第一篇:提公因式教案
提公因式法教学设计
——李芸领
教学目标:
1、使学生了解因式分解的意义,理解因式分解的概念及其与整式乘法的区别和联系。
2、使学生理解提公因式法并能熟练地运用提公因式法分解因式。
3、通过学生自行探求解题途径,培养学生观察、分析和创新能力,深化学生逆向思维能力。
教学重点:
因式分解的概念及提公因式法。
教学难点:
正确找出多项式各项的公因式及分解因式与整式乘法的区别和联系。
教学过程设计:
一、复习提问
乘法对加法的分配律。
二、新课
1.新课引入:用类比的方法引入课题。
在学习分数时,我们常常要进行约分与通分,因此常常要把一个数分解因数(即分解约数)。例如,把15分解成3×5,把42分解成2×3×7。
前面,我们学习的整式除法,除式都是单项式,如果除式是多项式该如何进行运算呢?这就要求我们能将除式和被除式进行分解,然后进行约分,就象分数约分一样。这样就引出了“怎样将一个多项式写成几个单项式或多项式的积的形式”这样一个问题,这就是我们今天将要学习的“因式分解”。所以,因式分解是继续学生整式运算的需要,是一个工具,我们一定要把这个工具先准备好,将来才能更好地学习后续知识。那么,到底要怎样进行因式分解呢?在前面我们学习了整式的乘法,几个整式相乘的结果可能是一个多项式,那么一个多项式如何化成几个整式乘积的形式呢?下面我们就开始这一章知识的学习。
2.因式分解的概念:
请学生每人写出一个单项式与多项式相乘、多项式与多项式相乘的例子,并计算出其结果。(老师按学生所说在黑板写出几个。)如:m(a+b+c)=ma+mb+mc 2xy(x-2xy+1)=2x2y-4x2y2+2xy(a+b)(a-b)=a2-b2(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn(x-5)(2-x)=-x2+7x-10 等等。
再请学生观察它们有什么共同的特点? 特点:左边:整式×整式;右边:是多项式。可见,整式乘以整式,只要有一个因式是多项式,其结果就是多项式。下面,我们把上面的式子反过来写: ma+mb+mc= m(a+b+c)2x2y-4x2y2+2xy =2xy(x-2xy+1)a2-b2 =(a+b)(a-b)am+an+bm+bn =(a+b)(m+n)-x2+7x-10=(x-5)(2-x)上面这些式子,从形式上看,就是把多项式变形为了一些整式的乘积的形式,我们就把这种多项式的变形叫做因式分解。
定义:把一个多项式化为几个整式的积的形式,叫做把这个多项式因式分解,也叫做把这个多项式分解因式。
从以上情况,我们发现,因式分解与整式是一个互逆的过程: 如:因式分解:ma+mb+mc=m(a+b+c)。整式乘法:m(a+b+c)=ma+mb+mc。
让学生说出因式分解与整式乘法的联系与区别。联系:同样是由几个相同的整式组成的等式。
区别:这几个相同的整式所在的位置不同,上式是因式分解;下式是整式乘法.两者是方向相反的恒等变形,二者是一个式子的不同表现形式,一个是多项式的表现形式,一个是两个或几个因式积的表现形式.
例
1、下列各式从左到右哪些是因式分解?(1)x2-x=x(x-1)(√)(2)a(a-b)=a2-ab(×)(3)(a+3)(a-3)=a2-9(×)(4)a2-2a+1=a(a-2)+1(×)(5)x2-4x+4=(x-2)2(√)
因式分解的方法有很多,下面我们学习一种常见的,也是最基本的因式分解方法。
3.提公因式法:
我们看多项式:ma+mb+mc 请学生指出它的特点:各项都含有一个公共的因式m,这时我们把因式m叫做这个多项式各项的公因式.
注意:公因式是各项都含有的公共的因式. 又如:a是多项式a2-a各项的公因式. ab是多项式5a2b-ab2各项的公因式.
2mn是多项式4m2np-2mn2q各项的公因式. 根据乘法的分配律,可得 m(a+b+c)=ma+mb+mc,逆变形,便得到多项式ma+mb+mc的因式分解形式 ma+mb+mc=m(a+b+c).
这说明,多项式ma+mb+mc各项都含有的公因式可以提到括号外面,将多项式ma+mb+mc写成m(a+b+c)的形式,这种分解因式的方法叫做提公因式法。
定义:一般地,如果多项式的各项有公因式,可以把这个公因式提到括号外面,将多项式写成因式乘积的形式,这种分解因式的方法叫做提公因式法。
显然,由定义可知,提公因式法的关键是如何正确地寻找公因式。让学生观察上面的公因式的特点,找出确定公因式的万法:
(1)公因式的系数应取各项系数的最大公约数:
(2)字母取各项的相同字母,而且各字母的指数取小次数。例
2、指出下列各多项式中各项的公因式:(1)ax+ay+a
(a)(2)3mx-6mx(3mx)(3)4a2+10ah
(2a)(4)x2y+xy2
(xy)(5)12xyz-9x2y2
(3xy)
例
3、把8a3b2-12ab3c分解因式。
分析:分两步:第一步,找出公因式;第二步,提公因式。先引导学生按确定公因式的方法找出多项式的公因式4ab2。解:8a3b2-12ab3c=4ab2·2a2-4ab2·3bc=4ab2(2a2-3bc). 说明:
(1)应特别强调确定公因式的两个条件以免漏取。
(2)开始讲提公因式法时,最好把公因式单独写出。①以显提醒;②强调提公因式;③强调因式分解。
例
4、把3x2-6xy+x 分解因式.
分析:先引导学生找出公因式x,强调多项式中x=x·1. 解:3x2-6xy+x =x·3x-x·6y+x·1 =x(3x-6y+1)说明:当多项式的某一项恰好是公因式时,这项应看成它与1的乘积,提公因式后剩下的应是1,1作为项的系数通常可以省略,但如果单独成一项时,它在因式分解时不能漏掉,这类题常常有些学生犯下面的错误,3x2-6xy+x=x(3x-6y),这一点可让学生利用恒等变形分析错误原因.还应提醒学生注意:提公因式后的因式的项数应与原多项式的项数一样,这样可以检查是否漏项。课堂练习一:
把下列各式分解因式:(l)2πR+2πr;(2)3x3+6x2;(3)21a2+7a;(4)15a2+25ab2;(5)x2y+xy2-xy.
例
5、把-4m3+16m2-26m分解因式.
分析:此多项式第一项的系数是负数,与前面两例不同,应先把它转化为前面的情形便可以因式分解了,所以应先提负号转化,然后再提公因式,提“-”号时,注意添括号法则。解:-4m3+16m2-26m =-(4m3-16m2+26m)=-2m(2m2-8m+13). 说明:通过此例可以看出应用提公因式法分解因式时,应先观察第一项系数的正负,负号时,运用添括号法则提出负号,此时一定要把每一项都变号;然后再提公因式。课堂练习二:
把下列各式分解因式:(1)-15ax-20a;(2)-25x8+125x16;(3)-a3b2+a2b3;(4)-x3y3-x2y2-xy;(5)-3ma3+6ma2-12ma;
三、小结
1.因式分解的意义及其概念
2.因式分解与整式乘法的联系与区别 3.公因式及提公因式法
4.提公因式法因式分解中应注意的问题
四、作业
教材 P.167中 1;P.170中习题15.4中的第1题。
五、板书设计 标题
1、因式分解定义
4、例题
2、公因式定义
5、小结
3、提公因式法
6、作业
第二篇:提公因式教案
因式分解教案
(提公因式二)
执教 许小明
二零一二年三月三日
●课
题
§2.2.2 提公因式法
(二)●教学目标
(一)教学知识点
进一步让学生掌握用提公因式法分解因式的方法.(二)能力训练要求
进一步培养学生的观察能力和类比推理能力.(三)情感与价值观要求
通过观察能合理地进行分解因式的推导,并能清晰地阐述自己的观点.●教学重点
能观察出公因式是多项式的情况,并能合理地进行分解因式.●教学难点
准确找出公因式,并能正确进行分解因式.●教学过程
提公因式法
(二)公因式是多项式形式,怎样运用提公因式法分解因式?
在下列各式等号右边的括号前填入“+”或“-”号,使等式成立:2 =___(b-a)2;(1)(a-b)=___(b-a);(2)(a-b)+-3;(4)(a-b)4 =___(b-a)4;-(3)(a-b)3 =___(b-a)+5;(6)(a+b)6 =___(b+a)6.(5)(a+b)5 =___(b+a)++•••••••2.(8)(a+b)2 =___(-a-b)+(7)(a+b)=___(-b-a);-做一做p50 填空
由此可知规律:(1)a-b 与-a+b互为相反数.(a-b)n=(b-a)n(n是偶数)(a-b)n=-(b-a)n(n是奇数)a+b与-a-b 互为相反数.(-a-b)n=(a+b)n(n是偶数)(-a-b)n=-(a+b)n(n是奇数)(2)a+b与b+a(a+b)n=(b+a)n互为相同数,(n是整数)
练习一1.在下列各式右边括号前添上适当的符号,使左边与右边相等.(1)a+2 = ___(2+a)+(2)-x+2y = ___(2y-x)+2(3)(m-a)2 = ___(a-m)+3-(4)(a-b)3 = ___(-a+b)(5)(x+y)(x-2y)= ___(y+x)(2y-x)-2.判断下列各式是否正确?(1)(y-x)2 =-(x-y)2否(2)(3+2x)3 =-(2x+3)3否(3)a-2b =-(-2b+a)(4)-a+b=-(a+b)否否(5)(a-b)(x-2y)=(b-a)(2y-x)对
例1.把a(x-3)+2b(x-3)分解因式.分析:多项式可看成a(x-3)与2b(x-3)两项。公因式为x-3解:a(x-3)+2b(x-3)=(x-3)(a+2b)例2.把a(x-y)+b(y-x)分解因式.分析:多项式可看成a(x-y)与+b(y-x)两项。其中X-y与y-x互为相反数,可将+b(y-x)变为-b(x-y),则a(x-y)与-b(x-y)公因式为x-y解:a(x-y)+b(y-x)=a(x-y)-b(x-y)=(x-y)(a-b)例3.把6(m-n)3-12(n-m)2分解因式.分析:其中(m-n)与(n-m)互为相反数.可将-12(n-m)2变为-12(m-n)2,则6(m-n)3与-12(m-n)2公因式为6(m-n)2解:6(m-n)3-12(n-m)2= 6(m-n)3-12(m-n)2=6(m-n)2(m-n-2)例4.把6(x+y)(y-x)2-9(x-y)3分解因式.解:6(x+y)(y-x)2-9(x-y)3= 6(x+y)(x-y)2-9(x-y)3= 3(x-y)2[2(x+y)-3(x-y)]= 3(x-y)2(2x+2y-3x+3y)= 3(x-y)2(-x+5y)=3(x-y)2(5y-x)
练习二分解因式:(1)a(xy)b(yx)(2)5x(a-b)2+10y(b-a)2(3)6(mn)12(nm)32(4)a(a+b)(a-b)-a(a+b)2(5)mn(m+n)-m(n+m)2(6)2(a-3)2-a+3(7)a(x-a)+b(a-x)-c(x-a)小结两个只有符号不同的多项式是否有关系,有如下判断方法:(1)当相同字母前的符号相同时,则两个多项式相等.如: a-b 和-b+a即a-b =-b+a(2)当相同字母前的符号均相反时,则两个多项式互为相反数.如: a-b 和b-a 即a-b =-(a-b)
第三篇:提公因式法教案
§1.2.2 提公因式法
(二)●教学目标
(一)教学知识点
进一步让学生掌握用提公因式法进行因式分解的方法.(二)能力训练要求
进一步培养学生的观察能力和类比推理能力.(三)情感与价值观要求
通过观察能合理地进行因式分解的推导,并能清晰地阐述自己的观点.●教学重点
能观察出公因式是多项式的情况,并能合理地进行因式分解.●教学难点
准确找出公因式,并能正确进行因式分解.●教学方法 类比学习法 ●教学过程
Ⅰ.创设问题情境,引入新课 [师]上节课我们学习了用提公因式法因式分解,知道了一个多项式可以分解为一个单项式与一个多项式的积的形式,那么是不是所有的多项式分解以后都是同样的结果呢?本节课我们就来揭开这个谜.Ⅱ.新课讲解
请在下列各式等号右边的括号前填入“+”或“-”号,使等式成立:(1)2-a=__________(a-2);(2)y-x=__________(x-y);(3)b+a=__________(a+b);(4)(b-a)2=__________(a-b)2;(5)-m-n=__________-(m+n);(6)-s2+t2=__________(s2-t2).一、例题讲解
[例1]下列多项中各项的公因式是什么? a(x-3)+2b(x-3)a(x-3)+2b(3-x)
(ac)(ab)2(ac)(ba)2
6(m-n)3-12(n-m)2.12xy2(xy)18x2y(xy)
分析:虽然a(x-y)与b(y-x)看上去没有公因式,但仔细观察可以看出(x-y)与(y-x)是互为相反数,如果把其中一个提取一个“-”号,则可以出现公因式,如y-x=-(x-y).(m-n)3与(n-m)2也是如此.[例2]把a(x-3)+2b(x-3)分解因式.分析:这个多项式整体而言可分为两大项,即a(x-3)与2b(x-3),每项中都含有(x-3),因此可以把(x-3)作为公因式提出来.解:a(x-3)+2b(x-3)=(x-3)(a+2b)[师]从分解因式的结果来看,是不是一个单项式与一个多项式的乘积呢? [生]不是,是两个多项式的乘积.[例3]把下列各式分解因式:(1)a(x-y)+b(y-x);(2)6(m-n)3-12(n-m)2(3)(ac)(ab)2(ac)(ba)2(4)12xy2(xy)18x2y(xy)
Ⅲ.课堂练习
把下列各式分解因式: 解:(1)x(a+b)+y(a+b)=(a+b)(x+y);(2)3a(x-y)-(x-y)=(x-y)(3a-1);(3)6(p+q)2-12(q+p)=6(p+q)2-12(p+q)=6(p+q)(p+q-2);(4)a(m-2)+b(2-m)=a(m-2)-b(m-2)=(m-2)(a-b);(5)2(y-x)2+3(x-y)=2[-(x-y)]2+3(x-y)=2(x-y)2+3(x-y)=(x-y)(2x-2y+3);(6)mn(m-n)-m(n-m)2 =mn(m-n)-m(m-n)2 =m(m-n)[n-(m-n)] =m(m-n)(2n-m).Ⅳ.课时小结
本节课进一步学习了用提公因式法分解因式,公因式可以是单项式,也可以是多项式,要认真观察多项式的结构特点,从而能准确熟练地进行多项式的分解因式.Ⅴ.课后作业习题1.2 活动与探究 把(a+b-c)(a-b+c)+(b-a+c)·(b-a-c)分解因式.解:原式=(a+b-c)(a-b+c)-(b-a+c)(a-b+c)=(a-b+c)[(a+b-c)-(b-a+c)] =(a-b+c)(a+b-c-b+a-c)=(a-b+c)(2a-2c)=2(a-b+c)(a-c)教学后记:
第四篇:提公因式法教案
15.4
15.4.1因式分解提公因式法
教学目标:
1、了解因式分解的意义,了解因式分解和整式乘法是整式的两种相反方向的变形。
2、会确定多项式中各项的公因式,会用提取公因式法分解
多项式的因式。
3、会利用因式分解进行简便计算。
4、通过与质因数分解的类比,让学生感悟数学中数与式的共同点,体验数学的类比思想;通过对公因式是多项式时的因式分解的学习,培养换元的意识。
教学重难点
教学重点:因式分解的概念及提取公因式法。
教学难点:多项式中公因式的确定和当公因式是多项式时的因式分解。
教学准备:多媒体课件。
教学设计:
(一)新课引入:
1、问题:把15和18分解质因数。
2、回忆:运用所学知识填空
(3)2ab(a2
反之:(1)x2(2)x2-1=
(3)2a³b+2ab²
观察以下式子的特点:
(1)15=3×5
(2)18=2×3²
(3)X²+X=X(X+1)
(4)X²-1=(X+1)(X-1)
(5)2a³b+2ab²+2ab=2ab(a²+b+1)
由分解质因数类比到分解因式。
(二)新知学习:
1、分解因式的概念,与整式乘法的关系。
巩固概念:判断下列各式从左到右哪些是因式分解?
(1)m(a+b)=ma+mb
(2)2a+4=2(a+2)
(3)4a2-6ab2+2a=2a(2a-3b2+1)
(4)a2-2a+1=a(a-2)+1
(5)yyy10(10)100xxx22、确定公因式。
问题:ma+mb+mc 这个多项式有什么特征? 引入公因式
概念。
例1:找出6x³y5-3x²y4的公因式
归纳找公因式的办法。
课堂练习一:找出下列各多项式中的公因式填在后面括号内。
(1)3mx-6nx2()
(2)x4y3+x3y4()
(3)12x2yz-9x2y2()
(4)5a2-15a3+25a()
3、用提公因式法分解因式。
m(a+b+c)=ma+mb+mc 可得ma+mb+mc=m(a+b+c),观察构成乘积的两个因式分别是怎样形成的?
m是这个多项式的公因式,而另一个因式是原多项式除以公因式所得的商式。像这种分解因式的方法叫做提公因式法。
想一想:提公因式法的理论依据是什么?
4、知识运用:
例2:把8a3b2+12ab3c分解因式
解:(略).例3:把-24x³-12x²+28x分解因式。
解:(略)
判断下列各式分解因式是否正确?如果不对,请加以改正。
(1)2a2+4a+2=2(a2+2a)
(2)3x2y3-6xy2z=3xy(xy2-2yz)
课堂练习二:把下列各式分解因式。
(1)x2+x6(2)12xyz-9x2y2
(3)-6x2-18xy+3x(4)2an+2-4an+1-6an-
1例4:把3a(b+c)-3(b+c)分解因式
判断正误:我班一位同学在昨天预习了提公因式法分解因式后做了两道练习题,请你帮他检查一下他的解题过程是否正确。如不正确,应怎样改正。
(1)2x(x+y)2-(x+y)3
解:原式=(x+y)2[2x-(x+y)]
=(x+y)2(2x-x-y)
(2)(y+2)(y+1)-3(y+2)
解:原式=(y+2)(y+1-3)
=(y+2)(y-2)
=y2-4
课堂练习三:将下列各式分解因式。
(1)p(a2+b2)-q(a2+b2)
(2)2a²(y-z)2-4a(z-y)2
例5:先分解因式,再求值。
4a2(x+7)-3(x+7),其中a=-5,x=3.解(略)
5、拓展与提高:
(1)、20112+2011能被2012整除吗?
(2)、已知2x-y=8,xy=2,求多项式2x4y3-x3y4的值。
(3)、利用因式分解进行计算:23.1×24-46.2×7
(4)、将2a(a+b-c)-3b(a+b-c)+5c(c-a-b)分解因式。
9796229998
(5)、计算:
课堂小结:
⑴什么叫因式分解?
⑵确定公因式的方法:
⑶提公因式法分解因式的步骤: ⑷提公因式法分解因式的步骤: 课后作业:课本P170习题15.4 : 题
课后反思:
第1题;第4题的(1);第6
第五篇:提公因式法教案
提供因法因式分解
教学流程:
一、导入及板书课题:
复习巩固整式的乘法。板书课题:提公因式法因式分解
二、学习目标:
1.了解因式分解的概念;
2.理解公因式的概念,会用提公因式法对多项式进行因式分解。
三、教学过程:
(一)自学指导:
1、自己认真看课本第42页到第43页的内容;
2、时间(5分钟)
3、自学方法:结合课本例题和云图中问题,独立思考,标出看不懂的地方,可以和同桌小声交流试一试的图形意思
4.你能用吗提公因式法对多项式进行因式分解吗?
(二)自学检测(8分钟)
1、找四名学生书写两数和与两数差的公式
2、挑各组学生进行板演。
3、兵教兵(2分钟)
要求:各小组组长要切实负起责任,组长要落实好组员的学习情况,组长也讲不清的可以问教师。
4、教师点拨(2分钟)
①、公因式的系数是各项系数的最大公因数;
②、字母是各项中相同的字母,指数取各字母指数最低的;
③、要善于发现较隐蔽的公因式,如(X-Y)与(Y-X)是一对相反数,但它们可以变为相同的因式。
课堂作业:活页试题
课后作业: 课本45页练习题第2题