第一篇:整式的乘法说课
整式的乘法(1)说课稿
今天,我说课的内容是:义务教育教科书人教版八年级上册第十四章第一节《整式的乘法》第四课时《单项式乘以单项式和单项式乘以多项式》.下面我将从教学背景、教学目标、教法学法、教学过程四个方面对本节课进行说课.一、说教学背景
(一)教材分析
整式的乘除与因式分解,属于《课程标准》中的“数与代数”领域的核心知识.而初中代数的一条主线是:由数到式,再到方程、函数,其中,式具有承上启下的作用.式的教学又以整式为主,整式的运算以数的运算和幂的运算为基础.作为幂的运算的直接应用,教科书在第四小节安排了整式的乘法.本节内容由浅入深地学习单项式乘单项式、单项式乘多项式、多项式乘多项式,三个知识点环环相扣,每个新知识点的学习既是对前一个所学知识的应用,也为后一个知识学习奠定基础.整式的乘法既是进一步学习分式和根式运算的基础,同时又是学习物理、化学等其他学科不可缺少的数学工具. 本节课主要解决单项式乘单项式和多项式与单项式相乘的问题,多项式与多项式的乘法将在下一节继续研究.
(二)学情分析
在之前的学习中,学生已经学习了数的运算、字母表示数、合并同类型、去括号等内容,了解有关运算律和法则,同时在前面几节课又学习了同底数幂乘法、幂的乘方、积的乘方法则,具备了类比有理数运算进行整式运算的知识基础.学校推行课堂教学改革已经五年,班上的学生较活跃,在课堂上能积极思考,踊跃地发表自己的观点.二、说教学目标
(一)教学目标的确定
依据课程标准、教学内容和学情,从以下四个方面构建了本节课的学习目标.知识与技能:探索并了解单项式与单项式、单项式与多项式相乘的法则,并运用它们进行运算.数学过程与方法:经历单项式与单项式、单项式与多项式相乘的法则的形成过程,发展学生的运算能力,体验转化、类比的思想方法.情感态度与价值观:让学生主动参与到探索过程中去,逐步形成独立思考、主动探索的习惯.(二)学习重难点
基于以上对教材和学情的分析,确定本节课的教学重点和难点分别是:
重点:单项式与单项式、单项式与多项式相乘的法则及其概括过程;
难点:单项式与单项式、单项式与多项式相乘的计算中符号的确定和漏项问题.三、说教法学法
洛克说:任何东西都不能像良好的方法那样,给学生指明道路,帮助他们前进.新课标也强调课堂教学要以学生为主体,教师为主导.基于对教材和学情的分析,并结合我校课堂教学的实际,我在本课中主要采用以下教学方法:
(1)教法:启发式教学,课堂中以问题为驱动,通过教师的引导示范演示等方式组织教学.《基础教育课程改革纲要》指出,“课改的根本就是要改变学生的学习方式.”因此,在本节课的教学中,我将更加突出学生的主体地位.让学生以自学、合作、分享、实践等方式参与到学习活动中.(2)学法:自主学习、启发探究、合作讨论、分享交流、动手实践.四、说教学过程
为达到本节课的教学目标,突出重点,突破难点,我把教学过程设计为三个环节: 第一环节 复习回顾:
1.下列代数式中,哪些是单项式?并分别说出它们的次数,系数
x 2.(1)(-a5)5=
(2)
(-2a3b)2 =
这一环节是回顾单项式的相关概念,为本节课的学习做准备,然后通过第2题的(2),利用乘方的意义引入单项式与单项式相乘的法则。
第二环节
学习过程:
例1.利用乘法交换律、结合律以及前面所学的幂的运算性质,计算下列单项式乘以单项式:(1)2x2y·3xy(2)4a2x5·(-3a3bx)
(3)(-5a2b3)(-3a)教师示范(1),规范过程,学生独立完成(2)(3),然后师生共同总结需要注意事项。例2 计算:
23(1)(2x)3(-5x2y)
(2)x3y2xy2
(3)(-3ab)(-a2c)2·6ab(c2)3
32此题相比上题多了一个乘方,注意运算顺序。
巩固练习:
22233512122325(3)(abc)(c)(abc)(1)(2xy)(xy)(2)(3ab)(ab)
3433213(xy)2—(-2x)3·xy3(4)2x3yx3y14x6xy
(5)0.4x2y·22巩固单项式与单项式相乘,(4)(5)注意要合并同类项。思考:(1)说出6x21x1的项,次数 2(2)-3(ab2c+2bc-c)=
(3)为了扩大 绿地的面积,要把街心花园的一块长p 米,宽b 米的长方形绿地,向两边分别加宽a 米和c 米,你能用几种方法表示扩大后的绿地的面积?
p
利用面积法引出单项式乘以多项式,实质是乘法分配律的运用。b c a 例3 计算:
p
p
p(1)4x3x1(2)2221ab2abab 32学生板演过程,然后师生共同总结注意事项。
巩固练习:(1)2a(2ab12ab)
(2)-3x2(-y-xy2+x2)
(3)(12xy210x2y21y3)(6xy3)
3(4)3a2a4a32a(3a4)(5)(2a)(abb)5a(abab)巩固单项式与多项式相乘,(4)(5)注意要合并同类项。第三环节 拓展:
1.已知am=2,an=3,求(a3m+n)2的值。
2.若(a2
2222222m1n2b)(a2n1b)a5b3,求mn的值。
3、化简求值3x(2x-x+1)-2(2x-3)-4(1-x),其中x=-2 第四环节
课堂小结
学生回顾本节所学,及时总结并进行反思,解决当堂疑问,做到堂堂清。
第二篇:有理数乘法说课
《有理数的乘法》教学设计
教材分析:
“有理数的乘法”是继相反数、绝对值和有理数的加法之后学习的,与小学学习的乘法相比,区别就在于负数参与了运算.因此,探讨并理解积的符号规则是学习的难点。本节课设计新的情境引导学生进行有自身体验感悟的探究,以落实课程标准提出的“让学生经历由实际问题抽象出数与代数问题的过程”的目标要求.学情分析:
学生对小学里学习的乘法的意义掌握得较好,也有了相反数、绝对值和有理数加法的知识基础,加之初一学生生性活泼、求知欲强,这些都是学习本课内容的有利条件.但由于这一年龄段学生的抽象思维的发展还处于初级阶段,对如3×(-5)和(-3)×(-5)的理解须借助具体的实际背景来加深体验,这也成为本课探究讨论的重点和难点.教学目标:
1、让学生经历从实际情境中感知有理数乘法的意义,探索有理数乘法法则的形成过程。
2、发展学生的观察、归纳、猜想的能力和合作交流能力,提高学生学生学习数学的积极性。
3、使学生能利用有理数的乘法法则进行简单的乘法运算。教学重点:有理数的乘法法则的探索、概括及应用
教学难点:有理数乘法法则中符号变化的理解和积的符号的确定 教学过程:
一、创设问题情境,引入新课
1、引入语:今天又是新的一天,同学们有没有信心完成好今天的学习任务?状态是效率的保证.状态需要激发.2、引入问题
先看这样一个问题:3+3+3+3+3+„„=?(2004个3)再看一个问题:(-3)+(-3)+„„(-3)=?(2004个3)根据学生的回答及时在黑板上板书:(-3)×2004=-6012)
观察这两个式子,第二个乘法算式与我们在小学里学过的乘法算式的显著区别是有负数参与了运算,有负数参与的乘法运算怎么计算?其结果是不是刚才同学们说的-6012?这就是我们今天要学习的内容:有理数的乘法。引发学生的认知冲突,激发学生学习新知识的兴趣
二、有理数乘法法则的探究 让我们从简单做起:
⑴(-2)×3(-3)×3 ⑵(-2)×(-7)(-21)×(-5)你认为应该等于多少?
⑶追问“-3”、“5”、“-15”的含义,问负号的意义时追问你规定了什么为正? ⑷举例:一只勤劳的小蚂蚁早晨6点就起床运粮食了由东向西它每分钟爬3米,9点时,它爬到了O点,同学们,你们能算出9点零5分时小蚂蚁的位置吗? ⑸教师结合小蚂蚁的例子详细分析(-3)×5=-15中符号及数字的意义。
⑹呼应提出的问题,教师引导学生作出判断:大家觉得小蚂蚁举的例子合理吗?你理解了吗?
⑺下面我再提几个问题,看看大家是不是真的理解了?
①现在是9:27,这时小蚂蚁又在哪儿呢?你怎么列式计算?(教师此处着重解释27的意义就是超过9点27分钟,让学生明白:超过9点多少分钟,就乘以多少。)②(-3)×2表示哪个时刻小蚂蚁的位置?
③(-3)×0呢?
2、探究(-3)×(-5)的意义及结果
⑴下面我再给大家出一道有点难度的问题(-3)×(-1)=?(-3)×(-5)=? ⑵教师组织学生讨论
⑶教师请学生代表发言,追问两个问题 ①结果等于多少? ②你是怎么理解的?
⑷再次解释说明-5的意义,强调我们把9点记作0,超过9点的分钟数记作正数,而9点不足的分钟数则记作负数。
3、探究3×5和3×(-5)的意义及结果
⑴我还有两个式子,有谁能不畏困难,上讲台来为大家演示说明? ⑵在小学里大家就知道3×5=15,你借助小蚂蚁为大家演示一下,行吗? ⑶你认为3×(-5)=?能不能,来说明你的答案的合理性?
4、初步总结法则
⑴我们再好好观察一下,有负数参与的乘法与小学里的乘法最明显的区别在哪儿? ⑵你观察到了什么规律?
⑶你能不能像总结有理数的加法法则那样,总结一下有理数的乘法法则呢?
5、完善法则
⑴我们是不是研究了有理数乘法的所有情况? ⑵板书(+3)×0=?0×(-5)=?
⑶它们的结果分别等于多少?你是怎么理解的? ⑷在学生总结的基础上,教师板书显示完整的法则。⑸教师要求学生默读、默记法则
三、法则的应用
1、课堂练习第一组:判断下列运算结果的符号 ⑴ 5×(-3); ⑵(-3)×3; ⑶(-2)×(-7); ⑷(+0.5)×(+0.7); 第二组:填一填
⑴()×()= +20; ⑵()×()=-30; 第三组:比一比,谁大谁小
⑴(+1.76)×(-3.5)0.1×0.9; ⑵(-21)×(-5)0×(-200); 第四组:总结有理数乘法的运算步骤,讲解例题
⑴例题:计算:(-6)×3; ⑵学生练习:计算:2.5×(-4);
四、课堂总结
1、有理数乘法的符号法则的探究
2、有理数乘法法则的简单应用 教案设计说明:
⑴创设情境,驱动探究.“让学生经历3+3+3+3+3+„的过程”是课程标准所强调的目标之一.如何使学生在这一过程中有所体验、有所发展;怎样让这一过程有着实质性的内容而非形式化的过场?精心创设情境,设计问题,让问题驱动学生自主学习,让学生带着问题探究是落实这一过程性目标的有效方法.本课针对学生难以理解的符号规则,就有理数乘法法则的探究过程设计了三个层次的情境问题:
举例说明(-3)×5的合理性;合作讨论、理解(-3)×(-5)的合理性;领悟3×(-5)的合理性.在经历“过程”中,感受数学的价值,获得探索的体验、实践的机会,发展了观察、猜想、验证、归纳以及合作交流等能力.⑵以问题为中心,视学生为主人.“仔细观察,符号有什么规律?”整堂课,充斥着问题,问题是学生讨论的核心,问题是学生探究的载体.教师“煽动”学生思考、参与学生交流,不代替学生下结论、不过早作判断,带着教具走向学生,捕捉过程中生发出的新问题,努力让学生成为学习的主人,努力使自己成为学生学习的伙伴.⑶关注基础,分层推进.割裂“过程”与“双基”的关系是课改实验中的误区之一,在“过程”中发展起来的能力为“双基”的有效落实提供了保证.本课没有停留在法则的得出上,而是设计了富有层次的练习:判断积的符号,是对法则的直接应用;填一填,既具开放性,又从另一侧面对符号进行了理解性的巩固;比较大小,则瞻后顾前,对法则的灵活运用提出了要求;智力冲浪,为学有余力的学生提供了展示的平台.所有练习,均围绕“符号”这一难点进行了及时的训练.不同层次的练习,使得不同层次的学生得到了不同的发展,是真正的面向全体.
第三篇:整式的乘法教案
整式的乘法教案
第一课时
积的乘方
复习导入
前面我们学习了同底数幂的乘法、幂的乘方这两个运算性质,请同学们通过完成一组练习,来回顾一下这两个性质:(1)
(2)
(3)
(4)
二、合作探究
(1)(3×5)7
——积的乘方 =(35)(35)(35)
——幂的意义
7个(35)=(333)×(555)
——乘法交换律、结合律
7个37个5=37×57;
——乘方的意义
(2)(ab)2 =(ab)·(ab)=(a·a)·(b ·b)= a()
b()
(3)
(a2b3)3 =(a2b3)·(a2b3)·(a2b3)=(a2 ·a2· a2)·(b3·b3·b3)= a()(4)
(ab)n
=(ab)(ab)(ab)
——幂的意义
n个ab=(aaaa)·(bbbb)——乘法交换律、结合律 n个an个b=anbn .
——乘方的意义
由上面三个式子可以发现积的乘方的运算性质:
积的乘方,等于把每一个因式分别乘方,再把所得的幂相乘. 即:(ab)n=an·bn
三、知识应用,巩固提高
例题3 计算(1)(2a)3;(2)(-5b)3;(3)(xy2)
2;
(4)(-2x3)4.
(5)(-2xy)4
(6)(2×10)2
说明:(5)意在将(ab)n=anbn推广,得到了(abc)n=anbncn 判断对错:下面的计算对不对?如果不对,应怎样改正?
①
②
③
补充例题: 计算:
(1)
(2)
b()逆用公式:(ab)annbn,即
abnnab)(n预备题:(1)
(2)例题:(1)0.12516·(-8)17;
(2)已知2m=3,2n=5,求23m+2n的值.
五、课堂作业
1、计算(1)[4(xy)2]3(2)(ts)3(st)
5152、逆用公式(1)(9)5(2)(33)(2)(0.125)
2010(8)2011
3、(1)若6482,则x________(3)已知164
2第2课时
整式的乘法1
一、复习提问
同底数幂,幂的乘方,积的乘方三个法则的区分。
二、合作探究
光的速度约为3×105千米/秒,太阳光照射到地球上需要的时间大约是5×102秒,你知道地球与太阳的距离约是多少千米吗?
(1)怎样计算(3×105)×(5×102)?计算过程中用到哪些运算律及运算性质?(2)如果将上式中的数字改为字母,比如ac5•bc2怎样计算这个式子? 说明:(3×105)×(5×102),它们相乘是单项式与单项式相乘.
ac5•bc2是两个单项式ac5与bc2相乘,我们可以利用乘法交换律,结合律及同底数幂的运算性质来计算:ac5•bc2=(a•b)•(c5•c2)=abc5+2=abc7.
单项式乘以单项式的运算法则及应用
单项式与单项式相乘,把它们的系数、相同字母分别相乘,对于只在一个单项式里含有的字母,则连同它的指数作为积的一个因式. m2n252x,2793nm3,求m、n的值
例4 计算:
(1)(-5a2b)(-3a);
(2)(2x)3(-5xy2).
练习1(课本)计算:
(1)3x25x3;
(2)4y(-2xy2);
(3)(3x2y)3•(-4x);(4)(-2a)3(-3a)2.
练习2(课本)下面计算的对不对?如果不对,应当怎样改正?
(1)3a3•2a2 = 6a6;
(2)2x2 • 3x2 = 6x4 ;
(3)3x2 • 4x2 = 12x2;
(4)5y3 • y5 = 15y15.
三、巩固提高
1.(-2x2y)·(1/3xy)2.(-3/2ab)·(-2a)·(-2/3a2b2)3.(2×105)2·(4×103)
24.(-4xy)·(-xy)·(1/2y)
5.(-1/2ab2c)·(-1/3abc)·(12ab)6.(-ab3)·(-ab)22
32323
n+1n22322 7.(-2xy)·(-3xy)·(-1/2xz)8.-6mn·(x-y)·1/3mn·(y-x)
四、课堂小结
(1)积的系数等于各系数的积,应先确定符号。(2)相同字母相乘,是同底数幂的乘法。
(3)只在一个单项式里含有的字母,要连同它的指数写在积里,注意不要把该因式丢掉(4)单项式乘法法则对于三个以上的单项式相乘同样适用。(5)单项式乘单项式的结果仍然是单项式。
五、课堂作业
1、(1)5x(ax)(2.25axy)(1.2xy)(2)xy(0.5xy)(2x)xy
2、已知:x4,y
ab3、若23,26,212,求证:2b=a+c.c1322252233
112215,求代数式xy14(xy)x的值.874
整式的乘法
(二)课后做作业
1、计算(1)(2103)3(2)(xy2z3)
22、逆用公式(1)212(1122)
3、(1)若x38a6b9,则x________
4.计算下列各题(1)4xy2(3238xyz)
(3)3.2mn2(0.125m2n3)
2)(3a3b2)(213a37b3c)
4)(1xyz)2x2y2323(5yz3)4
((
第四篇:整式的乘法(教案)
整式的乘法
知识回顾
1.乘法运算律:交换律,结合律,分配律.2.有理数的乘法法则:
(1)两数相乘,同号为正,异号为负,并把绝对值相乘;
(2)几个不为零的数相乘,积的符号由负因数的个数决定;偶个为正,奇个为负;
(3)任何数同0相乘都得0.3.幂的运算性质 4.单项式于多项式
5.整式的加减运算:同类项,合并同类项. 教材知识详解
1.单项式与单项式相乘:只要将它们的系数、相同字母的幂分别相乘,对于只在一个单项式中出现的字母,则连同它的指数一起作为积的一个因式. 注意:
(1)单项式乘以单项式运算法则的依据是乘法交换律、结合律和幂的运算性质;(2)单项式乘以单项式分为三方面:① 系数相乘——有理数的乘法;② 相同字母的幂相乘——同底数幂的乘法;③ 只在一个单项式里出现的字母连同它的指数作为积的一个因式;
(3)若某个单项式有乘方形式时,应先算乘方,再算乘法;(4)对于三个或三个以上的单项式相乘,此法则仍适用.【例1】 计算:
(1)2c5·5c2;(2)(-5a2b3)·(-4b2c);
2(3)(2x)3·(-5xy2);(4)(4x2y2z3)(x3y3);
31(5)6x2y(ab)3xy2(ba)2.2.单项式与多项式相乘:只要将单项式分别乘以多项式的每一项,再将所得的积相加.它的依据的乘法分配律,即:m(a+b+c)= ma+mb+mc 注意:
(1)单项式乘以多项式的结果仍是多项式,其项数与多项式的项数相同;(2)计算时注意符号问题,多项式中的每一项都包括它前面的符号.【例2】 计算:
21(1)2a2·(3a2-5b)(2)(ab22ab)ab
(3)
(-4x2)·(3x+1);
3.多项式与多项式相乘:先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项,再把所得的积相加.用字母表示为(mn)(ab)mambnanb. 注意:
(1)运用多项式乘法法则时,必须做到不重不漏,为此,相乘时要按一定的顺序计算;
(2)相乘时,多项式中的每一项都要包括它前面的符号,依据“同号得正,异号得负”的原则计算;
(3)多项式与多项式相乘,仍是多项式,在合并同类项之前,积的项数应等于两多项式的项数之积;
(4)多项式与多项式相乘的展开式中,有同类项的要合并同类项.【例3】 计算:
(1)(2x3y)(3x5y)(2)(x2)(y3)(x1)(y2)(3)(x2y)(2xy)(4)(2x5)2
巩固练习:
1.计算:①(m2n)(m2n), ②(x2y)2,③(ab)(ab),④(axb)(cxd)。2.计算:3xy(x22x1)(2x3y)(3x4y)3.若(mxy)(xy)2x2nxyy2, 求m,n的值.4.已知(x2mxn)(x1)的结果中不含x2项和x项,求m,n的值.5.计算(a+b+c)(c+d+e),你有什么发现?
为边作正方形。APB
6.如图,AB=a,P是线段AB上一点,分别以AP,BP(1)设AP=x,求两个正方形的面积之和S;
11a和a时,比较S的大小。(2)当AP分别32
第五篇:整式的乘法教案
学习周报
专业辅导学生学习
整式的乘法综合
知识技能目标
1.进一步巩固幂的运算性质、整式乘法法则; 2.能熟练地运用幂的运算性质进行计算; 3.能熟练地运用整式乘法法则进行计算.
过程性目标
1.通过回忆和交流,经历对已有知识的归纳和复习过程; 2.通过实践与应用,提高分析问题,解决问题的能力.情感态度目标
激发学生对整式乘法中所蕴藏的一些数学规律的兴趣,以及对每一个法则的理解.重点和难点
重点:对整式乘法的法则的理解和应用; 难点:正确地应用法则进行计算.教学过程
一、整式的乘法内容
1.幂的运算性质:同底数幂相乘、幂的乘方、积的乘方.2.单项式与单项式乘法法则,单项式与多项式乘法法则,多项式与多项式乘法法则.二、实践应用
例1计算
(1)(–3ab)2 ;(2)(x2·xm)n·(xm·x3)n ;(3)[(x2y)6·x2]4;(4)a3·a4·a+(a2)4+(-2a4)2.解(1)(-3ab)=(-3)·a·b=9ab.(2)(x2·xm)n·(xm·x3)n=x2n·xmn·xmn·x3n=x2n+mn+mn+3n=x5n+2mn.(3)[(x2y)6·x2]4=[x12·y6·x2]4=[x14·y6]4=x56y24.(4)a3·a4·a+(a2)4+(-2a4)2=a8+a8+4a8=6a8.练习1 计算
(1)(-a2b4c4)4 ;(2)–(-3xy3)3;(3)(-x)2·x3·(-2y)3+(-2xy)2·(-x)3·y.例2计算
22222223(1)(-2xy)·(2xy);
(2)(-4xy)·(-xy)·2y;
(3)3x(x2-2x-1)-2x2(x-2);
(4)(x+y)(x2-xy+y3);
(5)3x(x+2x+1)-(2x+3)(x-5).解(1)(-2x2y)2·(2xy2)2=4x4y2·4x2y4=16x6y6.(2)(-4x2y)·(-x2y2)·2y3=8x2+2y1+2+3=8x4y6.(3)3x(x2-2x-1)-2x2(x-2)=3x3-6x2-3x-2x3+4x2=x3-2x2-3x.(4)(x+y)(x2-xy+y3)=x3-x2y+xy3+x2y-xy2+y4=x3+xy3-xy2+y4.(5)3x(x2+2x+1)-(2x+3)(x-5)=3x3+6x2+3x-(2x2-10x+3x-15)
=3x3+6x2+3x-2x2+10x-3x+15
=3x+4x+10x+15.练习2 计算
(1)(-5ab)(2ab);
(2)(-3ab)(-ac)·6ab(c);
(3)(a2-ab+1)(-7ab2);
(4)a(a+b-c)-b(a+b-c);
(5)(x+3)(x+4)-x(x+1)-14;
(6)(2x+3)(x-4)-(x+2)(x-3).例3(1)若4×8m×162m=224,求m的值;
(2)先化简,再求值(2x+3)(3x-1)-6x(x-2)+1,其中x=-2.232
2322222
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解(1)4×8×16=2×(2)×(2)=2×2×2=2得
2+11m=24
11m=24-2=22
m=2.(2)(2x+3)(3x-1)-6x(x-2)+1
=6x2-2x+9x-3-6x2+12x+1 m2m23m42m23m8m2+11m
=2
2=19x-2
当x=-2时, 19x-2=19×(-2)-2=-38-2=-40.22例4 若(x+2)(x+ax+b)的积中不含x项和x项,求a、b的值.解
(x+2)(x2+ax+b)=x3+ax2+bx+2x2+2ax+2b=x3+(a+2)x2+(2a+b)x+2b 根据题意,得 a+2=0, 2a+b=0 解得
a=-2, b=4.三、交流反思
师
本节课复习了哪些内容? 生
1.幂的三个运算性质.2.整式的三个乘法法则.四、检测反馈
1.计算(1)x3·(-x3)·(-x4);
(2)–(y3)2(x2y4)3(-x)7;(3)[-(a)]·(ab)·(-2ab);
(4)(-2x)(3x-2x+1);
(5)(2x-3)(3x+4);
(6)(x+3)(x+4)-(x-1)(x+2);(7)(2x+3x-1)(x+2)-(x+2)(x+1).2.已知x2n=5,求(3x3n)2-4(x2)2n的值.3.已知4x=23x-1,求x的值 4.先化简,再求值
(3x+1)(2x-3)-(6x-5)(x-45), 其中x=2.5.计算
(1)(-2.5)9×(0.4)9;(2)0.2510×811×0.510.223223
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