教学埋下伏笔、

2、师生互动，探究问题

在肯定他们的思路后，我接着问：1，2，22，.....，263是什么数列？有何特征？应归结为什么数学问题呢？

探讨1：，记为（1）式，注意观察每一项的特征，有何联系？（学生会发现，后一项都是前一项的2倍）

探讨2：如果我们把每一项都乘以2，就变成了它的后一项，（1）式两边同乘以2则有，记为（2）式。比较（1）（2）两式，你有什么发现？

设计意图：留出时间让学生充分地比较，等比数列前n项和的公式推导关键是变“加”为“减”，在教师看来这是“天经地义”的，但在学生看来却是“不可思议”的，因此教学中应着力在这儿做文章，从而抓住培养学生的辩证思维能力的良好契机。

经过比较、研究，学生发现：（1）、（2）两式有许多相同的项，把两式相减，相同的项就消去了，得到：。老师指出：这就是错位相减法，并要求学生纵观全过程，反思：为什么（1）式两边要同乘以2呢？

设计意图：经过繁难的计算之苦后，突然发现上述解法，不禁惊呼：真是太简洁了！让学生在探索过程中，充分感受到成功的情感体验，从而增强学习数学的兴趣和学好数学的信心。

3、类比联想，解决问题

这时我再顺势引导学生将结论一般化，

这里，让学生自主完成，并喊一名学生上黑板，然后对个别学生进行指导。

设计意图：在教师的指导下，让学生从特殊到一般，从已知到未知，步步深入，让学生自己探究公式，从而体验到学习的愉快和成就感。

对不对？这里的q能不能等于1？等比数列中的公比能不能为1？q=1时是什么数列？此时sn=？（这里引导学生对q进行分类讨论，得出公式，同时为后面的例题教学打下基础。）

再次追问：结合等比数列的通项公式an=a1qn—1，如何把sn用a1、an、q表示出来？（引导学生得出公式的另一形式）

设计意图：通过反问精讲，一方面使学生加深对知识的认识，完善知识结构，另一方面使学生由简单地模仿和接受，变为对知识的'主动认识，从而进一步提高分析、类比和综合的能力。这一环节非常重要，尽管时间有时比较少，甚至仅仅几句话，然而却有画龙点睛之妙用。

4、讨论交流，延伸拓展

在此基础上，我提出：探究等比数列前n项和公式，还有其它方法吗？我们知道，

那么我们能否利用这个关系而求出sn呢？根据等比数列的定义又有，能否联想到等比定理从而求出sn呢？

设计意图：以疑导思，激发学生的探索欲望，营造一个让学生主动观察、思考、讨论的氛围、以上两种方法都可以化归到，这其实就是关于的一个递推式，递推数列有非常重要的研究价值，是研究性学习和课外拓展的极佳资源，它源于课本，又高于课本，对学生的思维发展有促进作用、

5、变式训练，深化认识

首先，学生独立思考，自主解题，再请学生上台来幻灯演示他们的解答，其它同学进行评价，然后师生共同进行总结。

设计意图：采用变式教学设计题组，深化学生对公式的认识和理解，通过直接套用公式、变式运用公式、研究公式特点这三个层次的问题解决，促进学生新的数学认知结构的形成。通过以上形式，让全体学生都参与教学，以此培养学生的参与意识和竞争意识。

6、例题讲解，形成技能

设计意图：解题时，以学生分析为主，教师适时给予点拨，该题有意培养学生对含有参数的问题进行分类讨论的数学思想。

7、总结归纳，加深理解

以问题的形式出现，引导学生回顾公式、推导方法，鼓励学生积极回答，然后老师再从知识点及数学思想方法两方面总结。

设计意图：以此培养学生的口头表达能力，归纳概括能力。

8、故事结束，首尾呼应

最后我们回到故事中的问题，我们可以计算出国王奖赏的小麦约为1、84×1019粒，大约7000亿吨，用这么多小麦能从地球到太阳铺设一条宽10米、厚8米的大道，大约是全世界一年粮食产量的459倍，显然国王兑现不了他的承诺。

设计意图：把引入课题时的悬念给予释疑，有助于学生克服疲倦、继续积极思维。

9、课后作业，分层练习

必做：P129练习1、2、3、4

选作：

（2）“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”这首中国古诗的答案是多少？

设计意图：出选作题的目的是注意分层教学和因材施教，让学有余力的学生有思考的空间。

四、教法分析

对公式的教学，要使学生掌握与理解公式的来龙去脉，掌握公式的推导方法，理解公式的成立条件，充分体现公式之间的联系。在教学中，我采用“问题――探究”的教学模式，把整个课堂分为呈现问题、探索规律、总结规律、应用规律四个阶段。

利用多媒体辅助教学，直观地反映了教学内容，使学生思维活动得以充分展开，从而优化了教学过程，大大提高了课堂教学效率。

五、评价分析

本节课通过三种推导方法的研究，使学生从不同的思维角度掌握了等比数列前n项和公式。错位相减：变加为减，等价转化；递推思想：纵横联系，揭示本质；等比定理：回归定义，自然朴实。学生从中深刻地领会到推导过程中所蕴含的数学思想，培养了学生思维的深刻性、敏锐性、广阔性、批判性。同时通过精讲一题，发散一串的变式教学，使学生既巩固了知识，又形成了技能。在此基础上，通过民主和谐的课堂氛围，培养了学生自主学习、合作交流的学习习惯，也培养了学生勇于探索、不断创新的思维品质。

高中数学数列说课稿3

一、教材分析

本课时的内容是数列的定义，通项公式及运用；本课是在学习映射、函数知识基础上研究数列，既对进一步理解数列，又为今后研究等差、等比数列打下基础，起着承前启后的重要作用.

首先，数列，特别是等差数列与等比数列，有着较为广泛的应用。值得一提的是，数列在产品尺寸标准化方面有着重要作用。例如在我国已颁布的供各种生产部门设计产品尺寸用的国家标准，就是按等比数列对产品尺寸进行分级的。

其次，数列在整个中学数学教学内容中，处于一个知识汇合点的地位，很多知识都与数列有着密切联系，过去学过的数、式、方程、函数、简易逻辑等知识在这一章均得到了较为充分的应用，而学习数列又为后面学习数列与函数的极限等内容作了铺垫。应该说：新课本采取将代数、几何打通的混编体系的主要目的是强化数学知识的内在联系，而数列正是将各知识勾通方面发挥了重要作用。

最后，由于不少关系恒等变形、解方程（组）以及一些带有综合性的数学问题都与等差数列、等比数列有关，从而有助于培养学生综合运用知识解决问题的'能力。因此本节内容起到一个巩固旧知，熟练方法，拓展新知的承接作用。

二、学生情况分析

学习障碍：

本节课是学习数列的起始课，在学习中会遇到下列障碍：

1．对数列定义中的关键词“按一定次序”的理解有些模糊．

2．对数列与函数的关系认识不清．

3．对数列的表示，特别是通项公式an＝f(n)感到困惑．对数列的通项公式可以不只一个觉得不可思议．

4．由数列的前几项写不出数列的通项公式．

学习策略：

（1）为激发学生学习数列的兴趣，体会数列知识在实际生活中的作用，可由实际问题引入，从中抽象出数列要研究的问题，使学生对所要研究的内容心中有数，如书中所给的例子等．

（2）数列中蕴含的函数思想是研究数列的指导思想，应及早引导学生发现数列与函数的关系．在教学中强调数列的项是按一定顺序排列的，“次序”便是函数的自变量，相同的数组成的数列，次序不同则就是不同的数列．函数表示法有列表法、图象法、解析式法，类似地，数列就有列举法、图示法、通项公式法。

（3）由数列的通项公式写出数列的前几项是简单的代入法，这一例题为写通项公式作一些准备，尤其是对程度差的学生，可多举几个例子，让学生观察归纳通项公式与各项的结构关系，尽量为写通项公式提供帮助．

（4）由数列的前几项写出数列的一个通项公式是学生学习中的一个难点，要帮助学生分析各项中的结构特征，让学生依据前几项的规律，猜想该数列的下一项或下几项的值，以便寻求项与项数的关系。最后老师与学生共同归纳一些规律性的结论。

1、并非所有数列都能写出它的通项公式；如④

2、有些数列的通项公式在形式上不一定是唯一的。如数列1，-1，1，-1，1，-1，...的通项可写成或或等

3、当一个数列出现“”、“-”相间时，应先把符号分离出来，用等来控制；

4、有些数列的通项公式可以用分段的形式来表示；

5、熟悉常见数列的通项：三、教学方法及教学手段分析

考虑到学生已学过映射、函数的特点，为突破难点，在教学上，我着重从以下几个方面：（1）数列的定义，通项公式；（2）归纳通项公式；（3）画出数列的图像；（4）把数列的通项公式理解为一种特殊函数，采取了讲解、引导、探索式相结合的教学方法启发学生积极思考、勇于创新.

（一）启发诱导式：举实例让学生找规律，得到数列的基本知识。

（二）自主学习式：根据数列的定义和前面所学的函数关系，由学生自己通过联想、类比、对比、归纳的方法迁移到新情境中，将新的知识内化到学生原有的认知结构中去。

（三）问题解决式：设计的每一个探究问题的解答过程。

（四）利用多媒体教学手段，引入课题，能激发学生学习兴趣，增加数学人文色彩，同时也阐述了数列来源于实际，化抽象为具体，增强动感与直观性，同时也提高教学效果和教学质量

总之1、本节课是数列的起始课，设置情景、激发兴趣有利于学生学好本章知识；

2、把数列与集合、函数对比学习，有利于巩固旧知识，掌握新知识，使所学知识形成系统化；

3、教法和学法上突出教材重点、力求突破难点，加深学生对知识的理解。较多地采用提问（包括设问）；在教学材料呈现上以多媒体形式给出。例题的配备由浅入深、渗透了思维活动组织上由此及彼的类比推理概括的方法。贯彻“教师为主导、学生为主体、探究为主线、思维为主攻”的教学思想，采取“精讲、善导、激趣、引思”的八字方针。

高中数学数列说课稿4

尊敬的各位考官：

大家好，我是xx号考生，今天我说课的题目是《等差数列的前n项和》。

新课标指出：高中教育属于基础教育，具有基础性，且具有多样性与选择性，使不同的学生在数学上得到不同的发展。今天我将贯彻这一理念从教材分析、学情分析、教学过程等几个方面展开我的说课。

一、说教材

本节课选自人教A版高中数学必修5第二章。本节课是等差数列概念和特点等知识的延续和深化，也是后面学习等比数列及其前n项和的基础。本节课既加深了对数列相关概念的理解，又蕴含了倒序相加法、特殊到一般的数学思想方法。在整个高中教学中起到承上启下的重要作用。

二、说学情

接下来谈谈学生的实际情况。本阶段的学生已经具备了一定的抽象逻辑思维能力，能在教师的引导下独立地解决问题。因此在教学过程中要给学生留置充分的思考时间和空间。此外要注重在学生的已有认知基础上建构知识。

三、说教学目标

根据以上分析，我制定了如下教学目标：

(一)知识与技能

掌握等差数列前n项和公式，理解其推导方法，能用公式解决简单问题。

(二)过程与方法

经历观察、思考、计算等探究过程，渗透从特殊到一般的`数学思想方法。

(三)情感、态度与价值观

在学习活动中获得积极的、成功的情感体验，激发学习兴趣。

四、说教学重难点

在教学目标的实现过程中，教学重点是等差数列前n项和公式，教学难点是公式的推导过程。

五、说教法和学法

现代教学理论认为，在教学过程中，学生是学习的主体，教师是学习的组织者、引导者，教学的一切活动都必须以强调学生的主动性、积极性为出发点。根据这一教学理念，结合本节课的内容特点和学生的年龄特征，我将采用讲授法、练习法、自主探究、小组讨论等教学方法。

六、说教学过程

下面重点谈谈我对教学过程的设计。

(一)导入新课

导入环节我会设置情境。200多年前，高斯的算术老师提出了下面的问题：1+2+3+…+100=?据说，当时其他同学忙于把100个数逐项相加时，10岁的高斯却用非常巧妙的方法迅速得出了答案。

然后简单分析1+2+3+…+100是求一个等差数列前100项的和。利用这一本质引出本节课学习等差数列的前n项和。

将著名数学家融入课堂，既能激发学生的学习兴趣，也注重了数学课堂的文化的学习和培养。此外利用数学家进行导入，渗透数学的发展史。

(二)探索新知

新授环节主要探究等差数列前n项和的计算公式，是本课的中心环节。

我会直接提问：你知道高斯是如何计算的吗?相信大多数学生听过这个故事，想到(1+100)+(2+99)+…+(50+51)=101×50=5050。

有了本道题目的铺垫，我会继续提问：1，2，3，…n，…这个数列的前n项和如何求呢?在这里组织同桌讨论。并且提示学生思考：如何使得不管有奇数个还是偶数个都能恰好配对不剩余?

高中数学数列说课稿5

一、地位作用

数列是高中数学重要的内容之一，等比数列是在学习了等差数列后新的一种特殊数列，在生活中如储蓄、分期付款等应用较为广泛，在整个高中数学内容中数列与已学过的函数及后面的数列极限有密切联系，它也是培养学生数学能力的良好题材，它可以培养学生的观察、分析、归纳、猜想及综合解决问题的能力。

基于此，设计本节的数学思路上：

利用类比的思想，联系等差数列的概念及通项公式的学习方法，采取自学、引导、归纳、猜想、类比总结的教学思路，充分发挥学生主观能动性，调动学生的主体地位，充分体现教为主导、学为主体、练为主线的教学思想。

二、教学目标

知识目标：1）理解等比数列的概念

2）掌握等比数列的通项公式

3）并能用公式解决一些实际问题

能力目标：培养学生观察能力及发现意识，培养学生运用类比思想、解决分析问题的能力。

三、教学重点

1）等比数列概念的理解与掌握 关键：是让学生理解“等比”的'特点

2）等比数列的通项公式的推导及应用

四、教学难点

“等比”的理解及利用通项公式解决一些问题。

五、教学过程设计

（一）预习自学环节。（8分钟）

首先让学生重新阅读课本105页国际象棋发明者的故事，并出示预习提纲，要求学生阅读课本P122至P123例1上面。

回答下列问题

1）课本中前3个实例有什么特点？能否举出其它例子，并给出等比数列的定义。

2）观察以下几个数列，回答下面问题：

1， ， ， ，……

－1，－2，－4，－8……

1，2，－4，8……

－1，－1，－1，－1，……

1，0，1，0……

①有哪几个是等比数列？若是公比是什么？

②公比q为什么不能等于零？首项能为零吗？

③公比q=1时是什么数列？

④q＞0时数列递增吗？q＜0时递减吗？

3）怎样推导等比数列通项公式？课本中采取了什么方法？还可以怎样推导？

4）等比数列通项公式与函数关系怎样？

（二）归纳主导与总结环节（15分钟）

这一环节主要是通过学生回答为主体，教师引导总结为主线解决本节两个重点内容。

通过回答问题（1）（2）给出等比数列的定义并强调以下几点：①定义关键字“第二项起”“常数”；

②引导学生用数学语言表达定义： =q（n≥2）；③q=1时为非零常数数列，既是等差数列又是等比数列。引申：若数列公比为字母，分q=1和q≠1两种情况；引入分类讨论的思想。

④q＞0时等比数列单调性不定，q＜0为摆动数列，类比等差数列d＞0为递增数列，d＜0为递减数列。

通过回答问题（3）回忆等差数列的推导方法，比较两个数列定义的不同，引导推出等比数列通项公式。

法一：归纳法，学会从特殊到一般的方法，并从次数中发现规律，培养观察力。

法二：迭乘法，联系等差数列“迭加法”，培养学生类比能力及新旧知识转化能力。

高中数学数列说课稿6

一、教材分析

1.从在教材中的地位与作用来看

《等比数列的前n项和》是数列这一章中的一个重要内容，它不仅在现实生活中有着广泛的实际应用，如储蓄、分期付款的有关计算等等，而且公式推导过程中所渗透的类比、化归、分类讨论、整体变换和方程等思想方法，都是学生今后学习和工作中必备的数学素养.

2.从学生认知角度看

从学生的思维特点看，很容易把本节内容与等差数列前n项和从公式的形成、特点等方面进行类比，这是积极因素，应因势利导.不利因素是：本节公式的推导与等差数列前n项和公式的推导有着本质的不同，这对学生的思维是一个突破，另外，对于q=1这一特殊情况，学生往往容易忽视，尤其是在后面使用的过程中容易出错.

3.学情分析

教学对象是刚进入高中的学生，虽然具有一定的分析问题和解决问题的能力，逻辑思维能力也初步形成，但由于年龄的原因，思维尽管活跃、敏捷，却缺乏冷静、深刻，因此片面、不严谨.

4.重点、难点

教学重点：公式的推导、公式的特点和公式的运用.

教学难点：公式的推导方法和公式的灵活运用.

公式推导所使用的“错位相减法”是高中数学数列求和方法中最常用的方法之一，它蕴含了重要的数学思想，所以既是重点也是难点.

二、目标分析

知识与技能目标：

理解并掌握等比数列前n项和公式的推导过程、公式的特点，在此基础

上能初步应用公式解决与之有关的问题.

过程与方法目标：

通过对公式推导方法的探索与发现，向学生渗透特殊到一般、类比与转

化、分类讨论等数学思想，培养学生观察、比较、抽象、概括等逻辑思维能力和逆向思维的能力.

情感与态度价值观：

通过对公式推导方法的探索与发现，优化学生的思维品质，渗透事物之

间等价转化和理论联系实际的辩证唯物主义观点.

三、过程分析

学生是认知的主体，设计教学过程必须遵循学生的认知规律，尽可能地让学生去经历知识的形成与发展过程，结合本节课的特点，我设计了如下的教学过程：

1.创设情境，提出问题

在古印度，有个名叫西萨的人，发明了国际象棋，当时的印度国王大为赞赏，对他说：我可以满足你的任何要求.西萨说：请给我棋盘的64个方格上，第一格放1粒小麦，第二格放2粒，第三格放4粒，往后每一格都是前一格的两倍，直至第64格.国王令宫廷数学家计算，结果出来后，国王大吃一惊.为什么呢?

设计意图：设计这个情境目的是在引入课题的同时激发学生的兴趣，调动学习的积极性.故事内容紧扣本节课的主题与重点.

此时我问：同学们，你们知道西萨要的是多少粒小麦吗?引导学生写出麦粒总数.带着这样的问题，学生会动手算了起来，他们想到用计算器依次算出各项的值，然后再求和.这时我对他们的这种思路给予肯定.

设计意图：在实际教学中，由于受课堂时间限制，教师舍不得花时间让学生去做所谓的“无用功”，急急忙忙地抛出“错位相减法”，这样做有悖学生的认知规律：求和就想到相加，这是合乎逻辑顺理成章的事，教师为什么不相加而马上相减呢?在整个教学关键处学生难以转过弯来，因而在教学中应舍得花时间营造知识形成过程的氛围，突破学生学习的障碍.同时，形成繁难的情境激起了学生的求知欲，迫使学生急于寻求解决问题的新方法，为后面的教学埋下伏笔.

2.师生互动，探究问题

在肯定他们的思路后，我接着问：1，2，22，…，263是什么数列?有何特征?应归结为什么数学问题呢?

探讨1：，记为(1)式，注意观察每一项的特征，有何联系?(学生会发现，后一项都是前一项的2倍)

探讨2：如果我们把每一项都乘以2，就变成了它的后一项，(1)式两边同乘以2则有，记为(2)式.比较(1)(2)两式，你有什么发现?

设计意图：留出时间让学生充分地比较，等比数列前n项和的公式推导关键是变“加”为“减”，在教师看来这是“天经地义”的，但在学生看来却是“不可思议”的，因此教学中应着力在这儿做文章，从而抓住培养学生的.辩证思维能力的良好契机.

经过比较、研究，学生发现：(1)、(2)两式有许多相同的项，把两式相减，相同的项就消去了，得到：.老师指出：这就是错位相减法，并要求学生纵观全过程，反思：为什么(1)式两边要同乘以2呢?

设计意图：经过繁难的计算之苦后，突然发现上述解法，不禁惊呼：真是太简洁了!让学生在探索过程中，充分感受到成功的情感体验，从而增强学习数学的兴趣和学好数学的信心.

3.类比联想，解决问题

这时我再顺势引导学生将结论一般化，

这里，让学生自主完成，并喊一名学生上黑板，然后对个别学生进行指导.

设计意图：在教师的指导下，让学生从特殊到一般，从已知到未知，步步深入，让学生自己探究公式，从而体验到学习的愉快和成就感.

对不对?这里的q能不能等于1?等比数列中的公比能不能为

1q=1时是什么数列?此时sn=?(这里引导学生对q进行分类讨论，得出公式，同时为后面的例题教学打下基础.)

再次追问：结合等比数列的通项公式an=a1qn-1,如何把sn用a1、an、q表示出来?(引导学生得出公式的另一形式)

设计意图：通过反问精讲，一方面使学生加深对知识的认识，完善知识结构，另一方面使学生由简单地模仿和接受，变为对知识的主动认识，从而进一步提高分析、类比和综合的能力.这一环节非常重要，尽管时间有时比较少，甚至仅仅几句话，然而却有画龙点睛之妙用.

4.讨论交流，延伸拓展

第四篇：“ 数列的基本问题 ” 的教与学的策略

二、“ 数列的基本问题 ” 的教与学的策略 发布者：杨小红 发布时间： 2012-8-17 10:54:23

（一）学生在学习数列概念时的障碍及对策

数列概念是学习数列的起始课，在学习中学生会遇到如下障碍： 1．对数列定义中的关键词“按一定次序”的理解有些模糊． 2．对数列与函数的关系认识不清．

3．对数列的表示，特别是通项公式一个觉得不可思议．

4．由数列的前几项写不出数列的通项公式． 教学策略：

感到困惑．对数列的通项公式可以不只1．为激发学生学习数列的兴趣，体会数列知识在实际生活中的作用，可由实际问题引入，从中抽象出数列要研究的问题，使学生对所要研究的内容心中有数，如书中所给的例子等。

2．数列中蕴含的函数思想是研究数列的指导思想，应及早引导学生发现数列与函数的关系．在教学中强调数列的项是按一定顺序排列的，“次序”便是函数的自变量，相同的数组成的数列，次序不同则就是不同的数列．函数表示法有列表法、图象法、解析式法，类似地，数列就有列举法、图示法、通项公式法。

数列的概念

定义：像这样按照一定次序排列起来的一列数称为数列.从三个层次来理解“次序”（1）语言描述

把位置编上号码，这些号码是所有的非零自然数按从小到大顺序排列，每一个有序号的位置都有一个确定的值，由所有这样的数值组成一个数列；

数列的一般形式可以写成 a1，a2，a3，„，an，„，这种有序性是对数列本质的刻画（2）映射角度

“次序”用数学语言来表示，就是一种特殊的对应，即映射：

（3）函数角度

数列可以看成以正整数集 N *（或它的有限子集 {1，2，„，n}）为定义域的函数 an= f(n)，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时，所对应的一列函数值．

数列——初等函数

对于任意的函数 y = f(x)（x ≥0），我们可以得到一个数列

3．由数列的通项公式写出数列的前几项是简单的代入法，对程度差的学生，可多举几个例子，让学生观察归纳通项公式与各项的结构关系，尽量为写通项公式提供帮助．

归纳数列的通项

教学的目的：归纳法的运用，数列概念的理解。教学中，分几个层次： 可以先给一些特殊的数列：

再给和特殊数列有关的数列：

4．由数列的前几项写出数列的一个通项公式是学生学习中的一个难点，要帮助学生分析各项中的结构特征，让学生依据前几项的规律，猜想该数列的下一项或下几项的值，以便寻求项与项数的关系。最后老师可以和学生共同归纳一些规律性的结论：

（1）并非所有数列都能写出它的通项公式，如： 0，-1，3，7，11 „；（2）有些数列的通项公式在形式上不一定是唯一的，如：数列 1，-1，1，-1，-1，„的通项可写成

（3）当一个数列出现“ + ”、“-”相间时，应先把符号分离出来，用等来控制，然后再寻找数量间关系；

（4）有些数列的通项公式可以用分段的形式来表示；（5）熟悉常见数列的通项：

例如，全体正偶数按从小到大的顺序构成数列 2，4，6，„，2 n，„，这个数列还可以用列表和图象分别表示为

总之：数列概念的要求比过去高，用图形的变化描述数列，把图形的几何结构量化。

（二）用函数的观点进行等差数列的教学

关于等差数列定义的教学

给出一些等差数列的例子，让学生从项与项关系的角度去观察、归纳、概括得等差数列的定义.在这一段的教学中，一定要重视归纳的过程，这是学生能理解等差数列的所必须的，不要一笔带过！

研究数列的一个很重要的方法是：从整体上看数列，研究数列中的项与项之间的关系 引入：（2004 北京卷）定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和.已知数列 是等和数列，且a1=2，公和为 5，那么 a18的值为

从定义的数学表达式：

得： 表明从第二项起，等差数列的任意项都可以表示为它的前一项与公

差的和 , 因此，等差数列的任意项也就应该可以用首项和公差来表示.2．等差数列通项与一次函数

得到结论： 是等差数列

这样，由于公差不为零的等差数列的每一项an是关于项数 n 的一次函数式 于是可以利用一次函数的性质来认识等差数列 例如，理解为什么.根据一次函数的图象是一条直线和直线由两个点唯一确定的性质，就容易理解为什么两项可以确定一个等差数列

由率的计算方法）

3．等差数列的性质，它的含义是什么呢？（可以适当拓展到直线斜

表面看是两项之和相等，从对应的项数之间又是一种什么关系呢？

由此归纳得出：

使用等差数列的性质意：必须是两项相加等于两项相加，否则不成立。

如

时要注，有

.等差中项的定义是针对三个数的，即如果 x，A，y组成等差数列，则 A叫做 x，y的等差中项.从等差数列的整体看： a1，a2，a3，„，an，„，从第二项起，每一项（有穷数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等差中项.推广：从第二项起，每一项都是到它距离相等的两项的等差中项，即与数列中的任一项“等距离”的两项之和等于该项的 2 倍.这个性质体现的是数列的对称性，这种对称性是由项数之间的关系决定的.例题：

（三）把握等差数列的前 n项和公式的教学实质 ．等差数列的前 n项和公式的教学实质

有些教师在教学中利用“梯形钢管堆的计数”“梯形面积公式”等模型来体现数形结合，认为“倒序求和”是等差数列前 项和公式这一内容蕴含的思想方法。因此，把基础定位在要让学生掌握求和公式及其变式，学会“倒序求和”的思想方法。

其实，“倒序求和”只是为避免对项数 n进行奇偶讨论而引入的一个技巧，并不是什么思想方法。

基础性表现在几个层次：

用等差数列的“基本量”；

用等差数列的性质“等差数列不同数求和化归为相同数求和，从数量关系上看是利用了“平均数”概念；

”，将更进一步地，为了体现从概念出发思考和解决问题的思想，利用等差数列的概念和通项公式。，所以实质就是求 教学设计：

引入高斯故事，归纳方法本质

从“高斯的故事”引入；归纳“高斯方法”的本质，即实质是利用将不同数化为相同数求和；

探究求值方法，引出分类讨论，用这一方法求的值，引出需要分 n为奇数、偶数讨论的问题，并

求出和；过渡到利用归纳思想方法，提升解题技巧

求等差数列前 n项和公式。

聚焦基本概念和基本原理，引导学生经历从特殊到一般的归纳过程，从中领悟“化归”的思想方法的思路。

教学中不必急于引入“倒序求和”的技巧。可以在讨论 n的奇偶性而得出求和公式后，再让学生思考“能否想个办法避免讨论”，把公式，再联系性质得到。

变形为应把等差数列前 项和这节课看成是等差数列概念、性质的应用课。这一节课的教学，重要的是培养学生从基本概念、基本原理出发思考问题的习惯。具体教学时应明确任务（即用基本量）的基础上，引导学生从基本性质、通项公式入手，寻找化归的方法，在不断“求简”中得到“倒序求和”。

2.公式的推导 3 ．从函数的观点来认识 Sn

首项为 a1、公差为 d 的等差数列前 n 项和的公式可以写为：

即当 时，Sn是 n 的二次函数式，于是可以运用二次函数的观点和方法来认识求等差数列前 n 项和的问题 如可以根据二次函数的图象了解 Sn的增减变化、极值等情况 ．通过 Sn的有关问题进一步认识等差数列的结构特征

本题给出了等差数列前 6 项的和，应该关注最后六项的和，利用等差数列的性质和前 n项和公式解决问题。要求学生对等差数列前 n项和概念要有深刻理解。

例 2 等差数列 的公差为 d，前 n项和为 Sn，当首项 a1和 d变化时，a2+a8+a11是一个定值，则下列各数中也为定值的是（C）

本题利用整体代换求解，体现了整体代换的思想。

（四）典型例题的作用及教学

n的取值只能是 8，9.（五）数列研究的几个基本问题 ．关注 an与 Sn

（六）数学归纳法的教学定位 ．数学归纳法教学的重点和难点 重 点

（1）初步理解数学归纳法的原理.（2）明确用数学归纳法证明命题的两个步骤.（3）初步会用数学归纳法证明简单的与正整数有关的恒等式.难 点

（1）对数学归纳法原理的理解，即理解数学归纳法证题的严密性与有效性.（2）假设的利用，即如何利用假设证明当 n=k+1 时结论正确.2 ．数学归纳法原理形成的教学定位

由于数学归纳法原理的高度的抽象性，学生在学习时，往往限于掌握了一些应用数学归纳法的技巧，而不能真正理解它的意义.因此学习停留在单纯的模仿之中.所以原理的形成过程的教学，既是本节课的重点，也是难点.教师要组织形象、生动、与所学内容密切相关的素材，作为数学归纳法原理产生的背景，以激发学生浓厚的学习兴趣，帮助、引导学生从中感悟其蕴含的数学思想，最终产生迁移效果.抽象出数学归纳法的原理，如何通过探究顺利实现迁移抽象的目标，就成了本节课能否成功的关键.有些教师对数学归纳法原理形成过程的教学不够重视，表现在有的教师没有安排实验探究，急于向学生展示一种思维“模式”和“套路”，接着通过大量的例题、习题进行强化；有的教师虽然安排了实验，但也是一带而过，很快抽象出了数学归纳法原理，这只能是教师的“成果”，而不是学生的成果，仍然摆脱不了生硬灌输这种教学模式的影子；甚至有的教师将相当多的时间和精力花在举例说明“不完全归纳法”的缺陷上，这显然偏离了本节课的主题与核心.“多米诺骨牌实验”的教学定位

本节课所需的“引例”，形式丰富多样，教师用的最多的是“多米诺骨牌实验”，因为这几乎是所有学生小时候都玩过的一种游戏，贴近学生的生活实际，具有一种无形的亲近感。同时“多米诺骨牌实验”以简便的形式蕴含了数学归纳法的深刻原理，因而成为这节课的典型素材.问题是如何正确认识，科学定位“多米诺骨牌实验”？在实验的方式上，“多米诺骨牌实验”应从不同角度多次进行，每次实验都要有不同的目的，都要引发学生不同的思考、探究，让学生既要有实验成功的体验，又要有实验失败的反思；而多次的实验又能形成一个有机的整体，当将每次实验的体验和反思糅合在一起后，数学归纳法的内在原理就扎根于学生的心中了。从学生的基础来看，学生用原有的知识结构同化数学归纳法存在着数学知识和逻辑知识上的准备不足，需要具体的实例帮助；从学生的认知规律来看认知抽象的事物应尽可能将其具体化、形象化，同时，对抽象事物本质的认识不能一步到位，应该由浅入深、由表及里、正反对比，方能凸显本质。

“多米诺骨牌实验”的功能应该包含两个层次：一是将实验转化为关于正整数的命题，即“第一块骨牌倒下”对应“当 n取第一个正整数 n0时命题成立”，“第二块骨牌倒下”对应“当 n取第一个正整数 n0+1时命题成立”，„，“所有的骨牌都倒下（即游戏成功）”对应“命题对从 n0开始的所有正整数都成立”，若“第一定有第 k+1块骨牌跟着倒下”对应“若

块骨牌倒下，则

时命题成立，则 n=K+1时命题也一定成立”。

二是将游戏转化为具体的数学问题，引导学生通过解决具体的数学问题进一步体验数学归纳法的思想，并从中感受到成功的喜悦，然后在此基础上才能推广到一般命题，抽象概括，得到数学归纳法原理。这样学生才能够切实掌握数学归纳法原理，本节课的难点才能够得到有效突破。

“多米诺骨牌实验”的教学设计 三次实验

实验 1 ：用手推倒 1 号骨牌，然后 2 号骨牌，3 号骨牌，„，紧跟着全部倒下，让学生讨论为什么会出现这种结果，在这个环节，学生对现象的本质的认识可能是比较模糊的，但必要的讨论为下面显现本质奠定了基础。

实验 2 ：课件展示动画，在该实验中，骨牌的间距和实验 1 相同，用手推倒 1 号骨牌，没有推倒，然后 2 号骨牌，3 号骨牌，„，自然就没有倒下，即游戏失败。这时教师让学生对比实验 1 和实验 2，讨论游戏失败的原因，从而得到游戏成功的第一个必要条件，1 号骨牌必须被推倒。

实验 3 ：课件展示动画，在该实验中，骨牌的间距出现分化，1 号骨牌与 2 号骨牌的间距拉开的足够大，其他骨牌间距不变（同实验 1），这是用手推倒了 1 号骨牌，但 2 号骨牌没有倒下，3 号骨牌，4 号骨牌„，自然就没有倒下，即游戏失败。同样让学生对比不同实验及其结果，分析原因。这是学生得到的结论往往在具体骨牌上，即 1 号骨牌倒下，没有带动 2 号骨牌倒下导致了失败，而学生对其中的任意性很难提炼出来。继续下去，再将 2 号骨牌和 3 号骨牌 ,3 号骨牌和 4 号骨牌„，的间距拉开的足够大，（每一次试验只改变一个间距），重复实验 3，如此反复几次，学生不难悟出游戏成功的第二个必要条件，即第 k块骨牌倒下，则一定有第 k+1块骨牌倒下（这里暗示了无穷推理的合理性）。

至此，用数学归纳法证明数学问题时，为何两步缺一不可，便不言自明。两次迁移：

骨牌游戏虽然有数学归纳法的影子，但毕竟不是数学归纳法原理本身，不能直接用来证明数学问题，这就需要将游戏迁移到数学问题中去。

迁移 1 将骨牌游戏换成数学问题，提出问题：设等差数列 的首项为 a1，公差为 d，我们在前面推导其通项公式时，得到与正整数有关的无穷多等式：

要使这无穷多个等式都成立，你能否用数学语言概括上面游戏成功的两个条件？然后让学生独立思考、合作讨论、得到

（1）第一个等式成立（即当 n=1成立）

（2）假设第 个等式成立，一定能推出第k+1个等式也成立。这样就实现了由游戏向原理的第一次迁移。

迁移 2 教师请同学就等差数列通项公式问题具体尝试，是否能做到这两步？最后将无穷多个等式统一为

。至此，由游戏向原理的第二次迁移顺利完成。数学归纳法原理的得出已经是水到渠成。

（1）归纳奠基（2）归纳递推

从多米诺骨牌实验到数学归纳法原理，清晰地反映了生活问题 — 数学问题 — 数学形式化的发展轨迹。在对实验的探究过程中，学生经历了成功与失败的种种体验，经历了将生活语言转化为数学语言的过程，经历了将生活中蕴含的原理转化为数学原理的过程。由于始终坚持在学生的“最近发展区”内设置问题情境，注重层层递进，避免一步到位，因而学生能够积极思考。乐于交流讨论，不断体验到成功的快乐，从而顺利地建立了新旧知识及其本质之间的联系。

学生通过数列一章内容和其它相关内容的学习，已经初步掌握了由有限多个特殊事例得出一般结论的推理方法，即不完全归纳法。不完全归纳法是研究数学问题，猜想或发现数学规律的重要手段。但是，由有限多个特殊事例得出的结论不一定正确，这种推理方法不能作为一种论证方法。因此，在不完全归纳法的基础上，必须进一步学习严谨的科学的论证方法─数学归纳法。

第五篇：高中数学数列知识点

数列是以正整数集为定义域的函数，是一列有序的数。数列中的每一个数都叫做这个数列的项。下面小编给大家分享一些数学数列知识点，希望能够帮助大家，欢迎阅读!

数学数列知识点1

等差数列

1.等差数列通项公式

an=a1+(n-1)d

n=1时a1=S1

n≥2时an=Sn-Sn-1

an=kn+b(k,b为常数)推导过程：an=dn+a1-d令d=k，a1-d=b则得到an=kn+b

2.等差中项

由三个数a，A，b组成的等差数列可以堪称最简单的等差数列。这时，A叫做a与b的等差中项(arithmeticmean)。

有关系：A=(a+b)÷2

3.前n项和

倒序相加法推导前n项和公式：

Sn=a1+a2+a3+·····+an

=a1+(a1+d)+(a1+2d)+······+[a1+(n-1)d]①

Sn=an+an-1+an-2+······+a1

=an+(an-d)+(an-2d)+······+[an-(n-1)d]②

由①+②得2Sn=(a1+an)+(a1+an)+······+(a1+an)(n个)=n(a1+an)

∴Sn=n(a1+an)÷2

等差数列的前n项和等于首末两项的和与项数乘积的一半：

Sn=n(a1+an)÷2=na1+n(n-1)d÷2

Sn=dn2÷2+n(a1-d÷2)

亦可得

a1=2sn÷n-an=[sn-n(n-1)d÷2]÷n

an=2sn÷n-a1

有趣的是S2n-1=(2n-1)an，S2n+1=(2n+1)an+1

4.等差数列性质

一、任意两项am，an的关系为：

an=am+(n-m)d

它可以看作等差数列广义的通项公式。

二、从等差数列的定义、通项公式，前n项和公式还可推出：

a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…=ak+an-k+1，k∈N--

三、若m，n，p，q∈N--，且m+n=p+q，则有am+an=ap+aq

四、对任意的k∈N--，有

Sk，S2k-Sk，S3k-S2k，…，Snk-S(n-1)k…成等差数列。

数学数列知识点2

等比数列

1.等比中项

如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项。

有关系：

注：两个非零同号的实数的等比中项有两个，它们互为相反数，所以G2=ab是a,G,b三数成等比数列的必要不充分条件。

2.等比数列通项公式

an=a1--q’(n-1)(其中首项是a1，公比是q)

an=Sn-S(n-1)(n≥2)

前n项和

当q≠1时，等比数列的前n项和的公式为

Sn=a1(1-q’n)/(1-q)=(a1-a1--q’n)/(1-q)(q≠1)

当q=1时，等比数列的前n项和的公式为

Sn=na1

3.等比数列前n项和与通项的关系

an=a1=s1(n=1)

an=sn-s(n-1)(n≥2)

4.等比数列性质

(1)若m、n、p、q∈N--，且m+n=p+q，则am·an=ap·aq;

(2)在等比数列中，依次每k项之和仍成等比数列。

(3)从等比数列的定义、通项公式、前n项和公式可以推出：a1·an=a2·an-1=a3·an-2=…=ak·an-k+1，k∈{1,2,…，n}

(4)等比中项：q、r、p成等比数列，则aq·ap=ar2，ar则为ap，aq等比中项。

记πn=a1·a2…an，则有π2n-1=(an)2n-1，π2n+1=(an+1)2n+1

另外，一个各项均为正数的等比数列各项取同底指数幂后构成一个等差数列;反之，以任一个正数C为底，用一个等差数列的各项做指数构造幂Can，则是等比数列。在这个意义下，我们说：一个正项等比数列与等差数列是“同构”的。

(5)等比数列前n项之和Sn=a1(1-q’n)/(1-q)

(6)任意两项am，an的关系为an=am·q’(n-m)

(7)在等比数列中，首项a1与公比q都不为零。

数学数列知识点3

数列的相关概念

1.数列概念

①数列是一种特殊的函数。其特殊性主要表现在其定义域和值域上。数列可以看作一个定义域为正整数集N--或其有限子集{1，2，3，…，n}的函数，其中的{1，2，3，…，n}不能省略。

②用函数的观点认识数列是重要的思想方法，一般情况下函数有三种表示方法，数列也不例外，通常也有三种表示方法：a.列表法;b。图像法;c.解析法。其中解析法包括以通项公式给出数列和以递推公式给出数列。

③函数不一定有解析式，同样数列也并非都有通项公式。

高中数学数列知识点