第一篇:示范教案(1.3.1单调性与最大(小)值 第2课时)
示范教案(1.3.1 单调性与最大(小)值 第2课时)
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思路1.某工厂为了扩大生产规模,计划重新建造一个面积为10 000 m的矩形新厂址,新厂址的长为x m,则宽为10000x
2m,所建围墙ym,假如你是这个工厂的厂长,你会选择一个长和宽各为多少米的矩形土地,使得新厂址的围墙y最短? 学生先思考或讨论,教师指出此题意在求函数y=2(x+
10000x),x>0的最小值.引出本节课题:在生产和生活中,我们非常关心花费最少、用料最省、用时最省等最值问题,这些最值对我们的生产和生活是很有帮助的.那么什么是函数的最值呢?这就是我们今天学习的课题.用函数知识解决实际问题,将实际问题转化为求函数的最值,这就是函数的思想,用函数解决问题.思路2.画出下列函数的图象,指出图象的最高点或最低点,并说明它能体现函数的什么特征?
①f(x)=-x+3;②f(x)=-x+3,x∈[-1,2]; ③f(x)=x+2x+1;④f(x)=x+2x+1,x∈[-2,2].学生回答后,教师引出课题:函数的最值.推进新课 新知探究 提出问题
①如图1-3-1-11所示,是函数y=-x-2x、y=-2x+1,x∈[-1,+∞)、y=f(x)的图象.观察这三个图象的共同特征.22
2图1-3-1-11 ②函数图象上任意点P(x,y)的坐标与函数有什么关系?
③你是怎样理解函数图象最高点的? ④问题1中,在函数y=f(x)的图象上任取一点A(x,y),如图1-3-1-12所示,设点C的坐标为(x0,y0),谁能用数学符号解释:函数y=f(x)的图象有最高点C?
图1-3-1-12 ⑤在数学中,形如问题1中函数y=f(x)的图象上最高点C的纵坐标就称为函数y=f(x)的最大值.谁能给出函数最大值的定义?
⑥函数最大值的定义中f(x)≤M即f(x)≤f(x0),这个不等式反映了函数y=f(x)的函数值具有什么特点?其图象又具有什么特征? ⑦函数最大值的几何意义是什么? ⑧函数y=-2x+1,x∈(-1,+∞)有最大值吗?为什么? ⑨点(-1,3)是不是函数y=-2x+1,x∈(-1,+∞)的最高点? ⑩由这个问题你发现了什么值得注意的地方?
讨论结果: ①函数y=-x2-2x图象有最高点A,函数y=-2x+1,x∈[-1,+∞)图象有最高点B,函数y=f(x)图象有最高点C.也就是说,这三个函数的图象的共同特征是都有最高点.②函数图象上任意点P的坐标(x,y)的意义:横坐标x是自变量的取值,纵坐标y是自变量为x时对应的函数值的大小.③图象最高点的纵坐标是所有函数值中的最大值,即函数的最大值.④由于点C是函数y=f(x)图象的最高点,则点A在点C的下方,即对定义域内任意x,都有y≤y0,即f(x)≤f(x0),也就是对函数y=f(x)的定义域内任意x,均有f(x)≤f(x0)成立.⑤一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足:(1)对于任意的x∈I,都有f(x)≤M;(2)存在x0∈I,使得f(x0)=M.那么,称M是函数y=f(x)的最大值.⑥f(x)≤M反映了函数y=f(x)的所有函数值不大于实数M;这个函数的特征是图象有最高点,并且最高点的纵坐标是M.⑦函数图象上最高点的纵坐标.⑧函数y=-2x+1,x∈(-1,+∞)没有最大值,因为函数y=-2x+1,x∈(-1,+∞)的图象没有最高点.⑨不是,因为该函数的定义域中没有-1.⑩讨论函数的最大值,要坚持定义域优先的原则;函数图象有最高点时,这个函数才存在最大值,最高点必须是函数图象上的点.提出问题
①类比函数的最大值,请你给出函数的最小值的定义及其几何意义.②类比问题9,你认为讨论函数最小值应注意什么?
活动:让学生思考函数最大值的定义,利用定义来类比定义.最高点类比最低点,符号不等号“≤”类比不等号“≥”.函数的最大值和最小值统称为函数的最值.讨论结果:①函数最小值的定义是: 一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足:(1)对于任意的x∈I,都有f(x)≥M;(2)存在x0∈I,使得f(x0)=M.那么,称M是函数y=f(x)的最小值.函数最小值的几何意义:函数图象上最低点的纵坐标.②讨论函数的最小值,也要坚持定义域优先的原则;函数图象有最低点时,这个函数才存在最小值,最低点必须是函数图象上的点.应用示例
思路1 例1求函数y=2x1在区间[2,6]上的最大值和最小值.活动:先思考或讨论,再到黑板上书写.当学生没有证明思路时,才提示:图象最高点的纵坐标就是函数的最大值,图象最低点的纵坐标就是函数的最小值.根据函数的图象观察其单调性,再利用函数单调性的定义证明,最后利用函数的单调性求得最大值和最小值.利用变换法画出函数y=2x1的图象,只取在区间[2,6]上的部分.观察可得函数的图象是上升的.解:设2≤x1 2[(x21)(x11)](x11)(x21)= 2(x2x1)(x11)(x21) ∵2≤x1 2x1在区间[2,6]上是减函数.2所以,当x=2时,函数y=当x=6时,函数y=2x1x1在区间[2,6]上取得最大值f(2)=2; 25在区间[2,6]上取得最小值f(6)=.变式训练 1.求函数y=x2-2x(x∈[-3,2])的最大值和最小值_______.答案:最大值是f(-3)=15,最小值是f(1)=-1.2.函数f(x)=x4+2x2-1的最小值是.分析:(换元法)转化为求二次函数的最小值.设x2=t,y=t2+2t-1(t≥0),又当t≥0时,函数y=t2+2t-1是增函数,则当t=0时,函数y=t+2t-1(t≥0)取最小值-1.所以函数f(x)=x4+2x2-1的最小值是-1.答案:-1 3.画出函数y=-x2+2|x|+3的图象,指出函数的单调区间和最大值.分析:函数的图象关于y轴对称,先画出y轴右侧的图象,再对称到y轴左侧合起来得函数的图象;借助图象,根据单调性的几何意义写出单调区间.解:函数图象如图1-3-1-13所示.2 图1-3-1-13 由图象得,函数的图象在区间(-∞,-1)和[0,1]上是上升的,在[-1,0]和(1,+∞)上是下降的,最高点是(±1,4),故函数在(-∞,-1),[0,1]上是增函数;函数在[-1,0],(1,+∞)上是减函数,最大值是4.点评:本题主要考查函数的单调性和最值,以及最值的求法.求函数的最值时,先画函数的图象,确定函数的单调区间,再用定义法证明,最后借助单调性写出最值,这种方法适用于做解答题.单调法求函数最值:先判断函数的单调性,再利用其单调性求最值;常用到下面的结论:①如果函数y=f(x)在区间(a,b]上单调递增,在区间[b,c)上单调递减,则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b);②如果函数y=f(x)在区间(a,b]上单调递减,在区间[b,c)上单调递增,则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b).例2“菊花”烟花是最壮观的烟花之一.制造时一般是期望它达到最高点时爆裂.如果烟花距地 2面的高度h m与时间t s之间的关系为h(t)=-4.9t+14.7t+18,那么烟花冲出去后什么时候是它爆裂的最佳时刻?这时距地面的高度是多少(精确到1m)? 活动:可以指定一位学生到黑板上书写,教师在下面巡视,并及时帮助做错的学生改错.并对学生的板书及时评价.将实际问题最终转化为求函数的最值,画出函数的图象,利用函数的图象求出最大值.“烟花冲出去后什么时候是它爆裂的最佳时刻”就是当t取什么值时函数h(t)=-4.9t2+14.7t+18取得最大值;“这时距地面的高度是多少(精确到1 m)”就是函数h(t)=-4.9t+14.7t+18的最大值;转化为求函数h(t)=-4.9t+14.7t+18的最大值及此时自变量t的值.解:画出函数h(t)=-4.9t2+14.7t+18的图象,如图1-3-1-14所示,显然,函数图象的顶点就是烟花上升的最高点,顶点的横坐标就是烟花爆炸的最佳时刻,纵坐标就是这时距离地面的高度.2 2图1-3-1-14 由二次函数的知识,对于函数h(t)=-4.9t2+14.7t+18,我们有: 当t=14.72(4.9)=1.5时,函数有最大值, 即烟花冲出去后1.5s是它爆裂的最佳时刻,这时距地面的高度约是29m.点评:本题主要考查二次函数的最值问题,以及应用二次函数解决实际问题的能力.解应用题步骤是①审清题意读懂题;②将实际问题转化为数学问题来解决;③归纳结论.注意:要坚持定义域优先的原则;求二次函数的最值要借助于图象即数形结合.变式训练 1.2006山东菏泽二模,文10把长为12厘米的细铁丝截成两段,各自围成一个正三角形,那么这两个正三角形面积之和的最小值是()A.323cm2 B.4cm2 C.32cm2 D.23cm2 解析:设一个三角形的边长为x cm,则另一个三角形的边长为(4-x)cm,两个三角形的面积和为S,则S=34x2+ 34(4-x)2= 32(x-2)2+23≥23.当x=2时,S取最小值23m2.故选D.答案:D 2.某超市为了获取最大利润做了一番试验,若将进货单价为8元的商品按10元一件的价格出售时,每天可销售60件,现在采用提高销售价格减少进货量的办法增加利润,已知这种商品每涨1元,其销售量就要减少10件,问该商品售价定为多少时才能赚取利润最大,并求出最大利润.分析:设未知数,引进数学符号,建立函数关系式,再研究函数关系式的定义域,并结合问题的实际意义作出回答.利润=(售价-进价)×销售量.解:设商品售价定为x元时,利润为y元,则 y=(x-8)[60-(x-10)·10] =-10[(x-12)2-16]=-10(x-12)2+160(10<x<16).当且仅当x=12时,y有最大值160元,即售价定为12元时可获最大利润160元.思路2 例1已知函数f(x)=x+1x,x>0,(1)证明当0 1x1)-(x2+ 1x2)=(x1-x2)+ x2x1x1x2= (x1x2)(x1x21)x1x2,∵x1<x2,∴x1-x2<0,x1x2>0.当0<x1<x2<1时,x1x2-1<0,∴f(x1)-f(x2)>0.∴f(x1)>f(x2),即当0 1x1x,x>0取最小值.,x>0取最小值是2.1x解法二:借助于计算机软件画出函数f(x)=x+,x>0的图象,如图1-3-1-15所示,图1-3-1-15 由图象知,当x=1时,函数f(x)=x+ 1x,x>0取最小值f(1)=2.点评:本题主要考查函数的单调性和最值.定义法证明函数的单调性的步骤是“去比赛”;三个步骤缺一不可.利用函数的单调性求函数的最值的步骤:①先判断函数的单调性,再利用其单调性求最值;常用到下面的结论:①如果函数y=f(x)在区间(a,b]上单调递增,在区间[b,c)上单调递减,则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b);②如果函数y=f(x)在区间(a,b]上单调递减,在区间[b,c)上单调递增,则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b).这种求函数最值的方法称为单调法.图象法求函数的最值的步骤:画出函数的图象,依据函数最值的几何意义,借助图象写出最值.变式训练 1.求函数y=3x12x(x≥0)的最大值.3x12x解析:可证明函数y=∴函数y=3x12x(x≥0)是减函数,(x≥0)的最大值是f(0)=3.2.求函数y=|x+1|+|x-1|的最大值和最小值.2x,解法一:(图象法)y=|x+1|+|x-1|=2,2x,x1,1x1,其图象如图1-3-1-16所示.x1,图1-3-1-16 由图象得,函数的最小值是2,无最大值.解法二:(数形结合)函数的解析式y=|x+1|+|x-1|的几何意义是:y是数轴上任意一点P到±1的对应点A、B的距离的和,即y=|PA|+|PB|,如图1-3-1-17所示,图1-3-1-17 观察数轴,可得|PA|+|PB|≥|AB|=2,即函数有最小值2,无最大值.3.2007天利高考第一次全国大联考(江苏卷),11设0 14≤ 14, 例2将进货单价40元的商品按50元一个售出时,能卖出500个,若此商品每个涨价1元,其销售量减少10个,为了赚到最大利润,售价应定为多少? 活动:让学生思考利润的意义,以及利润和售价之间的函数关系.设出一般情况,转化为求二次函数的最值.解决此类应用题,通常是建立函数模型,这是解题的关键.解:设每个售价为x元时,获得利润为y元,则每个涨(x-50)元,从而销售量减少10(x-50)个,共售出500-10(x-50)=1000-10x(个).∴y=(x-40)(1000-10x)=-10(x-70)2+9 000(50≤x<100).∴当x=70时,ymax=9000, 即为了赚取最大利润,售价应定为70元.点评:本题主要考查二次函数的最值问题,以及应用二次函数解决实际问题的能力.解应用题步骤是:①审清题意读懂题;②将实际问题转化为数学问题来解决;③归纳结论.注意:要坚持定义域优先的原则;求二次函数的最值要借助于图象即数形结合.变式训练 1.已知某商品的价格每上涨x%,销售的数量就减少mx%,其中m为正常数.当m=商品的价格上涨多少,就能使销售的总金额最大? 解:设商品现在定价a元,卖出的数量为b个,当价格上涨x%时,销售总额为y元.由题意得y=a(1+x%)·b(1-mx%), 即y=ab100001212时,该[-mx2+100(1-m)x+10 000].ab20000当m=时,y=[-(x-50)2+22 500],98则当x=50时,ymax=ab.即该商品的价格上涨50%时,销售总金额最大.2.2007天利第一次全国大联考江苏卷,18某军工企业生产一种精密电子仪器的固定成本为20 000元,每生产一台仪器需增加投入100元,已知总收益满足函数:1400xx2,R(x)=280000,0x400,x400,其中x是仪器的月产量.(1)将利润表示为月产量的函数.(2)当月产量为何值时,公司所获利润最大?最大利润是多少元?(总收益=总成本+利润).分析:本题主要考查二次函数及其最值,以及应用二次函数解决实际问题的能力.(1)利润=总收益-总成本;(2)转化为求函数的最值,由于此函数是分段函数,则要求出各段上的最大值,再从中找出函数的最大值.解:(1)设月产量为x台,则总成本为20 000+100x,12x300x20000,0x400,从而f(x)=2 x400.60000100x,12(2)当0≤x≤400时,f(x)=(x-300)+25000; 2当x=300时,有最大值25000; 当x>400时,f(x)=60000-100x是减函数;又f(x)<60000-100×400<25000, 所以,当x=300时,有最大值25000, 即当月产量为300台时,公司所获利润最大,最大利润是25000元.知能训练 课本P32练习5.[补充练习] 2007上海市闵行五校联合调研,20某厂2007年拟举行促销活动,经调查测算,该厂产品的年销售量(即该厂的年产量)x万件与去年促销费m(万元)(m≥0)满足x=32m1.已知2007年生产的固定投入为8万元,每生产1万件该产品需要再投入16万元,厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金).(1)将2007年该产品的利润y万元表示为年促销费m(万元)的函数;(2)求2007年该产品利润的最大值,此时促销费为多少万元? 分析:(1)年利润=销售价格×年销售量-固定投入-促销费-再投入,销售价格=1.5×每件产品平均成本;(2)利用单调法求函数的最大值.解:(1)每件产品的成本为y=1.5×816xx816xx元,故2007年的利润 2m1×x-(8+16x+m)=4+8x-m=4+8(316m116m1)-m=2816m1-m(万元)(m≥0).16m1(2)可以证明当0≤m≤3时,函数y=28-m是增函数,当m>3时,函数y=28-m取最大值21(万元).-m是减函数,所以当m=3时,函数y=28拓展提升 问题:求函数y=1xx12的最大值.探究:(方法一)利用计算机软件画出函数的图象,如图1-3-1-18所示,图1-3-1-18 故图象最高点是(则函数y=1xx121423,).43的最大值是.(方法二)函数的定义域是R,可以证明当x<当x≥1212时,函数y= 11xx12是增函数; 时,函数y=12则当x=时,函数y=xx1122是减函数.取最大值 43xx1, 即函数y=1xx112的最大值是 43.(方法三)函数的定义域是R,由y=xx12,得yx2+yx+y-1=0.∵x∈R,∴关于x的方程yx2+yx+y-1=0必有实数根,当y=0时,关于x的方程yx2+yx+y-1=0无实数根,即y=0不属于函数的值域.当y≠0时,则关于x的方程yx+yx+y-1=0是一元二次方程,则有Δ=(-y)-4×y(y-1)≥0.∴0 243.的最大值是 43.axdx22点评:方法三称为判别式法,形如函数y= bxcexf(d≠0),当函数的定义域是R(此时e2-4df<0)时,常用判别式法求最值,其步骤是①把y看成常数,将函数解析式整理为关于x的方程的形式mx+nx+k=0;②分类讨论m=0是否符合题意;③当m≠0时,关于x的方程mx2+nx+k=0中有x∈R,则此一元二次方程必有实数根,得n2-4mk≥0,即关于y的不等式,n24mk0,解不等式组 m0.2m≠0.此不等式组的解集与②中y的值取并集得函数的值域,从而得函数的最大值和最小值.课堂小结 本节课学习了:(1)函数的最值;(2)求函数最值的方法:①图象法,②单调法,③判别式法;(3)求函数最值时,要注意函数的定义域.作业 课本P39习题1.3A组5、6.设计感想 为达到本节课的教学目标,突出重点,突破难点,教学上采取了以下的措施:(1)在探索概念阶段,让学生经历从直观到抽象、从特殊到一般、从感性到理性的认知过程,完成对函数最值定义的三次认识,使得学生对概念的认识不断深入.(2)在应用概念阶段,通过对证明过程的分析,帮助学生掌握用图象和单调法求函数最值的方法和步骤.备课资料 基本初等函数的最值 1.正比例函数:y=kx(k≠0)在定义域R上不存在最值.在闭区间[a,b]上存在最值,当k>0时,函数y=kx的最大值为f(b)=kb,最小值为f(a)=ka;当k<0时,函数y=kx的最大值为f(a)=ka,最小值为f(b)=kb.2.反比例函数:y=kx(k≠0)在定义域(-∞,0)∪(0,+∞)上不存在最值.在闭区间[a,b](ab>0)上 kx存在最值,当k>0时,函数y=数y=kx的最大值为f(a)= kaka,最小值为f(b)= kb;当k<0时,函的最大值为f(b)= kb,最小值为f(a)=.3.一次函数:y=kx+b(k≠0)在定义域R上不存在最值.在闭区间[m,n]上存在最值,当k>0时,函数y=kx+b的最大值为f(n)=kn+b,最小值为f(m)=km+b;当k<0时,函数y=kx+b的最大值为f(m)=km+b,最小值为f(n)=kn+b.24.二次函数:y=ax+bx+c(a≠0): 当a>0时,函数y=ax+bx+c在定义域R上有最小值f(2 b2ab2a)= b4ac4ab4ac4a22,无最大值; 当a<0时,函数y=ax+bx+c在定义域R上有最大值f(2)=,无最小值.二次函数在闭区间上的最值问题是高考考查的重点和热点内容之一.二次函数f(x)=ax+bx+c(a>0)在闭区间[p,q]上的最值可能出现以下三种情况:(1)若b2a2<p,则f(x)在区间[p,q]上是增函数,则f(x)min=f(p),f(x)max=f(q).b2ab(2)若p≤①当p≤②当③当≤q,则f(x)min=f(<pq2b2ab2ab2a),此时f(x)的最大值视对称轴与区间端点的远近而定: 2apq2pq2b2a时,则f(x)max=f(q);=<时,则f(x)max=f(p)=f(q);<q时,则f(x)max=f(p).(3)若≥q,则f(x)在区间[p,q]上是减函数,则f(x)min=f(q),f(x)max=f(p).b2a由此可见,当∈[p,q]时,二次函数f(x)=ax+bx+c(a>0)在闭区间[p,q]上的最大值 b2a2是f(p)和f(q)中的最大值,最小值是f();当b2a[p,q]时,二次函数f(x)=ax+bx+c(a 2>0)在闭区间[p,q]上的最大值是f(p)和f(q)中的最大值,最小值是f(p)和f(q)中的最小值.(设计者:方诚心) 1.3.1 单调性与最值(3) 教学目标: 1.使学生理解函数最大(小)值及其几何意义; 2.使学生掌握函数最值与函数单调性的关系; 3.使学生掌握一些单调函数在给定区间上的最值的求法; 4.培养学生数形结合、辩证思维的能力; 5.养成细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯。 教学重点:函数最值的含义 教学难点:单调函数最值的求法 教学方法:讲授法 1.函数最大值与最小值的含义 ①定义:一般地,设函数yf(x)的定义域为I,如果存在实数M满足:(1)对于任意的xI,都有f(x)M;(2)存在x0I,使得f(x0)M。那么,我们称M是函数yf(x)的最大值(maximum value).②几何意义:函数yf(x)的最大值是图象最高点的纵坐标。 思考:你能仿照函数最大值的定义,给出函数yf(x)的最小值(minimum value)吗?并说明几何意义? 一般地,设函数yf(x)的定义域为I,如果存在实数M满足: (1)对于任意的xI,都有f(x)M;(2)存在x0I,使得f(x0)M。那么,我们称M是函数yf(x)的最小值(minimum value).几何意义:函数yf(x)的最大值是图象最低点的纵坐标。2.最值的求法 ①配凑法:研究二次函数yax2bxc(a0)的最大(小)值,若给定区间是(,),先配b24acb24acb2方成ya(x)后,当a0时,函数取最小值为;当a0时,函数取最大值。2a4a4a若给定区间是[a,b],则必须先判断函数在这个区间上的单调性,然后再求最值(见下列例题)。(此处顺带说出求值域的方法——配方法) ②单调法:一些函数的单调性,比较容易观察出来,或者可以先证明出函数的单调性,再利用函数的单调性求函数的最大值或最小值.③数形结合法:先作出其函数图象后,然后观察图象得到函数的最大值或最小值.3.例题分析(讲解最值求解方法时带出值域) 例1.教材第30页例题3。 用心 爱心 专心 例2. 1、求函数yx21在下列各区间上的最值: (1)(,)(2)[1,4](3)[6,2](4)[2,2](5)[2,4] 6的最大值.2xx1661338.解:配方为y,由(x)2,得0123123244(x)(x)2424 2、求函数y例3.求函数y2在区间[2,6]上的最大值和最小值(教材第31页例4)。x1 分析:先判定函数在区间[2,6]上的单调性,然后再求最大值和最小值。变式:若区间为[6,2]呢? 例4.求下列函数的最大值和最小值: 53(1)y32xx2,x[,];(2)y|x1||x2|.22b解:(1)二次函数y32xx2的对称轴为x,即x1.2a39画出函数的图象,由图可知,当x1时,ymax4; 当x时,ymin.24953所以函数y32xx2,x[,]的最大值为4,最小值为.4223(x2)(2)y|x1||x2|2x1(1x2).3(x1)作出函数的图象,由图可知,y[3,3].所以函数的最大值为3, 最小值为-3.点评:二次函数在闭区间上的最大值或最小值,常根据闭区间与对称轴的关系,结合图象进行分析.含绝对值的函数,常分零点讨论去绝对值,转化为分段函数进行研究.分段函数的图象注意分段作出.直接观察得到。随堂巩固: 1、指出下列函数图象的最高点或最低点,→ 能体现函数值有什么特征? f(x)2x3,f(x)2x3 x[1,2];f(x)x22x1,f(x)x22x1 x[2,2] 2在区间[2,4]上的最大值,最小值是()x111111A. 1、B.、1 C.、D.、2224422、函数y3函数4若0f(x)1x(11x)的最大值 t14,那么1tt的最小值 用心 爱心 专心 5、函数yx1x1的最大值是 能力提升 1已知f(x) 2已知函数x1,x[3,5]函数,求函数的最大值和最小值。x2f(x)x22ax2,x[5,5] (1)当a1时,求f(x)的最值-5,37.(2)求实数a的取值范围,使yf(x)在x[5,5]上的单调函数a5或5 x22xa3已知函数f(x),若对任意x[1,),f(x)0恒成立,试求实数a的取x值范围 a3 用心 爱心 专心 3 函数的单调性与最值 学习目标: 1.使学生理解函数的最值是在整个定义域上来研究的,它是函数单调性的应用。2.会用单调性求最值。 3.掌握基本函数的单调性及最值。知识重现 1、一般地,设函数f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足:(1)对于任意的xI,都有f(x)M; (2)存在x0I,使得f(x0)=M.那么,我们称M是函数y=f(x)的最大值(maximum value) 2、一般地,设函数f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足:(3)对于任意的xI,都有f(x) M;(4)存在x0I,使得f(x0)=M.那么,我们称M是函数y=f(x)的最小值(minimum value)理论迁移 例1 “菊花”烟花是最壮观的烟花之一,制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂。如果烟花距地面的高度h米与时间t秒之间的关系为h(t)=-4.9t+14.7t+18,那么烟花冲出后什么1 时候是它爆裂的最佳时刻?这时距地面的高度是多少(精确到1米)? 例2 已知函数f(x)= 22(x[2,6]),求函数的最大值和最小值。x1归纳基本初等函数的单调性及最值 1.正比例函数:f(x)=kx(k0),当k0时,f(x)在定义域R上为增函数;当k0时,f(x)在定义域R上为减函数,在定义域R上不存在最值,在闭区间[a,b]上存在最值,当k0时函数f(x)的最大值为f(b)=kb,最小值为f(a)=ka, 当k0时, ,最大值为f(a)=ka,函数f(x)的最小值为f(b)=kb。2.反比例函数:f(x)=k(k0),在定义域(-,0)(0,+)上无单调性,也不存在x最值。当k0时,在(-,0),(0,+)为减函数;当k0时,在(-,0),(0,+) 为增函数。在闭区间[a,b]上,存在最值,当k0时函数f(x)的最小值为f(b)= 最大值为f(a)= k,bkkk, 当k0时, 函数f(x)的最小值为f(a)=,最大值为f(b)=。aab3.一次函数:f(x)=kx+b(k0),在定义域R上不存在最值,当k0时,f(x)为R上的增,当k0时,f(x)为R上的减函数,在闭区间[m,n]上,存在最值,当k0时函数f(x)的最小值为f(m)=km+b,最大值为f(n)=kn+b, 当k0时, 函数f(x)的最小值为f(n)=kn+b,最大值为f(m)=km+b。4.二次函数:f(x)=ax+bx+c, 当a0时,f(x)在(-,-2bb)为减函数,在(-,+)为增函数,在定义域R上 2a2ab4acb2有最小值f()=,无最大值。 2a4a当a0时,f(x)在(-,- bb)为增函数,在(-,+)为减函数,在定义域R上 2a2ab4acb2有最大值f()=,无最小值。 2a4a函数单调性的应用 1.利用函数的单调性比较函数值的大小 例1 如果函数f(x)=x+bx+c,对任意实数t都有f(2+t)=f(2-t),比较f(1),f(2),f(4)的大小。 例2 已知函数y=f(x)在[0,+)上是减函数,试比较f(22 32)与f(a-a+1)的大小。42.利用函数的单调性解不等式 例3 已知f(x)是定义在R上的单调函数,且f(x)的图像过点A(0,2),和点B(3,0) (1)解方程 f(x)=f(1-x) (2)解不等式 f(2x)f(1+x) (3)求适合f(x)2或f(x)0的x的取值范围。 3.利用函数的单调性求参数的取值范围 已知函数的单调性,求函数解析式中参数的范围,是函数单调性的逆向思维问题。这类问题能够加深对概念、性质的理解。 例3 已知f(x)=x-2(1-a)x+2在(-,4)上是减函数,求实数a的取值范围。 例4 已知A=[1,b](b1),对于函数f(x)=求b的值。 练习:已知函数y=f(x)=-x+ax- 2212(x-1)+1,若f(x)的定义域和值域都为A,2a1+在区间[0,1]上的最大值为2,求实数a的值。 42求函数值域(最值)的一般方法 1.二次函数求最值,要注意数形结合 与二次函数有关的函数,可以用配方法求值域,但要注意函数的定义域。例1:求函数y=-x2x2的最大值和最小值。 例2:求f(x)=x-2ax+x2,x[-1,1],求f(x)的最小值g(a).4.利用单调性求值域:当函数图像不好作或作不出来时,单调性成为求值域的首选方法。例3:求函数f(x)=2x在区间[2,5]上的最大值与最小值。x 5.分段函数的最值问题 分段函数的最大值为各段上最大值的最大者,最小值为各段上最小值的最小者,故求分段函数函数的最大或最小值,应该先求各段上的最值,再比较即得函数的最大、最小值。 12x,(x1)2例6:已知函数f(x)= 求f(x)的最大最小值。 1,(1x2)x 福建省漳州市芗城中学高中数学 1.3.1 单调性与最大(小)值 1教案 新人教A版必修1 三维目标定向 〖知识与技能〗 理解函数的最大(小)值及其几何意义,会用函数的单调性求一些函数的最大(小)值。〖过程与方法〗 借助具体函数,体验函数最值概念的形成过程,领会数形结合的数学思想。〖情感、态度与价值观〗 渗透特殊到一般,具体到抽象、形成辩证的思维观点。教学重难点 函数最值的意义及求函数的最值。教学过程设计 一、引例 画出下列函数的草图,并根据图象解答下列问题: (1)f(x)2x3; (2) f(x)x22x1。1)说出yf(x)的单调区间,以及在各单调区间上的单调性; 2)指出图象的最高点或最低点,并说明它能体现函数的什么特征? y y o x o x 二、核心内容整合 1、函数的最大(小)值的概念 设函数yf(x)的定义域为I,如果存在实数M满足: (1)对于任意的xI,都有f(x)M;(2)存在x0I,使得f(x0)M。 那么称M是函数yf(x)的最大值。学生类比给出函数最小值的概念: 设函数yf(x)的定义域为I,如果存在实数M满足: (1)对于任意的xI,都有f(x)M;(2)存在x0I,使得f(x0)M。那么称M是函数yf(x)的最小值。 注意: (1)函数最大(小)值首先应该是某一个函数值,即存在x0I,使得f(x0)M; (2)函数最大(小)值应该是所有函数值中最大(小)的,即对于任意的xI,都有f(x)M(f(x)M)。 2yaxbxc(a)的最值: 2、一元二次函数 b24acb2ya(x)2a4a;(1)配方:(2)图象: (3)a > 0时,ymin4acb24acb2ymax4a。4a;a < 0时,二、例题分析示例 例 1、“菊花”烟花是最壮观的烟花之一,制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂。如果烟花距地面的高度h m与时间t s之间的关系为h(t)4.9t14.7t18,那么烟花冲出后什么时候是它爆裂的最佳时刻?这时距地面的高度是多少(精确到1m)? 〖知识提炼〗函数的最值与单调性的关系: (1)f(x)在[a , b]上为增函数,则f(a)为最小值,f(b)为最大值;(2)f(x)在[a , b]上为减函数,则f(a)为最大值,f(b)为最小值。 2y例 3、已知函数2(x[2,6])x1,求函数的最大值和最小值。 分析:证明函数在给定区间上为减函数。 三、学习水平反馈:P36,练习5。补充练习: 2f(x)x4ax2在区间(– ∞,6] 内递减,则a的取值范围是() 1、函数(A)a ≥ 3 (B)a ≤ 3 (C)a ≥ – 3 (D)a ≤ – 3 22、在已知函数f(x)4xmx1在(,2]上递减,在(2,]上递增,则f(x)在[1,2]上的值域是____________。四、三维体系构建 1、函数的最大(小)值的含义。 2、利用函数单调性判断函数的最大(小)值的方法:(1)利用二次函数的性质(配方法)求函数的最大(小)值;(2)利用图象求函数的最大(小)值; (3)利用函数单调性的判断函数的最大(小)值。 如果函数yf(x)在区间[a,b]上单调递增,则函数yf(x)在x = a处有最小值f(a),在x = b处有最大值f(b); 如果函数yf(x)在区间[a,b]上单调递减,在区间[b,c]上单调递增,则函数yf(x)在x = b处有最小值f(b); 五、课后作业:P39,习题1.3,A组5,B组2。教学反思: 一节课下来暴露了许多问题: 1、学生对函数的单调性有所遗忘,不会求单调区间。 2、学生对导数的几何意义不能深入理解。 3、学生对求导公式掌握不够熟练,求导出现错误。 4、教师所设计的问题难度偏大,练习题目过少。 5、学生的讨论与参与不够主动。补救措施: 在下一节应用课多设计一些基础性典型问题及题目,注重层次性教学,对学生多鼓励、多引导、多练习、多参 与。注重对学生的思维训练和数学思想方法的总结;注重夯实基础,为今后的学习打好基础。第二篇:高中数学_1.3.1单调性与最值教案_新人教A版必修1 2
第三篇:高一数学《函数的单调性与最值》第二课时教案
第四篇:高中数学 1.3.1 单调性与最大(小)值1教案 新人教A版必修1
第五篇:1.3.1函数的单调性与导数教学反思