三角形中三线交予一点问题

第一篇：三角形中三线交予一点问题

三角形三个高交予一点：

1、综合几何法：

（1）（利用垂直平分线交予一点）已知：△ABC中，三边上的高线分别是AX，BY，CZ，X，Y，Z为垂足，求证：AX，BY，CZ交于一点．（图略）

分析 要证AX，BY，CZ相交于一点，可以考虑利用三角形三边垂直平分线交于一点的现有命题来证，只须构造出一个新三角形A′B′C′，使AX，BY，CZ恰好是△A′B′C′的三边上的垂直平分线，则AX，BY，CZ必然相交于一点．

证分别过A，B，C作对边的平行线，则得到△A′B′C′(图略)．由于四边形A′BAC、四边形AC′BC、四边形ABCB′均为平行四边形，所以AC′ =BC=AB′．由于AX⊥BC于X，且BC‖B′C′，所以AX⊥B′C′于A，那么AX即为B′C′之垂直平分线．同理，BY，CZ分别为A′C′，A′B′的垂直平分线，所以AX，BY，CZ相交于一点H

（2）（赛瓦定理）（3）（利用四点共圆）

如图，设高BE、CF交于H，连结AH并延长交BC于D，连结DE、EF、FD

只要证明AD⊥BC即可。

因为∠HFA＋∠HEA＝180°，所以A、F、H、E四点共圆，所以∠EAH＝∠EFH 同理：B、C、E、F四点共圆，所以∠EFC＝∠EBC，由上得：∠EAD＝∠EBD，所以A、B、D、E四点共圆 所以∠ADB＝∠AEB＝Rt∠ 所以AD⊥BC（4）（利用相似三角形）三角形ABC中,AC、AB上的高为BE和CF。

显然三角形ABE相似于三角形ACF，故有AB/AC=AE/AF,即AF*AB=AE*AC(1)

过A作三角形ABC的高AD，分别交BE，CF，AB于O1，O2，D。

由三角形AFO2相似于三角形ADB得:AF/AO2=AD/AB,即AF*AB=AO2*AD(2)

由三角形AEO1相似于三角形ADC得:AE/AO1=AD/AC,即AE*AC=AO1*AD(3)根据等式(1)(2)(3)有

AO1*AD＝AO2*AD，所以AO1=AO2,O1、O2重合，记重合点为O点，则O点均在高AD，BE，CF上，所以三角形ABC得三条高交于一点O。

（5）（反证法）三角形ABC中，AC、AB上的高BE和CF交于O点，连接并延长AO交BC于D，只需证AD为高即可。

因为角BEC，角CFB均为直角，所以B、C、F、E四点共圆，记为圆BCFE，由切割线定理知:AF*AB = AE*AC(1)

分别记直角三角形BOF,COE的外接圆为圆BOF，圆COE，下面只需证明角BDA＝90度即可，反证：若角BDA小于90度，则角CDA大于90度，因BO，CO分别为圆BOF，圆COE的直径，所以点D在圆BOF外，在圆COE内，由切割线定理推论

AO*AD>AF*AB（点D在圆BOF外）

AO*AD

结合(1),得出矛盾，故角BDA不小于90度。

同理可证角BDA也不大于90度。

故角BDA＝90度。即AD为高

2、解析几何法：

以三角形的一边为X边，其中垂线为Y轴，这样就可以通过三个顶点确定上个边的方程和中点，中垂线也就可以表示出来了。解三个中垂线方程就可以得到一个解了，即垂心。

3、向量几何法：

设ΔABC，三条高线为AD、BE、CF，AD与BE交于H，连接CF。向量HA=向量a，向量HB=向量b，向量HC=向量c。因为AD⊥BC，BE⊥AC，所以向量HA·向量BC=0，向量HB·向量CA=0，即向量a·(向量c-向量b)=0，向量b·(向量a-向量c)=0，亦即

向量a·向量c-向量a·向量b=0 向量b·向量a-向量b·向量c=0 两式相加得

向量c·(向量a-向量b)=0 即向量HC·向量BA=0

故CH⊥AB，C、F、H共线，AD、BE、CF交于同一点H。证毕。三角形中线、角平分线交予一点：

1、赛瓦定理

2、...

第二篇：三角形的三线定义（范文模版）

1、三角形中，连接一个顶点和它所对边的中点的线段叫做三角形的中线

2、三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，连接这个角的顶点和交点的线段叫三角形的角平分线。（也叫三角形的内角平分线。）

3、在三角形中，从一个顶点向它的对边所在的直线画垂线，顶点到垂足之间的线段叫做三角形的高，简称为高。

第三篇：朗诵请把国土交予我

请把国土交予我（配乐诗朗诵）

在历史的夹层中我们翻出一个积淀的背影 一个叫神农氏的人带领我们的祖辈

从丛林走向土地从蒙昧走向文明

纤陌纵横的土地中种植着我们的生活我们的进化 由此繁衍出温饱幸福嫁接了富强快乐

滚滚长江滔滔黄河

那两岸美丽富饶的沃土上

一个黄皮肤的民族在这里烙上了印章

在五千年的历史文明长河中熠熠闪光

我的降临 第一次 在温热而绵软的土地上 留下浅浅的脚印 我的微笑 第一次 在清澈而透明的晨曦中 定格宁谧的暖晴

捧起一把泥土 就像捧起自己的孩子 宛如捧出颤抖的未来 历经沧桑的土地让岁月雕刻出不朽的碑文 我愿作土地的守望者

我甘作国土的守护人

多少次我站在寂寞的旷野仰望苍穹

多少次我徘徊在无际的天涯扪心自问

多少次我们都在自己的心中深深反思

怀着赤诚之心高举法律利剑

服从神圣使命的召唤挡住形形色色的诱惑

面对邪恶 为正义而战

发出怒吼 保护我们的生命线

大地母亲是伟大的伟大就需要尊重

大地母亲是富有的富有也需要珍惜

大地母亲是善良的善良更需要敬畏

感恩土地敬畏土地热爱土地

这是国土人最深切的情感

一位诗人曾经说过

一个丧失了国土的后裔

还能从容地记忆和传唱其先人的歌吗？

不论动物还是植物 土地都是母亲 都是生存之源

皇天后土厚德载物

我们国土人

行使的是人类最高尚的权利

履行的是人类最伟大的使命

追求自由和空气根须向下把泥土抓得更紧

收获成熟与喜悦思绪连接历史延伸未来

万物有灵土地会使你产生共鸣

敬天爱人文明将与你一路同行

体味土地的博大感受国土的温度

节约集约利用保护开发并举

国土人书写了崭新的一页

千秋土地 正在幻化一片盎然生机 正在揭幕一个太平盛世 万世沧桑 土地这种物质 将以怎样的功德载入史册

请把国土交予我！

请把国土交予我们！

守护国土 保障发展

这是国土人的誓言！

第四篇：向量中的三角形心的问题

向量中的三角形“四心”问题

学习向量的加减法离不开三角形，三角形的重心、垂心、内心、外心是三角形性质的重要组成部分，你知道它们的向量表示吗？你能证明吗？下面的几个结论也许能给同学们一点帮助。

结论1：若点O为△ABC所在的平面内一点，满足点O为△ABC的垂心。证明：由，所以

。同理可证，得，即，则

。故O为△ABC的垂心。

结论2：若点O为△ABC所在的平面内一点，满足，则点O为△ABC的垂心。

证明：由。同理可证，得

。容易得到，所以

由结论1知O为△ABC的垂心。

结论3：若点G为△ABC所在的平面内一点，满足ABC的重心。证明：由，所以，得，则点G为△

。设BC边中点为M，则，即点G在中线AM上。设AB边中点为N，同理可证G在中线CN上，故点G为△ABC的重心。

结论4：若点G为△ABC所在的平面内一点，满足为△ABC的重心。，则点G证明：由，得。由结论3知点G为△ABC的重心。，得结论5：若点P为△ABC所在的平面内一点，并且满足，则点P为△ABC的内心。

证明：由于方向的单位向量为，与，可得

同方向的单位向量为，则

。设与同

。因为，知点P在∠A为单位向量，所以向量的平分线上。

同理可证点P在∠B的平分线上。故点G为△ABC的内心。

在∠A的平分线上。由结论6：若点O为△ABC所在的平面内一点，满足，则点O为△ABC的外心。

证明：因为，所以

同理得，所以。故点O为△ABC的外心。

由题意得，得说明：以上几个结论不仅给大家展示了三角形的“四心”的向量表示，而且是向量加减法应用的很好典例，值得大家关注。

第五篇：37“三线”交越处施工要求

“三线”交越处施工要求

“三线”交越是电力线（包括路灯、灯箱广告电源线）、通信线、广播电视线交越和搭挂。“三线”交越、搭挂的主要安全隐患是：容易导致强电侵入电信、电视，烧毁设备，引发火灾，中断信号，中断电气化铁路正常运输和电力线路短路、倒杆、停电以及检修维护人员触电伤亡，“三线交越”对通信设施危害面宽、危害程度高。农村通信杆线分布广泛，“三线交越”可能造成的强电引入，除了直接危害杆路沿线村民安全，致使触电伤人严重后果外，还可能串入机房，引起保安单元过热，发生火灾和损毁通信设备事故。已成为威胁电力、通信广播电视网络安全和人民生命财产安全的重大隐患，是引发安全事故的重大隐患之一。在“三线交越”处施工时，工程处施工技术主管和施工队长在出工前要向施工人员明确工程施工的具体安全措施，要有防止触碰附近电力线和其它设施的措施和方案，明确岗位责任（安全技术交底）；施工人员出工前要将使用的安全帽、安全带、绝缘鞋、绝缘手套、试电笔、梯子、脚扣、吊板及绳索等工具严格检查，确保无损伤方可使用，上杆前要观察周围或附近有无电力线、电力设备或其它影响上杆及杆上作业的障碍物等情况，要检查电杆有无腐蚀，埋设是否牢靠，上杆作业前要用试电笔检测拉线、吊线是否带电，对杆上不明用途、性质的线条，一律视为电力线；施工人员在操作时必须戴安全帽，穿绝缘鞋，用脚扣上下电杆必须系安全带，上杆时不得携带笨重材料、工具，作业时要携带工具袋，并将所用工具、小材料放入袋内，常用工具应系带在身上，所需材料必须用绳索传递不得扔掷工具、材料；不得二人同时上下杆；用梯子作业时，要注意周围环境，严防与电力线触碰，不准举梯行进；遇到大风、大雨和雷电等恶劣天气，要立即下杆，停止作业，要远离电力线、高压线、变压器等；在高、低压电力线下方或附近作

业，必须严防与电力线接触；进行架线、紧线和打拉线等施工作业时，应保证最小空中距离：

（一）、35千伏以下线路为2.5米；

（二）、35千伏以上线路为4米。

在“三线交越”杆作业时，必须注意与电力线、用户灯线、电车馈线、变压器及闸刀等电力设备保持一定安全距离，不准触碰；若电杆上方有电力线交越，上杆作业时头部不准超过杆顶；所用工具和材料不得触及电力线和电力设备，吊线与电力线距离较近或接触时，必须联系有关部门停电后，方可作业；在作业过程中，若有电力线用户灯线等触碰、断落在通信线条或区域内，要立即停止作业；跨越电力线架设线条时，严禁将线条从电力线上方抛过，必须联系有关部门停电，并设专人看管，在电力线两侧电杆上各装置滑轮，也可在跨越电力线处做安全保护架，将电力线罩住，施工完毕再拆除，否则不得施工；在高压线下方架设线条，要将线条用干躁绳索控制在电杆或夹板上，防止在布放或紧线时，线条弹起来，使安全距离减少，导致高压放电事故或触电事故发生；对跨越电力线和在高压线下方架设的线条和电缆，须与建设单位取得联系，在不影响通信质量和条件允许的条件下，可从跨越的一侧电杆下入地，再从另一侧电杆引上。在电力线下方必须安装“三线交越交叉保护管”；拆除时也必须注意；对拆除跨越电力线的线条时，必须事先与相关部门联系停电，并设专人看管，作业前要验证确属停了电，方可作业。在作业过程中，对杆上不明用途、性质的线条，一律视为电力线，并不准随意剪断。

鉴于“三线交越”、共杆等现象，我们应加强与建设单位、设计部门、电力等相关部门的协调力度，就“三线”交越、共杆进行协商，制定分步实施方案，逐

步进行解决。工程处要加强宣传教育，以提高施工人员的安全意识，向施工人员宣讲“三线交越”对人身安全、设备（家电）安全的危害，争取员工的积极支持与配合，特别要加强对线路施工单位和施工人员的安全标准、安全知识的培训，提高线路施工人员安全技术水平和安全意识，防止出现触电伤人严重后果和安全事故。施工人员必须严格按照《安全操作规程》要求施工作业，把“三线交越”安全隐患控制在最低点。工程处、检查部要严格遵守相应工程规范。对现实中以不规范的施工换取工时的缩短和工料的节约、工程管理放松、执行规范不严、流于形式的验收等现象，将按照公司《安全生产检查标准及考核办法》等有关规章的规定追究相关责任人的责任，从严考核，并追究责任，全面推进各项安全生产工作。

质量安全检查部2008年6月5日