2.5曲线与与方程 学案

第一篇：2.5曲线与与方程 学案

《曲线与与方程》教学案 一﹑教材内容的地位与作用分析

《曲线与方程》是高二数学选修2-1第二章第一节的内容。曲线与方程的概念既是对以前学过的函数及其图象、直线的方程和方程的直线等数学知识的深化，又是今后学习圆锥曲线的理论基础，它贯穿于研究圆锥曲线的全过程。曲线和方程分别是几何与代数中的概念。在直角坐标系中，曲线有它的方程，方程有它的曲线。曲线的方程是几何曲线的一种代数表示，方程的曲线则是代数方程的一种几何表示。根据曲线与方程的对应关系，通过研究方程来研究曲线的几何性质，使几何图形的研究实现代数化。数与形的有机结合，在本章得到充分的展现。通过本节课的课堂教学，使学生初步了解数形结合的基本数学思想方法。

二、学生学习情况分析

学生已经学习了直线的方程和方程的直线的概念，初步掌握了利用直线的方 程来研究两直线的位置关系、两条直线的夹角和点到直线的距离等与直线有关的 知识，但未真正理解直线的方程和方程的直线的含义。通过本节课让学生进一步 理解直线的方程和方程的直线的含义。

三、设计思想

建构主义学习理论认为，建构就是认知结构的组建，其过程一般是引导学生 从身边的、生活中的实际问题出发，发现问题，思考如何解决问题，进而联系所 学的旧知识，首先明确问题的实质，然后总结出新知识的有关概念和规律，形成 知识点，把知识点按照逻辑线索和内在联系，串成知识线，再由若干条知识线形 成知识面，最后由知识面按照其内容、性质、作用、因果等关系组成综合的知识 体。也就是以学生为主体，强调学生对知识的主动探索、主动发现以及学生对所 学知识意义的主动建构。基于以上理论，本节课遵循引导发现，循序渐进的思路，采用问题探究式教学，倡导“自主、合作、探究”的学习方式。

具体流程如下：知识回顾(根据所学知识，提出新的问题)→构建新知(师生 共同探究，得出新的知识)→巩固新知(通过质疑讨论，理解突破难点)→尝试练习(进一步理解概念)→课堂小结(回顾并反思)→布置作业

四、教学目标

1、理解曲线的方程和方程的曲线的概念

2、能证明满足已知条件的曲线C的方程是给定的方程f(x，y)=0

3、判断曲线与方程的关系

五、教学重点与难点

重点与难点：曲线的方程和方程的曲线的概念

六、教学过程设计

(一)知识回顾、提出问题

1、回顾直线的有关知识：两直线的位置关系；两直线的夹角；点到直

线的距离等；

2、我们是如何研究上述问题的(教师适时给予提示)；

3、给出直线的方程和方程的直线的定义：

①直线上的点的坐标都是某个一元一次方程的解；

②以该方程的解为坐标的点都是直线上的点。

4、提出问题：实际生活中，物体运动的轨迹绝大多数都是曲线，那么

我们又该如何研究这些问题呢？

(二)师生探究、构建新知

1、根据回顾的知识，类似可得：利用方程来研究曲线的有关问题

2、如何得出曲线与方程的关系(即：如何定义曲线的方程和方程的曲

线)能否利用我们所学知识考虑？

3、学生讨论，教师补充得到完整的定义：(在上述定义中修改)①曲线C上的点的坐标都是方程F(x，y)=0的解；

②以方程F(x，y)=0的解为坐标的点都是曲线C上的点。

此时，把方程F(x，y)=0叫做曲线C的方程，曲线C叫做方程 F(x，y)=0的曲线。

(三)例题剖析、巩固新知

例

1、已知两点A(-1，1)、B(3，-1)，求证与这两点距离相等的点M的轨迹方程是2x-y-2=0。

证明：(1)：设M1(x1，y1)是直线 上的任意一点，则|M1A|=|M1B|

∴

即2x1-y1-2=0

∴轨迹 上的任意一点的坐标都是方程2x-y-2=0的解

(2)：设点M2(x2，y2)的坐标是方程2x-y-2=0的解，即2x2-y2-2=0

=

∵|M2A|= |M2B|=

∴|M2A|=|M2B| 即点M2是直线 上的点

由(1)(2)知：方程2x-y-2=0是轨迹 的方程。

例

2、(1)已知点A(1，0)、B(0，1)，线段AB的方程是不是x+y-1=0？

为什么？

(2)到两坐标轴距离相等的点的轨迹C的方程是不是x-y=0？

为什么？

(学生讨论，教师点拨)解：(1)不是。取点(-2，1)，该点满足方程x+y-1=0但不在线段AB上。

(2)不是。取点(-1，1)，该点到两坐标轴距离相等且距离都

为1，但1-(-1)=2≠0，也即不满足方程x-y=0。

(四)尝试练习、检验成果 见课本第33页

(五)课堂小结、回顾反思

学生归纳，互相补充，老师总结：

1、曲线的方程和方程的曲线的概念

2、证明方程是给定曲线的方程

3、判断方程是否为给定曲线的方程

(六)课外作业(略)

七、教学反思

1、直线的方程与方程的直线学习时间比较早，大多数学生对此概念已经遗

忘得差不多，因此本节课采用怎样的形式回顾这些知识，才能更合理些。

2、在师生共同探究并构建新知时，教师应该如何调整、把握课堂节奏。

3、是否有更好地方法分析例题，使学生更容易理解所学的新知识。

4、对于练习中存在的问题特别是不成立的问题，采用上述分析方法学生能

否理解。

5、课后对部分学生进行简单调查，反思此教案。

第二篇：“曲线与方程”教学设计

“曲线与方程”教学设计

深圳中学 郭慧清

一、教学内容与内容解析 1．内容：

（1）曲线的方程与方程的曲线的概念；（2）求曲线的方程；（3）坐标法的基本思想与简单应用.2．内容解析：

“曲线与方程”是《普通高中数学课程标准》规定的教学内容．在教学时，不少人认为只是为后面学习椭圆、双曲线、抛物线做准备．尽管学习这一内容是学生体会并理解圆锥曲线与其方程的基础，但人们将碰得的曲线远非这些．因此，教学时不仅要让学生学习如何求曲线的方程，而且要通过这一内容培养学生的坐标法思想，使学生明白求出曲线方程的真正意义在于利用曲线的方程去研究曲线.研究曲线与方程的目的是把曲线的几何特征转化为数量关系，并通过代数运算等方便手段，处理已得到的数量关系,进而得出曲线的几何性质，并达到利用曲线为人们服务的目的．因此，学习这一部分内容可以加深学生对数学中的代数方法的认识，也能够让学生更好地体会数学的本质．

在平面直角坐标系建立以后，任何曲线都有唯一的方程，任何方程也都有唯一确定的曲线(或点集)．因此，曲线的方程是曲线的唯一表示．这种表示，为人们表达自己的思想认识提供了一种规范，这是人们应该具备的基本素养．

二、教学目标与目标解析 1．目标：

（1）通过实例理解曲线的方程与方程的曲线的概念，能判断已经学习过的特殊的曲线与方程之间是否具有互为表示的关系；

（2）通过实例体会求曲线的方程的基本步骤，能求出给定了几何特征的曲线的方程；

（3）通过实例体会不同的平面直角坐标系对同一曲线方程的影响，体会如何“恰当”地建立平面直角坐标系.（4）通过一些简单曲线的方程及其研究，体会坐标法的基本思想及简单应用． 2．目标解析：

教学目标（1）和（2）是本节课的教学重点，教学时落实好目标（1）、（2）和（3）是实现教学目标（4）的前提与保证.学生通过函数y =f(x)及其图象、直线的方程与圆的方程的学习，对曲线的方程与方程的曲线这些概念有了初步认识，但这只是一种意会，我们现在的任务是要建立曲线与方程之间的一般性的概念，让学生能从“定义”的角度去理解这些概念.教学目标（3）是学生初学时不易达到的目标，教学时要提供学生熟悉的曲线（比如直线，圆等）在不同坐标系中的方程的简洁程度，让学生体会建立坐标系时应该关注的要点．

对许多与曲线有关的具体问题而言，原本是没有坐标系的．因此，通过这样的问题，可以使学生体会如何建立坐标系，求出问题中曲线的方程，并通过曲线的方程帮助解决问题，这应该是实现教学目标（4）的一种较好的方法．

三、教学问题诊断分析 1．如何理解曲线与其方程之间的关系？学生可以很流利地背出曲线与其方程应该满足的两条，但是如何证明“一条曲线与一个方程之间具有互为表示的关系”，这是学生学习时可能遇到的第一个教学问题.这个问题可以结合“直线与其方程”、“圆与其方程”进行说明．

2．在求曲线的方程时，如何建立平面直角坐标系？这是学生会遇上的第二个教学问题，也是本节课的教学难点之一．教学时，应通过实例，帮助学生总结出建立坐标系的基本要点，并用具体问题让学生练习进行体会．

3．在将曲线上的点应该满足的几何特征转化为点的坐标应满足的等式后，常常遇上“将所得等式化简得到所求方程”的问题．对于有些复杂的等式，化简是一个学生不易把握的问题，学生在此极易出错，这是第三个教学问题.教学时不能因为这个问题而使教学偏离重点，因而宜使用信息技术工具解决这个问题.4．学生学习时，可能会因更多地关注代数运算而忽略数学思想的提炼，这个教学问题的解决，需要教师有目的地进行引领.四、教学支持条件

1．在进行本节课的教学时，学生已经在数学必修1中学习了函数y =f(x)及其图象，在数学必修2中学习了直线的方程与圆的方程，这些内容是学生理解曲线与方程概念的重要基础，因此教学时应充分注意这一教学条件，引导学生多进行归纳与概括.2．曲线与方程是数形结合的典范，教学这一内容时会涉及大量图形的绘制与方程的简化等代数运算，因此，TI图形计算器或几何画板是重要的支持条件，教学中充分利用这一条件，不仅可以节省大量时间用于学生思考，而且可以对实际问题中的数据不加“修饰”地进行分析.五、教学过程设计

引子：如果你邀请朋友在你所在城市的某餐馆聚会，你会怎样告诉他（她）聚会地点？例如，如果聚会地点在“深圳市笋岗路南，宝安路东的澳葡街”（如图一），你会怎样说？

（图一）

（图二）

意图：通过建立平面直角坐标系，用坐标来刻画点的位置，为后面用点与坐标的对应关系来研究曲线与方程的关系作准备，同时让学生体会坐标法思想。

师生活动：教师提出问题让学生思考，然后通过建立平面直角坐标系，给出聚会地点的坐标（如图二）。[问题1] 一艘轮船在沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报：台风中心位于轮船正西70 km处，受影响的范围是半径长为30 km的圆形区域．已知港口位于台风中心正北40 km处，如果这艘轮船不改变航线（航行方向与东向西方向的夹角的正切值为4/7），那么它是否会受到台风的影响？

这是同学们在学习数学必修2时曾经研究过的问题，你能说说你现在会怎样解决这个问题？ 意图：体会坐标法的思想，强调研究曲线与方程的概念的必要性，让学生体会数学方法的好处.师生活动：教师提出问题后让学生交流并回答他们的想法，在此基础上，教师归纳并演示过程：如图建立直角坐标系，得出船的航线的方程为4x+7y-28=0，圆形区域的边界圆的方程为x+y=9.联解上面两个方程所成的方程组有一定的困难，可以通过TI图形计算器求解，如下列图示：

2由此可见让船按原定航线航行不会出现危险．

进一步问学生：如果没有坐标法，没有直线的方程与圆的方程，但要确定能否让船按原定航线航行，你会怎样做？

[问题2]我们知道，在平面直角坐标系中，经过点(x0,y0)，且方向向量为确定的，你能求出这条直线的方程吗？怎么说明你所求得的方程就是这条直线的方程呢？

意图：为引出曲线的方程与方程的曲线的概念做铺垫.师生活动：让学生尝试求直线的方程，在得出直线的方程后，教师介绍怎样说明所得的方程就是直线的方程．

[问题3] 你能说明中心在(a,b)，半径为的圆的方程是(x-a)+(y-b)=r吗？

2的直线是唯一意图：让学生体会教师在[问题2]中介绍的“说明所得方程是直线的方程”的方法，为介绍曲线的方程与方程的曲线的概念再做准备.师生活动：让学生先思考，然后教师引领学生完成说明过程.[问题4] 对一般的曲线与方程，你能给出方程是曲线的方程，曲线是方程的曲线的概念吗？ 意图：给出曲线的方程与方程的曲线的概念.师生活动：让学生先思考，然后教师引领学生阅读教材上的“定义”，给出曲线的方程与方程的曲线的概念.最后问学生：

[问题5] 给定命题A：“方程f(x,y)=0是曲线曲线”，请问命题A与命题B是否互为充要条件？

意图：加深对曲线的方程与方程的曲线的概念的认识.师生活动：学生回答，教师评析．学生完成教材P37练习第1题，并将题中的“中线AO（O为原点）所在直线的方程”修改为“中线AO（O为原点）的方程”后，提问学生结论有无改变？学生完成P37练习第2题． 的方程”；命题B：“曲线C是方程f(x,y)=0的 [问题6] 你能画出函数的图象吗？图象C上的点相应于坐标轴的距离而言具有怎样的几何特征？是否具有这些几何特征的点都在图象C上？

意图：理解用解析式表示的函数与其图象之间的关系，巩固曲线的方程与方程的曲线的概念.师生活动：（1）师生画出函数的图象C（可以利用信息技术工具）；（2）学生思考“图象C上的点相应于坐标轴的距离而言具有怎样的几何特征”，利用信息技术工具探究，可能归纳出的几何特征是“图象C上的点到两坐标轴的距离的乘积是常数k”；（3）学生思考“到两坐标轴的距离的乘积是常数的点都在图象C上”吗？；（4）师生得出“到两坐标轴的距离的乘积是常数k的点的轨迹方程是”；（5）证明所得结论，完成教材P35例1．

[问题7] 阅读教材P35“2．1．2求曲线的方程”的第一段内容，你能得出什么结论？ 意图：明确解析几何研究的基本内容.师生活动：学生阅读教材并提炼回答内容，请学生回答，教师点评．

[问题8]已知平面上的线段BC的长为所张的角恒为，动点A位于线段BC所在直线的同一侧，且向线段BC，动点A的轨迹是否有有限长度？若有，你能求出其长度吗？

意图：归纳求曲线的方程的步骤，体会坐标法的基本思想． 师生活动：

（1）教师讲解：以BC所在的直线为x轴，以线段BC的中垂线为y轴建立平面直角坐标系，则，．设点A在x轴的上方，坐标为(x,y)(y>0)，则点A的集合为

．

由于

因为所以

所以，点A的坐标满足方程x+(y-1)= 4 ① ；

反过来，由于上述的步骤均可逆，所以方程①的解作为坐标的点都在集合P中．

所以，点A的轨迹方程是①，点A的轨迹是一段以2为半径的圆弧，它的长度是整个圆的．因此，动点A的轨迹的长度为

（2）教师根据上述过程总结求曲线的方程的步骤（见教材P36）.（3）提问学生，有无其它建立坐标系的方法使点A的轨迹方程更简单，更简单的原因是什么？教师归纳总结建立坐标系的一般要点．

（4）提问学生思考：为什么不能把x+(y-1)= 4作为点A的轨迹方程？（5）学生练习教材P37练习第3题．

[问题9] 已知一条直线和一个点F，点F到l的距离是2．一条曲线上面的点到F的距离减去到l的距离所得的差都是2．你能建立适当的坐标系，求出这条曲线的方程吗？

意图：帮助学生熟悉和巩固求曲线的方程的步骤.师生活动：（1）师生一起讨论如何画出图形，如何建立坐标系．

（2）让学生按步骤求出曲线的方程．

（3）师生一起讨论如何避免轨迹中出现多余的点或方程中出现多余的解．（4）简化求解步骤．

[问题10]建立坐标系后，是否存在一条曲线有两个不同的方程？你能以[问题1]和[问题8]为例，归纳一下你本节课学得的东西吗？

意图：归纳总结本节内容.师生活动：学生思考交流，教师帮助总结.五、目标检测设计

1．教材P37，习题2.1：A组第3、4题；B组第1题．

2．已知平面上的线段BC的长为的轨迹的长度吗？ 2009-03-25 人教网，动点A向线段BC所张的角恒为，你能求出动点A运动

第三篇：曲线和方程 说课教案

曲线和方程

各位评委：大家好。

我叫xx，来自川师成都学院，今天我说课的题目是《曲线和方程》第一课时，我将通过教材分析、教学目标分析、教学重难点、教法与学法、课堂设计五方面来逐一加以分析和说明。

一、教材分析

《曲线和方程》是人教版高中数学第二册（上册）第七章第六节的内容。这节教材揭示了几何中的形与代数中的数相统一的关系，为“作形判数”与“就数论形”的相互转化开辟了途径，这正体现了解析几何的基本思想，对解析几何教学有着深远的影响。从知识上说，曲线与方程的概念是对后面所学的求出曲线的方程的准确性来说是很关键的，它在下节课中起到基础性的作用，不仅是本节的重点概念，也是高中学生较难以理解的一个概念。通过本节的学习，提高学生对概念的理解能力，也为以后进一步学习奠定了基础，对培养学生观察问题、分析问题、解决问题的能力有重要作用，是培养高二学生的观察分析能力和逻辑思维能力的重要训练内容。

二、教学目标 ◆知识目标：

1、理解曲线上的点与方程的解之间的一一对应关系；

2、初步领会“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念；

3、学会根据已有的资料找规律，进而分析、判断、归纳结论；

4、强化“形”与“数”一致并相互转化的思想方法。◆能力目标：

1、通过直线方程的引入，加强学生对方程的解和曲线上的点的一一对应关系的认识；

2、在形成曲线和方程的概念的教学中，学生经历观察、分析、讨论等数学活动过程，探索出结论，并能有条理的阐述自己的观点；

3、在构建曲线和方程概念的过程中，培养学生分析、判断、归纳的逻辑思维能力、知识迁移能力、合情推理能力，同时强化“形”与“数”结合并相互转化的思想方法。◆情感目标：

1、通过概念的引入，让学生感受从特殊到一般的认知规律；

2、通过反例辨析和问题解决，培养合作交流、独立思考等良好的个性品质，以及勇于批判、敢于创新的科学精神。

三、教学重难点 本节重点：“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念 本节难点：“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念并利用定义验证曲线是方程的曲线，方程是曲线的方程

重难点突破分析：“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念是本节的重点，本节课是由几个特例上升到抽象概念的过程，学生容易对定义中为什么要规定两个关系产生困惑，原因是不理解两者缺一都将扩大概念的外延，也就是曲线上的点与方程的解之间的一一对应关系的理解透彻问题。由于学生已经具备了用方程表示直线、圆、抛物线等实际模型，积累了感性认识的基础，所以可用举反例的方法来解决困惑，通过反例揭示“两者缺一”与直觉的矛盾，从而又促使学生对概念表述的严密性进行探索，加强认识曲线和方程的对应关系，使学生通其法，知其理。

怎样利用定义验证曲线是方程的曲线，方程是曲线的方程是本节的一个难点。通常在由已知曲线建立方程的时候，不验证方程的解为坐标的点在曲线上，就断然得出所求的是曲线方程。这种现象在高考中也屡见不鲜。为了突破难点，本节课通过一个实例来展示，由于课标只作为了解，在本节课不要求学生必须掌握。

四、教法与学法

教法：探究式教学是适应新课程体系的一种全新教学模式，因此在我的教学中，主要采用探究式教学方法。从实例、到类比归纳、到推广的问题探究方式，它对激发学生学习兴趣，培养学习能力都十分有利。启发引导学生得出概念，深化概念，并应用它所解决问题去讨论、去研究。用举反例的方法来突破难点，引导学生对概念表述的严密性进行探索的探究教学法。在师生互动中解决问题，为提高学生分析问题、解决问题的能力打下了基础。同时结合多媒体辅助教学，节省了板书时间，增大了信息量，增强了直观形象性。

学法：问题探究和启发引导式相结合。本节属于概念教学，可采用以语言传递信息、分析概念的讲授法。引导学生主动参与，亲身实践，独立思考，合作探究，发展学生搜集处理信息的能力，获取新知识的能力，分析和解决问题的能力，以及交流合作的能力，基于此，本节课从实例引入→类比→推广→得概念→概念挖掘深化→具体应用→作业中的研究性问题的思考，始终让学生主动参与，亲身实践，独立思考，与合作探究相结合，在生生合作，师生互动中，使学生真正成为知识的发现者和知识的研究者。

五、教学过程

（一）提出课题

师：在本节课之前，我们研究过直线的各种方程，建立了二元一次方程与直线的对应关系：在平面直角坐标系中，任何一条直线都可以用一个二元一次方程表示，同时任何一个二元一次方程也表示着一条直线。让学生画出方程xy0表示的直线 ◆思考直线上所有点的集合与方程的解的集合之间的对应关系是怎样的？（出示幻灯片）

1、直线上的点的坐标都是方程的解；

2、以这个方程的解为坐标的点都在直线上。

即：直线上所有点的集合与方程的解的集合之间建立了一一对应关系。

我们就可以说方程x-y=0是表示直线l的方程，直线l是表示方程x-y=0的直线 ◆（引导学生思考）我们已经学过的还有一些曲线和方程，是否有类似的对应关系？（出示幻灯片，引导学生类比、推广并思考相关问题）类比：（引导和启发学生说出曲线上的点与方程的解之间是否也是一一对应关系，注意引导学生类似上面的表达方式。）

1、圆上的点的坐标都是方程的解；

2、以这个方程的解为坐标的点都在圆上。

即：圆上所有点的集合与方程的解的集合之间建立了一一对应关系。我们就可以说方程(xa)2(yb)2r2是表示此圆的方程，圆是表示方程222(xa)(yb)r的圆。

类似的让学生表述出以下的对应关系：

◆推广：任意的曲线和二元方程是否都能建立这种对应关系呢？ 也即：方程f(x,y)0的解与曲线C上的点的坐标具备怎样的关系就能用方程f(x,y)0表示曲线C，同时曲线C也表示着方程f(x,y)0？

设计目的：运用学生熟知的旧知识引入，再类比和推广，由特殊到一般地提出了课题，又为形成“曲线和方程”的概念提供了实际模型。学生是学习的主体，所学的知识只有通过学生的再创造活动，才能纳入其认知结构中。通过对以前所学的知识进行有意识的引导探究活动，得出所要学的知识，并且学会类似的表达，使学生感受发现知识过程和容易接受所要学的知识，同时也提高学生对数学知识的表达能力和观察能力。

（二）通过合情推理，概括形成定义

引导学生根据前面分析曲线上的点与方程的解之间是否是一一对应关系，模仿前面的结论对“曲线的方程”和“方程的曲线”下这样的定义：

一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程f(x,y)0的实数解建立了如下的关系：

⑴曲线上的点的坐标都是这个方程的解；

⑵以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点，那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线。

（三）讨论归纳给出定义——运用反例揭示概念内涵

我们在给曲线方程下定义时，语言表述概念不失概念的严谨性，表述是否正确呢？如果概念中的两点少一点，是否也满足曲线上的点坐标与方程的解之间的一一对应关系呢？

设计目的：引导学生对得到的结论要给予更多的思考，帮助他们提高认识，更加深入探索是概念表述的实质内涵是什么。这也是概念教学中学生理解概念的要点，突出本节课的教学重点，给学生较多的时间互相探究问题和讨论解决问题，让学生对概念的丰富内涵有更深的认识。

（出示幻灯片，引导学生探究和思考相关问题）

◆请同学们探究下列两个图上曲线上的点与方程的解之间的对应问题：

如图1：（1）直线上的点的坐标是否都满足方程x-y=0解？

（2）以方程x-y=0解为点的坐标是都否直线上？

曲线上的点的坐标与方程的解之间是否满足一一对应关系？

图1 让学生探究得出结论是不符合的是关系（1）

如图2：（1）射线上的点的坐标是否都满足方程x-y=0解？

（2）以方程x-y=0解为点的坐标是都否射线上？

曲线上的点的坐标与方程的解之间是否满足一一对应关系？ 图让学生探究得出结论是不符合的是关系（2）

最后总结：对“曲线的方程”和“方程的曲线”下的定义两点关系的理解是： 关系（1）说的是曲线上的点的坐标与这个方程的解都对应。

关系（2）说的是以这个方程的解为坐标的点都与曲线上的点对应。

两点合来才说明是曲线上的点与方程的解之间是一一对应关系，二者缺一不可。设计目的：让学生通过探究以上来两个反例对“曲线上的点与方程的解之间是否满足一一对应关系”，从得出曲线上的点与方程的解之间不满足一一对应关系。使学生在探究的过程中提高对概念的理解。

（四）通过练习应用和强化概念的理解（出示幻灯片，给学生足够时间练习）

1.下列各题中，图所示的的曲线C的方程为所列方程，对吗？如果不对，是不符合关系（1）还是关系（2）？

2.解答下列问题，并说出各依据了“曲线的方程”和“方程的曲线”定义中的哪一个关系？

⑴点A（3，－4）、B（25，2）是否在方程x2y225的圆上？ ⑵已知方程为x2y225的圆过点C（7，m），求m的值。

设计目的：对曲线与方程的概念的准确理解是对今后求出准确的曲线方程有重要作用。因此通过练习加强学生应用和强化概念的理解，同时也让学生主动参与课堂教学，通过师生互动得到答案，了解学生理解概念的情况 用概念证明的例题讲解P35

例1：证明与两条坐标轴的距离的积是常数k(k0)的轨迹方程是xyk。

设计目的：这为下节课打下基础，证明对学生来说是一个难度较大的，也是个难点，课标不作为必须掌握的，本节课只是让学生初步了解，提高对概念的应用能力 分析：引导学生思考从概念的两点出发去找证明思路：（1）证明轨迹上的点的坐标都是方程的解；（2）证明方程的解为坐标的点都在曲线上。证明：（1）设M(x0,y0)是轨迹上的任意一点，则M与x轴的距离是y0，与y轴的距离是而x0，x0y0k 即(x0,y0)是方程xykk的解。

k（2）设点M1的坐标(x1,y1)是方程xyx1的解，则x1y1，即

x1y1k，y1分别是点M1与y轴的距离和x轴的距离，所以点M1到这两坐标轴的距离的积是常数k，点M1是曲线上的点。由（1）（2）可知，xyk是与两条坐标轴的距离的积是常数k(k0)的轨迹方程。

（五）小结归纳

本节课我们通过对实例的探究，理解了“曲线的方程”和“方程的曲线”的定义，探究定义时，要记住关系⑴、⑵两者缺一不可，其实质是曲线上的点的坐标与方程的解之间是一一对应关系。它们都是“曲线的方程”和“方程的曲线”的必要条件，两者都满足了“曲线的方程”和“方程的曲线”才具备充分性。曲线和方程之间一一对应关系的确立，把曲线与方程统一了起来，在此基础上，我们就可以更多地用代数的方法研究几何问题。让学生从知识内容和数学思想方法两个方面进行小结，使学生对本节课的知识有一个清晰的认识，对所用到的数学方法和涉及的数学思想也有体会，使学生能力得到培养。

（六）布置作业： 作业P37练习1,2 习题2.1 1

（七）板书设计

（有的借助多媒体显示）

2.1曲线与方程

1．曲线与方程的定义： 例1：

证明： 2.对关系（1）的理解

对关系（2）的理解

第四篇：高中数学曲线和方程教案(改)

各位老师，大家好！

我叫韩杨，今天我说课的课题是《曲线和方程》的第一课时。下面我将从教材分析、教学目标、教学重难点、教法和学法、教学过程和教学效果等六个方面加以分析和说明。

一、教材分析

《曲线和方程》是人教版高中数学第二册上册第七章第五小节的内容。本节课的主要内容是了解曲线上的点与方程的解之间的一一对应关系，学会求解曲线的方程，因为学生已有了用方程表示曲线的感性认识，特别是二元一次方程表示直线，现在要进一步研究平面内的曲线和含有两个变量的方程之间的关系，是由直观表象上升到抽象概念的过程。它既是对前一节线性规划知识的延伸和发展，也为下一节圆的方程打下了基础，起到了承上启下的作用。

二、教学目标

根据教学大纲的要求和高中学生的认知规律，以及新课标对教育目标的定位，我将本节课的教育目标确定为以下三点：

►知识与技能目标：初步领会“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念；学会根据已有的情景资料找规律，培养学生分析、判断、归纳的逻辑思维能力与抽象思维能力，同时强化“形”与“数”一致并相互转化的思想方法。►过程与方法目标

（1）通过直线方程的复习引入，加强学生对方程的解和曲线上的点的一一对应关系的直观认识；

（2）在形成曲线和方程概念的过程中，学生经历观察，分析，讨论等数学活动过程，探索出结论并能有条理的阐述自己的观点；

（3）能用所学知识理解新的概念，并能运用概念解决实际问题，从中体会转化化归的思想方法，提高思维品质，发展应用意识。

►情感态度与价值观目标；课堂中，通过对问题的自主探究，培养学生的独立意识和独立思考能力；在问题逐步深入的研究中唤起学生追求真理，乐于创新的情感需求，引发学生强烈的求知欲。

三、教学的重难点

根据数学新课标标准，我确定本节课的重点是“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念。为强化其认识，决定用集合相等的概念来解释曲线和方程的对应关系，并以此为工具来分析实例，这将有助于学生的理解，有助于学生通其法、知其理。

教学难点是怎样利用定义验证曲线是方程的曲线、方程是曲线的方程。因为学生在作 业中容易犯想当然的错误，通常在已知曲线建立方程的时候，不验证方程的解为坐标的点在曲线上，就断然得出所求的是曲线的方程。为了突破难点，本节课将通过例题让学生体会“二者”缺一不可的性质。四：教法和学法分析

数学是一门培养和发展人的思维的重要学科。因此，在教学中，不仅要让学生“知其然”，还要“知其所以然”，这也是我小学数学老师经常给我们说的一句话。新课标指出，学生是教学的主体，教师的教应从学生的认知规律出发，以学生活动为主线，在原有知识的基础上，构建新的知识体系。学是中心，会学是目的。本节课主要板书的形式，教给学生“动手画、动脑想、善分析、善总结”的研讨式学习方法，教给学生主动思考问题、主动解决问题的方法，这样才能使学生产生一种成就感，从而提高学习数学的兴趣。五：教学过程

对于45分钟的课堂，我做了以下时间安排: 课题引入约5分钟，讲授新课约20分钟，练习巩固约13分钟，课堂小结约5分钟，作业布置约2分钟。

因为还没有正式的成为老师，没有教学经验，对课堂的时间把握不是很准确，所以拟定了时间安排，希望对教学过程有所帮助，做到合理安排时间，下面我从六个方面介绍一下我的教学过程。

1、设置情境——提出课题

在本节课之前，学生已经学习过直线的各种方程，建立了二元一次方程与直线的对应关系。所以这节课首先让学生先画出方程xy0表示的直线，借助图形让学生再一次从直观上深刻体会方程的解与直线上的点一一对应关系。在巩固已有知识的前提下再提出：对任意曲线和二元方程是否都能建立这种等价关系呢？从而引出本节课的内容：曲线和方程。通过提问的方式有助于吸引学生的注意力，激发他们强烈的好奇心和求知欲，给学生搭建起一个探究和实践的平台． 2.讲授新课

通过前面已经学过的圆、抛物线、再推广到任意曲线，借助图形让学生体会到对任意曲线的解和方程的解都能建立一一对应关系，从而得出“曲线的方程”和“方程的曲线”的定义。

问题2：如果概念中的两点少一点，是否也满足曲线上的点与方程的解的一一对应关系呢？

通过提问，引导学生对得到的结论要给予更多的思考，帮助他们提高认识，这也是概念 教学中学生理解概念的要点，给学生较多的时间互相探究问题和讨论解决问题。

找一下不同时满足两个条件的反例，通过反例的讲解，让学生自己总结得出: 要想满足曲线上的点与方程的解的一一对应关系，概念中的两点缺一不可。在概念教学中，通过反例的反衬，常常起着帮助学生理解概念的作用。

3、练习巩固

找一些典型例题让学生进行练习，做题过程中，要求学生独立思考，抽点几位学生到黑板上写出自己的答题过程，其他学生也独立完成，完成后，再抽点几个同学上台进行检查，错误的地方加以修改。这样既能让学生积极参与，增强学生的注意力，也能对解答中容易出错的地方加深印象。

4、课堂小结

本节课通过对实例的研究，掌握了“曲线的方程”、“方程的曲线”的定义，在领会定义时，要牢记定义中（1）、（2）两点缺一不可，它们都是“曲线的方程”和“方程的曲线”的必要条件，两者都满足了，“曲线的方程”和“方程的曲线”才具备充分性。小结时才提出“必要性”与“充分性”的问题，使学生的认识再上一个台阶，另一点意在建立“解析几何”的基本思想，使之逐步转变为学生的思想。5.布置作业

书本习题7.5第2题、第3题、第5题、第6题。

作业要求：允许学生对不会做的题目可以不做，但要分析出不会做的症结所在，这样做的目的在于既可以避免抄袭现象的产生，也可以让学生自己分析出知识的薄弱点，由被动学习变成主动学习，增强学习兴趣。

6、板书设计

力求简明清楚，重点突出，加深学生对重点知识的理解和掌握，有利于提高教学效果。

曲线与方程

公式推导 例题 练习六．教学效果分析

本节课在引导学生探究的过程中，关注学生的认知心理过程，重视学生学习过程中的参与度、自信心以及独立思考能力。教学过程中注重层次性，对基础薄弱的学生多给他们创造机会，力争每一个层次的学生都能有机会得到积极的评价，因为这是让他们保持自信，爱好数学的最佳培养时机。

以上是我的教学设计，肯定存在很多不足的地方，但是我一定会积极改进，请各位老师批评指正！谢谢！

第五篇：曲线与方程的概念的教学设计

曲线与方程的概念的教学设计

一、教学分析 1． 教材地位

曲线的方程和方程的曲线是解析几何的最基本的概念，是坐标法的基础。2． 教学重点难点

重点：曲线的方程和方程的曲线的概念 难点：两者的辩证关系

二、学情分析

教学班为实验班，学生思维较为活跃，理解能力较强；但在概念细节的理解上比较不在意，容易造成对概念认识的漏洞。

三、教学目标

1． 理解曲线与方程的对应关系。

2． 通过对已知事例的比较，学生能从中学会判断曲线与方程的方法。3． 教学中学生能感受到曲线与方程的辩证关系。

四、教学手段：PPT

五、教学过程

问题引入：圆是如何定义的？并说出圆的标准方程 新课题：曲线与方程的概念

探究问题：求直角坐标系下一三象限的角分线方程，下列方法是否正确？

 方法1：设一三象限的角分线上的点为P（x,y）,根据角平分线的性质得：





因此一三象限角平分线的方程为

方法2：设一三象限的角分线上的点为P（x,y）,根据角平分线的性质得：



因此一三象限角平分线的方程为  方法3：设一三象限的角分线上的点为P（x,y）,根据角平分线的性质得：



因此一三象限角平分线的方程为

小结：

 方法3中两个集合的元素之间建立了一一对应关系，人们规定把具有这种关系的曲线C和方程f(x,y)=0，分别称为方程的曲线和曲线的方程

 一般我们所求的曲线（或轨迹）的方程都必须满足这样的条件

定义：

 一般地，在直角直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程 F(x, y)=0的实数解建立了如下的关系

 





（1）曲线上的点的坐标都是这个方程 的解

（2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点 曲线的方程常称为满足某种条件的动点的轨迹方程

例题辨析

 那么曲线C叫做方程F(x, y)=0的曲线；方程F(x, y)=0叫做曲线C的方程

例1

判断曲线与方程的关系

 （1）曲线：过点A(2，0)且与y轴的距离等于2的点的轨迹l；

方程：|x|=2



（2）曲线C：抛物线（如图）





方程：

（3）曲线C：等腰⊿ABC底边BC的中线（如图）



方程：x=0 例2 甲：“曲线C上的点的坐标都是方程 f(x，y)=0 的解”，乙：“曲线C是方程f(x，y)=0 的曲线”，则甲是乙的（）(A)充分非必要条件

(B)必要非充分条件

(C)充要条件

(D)非充分也非必要条件

例3 求证：与两条坐标轴的距离的积等于1的点的轨迹方程是|xy|=1

课堂练习

 题1 图示曲线的曲线方程是所列出的方程吗？为什么？



（1）曲线C：过点A(1，1)，B(-1，1)的折线





方程：(x-y)(x+y)=0

（2）曲线C：顶点在原点的抛物线





方程：

（3）曲线C：Ⅰ, Ⅱ象限内到x轴，y轴的距离乘积为1的点的轨迹





方程：

题2 已知三角形A（0，0）,B（2，0）,C（3，4）,求证：三角形内角A的平分

线方程是

思考：已知三角形A（0，0）,B（2，0）,C（3，4）,求到角A的两边的距离之比为1：

2的点的轨迹方程

课堂小结