同余式与不定方程 教案1

第一篇：同余式与不定方程 教案1

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竞赛讲座03--同余式与不定方程

同余式和不定方程是数论中古老而富有魅力的内容.考虑数学竞赛的需要,下面介绍有关的基本内容.1.同余式及其应用

定义:设a、b、m为整数（m＞0），若a和b被m除得的余数相同，则称a和b对模m同余.记为

或

一切整数n可以按照某个自然数m作为除数的余数进行分类，即n=pm+r（r=0，1，…，m-1），恰好m个数类.于是同余的概念可理解为,若对n1、n2，有n1=q1m+r，n2=q2m+r，那么n1、n2

对模m的同余，即它们用m除所得的余数相等.利用整数的剩余类表示,可以证明同余式的下述简单性质:(1)

若,则m|(b-a).反过来,若m|(b-a),则

;(2)

如果a=km+b(k为整数),则;(3)

每个整数恰与0,1,…，m-1，这m个整数中的某一个对模m同余；(4)

同余关系是一种等价关系： ①

反身性

；

②

对称性，则，反之亦然.③

传递性，则；

（5）如果，则

①； 梯田文化 教辅专家 《课堂点睛》 《课堂内外》 《作业精编》

②特别地

应用同余式的上述性质，可以解决许多有关整数的问题.例1（1898年匈牙利奥林匹克竞赛题）求使2+1能被3整除的一切自然数n.n解∵

∴

则2+1nn

∴当n为奇数时，2+1能被3整除； 当n为偶数时，2+1不能被3整除.例2

求2最后两位数码.解 考虑用100除2所得的余数.999

999n∵

∴

又

∴

∴

∴2的最后两位数字为88.例3

求证

31980999

+

4198

1能被5整除.梯田文化 教辅专家 《课堂点睛》 《课堂内外》 《作业精编》

证明

∵

∴

∴

∴2．不定方程

不定方程的问题主要有两大类：判断不定方程有无整数解或解的个数；如果不定方程有整数解，采取正确的方法，求出全部整数解.(1)

不定方程解的判定

如果方程的两端对同一个模m(常数)不同余,显然,这个方程必无整数解.而方程如有解则解必为奇数、偶数两种，因而可以在奇偶性分析的基础上应用同余概念判定方程有无整数解.例4

证明方程2x-5y=7无整数解.证明

∵2x=5y+7，显然y为奇数.2

222①

若x为偶数，则

∴

∵方程两边对同一整数8的余数不等，∴x不能为偶数.梯田文化 教辅专家 《课堂点睛》 《课堂内外》 《作业精编》

②

若x为奇数，则

但5y+72

∴x不能为奇数.因则原方程无整数解.说明:用整数的整除性来判定方程有无整数解,是我们解答这类问题的常用方法.例5

(第14届美国数学邀请赛题)不存在整数x,y使方程

①

证明

如果有整数x，y使方程①成立，则

=知（2x+3y）+5能被17整除.2设2x+3y=17n+a，其中a是0，±1，±2，±3，±4，±5，±6，±7，±8中的某

22222个数，但是这时（2x+3y）+5=（17n）+34na+（a+5）=a+5（mod17），而a+5被17整除得的余数分别是5，6，9，14，4，13，7，3，1，即在任何情况下（2x+3y）2+5都不能被17整除，这与它能被17整除矛盾.故不存在整数x，y使①成立.例7（第33届美国数学竞赛题）满足方程x+y=x的正整数对（x，y）的个数是（）.（A）0（B）1（C）2（D）无限个（E）上述结论都不对 解由x+y=x得y=x（x-1），所以只要x-1为自然数的平方，则方程必有正整数解.令x-1=k(k为自然数),则

222322

3为方程的一组通解.由于自然数有无限多个,故满足方程的正整数对(x,y)有无限多个,应选(D).说明:可用写出方程的一组通解的方法,判定方程有无数个解.(2)

不定方程的解法 梯田文化 教辅专家 《课堂点睛》 《课堂内外》 《作业精编》

不定方程没有统一的解法,常用的特殊方法有:配方法、因式（质因数）分解法、不等式法、奇偶分析法和余数分析法.对方程进行适当的变形,并正确应用整数的性质是解不定方程的基本思路.例6

求方程解(配方法)原方程配方得(x-2y)+y=13.2

22的整数解.在勾股数中,最大的一个为13的只有一组即5,12,13,因此有8对整数的平方和等于213即(5,12),(12,5),(-5,-12),(-12,-5),(5-,12),(12,-5),(-5,12),(-12,5).故原方程组的解只能是下面的八个方程组的解

解得

例7

(原民主德国1982年中学生竞赛题)已知两个自然数b和c222及素数a满足方程a+b=c.证明:这时有a＜b及b+1=c.证明（因式分解法）∵a+b=c，∴a=（c-b）（c+b），又∵a为素数，∴c-b=1，且c+b=a.22

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于是得c=b+1及a=b+c=2b+1＜3b，2即＜.而a≣3,∴≢1，∴＜1.∴a＜b.例9（第35届美国中学数学竞赛题）满足联立方程 的正整数（a，b，c）的组数是（）.（A）0（B）1（C）2（D）3（E）4 解（质因数分解法）由方程ac+bc=23得（a+b）c=23=1×23.∵a，b，c为正整数，∴c=1且a+b=23.将c和a=23-b代入方程ab+bc=44得(23-b)b+b=44,即(b-2)(b-22)=0, ∴b1=2,b2=22.从而得a1=21,a2=1.故满足联立方程的正整数组(a,b,c)有两个,即(21,2,1)和(1,22,1),应选(C).例10求不定方程2(x+y)=xy+7的整数解.解 由(y-2)x=2y-7,得

分离整数部分得由x为整数知y-2是3的因数, ∴y-2=±1，±3，∴x=3，5，±1.∴方程整数解为

例11

求方程x+y=x-xy+y的整数解.2

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解（不等式法）方程有整数解

必须△=（y+1）-4（y-y）≣0，解得

22≢y≢.满足这个不等式的整数只有y=0，1，2.当y=0时，由原方程可得x=0或x=1；当y=1时，由原方程可得x=2或0；当y=2时，由原方程可得x=1或2.所以方程有整数解

最后我们来看两个分式和根式不定方程的例子.例12

求满足方程且使y是最大的正整数解（x，y）.解将原方程变形得

由此式可知，只有12-x是正的且最小时，y才能取大值.又12-x应是144的约数，所以，12-x=1，x=11，这时y=132.故

满足题设的方程的正整数解为（x，y）=（11，132）.例13（第35届美国中学生数学竞赛题）满足0＜x＜y及的整数对（x，y）的个数是（）.（A）0（B）1（C）3（D）4（E）7 解法1 根据题意知，0＜x＜1984，由 的不同

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得

62当且仅当1984x是完全平方数时，y是整数.而1984=2·31，故当且仅当x具有31t形式时，1984x是完全平方数.∵x＜1984，∵1≢t≢7.当t=1，2，3时，得整数对分别为（31，1519）、（124，1116）和（279，775）.当t＞3时y≢x不合题意，因此不同的整数对的个数是3，故应选（C）.解法2 ∵1984=

2∴由此可知：x必须具有31t形式，y必须

2具有31k形式，并且t+k=8（t，k均为正整数）.因为0＜x＜y，所以t＜k.当t=1，k=7时得（31，1519）；t=2，k=6时得（124，1116）；当t=3，k=5时得（279，775）.因此不同整数对的个数为3.练习二十

1.选择题

(1)方程x-y=105的正整数解有().（A）

一组（B）二组

（C）三组

（D）四组

(2)在0,1,2,…，50这51个整数中，能同时被2，3，4整除的有（）.（A）

3个（B）4个

（C）5个

（D）6个 2．填空题

（1）的个位数分别为_________及_________.4

5422(2)满足不________.等式10≢A≢10的整数A的个数是x×10+1，则x的值(3)

已知整数y被7除余数为5,那么y被7除时余数为________.(4)

(全俄第14届中学生数学竞赛试题)求出任何一组满足方程x-51y=1的自然数解x和y_________.3.(第26届国际数学竞赛预选题)求三个正整数x、y、z满足

23.梯田文化 教辅专家 《课堂点睛》 《课堂内外》 《作业精编》

4．（1985年上海数学竞赛题）在数列4，8，17，77，97，106，125，238中相邻若干个数之和是3的倍数，而不是9的倍数的数组共有多少组？

5．求的整数解.6．求证可被37整除.7．（全俄1986年数学竞赛题）求满足条件能的值.的整数x，y的所有可8．（1985年上海初中数学竞赛题）已知直角三角形的两直角边长分别为l厘米、m厘米，斜边长为n厘米，且l，m，n均为正整数，l为质数.证明：2（l+m+n）是完全平方数.9.(1988年全国初中数学竞赛题)如果p、q、q＞1，试求p+q的值.练习二十 1.D.C.2.(1)9及1.(2)9.(3)4.、都是整数，并且p＞1，(4)原方程可变形为x=(7y+1)+2y(y-7),令y=7可得x=50.223.不妨设x≢y≢z,则,故x≢3.又有故x≣2.若x=2,则,故y≢6.又有,故y≣4.若y=4,则z=20.若y=5,则z=10.若y=6,则z无整数解.若x=3,类似可以确定3≢y≢4,y=3或4,z都不能是整数.4.可仿例2解.梯田文化 教辅专家 《课堂点睛》 《课堂内外》 《作业精编》

5.先求出,然后将方程变形为y=5+x-2要使y为整数,5x-1应是完全平方数,…,解得

6.8888≡8(mod37),∴8888333

3222

2≡8(mod37).2222

27777≡7(mod37),7777≡7(mod37),8888238+7=407,37|407,∴37|N.22

3+7777

3333

≡(8+7)(mod37),而

237.简解:原方程变形为3x-(3y+7)x+3y-7y=0由关于x的二次方程有解的条件△≣0及y为整数可得0≢y≢5,即y=0,1,2,3,4,5.逐一代入原方程可知,原方程仅有两组解(4,5)、(5,4).8.∵l+m=n,∴l=(n+m)(n-m).∵l为质数,且n+m＞n-m＞0,∴n+m=l,n-m=1.于是2222l=n+m=(m+1)+m=2m+1,2m=l-1,2(l+m+1)=2l+2+2m=l+2l+1=(l+1).即2(l+m+1)是完全平方数.222

229.易知p≠q,不妨设p＞q.令(4-mn)p=m+2,解此方程可得p、q之值.=n,则m＞n由此可得不定方程

第二篇：小学奥数2-2-3 不定方程与不定方程组．教师版

不定方程与不定方程组

教学目标

1.利用整除及奇偶性解不定方程

2.不定方程的试值技巧

3.学会解不定方程的经典例题

知识精讲

一、知识点说明

历史概述

不定方程是数论中最古老的分支之一．古希腊的丢番图早在公元世纪就开始研究不定方程，因此常称不定方程为丢番图方程．中国是研究不定方程最早的国家，公元初的五家共井问题就是一个不定方程组问题，公元世纪的《张丘建算经》中的百鸡问题标志着中国对不定方程理论有了系统研究．宋代数学家秦九韶的大衍求一术将不定方程与同余理论联系起来．

考点说明

在各类竞赛考试中，不定方程经常以应用题的形式出现，除此以外，不定方程还经常作为解题的重要方法贯穿在行程问题、数论问题等压轴大题之中．在以后初高中数学的进一步学习中，不定方程也同样有着重要的地位，所以本讲的着重目的是让学生学会利用不定方程这个工具，并能够在以后的学习中使用这个工具解题。

二、不定方程基本定义

1、定义：不定方程（组）是指未知数的个数多于方程个数的方程（组）。

2、不定方程的解：使不定方程等号两端相等的未知数的值叫不定方程的解，不定方程的解不唯一。

3、研究不定方程要解决三个问题：①判断何时有解；②有解时确定解的个数；③求出所有的解

三、不定方程的试值技巧

1、奇偶性

2、整除的特点（能被2、3、5等数字整除的特性）

3、余数性质的应用（和、差、积的性质及同余的性质）

例题精讲

模块一、利用整除性质解不定方程

【例

1】

求方程

2x－3y＝8的整数解

【考点】不定方程

【难度】2星

【题型】解答

【解析】

方法一：由原方程，易得

2x＝8＋3y，x＝4＋y，因此，对y的任意一个值，都有一个x与之对应，并且，此时x与y的值必定满足原方程，故这样的x与y是原方程的一组解，即原方程的解可表为：，其中k为任意数．说明

由y取值的任意性，可知上述不定方程有无穷多组解．

方法二：根据奇偶性知道2x是偶数，8为偶数，所以若想2x－3y＝8成立，y必为偶数，当y＝0，x＝4；当y＝2，x＝7；当y＝4，x＝10……，本题有无穷多个解。

【答案】无穷多个解

【巩固】

求方程2x＋6y＝9的整数解

【考点】不定方程

【难度】2星

【题型】解答

【解析】

因为2x＋6y＝2(x＋3y)，所以，不论x和y取何整数，都有2|2x＋6y，但29，因此，不论x和y取什么整数，2x＋6y都不可能等于9，即原方程无整数解．

说明：此题告诉我们并非所有的二元一次方程都有整数解。

【答案】无整数解

【例

2】

求方程4x＋10y＝34的正整数解

【考点】不定方程

【难度】2星

【题型】解答

【解析】

因为4与10的最大公约数为2，而2|34，两边约去2后，得

2x＋5y＝17，5y的个位是0或5两种情况，2x是偶数，要想和为17，5y的个位只能是5，y为奇数即可；2x的个位为2，所以x的取值为1、6、11、16……

x＝1时，17－2x＝15，y＝3，x＝6时，17－2x＝

5，y＝1，x＝11时，17－2x＝17

－22，无解

所以方程有两组整数解为：

【答案】

【巩固】

求方程3x＋5y＝12的整数解

【考点】不定方程

【难度】2星

【题型】解答

【解析】

由3x＋5y＝12，3x是3的倍数，要想和为12（3的倍数），5y也为3的倍数，所以y为3的倍数即可，所以y的取值为0、3、6、9、12……

y＝0时，12－5y＝12，x＝4，x＝3时，12－5y＝12－15，无解

所以方程的解为：

【答案】

【巩固】

解不定方程：（其中x,y均为正整数）

【考点】不定方程

【难度】2星

【题型】解答

【解析】

方法一：2x是偶数，要想和为40（偶数），9y也为偶数，即y为偶数，也可以化简方程，知道y为偶数，所以方程解为：

【答案】

模块二、利用余数性质解不定方程

【例

3】

求不定方程的正整数解有多少组？

【考点】不定方程

【难度】3星

【题型】解答

【解析】

本题无论或是，情况都较多，故不可能逐一试验．检验可知1288是7的倍数，所以也是7的倍数，则是7的倍数．

设，原方程可变为，可以为1，2，3，……16．由于每一个的值都确定了原方程的一组正整数解，所以原方程共有16组正整数解．

【答案】16组

【例

4】

求方程3x＋5y＝31的整数解

【考点】不定方程

【难度】3星

【题型】解答

【解析】

方法一：利用欧拉分离法，由原方程，得

x＝，即

x＝10－2y＋，要使方程有整数解必须为整数．

取y＝2，得x＝10－2y＋＝10－4＋1＝7，故x＝7，y＝2

当y＝5，得x＝10－2y＋＝10－10＋2＝2，故x＝2，y＝5

当y＝8，得x＝10－2y＋＝10－16＋3无解

所以方程的解为：

方法二：利用余数的性质

3x是3的倍数，和31除以3余1，所以5y除以3余1（2y除以3余1），根据这个情况用余数的和与乘积性质进行判定为：

取y＝1，2y＝2，2÷3＝0……2（舍）

y＝2，2y＝4，4÷3＝1……1（符合题意）

y＝3，2y＝6，6÷3＝2（舍）

y＝4，2y＝8，8÷3＝2……2（舍）

y＝5，2y＝10，10÷3＝3……1（符合题意）

y＝6，2y＝12，12÷3＝4（舍）

当y＞6时，结果超过31，不符合题意。

所以方程的解为：

【答案】

【巩固】

解方程，（其中x、y均为正整数）

【考点】不定方程

【难度】3星

【题型】解答

【解析】

方法一：，4y是4的倍数，和89除以4余1，所以7x除以4余1（7÷4≡3），可以看成3x除以4余1，根据这个情况用余数的和与乘积性质进行判定为（x＜13）

x＝1，3x＝3，3÷4≡3（舍）

x＝2，3x＝6，6÷4≡2（舍）

x＝3，3x＝9，9÷4≡1（符合题意）

x＝4，3x＝12，12÷4≡0（舍）

x＝5，3x＝15，15÷4≡3（舍）

x＝6，3x＝18，18÷4≡2（舍）

x＝7，3x＝21，21÷4≡1（符合题意）

x＝8，3x＝24，24÷4≡0（舍）

x＝9，3x＝27，27÷4≡3（舍）

x＝10，3x＝30，30÷4≡2（舍）

x＝11，3x＝33，33÷4≡1（符合题意）

x＝12，3x＝36，36÷4≡0（舍）

所以方程的解为：

方法二：利用欧拉分离法，由原方程，的取值为4的倍数即可，所以方程的解为：

【答案】

模块三、解不定方程组

【例

5】

解方程

（其中a、b、c均为正整数）

【考点】不定方程

【难度】3星

【题型】解答

【解析】

根据等式的性质将第一个方程整理得，根据消元的思想将第二个式子扩大4倍相减后为：，整理后得，根据等式性质，为偶数，20为偶数，所以为偶数，所以为偶数，当时，，所以，当时，，所以无解。所以方程解为

【答案】

【例

6】

解不定方程

(其中x、y、z均为正整数)

【考点】不定方程

【难度】3星

【题型】解答

【解析】

根据等式的性质将第一个方程整理得，根据消元思想与第二个式子相减得，根据等式的性质两边同时除以2得：，根据等式性质为4的倍数，100为4的倍数，所以为4的倍数，所以为4的倍数试值如下

【答案】

第三篇：式与方程教案

式与方程

邓军菊

2010年5月19日

教学目标： 1．知识与技能

会用字母表示数和常见的数量关系；会根据字母所取的值，求含有字母的式子的值； 2．理解方程的意义，会解简易方程．

教学重点：理解用字母表示数的意义和方程的意义，会解简易方程。教学难点：理解用字母表示数的意义和解简易方程。教学过程：

一、导入：同学们在课前整理式与方程这部分内容发现了几个知识点呢？

二、教学实施：

1.复习用字母表示数．

a、用字母表示数可以简明地表达数量关系、运算定律和计算公式 b、做练习，并在练习中发现字母和数字相乘的注意事项

2.等式

意义、性质

3.方程及相关概念:方程的定义、方程的解、解方程、方程与等式的关系

判断下列等式，哪些是方程，哪些不是方程？并说明理由． 18＋25＝

435x＋4x＋8＝3

5x－2＝8 4×3－18÷3＝6

3x＋5＝7

a＋4 4.解方程：

a、通过解方程7x+3=6揭示解方程的依据有：根据等式的性质

根据一个加数=和-另一个加数 根据一个因数=积÷另一因数

b、学生练习解刚刚判断出来的方程：

5.列方程解实际问题 a、优点

b、例题：学校组织远足活动。原计划每 小时走3.8千米，3小时到达目的地。实际2.5小时走完了原定路程，平均每小时走了多少千米？

先学生独立思考，然后老师通过这道题目揭示列方程解应用题的步骤和关键。C、做一做，将刚讲的列方程解应用题的步骤和关键运用到实际操练过程中，培养学生正确分析题意的能力。

三、小结:

1.学生小结，老师出示课件

一、用字母表示

二、等式: 意义、性质

三、方程及相关概念:

四、解方程：

五、列方程解实际问题: 步骤,关键 2.测试题：

第四篇：直线与方程教案

平面解析几何 第一讲 直线方程 知识归纳：

一、直线的倾斜角与斜率

1、确定直线的几何要素是：直线上两不同的点或直线上一点和直线的方向两个相对独立的条件

注意：表示直线方向的有：直线的倾斜角（斜率）、直线的方向向量、直线的法向量

2、直线的倾斜角：当直线l 与x 轴相交时，我们取x 轴作为基准，x 轴正向与直线l 向上方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角。

注意：①从用运动变化的观点来看，直线的倾斜角是由x 轴绕交点按逆时针方向转到与直线重合时所成的角；

②规定：直线与x 轴平行或重合时，直线的倾斜角为00 ③直线倾斜角α的取值范围是：00≤α<1800

④在同一直角坐标系下，任何一条直线都有倾斜角且唯一，倾斜程度相同的直线，其倾斜角相等，倾斜程度不同的直线，其倾斜角不相等。

3、直线的斜率：倾斜角不是900的直线，它的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，即k =tan α(α≠900)。它从另一个方面反映了直线的倾斜程度。注意：一条直线必有一个确定的倾斜角，但不一定有斜率，当α=00时，k =0；当00<α<1800时，k >0；当α=900时，k 不存在，当900<α<1800时，k <0。即：斜率的取值范围为k ∈R 例

1、给出下列命题：①若直线倾斜角为α，则直线斜率为tan α；②若直线倾斜角为tan α，则直线的倾斜角为α； ③直线的倾斜角越大，它的斜率越大；④直线的斜率越大，其倾斜角越大；⑤直线的倾斜角的正切值叫做直线的斜率。其中正确命题的序号为 例

2、已知直线的倾斜角为α，且sin α=4，求直线的斜率k 5

4、直线斜率的坐标公式

经过两点P 的直线的斜率公式：k =y 1-y 2 1(x 1, y 1), P 2(x 2, y 2)(x 1≠x 2)x 1-x 2 注意：①斜率公式与两点的顺序无关，即k =y 1-y 2=y 2-y 1(x ≠x)12 x 1-x 2 x 2-x 1 ②特别地：当y 1=y 2, x 1≠x 2时，k =0；此时直线平行于x 轴或与x 轴重合；当y 1≠y 2, x 1=x 2时，k 不存在，此时

直线的倾斜角为900，直线与y 轴平行或重合。

例

3、已知点P(2,1),Q(m ,-3)，求直线P , Q 的斜率并判断倾斜角的范围。

例

4、（三点共线问题）已知A(-3,-5), B(1,3), C(5,11)三点，证明这三点在同一条直线上 例

5、（最值问题）已知实数x , y，满足2x +y =8，当2≤x ≤8时，求y 的最大值和最小值 x

5、直线的方向向量：已知P 是直线l 上的两点，直线上的向量PP 及与它平行的向量都1(x 1, y 1), P 2(x 2, y 2)(x 1≠x 2)12称为直线的方向向量。直线PP 与x 轴不垂直时，x 1≠x 2，此时，向量12的坐标是

1也是直线PP 的方向向量，且它PP 1212 x 2-x 1 1，其中k 为直线PP 的斜率(x 2-x 1, y 2-y 1)，即（1，k）12x 2-x 1

6、直线的法向量：如果向量n 与直线l 垂直，则称向量n 为直线l 的法向量。

二、直线的方程

1、定义：一般地，以一个方程的解为坐标的点都是某条直线上的点，反过来，这条直线上点的坐标都是这个方程的解，这是，这个方程就叫做这条直线的方程，这条直线叫做这个方程的直线。

2、直线方程的几种形式（1）点斜式：

问题：若直线l 经过点P，且斜率为k，求直线l 的方程。0(x 0, y 0)解析：设点P(x , y)是直线l 上不同于点P 的任意一点，根据经过两点的直线的斜率公式，得k =y-y 0，可化为0 x-x 0、斜率为k 的直线l 的方程。y-y 0=k(x-x 0)，即为过点P 0 方程y-y 0=k(x-x 0)是由直线上一点及其斜率确定的，把这个方程叫做直线的点斜式的方程，简称点斜式。注意：①k =y-y 0与y-y 0=k(x-x 0)是不同的，前者表示直线上缺少一个点x ≠x 0，后者才是整条直线； x-x 0 ②当直线l 的倾斜角为00时，tan 00=0，即k =0，这时直线l 的方程为y =y 0 ③当直线的倾斜角为900时，直线l 斜率不存在，这时直线l 与y 轴平行或重合，它的方程不能用点斜式表示，它的方程是x =x 0。即：局限性是不能表示垂直于x 轴的直线。④经过点P 的直线有无数条，可分为两类情况： 0(x 0, y 0)ⅰ、斜率为k 的直线，方程为y-y 0=k(x-x 0)ⅱ、斜率不存在的直线，方程为x-x 0=0或写为x =x 0 例

6、根据条件写出下列各题中的直线的方程

①经过点P，倾斜角α=450，②经过点P , 2)，斜率为2 ③经过点(4,2)，且与x 轴平行 1(-2,3)1(1④经过点(-2,-3)，且与x 轴垂直（2）斜截式：

问题：已知直线l 的斜率是k，与y 轴的交点是P(0,b)，代入直线方程的点斜式，得直线l 的方程y-b =k(x-0)，也就是y =kx +b，我们称b 是直线l 在y 轴上的截距。

这个方程是由直线l 的斜率k 和它在y 轴上的截距确定的，所以叫做直线的斜截式方程，简称斜截式。注意：①b ∈R ②局限性：不表示垂直于x 轴的直线

③斜截式方程和一次函数的解析式相同，都是y =kx +b，但有区别：当斜率不为0时，y =kx +b 是一次函数，当k =0时，y =b 不是一次函数；一次函数y =kx +b（k =0）必是一条直线的斜截式方程。例7、求倾斜角是直线y =+1的倾斜角的1，且在y 轴上的截距为-5的直线的方程。4（3）两点式：

问题：已知直线l 经过两点P 1(x 1, y 1), P 2(x 2, y 2)(x 1≠x 2)，求直线l 的方程 解析：因为直线l 经过两点P ≠1(x 1, y 1), P 2(x 2, y 2)(x 1

x 2，)所以它的斜率k =y 2-y 1，代入点斜式，得 x 2-x 1 y-y 1= y 2-y 1(x-x 1)，当y 2≠y 1时，方程可以写成y-y 1=x-x 1 x 2-x 1y 2-y 1x 2-x 1 这个方程是由直线上两点确定的，所以叫做直线的两点式方程，简称两点式。注意：①方程y-y =y 2-y 1(x-x)与方程y-y 1=x-x 1比较，后者比前者表示直线的范围更小了，前者不能 11 x 2-x 1 y 2-y 1 x 2-x 1 表示斜率不存在的直线，后者除此外，还不能表示斜率为0的直线；局限性：不能表示垂直于坐标轴的直线。②两点式方程与这两个点的顺序无关。例

8、已知点A(-5, 0)，B(3,-3)，求直线AB 的方程

例

9、一条光线从点A(3,2)出发，经x 轴反射，通过点B(-1, 6)，求入射光线和反射光线所在直线的方程（4）截距式：

问题：已知直线l 与x 轴的交点为(a , 0)，与y 轴的交点为(0,b)，其中a ≠0, b ≠0，求直线l 的方程。解析：因为直线l 经过A(a , 0)和B(0,b)两点，将这两点的坐标代入两点式，得如果直线与x 轴的交点为(a , 0)，则称a 为直线在x 轴上的截距。

以上直线方程是由直线在x 轴和y 轴上的截距确定的，所以叫做直线的截距式方程，简称截距式

注意：方程x +y =1中a ≠0, b ≠0，所以它不能表示与坐标轴平行（重合）的直线，还不能表示过原点的直 a b y-0x-a，即为x +y =1 = b-00-a a b 线。

例

10、过两点A(-1,1)，B(3,9)的直线在x 轴上的截距为（5）一般式方程：

以上几种形式的直线方程都是二元一次方程，即平面上任何一条直线都可以用一个关于x y 的二元一次方程表示； 而关于x y 的二元一次方程，它都表示一条直线。因此我们把x y 的二元一次方程 Ax +By +C =0(其中 A,B 不同时为0)叫做直线的一般式方程，简称一般式。

注意：①直线的一般式方程能表示所有直线的方程，这是其他形式的方程所不具备的。②直线的一般式方程成立的条件是A,B 不同时为0。

③虽然直线的一般式有三个系数，但是只需两个独立的条件即可求直线的方程，若A ≠0, 则方程可化为x +B y +C =0;若B ≠0，则方程可化为A x +y +C =0，即y =-A x-C;A A B B B B 若A =0，B ≠0时，方程化为y =-C , 它表示与x 轴平行或重合的直线； B 若A ≠0，B =0时，方程化为x =-C，它表示一条与y 轴平行或重合的直线； A 若ABC ≠0时，则方程可化为 x-A + 因此只需要两个条件即可。y =1-B ④直线方程的其他形式都可以转化为一般式，因此在解题时若没有特殊说明，应把最后结果互为直线的一般式 例

11、设直线l 的方程为(m-2m-3)x +(2m +m-1)y =2m-6，根据下列条件分别确定m 的值（1）l 在x 轴上的截距为-3（2）l 的斜率是-1（6）点向式：

问题：设直线l 经过点P，v =(a , b)是它的一个方向向量，求直线l 的方程 0(x 0, y 0)解析:设P(x , y)是直线l 上的任意一点，则向量P 与v 共线，根据向量共线的充要条件，存在唯一实数t，0P x =x 0+at ①，使P，即(x-x 0, y-y 0)=t(a , b)，所以⎧方程组①称为直线的参数式方程。0P =tv ⎨ ⎩y =y 0+bt 2 2 如果直线l 与坐标轴不平行，则ab ≠0，于是可得 x-x 0y-y 0 =t , =t，消去参数t，得到直线l 的普通方程 a b x-x 0y-y 0 这个方程称为直线l 的点向式方程，a , b 叫做直线l 的方向数。= a b 思考：若给出直线的一般式方程Ax +By +C =0，如何确定直线的方向向量？（7）点法式：

问题：设直线l 有法向量n =(A , B)，且经过点P，求直线l 的方程 0(x 0, y 0)解析：设P(x , y)是直线l 上的任意一点，则有P，即P 0P ⊥n 0P ⋅n =0 因为PP 0=(x-x 0, y-y 0)，n =(A , B)，所以有A(x-x 0)+B(y-y 0)=0 这个方向是由直线l 上一点P 及直线l 的法向量n 确定的，称为直线l 的点法式。0(x 0, y 0)思考：若给出直线的一般式方程Ax +By +C =0，如何确定直线的法向量？

三、直线的位置关系（同一平面上的直线）

1、平行与垂直（1）两条直线平行的判定

①当两条直线的斜率存在时，均可化成它的斜截式方程，所以以斜截式为例来研究直线平行的判定

设两条直线分别为，则l 1, l 2的倾斜角相等，即由α1=α2，l 1：y =k 1x +b 1 l 2：y =k 2x +b 2 若l 1//l 2，可得tan α1=tan α2，也即k 1=k 2，此时b 1≠b 2；反之也成立。所以有l 1//l 2⇔k 1=k 2且b 1≠b 2 ②当两条直线的斜率都不存在时，二者的倾斜角均为900，若不重合，则它们也是平行直线 注意：当不考虑斜率，即给出直线的一般式时，有如下结论： 设两条直线分别为l 1：A 1x +B 1y +C 1不为0）或l 1//l 2⇔A（可用直线的方向向量或法向量解释）1B 2-A 2B 1=0且B 1C 2-B 2C 1≠0或AC 12-A 2C 1≠0例

12、已知点A(2,2)和直线l ：3x +4y-20=0，求过点A 和直线l平行的直线。（引出平行直线系方程）（2）两条直线垂直的判定

①当两条直线的斜率存在且不为0时，均可化成它的斜截式方程，所以以斜截式为例来研究直线平行的判定 设两条直线分别为，l 1：y =k 1x +b 1 l 2：y =k 2x +b 2 则得直线l 1的方向向量为：a =(1, k 1)l 2的方向向量为：b =(1, k 2)，所以有l 1⊥l 2⇔a ⊥b ⇔a ⋅b =0⇔1⨯1+k 1⋅k 2=0 即l 1⊥l 2⇔k 1⋅k 2=-1 注意： 或用两条直线的倾斜角推倒：即tan α2=tan(900+α1)=-=0，l 2：A 2x +B 2y +C 2=0 可得l 1//l 2⇔A 1=B 1≠C 1（其中分母 A 2 B 2 C 2 1，得到k 1⋅k 2=-1 tan α1

②两条直线中，一条斜率不存在，同时另一条斜率等于零，则两条直线垂直。由①②得，两条直线垂直的判定就可叙述为：一般地，l 1⊥l 2⇔k 1⋅k 2=-1或一条斜率不存在，同时另一条斜率等于零。

注意：当不考虑斜率，即给出直线的一般式时，有如下结论： 设两条直线分别为l 1：A 1x +B 1y +C 1 例

14、已知两直线l 1：x +my +6=0，l 2：(m-2)x +3y +2m =0，当m 为何值时，直线l 1与l 2：①平行 ②重合 ③垂直

例

15、已知长方形ABCD 的三个顶点的坐标分别为A(0,1),B(1,0),C(3,2),求第四个顶点D 的坐标

例

16、求证：不论m 为取什么实数，直线(2m 2-1)x +(m 2-1)y =m 2-5总通过某一定点 =0，l 2：A 2x +B 2y +C 2=0 可得l 1⊥l 2⇔A 1A 2+B 2B 1=0 例

13、求与直线3x +4y +1=0垂直且过点（1，2）的直线方程（引出垂直直线系方程）)例

17、已知直线ax-y +2a +1=0，（1）若x ∈(-1（2）若a ∈(-, 1, 1)时，y >0恒成立，求a 的取值范围； 16 时，恒有y >0，求x 的取值范围

四、到角、夹角（1）到角公式

定义：两条直线l 1和l 2相交构成四个角，他们是两对对顶角，为了区别这些角，我们把直线l 1绕交点按逆时针方向旋转到与l 2重合时所转的角，叫做l 1到l 2的角，如图，直线l 1到l 2的角是θ1，l 2到l 1的角是θ2(θ1>0, θ2>0, θ1+θ2=π)

推倒：设已知直线方程分别是l 1：y =k 1x +b 1 l 2：y =k 2x +b 2.l 1到l 2的角是θ ① 若1+k 1⋅k 2=0，即k 1⋅k 2=-1，那么θ= π 2 ② 若1+k 1⋅k 2≠0，设l

1、l 2的倾斜角分别为α1, α2，则tan α1=k 1, tan α2=k 2 由图1）的θ=α2-α1，所以tan θ=tan(α2-α1)由图2）的θ=π-(α1-α2)=π+(α2-α1)，所以tan θ=tan*π+(α2-α1)+=

tan π+tan(α2-α1)0+tan(α2-α1)==tan(α2-α1)

1-tan πtan(α2-α1)1-0 于是tan θ=tan(α2-α1)= tan α2-tan α1k-k =21 1+tan α2tan α11+k 1k 2

即tan θ= k 2-k 1 就是l 1到l 2的角θ1+k 1k 2（2）夹角公式

定义：由（1）得，l 2到l 1的角是π-θ，所以当l 1与l 2相交但不垂直时，在θ和π-θ中有且只有一个角是锐角，我们把其中的锐角叫做两条直线的夹角，记夹角为α，则tan α=当直线l 1⊥l 2时，直线l 1与l 2的夹角为 k 2-k 1，即为夹角公式 1+k 1k 2 π 2 例

18、等腰三角形一腰所在直线l 1的方程是x-2y-2=0，底边所在直线l 2的方程是x +y-1=0，点(-2,0)在另一腰上，求这条腰所在直线l 3的方程

五、两条直线的交点坐标：

1、设两条直线分别为l 1：A 1x +B 1y +C 1=0，l 2：A 2x +B 2y +C 2=0 则l 1与l 2是否有交点，只需看方程组

⎧A 1x +B 1y +C 1=0是否有唯一解 ⎨ ⎩A 2x +B 2y +C 2=0 若方程组有唯一解，则这两条直线相交，此解就是交点的坐标； 若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行； 若方程组有无穷多解，则两直线重合

例

19、求经过两直线2x-3y-3=0和x +y +2=0的交点且与直线3x +y-1=0平行的直线方程。经过两直线l 1:A 1x +B 1y +C 1=0与l 2:A 2x +B 2y +C 2=0交点的直线系方程为其中λ是待定系数，在这个方程中，无论λ取什么实数，A 1x +B 1y +C 1+λ(A 2x +B 2y +C 2)=0，都得到A 2x +B 2y +C 2=0，因此，它不能表示直线l 2。

2、对称问题

（1）点关于点的对称，点A(a，b)关于P , y 0)的对称点B（m，n），则由中点坐标公式0(x 0 m =2x 0-a , n =2y 0-b，即B（2x 0-a , 2y 0-b）。

（2）点关于直线的对称，点A(x 0, y 0)关于直线l :Ax +By +C =0（A、B 不同时为0）的对称点

A '(x 1, y 1)，则有AA ’的中点在l 上且直线AA ’与已知直线l 垂直。

（3）直线关于直线的对称，一般转化为点关于直线的对称解决，若已知直线l 1与对称轴l 相交，则交点必在与l 1对称的直线l 2上，然后再求出l 1上任意不同于交点的已知点P 1关于对称轴对称的点P 2，那么经过交点及点

P 2的直线就是l 2；若直线l 1与对称轴l平行，则在l 1上任取两不同点P

1、P 2，求其关于对称轴l 的对称

点P

1、P 2，过P

1、P 2的直线就是l 2。

例题20、已知直线l :x +y-1=0，试求①点P(4,5)关于l 的对称坐标；②直线l 1:y =2x +3关于直线 ' ' ' ' l 的对称的直线方程。例题21、求函数y =

六、两点间的距离，点到直线间的距离 +的最小值。

P（1）两点间的距离：已知P 1P 2=1(x 1, y 1), P 2(x 2, y 2)则

（2）点到直线的距离: l 已知点P，求点P 0(x 0, y 0)，直线l :Ax +By +C =0（A、B 不同时为0）0到直线的距离。解法一：如图，作P 0Q ⊥l 于点Q，设Q(x 1, y 1)，若A,B ≠O, 则由k 1=-A B(, 得k P 0Q = B A k 1k P 0Q =-1)，⎧Ax +By +C =0 ⎪

B ⎨B y-y =(x-x)从而直线P 的方程为，解方程组Q y-y =(x-x 0)得0000⎪A ⎩A ⎧B 2x 0-ABy 0-AC x =⎪⎪1A 2+B 2 ⎨2 ⎪y =A y 0-ABx 0-BC 1⎪⎩A 2+B 2 ∴d =PQ ==0 Ax 0+By 0+C ==A 2+B 2 容易验证当A=0或B=0时，上式仍然成立。

l 解法二：如图，设A ≠0,B ≠0，则直线l 与x 轴和y 轴都相交，过点P 0分别作x 轴和y 轴的平行线，交直线

于R 和S，则直线P 0R 的方程为y =y 0，R 的坐标为（-By 0+C , y 0）； A x ,-直线P 0S 的方程为x =x 0，S 的坐标为（-0 Ax 0+C），B 于是有P 0R =-Ax 0+By 0+C By 0+C-x 0=, A A = Ax 0+By 0+C Ax 0+C P-y 0= , RS =0S =-B B 0+By 0+C。

=d，由三角形面积公式可得d ⋅RS =P 设PQ 00R ⋅P 0S.于是得d = 因此，点P 0(x 0, y 0)到直线l :Ax +By +C = 0的距离d =上式仍成立。注意: P 0R ⋅P 0S RS = 容易验证，当A=0或B=0时，①若给出的方程不是一般式，则应先把方程化为一般式，再利用公式求距离； ②点到直线的距离是点到直线上的点的最短距离；

③若点在直线上，则点到直线的距离为0，但距离公式仍然成立，因为此时Ax 0+By 0+C =0。（3）两平行线间的距离。

定义；两条平行直线间的距离是指夹在两条平行直线间公垂线段的长，即一条直线上的点到另一条直线的距离。

两条平行直线l 1:Ax +By +C 1=0与l 2:Ax +By +C 2= 0的距离公式d = 推导过程：设P 则P 到l 2:Ax +By +C 2=0的距离

0(x 0, y 0)为直线l 1:Ax +By +C 1=0上任意一点，0为d =，又因为P 0在l 1:Ax +By +C 1=0上，所以Ax 0+By 0+C 1=0，即Ax 0+By 0=-C 1, 所以d = 注意：应用此公式时，要把两直线化为一般式，且x、y 的系数分别相等。

例题

22、求经过点A(-1,2)与B(-,0)的直线上一点C（5，n）到直线x +y =1的距离。例题

23、求经过点A（1，2）且到原点的距离等于1 的直线方程。例题

24、已知三角形ABC 中，点A（1，1），B（m）（1

例题

25、求过点P（1，2）且与A（2，3），B(4,-5)两点距离相等的直线方程。作业：

1、设θ∈(52 π 2 , π)，则直线x cos θ+y sin θ+1=0的倾斜角α为（）(B)θ(C)θ+(A)θ-π 2 π 2(D)π-θ

2、设P（x，y）是曲线C ：x 2+y 2+4x +3=0上任意一点，则 y 的取值范围是()x A ．[-3, 3] B ．(-∞,-3]⋃*, +∞)C ．[-3, ] D ．(-∞,-]⋃*, +∞)3333

3、已知M(2，－3)，N(－3，－2)，直线l 过点A(1，1)且与线段MN 相交，则直线l 的斜率k 的取值范围是 3 或k ≤－4 4 3 B.－4≤k ≤ 4 33 C.≤k ≤4D.－≤k ≤4 44

4．过点P（6，－2）且在x 轴上的截距比在y 轴上的截距大1的直线的方程是 A ．2x +3y-6=0 C ．x-y +3=0 B ．2x +3y-6=0或3x +4y-12=0 D ．x +2y-2=0或2x +3y-6=0

5、若直线l 经过点(1,1),且与两坐标轴所围成的三角形的面积为2, 则直线l 的条数为(A)1(B)2(C)3(D)4

6、如图所示，直线l 1：ax －y ＋b=0与l 2：bx －y ＋a=0(ab≠0,a ≠b)的图象只可能是()

7、若三点A(3,a)、B(2,3)、C(4,b)在一条直线上, 则有()(A)a=3,b=5(B)b=a+1(C)2a－b=3(D)a－2b=3

8、直线l 经过原点和点(－1, －1), 则它的倾斜角是 a A.π5ππ5ππ B.C.或 D.－ 44444 9.已知直线l 1：A 1x +B 1y +C 1＝0与直线l 2：A 2x +B 2y +C 2＝0相交，则方程λ1（A 1x ＋B 1y ＋C 1）＋λ2（A 2x +B 2y +C 2）2 =0,(λ1≠0)表示（）+λ22

A.过l 1与l 2交点的一切直线 B.过l 1与l 2的交点，但不包括l 1可包括l 2的一切直线 C.过l 1与l 2的交点，但包括l 1不包括l 2的一切直线 D.过l 1与l 2的交点，但既不包括l 1又不包括l 2的一切直线 10.方程(a －1)x －y +2a +1=0(a ∈R)所表示的直线()A.恒过定点(－2,3)B.恒过定点(2，3)C.恒过点(－2,3)和点(2，3)D.都是平行

11、过点(-1，)且与直线3x-y +1=0的夹角为 π 的直线方程是（）6 A、x-3y +4=0 B、x +1=0或x +3y-2=0 C、x+1=0或x-y +4=0 D、y =或x +3y-2=0

12、直线x cos α+3y +2=0的倾斜角的取值范围是_________。

13、直线l 的方向向量为（-1，2），直线l 的倾斜角为

14、已知直线L 过P（-2，3）且平行于向量d=（4，5），则直线L 的方程为。

15、已知点M(a , b)在直线3x +4y = 15上，则

16、△ABC 的三个顶点A(－3,0),B(2,1),C(－2,3).求：

（1）BC 所在直线的方程;（2）BC 边上中线AD 所在直线的方程;（3）BC 边的垂直平分线DE 的方程.17、求到两直线l 1： 3x +4y-5=0和 l 2：6x +8y-9=0距离相等的点P(x , y)满足的方程

第五篇：《实际问题与方程》教案

《实际问题与方程》教案

教学目标

1、理解和掌握列方程解答问题的步骤和基本方法，能够正确列出实际的方程解答比较容易的问题。

2、自主探究，正确地列出方程解答问题。

3、培养学生独立探究的好习惯，并渗透环保教育。

教学重点

能够正确列出ax=b的方程解答比较容易的问题。

教学难点

根据题意找到等量关系，列出方程。

教学过程

一、情景导入：

同学们见过足球吧？（出示1个足球）那你们观察过足球上的花纹有什么特点呢？（出示例2）一起观察挂图，问：同学们能从图中获得什么信息？要求什么问题？

二、探究新知：

（一）足球问题。

1、小组合作探究解决问题的方法。刚才有一位同学想知道黑色皮有多少块，用我们学过的知识怎样解决黑色皮有多少块呢？

2、小组讨论，合作交流。

3、小组合作探究稍复杂方程的解法：

（1）我们还可以用黑色皮的块数×2=白色皮的块数+4这个等量关系式列方程，最后求出x=12，还要检验12是不是这个方程的解。

（2）两个学生在黑板上展示两个不同方程的解法步骤，并检验。

4、大家在用方程解决问题的时候，有什么共同特点吗？步骤是什么呢？

①弄清题意，找出未知数用X表示； ②分析、找出数量间的相等关系，列方程； ③解方程； ④检验并写答语。

（二）水龙头接水问题。

1、出示教材第73页做一做的情境图，组织学生审题，分析题目的已知条件和问题。

2、找出题目的等量关系。提问：半小时的接水量表示什么？每分钟滴水量、半小时的滴水量之间有什么关系？

3、根据等量关系式，哪些量是已知的？哪些量是未知的？我们应该设哪个量为未知数？ 怎样根据等量关系列出方程，与同桌说一说自己的想法。

4、组织学生列出方程，并在课本上完成解题过程的填空。提醒学生要验算。指名学生回答，集体订正。

三、巩固练习

1、学校买来20米长的布，准备做16件儿童表演服。每件儿童表演服用布多少米？

2、王老师买奖品，其中有42棵练习本，是日记本的3倍。日记本有多少本？

四、全课小结

说说你今天有什么收获？