2.因式分解教案

第一篇：2.因式分解教案

高初中衔接教材

因式分解

第二讲 因式分解

因式分解是代数式的一种重要的恒等变形，它与整式乘法是相反方向的变形．在分式运算、解方程及各种恒等变形中起着重要的作用．是一种重要的基本技能．

因式分解的方法较多，除了初中课本涉及到的提取公因式法和公式法(平方差公式和完全平方公式)外，还有公式法(立方和、立方差公式)、十字相乘法、分组分解法、求根公式法、配方法等等．

一、公式法(立方和、立方差公式)

a3b3(ab)(a2abb2)a3b3(ab)(a2abb2)

这就是说，两个数的立方和(差)，等于这两个数的和(差)乘以它们的平方和与它们积的差(和)． 运用这两个公式，可以把形式是立方和或立方差的多项式进行因式分解． 【例1】因式分解：(1)8x

3(2)0.12527b

3解：(1)8x323x3(2x)(42xx2).(2)0.12527b30.53(3b)3(0.53b)[0.520.53b(3b)2] (0.53b)(0.251.5b9b2).说明：(1)在运用立方和(差)公式分解因式时，经常要逆用幂的运算法则，如8a3b3(2ab)3，这里逆用了法则(ab)nanbn；(2)在运用立方和(差)公式分解因式时，一定要看准因式中各项的符号．

【例2】因式分解：(1)3ab81b 3

4(2)aab

76解：(1)3a3b81b43b(a327b3)3b(a3b)(a23ab9b2)．

(2)aaba(ab)a(ab)(ab)76663333a(ab)(a2abb2)(ab)(a2abb2)a(ab)(ab)(aabb)(aabb).a(a2b2)[(a2b2)2a2b2]a(ab)(ab)(a2abb2)(a2abb2).2222

a7ab6a(a6b6)a(a2b2)(a4a2b2b4)

二、分组分解法

从前面可以看出，能够直接运用公式法分解的多项式，主要是二项式和三项式．而对于四项以上的多项式，如mambnanb既没有公式可用，也没有公因式可以提取．因此，可以先将多项式分组处理．这种利用分组来因式分解的方法叫做分组分解法．分组分解法的关键在于如何分组．

【例3】把2ax10ay5bybx分解因式．

解：2ax10ay5bybx2a(x5y)b(x5y)(x5y)(2ab).说明：用分组分解法，一定要想想分组后能否继续完成因式分解，由此合理选择分组的方法．本题也可以将一、四项为一组，二、三项为一组，同学不妨一试．

【例4】把ab(cd)(ab)cd分解因式．

高初中衔接教材

因式分解

解：(1)原式(x22x1)(x22x8)(x1)2(x2)(x4).(2)原式(x22x15)(ax5a)(x3)(x5)a(x5)(x5)(x3a).四、配方法

【例10】因式分解(1)x6x16（2）x24xy4y2 解：(1)x26x16(x3)252(x8)(x2).(2)x24xy4y2(x24xy4y2)8y2 2(x2y)28y2(x2y22y)(x2y22y).说明：这种设法配成有完全平方式的方法叫做配方法，配方后将二次三项式化为两个平方式，然后用平方差公式分解．

五、拆(添)项法

【例11】因式分解x3x4 解： x33x24(x31)(3x23)

32(x1)(x2x1)3(x1)(x1)(x1)[(x2x1)3(x1)] (x1)(x24x4)(x1)(x2)2.说明：一般地，把一个多项式因式分解，可按下列步骤进行：(1)如果多项式各项有公因式，那么先提取公因式；

(2)如果各项没有公因式，那么可以运用公式法或分组分解法或其它方法(如十字相乘法)来分解；(3)因式分解必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止．

第二篇：因式分解教案

因式分解教案

教学内容 乐吉凤 2005-12-23 12:15:23 自己撰写

因式分解的概念及提公因式法分解因式 教学目标

1：知识与技能目标：使学生了解因式分解的意义，理解因式分解与整式乘法的联系与区别；使学生理解并熟练运用提公因式法分解因式。2：过程与方法目标：培养学生全面观察问题、分析问题和逆向思维的能力。

3：情感与态度目标：通过学生自行探求解题途径，培养学生的科学精神和创新意识。教学重点和难点

教学重点：因式分解的概念及提公因式法。教学难点：正确找出多项式各项的公因式。教学方法选择与分析

1：利用知识的迁移，启发学生的思维。

2：采用自主探究式教学方式，培养学生的创新能力。教学过程与设计 第一个环节：复习与激趣 教师活动：

1：出示提问题：乘法对加法的分配律用字母怎样表示？

2：出示学生讨论题：630能被那些数整除？并说说你是怎么想的。3：出示猜想题：既然有些数能分解因数，那么类似地有些多项式可以分解成几个整式的积吗？请同学们猜想。学生活动：

1：对已有知识加深印象，为学习新知识作准备。2：分组讨论，各抒己见，大胆猜想。设计意图：

1：完整学生的知识点。2：激发学生的学习兴趣和求知欲。第二个环节：教学因式分解的概念 教师活动：

1：出示探究题：请同学们把下列多项式写成整式的积的形式（投影）（1）x2+x=_(2)x2-1=_ 2:引导学生分析上面式子的特点，归纳因式分解的概念。

定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解。也叫做把这个多项式分解因式。

3：引导学生分析整式乘法与因式分解的联系与区别。联系：都是由几个相同的整式组成的等式。

区别：相同整式的位置比同，两者是相反的恒等变形。例1 下列各式那些是因式分解？

（1）x2+x=x(x+1)(2)a(a-b)=a2-ab(3)(a+3)(a-3)=a2-9(4)a2-2a+1=a(a-2)+1 学生活动： 1：完成探究题。

2：分组讨论探究题中式子的特点，试说出因式分解的定义。3：分组讨论因式分解与整式乘法的联系与区别。4：完成例1，小组派代表投影展示。

设计意图：培养学生自主学习，积极探究的精神、合作交流的意识和分析归纳的能力。

第三个环节：教学提公因式法分解因式 教师活动：

1：出示问题：多项式ma+mb+mc有什么特点？

2：指导学生归纳公因式的概念，强调公因式是各项都有的公共因式。例2 指出下列多项式的公因式：（投影）（1）a2-a(2)5a2b-ab2(3)4m2np-2mn2q(4)a2b-ab2 强调找公因式的方法：公因式的系数应取最大公约数；字母取相同字母且字的指数取最低次数。3：引入提公因式法分解因式。

整式乘法：m(a+b+c)=ma+mb+mc 逆变形得到 因式分解：ma+mb+mc=m(a+b+c)说明：多项式ma+mb+mc各项都有的公因式m可以提到括号外面，写成m（a+b+c）的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。定义：一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成乘积的形式，这种因式分解的方法叫做提公因式法。

4：提公因式法分解因式典型举例。例3 把下列各式分解因式：

（1）8a3b2-12ab3c(2)3x2-6xy+x(3)2a(b+c)-3(b+c)说明：1）提公因式法分解因式的步骤：第一步：找出公因式。第二步：提公因式。

2）当多项式的一项是公因式时，这项应看成它与1的积，提公因式后剩下的是1，不能漏掉。

3）公因式不仅可以是单项式也可以是多项式，找公因式时要注意观察。5： 提问：如何检查因式分解是否正确？ 学生活动：

学生在教师启发下，思考探究与教师共同完成例3，掌握找公因式的方法和提公因式法分解因式的方法及应注意的问题。设计意图：

1：注重师生互动与知识落实的平衡。2：让学生学会发现与归纳。第四个环节：课堂巩固练习1．把下列各式分解因式：

（1）8m2n+2mn(2)12xyz-9x2y2(3)2a(y-z)-3b(z-y)(4)p(a2+b2)-q(a2+b2)2.先分解因式，再求值。4a2(x+7)-3(x+7),其中a=5,x=3 学生独立完成，教师巡回辅导，反馈纠错。

第五个环节：：未来数学家论坛及小节 1．这节课你感触最深的是。。。。2．这节课你学到了那些新知识、新方法？ 3．。。。。。。。。4．小节：

（1）因式分解的概念

（2）因式分解与整式乘法的联系与区别（3）公因式的意义及找公因式的方法（4）提公因式法分解因式及应注意的问题

第三篇：因式分解教案

14.4 因式分解

教学目标

1．了解因式分解的意义，并能够理解因式分解与多项式乘法的区别与联系。

2．会用提公因式法和公式法进行因式分解(直接用公式不超过两次)。

3．树立学生全面认识问题、分析问题的思想，提高学生的观察能力、逆向思维能力。

教学重难点

重点：因式分解的概念及用提公因式法和公式法分解因式。

难点：正确的找出多项式各项的公因式和如何根据公式的特点进行因式分解。

教学过程

一、知识回顾。

1．完成下列各题：

(1)m(a＋b＋c)＝＿＿＿＿＿；

(2)(a＋b)(a－b)＝＿＿＿＿＿＿＿；

(3)(a＋b)＝＿＿＿＿＿。

2．根据上面的计算，你会做下面的填空吗?

(1)ma＋mb＋mc＝（）（）；

(2)a－b＝()（）；

(3)a2＋2ab＋b＝（）。

二、引导观察。

观察以上两组题目有什么不同点？又有什么联系？

(让学生讨论分析井回答。引导学生从等式的左右两边找异同点，学生不难发现第1题是多项式的乘法，而第2题是把一个多项式化成了几个整式的积，它们之间的运算是相反的。从而引出课题。)

三、新知识的学习。

1．你能根据上面的分析说出什么是因式分解吗?

(把一个多项式化为几个整式的乘积形式，这就是因式分解。)

2．练习。

(1)课本第89页练习的第1题。

3．对下列多项式进行因式分解：

(学生分组完成下列各题，从中得出因式分解的方法。)

(1)3a＋3b

(2)3a－9ab； 2

22222

(3)x－9y

(4)x－4xy＋4y

(5)x－x＋

4．因式分解的方法。

(1)提取公因式法。

你会确定公因式吗?

(讲解公因式的定义，系数是各系数的最大公约数，字母是相同字母中指数最低的。)

教师举例让学生找公因式。

(2)公式法。

四、举例及应用。

1．例1 对下列多项式进行因式分解：

(1)－ 5a＋ 25a；

(2)3a－9ab；

(3)25x－16y；

(4)x＋4xy＋y。

2、练习

课本第89页练习第2题

3、例2 对下列多项式进行因式分解

（1）4xy＋4xy＋xy

（2）3x－12xy

五、课堂小结

本节课你学到了什么？是否还有不明白的地方？

注意：在进行多项式的因式分解时，要先提取公因式。

六、布置作业

课本89习题14.4第1题（1）（2）（4）（5）（7），第2题。3223

222222222222

第四篇：因式分解教案

《用完全平方公式分解因式》教案设计

【教学目标】：

1.弄清完全平方公式的特点,能较熟练地应用公式因式分解。

2.经历探究用完全平方公式分解因式的过程,进一步理解完全平方公式的特点,体会整式乘法与因式分解之间的联系。

3.通过思考探究并归纳出因式分解的又一方法:逆用完全平方公式,得到a2±2ab+b2=(a±b)2 4.在探究完全平方公式的特点和运用完全平方公式分解因式的活动中,敢于发表自己的观点,获得成功的体验,培养耐心和自信心。

【教学重点】：弄清完全平方公式的特点,运用完全平方公式分解因式。【教学难点】：完全平方公式因式分解方法的灵活运用 【教学方法】：

启发式教学与探究式教学相结合 【教学过程】： 活动一：复习引入

1．运用公式计算下列各式：

(1)(x+3)(2)(2x-1)(3)(x+2y)

2．填空：

(1)x+6x+9=()()(2)4x4x+1=()()(3)x+4xy+4y=()()(4)x+2x+1=()()（设计意图：通过设计计算题,使学生运用公式计算,起到复习铺垫的作用;填空题的设计目的是使学生通过计算后发现乘法公式与因式分解的联系。）

活动二：探究新知(引导学生观察这两个多项式的特征,学生经过观察、思考,弄清这两个多项式的特点)1.你能将多项式a+2ab+b与a-2ab+b分解因式吗?这两个多项式有什么特点?

（设计意图：让学生经历观察、归纳、概括的过程,理解完全平方公式的特点,理解运用完全平方公式进行分解因式的方法,发展学生的逆向思维。）

2.下列多项式是不是完全平方式?为什么?（学生独立思考,小组交流,教师通过提问了解学生理解完全平方式的情况。）

(1)x+4x+4(2)x-10x+25(3)4x-4x+1(4)x+xy+y22 2

222

22_2

(4)(x+1)

(5)-x+x(6)0.25x+x+1

22（设计意图：通过讨论交流,熟悉公式结构的特征。）

活动三：例题解析 例1：分解因式:(1)16x+24x+9(2)-x+4xy-4y

（设计意图：掌握运用乘法公式进行分解因式的方法。）

例2：分解因式:（先让学生进行分解因式，然后归纳出分解因式的一般步骤和方法：①有公因式的先提公因式，再运用公式进行分解；②多项式可以看成一个整体。）(1)3ax+6axy+3ay(2)(a+b)-12(a+b)+36

（设计意图：掌握分解因式的方法步骤。）

例3：已知4y+my+9是完全平方式,则m=________。（设计意图：进一步掌握完全平方公式的特点。）活动四：巩固提升

分解因式：(学生独立完成,师巡视发现问题及时纠正。)(1)x+4x+4（2）x2x+1（3）x+4xy+4y

（4）5x+10xy+5y（5）(a-b)-12(a-b)+36（6）x-9

（设计意图：巩固，形成能力。）活动五：课堂小结

1.本节课你学到了什么知识? 2.因式分解的步骤和方法是什么？ 检测反馈

利用完全平方公式对下列多项式因式分解：

（1）a2-10a+25;(2)4a2+12ab+9b2;

（3）-x2+4xy-4y2

（4）3ax2+6axy+3ay2

(5)(2x+y)2-6(2x+y)+9 22

2_

2222

第五篇：因式分解教案

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9.1因式分解

【教学目标】

知识与技能目标：

1、了解因式分解的意义及其与整式的乘法之间的关系。

2、会用提公因式法、公式法（直接用公式不超过两次）进行因式分解（指数是正整数）。过程与方法目标：通过了解因式分解的意义及其与整式的乘法之间的关系，从中体事物之间可以相互转化的辩证思想。

[情感与态度目标：培养学生接受矛盾的对立统一观点，独立思考，勇于探索的精神和实事求是的科学态度。

【重点难点】

重点：因式分解的概念与提公因式法。

难点：理解因式分解与整式乘法的相互关系及灵活运用提公因式法分解因式。关键点：对公式的结构特征应做出具体分析，掌握公式的特点，加深理解，并培养学生在多变的情况运用公式。

【教法建议】

1．因式分解与整式运算是不同的整式变形，概念的引人应着重引导学生观察变形的特点，理解变形的意义，还应随时回忆这一概念、运用这一概念、巩固这个概念，而不要希望一蹴而就。

2．在运用各种方法因式分解时应重视培养学生的观察能力，在教学中应给学生以足够的时间观察，并充分交流观察的结果，汇报观察结果后而采取对策，而不应让学车模仿例题，只有在这种观察的实践活动中，才能培养学生的观察能力，才能训练学生选择正确的解题策略。

3．在因式分解中换元思想起着重要的作用，公因式m既可以是单项式，又可以是多项式，公式法中的a，b„„也可以表示任何一个代数式。本章运用换元法这一重要的数学思想方法也是为今后的代数学习打下良好的基础。

4．提取公因式法是因式分解的最基本的方法，也是最常用的方法，它的理论依据是乘法分配律。在讲解时可以先讲单项式乘以多项式，再把它逆过来运算就是提取公因式，用这个方法，首先对要分解的多项式认真观察，确定公因式是至关重要的。

【教学过程】

一、回顾：

1、整式乘法有几种形式？

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（1）单项式乘以单项式

（2）单项式乘以多项式：a（m＋n）=am＋an（3）多项式乘以多项式：（a＋b）（m＋n）=am＋an＋bm＋bn

2、乘法公式有哪些？

（1）两数和乘以它们的差公式：ababab2（2）两数和的平方公式：aba22abb2

23、试计算

（1）3a（a－2b＋c）（2）（a＋3）（a－3）（3）a2b（4）a3b 2

2二、探索新知，找出规律

1、根据上面得到的结果，你会做下面的填空吗？

（1）3a－6ab＋3ac=（）（）（2）a－9=（）（）

（3）a＋4ab＋4b=（）（）（4）a－6ab＋9b=（）（）

2、观察复习与回顾的练习，你能发现它们之间的联系与区别吗？ 学生反复仔细观察、对比，找出其中的联系与区别。

议一议：由a（a＋1）（a－1）得到a－a变是什么运算？由a－a得到

a（a＋1）（a－1）的变形与它有什么不同？

3、比小学学过的因数分解与乘法之间的联系，概括，归纳得出什么是因式分解？ 把一个多项式化为几个整式的乘积形式，这就是因式分解。想一想：因式分解与整式乘法有什么关系？ 因式分解与整式乘法的关系：

因式分解结合：a－b=（a＋b）（a－b）

说明：从左到右都是因式分解其特点是：由和差形（多项式）转化成整式的积的形式；从右到左是整式乘法特点是：由整式积的形式转化成和差形式(多项式)。

结论：因式分解与整式乘法正好相反。

问题：你能利用因式分解与整式乘法正好相反这一关系。举出几个因式分解的例子吗？ 由学生举例说明，也可以让学生更好地理解因式分解与整式乘法之间有的关系。中国最大的教育门户网站

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三、巩固练习

1、判断下列各式哪些是整式乘法，哪些是因式分解？

（1）x24y2x2yx2y（2）2xx3y2x26xy（3）5a125a210a1（4）x24x4x2 22（5）（a＋3）（a－3）=a－9（6）m24m2m2

22、想一想：多项式ma+mb+mc中的每一项都含有一个相同的因式 ？你知道这个相同的因式怎样称呼吗？

由学生回答，教师点评。

我们称之为公因式，介绍“提公因式法”：

把公因式提出来，多项式ma+mb+mc就可以分解成两个因式m和(a+b+c)的乘积了，像这种因式分解的方法，叫做提公因式法。

利用a2b2abab和a22abb2ab乘法公式对多项式进行因式

2分解，这种因式分解的方法就称为公式法。其中，a、b可以表示单项式，也可以表示多项式。

四、例题精讲

例1对下列多项式进行因式分解：（1）－5a＋25a；

（3）25x－16y； 22

2（2）3a－9ab；（4）x＋4xy＋4y.22

思路点拨：先由老师板书示范，然后再由学生独立完成，教师随时点评。把一个多项式因式分解，首先要考虑有没有公因式，若有公因式应提公因式，而且要提彻底，用乘法公式应正确选择，上例都只用一种因式分解的方法。

例2 对下列多项式进行因式分解：（1）4xy＋4xy＋xy；（2）3x－12xy

思路点拨：本题的因式分解，应先考虑提公因式法，而后考虑应用乘法公式进行分解。中国最大的教育门户网站

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例3 议一议：9999能被100整除吗？你是怎样想的，与同伴交流。小明

是

这

样

想的：399399=9999299199992199991991=100×98 所以：9999能被100整除。

你知道每一步的根据吗？想一想9999还能被哪些整数整除？

五、随堂练习课本练习1、2、3 点评：练习第1（1）题要让学生理解怎样分解，分解的最后结果是几个整式的积的形式。这是初学因式分解时应反复强调的问题，（2）题要让学生明白如何正确地使用乘法公式进行因式分解。对于第3题，教师还可以提出更有意义的探索问题。如你还有别的办法知道哪一个体积更大？

六、布置作业：课本习题第1、2、3题

七、本课小结

1、在这节课中你学到了什么？

2、因式分解和整式乘法有何区别？

3、分解因式要注意几个问题？

4、常用的因式分解有几种方法？

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