五年级数学奥数基础课程教案(30讲)

第一篇：五年级数学奥数基础课程教案(30讲)

小学奥数基础教程（五年级）

小学奥数基础教程(五年级)

第1讲数字迷

（一）第2讲 数字谜(二)第3讲 定义新运算(一)第4讲 定义新运算(二)第5讲 数的整除性(一)第6讲 数的整除性(二)第7讲 奇偶性

（一）第8讲 奇偶性

（二）第9讲 奇偶性

（三）第10讲 质数与合数 第11讲 分解质因数

第12讲 最大公约数与最小公倍数

（一）第13讲最大公约数与最小公倍数

（二）第14讲 余数问题

第15讲 孙子问题与逐步约束法 第16讲 巧算24 第17讲 位置原则 第18讲 最大最小

第19讲 图形的分割与拼接 第20讲 多边形的面积 第21讲 用等量代换求面积 第22 用割补法求面积 第23讲 列方程解应用题 第24讲 行程问题

（一）第25讲 行程问题

（二）第26讲 行程问题

（三）第27讲 逻辑问题

（一）第28讲 逻辑问题

（二）第29讲 抽屉原理(一)第30讲 抽屉原理(二)

第1讲 数字谜

（一）数字谜的内容在三年级和四年级都讲过，同学们已经掌握了不少方法。例如用猜想、拼凑、排除、枚举等方法解题。数字谜涉及的知识多，思考性强，所以很能锻炼我们的思维。

这两讲除了复习巩固学过的知识外，还要讲述数字谜的代数解法及小数的除法竖式问题。

例1 把+，-，×，÷四个运算符号，分别填入下面等式的○内，使等式成立（每个运算符号只准使用一次）：（5○13○7）○（17○9）=12。

分析与解：因为运算结果是整数，在四则运算中只有除法运算可能出现分数，所以应首先确定“÷”的位置。

当“÷”在第一个○内时，因为除数是13，要想得到整数，只有第二个括号内是13的倍数，此时只有下面一种填法，不合题意。

（5÷13-7）×（17+9）。

当“÷”在第二或第四个○内时，运算结果不可能是整数。

当“÷”在第三个○内时，可得下面的填法：（5+13×7）÷（17-9）=12。

例2 将1～9这九个数字分别填入下式中的□中，使等式成立：□□□×□□=□□×□□=5568。

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6-23

解：竖式中除数与8的积是三位数，而与商的百位和个位的积都是四位

数，所以x=112，被除数为989×112=110768。右上式为所求竖式。

代数解法虽然简洁，但只适用于一些特殊情况，大多数情况还要用传统的方法。

例4 在□内填入适当数字，使下页左上方的小数除法竖式成立。

分析与解：先将小数除法竖式化为我们较熟悉的整数除法竖式（见下页右上方竖式）。可以看出，除数与商的后三位数的乘积是1000=2×5的倍数，即除数和商的后三位数一个是2=8的倍数，另一个是5=125的奇数倍，因为除数是两位数，所以除数是8的倍数。又由竖式特点知a=9，从而除数应是96

333的两位数的约数，可能的取值有96，48，32，24和16。因为，c=5，5与除数的乘积仍是两位数，所以除数只能是16，进而推知b=6。因为商的后三位数是125的奇数倍，只能是125，375，625和875之一，经试验只能取375。至此，已求出除数为16，商为6.375，故被除数为6.375×16=102。右式即为所求竖式。

求解此类小数除法竖式题，应先将其化为整数除法竖式，如果被除数的末尾出现n个0，则在除数和商中，一个含有因子2（不含因子5），另一个含有因子5（不含因子2），以此为突破口即可求解。

例5 一个五位数被一个一位数除得到下页的竖式（1），这个五位数被另一个一位数除得到下页的竖式（2），求这个五位数。n

n

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根据以上的规定，求10△6 的值。

3，x>=2，求x的值。

分析与解：按照定义的运算，<1，2，3，x>=2，x=6。

由上面三例看出，定义新运算通常是用某些特殊符号表示特定的运算意义。新运算使用的符号应避免使用课本上明确定义或已经约定俗成的符号，如+，-，×，÷，＜，＞等，以防止发生混淆，而表示新运算的运算意义部分，应使用通常的四则运算符号。如例1中，a*b=a×b-a-b，新运算符号使用“*”，而等号右边新运算的意义则用四则运算来表示。

分析与解：按新运算的定义，符号“⊙”表示求两个数的平均数。

四则运算中的意义相同，即先进行小括号中的运算，再进行小括号外面的运算。

按通常的规则从左至右进行运算。

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7.对于任意的两个数P，Q，规定 P☆Q=（P×Q）÷4。例如：2☆8=（2×8）÷4。已知x☆（8☆5）=10，求x的值。

8.定义： a△b=ab-3b，a 9.已知： 2 4 求（4

第4讲 定义新运算

（二）例1 已知a※b=（a+b）-（a-b），求9※2的值。

分析与解：这是一道很简单的题，把a=9，b=2代入新运算式，即可算出结果。但是，根据四则运算的法则，我们可以先把新运算“※”化简，再求结果。

a※b=（a+b）-（a-b）

=a+b-a+b=2b。

所以，9※2=2×2=4。

由例1可知，如果定义的新运算是用四则混合运算表示，那么在符合四则混合运算的性质、法则的前提下，不妨先化简表示式。这样，可以既减少运算量，又提高运算的准确度。

例2 定义运算：a⊙b=3a+5ab+kb，其中a，b为任意两个数，k为常数。比如：2⊙7=3×2+5×2×7+7k。

（1）已知5⊙2=73。问：8⊙5与5⊙8的值相等吗？

（2）当k取什么值时，对于任何不同的数a，b，都有a⊙b=b⊙a，即新运算“⊙”符合交换律？

分析与解：（1）首先应当确定新运算中的常数k。因为5⊙2=3×5+5×5×2+k×2

=65+2k，所以由已知 5⊙2=73，得65+2k=73，求得k=（73-65）÷2=4。定义的新运算是：a⊙b=3a+5ab+4b。

8⊙5=3×8+5×8×5+4×5=244，5⊙8=3×5+5×5×8+4×8=247。

因为244≠247，所以8⊙5≠5⊙8。

（2）要使a⊙b=b⊙a，由新运算的定义，有

3a+5ab+kb=3b+5ab+ka，3a+kb-3b-ka=0，3×(a-b)-k(a-b)=0，(3-k)(a-b)=0。

对于两个任意数a，b，要使上式成立，必有3-k=0，即k=3。

当新运算是a⊙b=3a+5ab+3b时，具有交换律，即 a⊙b=b⊙a。

例3 对两个自然数a和b，它们的最小公倍数与最大公约数的差，定义为a☆b，即a☆b=[a，b]-（a，b）。

比如，10和14的最小公倍数是70，最大公约数是2，那么10☆14=70-2=68。

（1）求12☆21的值；

（2）已知6☆x=27，求x的值。

分析与解：（1）12☆21=[12，21]-（12，21）=84-3=81；

（2）因为定义的新运算“☆”没有四则运算表达式，所以不能直接把数代入表达式求x，只能用推理的方法。3=2×3×4，3）的值。5=4×5×6×7×8，„„

4）÷（3b=4a-b/a。计算：（4△3）△（2b）。

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因为6☆x=[6，x]-（6，x）=27，而6与x的最大公约数（6，x）只能是1，2，3，6。所以6与x的最小公倍数[6，x]只能是28，29，30，33。这四个数中只有 30是 6的倍数，所以 6与x的最小公倍数和最大公约数分别是30和3。因为a×b=[a，b]×（a，b），所以6×x=30×3，由此求得x=15。

例4 a表示顺时针旋转90°，b表示顺时针旋转180°，c表示逆时针旋转90°，d表示不转。定义运算“◎”表示“接着做”。求：a◎b；b◎c；c◎a。

分析与解： a◎b表示先顺时针转90°，再顺时针转180°，等于顺时针转270°，也等于逆时针转90°，所以a◎b=c。

b◎c表示先顺时针转180°，再逆时针转90°，等于顺时针转90°，所以b◎c=a。

c◎a表示先逆时针转90°，再顺时针转90°，等于没转动，所以c◎a=d。

对于a，b，c，d四种运动，可以做一个关于“◎”的运算表（见下表）。比如c◎b，由c所在的行和b所在的列，交叉处a就是c◎b的结果。因为运算◎符合交换律，所以由c所在的列和b所在的行也可得到相同的结果。

例5 对任意的数a，b，定义：f（a）=2a+1，g（b）=b×b。

（1）求f（5）-g（3）的值；

（2）求f（g（2））+g（f（2））的值；

（3）已知f（x+1）=21，求x的值。

解：（1）f（5）-g（3）=（2×5+1）-（3×3）=2；

（2）f（g（2））+g（f（2））

=f（2×2）+g（2×2+1）

=f（4）+g（5）=（2×4+1）+（5×5）=34；

（3）f（x+1）=2×（x+1）+1=2x+3，由f（x+1）=21，知2x+3=21，解得x=9。

练习4

2.定义两种运算“※”和“△”如下：

a※b表示a，b两数中较小的数的3倍，a△b表示a，b两数中较大的数的2.5倍。

比如：4※5=4×3=12，4△5=5×2.5=12.5。

计算：[(0.6※0.5)+(0.3△0.8)]÷[(1.2※0.7)-(0.64△0.2)]。

4.设m，n是任意的自然数，A是常数，定义运算m⊙n=（A×m-n）÷4，并且2⊙3=0.75。试确定常数A，并计算：（5⊙7）×（2⊙2）÷（3⊙2）。

5.用a，b，c表示一个等边三角形围绕它的中心在同一平面内所作的旋转运动：

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a表示顺时针旋转240°，b表示顺时针旋转120°，c表示不旋转。

运算“∨”表示“接着做”。试以a，b，c为运算对象做运算表。

6.对任意两个不同的自然数a和b，较大的数除以较小的数，余数记为a

（1）计算：1998

（2）已知112000，（519）

19，5

（195）；

x=4，x小于20，求x的值。

b。比如7

3=1，5

29=4，4-10

因为能被11整除的五位数很多，而各数位上的数字之和等于43的五位数较少，所以应选择①为突破口。有两种情况：

（1）五位数由一个7和四个9组成；

（2）五位数由两个8和三个9组成。

上面两种情况中的五位数能不能被11整除？9，8，7如何摆放呢？根据被11整除的数的特征，如果奇数位数字之和是27，偶数位数字之和是16，那么差是11，就能被11整除。满足这些要求的五位数是： 97999，99979，98989。

例5 能不能将从1到10的各数排成一行，使得任意相邻的两个数之和都能被3整除？

分析与解：10个数排成一行的方法很多，逐一试验显然行不通。我们采用反证法。

假设题目的要求能实现。那么由题意，从前到后每两个数一组共有5组，每组的两数之和都能被3整除，推知1～10的和也应能被3整除。实际上，1～10的和等于55，不能被3整除。这个矛盾说明假设不成立，所以题目的要求不能实现。

练习5

1.已知4205和2813都是29的倍数，1392和7018是不是29的倍数？

2.如果两个数的和是64，这两个数的积可以整除4875，那么这两个数的差是多少？

3.173□是个四位数。数学老师说：“我在这个□中先后填入3个数字，所得到的 3个四位数，依次可以被9，11，6整除。”问：数学老师先后填入的3个数字之和是多少？

班有多少名学生？

6.能不能将从1到9的各数排成一行，使得任意相邻的两个数之和都能被3整除？

第6讲 数的整除性

（二）我们先看一个特殊的数——1001。因为1001=7×11×13，所以凡是1001的整数倍的数都能被7，11和13整除。

能被7，11和13整除的数的特征：

如果数A的末三位数字所表示的数与末三位数以前的数字所表示的数之差（大数减小数）能被7或11或13整除，那么数A能被7或11或13整除。否则，数A就不能被7或11或13整除。

例2 判断306371能否被7整除？能否被13整除？

解：因为371-306=65，65是13的倍数，不是7的倍数，所以306371能被13整除，不能被7整除。

例3 已知10□8971能被13整除，求□中的数。

解：10□8-971=1008-971+□0=37+□0。

上式的个位数是7，若是13的倍数，则必是13的9倍，由13×9-37=80，推知□中的数是8。

2位数进行改写。根据十进制数的意义，有

因为100010001各数位上数字之和是3，能够被3整除，所以这个12位数能被3整除。

根据能被7（或13）整除的数的特征，100010001与（100010-1=）100009要么都能被7（或13）整除，要么都不能被7（或13）整除。

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同理，100009与（100-9=）91要么都能被7（或13）整除，要么都不能被7（或13）整除。

因为91=7×13，所以100010001能被7和13整除，推知这个12位数能被7和13整除。

7.九位数8765□4321能被21整除，求中间□中的数。

8.在下列各数中，哪些能被27整除？哪些能被37整除？

1861026，1884924，2175683，2560437，11159126，131313555，266117778。

9.在下列各数中，哪些能被19整除？哪些能被79整除？

55119，55537，62899，71258，186637，872231，5381717。

第7讲 奇偶性

（一）整数按照能不能被2整除，可以分为两类：（1）能被2整除的自然数叫偶数，例如

0，2，4，6，8，10，12，14，16，„（2）不能被2整除的自然数叫奇数，例如

1，3，5，7，9，11，13，15，17，„

整数由小到大排列，奇、偶数是交替出现的。相邻两个整数大小相差1，所以肯定是一奇一偶。因为偶数能被2整除，所以偶数可以表示为2n的形式，其中n为整数；因为奇数不能被2整除，所以奇数可以表示为2n+1的形式，其中n为整数。每一个整数不是奇数就是偶数，这个属性叫做这个数的奇偶性。奇偶数有如下一些重要性质：

（1）两个奇偶性相同的数的和（或差）一定是偶数；两个奇偶性不同的数的和（或差）一定是奇数。反过来，两个数的和（或差）是偶数，这两个数奇偶性相同；两个数的和（或差）是奇数，这两个数肯定是一奇一偶。

（2）奇数个奇数的和（或差）是奇数；偶数个奇数的和（或差）是偶数。任意多个偶数的和（或差）是偶数。

（3）两个奇数的乘积是奇数，一个奇数与一个偶数的乘积一定是偶数。

（4）若干个数相乘，如果其中有一个因数是偶数，那么积必是偶数；如果所有因数都是奇数，那么积就是奇数。反过来，如果若干个数的积是偶数，那么因数中至少有一个是偶数；如果若干个数的积是奇数，那么所有的因数都是奇数。

（5）在能整除的情况下，偶数除以奇数得偶数；偶数除以偶数可能得偶数，也可能得奇数。奇数肯定不能被偶数整除。

（6）偶数的平方能被4整除；奇数的平方除以4的余数是1。

因为（2n）=42=4×n，所以（2n）能被4整除；

因为（2n+1）=4n+4n+1=4×（n+n）+1，所以（2n+1）除以4余1。

（7）相邻两个自然数的乘积必是偶数，其和必是奇数。

（8）如果一个整数有奇数个约数（包括1和这个数本身），那么这个数一定是平方数；如果一个整数有偶数个约数，那么这个数一定不是平方数。

整数的奇偶性能解决许多与奇偶性有关的问题。有些问题表面看来似乎与奇偶性一点关系也没有，例如染色问题、覆盖问题、棋类问题等，但只要想办法编上号码，成为整数问题，便可利用整数的奇偶性加以解决。

例1下式的和是奇数还是偶数？

1+2+3+4+„+1997+1998。

分析与解：本题当然可以先求出算式的和，再来判断这个和的奇偶性。但如果能不计算，直接分析判断出和的奇偶性，那么解法将更加简洁。根据奇偶数的性质（2），和的奇偶性只与加数中奇数的个数有关，与加数中的偶数无关。1～1998中共有999个奇数，999是奇数，奇数个奇数之和是奇数。所以，本题要求的和是奇数。

例2 能否在下式的□中填上“+”或“-”，使得等式成立？

1□2□3□4□5□6□7□8□9=66。

分析与解：等号左端共有9个数参加加、减运算，其中有5个奇数，4个偶数。5个奇数的和或差仍是奇数，4个偶数的和或差仍是偶数，因为“奇数+偶数=奇数”，所以题目的要求做不到。2

2222n2

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数的和能不能等于99999？

分析与解：假设这两个五位数的和等于99999，则有下式：

例1用0～9这十个数码组成五个两位数，每个数字只用一次，要求它们的和是奇数，那么这五个两位数的和最大是多

要使组成的五个两位数的和最大，应该把十个数码中最大的五个分别放在十位上，即十位上放5，6，7，8，9，而个位上放0，1，2，3，4。根据奇数的定义，这样组成的五个两位数中，有两个是奇数，即个位是1和3的两个两位数。

要满足这五个两位数的和是奇数，根据奇、偶数相加减的运算规律，这五个数中应有奇数个奇数。现有两个奇数，即个位数是1，3的两位数。所以五个数的和是偶数，不合要求，必须调整。调整的方法是交换十位与个位上的数字。要使五个数有奇数个奇数，并且五个数的和尽可能最大，只要将个位和十位上的一个奇数与一个偶数交换，并且交换的两个的数码之差尽可能小，由此得到交换5与4的位置。满足题设要求的五个两位数的十位上的数码是4，6，7，8，9，个位上的数码是0，1，2，3，5，所求这五个数的和是（4+6+7+8+9）×10+（0+1+2+3+5）=351。

例2 7只杯子全部杯口朝上放在桌子上，每次翻转其中的2只杯子。能否经过若干次翻转，使得7只杯子全部杯口朝下？

分析与解：盲目的试验，可能总也找不到要领。如果我们分析一下每次翻转后杯口朝上的杯子数的奇偶性，就会发现问题所在。一开始杯口朝上的杯子有7只，是奇数；第一次翻转后，杯口朝上的变为5只，仍是奇数；再继续翻转，因为只能翻转两只杯子，即只有两只杯子改变了上、下方向，所以杯口朝上的杯子数仍是奇数。类似的分析可以得到，无论翻转多少次，杯口朝上的杯子数永远是奇数，不可能是偶数0。也就是说，不可能使7只杯子全部杯口朝下。

例3 有m（m≥2）只杯子全部口朝下放在桌子上，每次翻转其中的（m-1）只杯子。经过若干次翻转，能使杯口全部朝上吗？

分析与解：当m是奇数时，（m-1）是偶数。由例2的分析知，如果每次翻转偶数只杯子，那么无论经过多少次翻转，杯口朝上（下）的杯子数的奇偶性不会改变。一开始m只杯子全部杯口朝下，即杯口朝下的杯子数是奇数，每次翻转（m-1）即偶数只杯子。无论翻转多少次，杯口朝下的杯子数永远是奇数，不可能全部朝上。

当m是偶数时，（m-1）是奇数。为了直观，我们先从m= 4的情形入手观察，在下表中用∪表示杯口朝上，∩表示杯口朝下，每次翻转3只杯子，保持不动的杯子用*号标记。翻转情况如下：

由上表看出，只要翻转4次，并且依次保持第1，2，3，4只杯子不动，就可达到要求。一般来说，对于一只杯子，要改变它的初始状态，需要翻奇数次。对于m只杯子，当m是偶数时，因为（m-1）是奇数，所以每只杯子翻转（m-1）次，就可使全部杯子改变状态。要做到这一点，只需要翻转m次，并且依次保持第1，2，„，m只杯子不动，这样在m次翻转中，每只杯子都有一次没有翻转，即都翻转了（m-1）次。

综上所述：m只杯子放在桌子上，每次翻转（m-1）只。当m是奇数时，无论翻转多少次，m只杯子不可能全部改变初始状态；当m是偶数时，翻转m次，可以使m只杯子全部改变初始状态。

例4 一本论文集编入15篇文章，这些文章排版后的页数分别是1，2，3，„，15页。如果将这些文章按某种次序装订成册，并统一编上页码，那么每篇文章的第一面是奇数页码的最多有几篇？

分析与解：可以先研究排版一本书，各篇文章页数是奇数或偶数时的规律。一篇有奇数页的文章，它的第一面和最后一面所在的页码的奇偶性是相同的，即排版奇数页的文章，第一面是奇数页码，最后一面也是奇数页码，而接下去的另一篇文章的第一面是排在偶数页码上。一篇有偶数页的文章，它的第一面和最后一面所在的页码的奇偶性是相异的，即排版偶数页的文章，第一面是奇（偶）数页码，最后一面应是偶（奇）数页码，而紧接的另一篇文章的第一面又是排在奇（偶）数页码上。

以上说明本题的解答主要是根据奇偶特点来处理。

题目要求第一面排在奇数页码的文章尽量多。首先考虑有偶数页的文章，只要这样的第一篇文章的第一面排在奇数页码上（如第1页），那么接着每一篇有偶数页的文章都会是第一面排在奇数页码上，共有7篇这样的文章。然后考虑有奇数页的文章，第一篇的第一面排在奇数页码上，第二篇的第一面就会排在偶数页码上，第三篇的第一面排在奇数页码上，如此等等。在8篇奇数页的文章中，有4篇的第一面排在奇数页码上。因此最多有7+4=11（篇）文章的第一面排在奇数页码上。

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例5 有大、小两个盒子，其中大盒内装1001枚白棋子和1000枚同样大小的黑棋子，小盒内装有足够多的黑棋子。阿花每次从大盒内随意摸出两枚棋子，若摸出的两枚棋子同色，则从小盒内取一枚黑棋子放入大盒内；若摸出的两枚棋子异色，则把其中白棋子放回大盒内。问：从大盒内摸了1999次棋子后，大盒内还剩几枚棋子？它们都是什么颜色？

分析与解：大盒内装有黑、白棋子共1001+1000=2001（枚）。

因为每次都是摸出2枚棋子放回1枚棋子，所以每摸一次少1枚棋子，摸了1999次后，还剩2001-1999=2（枚）棋子。

从大盒内每次摸2枚棋子有以下两种情况：

（1）所摸到的两枚棋子是同颜色的。此时从小盒内取一枚黑棋子放入大盒内。当所摸两枚棋子同是黑色，这时大盒内少了一枚黑棋子；当所摸两枚棋子同是白色，这时大盒内多了一枚黑棋子。

（2）所摸到的两枚棋子是不同颜色的，即一黑一白。这时要把拿出的白棋子放回到大盒，大盒内少了一枚黑棋子。

综合（1）（2），每摸一次，大盒内的黑棋子总数不是少一枚就是多一枚，即改变了黑棋子数的奇偶性。原来大盒内有1000枚即偶数枚黑棋子，摸了1999次，即改变了1999次奇偶性后，还剩奇数枚黑棋子。因为大盒内只剩下2枚棋子，所以最后剩下的两枚棋子是一黑一白。

例6 一串数排成一行：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，„

到这串数的第1000个数为止，共有多少个偶数？

分析与解：首先分析这串数的组成规律和奇偶数情况。

1+1=2，2+3=5，3+5=8，5+8=13，„

这串数的规律是，从第三项起，每一个数等于前两个数的和。根据奇偶数的加法性质，可以得出这串数的奇偶性：

奇，奇，偶，奇，奇，偶，奇，奇，偶，„„

容易看出，这串数是按“奇，奇，偶”每三个数为一组周期变化的。1000÷3=333„„1，这串数的前1000个数有333组又1个数，每组的三个数中有1个偶数，并且是第3个数，所以这串数到第1000个数时，共有333个偶数。

练习8

1.在11，111，1111，11111，„这些数中，任何一个数都不会是某一个自然数的平方。这样说对吗？

2.一本书由17个故事组成，各个故事的篇幅分别是1，2，3，„，17页。这17个故事有各种编排法，但无论怎样编排，故事正文都从第1页开始，以后每一个故事都从新一页码开始。如果要求安排在奇数页码开始的故事尽量少，那么最少有多少个故事是从奇数页码开始的？

3.桌子上放着6只杯子，其中3只杯口朝上，3只杯口朝下。如果每次翻转5只杯子，那么至少翻转多少次，才能使6只杯子都杯口朝上？

4.70个数排成一行，除了两头的两个数以外，每个数的3倍都恰好等于它两边的两个数的和，这一行数的最左边的几个数是这样的：0，1，3，8，21，„问：最右边的一个数是奇数还是偶数？

5.学校组织运动会，小明领回自己的运动员号码后，小玲问他：“今天发放的运动员号码加起来是奇数还是偶数？”小明说：“除开我的号码，把今天发的其它号码加起来，再减去我的号码，恰好是100。”今天发放的运动员号码加起来，到底是奇数还是偶数？

6.在黑板上写出三个整数，然后擦去一个换成所剩两数之和，这样继续操作下去，最后得到88，66，99。问：原来写的三个整数能否是1，3，5？

7.将888件礼品分给若干个小朋友。问：分到奇数件礼品的小朋友是奇数还是偶数？

第9讲 奇偶性

（三）利用奇、偶数的性质，上两讲已经解决了许多有关奇偶性的问题。本讲将继续利用奇偶性研究一些表面上似乎与奇偶性无关的问题。

例1 在7×7的正方形的方格表中，以左上角与右下角所连对角线为轴对称地放置棋子，要求每个方格中放置不多于1枚棋子，且每行正好放3枚棋子，则在这条对角线上的格子里至少放有一枚棋子，这是为什么？

分析与解：题目说在指定的这条对角线上的格子里必定至少放有一枚棋子，假设这个说法不对，即对角线上没放棋子。如下图所示，因为题目要求摆放的棋子以MN为对称轴，所以对于MN左下方的任意一格A，总有MN右上方的一格A＇，A与A＇关于MN对称，所以A与A＇要么都放有棋子，要么都没放棋子。由此推知方格表中放置棋子的总枚数应是偶数。而题设每行放3枚棋子，7行共放棋子 3×7=21（枚），21是奇数，与上面的推论矛盾。所以假设不成立，即在指定的对角线上的格子中必定至少有一枚棋子。

小学奥数基础教程（五年级）

分析与解：马走“日”字，在中国象棋盘上走有什么规律呢？

为方便研究规律，如下图所示，先在棋盘各交点处相间标上○和●，图中共有22个○和23个●。因为马走“日”字，每步只能从○跳到●，或由●跳到○，所以马从某点跳到同色的点（指○或●），要跳偶数步；跳到不同色的点，要跳奇数步。现在马在○点，要跳回这一点，应跳偶数步，可是棋盘上共有23+22=45（个）点，不可能做到不重复地走遍所有的点后回到出发点。

讨论：如果马的出发点不是在○点上而是在●点上，那么这只马能不能不重复地走遍这半张棋盘上的每个点，最后回到出发点上呢？按照上面的分析，显然也是不可能的。但是如果放弃“回到出发点”的要求，那么情况就不一样了。从某点出发，跳遍半张棋盘上除起点以外的其它44点，要跳44步，44是偶数，所以起点和终点应是同色的点（指○或●）。因为44步跳过的点○与点●各22个，所以起点必是●，终点也是●。也就说是，当不要求回到出发点时，只要从●出发，就可以不重复地走遍半张棋盘上的所有点。

练习9

1.教室里有5排椅子，每排5张，每张椅子上坐一个学生。一周后，每个学生都必须和他相邻（前、后、左、右）的某一同学交换座位。问：能不能换成？为什么？

2.房间里有5盏灯，全部关着。每次拉两盏灯的开关，这样做若干次后，有没有可能使5盏灯全部是亮的？

3.左下图是由40个小正方形组成的图形，能否将它剪裁成20个相同的长方形？

4.一个正方形果园里种有48棵果树，加上右下角的一间小屋，整齐地排列成七行七列（见右上图）。守园人从小屋出发经过每一棵树，不重复也不遗漏（不许斜走），最后又回到小屋。可以做到吗？

5.红光小学五年级一次乒乓球赛，共有男女学生17人报名参加。为节省时间不打循环赛，而采取以下方式：每人只打5场比赛，每两人之间用抽签的方法决定只打一场或不赛。然后根据每人得分决定出前5名。这种比赛方式是否可行？

6.如下图所示，将1～12顺次排成一圈。如果报出一个数a（在1～12之间），那么就从数a的位置顺时针走a个数的位置。例如a=3，就从3的位置顺时针走3个数的位置到达6的位置；a=11，就从11的位置顺时针走11个数的位置到达10的位置。问：a是多少时，可以走到7的位置？

第10讲 质数与合数

自然数按照能被多少个不同的自然数整除可以分为三类：

第一类：只能被一个自然数整除的自然数，这类数只有一个，就是1。

第二类：只能被两个不同的自然数整除的自然数。因为任何自然数都能被1和它本身整除，所以这类自然数的特征是大于1，且只能被1和它本身整除。这类自然数叫质数（或素数）。例如，2，3，5，7，„

小学奥数基础教程（五年级）

一些自然数整除。这类自然数叫合数。例如，4，6，8，9，15，„

上面的分类方法将自然数分为质数、合数和1，1既不是质数也不是合数。

例1 1～100这100个自然数中有哪些是质数？

分析与解：先把前100个自然数写出来，得下表：

分析与解：这道题要判别的数很大，不能直接用例

1、例2的方法。我们在四年级学过a的个位数的变化规律，以及a除以某自然数的余数的变化规律。2的个位数随着n的从小到大，按照2，4，8，6每4个一组循环出现，98÷4=24„„2，所以2的个位数是4，（2+1）的个位数是5，能被5整除，说明（2+1）是合数。

（2+3）是奇数，不能被2整除； 2不能被3整除，所以（2+3）也不能被3整除；（2+1）能被5整除，（2+3）比（2+1）大2，所以（2+3）不能被5整除。再判断（2+3）能否被7整除。首先看看2÷7的余数的变化规律：

9898

n98

989898

98n

n

n

因为98÷3的余数是2，从上表可知2除以7的余数是4，（2+3）除以7的余数是4+3=7，7能被7整除，即（2+3）能被7整除，所以（2+3）是合数。

例5 已知A是质数，（A+10）和（A+14）也是质数，求质数A。

分析与解：从最小的质数开始试算。

A=2时，A+10=12，12是合数不是质数，所以A≠2。

A=3时，A+10=13，是质数；A+14=17也是质数，所以A等于3是所求的质数。

A除了等于3外，还可以是别的质数吗？因为质数有无穷多个，所以不可能一一去试，必须采用其它方法。

A，（A+1），（A+2）除以3的余数各不相同，而（A+1）与（A+10）除以3的余数相同，（A+2）与（A+14）除以3的余数相同，所以A，（A+10），（A+14）除以3的余数各不相同。因为任何自然数除以3只有整除、余

1、余2三种情况，所以在A，（A+10），（A+14）中必有一个能被3整除。能被3整除的质数只有3，因为（A+10），（A+14）都大于3，所以A=3。也就是说，本题唯一的解是A=3。

练习10

1.现有1，3，5，7四个数字。

（1）用它们可以组成哪些两位数的质数（数字可以重复使用）？（2）用它们可以组成哪些各位数字不相同的三位质数？ 2.a，b，c都是质数，a＞b＞c，且a×b+c=88，求a，b，c。

3.A是一个质数，而且A+6，A+8，A+12，A+14都是质数。试求出所有满足要求的质数A。

989898

5.试说明：两个以上的连续自然数之和必是合数。

6.判断2+3是不是质数。

7.把一个一位数的质数a写在另一个两位数的质数b后边，得到一个三位数，这个三位数是a的87倍，求a和b。

第11讲 分解质因数

自然数中任何一个合数都可以表示成若干个质因数乘积的形式，如果不考虑因数的顺序，那么这个表示形式是唯一的。把合数表示为质因数乘积的形式叫做分解质因数。

例如，60=2×3×5，1998=2×3×37。

例1 一个正方体的体积是13824厘米，它的表面积是多少？

分析与解：正方体的体积是“棱长×棱长×棱长”，现在已知正方体的体积是13824厘米，若能把13824写成三个相同的数相乘，则可求出棱长。为此，我们先将13824分解质因数：

3236688

把这些因数分成三组，使每组因数之积相等，得13824=（2×3）×（2×3）×（2×3），于是，得到棱长是2×3=24（厘米）。所求表面积是24×24×6=3456（厘米）。3

2333

小学奥数基础教程（五年级）

分法？

7.同学们去射箭，规定每射一箭得到的环数或者是“0”（脱靶）或者是不超过10的自然数。甲、乙两同学各射5箭，每人得到的总环数之积刚好都是1764，但是甲的总环数比乙少4环。求甲、乙各自的总环数。

第12讲 最大公约数与最小公倍数

（一）如果一个自然数a能被自然数b整除，那么称a为b的倍数，b为a的约数。

如果一个自然数同时是若干个自然数的约数，那么称这个自然数是这若干个自然数的公约数。在所有公约数中最大的一个公约数，称为这若干个自然数的最大公约数。自然数a1，a2，„，an的最大公约数通常用符号（a1，a2，„，an）表示，例如，（8，12）=4，（6，9，15）=3。

如果一个自然数同时是若干个自然数的倍数，那么称这个自然数是这若干个自然数的公倍数。在所有公倍数中最小的一个公倍数，称为这若干个自然数的最小公倍数。自然数a1，a2，„，an的最小公倍数通常用符号[a1，a2，„，an]表示，例如[8，12]=24，[6，9，15]=90。

常用的求最大公约数和最小公倍数的方法是分解质因数法和短除法。

例1 用60元钱可以买一级茶叶144克，或买二级茶叶180克，或买三级茶叶240克。现将这三种茶叶分别按整克数装袋，要求每袋的价格都相等，那么每袋的价格最低是多少元钱？

分析与解：因为144克一级茶叶、180克二级茶叶、240克三级茶叶都是60元，分装后每袋的价格相等，所以144克一级茶叶、180克二级茶叶、240克三级茶叶，分装的袋数应相同，即分装的袋数应是144，180，240的公约数。题目要求每袋的价格尽量低，所以分装的袋数应尽量多，应是144，180，240的最大公约数。

所以（144，180，240）=2×2×3=12，即每60元的茶叶分装成12袋，每袋的价格最低是60÷12=5（元）。

为节约篇幅，除必要时外，在求最大公约数和最小公倍数时，将不再写出短除式。

例2 用自然数a去除498，450，414，得到相同的余数，a最大是多少？

分析与解：因为498，450，414除以a所得的余数相同，所以它们两两之差的公约数应能被a整除。

498-450=48，450-414=36，498-414=84。

所求数是（48，36，84）=12。

例3 现有三个自然数，它们的和是1111，这样的三个自然数的公约数中，最大的可以是多少？

分析与解：只知道三个自然数的和，不知道三个自然数具体是几，似乎无法求最大公约数。只能从唯一的条件“它们的和是1111”入手分析。三个数的和是1111，它们的公约数一定是1111的约数。因为1111=101×11，它的约数只能是1，11，101和1111，由于三个自然数的和是1111，所以三个自然数都小于1111，1111不可能是三个自然数的公约数，而101是可能的，比如取三个数为101，101和909。所以所求数是101。

例4 在一个30×24的方格纸上画一条对角线（见下页上图），这条对角线除两个端点外，共经过多少个格点（横线与竖线的交叉点）？

分析与解：（30，24）=6，说明如果将方格纸横、竖都分成6份，即分成6×6个相同的矩形，那么每个矩形是由（30÷6）×（24÷6）=5×4（个）

小方格组成。在6×6的简化图中，对角线也是它所经过的每一个矩形的对角线，所以经过5个格点（见左下图）。在对角线所经过的每一个矩形的5×4个小方格中，对角线不经过任何格点（见右下图）。

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分析与解：如果将两个自然数都除以7，则原题变为：“两个自然数的最大公约数是1，最小公倍数是30。这两个自然数的和是11，求这两个自然数。”

改变以后的两个数的乘积是1×30=30，和是11。

30=1×30=2×15=3×10=5×6，由上式知，两个因数的和是11的只有5×6，且5与6互质。因此改变后的两个数是5和6，故原来的两个自然数是

7×5=35和7×6=42。

例3 已知a与b，a与c的最大公约数分别是12和15，a，b，c的最小公倍数是120，求a，b，c。

分析与解：因为12，15都是a的约数，所以a应当是12与15的公倍数，即是[12，15]=60的倍数。再由[a，b，c]=120知，a只能是60或120。[a，c]=15，说明c没有质因数2，又因为[a，b，c]=120=2×3×5，所以c=15。

因为a是c的倍数，所以求a，b的问题可以简化为：“a是60或120，（a，b）=12，[a，b]=120，求a，b。”

当a=60时，b=（a，b）×[a，b]÷a

=12×120÷60=24；

当a=120时，b=（a，b）×[a，b]÷a

=12×120÷120=12。

所以a，b，c为60，24，15或120，12，15。

要将它们全部分别装入小瓶中，每个小瓶装入液体的重量相同。问：每瓶最多装多少千克？

分析与解：如果三种溶液的重量都是整数，那么每瓶装的重量就是三种溶液重量的最大公约数。现在的问题是三种溶液的重量不是整数。要解决这个问题，可以将重量分别乘以某个数，将分数化为整数，求出数值后，再除以这个数。为此，先求几个分母的最小公倍数，[6，4，9]=36，三种溶液的重量都乘以36后，变为150，135和80，（150，135，80）=5。

上式说明，若三种溶液分别重150，135，80千克，则每瓶最多装5千克。可实际重量是150，135，80的1/36，所以每瓶最多装

3在例4中，出现了与整数的最大公约数类似的分数问题。为此，我们将最大公约数的概念推广到分数中。

如果若干个分数（含整数）都是某个分数的整数倍，那么称这个分数是这若干个分数的公约数。在所有公约数中最大的一个公约数，称为这若干个分数的最大公约数。

由例4的解答，得到求一组分数的最大公约数的方法：

（1）先将各个分数化为假分数；

（2）求出各个分数的分母的最小公倍数a；

（3）求出各个分数的分子的最大公约数b；

类似地，我们也可以将最小公倍数的概念推广到分数中。

小学奥数基础教程（五年级）

公倍数中最小的一个公倍数，称为这若干个分数的最小公倍数。

求一组分数的最小公倍数的方法：（1）先将各个分数化为假分数；

（2）求出各个分数的分子的最小公倍数a；（3）求出各个分数的分母的最大公约数b；

于同一处只有一次，求圆形绿地的周长。

第14讲 余数问题

在整数的除法中，只有能整除与不能整除两种情况。当不能整除时，就产生余数，所以余数问题在小学数学中非常重要。

余数有如下一些重要性质（a，b，c均为自然数）：

（1）余数小于除数。

（2）被除数=除数×商+余数；

除数=（被除数-余数）÷商；

商=（被除数-余数）÷除数。

（3）如果a，b除以c的余数相同，那么a与b的差能被c整除。例如，17与11除以3的余数都是2，所以17-11能被3整除。

（4）a与b的和除以c的余数，等于a，b分别除以c的余数之和（或这个和除以c的余数）。例如，23，16除以5的余数分别是3和1，所以（23+16）除以5的余数等于3+1=4。注意：当余数之和大于除数时，所求余数等于余数之和再除以c的余数。例如，23，19除以5的余数分别是3和4，所以（23+19）除以5的余数等于（3+4）除以5的余数。

（5）a与b的乘积除以c的余数，等于a，b分别除以c的余数之积（或这个积除以c的余数）。例如，23，16除以5的余数分别是3和1，所以（23×16）除以5的余数等于3×1=3。注意：当余数之积大于除数时，所求余数等于余数之积再除以c的余数。例如，23，19除以5的余数分别是3和4，所以（23×19）除以5的余数等于（3×4）除以5的余数。

性质（4）（5）都可以推广到多个自然数的情形。

例1 5122除以一个两位数得到的余数是66，求这个两位数。

分析与解：由性质（2）知，除数×商=被除数-余数。

5122-66=5056，5056应是除数的整数倍。将5056分解质因数，得到

5056=2×79。

由性质（1）知，除数应大于66，再由除数是两位数，得到除数在67～99之间，符合题意的5056的约数只有79，所以这个两位数是79。

例2 被除数、除数、商与余数之和是2143，已知商是33，余数是52，求被除数和除数。

解：因为被除数=除数×商+余数

=除数×33+52，被除数=2143-除数-商-余数

=2143-除数-33-52

=2058-除数，所以 除数×33+52=2058-除数，所以 除数=（2058-52）÷34=59，被除数=2058-59=1999。

答：被除数是1999，除数是59。

例3 甲、乙两数的和是1088，甲数除以乙数商11余32，求甲、乙两数。

解：因为 甲=乙×11+32，所以 甲+乙=乙×11+32+乙=乙×12+32=1088，所以 乙=（1088-32）÷12=88，甲=1088-乙=1000。

答：甲数是1000，乙数是88。

例4 有一个整数，用它去除70，110，160得到的三个余数之和是50。求这个数。6

小学奥数基础教程（五年级）

数大于16。由三个余数之和是50知，除数不应大于70，所以除数在17～70之间。

在上面的数中，再找满足“除以7余3”的数，可以找到31。同时满足“除以5余1”、“除以7余3”的数，彼此之

在上面的数中，再找满足“除以8余5”的数，可以找到101。因为101＜[5，7，8]=280，所以所求的最小自然数是101。

在例

1、例2中，各有三个约束条件，我们先解除两个约束条件，求只满足一个约束条件的数，然后再逐步加上第二个、第三个约束条件，最终求出了满足全部三个约束条件的数。这种先放宽条件，再逐步增加条件的解题方法，叫做逐步约束法。

例3 在10000以内，除以3余2，除以7余3，除以11余4的数有几个？

解：满足“除以3余2”的数有5，8，11，14，17，20，23，„

再满足“除以7余3”的数有17，38，59，80，101，„

再满足“除以11余4”的数有59。

因为阳[3，7，11]=231，所以符合题意的数是以59为首项，公差是231的等差数列。（10000-59）÷231=43„„8，所以在10000以内符合题意的数共有44个。

例4 求满足除以6余3，除以8余5，除以9余6的最小自然数。

分析与解：如果给所求的自然数加3，所得数能同时被6，8，9整除，所以这个自然数是

[6，8，9]-3=72-3=69。

例5学校要安排66名新生住宿，小房间可以住4人，大房间可以住7人，需要多少间大、小房间，才能正好将66名新生安排下？

分析与解：设需要大房间x间，小房间y间，则有7x+4y=66。

这个方程有两个未知数，我们没有学过它的解法，但由4y和66都是偶数，推知7x也是偶数，从而x是偶数。

当x=2时，由7×2+4y=66解得y=13，所以x=2，y=13是一个解。

因为当x增大4，y减小7时，7x增大28，4y减小28，所以对于方程的一个解x=2，y=13，当x增大4，y减小7时，仍然是方程的解，即x=2+4=6，y=13-7=6也是一个解。

所以本题安排2个大房间、13个小房间或6个大房间、6个小房间都可以。

就是说，方程7x+4y=66有无数个解。由于这类方程的解的不确定性，所以称这类方程为不定方程。

根据实际问题列出的不定方程，往往需要求整数解或自然数解，这时的解有时有无限个，有时有有限个，有时可能是唯一的，甚至无解。例如：

x-y=1有无限个解，因为只要x比y大1就是解；

3x+2y=5只有x=1，y=1一个解；

3x+2y=1没有解。

例6 求不定方程5x+3y=68的所有整数解。

解：容易看出，当y=1时，x=（68-3×1）÷5=13，即x=13，y=1是一个解。

因为x=13，y=1是一个解，当x减小3，y增大5时，5x减少15，3y增大15，方程仍然成立，所以对于x=13，y=1，x每减小3，y每增大5，仍然是解。方程的所有整数解有5个：

由例

5、例6看出，只要找到不定方程的一个解，其余解可通过对这个解的加、减一定数值得到。限于我们学到的知识，寻找第一个解的方法更多的要依赖“拼凑”。

练习15

1.一个数除以5余4，除以8余3，除以11余2，求满足条件的最小自然数。

2.有一堆苹果，3个3个数余1个，5个5个数余2个，6个6个数余4个。这堆苹果至少有多少个？

3.在小于1000的自然数中，除以4余3，除以5余2，除以7余4的最大的自然数是几？

4.在5000以内，除以3余1，除以5余2，除以7余3的自然数有多少个？

5.有一个两位数，除以2与除以3都余1，除以4与除以5都余3，求这个数。

6.用100元钱去买3元一个和7元一个的两种商品，钱正好用完，共有几种买法？

7.五年级一班的43名同学去划船，大船可坐7人，小船可坐5人，需租大、小船各多少条？

小学奥数基础教程（五年级）

第16讲 巧算24

我们知道，符合“数学24”游戏规则的每个具体算式中，一定要出现四个数和三个运算符号。也就是说，一定要进行三次运算，出现三个运算结果。其中前两次结果是运算过程中的中间结果，第三次即最后一次的运算结果必须是24。

当我们还是小学低年级的学生时，由于知识水平所限，解题总是围绕运算结果是整数展开讨论。当我们升入小学高年级，接触到分数以后，我们的眼界变得开阔了，就可以打破整数这个框框，允许前两次的运算结果出现分数，这样，我们将会找到更多的、更好的思考办法。

例9 1，5，5，5。

有效的思考办法。

由上面的算式可以看出，我们以前接触的仅仅是其中的2×12，3×8，4×6三个整数乘法基本算式。现在我们学了分数以后，乘法基本算式就增加了许多：

在这些分数乘法基本算式中，固定的一个因数只能是5，7，9，10，至此，应用乘法玩“数学24”游戏的过程才是完整的。

下面，我们再来看看用分数除法来玩“数学24”游戏。

例10 3，3，8，8。

8÷（3-8÷3）=24。

小学奥数基础教程（五年级）

同一个数字，由于它在所写的数里的位置不同，所表示的数也不同。也就是说，每一个数字除了本身的值以外，还有一个“位置值”。例如“5”，写在个位上，就表示5个一；写在十位上，就表示5个十；写在百位上，就表示5个百；等等。这种把数字和数位结合起来表示数的原则，称为写数的位值原则。

我们通常使用的是十进制计数法，其特点是“满十进一”。就是说，每10个某一单位就组成和它相邻的较高的一个单位，即10个一，叫做“十”，10个十叫做“百”，10个百叫做“千”，等等。写数时，从右端起，第一位是个位，第二位是十位，第三位是百位，第四位是千位，等等（见下图）。

用阿拉伯数字和位值原则，可以表示出一切整数。例如，926表示9个百，2个十，6个一，即926=9×100+2×10+6。根据问题的需要，有时我们也用字母代替阿拉伯数字表示数，如：

其中a可以是1～9中的数码，但不能是0，b和c是0～9中的数码。

下面，我们利用位值原则解决一些整数问题。

个数之差必然能被9整除。例如，（97531-13579）必是9的倍数。

例2有一个两位数，把数码1加在它的前面可以得到一个三位数，加在它的后面也可以得到一个三位数，这两个三位数相差666。求原来的两位数。

分析与解：由位值原则知道，把数码1加在一个两位数前面，等于加了100；把数码1加在一个两位数后面，等于这个两位数乘以10后再加1。

设这个两位数为x。由题意得到

（10x+1）-（100+x）=666，10x+1-100-x=666，10x-x=666-1+100，9x=765，x=85。

原来的两位数是85。

例3 a，b，c是1～9中的三个不同的数码，用它们组成的六个没有重复数字的三位数之和是（a+b+c）的多少倍？

小学奥数基础教程（五年级）

分析与解：用a，b，c组成的六个不同数字是

结论1如果两个整数的和一定，那么这两个整数的差越小，他们的乘积越大。特别地，当这两个数相等时，他们的乘积最大。

例2比较下面两个乘积的大小：

a=57128463×87596512，b=57128460×87596515。

分析与解：对于a，b两个积，它们都是8位数乘以8位数，尽管两组对应因数很相似，但并不完全相同。直接计算出这两个8位数的乘积是很繁的。仔细观察两组对应因数的大小发现，因为57128463比57128460多3，87596512比87596515少3，所以它们的两因数之和相等，即 57128463+87596512=57128460+87596515。

因为a的两个因数之差小于b的两个因数之差，根据结论1可得a＞b。

例3用长36米的竹篱笆围成一个长方形菜园，围成菜园的最大面积是多少？

分析与解：已知这个长方形的周长是36米，即四边之和是定数。长方形的面积等于长乘以宽。因为 长+宽=36÷2=18（米），由结论知，围成长方形的最大的面积是9×9=81（米）。

例3说明，周长一定的长方形中，正方形的面积最大。

例4两个自然数的积是48，这两个自然数是什么值时，它们的和最小？ 分析与解：48的约数从小到大依次是1，2，3，4，6，8，12，16，24，48。

所以，两个自然数的乘积是48，共有以下5种情况：

48=1×48，1+48=49；

48=2×24，2+24=26；

48=3×16，3+16=19；

48=4×12，4+12=16；

48=6×8，6+8=14。

两个因数之和最小的是6+8=14。

结论2两个自然数的乘积一定时，两个自然数的差越小，这两个自然数的和也越小。

例5要砌一个面积为72米的长方形猪圈，长方形的边长以米为单位都是自然数，这个猪圈的围墙最少长多少米？

解：将72分解成两个自然数的乘积，这两个自然数的差最小的是9-8=1。由结论2，猪圈围墙长9米、宽8米时，围墙总长最少，为（8+9）×2=34（米）。

答：围墙最少长34米。

例6把17分成几个自然数的和，怎样分才能使它们的乘积最大？

分析与解：假设分成的自然数中有1，a是分成的另一个自然数，因为1×a＜1+a，也就是说，将1+a作为分成的一个自然数要比分成1和a两个自然数好，所以分成的自然数中不应该有1。

如果分成的自然数中有大于4的数，那么将这个数分成两个最接近的整数，这两个数的乘积大于原来的自然数。例如，5=2+3＜2×3，8=3+5＜3×5。也就是说，只要有大于4的数，这个数就可以再分，所以分成的自然数中不应该有大于4的数。

如果分成的自然数中有4，因为4=2+2=2×2，所以可以将4分成两个2。

22小学奥数基础教程（五年级）

由上面的分析得到，分成的自然数中只有2和3两种。因为2+2+2=6，2×2×2=8，3+3=6，3×3=9，说明虽然三个2与两个3的和都是6，但两个3的乘积大于三个2的乘积，所以分成的自然数中最多有两个2，其余都是3。由此得到，将17分为五个3与一个2时乘积最大，为3×3×3×3×3×2=486。

由例6的分析得到：

结论3把一个数拆分成若干个自然数之和，如果要使这若干个自然数的乘积最大，那么这些自然数应全是2或3，且2最多不超过两个。

例7把49分拆成几个自然数的和，这几个自然数的连乘积最大是多少？

解：根据结论3，由49=3×15+2+2，所以最大的积是

练习18

1.试求和是91，乘积最大的两个自然数。最大的积是多少？

之和的最小值是多少？

3.比较下面两个乘积的大小：

123456789×987654321，123456788×987654322。

4.现计划用围墙围起一块面积为5544米的长方形地面，为节省材料，要求围墙最短，那么这块长方形地的围墙有多少米长？

5.把19分成几个自然数的和，怎样分才能使它们的积最大？

6.1～8这八个数字各用一次，分别写成两个四位数，使这两个数相乘的乘积最大。那么这两个四位数各是多少？

7.在数***„9899100中划去100个数字，剩下的数字组成一个新数，这个新数最大是多少？最小是多少？

第19讲 图形的分割与拼接

怎样把一个图形按照要求分割成若干部分？怎样把一个图形分割成若干部分后，再按要求拼接成另一个图形？这就是本讲要解决的问题。

例1请将一个任意三角形分成四个面积相等的三角形。

分析与解：本题要求分成面积相等的三角形，因此可以利用“同底等高的三角形面积相等”这一性质来分割。

方法一：将某一边等分成四份，连结各分点与顶点（见左下图）。

方法二：画出某一边的中线，然后将中线二等分，连结分点与另两个顶点（见右上图）。

方法三：找出三条边上的中点，然后如左下图所示连结。

方法四：将三条边上的中点两两连结（见右上图）。

前三种方法可以看成先将三角形分割成面积相等的两部分，然后分别将每部分再分割成面积相等的两部分。本题还有更多的分割方法。

例2将右图分割成五个大小相等的图形。

小学奥数基础教程（五年级）

分析与解：因为图中共有15个小正方形，所以分割成的图形的面积应该等于15÷5=3（个）小正方形的面积。3个小正方形有和两种形式，于是可得到很多种分割方法，下图是其中的三种。

例3右图是一个4×4的方格纸，请在保持每个小方格完整的情况下，将它分割成大小、形状完全相同的两部分。

分析与解：因为分割成完全相同的两块，所以每块有8个小方格，并且这两块关于中心点对称。下面是六种分割方法。

例4将下图分割成两块，然后拼成一个正方形。

分析与解：图形的面积等于16个小方格，如果以每个小方格的边长为1，那么拼成的正方形的边长应是4。因为题图是缺角长方形，长为6宽为3，所以分割成两块后，右边的一块应向上平移1（原来宽为3，向上平移1使宽为4），向左平移2（原来长为6，向左平移2使长为4）。考虑到缺角这一特点，可做下图所示的分割和拼接。

例5有一块长4.8米、宽3米的长方形地毯，现在把它铺到长4米、宽3.6米的房间中。请将它剪成形状相同、面积相等的两块，使其正好铺满房间。

分析与解：首先验证地毯的面积与房间的面积是否相等，然后考虑如何

以可将原来的长分为4份，宽分为3份（见下页左上图），现在的长与宽如下页右上图。

容易得到下图所示的分割与拼接的方法。

小学奥数基础教程（五年级）

分析：因为题目条件中黄球、蓝球个数都是与红球个数进行比较，所以

答：袋中共有74个球。

在例1中，求胶鞋有多少双，我们设胶鞋有x双；在例2中，求袋中共有多少个球，我们设红球有x个，求出红球个数后，再求共有多少个球。像例1那样，直接设题目所求的未知数为x，即求什么设什么，这种方法叫直接设元法；像例2那样，为解题方便，不直接设题目所求的未知数，而间接设题目中另外一个未知数为x，这种方法叫间接设元法。具体采用哪种方法，要看哪种方法简便。在小学阶段，大多数题目可以使用直接设元法。

例3某建筑公司有红、灰两种颜色的砖，红砖量是灰砖量的2倍，计划修建住宅若干座。若每座住宅使用红砖80米，灰砖30米，那么，红砖缺40米，灰砖剩40米。问：计划修建住宅多少座？

分析与解一：用直接设元法。设计划修建住宅x座，则红砖有（80x-40）米，灰砖有（30x+40）米。根据红砖量是灰砖量的2倍，列出方程

80x-40=（30x+40）×2，80x-40=60x+80，20x=120，x=6（座）。

分析与解二：用间接设元法。设有灰砖x米，则红砖有2x米。根据修建住宅的座数，列出方程。

333

（x-40）×80=（2x+40）×30，80x-3200=60x+1200，20x=4400，x=220（米）。

由灰砖有220米，推知修建住宅（220-40）÷30=6（座）。

同理，也可设有红砖x米。留给同学们做练习。

例4教室里有若干学生，走了10个女生后，男生是女生人数的2倍，又走了9个男生后，女生是男生人数的5倍。问：最初有多少个女生？

分析与解：设最初有x个女生，则男生最初有（x-10）×2个。根据走了10个女生、9个男生后，女生是男生人数的5倍，可列方程

x-10=[（x-10）×2-9]×5，x-10=（2x-29）×5，x-10=10x-145，9x=135，33

3小学奥数基础教程（五年级）

x=15（个）。

例5一群学生进行篮球投篮测验，每人投10次，按每人进球数统计的部分情况如下表：

7.一位牧羊人赶着一群羊去放牧，跑出一只公羊后，他数了数羊的只数，发现剩下的羊中，公羊与母羊的只数比是9∶7；过了一会跑走的公羊又回到了羊群，却又跑走了一只母羊，牧羊人又数了数羊的只数，发现公羊与母羊的只数比是7∶5。这群羊原来有多少只？ 第24讲 行程问题

（一）路程、时间、速度是行程问题的三个基本量，它们之间的关系如下： 路程=时间×速度，时间=路程÷速度，速度=路程÷时间。

这一讲就是通过例题加深对这三个基本数量关系的理解。

例1 一个车队以4米/秒的速度缓缓通过一座长200米的大桥，共用115秒。已知每辆车长5米，两车间隔10米。问：这个车队共有多少辆车？

分析与解：求车队有多少辆车，需要先求出车队的长度，而车队的长度等于车队115秒行的路程减去大桥的长度。由“路程=时间×速度”可求出车队115秒行的路程为4×115=460（米）。

故车队长度为460-200=260（米）。再由植树问题可得车队共有车（260-5）÷（5+10）+1=18（辆）。

例2骑自行车从甲地到乙地，以10千米/时的速度行进，下午1点到；以15千米/时的速度行进，上午11点到。如果希望中午12点到，那么应以怎样的速度行进？

分析与解：这道题没有出发时间，没有甲、乙两地的距离，也就是说既没有时间又没有路程，似乎无法求速度。这就需要通过已知条件，求出时间和路程。

假设A，B两人同时从甲地出发到乙地，A每小时行10千米，下午1点到；B每小时行15千米，上午11点到。B到乙地时，A距乙地还有10×2=20（千米），这20千米是B从甲地到乙地这段时间B比A多行的路程。因为B比A每小时多行15-10=5（千米），所以B从甲地到乙地所用的时间是

20÷（15-10）=4（时）。

由此知，A，B是上午7点出发的，甲、乙两地的距离是

15×4=60（千米）。

要想中午12点到，即想（12-7=）5时行60千米，速度应为

60÷（12-7）=12（千米/时）。

例3 划船比赛前讨论了两个比赛方案。第一个方案是在比赛中分别以2.5米/秒和3.5米/秒的速度各划行赛程的一半；第二个方案是在比赛中分别以2.5米/秒和3.5米/秒的速度各划行比赛时间的一半。这两个方案哪个好？

分析与解：路程一定时，速度越快，所用时间越短。在这两个方案中，速度不是固定的，因此不好直接比较。在第二个方案中，因为两种速度划行的时间相同，所以以3.5米/秒的速度划行的路程比以2.5米/秒的速度划行的路程长。用单线表示以2.5米/秒的速度划行的路程，用双线表示以3.5米/秒的速度划行的路程，可画出下图所示的两个方案的比较图。其中，甲段+乙段=丙段。

在甲、丙两段中，两个方案所用时间相同；在乙段，因为路程相同，且第二种方案比第一种方案速度快，所以第二种方案比第一种方案所用时间短。

综上所述，在两种方案中，第二种方案所用时间比第一种方案少，即第二种方案好。

例4 小明去爬山，上山时每小时行2.5千米，下山时每小时行4千米，往返共用3.9时。问：小明往返一趟共行了多少千米？

分析与解：因为上山和下山的路程相同，所以若能求出上山走1千米和下山走1千米一共需要的时间，则可以求出上山及下山的总路程。

因为上山、下山各走1千米共需

所以上山、下山的总路程为

小学奥数基础教程（五年级）

在行程问题中，还有一个平均速度的概念：平均速度=总路程÷总时间。

例如，例4中上山与下山的平均速度是

例5一只蚂蚁沿等边三角形的三条边爬行，如果它在三条边上每分钟分别爬行50，20，40厘米，那么蚂蚁爬行一周平均每分钟爬行多少厘米？

解：设等边三角形的边长为l厘米，则蚂蚁爬行一周需要的时间为

蚂蚁爬行一周平均每分钟爬行

在行程问题中有一类“流水行船”问题，在利用路程、时间、速度三者之间的关系解答这类问题时，应注意各种速度的含义及相互关系：

顺流速度=静水速度+水流速度，逆流速度=静水速度-水流速度，静水速度=（顺流速度+逆流速度）÷2，水流速度=（顺流速度-逆流速度）÷2。

此处的静水速度、顺流速度、逆流速度分别指船在静水中、船顺流、船逆流的速度。

例6 两个码头相距418千米，汽艇顺流而下行完全程需11时，逆流而上行完全程需19时。求这条河的水流速度。

解：水流速度=（顺流速度-逆流速度）÷2

=（418÷11-418÷19）÷2

=（38-22）÷2

=8（千米/时）

答：这条河的水流速度为8千米/时。练习24

1.小燕上学时骑车，回家时步行，路上共用50分钟。若往返都步行，则全程需要70分钟。求往返都骑车需要多少时间。

2.某人要到60千米外的农场去，开始他以5千米/时的速度步行，后来有辆速度为18千米/时的拖拉机把他送到了农场，总共用了5.5时。问：他步行了多远？

3.已知铁路桥长1000米，一列火车从桥上通过，测得火车从开始上桥到完全下桥共用120秒，整列火车完全在桥上的时间为80秒。求火车的速度和长度。

4.小红上山时每走30分钟休息10分钟，下山时每走30分钟休息5分钟。已知小红下山的速度是上山速度的1.5倍，如果上山用了3时50分，那么下山用了多少时间？

5.汽车以72千米/时的速度从甲地到乙地，到达后立即以48千米/时的速度返回甲地。求该车的平均速度。

6.两地相距480千米，一艘轮船在其间航行，顺流需16时，逆流需20时，求水流的速度。

7.一艘轮船在河流的两个码头间航行，顺流需要6时，逆流需要8时，水流速度为2.5千米/时，求轮船在静水中的速度。

第25讲 行程问题

（二）本讲重点讲相遇问题和追及问题。在这两个问题中，路程、时间、速度的关系表现为： 相遇问题：

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例5如右图所示，沿着某单位围墙外面的小路形成一个边长300米的正方形，甲、乙两人分别从两个对角处沿逆时针方

分析与解：当甲、乙在同一条边（包括端点）上时甲才能看到乙。甲追上乙一条边，即追上300米需

300÷（90-70）=15（分），此时甲、乙的距离是一条边长，而甲走了90×15÷300=4.5（条边），位于某条边的中点，乙位于另一条边的中点，所以甲、乙不在同一条边上，甲看不到乙。甲再走0.5条边就可以看到乙了，即甲走5条边后可以看到乙，共需

例6 猎狗追赶前方30米处的野兔。猎狗步子大，它跑4步的路程兔子要跑7步，但是兔子动作快，猎狗跑3步的时间兔子能跑4步。猎狗至少跑出多远才能追上野兔？

分析与解：这道题条件比较隐蔽，时间、速度都不明显。为了弄清兔子与猎狗的速度的关系，我们将条件都变换到猎狗跑12步的情形（想想为什么这样变换）：

（1）猎狗跑12步的路程等于兔子跑21步的路程；

（2）猎狗跑12步的时间等于兔子跑16步的时间。

由此知，在猎狗跑12步的这段时间里，猎狗能跑12步，相当于兔子跑

也就是说，猎狗每跑21米，兔子跑16米，猎狗要追上兔子30米需跑21×[30÷（21-16）]=126（米）。练习25

1.A，B两村相距2800米，小明从A村出发步行5分钟后，小军骑车从B村出发，又经过10分钟两人相遇。已知小军骑车比小明步行每分钟多行130米，小明每分钟步行多少米？

2.甲、乙两车同时从A，B两地相向而行，它们相遇时距A，B两地中心处8千米。已知甲车速度是乙车的1.2倍，求A，B两地的距离。

3.小红和小强同时从家里出发相向而行。小红每分钟走52米，小强每分钟走70米，二人在途中的A处相遇。若小红提前4分钟出发，但速度不变，小强每分钟走90米，则两人仍在A处相遇。小红和小强的家相距多远？

4.一列快车和一列慢车相向而行，快车的车长是280米，慢长的车长是385米。坐在快车上的人看见慢车驶过的时间是11秒，坐在慢车上的人看见快车驶过的时间是多少秒？

5.甲、乙二人同时从A地到B地去。甲骑车每分钟行250米，每行驶10分钟后必休息20分钟；乙不间歇地步行，每分钟行100米，结果在甲即将休息的时刻两人同时到达B地。问：A，B两地相距多远？

6.甲、乙两人从周长为1600米的正方形水池相对的两个顶点同时出发逆时针行走，两人每分钟分别行50米和46米。出发后多长时间两人第一次在同一边上行走？

7.一只猎狗正在追赶前方20米处的兔子，已知狗一跳前进3米，兔子一跳前进2.1米，狗跳3次的时间兔子跳4次。兔子跑出多远将被猎狗追上？ 第26讲 行程问题

（三）在行程问题中，经常会碰到相遇问题、追及问题、时间路程速度的关系问题等交织在一起的综合问题，这类问题难度较大，往往需要画图帮助搞清各数量之间的关系，并把综合问题分解成几个单一问题，然后逐次求解。

例1 两条公路成十字交叉，甲从十字路口南1800米处向北直行，乙从十字路口处向东直行。甲、乙同时出发12分钟后，两人与十字路口的距离相等；出发后75分钟，两人与十字路口的距离再次相等。此时他们距十字路口多少米？

分析与解：如左下图所示，出发12分钟后，甲由A点到达B点，乙由O点到达C点，且OB=OC。如果乙改为向南走，那么这个条件相当于“两人相距1800米，12分钟相遇”的相遇问题，所以每分钟两人一共行1800÷12=150（米）。

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如右上图所示，出发75分钟后，甲由A点到达E点，乙由O点到达F点，且OE=OF。如果乙改为向北走，那么这个条件相当于“两人相距1800米，75分钟后甲追上乙”的追及问题，所以每分钟两人行走的路程差是1800÷75=24（米）。

再由和差问题，可求出乙每分钟行（150-24）÷2=63（米），出发后75分钟距十字路口63×75=4725（米）。

例2 小轿车、面包车和大客车的速度分别为60千米/时、48千米/时和42千米/时，小轿车和大客车从甲地、面包车从乙地同时相向出发，面包车遇到小轿车后30分钟又遇到大客车。问：甲、乙两地相距多远？

分析与解：如下图所示，面包车与小轿车在A点相遇，此时大客车到达B点，大客车与面包车行BA这段路程共需30分钟。

由大客车与面包车的相遇问题知BA=（48+42）×（30÷60）=45（千米）；

小轿车比大客车多行BA（45千米）需要的时间，由追及问题得到45÷（60-42）=2.5（时）；

在这2.5时中，小轿车与面包车共行甲、乙两地的一个单程，由相遇问题可求出甲、乙两地相距（60+48）×2.5=270（千米）。

由例

1、例2看出，将较复杂的综合问题分解为若干个单一问题，可以达到化难为易的目的。

例3 小明放学后，沿某路公共汽车路线以不变速度步行回家，该路公共汽车也以不变速度不停地运行。每隔9分钟就有一辆公共汽车从后面超过他，每隔7分钟就遇到迎面开来的一辆公共汽车。问：该路公共汽车每隔多少分钟发一次车？

分析与解：这是一道数量关系非常隐蔽的难题，有很多种解法，但大多数解法复杂且不易理解。为了搞清各数量之间的关系，我们对题目条件做适当变形。

假设小明在路上向前行走了63分钟后，立即回头再走63分钟，回到原地。这里取63，是由于[7，9]=63。这时在前63分钟他迎面遇到63÷7=9（辆）车，后63分钟有63÷9=7（辆）车追上他，那么在两个63分钟里他共遇到朝同一方向开来的16辆车，则发车的时间间隔为

例4 甲、乙两人在长为30米的水池里沿直线来回游泳，甲的速度是1米/秒，乙的速度是0.6米/秒，他们同时分别从水池的两端出发，来回共游了11分钟，如果不计转向的时间，那么在这段时间里，他们共相遇了多少次？

分析与解：甲游一个单程需30÷1=30（秒），乙游一个单程需30÷0.6=50（秒）。甲游5个单程，乙游3个单程，各自到了不同的两端又重新开始，这个过程的时间是150秒，即2.5分钟，其间，两人相遇了5次（见下图），实折线与虚折线的交点表示相遇点。

以2.5分钟为一个周期，11分钟包含4个周期零1分钟，而在一个周期中的第1分钟内，从图中看出两人相遇2次，故一共相遇了5×4+2=22（次）。

例4用画图的方法，直观地看出了一个周期内相遇的次数，由此可见画图的重要性。

例5甲、乙两人同时从山脚开始爬山，到达山顶后就立即下山。他们两人下山的速度都是各自上山速度的2倍。甲到山顶时乙距山顶还有400米，甲回到山脚时乙刚好下到半山腰。求从山脚到山顶的距离。

小学奥数基础教程（五年级）

问题就可能变得容易些。

如果两人下山的速度与各自上山的速度相同，那么题中“甲回到山脚时

分析与解：题中给出的已知条件较复杂，我们用列表法求解。先设计出右图的表格，表内用“√”表示肯定，用“×”表示否定。因为题目说“每人教两门”，所以每一横行都应有2个“√”；因为每门课只有一人教，所以每一竖列都只有1个“√”，其余均为“×”。

由（3）知，张聪不是体育、数学老师；由（5）知，王仁不是语文、音乐老师；由（2）（4）知，王仁不是体育老师，推知陈来是体育老师。至此，得到左下表

由（3）知，体育老师与数学老师不是一个人，即陈来不是数学老师，推知王仁是数学老师；由（1）知，数学老师王仁不是英语老师，推知王仁是美术老师。至此，得到右上表。

由（4）知，体育老师陈来与语文老师不是一个人，即陈来不是语文老师，推知张聪是语文老师；由（5）知，语文老师张聪不是音乐老师，推知陈来是音乐老师；最后得到张聪是英语老师，见下表。

所以，张聪教语文、英语，王仁教数学、美术，陈来教音乐、体育。

以上推理过程中，除充分利用已知条件外，还将前面已经推出的正确结果作为后面推理的已知条件，充分加以利用。另外，还充分利用了表格中每行只有两个“√”，每列只有一个“√”，其余都是“×”这个隐含条件。

例1的推理方法是不断排斥不可能的情况，选取符合条件的结论，这种方法叫做排他法。

例2 小明、小芳、小花各爱好游泳、羽毛球、乒乓球中的一项，并分别在一小、二小、三小中的一所小学上学。现知道：

（1）小明不在一小；

（2）小芳不在二小；

（3）爱好乒乓球的不在三小；

（4）爱好游泳的在一小；

（5）爱好游泳的不是小芳。

问：三人上各爱好什么运动？各上哪所小学？

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出的关系用下面的表

1、表

2、表3表示：

3.三户人家每家有一个孩子，分别是小平（女）、小红（女）和小虎（男），孩子的爸爸是老王、老张和老陈，妈妈是刘英、李玲和方丽。

（1）老王和李玲的孩子都参加了少年女子体操队；

（2）老张的女儿不是小红；

（3）老陈和方丽不是一家人。

请你将三户人家区分开。

4.甲、乙、丙三人，他们的籍贯分别是辽宁、广西、山东，他们的职业分别是教师、工人、演员。已知：

（1）甲不是辽宁人，乙不是广西人；

（2）辽宁人不是演员，广西人是教师；

（3）乙不是工人。

求这三人各自的籍贯和职业。

5.甲说：“乙和丙都说谎。”乙说：“甲和丙都说谎。”丙说：“甲和乙都说谎。”根据三人所说，你判断一下，下面的结论哪一个正确：

（1）三人都说谎；

（2）三人都不说谎；

（3）三人中只有一人说谎；

（4）三人中只有一人不说谎。

6.五号楼住着四个女孩和两个男孩，他们的年龄各不相同，最大的10岁，最小的4岁，最大的女孩比最小的男孩大4岁，最大的男孩比最小的女孩也大4岁，求最大的男孩的岁数。第28讲 逻辑问题

（二）例1老师拿来五顶帽子，两顶红的三顶白的。他让三个聪明的同学甲、乙、丙按甲、乙、丙的顺序排成一路纵队，并闭上眼睛，然后分别给他们各戴上一顶帽子，同时把余下的帽子藏起来。当他们睁开眼后，乙和丙都判断不出自己所戴帽子的颜色，而站在最前面的甲却根据此情况判断出了自己所戴帽子的颜色。

甲戴的帽子是什么颜色？他是怎样判断的？

分析与解：这是一个典型的逻辑推理问题。甲站在最前面，虽然看不见任何一顶帽子，但他可以想到：如果我和乙戴的都是红帽子，因为一共只有两顶红帽子，那么丙就会判断出自己戴的是白帽子。丙判断不出自己戴的帽子的颜色，说明我和乙戴的帽子是两白或一白一红。

甲接着想：乙也很聪明，当他看到丙判断不出自己戴的帽子的颜色时，他也能判断出我们两人戴的帽子是两白或一白一红。此时，如果他看到我戴是红帽子，那么他就会知道自己戴的是白帽子，只有我戴的是白帽子时，他才可能猜不出自己戴的帽子的颜色。所以，我戴的一定是白帽子。

例1中，甲的分析非常精采，严密而无懈可击。

例2三个盒子各装两个球，分别是两个黑球、两个白球、一个黑球一个白球。封装后，发现三个盒子的标签全部贴错。如果只允许打开一个盒子，拿出其中一个球看，那么能把标签全部纠正过来吗？

分析与解：因为“三个盒子的标签全部贴错”了，贴错的情况见下图（○表示白球，●表示黑球）:

小学奥数基础教程（五年级）

950-

2.五年级有四个班，每个班有两名班长，每次召开年级班长会议时各班参加一名班长。参加第一次会议的是A，B，C，D，参加第二次会议的是E，B，F，D，参加第三次会议的是A，E，B，G。已知H三次会都没参加，请问每个班各是哪两位班长？

3.甲、乙、丙、丁四个学生坐在同一排的相邻座位上，座号是1号至4号。一个专说谎话的人说：“乙坐在丙的旁边，甲坐在乙和丙的中间，乙的座位不是3号。”问：坐在2号座位上的是谁？

4.李大娘问三位青年人的年龄。

小张说：“我22岁。比小吴小2岁。比小徐大1岁。”

小吴说：“我不是年龄最小的。小徐和我差3岁。小徐25岁。”

小徐说：“我比小张年龄小。小张23岁。小吴比小张大3岁。”

这三位青年人爱开玩笑，每人讲的三句话中，都有一句是错的。李大娘难辩真真假假，请你帮助李大娘弄清这三人的年龄。

5.A，B，C三支足球队举行循环比赛（每队之间赛一场），下面是记有详细比赛情况的表。但后来发现表中有四个数是错误的。请按规定重制一张正确的表格。（胜一场记2分，负一场记0分，平一场双方各记1分。）

6.某次数学测验，共有六道试题，均是是非题。正确的画“√”，错误的画“×”。每题答对得2分，不答得1分，答错得0分。甲、乙、丙、丁的答案及前三人的得分如下表，求丁得了多少分。

第29讲 抽屉原理(一)

我们在四年级已经学过抽屉原理，并能够解答一些简单的 抽屉原理问题。这两讲先复习一下抽屉原理的概念，然后结合一些较复杂的抽屉原理问题，讨论如何构造抽屉。

抽屉原理1将多于n件物品任意放到n个抽屉中，那么至少有一个抽屉中的物品不少于2件。

抽屉原理2将多于m×n件物品任意放到到n个抽屉中，那么至少有一个抽屉中的物品不少于（m+1）件。

理解抽屉原理要注意几点：(1)抽屉原理是讨论物品与抽屉的关系，要求物品数比抽屉数或抽屉数的倍数多，至于多多少，这倒无妨。

（2）“任意放”的意思是不限制把物品放进抽屉里的方法，不规定每个抽屉中都要放物品，即有些抽屉可以是空的，也不限制每个抽屉放物品的个数。

（3）抽屉原理只能用来解决存在性问题，“至少有一个”的意思就是存在，满足要求的抽屉可能有多个，但这里只需保证存在一个达到要求的抽屉就够了。

（4）将a件物品放入n个抽屉中，如果a÷n= m„„b，其中b是自然数，那么由抽屉原理2就可得到，至少有一个抽屉中的物品数不少于（m+1）件。

例1 五年级有47名学生参加一次数学竞赛，成绩都是整数，满分是100分。已知3名学生的成绩在60分以下，其余学生的成绩均在75～95分之间。问：至少有几名学生的成绩相同？

分析与解：关键是构造合适的抽屉。既然是问“至少有几名学生的成绩相同”，说明应以成绩为抽屉，学生为物品。除3名成绩在60分以下的学生外，其余成绩均在75～95分之间，75～95共有21个不同分数，将这21个分数作为21个抽屉，把47-3=44（个）学生作为物品。

44÷21= 2„„2，根据抽屉原理2，至少有1个抽屉至少有3件物品，即这47名学生中至少有3名学生的成绩是相同的。

第二篇：三年级数学奥数基础课程教案(30讲全)

小学奥数基础教程（三年级）

第1讲 加减法的巧算 第2讲 横式数字谜(一)第3讲 竖式数字谜(一)第4讲 竖式数字谜(二)第5讲 找规律(一)第6讲 找规律(二)第7讲 加减法应用题 第8讲 乘除法应用题 第9讲平均数 第10讲 植树问题 第11讲 巧数图形 第12讲 巧求周长 第13讲 火柴棍游戏(一)第14讲 火柴棍游戏(二)第15讲 趣题巧解 第16讲 数阵图(一)第17讲 数阵图(二)第18讲 能被2，5整除的数的特征

第19讲 能被3整除的数的特征 第20讲 乘、除法的运算律和性质

第21讲 乘法中的巧算 第22讲 横式数字谜(二)第23讲 竖式数字谜(三)第24讲 和倍应用题 第25讲 差倍应用题 第26讲 和差应用题 第27讲 巧用矩形面积公式 第28讲 一笔画(一)第29讲 一笔画(二)第30讲 包含与排除

小学奥数基础教程（三年级）

第2讲 横式数字谜(一)在一个数学式子(横式或竖式)中擦去部分数字，或用字母、文字来代替部分数字的不完整的算式或竖式，叫做数字谜题目。解数字谜题就是求出这些被擦去的数或用字母、文字代替的数的数值。

例如，求算式324+□=528中□所代表的数。

根据“加数=和-另一个加数”知，□=582-324＝258。

又如，求右竖式中字母A，B所代表的数字。显然个位数相减时必须借位，所以，由12-B＝5知，B＝12-5＝7；由A-1＝3知，A＝3＋1＝4。

解数字谜问题既能增强数字运用能力，又能加深对运算的理解，还是培养和提高分析问题能力的有效方法。

这一讲介绍简单的算式(横式)数字谜的解法。

解横式数字谜，首先要熟知下面的运算规则：(1)一个加数+另一个加数=和；(2)被减数-减数=差；(3)被乘数×乘数=积；(4)被除数÷除数=商。

由它们推演还可以得到以下运算规则：

由(1)，得 和-一个加数=另一个加数；

其次，要熟悉数字运算和拆分。例如，8可用加法拆分为

8＝0＋8＝1＋7＝2＋6＝3＋5＝4＋4；

24可用乘法拆分为

24＝1×24=2×12＝3×8＝4×6(两个数之积)

=1×2×12＝2×2×6=„(三个数之积)

=1×2×2×6＝2×2×2×3=„(四个数之积)例1 下列算式中，□，○，△，☆，*各代表什么数？(1)□+5＝13-6；(2)28-○＝15＋7；(3)3×△=54；(4)☆÷3＝87；(5)56÷*＝7。

解：(1)由加法运算规则知，□=13-6-5＝2；(2)由减法运算规则知，○＝28-(15＋7)＝6；(3)由乘法运算规则知，△＝54÷3＝18；(4)由除法运算规则知，☆=87×3＝261；(5)由除法运算规则知，*＝56÷7＝8。

例2 下列算式中，□，○，△，☆各代表什么数？(1)□+□+□=48；(2)○＋○＋6＝21-○；(3)5×△-18÷6＝12；(4)6×3-45÷☆＝13。

解：(1)□表示一个数，根据乘法的意义知，□+□+□=□×3，故□=48÷3＝16。

(2)先把左端(○＋○＋6)看成一个数，就有

(○＋○＋6)＋○＝21，○×3＝21-6，○＝15÷3＝5。

(3)把5×△，18÷6分别看成一个数，得到

5×△=12＋18÷6，5×△=15，△=15÷5＝3。

(4)把6×3，45÷☆分别看成一个数，得到

45÷☆＝6×3-13，45÷☆＝5，☆＝45÷5＝9。

例3(1)满足58＜12×□＜71的整数□等于几？

(2)180是由哪四个不同的且大于1的数字相乘得到的？试把这四个数按从小到大的次序填在下式的□里。

180=□×□×□×□。(3)若数□，△满足

□×△=48和□÷△=3，则□，△各等于多少？ 分析与解：(1)因为

58÷12＝4„„10，71÷12＝5„„11，并且□为整数，所以，只有□=5才满足原式。(2)拆分180为四个整数的乘积有很多种方法，如

180＝1×4×5×90＝1×2×3×30＝„

但拆分成四个“大于1”的数字的乘积，范围就缩小了，如

180＝2×2×5×9＝2×3×5×6＝„

若再限制拆分成四个“不同的”数字的乘积，范围又缩小了。按从小到大的次序排列只有下面一种：

180＝2×3×5×6。

所以填的四个数字依次为2，3，5，6。

(3)首先，由□÷△=3知，□＞△，因此，在把48拆分为两数的乘积时，有

48＝48×1＝24×2＝16×3＝12×4＝8×6，其中，只有48＝12×4中，12÷4=3，因此

□=12，△=4。

这道题还可以这样解：由□÷△=3知，□=△×3。把□×△=48中的□换成△×3，就有

(△×3)×△＝48，于是得到△×△=48÷3＝16。因为16＝4×4，所以△=4。再把□=△×3中的△换成4，就有

□=△×3=4×3=12。

这是一种“代换”的思想，它在今后的数学学习中应用十分广泛。

下面，我们再结合例题讲一类“填运算符号”问题。例4 在等号左端的两个数中间添加上运算符号，使下列各式成立：(1)4 4 4 4＝24；(2)5 5 5 5 5=6。

小学奥数基础教程（三年级）

再由两个加数的个位数之和未进位，因而两个加数的十位数字之和就是14。

故这两个加数的四个数字之和是9＋14=23。(2)由于和的最高两位数是19，而任何两个一位数相加的和都不超过18，因此，两个加数的个位数相加后必进一位。(这是“突破口”，与(1)不同)

这样，两个加数的个位数字相加之和是15，十位数字相加之和是18。

所求的两个加数的四个数字之和是15＋18＝33。

注意：(1)(2)两题虽然题型相同，但两题的“突破口”不同。(1)是从和的个位着手分析，(2)是从和的最高两位着手分析。

例3 在下面的竖式中，A，B，C，D，E各代表什么数？ 分析与解：解减法竖式数字谜，与解加法竖式数字谜的分析方法一样，所不同的是“减法”。

首先，从个位减起(因已知差的个位是5)。4＜5，要使差的个位为5，必须退位，于是，由14-D＝5知，D=14-5＝9。(这是“突破口”)

再考察十位数字相减：由B-1-0＜9知，也要在百位上退位，于是有10＋B-1-0＝9，从而B＝0。

百位减法中，显然E=9。

千位减法中，由10＋A-1-3＝7知，A＝1。

万位减法中，由9-1-C＝0知，C＝8。

所以，A＝1，B＝0，C＝8，D＝9，E＝9。例4 在下面的竖式中，“车”、“马”、“炮”各代表一个不同的数字。请把这个文字式写成符合题意的数字式。

分析与解：例3是从个位着手分析，而这里就只能从首位着手分析。

由一个四位数减去一个三位数的差是三位数知，“炮”＝1。

被减数与减数的百位数相同，其相减又是退位相减，所以，“马”＝9。至此，我们已得到下式：

由上式知，个位上的运算也是退位减法，由11-“车”=9得到“车”＝2。

因此，符合题意的数字式为：

例5 在右边的竖式中，“巧，填，式，谜”分别代表不同的数字，它们各等于多少？

解：由(4×谜)的个位数是0知，“谜”＝0或5。

当“谜”＝0时，(3×式)的个位数是0，推知“式”＝0，与“谜”≠“式”矛盾。

当“谜”＝5时，个位向十位进2。

由(3×式+2)的个位数是0知，“式”＝6，且十位要向百位进2。

由(2×填+2)的个位数是0，且不能向千位进2知，“填”＝4。

最后推知，“巧”＝1。

所以“巧”＝1，“填”＝4，“式”=6，“谜”＝5。

练习3

1.在下列各竖式的□中填上适当的数字，使竖式成立：

2.下列各竖式中，□里的数字被遮盖住了，求各竖式中被盖住的各数字的和：

3.在下列各竖式的□中填入合适的数字，使竖式成立： 4.下式中不同的汉字代表1～9中不同的数字，相同的汉字代表相同的数字。这个竖式的和是多少？

5.在下列各竖式的□中填入合适的数字，使竖式成立： 答案与提示练习3

1.(1)764＋265=1029；(2)981＋959=1940；(3)99＋ 903＝1002；(4)98＋97＋ 923＝1118。

2.(1)28；(2)75。

3.(1)23004-18501＝4503；(2)1056-989＝67；(3)24883-16789=8094；(4)9123-7684=1439。

4.987654321。

5.提示：先解上层数谜，再解下层数谜。

第4讲 竖式数字谜(二)

本讲只限于乘数、除数是一位数的乘、除法竖式数字谜问题。

掌握好乘、除法的基本运算规则(第2讲的公式(3)(4)及推演出的变形式子)是解乘、除法竖式谜的基础。根据题目结构形式，通过综合观察、分析，找出“突破口”是解题的关键。

例1 在左下乘法竖式的□中填入合适的数字，使竖式成立。

分析与解：由于积的个位数是5，所以在乘数和被乘数的个位数中，一个是5，另一个是奇数。因为乘积大于被乘数的7倍，所以乘数是大于7的奇数，即只能是9(这是问题的“突破口”)，被乘数的个位数是5。

因为7×9＜70＜8×9，所以，被乘数的百位数字只能是7。至此，求出被乘数是785，乘数是9(见右上式)。例2 在右边乘法竖式的□里填入合适的数字，使竖式成立。

分析与解：由于乘积的数字不全，特别是不知道乘积的个位数，我们只能从最高位入手分析。

乘积的最高两位数是2□，被乘数的最高位是3，由

小学奥数基础教程（三年级）

答案与提示 练习4

1.(1)7865×7＝55055；

(2)2379 × 8= 19032或 7379 × 8= 59032。

2.“我”＝5，“爱”=1，“数”=7，“学”=2。

3.“我”、“们”、“爱”、“祖”、“国”分别代表8，7，9，1，2。

4.(1)5607×7=801；(2)822÷3=274。

5.第5讲 找规律(一)

这一讲我们先介绍什么是“数列”，然后讲如何发现和寻找“数列”的规律。

按一定次序排列的一列数就叫数列。例如，(1)1，2，3，4，5，6，„(2)1，2，4，8，16，32；(3)1，0，0，1，0，0，1，„(4)1，1，2，3，5，8，13。

一个数列中从左至右的第n个数，称为这个数列的第n项。如，数列(1)的第3项是3，数列(2)的第3项是4。一般地，我们将数列的第n项记作an。

数列中的数可以是有限多个，如数列(2)(4)，也可以是无限多个，如数列(1)(3)。

许多数列中的数是按一定规律排列的，我们这一讲就是讲如何发现这些规律。

数列(1)是按照自然数从小到大的次序排列的，也叫做自然数数列，其规律是：后项=前项+1，或第n项an＝n。

数列(2)的规律是：后项=前项×2，或第n项

数列(3)的规律是：“1，0，0”周而复始地出现。

数列(4)的规律是：从第三项起，每项等于它前面两项的和，即

a3=1+1=2，a4=1+2=3，a5=2+3＝5，a6=3+5=8，a7=5+8=13。

常见的较简单的数列规律有这样几类：

第一类是数列各项只与它的项数有关，或只与它的前一项有关。例如数列(1)(2)。

第二类是前后几项为一组，以组为单元找关系才可找到规律。例如数列(3)(4)。

第三类是数列本身要与其他数列对比才能发现其规律。这类情形稍为复杂些，我们用后面的例

3、例4来作一些说明。

例1 找出下列各数列的规律，并按其规律在()内填上合适的数：

(1)4，7，10，13，()，„(2)84，72，60，()，()；(3)2，6，18，()，()，„(4)625，125，25，()，()；(5)1，4，9，16，()，„(6)2，6，12，20，()，()，„

解：通过对已知的几个数的前后两项的观察、分析，可发现

(1)的规律是：前项+3=后项。所以应填16。(2)的规律是：前项-12=后项。所以应填48，36。(3)的规律是：前项×3=后项。所以应填54，162。(4)的规律是：前项÷5=后项。所以应填5，1。(5)的规律是：数列各项依次为

1=1×1，4=2×2，9=3×3，16=4×4，所以应填5×5=25。(6)的规律是：数列各项依次为

2=1×2，6=2×3，12=3×4，20=4×5，所以，应填 5×6=30，6×7=42。

说明：本例中各数列的每一项都只与它的项数有关，因此an可以用n来表示。各数列的第n项分别可以表示为

(1)an＝3n+1；(2)an＝96-12n；

(3)an-

15-n

2n＝2×3；(4)an＝5；(5)an＝n；(6)an＝n(n+1)。

这样表示的好处在于，如果求第100项等于几，那么不用一项一项地计算，直接就可以算出来，比如数列(1)的第100项等于3×100+1=301。本例中，数列(2)(4)只有5项，当然没有必要计算大于5的项数了。例2 找出下列各数列的规律，并按其规律在()内填上合适的数：

(1)1，2，2，3，3，4，()，()；(2)()，()，10，5，12，6，14，7；(3)3，7，10，17，27，()；(4)1，2，2，4，8，32，()。

解：通过对各数列已知的几个数的观察分析可得其规律。(1)把数列每两项分为一组，1，2，2，3，3，4，不难发现其规律是：前一组每个数加1得到后一组数，所以应填4，5。

(2)把后面已知的六个数分成三组：10，5，12，6，14，7，每组中两数的商都是2，且由5，6，7的次序知，应填8，4。

小学奥数基础教程（三年级）

第三个图形中的“？”=5×3×8÷2=60；

第四个图形中的“？”=(21×2)÷3÷2=7。(2)观察前两个图形中的已知数，发现有

10=8+5-3，8=7+4-3，即三角形里面的数的和减去三角形外面的数就是中间小圆圈内的数。故

第三个图形中的“？”=12+1-5=8；

第四个图形中的“？”=7+1-5=3。例3 寻找规律填数：

解：(1)考察上、下两数的差。32-16=16，31-15=16，33-17=16，可知，上面那个“？”=35-16=19，下面那个“？”=18+16=34。

(2)从左至右，一上一下地看，由1，3，5，？，9，„知，12下面的“？”=7；一下一上看，由6，8，10，12，？，„知，9下面的“？”=14。例4 寻找规律在空格内填数：

解：(1)因为前两图中的三个数满足：

256=4×64，72=6×12，所以，第三图中空格应填12×15=180；第四图中空格应填169÷13=13。第五图中空格应填224÷7=32。(2)图中下面一行的数都是上一行对应数的3倍，故43下面应填43×3=129；87上面应填87÷3=29。例5在下列表格中寻找规律，并求出“？”：

解：(1)观察每行中两边的数与中间的数的关系，发现3+8=11，4+2=6，所以，？=5+7=12。

(2)观察每列中三数的关系，发现1+3×2=7，7+2×2=11，所以，？=4+5×2=14。例6 寻找规律填数：(1)(2)

解：(1)观察其规律知(2)观察其规律知：

观察比较图形、图表、数列的变化，并能从图形、数量间的关系中发现规律，这种能力对于同学们今后的学习将大有益处。练习6

寻找规律填数：

小学奥数基础教程（三年级）

0例4 一口枯井深230厘米，一只蜗牛要从井底爬到井口处。它每天白天向上爬110厘米，而夜晚却要向下滑70厘米。这只蜗牛哪一个白天才能爬出井口？

分析与解：因蜗牛最后一个白天要向上爬110厘米，井深230厘米减去这110厘米后(等于120厘米)，就是蜗牛前几天一共要向上爬的路程。

因为蜗牛白天向上爬110厘米，而夜晚又向下滑70厘米，所以它每天向上爬110-70=40(厘米)。

由于120÷40=3，所以，120厘米是蜗牛前3天一共爬的。故第4个白天蜗牛才能爬到井口。

若将例4中枯井深改为240厘米，其它数字不变，这只蜗牛在哪个白天才能爬出井口？(第5个白天)练习7

1.甲、乙、丙三人原各有桃子若干个。甲给乙2个，乙给丙3个，丙又给甲5个后，三人都有桃子9个。甲、乙、丙三人原来各有桃子多少个？

2.三座桥，第一座长287米，第二座比第一座长85米，第三座比第一座与第二座的总长短142米。第三座桥长多少米？

3.(1)幼儿园小班有巧克力糖40块，还有一些奶糖。分给小朋友奶糖24块后，奶糖就比巧克力糖少了10块。原有奶糖多少块？

(2)幼儿园中班有巧克力糖48块，还有一些奶糖。分给小朋友奶糖26块后，奶糖就只比巧克力糖多18块。原有奶糖多少块？

4.一桶柴油连桶称重120千克，用去一半柴油后，连桶称还重65千克。这桶里有多少千克柴油？空桶重多少？ 5.一只蜗牛从一个枯水井底面向井口处爬，白天向上爬110厘米，而夜晚向下滑40厘米，第5天白天结束时，蜗牛到达井口处。这个枯水井有多深？

若第5天白天爬到井口处，这口井至少有多少厘米深？(厘米以下的长度不计)

6.在一条直线上，A点在B点的左边20毫米处，C点在D点左边50毫米处，D点在B点右边40毫米处。写出这四点从左到右的次序。

7.(1)五个不同的数的和为172，这些数中最小的数为32，最大的数可以是多少？

(2)六个不同的数的和为356，这些数中，最大的是68，最小的数可以是多少？ 答案与提示练习7

1.甲6个，乙10个，丙11个。

2.517米。

解：287＋(287＋ 85)-142= 517(米)。

3.(1)54块；(2)92块。解：(1)40-10＋ 24= 54(块)；(2)48＋18＋26=92(块)。

4.110千克，10千克。

解：柴油=(12－65)×2＝ 110(千克)，空桶=120-110=10(千克)。

5.390厘米；321厘米。

解：(110-40)× 4＋110=390(厘米)；

(110-40)× 3＋ 110＋1=321(厘米)。

6.A，C，B，D。

解：如右图所示。

7.(1)38；(2)26。

解：(1)172-(32＋ 33＋ 34＋ 35)＝ 38；(2)356-(68＋ 67＋ 66＋ 65＋ 64)＝ 26 第8讲 乘除法应用题

本讲向同学们介绍如何利用乘、除法解答简单应用题。用乘、除法解应用题，首先要明确下面几个关系，然后根据应用题中的已知条件，利用这些数量关系求解。

被乘数×乘数=乘积，相同数×个数=总数，小数×倍数=大数，被除数÷除数=商，被除数÷商=除数，被除数÷除数=(不完全)商„„余数。

例1学校开运动会，三年级有86人报名参加单项比赛，其他年级参加单项比赛的人数是三年级的4倍少5人。全校参加单项比赛的人数有多少人？

分析：先求出其他年级参赛人数，86×4-5＝339(人)，再加上三年级参赛人数，就可求出全校参赛人数。解：(86×4-5)＋86＝425(人)。

答：全校参赛425人。

本题中全校参赛人数也可以看成是三年级参赛人数的5倍少5人，所以可列式为

86×5-5＝425(人)。

例2有5只猴子，其中2只各摘了7个桃子，另外3只各摘了12个桃子。把所有摘下的桃子平均分给这5只猴子，每只猴子能分到多少个桃子？ 解：共摘桃子7×2＋12×3＝50(个)，平均每只猴可分50÷5＝10(个)。

综合算式(7×2＋12×3)÷5＝10(个)。

答：每只猴子能分到10个桃。

例3小白兔上山采摘了许多蘑菇。它把这些蘑菇先平均分成4堆，3堆送给它的小朋友，自己留一堆。后来它又把留下的这一堆平均分成3堆，两堆送给别的小白兔，一堆自己吃。自己吃的这一堆有5个。它共采摘了多少个蘑菇？

分析：我们从后向前分析。当分成3堆时，共有5×3＝15(个)，这是分成4堆时每一堆的个数。所以，分成4堆时，共有15×4＝60(个)。解：(5×3)×4＝15×4=60(个)。

小学奥数基础教程（三年级）

2例1一小组六个同学在某次数学考试中，分别为98分、87分、93分、86分、88分、94分。他们的平均成绩是多少？

解：总成绩=98＋87＋93＋86＋88＋94＝546(分)。

这个小组有6个同学，平均成绩是

546÷6＝91(分)。

答：平均成绩是91分。

例2把40千克苹果和80千克梨装在6个筐内(可以混装)，使每个筐装的重量一样。每筐应装多少千克？ 解：苹果和梨的总重量为

40＋80＝120(千克)。

因要装成6筐，所以，每筐平均应装

120÷6＝20(千克)。

答：每筐应装20千克。

例3小明家先后买了两批小猪，养到今年10月。第一批的3头每头重66千克，第二批的5头每头重42千克。小明家养的猪平均多重？ 解：两批猪的总重量为

66×3＋42×5＝408(千克)。

两批猪的头数为3＋5＝8(头)，故平均每头猪重

408÷8＝51(千克)。

答：平均每头猪重51千克。

注意，在上例中不能这样来求每头猪的平均重量：

(66＋42)÷2＝54(千克)。

上式求出的是两批猪的“平均重量的平均数”，而不是(3＋5＝)8头猪的平均重量。这是刚接触平均数的同学最容易犯的错误！

例4一个学生为了培养自己的数学解题能力，除了认真读一些书外，还规定自己每周(一周为7天)平均每天做4道数学竞赛训练题。星期一至星期三每天做3道，星期四不做，星期五、六两天共做了13道。那么，星期日要做几道题才能达到自己规定的要求？

分析：要先求出每周规定做的题目总数，然后求出星期一至星期六已做的题目数。两者相减就是星期日要完成的题目数。

每周要完成的题目总数是4×7=28(道)。星期一至星期六已做题目3×3＋13＝22(道)，所以，星期日要完成28-22＝6(道)。

解：4×7-(3×3＋13)＝6(道)。

答：星期日要做6道题。

例5三年级二班共有42名同学，全班平均身高为132厘米，其中女生有18人，平均身高为136厘米。问：男生平均身高是多少？ 解：全班身高的总数为

132×42＝5544(厘米)，女生身高总数为

136×18＝2448(厘米)，男生有42-18＝24(人)，身高总数为

5544-2448＝3096(厘米)，男生平均身高为

3096÷24＝129(厘米)。

综合列式：

(132×42-136×18)÷(42-18)＝129(厘米)。

答：男生平均身高为129厘米。

例6小敏期末考试，数学92分，语文90分，英语成绩比这三门的平均成绩高4分。问：英语得了多少分？

分析：英语比平均成绩高的这4分，是“补”给了数学和语文，所以三门功课的平均成绩为

(92＋90＋4)÷2＝93(分)，由此可求出英语成绩。解：(92＋92＋4)÷2＋4＝97(分)。

答：英语得了97分。练习9

1.一班有40个学生，二班有42个学生，三班有45个学生。开学后又转学来了11个学生。怎样分才能使每班学生人数相等？

2.小岗计划4天做15道数学题，结果多做了9道。平均每天做了多少道？

3.一小组同学体检量身高时发现其中2人的身高是123厘米，另外4人的身高均为132厘米。这个小组同学的平均身高是多少？

4.小梅做跳绳练习，第一次跳了67下，第二次跳了76下。她要想三次平均成绩达到80下，第三次至少要跳多少下？

5.一农机站有960千克的柴油。用了6天，还剩240千克。照此用法，剩下的柴油还可用几天？

6.小浩为培养自己的阅读能力，自己规定这一个月(30天)要读完共288页的彩图世界童话名著《伊索寓言》。头9天平均每天读了8页，第二个9天平均每天读了10页，第三个9天平均每天读了11页。最后三天平均每天需要读几页才能达到自己规定的要求？

7.五个同学期末考试的数学成绩平均94分，而其中有三个同学的平均成绩为92分，另两个同学的平均成绩是多少？

8.小亮学游泳，第一次游了25米，第二次游的距离比两次游的平均距离多8米。小亮第二次游了多少米？

9.篮球队中四名队员的平均身高是182厘米，另一名队员的身高比这五队员的平均身高矮8厘米，这名队员的身高是多少？ 答案与提示 练习9

1.一、二、三班分别转入6，4，1人。

提示：每班应有(40＋42＋45＋11)÷3＝46(人)。

2.6道。解：(15＋9)÷4=6(道)。

3.129厘米。

解：(123×2＋132×4)÷6=129(厘米)。

4.97下。解：80×3－(67＋76)＝97(下)。

小学奥数基础教程（三年级）

同理，十个铁环连在一起的长度为

40×10-6×(10-1)=346(毫米)。

答：五个铁环连在一起的长度为176毫米。十个铁环连在一起的长度为346毫米。

例5父子俩一起攀登一个有300个台阶的山坡，父亲每步上3个台阶，儿子每步上2个台阶。从起点处开始，父子俩走完这段路共踏了多少个台阶？(重复踏的台阶只算一个)。

解：因为两端的台阶只有顶的台阶被踏过，根据已知条件，儿子踏过的台阶数为

300÷2＝150(个)，父亲踏过的台阶数为300÷3＝100(个)。

由于2×3=6，所以父子俩每6个台阶要共同踏一个台阶，共重复踏了300÷6＝50(个)。所以父子俩共踏了台阶

150＋100-50＝200(个)。

答：父子俩共踏了200个台阶。

练习10

1.学校有一条长60米的走道，计划在道路一旁栽树。每隔3米栽一棵。

(1)如果两端都各栽一棵树，那么共需多少棵树苗？

(2)如果两端都不栽树，那么共需多少棵树苗？

(3)如果只有一端栽树，那么共需多少棵树苗？

2.一个长100米，宽20米的长方形游泳池，在离池边3米的外围圈(仍为长方形)上每隔2米种一棵树。共种了多少棵树？

3.一根90厘米长的钢条，要锯成9厘米长的小段，一共要锯几次？

4.测量人员测量一条路的长度。先立了一个标杆，然后每隔40米立一根标杆。当立杆10根时，第1根与第10根相距多少米？

5.学校举行运动会。参加入场式的仪仗队共180人，每6人一行，前后两行间隔120厘米。这个仪仗队共排了多长？

6.在一条长1200米的河堤边等距离植树(两端都要植树)。已挖好每隔6米植一棵树的坑，后要改成每隔4米植一棵树。还要挖多少个坑？需要填上多少个坑？

7.一个车队以5米/秒的速度缓缓地通过一座210米长的大桥，共用100秒。已知每辆车长5米，两车之间相隔10米，那么这个车队共有多少辆车？

答案与提示练习10

1.(1)21棵；(2)19棵；(3)20棵。

2.132棵。

解：(100＋3×2)×2＋(20＋3×2)×2＝264(米)，264÷2＝132(棵)。

3.9次。

4.360米。

5.34米80厘米。

解：180÷6=30(行)，120×(30-1)=3480厘米)。

6.200个；100个。

解：原有坑1200÷6＋1=201(个)，现有坑1200÷4＋1=301(个)，其中重复而不需要新挖的坑有1200÷12＋

1=101(个)，需要新挖的坑有301－101=200(个)，需要填上的坑有201-101=100(个)。

7.20辆。

解：车队长5×100-210=290(米)，共有车(290-5)÷(5＋10)＋1=20(辆)。

第11讲 巧数图形

数出某种图形的个数是一类有趣的图形问题。由于图形千变万化，错综复杂，所以要想准确地数出其中包含的某种图形的个数，还真需要动点脑筋。要想有条理、不重复、不遗漏地数出所要图形的个数，最常用的方法就是分类数。

例1数出下图中共有多少条线段。

分析与解：我们可以按照线段的左端点的位置分为A，B，C三类。如下图所示，以A为左端点的线段有3条，以B为左端点的线段有2条，以C为左端点的线段有1条。所以共有3＋2＋1＝6(条)。

我们也可以按照一条线段是由几条小线段构成的来分类。如下图所示，AB，BC，CD是最基本的小线段，由一条线段构成的线段有3条，由两条小线段构成的线段有2条，由三条小线段构成的线段有1条。

所以，共有3＋2＋1＝6(条)。

由例1看出，数图形的分类方法可以不同，关键是分类要科学，所分的类型要包含所有的情况，并且相互不重叠，这样才能做到不重复、不遗漏。例2 下列各图形中，三角形的个数各是多少？

小学奥数基础教程（三年级）

2.下列图形中各有多少个三角形？

3.下列图形中，各有多少个小于180°的角？

4.下列图形中各有多少个三角形？

5.下列图形中各有多少个长方形？

6.下列图形中，包含“*”号的三角形或长方形各有多少？

7.下列图形中，不含“*”号的三角形或长方形各有几个？

答案与提示 练习11

1.(1)28；(2)210。2.(1)36；(2)8。

3.(1)10；(2)15。

4.(1)9个；(2)16个；(3)21个。

5.(1)60个；(2)66个。

6.(1)12个；(2)32个。

7.(1)21个；(2)62个。

提示：4～7题均采用按所含小块的个数分类(见下

表)，表中空缺的为0。

第12讲 巧求周长

我们知道：

这两个计算公式看起来十分简单，但用途却十分广泛。用它们可以解决许多直角多边形(所有的角都是直角的多边形)的周长问题。这是因为直角多边形总可以分割

成若干个正方形或长方形。

例如，下面的图形都可以分割成若干个正方形或长

方形，当然分割的方法不是唯一的。

由此，可以演变出许多只涉及正方形、长方形周长计算公式的题目。

例1一个苗圃园(如左下图)，周边和中间有一些路供人

行走(图中线段表示“路”)，几个小朋友在里面观赏时发现：从A处出发，在速度一样的情况下，只要是按“向右”、“向上”方向走，几个人分头走不同的路线，总会同时达到B处。你知道其中的道理吗？

分析与解：如右上图所示，将各个交点标上字母。由A处到B处，按“向右”、“向上”方向走，只有下面六条路线：

(1)A→C→D→E→B；(2)A→C→O→E→B；(3)A→C→O→F→B；(4)A→H→G→F→B；(5)A→H→O→E→B；(6)A→H→O→F→B。

因为A→C与H→O，G→F的路程一样长，所以可以把它们都换成A→C；同理，将O→E，F→B都换成C→D；

将A→H，C→O都换成D→E；将H→G，O→F都换成E→B。这样换过之后，就得到六条路线的长度都与第(1)条路线相同，而第(1)条路线的长“AD+DB”就是长方形的“长+

小学奥数基础教程（三年级）

6.如右图所示，一个正方形被分成了三个相同的长方形。如果其中一个长方形的周长是16米，那么这个正方形的周长是多少米？

答案与提示练习12

1.50厘米。2.24厘米。

3.188米。解：(28＋16＋50)×2=188(米)。

4.76厘米。

解：7个长方形的周长之和，减去图中重叠(虚线)部分，(5＋3)×2×7－3×2×6＝76(厘米)。

5.60厘米。提示：每个小方格的边长为3厘米。

6.24米。

解：三个长方形的周长等于正方形的8个边长，即等于正方形的两个周长，故正方形的周长为16×3÷2＝24(米)。

第13讲 火柴棍游戏(一)

火柴除了可作火种外，人们常用它来摆图形、算式，做出许多有趣的游戏。它不受场地和时间的限制，只要有几根火柴(或几根长短一样的细小木棍)就可以进行。火柴游戏寓知识、技巧于游戏之中，启迪你的智慧，开阔你的思路，丰富你的课余生活。

火柴游戏大体分为两种：一种是摆图形和变换图形；一种是变换算式。

这一讲我们先介绍变换图形的游戏。1.摆图形游戏

游戏1用8根火柴棍可以摆成一个正方形。现添两根，即用10根火柴能摆出与这个正方形同样大小的图形吗？

分析与解：8根火柴摆一个正方形，每边必是两根火柴。它可以分成四个小正方形(如右图)。因此，只要用10根火柴摆出有四个同样大小的小正方形的图形即可。下面的四个图形都符合题意。

游戏2用8根火柴棍摆出八个大小一样的三角形和两个一样大小的正方形。

分析与解：4根火柴可摆出一个正方形，另4根火柴又可摆出一个同样大小的正方形。把这两个正方形如右图所示交叉放在一起，就形成八个相同的三角形。

2.移动火柴，变换图形游戏

游戏3右图是用10根火柴棍摆成的一座房子。请移动2根火柴，使房子改变方向。

解：如左下图所示，除虚线表示的2根火柴外，其余火柴是左、右对称的，所以改变房子的方向与这些火柴无关，应移动虚线表示的2根火柴(见右下图)。

游戏4在左下图中移动4根火柴棍，使图形成为只有三个正方形的图形。

解：因为只能移动4根火柴，所以图中较长的边(3根或4根火柴的边)都不能动。把图中最里面的4根火柴移补到右上图的相关位置上即可。

游戏5在左下图中移动4根火柴棍，使它变成3个

三角形，并且这3个三角形的面积之和与原来的六边形面积相同。

解：原图中有6个三角形，变化后剩下3个三角形，这3个三角形与原来的6个三角形的面积相同，必然有一个三角形的面积要增大。如右上图所示，移动虚线表示的4根火柴。图中下面的大三角形面积等于小三角形面积的4倍。

小学奥数基础教程（三年级）

0

其中“→”表示“可变为”。

做火柴棍算式游戏就是利用这些变化，改变算式，使之符合题目要求。

下面举的几个例子，只要仔细观察答式，就可以明白是如何按规定变化的，因此就不再进行过细说明了。

游戏1下面火柴棍摆的算式都是错的。请在各式中去掉或添加1根火柴棍，使各式成立：

解：(1)去掉1根，可变为

(2)添加1根，可变为

(3)去掉1根，可变为

游戏2在下列各式中只移动1根火柴棍，使错误的式子变成正确的算式：

解：(1)把221中的1移到等号右边使1变成7。

(2)把17前面的“+”变成“-”，这1根移到等号右边使71变成21。

(3)移动7中1根到4前面去。

游戏3下面的两个算式都是错误的，各移动2根火柴，使它们都变成正确的算式：

解：(1)右边移2根到左边，变为正确算式。

(2)左边的2根火柴移动后，变为正确算式。

游戏4 每式移动3根火柴棍，使各式都变为正确的算式：

为了锻练同学们变换算式的灵活性，我们再做一个游戏。

游戏5 下面是一个不正确的不等式，请移动其中

1根火柴，使不等式成立。要求找到尽可能多的不同的移动方法。

分析与解：因为右边的21无法通过移动一根火柴变小，所以只考虑左边算式，或使被减数变大，或使减数变小，或改变“-”、“＞”等符号。

将“-”号变为“+”号，有

改变“＞”号，有

改变被减数与减数，有

练习14

1.在下面各式中去掉或添加1根火柴棍，使各式变成正确的算式：

2.在下面各式中，只移动1根火柴棍，使各式变为正确的算式：

小学奥数基础教程（三年级）

3.移动2根火柴棍，使下面的不等式反向：

4.在下列各式中移动2根火柴，使它们成立：

5.移动3根火柴棍，使下式成立：

6.在下面的等式中，移动3根火柴棍，使其成为一个新的等式：

7.下面是一个不正确的不等式，请移动其中1根火柴，使不等式成立。请找出尽量多的不同移法。

答案与提示练习14

1.(1)12-2＝10；(2)14＋1＝15。

2.(1)7＋7=7＋7；(2)12-2＋1=11；

(3)14-7＋4=11。

3.4＋1＜7。

4.(1)2＋3=5；(2)19＋10＋9=38。

5.19×7＝133。

6.86-63=23。

7.93-91＜32，93-31＜92，93＋31＞32，33＋31＜92，53＋31＜92。第15讲 趣题巧解

为了考考同学们的智力和灵气，先提几个问题：

一张长方形的纸，用剪刀剪掉一个角，还剩几个角？

把一根毛线对折两次后剪一刀，毛线被剪成了几段？

一树枝上有10只鸟，用汽枪打中了一只，树枝上还剩几只鸟？

这类智力问题很有趣，但回答时要小心，稍有不慎，就可能落入“圈套”。要想正确地解答这类题目，一是要全面考虑各种情况，二是要充分运用学过的数学知识，再就是还需要些思考问题的灵气和非常规的思考方法。例1一张长方形纸片有四个角，用剪刀沿直线剪掉一个角后，还剩几个角？

分析：由于已知“剪掉一个角”，但没有限制如何剪，所以必须对这个已知条件中的“剪法”有一个全面的考虑。否则，不加思索地顺口答出“还剩3个角”，答案就不全面了。当我们仔细考虑“剪法”的各种可能性后，再根据角的定义，就会得到全面而正确的答案。

解：由于剪掉长方形纸片的一个角有下页图所示的三种不同剪法(图中阴影部分为剪掉的角)，所以，可能还有5个角、4个角或3个角。

答：还剩5个角、4个角或3个角。

例2 37个同学要坐船过河，渡口处只有一只能载5人的小船(无船工)。他们要全部渡过河去，至少要使用这只小船渡河多少次？

分析：如果由37÷5=7„„2，得出7+1=8次，那么就错了。因为忽视了至少要有1个人将小船划回来这个特定的要求。实际情况是：小船前面的每一个来回至多只能渡4个人过河去，只有最后一次小船不用返回才能渡5个人过河。

解：因为除最后一次可以渡5个人外，前面若干个来回每个来回只能渡过4个人，每个来回是2次渡河，所以至少渡河

[(37-5)÷4]×2+1=17(次)。

答：至少要渡河17次。

例3(1)右图是10枚硬币，移动其中1枚硬币，使每一行上都有6枚硬币。

(2)用12根火柴拼出6个边长为1根火柴的正方形。分析与解：(1)10枚硬币摆两行，一般来说每行有10÷2=5(枚)。图中的两行却是一行5枚一行6枚，原因是中间有1枚在两行的交叉点上，所以出现了5+6＞10。由于题中并没有规定每个位置上只准放一枚，所以，只要使其中1枚硬币在两直行的交叉点上再“重复”一下，即在两行的交叉点上重叠地放2枚硬币(见右上图)，就可达到目的。

小学奥数基础教程（三年级）

6.球场休息时，保管员慌忙中把甲、乙、丙三个运动员先前交给他的水瓶都递送错了，结果甲喝的是丙的。乙、丙各喝的是谁的？

7.有一个台称，只能称40千克以上的重量，甲、乙、丙三个小朋友的体重都在20～39千克之间，他们都想知道自己的体重。用这台称怎样才能知道他们各自的体重？

8.(1)三个小朋友三分钟削三支铅笔，九个小朋友六分钟削几支铅笔？

(2)三只猫三天吃三只老鼠，六只猫几天吃18只老鼠？ 答案与提示 练习15

1.能构成0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，12个角。

2.如右图的立体图形。

3.180下。

4.2，4，5环。

提示：［(1＋2＋4＋5＋7＋9)-6］÷2=11，只有2＋4＋5=11。

5.每人都是3个。

提示：初始及各圈结束后，每人的苹果数如下图：

6.乙喝的是甲的，丙喝的是乙的。

7.先甲、乙、丙合称，设重量为a千克；再甲、乙合称，设为b千克；再甲、丙合称，设为C千克。由此求出：

丙=a-b，乙=a-c，甲=b＋c-a。8.(1)18支；(2)9天。第16讲 数阵图(一)

在神奇的数学王国中，有一类非常有趣的数学问题，它变化多端，引人入胜，奇妙无穷。它就是数阵，一座真正的数字迷宫，它对喜欢探究数字规律的人有着极大的吸引力，以至有些人留连其中，用毕生的精力来研究它的变化，就连大数学家欧拉对它都有着浓厚的兴趣。

那么，到底什么是数阵呢？我们先观察下面两个图：

左上图中有3个大圆，每个圆周上都有四个数字，有意思的是，每个圆周上的四个数字之和都等于13。右上图就更有意思了，1～9九个数字被排成三行三列，每行的三个数字之和与每列的三个数字之和，以及每条对角线上的三个数字之和都等于15，不信你就算算。

上面两个图就是数阵图。准确地说，数阵图是将一些数按照一定要求排列而成的某种图形，有时简称数阵。要排出这样巧妙的数阵图，可不是一件容易的事情。我们还是先从几个简单的例子开始。

例1 把1～5这五个数分别填在左下图中的方格中，使得横行三数之和与竖列三数之和都等于9。

同学们可能会觉得这道题太容易了，七拼八凑就写

出了右上图的答案，可是却搞不清其中的道理。下面我们就一起来分析其中的道理，只有弄懂其中的道理，才可能解出复杂巧妙的数阵问题。

分析与解：中间方格中的数很特殊，横行的三个数有它，竖列的三个数也有它，我们把它叫做“重叠数”。也就是说，横行的三个数之和加上竖列的三个数之和，只有重叠数被加了两次，即重叠了一次，其余各数均被加了一次。因为横行的三个数之和与竖列的三个数之和都等于9，所以

(1+2+3+4+5)+重叠数=9+9，重叠数=(9+9)-(1+2+3+4+5)=3。

重叠数求出来了，其余各数就好填了(见右上图)。例2 把1～5这五个数填入下页左上图中的○里(已填入5)，使两条直线上的三个数之和相等。

分析与解：与例1不同之处是已知“重叠数”为5，而不知道两条直线上的三个数之和都等于什么数。所

以，必须先求出这个“和”。根据例1的分析知，两条直线上的三个数相加，只有重叠数被加了两遍，其余各数均被加了一遍，所以两条直线上的三个数之和都等于

[(1+2+3+4+5)+5]÷2=10。

小学奥数基础教程（三年级）

如果每条直线上的三个数之和等于10，那么又该如何填？

2.将1～9这九个数分别填入右上图中的○里(其中9已填好)，使每条直线上的三个数之和都相等。

如果中心数是5，那么又该如何填？

3.将1～9这九个数分别填入右图的小方格里，使横行和竖列上五个数之和相等。(至少找出两种本质上不同的填法)

4.将3～9这七个数分别填入左下图的○里，使每条直线上的三个数之和等于20。

5.将1～11这十一个数分别填入右上图的○里，使每条直线上的三个数之和相等，并且尽可能大。

6.将1～7这七个数分别填入下图的○里，使得每条直线上三个数之和与每个圆圈上的三个数之和都相等。

答案与提示 练习16

5.提示：中心数是重叠数，并且重叠4次。所以每条直线上的三数之和等于

［(1＋2＋„＋11)＋重叠数×4］÷5

＝(66＋重叠数×4)÷5。

为使上式能整除，重叠数只能是1，6或11。显然，重叠数越大，每条直线上的三数之和越大。所以重叠数是11，每条直线上的三数之和是22。填法见右图。

6.解：所有的数都是重叠数，中心数重叠两次，其它数重叠一次。所以三条边及两个圆周上的所有数之和

为

(1＋2＋„＋7)×2＋中心数＝56＋中心数。

因为每条边及每个圆周上的三数之和都相等，所以这个和应该是5的倍数，再由中心数在1至7之间，所

以中心数是4。每条边及每个圆周上的三数之和等于(56＋4)÷5＝12。

中心数确定后，其余的数一下还不好直接确定。我们可以试着先从辐射型3-3图开始。中心数是4，每边其余两数之和是12-4=8，两数之和是8的有1，7；2，6；3，5。于是得到左下图的填法。

小学奥数基础教程（三年级）

一般地，在m边形中，每条边上有n个数的形如下图的图形称为封闭型m-n图。

与“辐射型m-n图只有一个重叠数，重叠次数是m-1”不同的是，封闭型m-n图有m个重叠数，重叠次数都是1次。

对于封闭型数阵图，因为重叠数只重叠一次，所以

已知各数之和+重叠数之和

=每边各数之和×边数。

由这个关系式，就可以分析解决封闭型数阵图的问题。

前面我们讲了辐射型数阵图和封闭型数阵图，虽然大多数数阵问题要比它们复杂些，但只要紧紧抓住“重叠数”进行分析，就能解决很多数阵问题。

例5把1～7分别填入左下图中的七个空块里，使每个圆圈里的四个数之和都等于13。

分析与解：这道题的“重叠数”很多。有重叠2次的(中心数，记为a)；有重叠1次的(三个数，分别记为b，c，d)。根据题意应有

(1+2+„+7)+a+a+b+c+d=13×3，即 a+a+b+c+d=11。

因为1+2+3+4=10，11-10=1，所以只有a=1，b，c，d分别为2，3，4才符合题意，填法见右上图。

练习17

1.把1～8填入下页左上图的八个○里，使每个圆圈上的五个数之和都等于20。

2.把1～6这六个数填入右上图的○里，使每个圆圈上的四个数之和都相等。

3.将1～8填入左下图的八个○中，使得每条边上的三个数之和都等于15。

4.将1～8填入右上图的八个○中，使得每条直线上的四个数之和与每个圆周上的四个数之和都相等。

5.将1～7填入右图的七个○，使得每条直线上的各数之和都相等。

6.把1，3，5，7，9，11，13分别填入左图中的七

个空块中，使得每个圆内的四个数之和都等于34。

答案与提示练习17

每个圆周的四数之和=12每个圆周的四数之和=13

每个圆周的四数之和=14

小学奥数基础教程（三年级）

9的30是偶数，所以，数42□必为奇数。于是，□里只能填奇数1，3，5，7，9。

(3)1，3，5，7，9，11，13，15都是奇数，由1×3为奇数，推知1×3×5为奇数„„推知

1×3×5×7×9×11×13×15

为奇数。因为14为偶数，所以

(1×3×5×7×9×11×13×15)×14为偶数，即

1×3×5×7×9×11×13×14×15为偶数。

由例2得出：

(1)在全部是加、减法的运算中，若参加运算的奇数的个数是偶数，则结果是偶数；若参加运算的奇数的个数是奇数，则结果是奇数。

(2)在连乘运算中，只要有一个因数是偶数，则整个乘积一定是偶数。

例3在黑板上先写出三个自然数3，然后任意擦去其中的一个，换成所剩两个数的和。照这样进行100次后，黑板上留下的三个自然数的奇偶性如何？它们的乘积是奇数还是偶数？为什么？ 解：根据奇偶数的运算性质知：

第一次擦后，改写得到的三个数是6，3，3，是“二奇一偶”；

第二次擦后，改写得到的三个数是6，3，3或6，9，3或6，3，9，都是“二奇一偶”。

以后若擦去的是偶数，则改写得到的数为二奇数之和，是偶数；若擦去的是奇数，则改写得到的数为一奇一偶之和，是奇数。总之，黑板上仍保持“二奇一偶”。

所以，无论进行多少次擦去与改写，黑板上的三个数始终为“二奇一偶”。它们的乘积

奇数×奇数×偶数=偶数。

故进行100次后，所得的三个自然数的奇偶性为二奇数、一偶数，它们的乘积一定是偶数。

2.能被5整除的数的特征

由0×5=0，2×5=10，4×5=20，6×5=30，8×5= 40，„可以推想任何一个偶数乘以5，所得乘积的个位数都是0。

由1×5=5，3×5=15，5×5=25，7×5=35，9×5= 45，„可以推想，任何一个奇数乘以5，所得乘积的个位数都是5。

因此，能被5整除的数的个位数一定是0或5。也就是说，凡是个位数是0或5的整数一定能被5整除；凡是个位数不是0或5的整数一定不能被5整除。例如，870，6275，1234567890等都能被5整除，264，3588等都不能被5整除。

例4由0，3，5写成的没有重复数字的三位数中，有哪些能被5整除？

解：因为个位数为0或5的数才能被5整除，所以由0，3，5写成的没有重复数字的三位数中，只有350，530，305三个数能被5整除。

例5下面的连乘积中，末尾有多少个0？

1×2×3ׄ×29×30。

解：因为2×5=10，所以在连乘积中，有一个因子2和一个因子5，末尾就有一个0。连乘积中末尾的0的个数，等于1～30中因子2的个数与因子5的个数中较少的一个。而在连乘积中，因子2的个数比因子5的个数多(如4含两个因子2，8含三个因子2)，所以，连乘积末尾0的个数与连乘积中因子5的个数相同。连乘积中含因子5的数有5，10，15，20，25，30，这些数中共含有七个因子 5(其中25含有两个因子5)。所以，1×2×3ׄ×29×30的积中，末尾有七个0。练习18

1.在20～200的整数中，有多少个偶数？有多少个奇数？偶数之和与奇数之和谁大？大多少？

2.不算出结果，直接判断下列各式的结果是奇数还是偶数：

(1)1＋2＋3＋4＋5；

(2)1＋2＋3＋4＋5＋6＋7；

(3)1＋2＋3＋„＋9＋10；

(4)1＋3＋5＋„＋21＋23；

(5)13-12＋11-10＋„＋3-2＋1。

3.由4，5，6三张数字卡片能组成多少个能被2整除的三位数？

4.两个质数之和是13，这两个质数之积是多少？ 5.下面的连乘积中，末尾有多少个0？ 20×21×22ׄ×49×50。

6.用0，1，2，3，4，5这六个数码组成的没有重复数字的两位数中，能被5整除的有几个？能被2整除的有几个？能被10整除的有几个？

答案与提示 练习18

1.解：偶数有(200-20)÷2＋1=91(个)，奇数有(200-20)÷2＝90(个)，偶数之和比奇数之和大1×90＋20=110。

2.(1)奇数；(2)偶数；(3)奇数；(4)偶数；(5)奇数。3.6个。

提示：卡片6可以看成9，能被2整除的有

564，654，594，954，456，546。

4.22。

解：13为奇数，它必是一奇一偶之和。因为质数中唯一的偶数是2，所以这两个质数中的偶数是2，奇数是13-2＝11，乘积为2×11=22。

5.9个0。

6.有9个能被5整除；有13个能被2整除；有5个能被10整除。

第19讲 能被3整除的数的特征

上一讲我们讲了能被2，5整除的数的特征，根据这些特征，很容易就能判别出一个数是否能被2或5整除。

小学奥数基础教程（三年级）

我们在第1讲中介绍了加、减法的运算律和性质，利用它们可以简化一些加、减法算式的计算。本讲将介绍在巧算中常用的一些乘、除法的运算律和性质，其目的也是使一些乘、除法计算得到简化。

1.乘法的运算律

乘法交换律：两个数相乘，交换两个数的位置，其积不变。即

a×b=b×a。

其中，a，b为任意数。

例如，35×120=120×35=4200。

乘法结合律：三个数相乘，可以先把前两个数相乘后，再与后一个数相乘，或先把后两个数相乘后，再与前一个数相乘，积不变。即

a×b×c=(a×b)×c=a×(b×c)。

注意：

(1)这两个运算律中数的个数可以推广到更多个的情形。即多个数连乘中，可以任意交换其中各数的位置，积不变；多个数连乘中，可以任意先把几个数结合起来相乘后，再与其它数相乘，积不变。

(2)这两个运算律常一起并用。例如，并用的结果有

a×b×c=b×(a×c)等。例1计算下列各题：

(1)17×4×25；(2)125×19×8；(3)125×72；(4)25×125×16。

分析：由于25×4=100，125×8=1000，125×4=500，运用乘法交换律和结合律，在计算中尽量先把25与

4、把125与8或4结合起来相乘后，再与其它数相乘，以简化计算。解：

(2)125×19×8

=(125×8)×19

=1000×19

=19000；(3)125×72

=125×(8×9)

=(125×8)×9

=1000×9

=9000；(4)25×125×16或

=25×125×2×8

=(25×2)×(125×8)

=50×1000

=50000，25×125×16

=25×125×4×4

=(25×4)×(125×4)

=100×500

=50000。

乘法分配律：两个数之和(或差)与一数相乘，可用此数先分别乘和(或差)中的各数，然后再把这两个积相加(或减)。即

(a+b)×c=a×c+b×c，(a-b)×c=a×c-b×c。例2计算下列各题：

(1)125×(40+8)；(2)(100-4)×25；(3)2004×25；(4)125×792。解：

(1)125×(40+8)

=125×40+125×8

=5000+1000

=6000；(2)(100-4)×25

=100×25-4×25

=2500-100

=2400；(3)2004×25

=(2000+4)×25

=2000×25+4×25

=50000+100

=50100；(4)125×792

=125×(800-8)

=125×800-125×8

=(125×8)×100-1000

=1000×100-1000

=1000×(100-1)

=99000。

2.除法的运算律和性质

商不变性质：被除数和除数乘(或除)以同一个非零数，其商不变。即

a÷b=(a×n)÷(b×n)(n≠0)

=(a÷m)÷(b÷m)(m≠0)例3计算：

(1)425÷25；(2)3640÷70。解：(1)425÷25

=(425×4)÷(25×4)

=1700÷100

=17；(2)3640÷70

=(3640÷10)÷(70÷10)

=364÷7

=52。

(2)两数之和(或差)除以一个数，可以用这两个数分别除以那个数，然后再求两个商的和(或差)。即

(a±b)÷c=a÷c±b÷c。

小学奥数基础教程（三年级）

5.(1)384×12÷8；

(2)2352÷(7×8)；

(3)1200×(4÷12)；

(4)1250÷(10÷8)；

(5)2250÷75÷3；

(6)636×35÷7；

(7)(126×56)÷(7×18)。答案与提示练习20

1.(1)1200；(2)13000；(3)7000；(4)100000。

2.(1)10500；(2)2300；(3)22500；(4)11000。

3.(1)55；(2)56。

4.(1)152；(2)47；(3)9；(4)53。

5.(1)576；(2)42；(3)400；(4)1000；(5)10；(6)3180；(7)56。

第21讲 乘法中的巧算

上一讲我们介绍了乘、除法的一些运算律和性质，它是乘、除法中巧算的理论根据，也给出了一些巧算的方法。本讲在此基础上再介绍一些乘法中的巧算方法。

1.乘11，101，1001的速算法

一个数乘以11，101，1001时，因为11，101，1001分别比10，100，1000大1，利用乘法分配律可得

a×11=a×(10＋1)=10a＋a，a×101=a×(101＋1)=100a＋a，a×1001=a×(1000＋1)=1000a＋a。

例如，38×101=38×100＋38=3838。

2.乘9，99，999的速算法

一个数乘以9，99，999时，因为9，99，999分别比10，100，1000小1，利用乘法分配律可得

a×9=a×(10-1)=10a-a，a×99=a×(100-1)=100a-a，a×999=a×(1000-1)=1000a-a。

例如，18×99=18×100-18=1782。

上面讲的两类速算法，实际就是乘法的凑整速算。凑整速算是当乘数接近整

十、整百、整千„„的数时，将乘数表示成上述整

十、整百、整千„„与一个较小的自然数的和或差的形式，然后利用乘法分配律进行速算的方法。例1 计算：(1)356×1001

＝356×(1000＋1)

＝356×1000＋356

＝356000＋356

＝356356；(2)38×102

＝38×(100＋2)

＝38×100＋38×2

＝ 3800＋76

＝3876；

(3)526×99

＝526×(100-1)

＝ 526×100-526

＝ 52600-526

＝52074；(4)1234×9998

＝ 1234×(10000-2)

＝1234×10000-1234×2

＝12340000-2468

＝12337532。

3.乘5，25，125的速算法

一个数乘以 5，25，125时，因为 5×2＝10，25×4＝100，125×8＝1000，所以可以利用“乘一个数再除以同一个数，数值不变”及乘法结合律，得到

例如，76×25＝7600÷4＝1900。

上面的方法也是一种“凑整”，只不过不是用加减法“凑整”，而是利用乘法“凑整”。当一个乘数乘以一个较小的自然数就能得到整

十、整百、整千„„的数时，将乘数先乘上这个较小的自然数，再除以这个较小的自然数，然后利用乘法结合律就可达到速算的目的。例2 计算：(1)186×5

=186×(5×2)÷2

=1860÷2

=930；(2)96×125

=96×(125×8)÷8

=96000÷8=12000。

有时题目不是上面讲的“标准形式”，比如乘数不是25而是75，此时就需要灵活运用上面的方法及乘法运算律进行速算了。例3 计算：(1)84×75

=(21×4)×(25×3)

=(21×3)×(4×25)

=63×100=6300；(2)56×625

=(7×8)×(125×5)

=(7×5)×(8×125)

=35×1000=35000；(3)33×125

=32×125+1×125

=4000+125=4125；(4)39×75

=(32+1)×125 =(40-1)×75

=40×75-1×75

=3000-75=2925。

4.个位是5的两个相同的两位数相乘的速算法

小学奥数基础教程（三年级）

5分析与解：(1)首先，从个位数分析，可知被乘数的个位数只能为4。

其次，从首位数分析知，被乘数□5□的首位数只能为2。因为，被乘数的首位取1时，×23的积的首位小于5，而取大于2的数时，积的首位数大于5。

由254×23＝5842知，填法如下：

(2)将问题转换成“在 9□□4=□0□×48中填数”的问题。

类似(1)的分析，被乘数□0□的首位只能填2，个位数只能填3或8。由

203×48＝9744和208×48＝9984

知，有如下两种填法：

例4 在下列各题中，每一题的四个□中都填同一个数字，使式子成立：(1)□+□＞□×□；(2)□+□=□×□；(3)□+□＜□×□。

解：解这类题全靠对数的深刻认识和对四则运算的熟练掌握。

(2)只能填2或0：

(3)除0，1，2三数字外，其他数字3，4，„，9都可填。

例5 在下式的□中填入合适的数字，并要求等式中没有重复的数字：

756=□×□□□。

分析与解：将乘法式子改写成除法式子：

756÷□=□□□。

因为被除数与商都是三位数，所以除数不能大于被除数的百位数7。又因为题目要求没有重复数字，所以除数只可能是2，3，4。逐一试除，得到

756÷2＝378，756÷3＝252，756÷4＝189。

只有756÷4＝189没有重复数字，所以只有一种填法：

例6 将0，1，2，3，4，5，6七个数字分别填入下式的七个□里，使算式成立：

□□÷□=□×□=□□。

分析与解：为了方便，我们将原式分成两个等式，并在□里填上字母，以示区别：

其中字母A，B，C，D，E，F，G分别代表0～6这七个数字。由①式看出，E不能是0，否则B也是0，不合题意。再由②式看出，F，G既不能是0，也不能是1。F，G只能是 2，3，4，5或6，考虑到E≠0，再除去有重复数字的情形，满足②式的数字填法只有3×4＝12。此时，还剩下0，5，6三个数字未填。因为在①式中A，C都不能是0，所以B是0，由60÷5＝12，得到符合题意的唯一填法：

练习22

1.在下列各式的□中分别填入相同的两位数：

(1)5×□=2□；

(2)6×□＝3□。

2.将3～9中的数填入下列各式，使算式成立，要求各式中无重复的数字：

(1)□÷□=□÷□；

(2)□÷□＞□÷□。

3.在下列各式的□中填入合适的数字：

(1)448÷□□=□；

(2)2822÷□□=□□；

(3)13×□□= 4□6。

4.在下列各式的□中填入合适的数：

(1)□÷32＝8„„31；

(2)573÷32＝□„„29；

(3)4837÷□＝74„„27。

5.在下列各式的□中填入合适的数字，要求各等式中无重复的数字：

(1)342÷□□=□；

(2)□×□□□＝567。

6.将1～9这九个数字分别填入下式中的九个□里，使连等式成立：

□÷□=□÷□=□□□÷□□。答案与提示

练习22

4.(1)287；(2)17；()65。

小学奥数基础教程（三年级）

分析与解：将部分□用字母表示如右上式。

第1步：在A6×B＝□□8中，积的个位是 8，所以B只可能是3或8。由□□8＜11□知，□□8是108或118，因为108和118都不是8的倍数，所以B≠8，B＝3。又因为只有108是3的倍数，108÷3＝36，所以A＝3。

第2步：由 A6×C＝36×C=□□知，C只能是1或2。当C=1时，36×31＝1116；当C＝2时，36×32＝1152。

所以，本题有如下两种填法：

练习23

1.在下列各式的□中填入合适的数字：

2.下列各题中，不同的汉字代表不同的数字，相同的汉字代表相同的数字。求出这些数字代表的数。

3.在下列各式的□中填入合适的数字：

4.在下面的竖式中，被除数、除数、商、余数的和是709。

请填上各□中的数字。

答案与提练习23

提示：(1)先确定乘数是11。

(2)先确定乘数的十位数是7，再确定被乘数的十位

数是1，最后确定乘数的个位是3。

2.(1)庆=3，祝=9；

(2)学=2，习=5，好=6。

提示：(2)由右式①②③知，“好”＞“习”，故“习”

＜9。再由②知“学”=2，“习”=4或5。若“习”＝4，则由“24好×4”知①是三位数，不合题意，所以“习”=5。再由①②③知“好”=6。

4.提示：由题意和竖式知，被除数＋除数＝709－21－3＝685，再由竖式知，被除数＝除数×21＋3，所以，除数×21＋3＋除数＝685，除数×22＝685－3＝682，除数＝682÷22＝31。

小学奥数基础教程（三年级）

9分析与解：这道题仍是和倍应用题，因为有“和”、有“倍数”。但这里的“和”不是 160，而是160－20＋10＝150，“1倍”数却是“小灰兔又自己采了10个后的蘑菇数”。线段图如下：

根据和倍公式，小灰兔现有蘑菇(即“1倍”数)

(160-20＋10)÷(5＋1)＝25(个)，故小灰兔原有蘑菇25-10＝15(个)，大白兔原有蘑菇

160-15＝145(个)。

答：原来大白兔采蘑菇145个，小灰兔采15个。练习24

1.小敏与爸爸的年龄之和是64岁，爸爸的年龄是小敏的3倍。小敏和她爸爸的年龄各是多少岁？

2.一肉店卖出猪肉和牛肉共560千克，卖出的猪肉是卖出的牛肉的4倍。猪、牛肉各卖了多少千克？

3.甲、乙两桶汽油共84千克。如果把乙桶中的油倒入甲桶15千克，那么这时甲桶中的汽油等于乙桶中的汽油的3倍。甲、乙两桶原有汽油各多少千克？

4.甲、乙两人共生产零件100个，其中甲有2个零件、乙有5个零件不合格。已知乙生产的合格零件是甲生产的合格零件的2倍。甲、乙各生产了多少个零件？

5.团结村原有水田290公顷，旱田170公顷。要把多少公顷旱田改为水田，才能使水田的公顷数比旱田的公顷数多2倍？

6.红星小学图书馆内，科技书是故事书的3倍，连环画书又是科技书的2倍。已知这三种书共有1600本，那么每种书各有多少本？ 答案与提示 练习24

1.16岁，48岁。

2.448千克，112千克。

3.甲桶48千克，乙桶36千克。解：乙桶原有84÷(3＋1)＋15=36(千克)，甲桶原有84-36=48(千克)。

4.甲33个，乙67个。

解：甲=(100-2-5)÷(2＋1)＋2=33(个)，乙=100-33=67(个)。

5.55公顷。

解：170-(290＋170)÷(2＋1＋1)=55(公顷)。

6.故事书160本，科技书480本，连环画960本。解：以故事书为“1倍”数，则科技书为它的3倍，连环画书为它的3×2=6(倍)。由和倍公式，得

故事书有1600÷(1＋3＋6)＝160(本)，科技书有160×3=480(本)，连环画有160×6＝960(本)。

第25讲 差倍应用题

与和倍应用题相似的是差倍应用题。它的“基本数学格式”是：

已知大、小二数之“差”，又知大数是小数的几倍，求大、小二数各是多少。

上面的问题中，有“差”、有“倍数”，所以叫做差倍应用题。差倍问题中大、小二数的数量关系可以用下面的线段图表示：

从线段图知，“差”是小数(即“1倍”数)的(倍数-1)倍，所以，小数=差÷(倍数-1)。

上式称为差倍公式。由此得到

大数=小数+差，或

大数=小数×倍数。

例如，大、小数之差是152，大数是小数的5倍，则

小数=152÷(5-1)=38，大数=38＋152=190或38×5＝190。

例1 王师傅一天生产的零件比他的徒弟一天生产的零件多128个，且是徒弟的3倍。师徒二人一天各生产多少个零件？

分析：师徒二人一天生产的零件的“差”是128个。小数(即“1倍”数)是徒弟一天生产的零件数，“倍数”为3。由差倍公式可以求解。解：徒弟一天生产零件

128÷(3-1)=64(个)，师傅一天生产零件

128＋64＝192(个)或64×3＝192(个)。

答：徒弟、师傅一天分别生产零件64个和192个。例2 两根电线的长相差30米，长的那根的长是短的那根的长的4倍。这两根电线各长多少米？

解：“差”＝30，倍数=4，由差倍公式得短的电线长

30÷(4-1)＝10(米)，长的电线长

10＋30＝40(米)或10×4＝40(米)。

答：短的电线长10米，长的电线长40米。

解差倍应用题的关键是确定“1倍”数是谁，“差”是什么。上两例中，“1倍”数及“差”都极明显地直接给出。下面讲两个稍有变化，不直接给出“差”和“1倍”数的例子。

小学奥数基础教程（三年级）

14243成一个大长方形(见下图)，然后利用大长方形与两个小长方形的面积之差，求出图形的面积。

(5＋3＋4)×(2＋3＋2)-2×3-(2＋3)×4＝58(米2)；

或

(5＋3＋4)×(2＋3＋2)-2×(3＋4)-3×4＝58(米2)。

由例1看出，计算直角多边形面积，主要是利用“分割”和“添补”的方法，将图形演变为多个长方形的和或差，然后计算出图形的面积。其中“分割”是最基本、最常用的方法。

例2 右图为一个长50米、宽25米的标准游泳池。它的四周铺设了宽2米的白瓷地砖(阴影部分)。求游泳池面积和地砖面积。

分析与解：游泳池面积=50×25＝1250(米

2)。

求地砖面积时，我们可以将阴影部分分成四个长方形(见下图)，从而可得白瓷地砖的面积为

(2＋25＋2)×2×2＋50×2×2＝316(米2)；

或

(2＋50＋2)×2×2＋25×2×2＝316(米2)。

求地砖的面积，我们还可以通过“挖”的方法，即从大长方形内“挖掉”一个小长方形(见右图)。从而可得白瓷地砖面积为

(50＋2＋2)×(25＋2＋2)-50×25

=316(米2)。

例3 下图中有三个封闭图形，每个封闭图形均由边长为1厘米的小正方形组成。试求各图形的面积。

解：每个小方格的面积为1厘米2。

图(1)可分成四个凸出块和一个中间块，这五块的面积都是2×2＝4(厘米2)。图(1)的面积为

4×5＝20(厘米2)。

图(2)可以看成是从长7厘米、宽6厘米的长方形中，“挖掉”4个边长为2厘米的正方形。它的面积等于

7×6-(2×2)×4=26(厘米

2)。

图(3)像个宝鼎，竖行分割，从左至右分成五块，每块面积依次为2，5，3，5，2厘米2，总面积为

2＋5＋3＋5＋2＝17(厘米2)。

例3中分割成正方形、长方形的方法很多，因而具体计算面积的方法也很多。由于图形内所含方格数不多，所以也可以通过数图中小方格的数目来求得面积。例4 一个长方形的周长是22厘米。如果它的长和宽都是整数厘米，那么这个长方形的面积(单位：厘米

2)有多少种可能值？最大、最小各是多少？

解：因为长方形的周长是22厘米，所以它的长、宽之和是22÷2＝11(厘米)。考虑到长、宽都是整数厘米，只有如下情形：

所以，这个长方形的面积有五种可能值：10，18，24，28，30厘米

2。最大是30厘米2，最小是10厘米2

。练习27

1.甲、乙两块地都是长方形，且一样长。

(1)如果甲地面积是乙地面积的2倍，那么甲地的宽是乙地的宽的多少倍？

(2)如果甲地的宽是乙地的宽的3倍，那么甲地面

积是乙地面积的多少倍？

2.求下列各图的面积。(单位：厘米)

3.把边长为40米的正方形运动场扩为长60米、宽50米的长方形运动场。此运动场面积扩大了多少？周长

增加了多少？

4.一个正方形的面积是144米

2。如果它被分成六个相同的长方形(如左下图)，那么，其中一个长方形的面

积和周长各是多少？

小学奥数基础教程（三年级）

5数之和是偶数(任意个偶数之和是偶数)，于是得到所有端点的总数是奇数，这与前面的结论矛盾。所以一个图形的奇点数目一定是偶数。

(2)有K个奇点的图形要K÷2笔才能画成。

例如：下页左上图中的房子共有B，E，F，G，I，J六个奇点，所以不是一笔画。如果我们将其中的两个奇点间的连线去掉一条，那么这两个奇点都变成了偶点，如果能去掉两条这样的连线，使图中的六个奇点变成两个，那么新图形就是一笔画了。将线段GF和BJ去掉，剩下I和E两个奇点(见右下图)，这个图形是一笔画，再添上线段GF和BJ，共需三笔，即(6 ÷2)笔画成。

一个K(K＞1)笔画最少要添加几条连线才能变成一笔画呢？我们知道K笔画有2K个奇点，如果在任意两个奇点之间添加一条连线，那么这两个奇点同时变成了偶点。如左下图中的B，C两个奇点在右下图中都变成了偶点。所以只要在K笔画的2K个奇点间添加(K-1)笔就可以使奇点数目减少为2个，从而变成一笔画。

到现在为止，我们已经学会了如何判断一笔画和多笔画，以及怎样添加连线将多笔画变成一笔画。

练习28

1.下列图形分别是几笔画？怎样画？

2.能否用剪刀从左下图中一次连续剪下三个正方形和两个三角形？

3.从A点出发，走遍右上图中所有的线段，再回到A点，怎样走才能使重复走的路程最短？

4.如下图所示，两条河流的交汇处有两个岛，有七座桥连接这两个岛及河岸。问：一个散步者能否一次不重复地走遍这七座桥？

答案与提示练习28

1.(1)(3)是一笔画，(2)是两笔画。

2.能，因为是一笔画。

3.见右图，走法不唯一。

4.能。例如下图的走法。

第29讲 一笔画(二)

利用一笔画原理，我们可以解决许多有趣的实际问题。

例1 右图是某展览馆的平面图，一个参观者能否不重复地穿过每一扇门？如果不能，请说明理由。如果能，应从哪开始走？

分析与解：我们将每个展室看成一个点，室外看成点E，将每扇门看成一条线段，两个展室间有门相通表示两个点间有线段相连，于是得到右图。能否不重复地穿过每扇门的问题，变为右图是否一笔画问题。

右图中只有A，D两个奇点，是一笔画，所以答案是肯定的，应该从A或D展室开始走。

例1的关键是如何把一个实际问题变为判断是否一笔画

问题，就像欧拉在解决哥尼斯堡七桥问题时做的那样。例2 一个邮递员投递信件要走的街道如下页左上图所示，图中的数字表示各条街道的千米数，他从邮局出发，要走遍各街道，最后回到邮局。怎样走才能使所走的行程最短？全程多少千米？

小学奥数基础教程（三年级）

分析与解：图中共有8个奇点，必须在8个奇点间添加4条线，才能消除所有奇点，成为能从邮局出发最后返回邮局的一笔画。在距离最近的两个奇点间添加一条连线，如左上图中虚线所示，共添加4条连线，这4条连线表示要重复走的路，显然，这样重复走的路程最短，全程30千米。走法参考右上图(走法不唯一)。例3右图中每个小正方形的边长都是100米。小明沿线段从A点到B点，不许走重复路，他最多能走多少米？

分析与解：这道题大多数同学

都采用试画的方法，实际上可以用一笔画原理求解。首先，图中有8个奇点，在8个奇点之间至少要去掉4条线段，才能使这8个奇点变成偶点；其次，从A点出发到B点，A，B两点必须是奇点，现在A，B都是偶点，必须在与A，B连接的线段中各去掉1条线段，使A，B成为奇点。所以至少要去掉6条线段，也就是最多能走1800米，走法如下页上图。或

例2与例3的图中各有8个奇点，都是通过减少奇点个数，将多笔画变成一笔画的问题，但它们采用的方法却完全不同。因为例2中只要求走遍所有的线段，没有要求不能重复，所以通过添加线段的方法(实际是重复走添加线段的这段路)，将奇点变为偶点，使多笔画变成一笔画。而在例3中，要求不能走重复的路，所以不能添加线段，只能通过减少线段的方法，将奇点变为偶点，使多笔画变成一笔画。区别就在于能否重复走！能“重复”就“添线”，不能“重复”就“减线”。

例4在六面体的顶点B和E处各有一只蚂蚁(见右图)，它们比赛看谁能爬过所有的棱线，最终到达终点D。已知它们的爬速相同，哪只蚂蚁能获胜？

分析与解：许多同学看不出这

是一笔画问题，但利用一笔画的知识，能非常巧妙地解答这道题。这道题只要求爬过所有的棱，没要求不能重复。可是两只蚂蚁爬速相同，如果一只不重复地爬遍所有的棱，而另一只必须重复爬某些棱，那么前一只蚂蚁爬的路程短，自然先到达D点，因而获胜。问题变为从B到D与从E到D哪个是一笔画问题。图中只有E，D两个奇点，所以从E到D可以一笔画出，而从B到D却不能，因此E点的蚂蚁获胜。

练习29

1.邮递员要从邮局出发，走遍左下图(单位：千米)

中所有街道，最后回到邮局，怎样走路程最短？全程多少千米？

2.有一个邮局，负责21个村庄的投递工作，右上图中的点表示村庄，线段表示道路。邮递员从邮局出发，怎样才能不重复地经过每一个村庄，最后回到邮局？

3.一只木箱的长、宽、高分别为5，4，3厘米(见右图)，有一只甲虫从A点出发，沿棱爬行，每条棱不允许

重复，则甲虫回到A点时，最多能爬行多少厘米？

答案与提示 练习29

1.50千米，走法见左下图。

小学奥数基础教程（三年级）

2.见右上图。

3.最多爬行34厘米。

提示：8个点都是奇点，故至少要少爬4条棱。少爬3厘米的棱和4厘米的棱各两条是最合理的(见右图)。

第30讲 包含与排除

同学们对这个题目可能很陌生，为了搞清楚什么是“包含与排除”，大家先一起回答两个问题：

(1)两个面积都是4厘米

2的正方形摆在桌面上(见左下图)，它们遮盖住桌面的面积是8厘米2

吗？

(2)一个正方形每条边上有6个点(见右上图)，四条边上一共有24个点吗？

聪明的同学马上就会发现：

(1)两个正方形的面积和是8厘米2，现在它们有一部分重叠了。因此盖住桌面的面积应当从两个正方形的面积和中减去重叠的这部分面积，所以盖住桌面的面积应少于8厘米2。

(2)四个角上的点每个点都在两条边上，因此被重复计算了，在求四条边上共有多少点时，应当减去重复计算的点，所以共有 6×4-4＝ 20(个)点。

这两个问题，在计算时，都采用了“去掉”重复的数值(面积或个数)的方法。

一般地，若已知A，B，C三部分的数量(见右图)，其中C为A，B的重复部分，则图中的数量就等于

A＋ B-C。

因为A，B有互相包含(重复)的部分C，所以，在求A和B合在一起的数量时，就要在A＋B中减去A和B互相包含的部分C。这种方法称为包含排除法。

实际上，我们前面已经遇到过包含与排除的问题。如，第10讲“植树问题”的例3和例4，只不过那时我们没有明确提出“包含排除法”。

例1 把长38厘米和53厘米的两根铁条焊接成一根铁条。已知焊接部分长4厘米，焊接后这根铁条有多长？

解：因为焊接部分为两根铁条的重合部分，所以，由包含排除法知，焊接后这根铁条长

38＋ 53-4＝ 87(厘米)。

例2某小学三年级四班，参加语文兴趣小组的有28人，参加数学兴趣小组的有29人，有12人两个小组都参加。这个班有多少人参加了语文或数学兴趣小组？

分析与解：如上页左下图所示，A圆表示参加语文兴趣小组的人，B圆表示参加数学兴趣小组的人，A与B重合的部分(阴影部分)表示同时参加两个小组的人。图中A圆不含阴影的部分表示只参加语文兴趣小组未参加数学兴趣小组的人，有28-12＝16(人)；图中B圆不含阴影的部分表示只参加数学兴趣小组未参加语文兴趣小组的人，有29-12＝17(人)(见上页右下图)。

由此得到参加语文或数学兴趣小组的有

16＋ 12＋ 17＝ 45(人)。

根据包含排除法，直接可得

28＋ 29-12＝ 45(人)。

例3 某班共有46人，参加美术小组的有12人，参加音乐小组的有23人，有5人两个小组都参加了。这个班既没参加美术小组也没参加音乐小组的有多少人？

分析与解：与例2对比，本例已知全班总人数，如果能仿照例2求出参加了美术或音乐小组的人数，那么只需用全班总人数减去这个人数，就得到所求的人数。

根据包含排除法知，该班至少参加了一个小组的总人数为12＋ 23-5＝ 30(人)。所以，该班未参加美术或音乐小组的人数是46-30=16(人)。综合列式为

46-(12＋ 23-5)＝ 16(人)。

例4 三年级科技活动组共有63人。在一次剪贴汽车模型和装配飞机模型的定时科技活动比赛中，老师到时清点发现：剪贴好一辆汽车模型的同学有42人，装配好一架飞机模型的同学有34人。每个同学都至少完成了一项活动。问：同时完成这两项活动的同学有多少人？

分析与解：因42＋34＝76，76＞63，所以必有人同时完成了这两项活动。由于每个同学都至少完成了一项活动，根据包含排除法知，42＋34-(完成了两项活动的人数)=全组人数，即76-(完成了两项活动的人数)＝63。

小学奥数基础教程（三年级）

由减法运算法则知，完成两项活动的人数为

76-63＝13(人)。

例5 在前100个自然数中，能被2或3整除的数有多少个？

分析与解：如右图所示，A圆内是前100个自然数中所有能被2整除的数，B圆内是前100个自然数中所有能被3整除的数，C为前100个自然数中既能被2整除也能被3整除的数。

100÷(3×5)＝6„„10。

33＋20-6＝47。

6.33个。

解： 100÷2=50，100÷3=33„„1，100÷6＝16„„4。

100-(50＋33-16)＝33。

前100个自然数中能被2整除的数有100÷2=50

(个)。由 100÷3＝ 33„„ 1知，前 100个自然数中能被 3整除的数有 33个。由 100÷(2×3)＝ 16„„4知，前 100个自然数中既能被2整除也能被3整除的数有16个。

所以A中有50个数，B中有33个数，C中有16个数。因为A，B都包含C，根据包含排除法得到，能被2或3整除的数有

50＋ 33-16＝ 67(个)。练习30

1.三年级四班组织了一次象棋和军棋的棋类比赛，参加象棋比赛的有35人，参加军棋比赛的有24人，有16人两项比赛都参加了。这个班参加棋类比赛的共有多少人？

2.某校一个歌舞表演队里，能表演独唱的有10人，能表演跳舞的有18人，两种都能表演的有7人。这个表演队共有多少人能登台表演歌舞？

3.一班有45人，其中26人参加了数学竞赛，22人参加了作文比赛，12人两项比赛都参加了。一班有多少人两项比赛都没有参加？

4.甲、乙两家合住在一套单元房里。甲家能够使用的面积(包括厨房、厕所、走廊等，下同)有56米2，乙家能够使用的面积有65米2，甲、乙两家都能使用的面积有30米2。求这套单元的使用面积。

5.在自然数1～100中，能被3或5中任一个整除的数有多少个？

6.在自然数1～100中，不能被2，3中任一个整除的数有多少个？ 答案与提示 练习30

1.43人。解：35＋24-16=43(人)。

2.21人。解：10＋18-7=21(人)。

3.9人。解：45-(26＋22-12)=9(人)。

4.91米2。解：56＋65-30=91(米2)。

5.47个。

解： 100÷3=33„„1，100÷5=20，9-

第三篇：五年级奥数教案上册

速算技巧

（一）教学内容:速算技巧

（一）教学要求:(1)理解简算方法,正确合理的进行简便计算.(2)培养计算能力.教学重点: 理解简算方法,灵活计算.教学难点: 能说出简算方法.教学方法:讲解法、练习法。教学过程：

（一）复习

加法交换律、结合律；减法的性质；乘法交换律、结合律、分配律；除法 的性质各是什么？

（二）新授

（1）教学例1 计算898+899+901+907+895+911+898+897+906+890 a、观察数据特征讨论可以怎么算？ b、分析这十个加数都接近900它们的和一定也接近900×10所以先把这些数当做900来加，“多加的要减去，少加的要补上”

898+899+901+907+895+911+898+897+906+890 =900×10-2-1+1+7-5+11-2-3+6-10 =9002 c、让学生说出刚才我们是怎么算的？

（2）练习计算8888+253+249+248+250+248+246+251+255的值

（3）教学例2 计算1420×3.4+1.42×2300+14.2×430 a、观察讨论如何简算？

b、分析：根据数字特征可想到运用乘法分配律及把一个因数

扩大（或缩小若干倍）另一个因数缩小（或扩大）相同的倍数，积的大小不变，这样三个算式中有一个相同的因数。

1420×3.4+1.42×2300+14.2×430 =1420×3.4+1420×2.3+1420×4.3 =1420×（3.4+2.3+4.3）=14200 c、同座位运用积的变化规律说简算方法。

（4）练习计算0.16×5.96+264×0.0596+72×0.596的值

（5）教学例3 计算63587-3963-2065+36413-4789-3183的值 a、学生尝试练习；

b、讲评，说出你怎么做的？

63587-3963-2065+36413-4789-3183 =（63587+36413）-（3963+2065+4789+3183）=86000（6）教学例4 计算（97932-97.932）÷（32644-32.644）的值 a、观察数据特征讨论可以怎么简算？

b、分析本题中每个小括号中的被减数是减数的一千倍，并且两个被减数、两个减数之间都是三倍关系，因此可用乘法分配律，先把被除数改写成97932-97.932=（32644-32.644）×3 再进行简算

（97932-97.932）÷（32644-32.644）

=（32644×3-32.644×3）÷（32644-32.644）=[（32644-32.644）×3]÷（32644-32.644）=3 c、你还可以怎么做？

（7）比较四个例题，说出它们有什么异同？

（三）巩固练习P4（1、2）、P7（1、3、8）

（四）本课小结

教学内容:速算技巧

（二）教学要求:(1)进一步理解简算方法,正确合理的进行简便计算.(2)培养计算能力.教学重点: 理解简算方法,灵活计算.教学难点: 能说出简算方法.教学方法:讲解法、练习法、比较法。

教学过程：

（一）揭示课题：速算技巧

（二）（二）新授

（1）教学例1 计算80.8×125的值 a、学生尝试练习

b、分析点拨：我们已学过乘法分配律，知道125×8=1000第一个乘数80.8可以拆成80与0.8的和，再运用乘法分配律简算。

解法一：80.8×125=（80+0.8）×125=10000+100=10100 解法二：80.8×125=8×10.1×125=1000×10.1=10100 解法三：80.8×125=（80.8÷8）×（125×8）=10.1×1000=10100 c、三种解法有什么不同？你还有别的方法吗？

（2）练习2468×25

（3）教学例2 计算125×239×25×64×5的值 a、学生尝试练习

b、分析点拨：当你看到125、25、5时你会想题中要是有因数2、4、8就好了，再一看发现64=2×4×8 再运用乘法交换律、乘法结合律即可简便 125×239×25×64×5 =125×239×25×（2×4×8）×5 =（125×8）×（25×4）×（5×2）×239 =239000000 c、除法计算中是否也可以用这个方法，如50000÷125=（50000×8）

÷（125×8）=400000÷1000=400（4）练习42000÷250 40.4×25 0.125×0.25×0.5×128（5）比较例

一、例二有何异同？

（三）巩固练习P7（2、4、5、6、7）

（四）本课小结

这节课你学会了什么？

教学内容:消去问题

（一）教学要求:(1)学会解答消去问题。(2)培养解题能力.教学重点: 理解数量关系，掌握解题方法。教学难点: 能说出解题思路 教学方法:讲解法、练习法。

教学过程：

（一）揭示课题：消去问题

（一）（二）新授

（1）教学例1: 小明和小红去文具商店买回一些铅笔和橡皮，同学们问两样东西单价，小明说，具体价钱我们忘记了，反正我买了三支铅笔和一块橡皮，共花去2.30元，小红买了四支铅笔和一块橡皮，共花去2.80元。同学们，你能算出铅笔和橡皮的价

钱各是多少元吗？ a、审题，说题意； b、讨论如何解答？

c、分析点拨：小明买的：3支铅笔的价钱+1块橡皮的价钱=2.30元

小红买的：4支铅笔的价钱+1块橡皮的价钱=2.80元

比较两条等式可看出2.80元比2.30元相差正好是1支铅

笔的钱，因为两次买的橡皮块数是相同的，利用这一条件，把1块橡皮的价钱消去。

每支铅笔：（2.80-2.30）÷（4-3）=0.5元

每块橡皮：2.30-0.5×3=0.8元 d、学生说出如何解答的？

（2）练习P16（1）

（3）教学例2 实验小学食堂第一次运进大米6袋，面粉5袋，共重4.5千克，第二次又运进9袋大米 和7袋面粉，共重625千克。每袋大米和每袋面粉各重多少千克？

a、审题，说题意； b、讨论如何解答？

c、分析点拨：6袋大米的重量+5袋面粉的重量=425千克 9袋大米的重量+7袋面粉的重量=625千克

6和9的最小公倍数是18，将6袋大米和5袋面粉共重425千克都扩大3倍，9袋大米和7袋面粉共重625千克都扩大两倍，可得：

18袋大米的重量+15袋面粉的重量=1275千克

18袋大米的重量+14袋面粉的重量=1250千克

这样可消去大米的重量.每袋面粉：（425×3-625×2)÷(5×3-7×2)=25千克

每袋大米：（425-25×2）÷6=50千克 d、同座位说出怎样解答的？

（4）比较例

1、例2的异同。

（三）巩固练习P18（1、2）

（四）本课小结

这节课你有什么收获？

教学内容:消去问题

（二）教学要求:(1)进一步学会解答消去问题。(2)培养解题能力.教学重点: 理解数量关系，掌握解题方法。教学难点: 能说出解题思路 教学方法:讲解法、练习法。

教学过程：

（一）揭示课题：消去问题

（二）（二）新授

（1）教学例1 早晨妈妈买了1千克青豆和2千克菠菜,共花去4.2元；

张阿姨买了同样的2千克青和1千克菠菜，共花去4.8元。求青豆和菠菜的单价各是多少？

a、审题理解题意 b、讨论如何解答

c、分析：妈妈：1千克青豆的元数+2千克菠菜的元数=4.2元

阿姨：2千克青豆的元数+1千克菠菜的元数=4.8元

我们发现两个人各买的青豆的总重量和购买菠菜的总重量是相等的，两个人共买了3千克青豆和3千克菠菜。则

3千克青豆的元数+3千克菠菜的元数=（4.2+4.8）元

1千克青豆的元数+1千克菠菜的元数=3元

在与第一组已知条件结合起来：

（1）3千克青豆的元数+3千克菠菜的元数：4.2+4.8=9元

（2）1千克青豆的元数+1千克菠菜的元数：9÷3=3元

（3）1千克菠菜的元数：4.2-3=1.2元

（4）1千克青豆的元数：3-1.2=1.8元

d、回顾例1的解法，有时消去问题中两个未知量存在特殊关系，可以利用例1的方法。

（三）巩固练习P20（1、2）先试做再说解题方法。P21（3、4、5）

（四）本课小结：

这节课你有什么收获？

教学内容:流水行船问题

（一）教学要求:(1)理解流水行船问题的数量关系，学会正确解答。(2)培养解题能力.教学重点: 理解数量关系，掌握解题方法。教学难点: 能说出解题思路 教学方法:讲解法、练习法。

教学过程：

（一）揭示课题:流水行船问题

（一）（二）新授

1、知识导航：顺水速度=船速+水速

逆水速度=船速-水速

2、教学例1 一艘船在一条河中顺水航行每小时行40千米，逆水

航行每小时行30千米。这艘船在静水中的速度是每小时行多少千米？

a、理解题意； b、讨论如何解答； c、分析点拨；

由顺水速度=船速+水速 逆水速度=船速-水速 得出：

两式相加顺水速度+逆水速度=船速+船速；

一个船速=（顺水速度+逆水速度）÷2；

（40+30）÷2=35千米

3、教学例2 一艘船在一条河中顺水航行每小时行40千米，逆水航

行每小时行30千米。这条河的水速是每小时多少千米？

a、题目已知什么求什么？ b、讨论如何解答？ c、分析点拨：

由顺水速度=船速+水速 逆水速度=船速-水速 得出：两式相

减顺水速度-逆水速度=水速+水速

一个水速=（顺水速度-逆水速度）÷2；

（40-30）÷2=5千米

4、比较例

1、例2有什么相同、不同之处；

（三）巩固练习 P23（1、2）

（四）本课小结

这节课你学会了什么？

教学内容:流水行船问题

（二）教学要求:(1)进一步理解流水行船问题的数量关系，学会正确解答。(2)培养解题能力.教学重点: 理解数量关系，掌握解题方法。教学难点: 能说出解题思路 教学方法:讲解法、练习法。

教学过程：

（一）揭示课题:流水行船问题

（二）（二）新授

1、教学例1 甲、乙两港相距300米，一艘轮船从甲港顺水航行到

乙港共行了6小时，而一只漂流瓶同时也从甲港同是漂流到乙港用力量25小时。求轮船的静水速？

a、理解题意； b、讨论如何解答？

c、分析点拨：漂流瓶为什么能从甲港漂流到乙港，还不是水流

带动着瓶子往前流动吗？题目的意思其实是轮船顺水航行300千米用了6小时，漂流瓶与水速行300千米用25小时，根据第一组条件可求出船的顺水速度，根据第二

组条件可求出水流速度。

轮船的顺水速度：300÷6=50千米

水速：300÷25=12千米

轮船的静水速度：50-12=38千米 d、同座位说出此题是如何解答的。

2、教学例2 甲、乙两港的水路长360千米，一轮船顺水航行这段路程用了15小时，逆水航行这段路程用了20小时，而另一支轮船在静水中的速度是每小时航27千米，问另一艘轮船顺水行这段

路程需多少小时？ a、理解题意；

b、讨论如何解答？ c、分析点拨：既然两条船都在同一河道上行驶，那么水速也

应该一样，根据第一支船的顺水速和逆水速可求出水速，这样另一支船的顺水速也就可以求出来了。

轮船的顺水速：360÷15=24千米

轮船的逆水速：360÷20=18千米

水速：（24-18）÷2=3千米

另一条船的顺水速：27+3=30千米

另一条船的航行的时间；360÷30=12小时

3、比较两例题。得出：

一些漂流物从上游漂流下来的速度其实就是

水速，并且两航行物行驶同一河道时，水速不变，根据各自的逆水速、静水速、顺

水速、借助水速可求出其他相应量。

（三）巩固练习P25（1、2）

（四）本课小结

这节课你学会了什么？

教学内容:流水行船问题

（三）教学要求:(1)进一步理解流水行船问题的数量关系，学会正确解答。(2)培养解题能力.教学重点: 理解数量关系，掌握解题方法。教学难点: 能说出解题思路 教学方法:讲解法、练习法。

教学过程：

（一）揭示课题:流水行船问题

（三）（二）新授

1、教学例1 甲、乙两船在静水中速度分别为每小时24千米和每小时36千米，两船从某河相距336千米的两港同时出发，相向而行，几小时相遇？

a、理解题意； b、讨论如何解答？

c、分析点拨：总路程÷速度和=相遇时间，而

速度和=甲船顺水速+乙船逆水速

=（甲船速+水速）+（乙船速-水速）=甲船速度+水速+乙船速度-水速 =甲船速度+乙船速度

两船速度和：24+36=60千米

相遇时间：336÷60=5.6小时 d、同座位交流解题方法。

2、教学例2 甲、乙两船在静水中速度分别为每小时24千米和每小时36千米，两船从某河流相距336千 米的两港同时出发同向而行，甲船在前，乙船在后，几小时后乙船追上甲船？

a、理解题意； b、讨论如何解答？ c、分析点拨：如果两船顺水行驶，则

两船速度差=乙船顺水速-甲船顺水速

=（乙船速度+水速）-（甲船速+水速）=乙船速-甲船速

如果两船逆水行驶，则

两船的速度差=乙船逆水速-甲船逆水速 =乙船速-甲船速 336÷（36-24）=28小时 d、同座位交流解题方法。

3、比较例

1、例2 两船在水中的相遇问题和陆地上相遇问题

一样，追击问题也一样。

三、巩固练习P27（1）

课外作业P28（1、2、3、4、5）

四、本课小结

这节课你有什么收获？

教学内容:列方程解应用题

（一）教学要求:(1)学会列方程解答应用题,找准数量关系式。(2)培养解题能力。

教学重点: 找数量关系，正确解答应用题。教学难点: 能说出解题思路 教学方法:讲解法、练习法。

教学过程：

（一）揭示课题: 列方程解应用题

（一）（二）新授

1、教学例1 妈妈和张阿姨一起上街买了一些雪梨。小明问：“妈

妈你买了这么多，是多少个呀？” 妈妈笑眯眯的说：“我和张阿姨一共买了100个，并且我比张阿姨多买了8个。你能算算看妈妈和张阿姨各买了多少个雪梨吗？”同学们，你能帮小明一起来算一算吗？

a、理解题意； b、讨论如何解答？

c、分析点拨：题中所给的已知条件都是说明两个人所买雪梨

个数的关系，碰到这种情况，我们以一组已知条件来解，另一组已知条件做为等量关系式来列方程。

设：张阿姨买X个雪梨，妈妈买X+8个雪梨 X+（X+8）=100 X=46 100-46=54（个）

d、此题还可以怎么解？同座位交流解题方法。e、比较两种解法；

2、小结 从例题可知：题中两个已知条件都反应两个未知量之间的关系，我们可以以其中的一个已知条件来解设，另一个已知条件做为等量关系列出方程，从而求出两个未知量。

（三）、巩固练习P30（1、2）

（四）、本课小结

教学内容:列方程解应用题

（二）教学要求:(1)能比较熟练的找出题中数量关系，列方程解答应用题。(2)培养解题能力。

教学重点: 找数量关系，正确解答应用题。教学难点: 能说出解题思路 教学方法:讲解法、练习法。

教学过程：

（一）揭示课题: 列方程解应用题

（二）（二）新授

1、教学例1 实验小学少年数学爱好者俱乐部五年级有三个班，一班人数是三班人数的1.02倍，二班比三班少4人，三个班共有147人。请问三个班各有学生多少人？

a、理解题意； b、讨论如何解答？

c、分析点拨：题中虽然有三个未知量，但都是和三班人数相

比的，因此，只要以一个未知数来表示三班的人数，其他两个班的人数可用含字母的式子表示出来。

设：三班有X人，一班1.02X人，二班X-4人 1.02X+（X-4）+X=147 X=50 一班：1.02×50=51人

二班：50-4=46人

2、教学例2 有三个数的平均数是9.4，其中第一个数是9.1，第二个数比第三个数大0.3。求第三个数。

a、理解题意； b、讨论如何解答？

c、分析点拨：三个数平均数是4，其中隐含了三个数的和9.4×3=28.2 即第一个数+第二个数+第三个数=9.4×3 设第三个数是X，第二个数是（X+0.3），则方

程为: 9.1+X+（X+0.3）=9.4×3 X=9.4

3、比较例

1、例2有何异同？

（三）、巩固练习P32（1）

（四）、本课小结

列方程解应用题关键找什么？

教学内容:列方程解应用题

（三）教学要求:(1)(1)能比较熟练的找出题中数量关系，列方程解答应用题。(2)培养解题能力。

教学重点: 找数量关系，正确解答应用题。教学难点: 能说出解题思路 教学方法:讲解法、练习法。

教学过程：

（一）揭示课题: 列方程解应用题

（三）（二）新授

1、教学例1 商店里现有排球和足球共98个，如果排球和足球都

卖掉9个，那么，排球个数是足球 的4倍，求原来的排球数和足球数。

a、理解题意； b、讨论如何解答？

c、分析点拨：从已知条件得出两道等量关系式，即 原来排球的个数+原来足球的个数=98；

现在排球数+现在足球数=4 不妨以第一等量关系式来解设，第二关系式列方程

设原来有排球X个原来有足球98-X个

（X-9）÷（98-X-9）=4 X=73 原来足球数：98-73=25个 d、此题还可以怎么解答

2、教学例2 玲玲和洋洋是双胞胎，爷爷今年的岁数比他们两的岁数和还要大52岁。在过10年，爷爷的岁数将是她们两岁数和的2倍。问玲玲和洋洋今年几岁？爷爷今年多大年龄？

a、理解题意； b、讨论如何解答？

c、分析点拨：此题也存在两个等量关系式

今年爷爷的年龄-（今年玲玲的年龄+今年洋洋的年龄）=52岁 10年后爷爷的年龄÷（10年后玲玲的年龄+10年后洋洋的年龄）=2倍

设玲玲今年X岁，则洋洋也是X岁，爷爷今年52+X+X岁

（52+X+X+10）÷（X+X+10+10）=2 X=11 爷爷今年的年龄：11+11+52=72岁

d、若设10年后玲玲和洋洋年龄各是X岁，此题还可以怎么解答？

3、比较例

1、例2

（三）、巩固练习P34（1）

课外作业P35（1、2、3、4、5）

（四）、本课小结

第四篇：五年级奥数

五年级奥数

硕博培训学校五年级华数班期中考试测试卷

一、填空：（每空4分，共42分）

1、公式整理，将下表中所空缺的公式填写完整。

2、两个自然数分别除以它们的最大公约数，所得的商（）。

3、两个数的最小公倍数与最大公约数的乘积等于这两个数的（）。

4、两个数的公约数一定是这两个数的最大公约数的（）。

二、判断、（每空3分，共6分）

1、在体积固定的所有长方体中，只有各棱长相等的长方体，其各棱长之各为最小，其表面积也最小。（）

2、把正方体或长方体锯开成多个长方体时，表面积会变小。（）

三、应用题：（1、2、3、7题每题7分，其它每题8分，共2分）

1、下图中，甲、乙两图形都是正方形，它们的边长分别是10厘米和12厘米求阴影部分的面积。

2、在正方形ABD中，三角形ABE的面积是8平方厘米，它是三角形DE面积的五分之四，求正方形ABD的面积。

3、将直径AB为3的半圆绕A逆时针旋转60度，此时AB到达A的位置，求在旋转过程中增加了的面积。（圆周率取3）

4、在一个棱长为4米的正方体上放一个棱长为2米的正方体，在棱长为2米的正方体上再放上一个棱长为1米的小正方体，求这个立体图形的表面积。、有一些棱长为1厘米的小正方体，共04块，要拼成一个大长方体，问长方体的表面积最小是多少平方厘米？

6、把一个正方体形状的木块，棱长为1米，沿着水平方向将它锯成3片，每片又按任意尽寸锯成4条，得到一些大大小小的长方体，问，这些长方体表面积的和是多少平方米？ 7、96与某数的最大公约数是6，最小公倍数是76，求这个数。

第五篇：小学数学奥数教案

小学奥数基础教程（四年级）

小学奥数

第1讲 归一问题与归总问题 第2讲 年龄问题

第3讲 鸡兔同笼问题与假设法 第1讲 归一问题与归总问题

在解答某些应用题时，常常需要先找出“单一量”，然后以这个“单一量”为标准，根据其它条件求出结果。用这种解题思路解答的应用题，称为归一问题。所谓“单一量”是指单位时间的工作量、物品的单价、单位面积的产量、单位时间所走的路程等。

例1 一种钢轨，4根共重1900千克，现在有95000千克钢，可以制造这种钢轨多少根？（损耗忽略不计）

分析：以一根钢轨的重量为单一量。

（1）一根钢轨重多少千克？

1900÷4＝475（千克）。

（2）95000千克能制造多少根钢轨？

95000÷475＝200（根）。

解：95000÷（1900÷4）＝200（根）。

答：可以制造200根钢轨。

例2 王家养了5头奶牛，7天产牛奶630千克，照这样计算，8头奶牛15天可产牛奶多少千克？

分析：以1头奶牛1天产的牛奶为单一量。

（1）1头奶牛1天产奶多少千克？

630÷5÷7＝18（千克）。

（2）8头奶牛15天可产牛奶多少千克？

小学奥数基础教程（四年级）

18×8×15＝2160（千克）。

解：（630÷5÷7）×8×15=2160（千克）。

答：可产牛奶2160千克。

例3 三台同样的磨面机2.5时可以磨面粉2400千克，8台这样的磨面机磨25600千克面粉需要多少时间？

分析与解：以1台磨面机1时磨的面粉为单一量。

（1）1台磨面机1时磨面粉多少千克？

2400÷3÷2.5=320（千克）。

（2）8台磨面机磨25600千克面粉需要多少小时？

25600÷320÷8=10（时）。

综合列式为

25600÷（2400÷3÷2.5）÷8=10（时）。

例4 4辆大卡车运沙土，7趟共运走沙土336吨。现在有沙土420吨，要求5趟运完。问：需要增加同样的卡车多少辆？ 分析与解：以1辆卡车1趟运的沙土为单一量。

（1）1辆卡车1趟运沙土多少吨？

336÷4÷7=12（吨）。

（2）5趟运走420吨沙土需卡车多少辆？

420÷12÷5＝7（辆）。

（3）需要增加多少辆卡车？

7-4＝3（辆）。

综合列式为

420÷（336÷4÷7）÷5-4＝3（辆）。

小学奥数基础教程（四年级）

与归一问题类似的是归总问题，归一问题是找出“单一量”，而归总问题是找出“总量”，再根据其它条件求出结果。所谓“总量”是指总路程、总产量、工作总量、物品的总价等。

例5 一项工程，8个人工作15时可以完成，如果12个人工作，那么多少小时可以完成？

分析：（1）工程总量相当于1个人工作多少小时？

15×8＝120（时）。

（2）12个人完成这项工程需要多少小时？

120÷12＝10（时）。解：15×8÷12＝10（时）。

答：12人需10时完成。

例6 一辆汽车从甲地开往乙地，每小时行60千米，5时到达。若要4时到达，则每小时需要多行多少千米？

分析：从甲地到乙地的路程是一定的，以路程为总量。

（1）从甲地到乙地的路程是多少千米？

60×5=300（千米）。

（2）4时到达，每小时需要行多少千米？

300÷4＝75（千米）。

（3）每小时多行多少千米？

75－60＝15（千米）。

解：（60×5）÷4——60＝15（千米）。

答：每小时需要多行15千米。

例7 修一条公路，原计划60人工作，80天完成。现在工作20天后，又增加了30人，这样剩下的部分再用多少天可以完成？

小学奥数基础教程（四年级）

分析：（1）修这条公路共需要多少个劳动日（总量）？

60×80＝4800（劳动日）。

（2）60人工作20天后，还剩下多少劳动日？

4800-60×20=3600（劳动日）。

（3）剩下的工程增加30人后还需多少天完成？

3600÷（60＋30）=40（天）。

解：（60×80-60×20）÷（60＋30）＝40（天）。

答：再用40天可以完成。

练习11

1．2台拖拉机4时耕地20公顷，照这样速度，5台拖拉机6时可耕地多少公顷？

2．4台织布机5时可以织布2600米，24台织布机几小时才能织布24960米？

3．一种幻灯机，5秒钟可以放映80张片子。问：48秒钟可以放映多少张片子？

4．3台抽水机8时灌溉水田48公顷，照这样的速度，5台同样的抽水机6时可以灌溉水田多小公顷？

5．平整一块土地，原计划8人平整，每天工作7.5时，6天可以完成任务。由于急需播种，要求5天完成，并且增加1人。问：每天要工作几小时？

6．食堂管理员去农贸市场买鸡蛋，原计划按每千克3.00元买35千克。结果鸡蛋价格下调了，他用这笔钱多买了2.5千克鸡蛋。问：鸡蛋价格下调后是每千克多少元？

小学奥数基础教程（四年级）

7．锅炉房按照每天4.5吨的用量储备了120天的供暖煤。供暖40天后，由于进行了技术改造，每天能节约0.9吨煤。问：这些煤共可以供暖多少天？

第2讲 年龄问题

年龄问题是一类以“年龄为内容”的数学应用题。

年龄问题的主要特点是：二人年龄的差保持不变，它不随岁月的流逝而改变；二人的年龄随着岁月的变化，将增或减同一个自然数；二人年龄的倍数关系随着年龄的增长而发生变化，年龄增大，倍数变小。

根据题目的条件，我们常将年龄问题化为“差倍问题”、“和差问题”、“和倍问题”进行求解。

例1 儿子今年10岁，5年前母亲的年龄是他的6倍，母亲今年多少岁？ 分析与解：儿子今年10岁，5年前的年龄为5岁，那么5年前母亲的年龄为5×6＝30（岁），因此母亲今年是

30＋5=35（岁）。

例2 今年爸爸48岁，儿子20岁，几年前爸爸的年龄是儿子的5倍？ 分析与解：今年爸爸与儿子的年龄差为“48——20”岁，因为二人的年龄差不随时间的变化而改变，所以当爸爸的年龄为儿子的5倍时，两人的年龄差还是这个数，这样就可以用“差倍问题”的解法。当爸爸的年龄是儿子年龄的5倍时，儿子的年龄是

（48——20）÷（5——1）＝7（岁）。

由20－7＝13（岁），推知13年前爸爸的年龄是儿子年龄的5倍。

小学奥数基础教程（四年级）例3 兄弟二人的年龄相差5岁，兄3年后的年龄为弟4年前的3倍。问：兄、弟二人今年各多少岁？

分析与解：根据题意，作示意图如下：

由上图可以看出，兄3年后的年龄比弟4年前的年龄大5＋3＋4＝12（岁），由“差倍问题”解得，弟4年前的年龄为（5＋3＋4）÷（3－1）＝6（岁）。由此得到

弟今年6＋4＝10（岁），兄今年10＋5＝15（岁）。

例4 今年兄弟二人年龄之和为55岁，哥哥某一年的岁数与弟弟今年的岁数相同，那一年哥哥的岁数恰好是弟弟岁数的2倍，请问哥哥今年多少岁？ 分析与解：在哥哥的岁数是弟弟的岁数2倍的那一年，若把弟弟岁数看成一份，那么哥哥的岁数比弟弟多一份，哥哥与弟弟的年龄差是1份。又因为那一年哥哥岁数与今年弟弟岁数相等，所以今年弟弟岁数为2份，今年哥哥岁数为2＋1=3（份）（见下页图）。

由“和倍问题”解得，哥哥今年的岁数为

55÷(3+2)×3=33(岁)。

例5 哥哥5年前的年龄与妹妹4年后的年龄相等，哥哥2年后的年龄与妹妹8年后的年龄和为97岁，请问二人今年各多少岁？

小学奥数基础教程（四年级）分析与解：由“哥哥5年前的年龄与妹妹4年后的年龄相等”可知兄妹二人的年龄差为“4＋5”岁。由“哥哥2年后的年龄与妹妹8年后的年龄和为97岁”，可知兄妹二人今年的年龄和为“97——2——8”岁。由“和差问题”解得，兄[（97——2——8）＋（4＋5）]÷2＝48（岁），妹[（97——2——8）-（4＋5）]÷2=39（岁）。

例6 1994年父亲的年龄是哥哥和弟弟年龄之和的4倍。2000年，父亲的年龄是哥哥和弟弟年龄之和的2倍。问：父亲出生在哪一年？

分析与解：如果用1段线表示兄弟二人1994年的年龄和，则父亲1994年的年龄要用4段线来表示（见下页图）。

父亲在2000年的年龄应是4段线再加6岁，而兄弟二人在2000年的年龄之和是1段线再加2×6＝12（岁），它是父亲年龄的一半，也就是2段线再加3岁。由

1段＋12岁=2段＋3岁，推知1段是9岁。所以父亲1994年的年龄是9×4＝36（岁），他出生于

1994——36＝1958（年）。

例7今年父亲的年龄为儿子的年龄的4倍，20年后父亲的年龄为儿子的年龄的2倍。问：父子今年各多少岁？

解法一：假设父亲的年龄一直是儿子年龄的4倍，那么每过一年儿子增加一岁，父亲就要增加4岁。这样，20年后儿子增加20岁，父亲就要增加80岁，比儿子多增加了80－20＝60（岁）。

小学奥数基础教程（四年级）

事实上，20年后父亲的年龄为儿子的年龄的2倍，根据刚才的假设，多增加的60岁，正好相当于20年后儿子年龄的（4——2＝）2倍，因此，今年儿子的年龄为

（20×4－20）÷（4－2）－20＝10（岁），父亲今年的年龄为10×4＝40（岁）。

解法二：如果用1段线表示儿子今年的年龄，那么父亲今年的年龄要用4段线来表示（见下图）。

20年后，父亲的年龄应是4段线再加上20岁，而儿子的年龄应是1段线再加上20岁，是父亲年龄的一半，也就是2段线再加上10岁。由

1段＋20=2段＋10，求得1段是10岁，即儿子今年10岁，从而父亲今年40岁。例8 今年爷爷78岁，长孙27岁，次孙23岁，三孙16岁。问：几年后爷爷的年龄等于三个孙子年龄之和？

分析：今年三个孙子的年龄和为27＋23＋16=66（岁），爷爷比三个孙子的年龄和多78——66＝12（岁）。每过一年，爷爷增加一岁，而三个孙子的年龄和却要增加1＋1＋1＝3（岁），比爷爷多增加3－1＝2（岁）。因而只需求出12里面有几个2即可。

解：[78－（27＋23＋16）]÷（1＋1＋1－1）＝6（年）。

答：6年后爷爷的年龄等于三个孙子年龄的和。

练习12

1．父亲比儿子大30岁，明年父亲的年龄是儿子年龄的3倍，那么今年儿子几岁？

小学奥数基础教程（四年级）

2．王梅比舅舅小19岁，舅舅的年龄比王梅年龄的3倍多1岁。问：他们二人各几岁？

3．小明今年9岁，父亲39岁，再过多少年父亲的年龄正好是小明年龄的2倍？

4．父亲年龄是女儿的4倍，三年前父女年龄之和是49岁。问：父女两人现在各多少岁？

5．一家三口人，三人年龄之和是74岁，妈妈比爸爸小2岁，妈妈的年龄是儿子年龄的4倍。问：三人各是多少岁？

6．今年老师46岁，学生16岁，几年后老师年龄的2倍与学生年龄的5倍相等？

7．已知祖孙三人，祖父和父亲年龄的差与父亲和孙子年龄的差相同，祖父和孙子年龄之和为82岁，明年祖父的年龄恰好等于孙子年龄的5倍。问：祖孙三人各多少岁？

8．小乐问刘老师今年有多少岁，刘老师说：“当我像你这么大时，你才3岁；当你像我这么大时，我已经42岁了。”你能算出刘老师有多少岁吗？

第3讲 鸡兔同笼问题与假设法

鸡兔同笼问题是按照题目的内容涉及到鸡与兔而命名的，它是一类有名的中国古算题。许多小学算术应用题，都可以转化为鸡兔同笼问题来加以计算。

小学奥数基础教程（四年级）

例1 小梅数她家的鸡与兔，数头有16个，数脚有44只。问：小梅家的鸡与兔各有多少只？

分析：假设16只都是鸡，那么就应该有2×16＝32（只）脚，但实际上有44只脚，比假设的情况多了44-32＝12（只）脚，出现这种情况的原因是把兔当作鸡了。如果我们以同样数量的兔去换同样数量的鸡，那么每换一只，头的数目不变，脚数增加了2只。因此只要算出12里面有几个2，就可以求出兔的只数。

解：有兔（44-2×16）÷（4-2）=6（只），有鸡16-6＝10（只）。

答：有6只兔，10只鸡。

当然，我们也可以假设16只都是兔子，那么就应该有4×16＝64（只）脚，但实际上有44只脚，比假设的情况少了64－44＝20（只）脚，这是因为把鸡当作兔了。我们以鸡去换兔，每换一只，头的数目不变，脚数减少了4-2＝2（只）。因此只要算出20里面有几个2，就可以求出鸡的只数。

有鸡（4×16-44）÷（4-2）=10（只），有兔16——10＝6（只）。

由例1看出，解答鸡兔同笼问题通常采用假设法，可以先假设都是鸡，然后以兔换鸡；也可以先假设都是兔，然后以鸡换兔。因此这类问题也叫置换问题。

例2 100个和尚140个馍，大和尚1人分3个馍，小和尚1人分1个馍。问：大、小和尚各有多少人？

分析与解：本题由中国古算名题“百僧分馍问题”演变而得。如果将大和尚、小和尚分别看作鸡和兔，馍看作腿，那么就成了鸡兔同笼问题，可以用假设法来解。

小学奥数基础教程（四年级）

假设100人全是大和尚，那么共需馍300个，比实际多300－140＝160（个）。现在以小和尚去换大和尚，每换一个总人数不变，而馍就要减少3——1＝2（个），因为160÷2＝80，故小和尚有80人，大和尚有

100－80＝20（人）。

同样，也可以假设100人都是小和尚，同学们不妨自己试试。

在下面的例题中，我们只给出一种假设方法。

例3 彩色文化用品每套19元，普通文化用品每套11元，这两种文化用品共买了16套，用钱280元。问：两种文化用品各买了多少套？

分析与解：我们设想有一只“怪鸡”有1个头11只脚，一种“怪兔”有1个头19只脚，它们共有16个头，280只脚。这样，就将买文化用品问题转换成鸡兔同笼问题了。

假设买了16套彩色文化用品，则共需19×16＝304（元），比实际多304——280＝24（元），现在用普通文化用品去换彩色文化用品，每换一套少用19——11＝8（元），所以

买普通文化用品 24÷8=3（套），买彩色文化用品 16－3＝13（套）。

例4 鸡、兔共100只，鸡脚比兔脚多20只。问：鸡、兔各多少只？

分析：假设100只都是鸡，没有兔，那么就有鸡脚200只，而兔的脚数为零。这样鸡脚比兔脚多200只，而实际上只多20只，这说明假设的鸡脚比兔脚多的数比实际上多200——20=180（只）。

现在以兔换鸡，每换一只，鸡脚减少2只，兔脚增加4只，即鸡脚比兔脚多的脚数中就会减少4＋2＝6（只），而180÷6＝30，因此有兔子30只，鸡100——30＝70（只）。

解：有兔（2×100——20）÷（2＋4）＝30（只），小学奥数基础教程（四年级）

有鸡100——30=70（只）。

答：有鸡70只，兔30只。

例5 现有大、小油瓶共50个，每个大瓶可装油4千克，每个小瓶可装油2千克，大瓶比小瓶共多装20千克。问：大、小瓶各有多少个？

分析：本题与例4非常类似，仿照例4的解法即可。解：小瓶有（4×50-20）÷（4＋2）＝30（个），大瓶有50-30＝20（个）。

答：有大瓶20个，小瓶30个。

例6 一批钢材，用小卡车装载要45辆，用大卡车装载只要36辆。已知每辆大卡车比每辆小卡车多装4吨，那么这批钢材有多少吨？

分析：要算出这批钢材有多少吨，需要知道每辆大卡车或小卡车能装多少吨。

利用假设法，假设只用36辆小卡车来装载这批钢材，因为每辆大卡车比每辆小卡车多装4吨，所以要剩下4×36=144（吨）。根据条件，要装完这144吨钢材还需要45-36=9（辆）小卡车。这样每辆小卡车能装144÷9＝16（吨）。由此可求出这批钢材有多少吨。解：4×36÷（45-36）×45＝720（吨）。

答：这批钢材有720吨。

例7 乐乐百货商店委托搬运站运送500只花瓶，双方商定每只运费0.24元，但如果发生损坏，那么每打破一只不仅不给运费，而且还要赔偿1.26元，结果搬运站共得运费115.5元。问：搬运过程中共打破了几只花瓶？

分析：假设500只花瓶在搬运过程中一只也没有打破，那么应得运费0.24×500=120（元）。实际上只得到115.5元，少得120-115.5=4.5（元）。

小学奥数基础教程（四年级）搬运站每打破一只花瓶要损失0.24＋1.26＝1.5（元）。因此共打破花瓶4.5÷1.5＝3（只）。

解：（0.24×500－115.5）÷（0.24＋1.26）＝3（只）。

答：共打破3只花瓶。

例8 小乐与小喜一起跳绳，小喜先跳了2分钟，然后两人各跳了3分钟，一共跳了780下。已知小喜比小乐每分钟多跳12下，那么小喜比小乐共多跳了多少下？

分析与解：利用假设法，假设小喜的跳绳速度减少到与小乐一样，那么两人跳的总数减少了

12×（2＋3）＝60（下）。

可求出小乐每分钟跳

（780——60）÷（2＋3＋3）＝90（下），小乐一共跳了90×3=270（下），因此小喜比小乐共多跳

780——270×2＝240（下）。练习13

1．鸡、兔共有头100个，脚350只，鸡、兔各有多少只？

2．学校有象棋、跳棋共26副，2人下一副象棋，6人下一副跳棋，恰好可供120个学生进行活动。问：象棋与跳棋各有多少副？

3．班级购买活页簿与日记本合计32本，花钱74元。活页簿每本1.9元，日记本每本3.1元。问：买活页簿、日记本各几本？

4．龟、鹤共有100个头，鹤腿比龟腿多20只。问：龟、鹤各几只？

5．小蕾花40元钱买了14张贺年卡与明信片。贺年卡每张3元5角，明信片每张2元5角。问：贺年卡、明信片各买了几张？

小学奥数基础教程（四年级）

6．一个工人植树，晴天每天植树20棵，雨天每天植树12棵，他接连几天共植树112棵，平均每天植树14棵。问：这几天中共有几个雨天？

7．振兴小学六年级举行数学竞赛，共有20道试题。做对一题得5分，没做或做错一题都要扣3分。小建得了60分，那么他做对了几道题？

8．有一批水果，用大筐80只可装运完，用小筐120只也可装运完。已知每只大筐比每只小筐多装运20千克，那么这批水果有多少千克？

9．蜘蛛有8条腿，蜻蜓有6条腿和2对翅膀，蝉有6条腿和1对翅膀。现有三种小虫共18只，有118条腿和20对翅膀。问：每种小虫各有几只？ 10．鸡、兔共有脚100只，若将鸡换成兔，兔换成鸡，则共有脚92只。问：鸡、兔各几只？

高冠军，所以由（1）知乙不是数学博士。将上面的结论依次填入上表，便得到下表：

所以，甲是小画家和歌唱家，乙是短跑健将和跳高冠军，丙是数学博士和大作家。

例4张明、席辉和李刚在北京、上海和天津工作，他们的职业是工人、农民和教师，已知：（1）张明不在北京工作，席辉不在上海工作；

（2）在北京工作的不是教师；

（3）在上海工作的是工人；

（4）席辉不是农民。

问：这三人各住哪里？各是什么职业？

小学奥数基础教程（四年级）分析与解：与前面的例题相比，这道题的关系要复杂一些，要求我们通过推理，弄清人物、工作地点、职业三者之间的关系。三者的关系需要两两构造三个表，即人物与地点，人物与职业，地点与职业三个表。

我们先将题目条件中所给出的关系用下面的表来表示，由条件（1）得到表1，由条件（4）得到表2，由条件（2）（3）得到表3。

因为各表中，每行每列只能有一个“√”，所以表（3）可填全为表（4）。

因为席辉不在上海工作，在上海工作的是工人，所以席辉不是工人，他又不是农民，所以席辉是教师。再由表4知，教师住在天津，即席辉住在天津。至此，表1可填全为表5。

对照表5和表4，得到：张明住在上海是工人，席辉住在天津是教师，李刚住在北京是农民。