三角形的三线四心及口诀（5篇）

第一篇：三角形的三线四心及口诀

三角形的三线、四心及口诀

内心是三条角平分线的交点，它到三边的距离相等。

外心是三条边垂直平分线的交点，它到三个顶点的距离相等。（是充要条件）重心是三条中线的交点，它到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍。垂心是三条高的交点，它能构成很多直角三角形相似。

旁心是一个内角平分线与其不相邻的两个外角平分线的交点，它到三边的距离相等。重 心

三条中线定相交，交点位置真奇巧, 重心分割中线段，数段之比听分晓, 垂 心

三角形上作三高，三高必于垂心交, 直角三角形有十二，构成六对相似形, 内 心

三角对应三顶点，角角都有平分线，三线相交定共点，叫做内心有根源，高线分割三角形，出现直角三对整，四点共圆图中有，细心分析可找清。交点命名为重心，重心性质要明了，长短之比二比一，灵活运用掌握好。

点至三边均等距，可作三角形内切圆，此圆圆心称内心，如此定义理当然。外 心

三角形有六元素，三个内角有三边, 此点定义为外心，用它可作外接圆，分别化出锐角、直角、钝角三角形的三线、四心

重心...中线交点...3个定点的坐标为(x1,y1)(x2,y2)(x3,y3)重心坐标就是(x1+x2+x3/3,y1+y2+y3/3)

第五个心：旁心

三角形的旁切圆（与三角形的一边和其他两边的延长线相切的圆）的圆心叫做旁心。旁心是一个三角形内角平分线与其不相邻的两个外角平分线的交点，它到三角形三边的距离相等。一个三角形有三个旁心，而且一定在三角形外。

作三边的中垂线，三线相交共一点，内心、外心莫记混，内切、外接是关键。

第二篇：三角形的三线定义（范文模版）

1、三角形中，连接一个顶点和它所对边的中点的线段叫做三角形的中线

2、三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，连接这个角的顶点和交点的线段叫三角形的角平分线。（也叫三角形的内角平分线。）

3、在三角形中，从一个顶点向它的对边所在的直线画垂线，顶点到垂足之间的线段叫做三角形的高，简称为高。

第三篇：三角形四心的向量表示

从动和静两个角度看三角形中四“心”的向量表示

平面几何中中三角形的四“心”,即三角形的内心、外心、重心、垂心。在引入向量这个工具后，我们可以从动和静两个角度看三角形中的四“心”的向量表示，其一可以使我们对三角形中的四“心”有全新的认识；其二使我们对向量形式的多样性和向量运算的灵活性有更清楚的认识。

一．从静止的角度看向量的四“心”

1．已知点O是三角形ABC所在平面上一点，若OAOBOC0，则O是三角形ABC的（）

（A）内心

（B）外心

（C）重心

（D）垂心

分析：若OAOBOC0，则OAOBOC，设以OA、OB为邻边的平行四边形为OACB,OC与AB交于点D,则D为AB的中点,由OAOBOC得,OCOC,即C、O、D、C四点共线,故CD为ABC的中线,所以O在边AB的中线上,同理可证, O在边AC的中线上, O在边BC的中线上所以O是三角形ABC的重心. 2.已知点O是三角形所在平面上一点，若OAOBOBOCOCOA,则O是三角形ABC的（）

（A）内心

（B）外心

（C）重心

（D）垂心

分析:由OAOBOBOC得,OB(OAOC)0,即OBCA0,所以OBC,A同理可证:OCAB,OABC,所以O是ABC的垂心.3.已知点O是三角形所在平面上一点，若aOAbOBcOC0,则O是三角形ABC的（）

（A）内心

（B）外心

（C）重心

（D）垂心

分析::若aOAbOBcOC0,又因为OBOAAB,OCOAAC,则(abc)OAbABcAC0.所以AObcABACABAC,因为与分别表示AB和AC方向上的单位向量,设abc|AB||AC||AB||AC|ABAC+,则AP平分BAC.又AO、APAP共线，BO平分BAC，知AO平分BAC。同理可证，|AB||AC|CO平分BAC。从而O是ABC的内心。

2224．已知点O是三角形所在平面上一点，若OAOBOC，则O是三角形ABC的（）

（A）内心

（B）外心

（C）重心

（D）垂心

222222分析：因为OAOBOC，所以OAOBOC，即OAOBOC，所以O是ABC的外心。

二．从运动的角度看三角形的四“心”

1．已知点O是平面上一个定点，A、B、C是平面内不共线三点，动点P满足OPOA(ABAC),R，则动点P一定通过ABC的（）

（A）内心

（B）外心

（C）重心

（D）垂心 解:OPOA(ABAC),可得AP(ABAC),由于ABAC表示以AB,AC为邻边的平行四边形的对角线,所以点P在边BC的中线所在直线上，故动点P的轨迹一定通过ABC的重心.2．已知点O是平面上一个定点，A、B、C是平面内不共线三点，动点P满足ABAC+ OPOA,R，则动点P一定通过ABC的（）|AB||AC|（A）内心

（B）外心

（C）重心

（D）垂心

ABABACACABAC+ 得，AP+ 。由于+ 表分析：由OPOA|AB||AC||AB||AC||AB||AC|示BAC的平分线所在的方向向量。故当R时，动点则动点P一定通过ABC的内心。

3已知点O是平面上一个定点，A、B、C是平面内不共线三点，动点P满足ABAC+  ,R，则动点P一定通过ABC的（）OPOA|AB|cosB|AC|coCs（A）内心

（B）外心

（C）重心

（D）垂心

ABACABAC+ 得，AP+ 。分析: 由OPOA|AB|cosB|AC|cosC|AB|cosB|AC|cosCABACABBCACBC+ B CBCB,C0由于所以cosAB|B|coAsC|C|cos|AB|coBsA|C|C。即点P的轨迹是过点A且垂直于BC的直线，故动点P的轨迹一定通过ABC的垂心。APB0C4.已知O平面上一个定点，A、B、C是平面内不共线三点，动点P满足OBOCOP2ABAC+ ,R，则动点P一定通过ABC的（）sA|C|coC|AB|coBs（A）内心

（B）外心

（C）重心

（D）垂心

ABAC+ |AB|cosB|AC|cosCABACABAC+ ,当R时, + 表示垂直于可得DP|AB|cosB|AC|cosC|AB|cosB|AC|cosCOBOCOBOC分析:设BC的中点为为D,则OD,所以由OP22BC的向量,所以DP为线段BC的垂直平分线,故动点P的轨迹一定通过ABC的外心.上面通过动和静两个角度看三角形的四”心”的向量表示,得出了椒优美的结论,使我们对向量的四心有了新的认识,更好的体会到辩证的和谐的统一.

第四篇：向量与三角形四心的一些结论

【一些结论】：以下皆是向量 若P是△ABC的重心 PA+PB+PC=0 2 若P是△ABC的垂心 PA•PB=PB•PC=PA•PC(内积）3 若P是△ABC的内心 aPA+bPB+cPC=0(abc是三边）若P是△ABC的外心 |PA|²=|PB|²=|PC|²（AP就表示AP向量 |AP|就是它的模）AP=λ（AB/|AB|+AC/|AC|),λ∈[0,+∞)则直线AP经过△ABC内心6 AP=λ（AB/|AB|cosB+AC/|AC|cosC),λ∈[0,+∞)经过垂心 7 AP=λ（AB/|AB|sinB+AC/|AC|sinC),λ∈[0,+∞）或 AP=λ(AB+AC),λ∈[0,+ ∞)经过重心

8.若aOA=bOB+cOC,则0为∠A的旁心,∠A及∠B,C的外角平分线的交点

【以下是一些结论的有关证明】

1.O是三角形内心的充要条件是aOA向量+bOB向量+cOC向量=0向量充分性：已知aOA向量+bOB向量+cOC向量=0向量，延长CO交AB于D，根据向量加法得：OA=OD+DA,OB=OD+DB,代入已知得：a(OD+DA)+b(OD+DB)+cOC=0,因为OD与OC共线，所以可设OD=kOC,上式可化为(ka+kb+c)OC+(aDA+bDB)=0向量,向量DA与DB共线，向量OC与向量DA、DB不共线，所以只能有：ka+kb+c=0，aDA+bDB=0向量,由aDA+bDB=0向量可知：DA与DB的长度之比为b/a,所以CD为∠ACB的平分线，同理可证其它的两条也是角平分线。必要性：已知O是三角形内心,设BO与AC相交于E，CO与AB相交于F，∵O是内心∴b/a=AF/BF，c/a=AE/CE过A作CO的平行线，与BO的延长线相交于N，过A作BO的平行线，与CO的延长线相交于M，所以四边形OMAN是平行四边形根据平行四边形法则，得向量OA=向量OM+向量ON=(OM/CO)*向量CO+(ON/BO)*向量BO=(AE/CE)*向量CO+(AF/BF)*向量BO=(c/a)*向量CO+(b/a)*向量BO∴a*向量OA=b*向量BO+c*向量CO∴a*向量OA+b*向量OB+c*向量OC=向量02.已知△ABC 为斜三角形,且O是△ABC所在平面上的一个定点,动点P满足向量OP=OA+入{(AB/|AB|＾2*sin2B)+AC/(|AC|＾2*sin2C)},求P点轨迹过三角形的垂心OP=OA+入{(AB/|AB|＾2*sin2B)+AC/(|AC|＾2*sin2C)},OP-OA=入{(AB/|AB|＾2*sin2B)+AC/(|AC|＾2*sin2C)},AP=入{(AB /|AB|＾2*sin2B)+AC /(|AC|＾2*sin2C)},AP•BC=入{(AB•BC /|AB|＾2*sin2B)+AC•BC /(|AC|＾2*sin2C)},AP•BC=入{|AB|•|BC|cos(180°-B)/(|AB|＾2*sin2B)+|AC|•|BC| cosC/(|AC|＾2*sin2C)},AP•BC=入{-|AB|•|BC| cos B/(|AB|＾2*2sinB cos B)+|AC|•|BC| cosC/(|AC|＾2*2sinC cosC)},AP•BC=入{-|BC|/(|AB|*2sinB)+|BC|/(|AC|*2sinC)},根据正弦定理得：|AB|/sinC=|AC|/ sinB,所以|AB|*sinB=|AC|*sinC∴-|BC|/(|AB|*2sinB)+|BC|/(|AC|*2sinC)=0，即AP•BC=0，P点轨迹过三角形的垂心3.OP=OA+λ

(AB/(|AB|sinB)+AC/(|AC|sinC))

OP-OA=

λλ(AB/(|AB|sinB)+AC/(|AC|sinC))AP=(AB/(|AB|sinB)+AC/(|AC|sinC))AP与AB/|AB|sinB+AC/|AC|sinC共线根据正弦定理：|AB|/sinC=|AC|/sinB,所以|AB|sinB=|AC|sinC,所以AP与AB+AC共线AB+AC过BC中点D，所以P点的轨迹也过中点D，∴点P过

三

角

形

重

心。

4.OP=OA+

λλ(ABcosC/|AB|+ACcosB/|AC|)OP=OA+(ABcosC/|AB|+ACcosB/|AC|)AP=λ(ABcosC/|AB|+ACcosB/|AC|)AP•BC=λ(AB•BC cosC/|AB|+AC•BC cosB/|AC|)=λ([|AB|•|BC|cos(180°-B)cosC/|AB|+|AC|•|BC| cosC cosB/|AC|]=λ[-|BC|cosBcosC+|BC| cosC cosB]=0，所以向量AP与向量BC垂直，P点的轨迹过垂心。5.OP=OA+λ(AB/|AB|+AC/|AC|)OP=OA+λ(AB/|AB|+AC/|AC|)OP-OA =λ(AB/|AB|+AC/|AC|)AP=λ(AB/|AB|+AC/|AC|)AB/|AB|、AC/|AC|各为AB、AC方向上的单位长度向量，向量AB与AC的单位向量的和向量，因为是单位向量，模长都相等，构成菱形，向量AB与AC的单位向量的和向量为菱形对角线，易知是角平分线，所以P点的轨迹经过内心

第五篇：三角形的四心的向量表示

222（1）O为ABC的外心OAOBOC.外心（三条边垂直平分线交点）（2）O为ABC的重心OAOBOC0.重心（三条边中线交点）（3）O为ABC的垂心OAOBOBOCOCOA.垂心（高线交点）（4）O为ABC的内心aOAbOBcOC0.内心（角平分线交点）

方向上的单位分别为证明：前三个心的性质都好证明，下面给出问题（4）的证明：cb

向量，平分BAC, cb

)，(cbBCBA同理：BOu()acuABACBCBA11ABAOOB()u()[()u]AB()AC cbaccacab

11()u1a11bccacu()u1得代入解得，bcacabcu0ab三角形的四心的向量表示 设O为ABC所在平面上一点，角A,B,C所对边长分别为a,b,c，则

bc（）abccb

化简得(abc)bc，abc