谈数与形的结合——中小学教学中蕴藏着的数形结合思想

第一篇：谈数与形的结合——中小学教学中蕴藏着的数形结合思想

谈数与形的结合

中小学教学中蕴藏着的数形结合思想

［摘要］ 数形结合，是数学教学中常用的一种方法，它能使复杂的问题简单化，抽象的事物直观化，教师讲解容易，学生也易于理解。数形结合有利于数感的培养，有利于算理的讲解，有利于思维的培养，有利于空间观念的形成。本文揭示了在小学数学中的数感，算术，思维和三维模型与初中数学的有理数、应用题、不等式、函数及其图象、统计初步、平面几何内容中所蕴藏着的数形结合思想。［关键词］数形结合 数感算理 思维 空间观念

谈数与形的结合 中小学教学中蕴藏着的数形结合思想

数学家华罗庚说得好:“数形结合百般好,隔离分家万事休,几何代数统一体,永远联系莫分离”.数学知识的教学有两条线：一条是明线，即数学知识；一条是暗线，即数学思想方法。随着新课程改革全面展开,各门课程的教材都发生着巨大的改变。面对改头换面的数学新教材,我们发现章节顺序变了,知识点重新整合了，书也变漂亮了,图形变多了，以前的数学课程被分为“代数”和”几何”两本教材来讲授,而现在合二为一,且教学中几何图形所占的比重有所增加。“代数”主要研究数据的计算与处理, “几何”主要研究图形的位置、大小等特性, “数”和“形”是数学研究的两个侧面,它们互相渗透，相互转化,使得以代数法研究几何,以几何法研究代数成为可能。“数形结合”是初中数学的重要思想之一,也是学好数学的关键之一。若能把“数”与“形”很好的结合起来,那么一些看似复杂的问题会迎刃而解。掌握了此方法也会使解题手段从“单一”走向“灵活”,体会到数学之美，从而感叹数学之精妙。

青少年生活在社会和物质的世界中，周围环境中形形色色的物体均表现为一定的数量、形式，并以一定的空间形式存在着。从青少年心理学分析，他们善于运用直觉形象思维来解决问题，数学抽象思维是建立在大量的已知的形象思维的基础上而形成的。翻开新课程数学教材，一道道解决问题的应用题里的一组组对话，运用了漫画的小人书表现形式来表达，无论学生会不会解答，他们都把它当作好看的小人书来研究一番，这比老教材的单纯应用题能更吸引学生，这是一大进步。有了象漫画一样的解决问题的应用题学生也来兴趣了，解答时研究的印象也深刻了，更能接受老师、同伴的解决思路。

数形结合就是根据数量与图形之间的关系，认识研究对象的数学特征、寻找解决问题的方法的一种重要数学思想，着重借助图形来解题，以其直观、形象、简捷的形式来吸引学生。数形结合思想的实质即通过数形之间的相互转化，把抽象的数量关系，通过理想化抽象的方法，转化为适当的图形，从图形的结构直观 2 地发现数量之间存在的内在联系，解决数量关系的数学问题。在新课程的数学教学中，数形结合的作用非常大，可以说是数学课堂中必不可少的教学手段。

如何把解决问题的应用题解决方法进一步提炼成简单易懂的，直观的数形形式呢？这就要求结合数形图来分析。

一、数形结合突出了数感的建立

数是抽象的数学知识，形是具体实物、图形、模型、学具。数和形是紧密联系的。数形对应是数形结合的基础，这种意识的养成主要是通过新授课阶段的学习逐步领悟和掌握的。学生只有先从形的方面进行形象思维，通过观察、操作，进行比较、分析，在感性材料基础上进行抽象，才能获得数的知识。所以在低年级的数学课堂教学中，数形结合是常用的手段之一，因为它能有效地为毫无数字概念的孩子建立数感。一般认为20以内甚至100以内的数学生大多会读会写，因此往往忽视教学过程中的动手操作。事实上，操作恰恰是生成数感的有效途径。

例如在教学20的认识时，教师既要演示又要请学生亲自动手用摆小棒的方法从11数到19，然后用稍稍缓慢的动作清楚地演示出19根小棒添上1根是1捆加十个1个，再将10个1根捆成1捆，这样就是2捆，即2个10根，也就是20根。这样的过程使学生清楚地感受到20是在19的基础上添上1生成的，这对后面30、40、50等整十数的认识有很强的提示作用。而100的认识更要让学生通过数小棒经历99添上1就是10个十，10个十是1个百即100的生成过程，从而体会两位数向三位数的变化，明白数位的顺序及各数位的价值。物和数的对应加深了学生对数的理解，突出了学生数感的培养。

二、数形结合突出算理讲解。

在数学教学中，加强数与图形的结合，能加深学生对知识的理解，能有效防止学生学习数学“一知半解”,防止出现“隔靴搔痒”的教学现象。应用数形结合，是解决问题过程中的一种策略，是数学规律性、灵活性的融合。教师应帮助学生通过具体问题的解决，归纳出知识的系统性和规律性，并在此基础上拓宽延展，使学生的思维能力不滞留在某一局部上而是获得更长足的发展，让学生积极主动地建构有序的良好的知识组块，增强了建构功能。

例如在学生学习“乘法的意义”时，因为同一意义可以表示两种乘法算式，而同一算式有两种不同含义，如果在教学过程中，不注意数形结合，学生对乘法 3 意义的理解往往处于“一知半解”状态。如一共有多少个五角星？在看图的基础上，学生能理解：横看，得到5＋5＋5，可以表示成5×3或3×5，竖看，得到3＋3＋3＋3＋3，可以表示成3×5或5×3。但是，如果问学生：3×5、5×3表示什么？如果在学生表达乘法意义时，不结合图形，学生会含糊地表述3×5既表示3个5连加，也表示5个3连加。但实际上3个5连加和5个3连加是不一样的意义，所以，此时老师应强调结合图形看，3个5连加应怎样看?(横看)5个3连加又应该怎样看？（竖看）说说相同加数是多少？几个这样的相同加数？通过数与形的一一对应，来加强学生对乘法算式所表达意义的理解，加强算理的教学。

三、数形结合突出了思维训练。

在具体实施“数形结合”时，我们常常是由“形”观察“数”，由“数”构造出“形”，这中间的“观察”与“构造”并未进行严格的逻辑推理。数形结合就是把抽象的数学语言与直观的图形结合起来思索，使抽象思维与形象思维结合，通过“以形助数”或“以数解形”，帮助我们复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而达到优化解题途径的目的。在教学中，把数和形结合起来分析，引导学生既从数的方面用分析的方法进行抽象思维，又从形的方面进行整体思考，通过类比、联想、想像进行形象思维，能达到思维训练的要求。

例如百分数应用涂教学，参加乒乓球兴趣小组的共有80人，其中男生占60%，后又有一批男生加入，这时男生占总人数的2/3。问后来又加入男生多少人？先把题中的数量关系译成图形，再从图形的观察分析可译成：若把原来的总人数80人看作5份，则男生占3份，女生占2份，因而推知现在的总人数为6份，加入的男生为6—5=1份，得加入的男生为80÷5=16（人），从这题不难看出：“数”、“形”互译的过程。既是解题过程，又是学生的形象思维与抽象思维协同运用、互相促进、共同发展的过程。由于抽象思维有形象思维作支持，从而使解法变得十分简明扼要而巧妙。

四、数形结合突出了三维模型的建立。

为了使数学上的奇异美、对称美、和谐美、内容美在图形上的体现更为直观、更为动人，应用数形结合能不断培养学生的审美情趣，提高审美意识和鉴赏力，有利于空间观念的建立。空间观念是物体的形状、大小、长短和互相位置关系的 4 表象，要培养和发展学生的空间观念，教学时就一定要联系实际，让学生看到具体的形。

例如在教学长度单位的认识时，使学生获得长度单位1厘米的表象，学生要先用直尺量图钉、手指，1厘米大约是1只图钉长，食指的宽大约是1厘米；要使学生获得面积单位1平方厘米的表象，就让学生先用边长是1厘米的正方形量一量大拇指的指面，大拇指的指面大小大约是1平方厘米，通过这样在实际中量一量，比一比，1厘米的长短，1平方厘米的大小就在学生大脑中留下了表象，形成了空间观念。

九年制义务教育初中《数学教学大纲》中也把数学的精髓——数学思想方法纳入了基础知识的范畴，这是加强数学素质教育的一项创举。数学思想方法既是数学的基础知识，是知识的精髓，又是将知识转化为能力的桥梁，用好了就是能力。因此我们在教学中要注重数学思想方法的渗透、概括和总结，要重视数学思想方法在解题中的指导作用。

数形结合的思想方法是初中数学中一种重要的思想方法。数学是研究现实世界的数量关系和空间形式的科学，数和形是数学知识体系中两大基础概念，把刻划数量关系的数和具体直观的图形有机结合，将抽象思维与形象思维有机结合，根据研讨问题的需要，把数量关系的比较转化为图形性质或其位置关系的讨论，或把图形间的待定关系转化为相关元素的数量计算，即数与形的灵活转换、相互作用，进而探求问题的解答就是数形结合的思想方法。数形结合的思想方法能扬数之长、取形之优，使得“数量关系”与“空间形式”珠连壁合，相映生辉。

一、有理数内容体现的数形结合思想

数轴的引入是有理数内容体现数形结合思想的力量源泉。由于对每一个有理数，数轴上都有唯一确定的点与它对应，因此，两个有理数大小的比较，是通过这两个有理数在数轴上的对应点的位置关系进行的（实数的大小比较也是如此）。相反数、绝对值概念则是通过相应的数轴上的点与原点的位置关系来刻划的。尽管我们学习的是（有理）数，但要时刻牢记它的形（数轴上的点），通过渗透数形结合的思想方法，帮助初一学生正确理解有理数的性质及其运算法则。

二、应用题内容隐含的数形结合思想

列方程解应用题的难点是如何根据题意寻找等量关系布列方程，要突破这一 5 难点，往往就要根据题意画出相应的示意图。这里隐含着数形结合的思想方法。例如，九义教材《代数》第一册（上）的“4.4 一元一次方程的应用”内容中的例3（行程问题）、例4（追击问题）、例5（劳动力调配问题）、例6（工程问题）、例7（浓度问题），教学中,老师必须渗透数形结合的思想方法，依据题意画出相应的示意图，才能帮助初一学生迅速找出等量关系列出方程，从而突破难点。

三、不等式内容蕴藏着数形结合思想

九义《代数》第一册（下）第六章内容是“一元一次不等式和一元一次不等式组”，教学时，为了加深初一学生对不等式解集的理解，老师要适时地把不等式的解集在数轴上直观地表示出来，使学生形象地看到，不等式有无限多个解。这里蕴藏着数形结合的思想方法。在数轴上表示数是数形结合思想的具体体现，而在数轴上表示数集，则比在数轴上表示数又前进了一步。确定一元一次不等式组的解集时，利用数轴更为有效。

四、函数及其图象内容凸显了数形结合思想

由于在直角坐标系中，有序实数对(x , y)与点P的一一对应，使函数与其图象的数形结合成为必然。一个函数可以用图形来表示，而借助这个图形又可以直观地分析出函数的一些性质和特点，这为数学的研究与应用提供了很大的帮助。因此，函数及其图象内容凸显了数形结合的思想方法。教学时老师若注重了数形结合思想方法的渗透，将会收到事半功倍的效果。

五、几何图形的拼接体现了数形结合思想

初三教学中增加了新的一节内容<<镶嵌>>,看似几何图形的拼接问题,但它的基础却是计算。由一种正多边形的内角是否360 的约数,否则不能镶嵌。而当两种或三种不同的正多边形镶嵌时,由于不同图形的内角的不同以及数量比的可变性。计算就更不可少了,如两种正多边形镶嵌时,需要计算若干个两种不同的内角能否凑成360。有了计算为基础,我们才能通过画图或拼图得到美丽的镶嵌图案。而且同一个计算结果,由于不同正多边形的位置不同,得到的图案可不一定相同。

总之，在新课程的解决问题的编排中，我看到了数形结合教学的重要性，数形结合能不失时机地为学生提供恰当的形象材料，可以将抽象的数量关系具体 6 化，把无形的解题思路形象化，不仅有利于学生顺利的、高效率的学好数学知识，更有利于学生学习兴趣的培养、智力的开发、能力的增强，使教学收到事半功倍之效。

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年 1988后记

“数以形而直观，形以数而入微”我国数学家华罗庚对数学结合思想的精辟论述。数形结合的思想，是通过数形间的对应与互助来研究并解决问题的思想，是最基本的数学思想之一，应用范围较为广泛，使在初中数学中也常在研究函数的性质，求解函数的有关问题。一些复杂的代数问题，如果用数形结合的思想来求解的话，就能够简单的多了。运用数形结合的方法解决问题，首先要揭示代数问题的几何含义，把代数问题转化成几何问题；然后将符合题设条件的几何图形画出来；最后对直观的几何图形进行观察、思考使我们可以更清晰的找出问题的症结。因此，在许多代数问题的求解中，通过几何图形与严密的多项式整理、抽象论证的和谐统一，能够为我们提供十分理想的解决问题的方法。

第二篇：数形结合思想论文

三新二移之基不可失

摘要：数学是一门应用性非常广泛的学科，伟大的数学家华罗庚曾经说过：“宇宙之大、粒子之微、火箭之速、化工之巧、地球之变、生活之谜、日月之繁，无处不用数学。”数学家华罗庚的话把数学的重要性及与生活的联系体现的淋漓尽致。那么对于一个中学生来说，该怎么学习数学，怎样学好数学就变得至关重要了。还是那句熟透了的话，一座无比雄伟的大楼，离不了基础的牢固。对基础知识清晰明朗的掌握，是鉴定是否学活、学通的标准。千变万化的数学难题，没有牢固的基础知识，就好比漂浮的氢气球，永远没有落脚点，无从下手。好的学习方法加上好的教学方法则是进入成功之门的必经之路。而数学课堂教育是培养学生数学能力的主要阵地，在数学课堂中创设教学中的自由、学生的自我、教师的总结及转移学生的兴趣和转移学生的注意力应是教学的关键。

关键词： 数学课堂教育

基础知识 怎样学好数学 学习方法 教学方法

数学是一门逻辑性及系统性相当强的学科，对于很多中学生来说，由于学习方法掌握不当，而导致学习起来相当吃力，以至于很多学生萌生了放弃学习数学的念头。这是不可取的，数学的重要性已不需要我们再重申了。你应该相信柳暗花明又一村的佳话。通过对本文的了解与学习，我们将带领你走出“旧版教育”的“天地君亲师”这一老师至上的教条主义，从而走上“新版教育”的“自由平等”的光明大道。本着数学课堂教学必须为学生创设一种和谐、自由、充满生命活力的民主气氛的宗旨，本文特提出了三种具有创新意义的学习方法及两种转移学习思想和提高学习兴趣的两种途径，即“三新二移”。从而为学生打好坚实的数学基础。

本文“ 三新二移之基不可失”，将紧跟我国数学教学改革的步伐，由“双基”向“四基”跨越的教育理念。为莘莘学子们提供三种新的学习方法及两种思想移位法。如孔老夫子所言:“知之者，不如好之者，好之者不如乐知者”。相信我们提供的学习方法，定能让广大学子们在兴趣中学，在愉快中收获。为您开辟一条通往成功的光明大道。

本文将从教学的自由、学生的自我、教师的总结及转移学生的兴趣和转移学生的注意力等方面入手，做到“移形换步”，却万变不离其宗。这些方法将有利于学生主动地进行观察、实验、猜想、推理、与交流等数学活动。让学生的学习能充分做到主动探究、动手实践、合作交流、阅读自学等。

“基础知识--暗中摸索总非真，眼触心生法自神；

基本技能--及之而后知，履之而后艰 ；

基本经验活动--闲云一片不成雨，黄叶满城都是秋；

基本思想--一语天然万古新，豪华落尽见真淳；”

具体实施过程如下：

一、把学习数学的自由还给学生

在新课标理念下教学，我们应该把学习数学的“自由”还给学生。所谓的自由，不是放任学生不管，任其自由发展，如果这样理解就大错特错了。我们应该把学习的主动权交给学生，然后在其左右辅助学生学习，简而言之就是以学生为主体，教师是数学学习的组织者、引导者与合作者的教学模式。弗赖登塔尔说每个学生都有自己不同的“数学现实”。作为老师的任务不是把自己的数学现实代替学生的数学现实，而是帮助学生构造数学现实。用弗赖登塔尔的教学观说，数学教育所提供的内容应该是学生各自的“数学现实”，通过学生自己的认识活动，构建数学观，促进数学知识结构的优化。

（一）、学生学习数学的现状以及传统教学模式对学生的影响 根据调查结果分析，我们可以看出，大部分学生对数学都不感兴趣。这就引起了我们的深思，为什么会这样，数学是与现实生活很贴切的一门科学。经过了解，我们得知大部分学生他们不明白为什么要学习数学，数学是那么的枯燥，整天除了解题还是解题或者有的说学数学的目的就是想应付考试。在调查过程中，当问及学生怎样才能打好数学基础时，70%的学生说背概念，背公式，题海战术之类。虽然知道这是一种方法，但他们缺乏信心，解题时急躁，还有定势思维。让他们的数学基础打不好。我们传统的数学教学模式为“填鸭式”教学模式，习惯灌输知识给学生，同学们习惯于接受知识，而不是发现知识；同学们渐渐的就形成了定势思维模式，发散性思维渐渐被封锁，而发散思维是创新型人才所必备的。

（二）、如何把学习数学的“自由”还给同学 帮助同学们打好数学基础知识，我们应让同学们“自由”的去学习数学知识。数学有这三个特点：高度的抽象性、严密的逻辑性和广泛的应用性。然而这些特点正好是我们打好数学基础知识的关键。在我们学习数学的时候，同学们如何理解高度抽象的数学概念？怎样掌握数学严密的逻辑性？怎么才能把所学的数学知识应用到现实生活中？ 当同学们“自由”的学习数学基础知识时老师应该做到：

1、教同学们学会问 爱因斯坦指出：“提出一个问题往往比解决一个问题更重要，因为解决问题也许仅仅数学上或实验上的技能而已，提出的新问题、新的可能性、从新的角度去看待旧的问题，却需要有创造性的想象力”．创新源于问题，没有问题就不可能有创新，问题是创新的基础和源泉．问题能激起同学们进行思考，能带给同学们学习数学的兴趣，可活跃学习数学的氛围。方法有：创设数学情景；有意识的保护同学的好奇心;培养和训练学生们发现问题并提出有意义的问题等。

2、让同学们学会合作互动学习 合作互动学习是指学生在小组或团队中为了完成共同任务，有明确的责任分工，并彼此合作的互动互助式的学习。合作学习强调在合作中达到信息互动，人际互动。在合作互动的学习过程中，学生不仅可以相互实现信息与资源的整合，不断的扩展和完善自我认知，而且可以在合作学习中学会交往、学会参与、学会倾听、学会尊重他人。这将对学生的认知、情感、自信心以及同伴关系等产生积极地影响。方法：可由老师进行设计互动学习或指导学生来设计互动学习，最后由全班来共同完成。

3、教给同学们数学建模的方法 新课标中特别强调学生生活的数学，用生活的数学，用数学知识解决实际问题把生活融汇到学校数学教育中是现代教育的一个趋势。当前数学教育以促进学生的全面发展、以提高学生的数学素质为根本。学生们掌握了一定的数学知识，可让他们学习应用这些数学知识到现实生活当中。让他们明白学习数学的实际意义，这就给予了他们学习数学知识的动机，也可大大的提高他们自主思考，和动手实践的能力。要培养学生的数学能力,在教学中培养学生的数学建模意识是很重要的。知识不能简单地由教师或其他人传授给学生而只能由学生依据自身已有的知识和经验主动地加以建构。所以数学建模的教学符合现代教学理念必将有助于教学质量的提高。在数学建模中能培养学生的转换能力，创新能力，能让他们知道怎么把一个抽象的问题，形象化，能够激发学生们学习数学的兴趣。方法：联系学生身边的实际给学生们构建数学问题情境；用学生所了解的身边事物去引导他们构建适当的数学模型；辅导他们如何把抽象的现实问题数学化；适当的营造一些积极的数学建模氛围。数学教育应坚决摒弃“教师讲、学生听”的机械灌输的教学模式，代之以读、讲、议、练、师生对话、课堂讨论等使学生主体参与的教学方式，使问题解决、数学应用、数学交流、数学建模成为课堂的主流，要冲破以教材为本位的束缚，在课堂中提供学生参与的机会，把握好启发的时机、力度，学生作为独立的个体，存在着智力和非智力因素的差异，使得他们对知识的内化程度和能力的形成速度也有所不同，因此教育模式也不能一成不变，不能只用一个标准要求所有学生，要因人而异，因材施教，分类指导，分层要求，使学生各得其所，各展其长，各成其才，整体发展，全面提高。

二、引导学生学会三个“自我”

新课改下怎样才能打好中学生的数学基础

在传统的教学过程中．教师往往以“满堂灌”的教学方法为主，整节课都在灌输新知识、传授新内容，忽视学生的主体地位，以至于学生“消化不良”，学习积极性不高，且产生厌倦情绪，最终导致教学质量偏低。面临如此危机，我们不得不寻求一些新的教学方法，教育界的专家们费尽心思，几经周折最终提出了新课改，这样一来，学生自主探索的时间与空间大大增加，相对于以前“一丝不苟”的教材分析，现在的中学教材更注重的是学生自我思考与探索新知识的能力，教材往往是点到为止。

而面对新课改，教师固然面临着更大的挑战，虽然课堂上不用那么苦口婆心的强调非此即彼，但备课时却要大费周章、绞尽脑汁。为了适应新课改的要求，教师们必须转变教学观念，创新教学方法，在彻底克服教者“包办代替”、学者“生吞活剥”的前提下，更重要的是把注意力更多的转移到学生心理状况的发展上。我们知道，中学阶段正是一个生理与心理发展的转折点，这个时候如果不积极地、正确地引导学生步入学习正轨，那么后果不堪设想。这里我们想浅谈几点建议，对于如此“大好时光”的中学生而言，如何才能引导他们打好数学基础。

（一）引导学生自我评价

对于很多学生而言，常常出现“不了解自己”的情况，不知道自己处于那个等级，还有何不足，应该怎样自我定位、自我鉴定，以便及时补缺。为此，老师应该引导学生进行自我评价并及时反馈意见，方便因材施教。可从以下几个方面作自我评价：

1、知识掌握的自我评价

在学习新知识之前，应自评一下自己是否对此知识有一定的了解，学习之后，可根据认知的分类，从记忆、领会、应用、分析、综合等方面来评估自己对知识的学习情况。将所学到的知识点与目标得分率制成简易图表，这样就能清楚地了解自己学习上的优势与不足。还可从以下几方向分析自己的情况：是否清楚基本概念的内涵和外延？能否将新学知识和已有知识联系起来？能否对所学知识举一反

三、触类旁通？能否在实际条件下灵活运用所学知识？

2、学习动力的自我评价

学习动力有内在动力与外在动力之分。自我评价要对内在动力进行分析、判断。包括：（1）学习目标是否明确？有无长远目标和近期目标？（2）对学好数学是否充满信心？是否有浓厚的学习兴趣？（3）学习态度是否勤奋、认真？（4）是否有主动积极的进取精神？有无战胜学习困难的勇气和毅力？（5）学习情绪是否稳定、持久？等。

3、学习策略的自我评价

（1）是否有计划地安排学习活动？是否有预习的习惯？能否及时复习当天的功课并完成作业？能否妥善安排学习时间？（2）能否正确利用各种资料？(3)能否与同学、教师合作学习？(4)能否集中精力听课？(5)对发回的试卷是否能认真分析原因，拟定补救措施？(6)是否有错题集？是否给自己出检测题？(7)能否总结自己或借鉴他人好的学习方法和经验？等等

4、学习能力的自我评价

学习能力的评价可从以下几个方面进行：(1)获取信息的能力：包括感知能力、阅读能力、搜集资料的能力等；(2)加工、应用、创造信息的能力：包括记忆能力、思维能力、表达能力（口头的、文字的）、动手操作能力、创造能力等；(3)学习的调控能力：包括确定学习目的、制定和调整学习计划、培养学习兴趣、克服学习困难等；(4)自我意识和自我超越的能力。

（二)引导学生自我调控

中学阶段,是人的情绪充分发展的时期,中学生的情绪世界,早已不再是风平浪静的港湾,而是汹涌澎湃的大海，虽然这时他们已有了驾驭自己情绪的能力,但情绪的浪潮依然时起时落，而对于繁重的学习压力，他们更是头疼不已，稍不留心将埋下祸根。因此,指导和帮助中学生认识自己的情绪问题,努力培养积极的情绪,调适消极的情绪,是教师在心理健康教育工作中的一项重要任务。所以应鼓励学生做到以下几点：

1、在做题遇到困难时不应忙着退缩，应养成一种“叛逆”心理的习惯，越是不会，越要征服。所谓“世上无难事，只怕有心人”，永不言败的精神方能成功。

2、看到其他同学玩耍时不应盲目羡慕，也不应在自己玩耍时侥幸的认为别人都在玩。不得不承认现在的中学生学习压力确实很大，一方面要让父母开心，另一方面又要让老师省心。劳逸结合是必须的，人又不是机器，总要吃饭、睡觉、消遣，但要记住“耐得住寂寞的人才能更快的走在别人的前面”，如果不想以后有所作为，那就尽情的玩个痛快吧！落魄的你可能更像你。

3、心情烦闷时可找同学倾诉，或者直接与老师交流，不要老是耿耿于怀走极端，没有过不去的坎，寻找适合自己发泄情绪的方式，尽快走出阴影。

4、学会宽恕自己，别总是自暴自弃、怨天尤人，别老是觉得自己是世上最不幸的人，好像别人什么都比你强，其实没有十全十美，只有更全更美，你要做的就是不断提升自己、完善自己，让自己满意自己。

（三）引导学生自我探究 在新的课程理念下，学生完全处于主导地位，教师其实已经“退居二线”，学生再也别指望老师会和你细细研究，但教师要变“指导者”为“引导者”，引导学生独立思考、自主探索。因此，为引导学生自主探究，应做到以下几点：

1、创设情景，创造探究平台

教师要教会学生改变以往陈旧的学习方法，将训练思路、方法教给每一个学生，让他们知道什么是异，怎样去求，怎样去想。在学习某个新知识点时有目的地去寻找、去尝试、去创造新颖。找到适合自己的，自己理解的现象或意境帮助理解和掌握新知识，现实生活中数学的应用不计其数，我们可以信手拈来。如：讲平移这一节时，没必要照本宣科，对于平移，其实在我们的日常生活中，随处可见，就算是学生在“三点”（教室、寝室、食堂）奔波，也可以说是从此处平移到彼处。这样的情景学生应该是最熟悉不过的了，何愁他们记不住。这样一来，学生就有话可谈、有事可做。

2、循序渐进，拓宽探究范围

学习过程的各个阶段是相互联系、相互依靠的，决不是孤立存在的，实践、认识、再实践、再认识......每个阶段都是在原有实践经验或间接经验学习的基础上进行的，在学习中遵循循序渐进的规律，可以取得事半功倍的效果，促使学习想纵向与横向都得到发展。而在数学的学习过程中，循序渐进的思想更是贯穿整个教学过程，一般老师都是按照由易到难、由浅到深、由具体到抽象的顺序逐一加深，让学生一步一个脚印步入学习乐园。课堂上，老师点到为止后，让学生交流互动、讨论分析，培养学生养成一种良好的探究习惯。

三、教会学生进行归纳总结

很大部分学生之所以出现基础知识的不扎实，原因并不是智力上的差异和努力程度不够，更多的是没有一个好的学习方法和端正的学习态度。

我们通过问卷调查的形式对兴义一中高一120名学生的数学基础知识出现的问题进行了调查，调查结果使我们深刻体会到：学生的基础如何与平时的学习态度及在学习的过程中出现的问题进行归纳与否密切相关。

通过调查我们发现有70%左右的中差生在学习的过程中都是草率对待、交差的学习心态。平时他们更没有把容易犯错的知识点进行归纳与总结的好习惯，无论是老师还是学生在学习的过程中遇到困难和犯错误都是难免的。但是怎样处理这些不良习惯呢？

好的学习心态：积极主动、化被动为主动、化厌学为乐学，放弃好高骛远的学习心态，比如说：老师给你一个非常简单的习题都要认真对待，不要产生会而不做的学习心态。因为大部分学生都是学习态度的不端正从而导致基础知识的不扎实。即使有了好的学习心态还得有好的学习方法：归纳与总结法

（一）归纳知识点

尤其是数学学科知识具有紧密的逻辑性和系统性，若能在学习过程中对以往所学知识进行恰当的归纳总结，那么不管是对接下来的内容的学习还是对于基本知识点的掌握便都不成问题了。例如：函数内容，必修第一册，先讲函数定义，然后学习指数函数、对数函数、幂函数，进而研究函数的图像与性质。点坐标与解析式的关系为第四册学习三角函数打好基础。

（二）归纳解题方法

解题的方法很多，但总有一些常用方法，对打好基础非常有用，例如：求函数的值域常用方法有：观察法、配方法、反函数法、判别式法、换元法、不等式法、单调性法、数形结合法、另加选修中的导数求解法等等。这样归纳总结解题方法，就会比较容易的确定解题思路。

（三）归纳常考易错的知识点法

学生对基础知识的掌握局限于当堂学会，但还是有很大一部分学生对于课堂上和课后出现的一些问题不重视，而往往反映出来的却是一些对基础知识的不掌握，时间长久了这些常考易错的知识点得不到纠正。例如：求函数y(x1)x10的定义域对于每一步都须归纳与总结，对于分式来讲分母：x≠1即可，但是却忘了二次根式下了数 即使x-10没忘记也容易给x10忘记，像这类问题是很简单的一些基础的知识点，却非常容易犯错，如果不及时加以归纳总结，那么一个班里基础成绩较差的学生基础会更差。

所以在教学中特别注意培养学生的学习方法，尤其是归纳与总结的培养，对打好学生的基础知识更有效。

四、将学生的兴趣转移在学习数学上

数学是一门抽象、严谨、应用非常广泛的学科，也是一门逻辑性、系统性较强的学科，要想学好它必须循序渐进，一步一个脚印地去学，这就要求学生对数学维持长久的兴趣。孔子曰：“知之者，不如好之者，好之者，不如乐知者。”浓厚的学习兴趣可使大脑处于最活跃状态，增强人的观察力、注意力、记忆力和思维力，还可抑制学习中的疲劳和困苦，保持旺盛的精力与敏捷思维。因此，作为一名教师，应从多方面着手，激发学生的数学兴趣，引发学生强烈的求知欲望，促使学生努力探索新知识，从而提高学生成绩。

（一）、静中设疑

“学源于思，思源于疑。”中学生求知欲强而注意力易分散，设疑可以激起学生去寻求答案，变被动为主动的思维，教师在授新课之前，根据内容设计一些与新课有直接联系的问题让学生操作或思考，让他们操作或思考过程中产生疑问，从而激发他们解疑途径，激发学习兴趣，例如，在学习三角形三边关系定理之前，先要求学生用（1）长为6cm、8cm、10cm,(2)长为4cm、6cm、10cm，（3）长为4cm、5cm、6cm的三组线段围成三角形的模型，学生在操作过程中产生疑问，使他们在“迷惑”中激发求知欲，提高学习兴趣。

（二）、融兴趣于幽默中，培养学生的抽象性 对数学的学习具有抽象性，有的学生在学习时感到枯燥乏味，难于接受。作为授课教师应该想办法使自己的课堂活跃，必要时可以引人生活中的幽默言语，网络流行词汇，使课堂气氛活跃。变抽象为形象，在函数的讲解时，这是比较抽象的课程，可将数形结合的思维引人，将抽象的函数表达式在坐标中展现出它的图像，从而学生就不觉得学数学有那么难了，已至于能保持他们对数学学习的兴趣。

（三）、巧设“课饵”创立“新境”，是激发学生学习兴趣的法宝

随教育思想的转变，学生为主体，教师辅导，教师辅导的时间就要着重引导、诱使学生形成爱思考，爱提问的性格，要求教师以谜团的形式设问题，使学生对谜底的追求，逐步寻求求解过程，得出正确答案。例如：在教授等差数列课程时，教师可先让学生算10以内的几项累加，再逐步累加20，30„以内的，使学生总结出前n项和公式，这样既让学生对等差数列的概念、性质有了了解，又对自己总结的公式加深记忆。

（四）、与实际生活相结合，提供数学应用的机会 数学在生活中的应用是相当广泛的，而生活与生产是学生感兴趣的教学因素，如果教师在所讲知识中渗入生活实例，会使学生有熟悉感，从而会激起学生强烈的求知欲望，这使他们更加关注这次学习知识，例如：在讲授相似三角形后，可让他们自己设法测量学校旗杆的长度。在学习了排列组合后，可让学生算一下福利彩票的各种玩法的概率。等让他们在生活中学数学，数学中关心生活。

（五）、制造悬念，创设情境，抓住学生的好奇心

教师要精心设疑，激发学生的求知欲望，努力创设启发或情境，好奇心是学生学习的强烈动机之一，教师必须设法使学生的好奇心变为强烈的求知欲望，培养学生浓厚的学习兴趣。例：在讲授分式的性质时，我们可以说：“我可以证明2=0，同学们认为可以吗？”这时同学的回答应该都是否定的，这时就在黑板上演算下a-bba(ab)1120。学生看后，有的说面式：当ab时，ababab不可能，有的说不对，2不可能和0相等。于是，我们就可以把上题的对与错解释给学生听，抓住学生的求知欲，生动有趣的讲完分式的性质。

（六）因人施教

在教学中，因学生人数众多，成绩各异，设计提问时要有针对性，要分析学生的缺差面和疑难点，不同层次的学生应根据不同的情况，提出不同的问题，让学生都有回答问题的机会和成功的喜悦。使其在各自的水平上有所提高和发展，感受成功的快乐，倍添学习兴趣。

五、从数学的艺术性提高学生课堂注意力

注意是心理活动对一定对象的指向和集中，当人对某一事物产生高度注意时，就会对这一事物反应得更迅速、更清楚、更深刻、更持久。叶圣陶先生曾说：“教师当然要教，而尤宜致力于导，导者，多方设方，是学生自求得之，卒低于不待教授之谓也”。课堂上教师固然要教，但如何去教，达到最大限度提高学生注意力，这就要求教师教学的艺术性。

（一）、趣味引趣

中学生由于身心发展、个性特征差异和外部因素的影响，有相当多的中学生不具有坚忍不拔不达目的不罢休的意志和毅力，表现在学习中常常知难而退，对于枯燥抽象、学生感到难懂的教材内容，采用趣味引趣法来提高学生注意力比较适宜。

（二）、风趣语言

教育家苏霍姆林斯基曾说：“如果老师不想方设法使学生产生情绪高昂和智力振奋的内心状态就急于传授知识，那么这种知识只能使人产生冷漠的态度，而不动感情的脑力劳动就会带来疲倦”。由于教育对象是有感情的人，所以感情因素能否贯穿于教育的全过程，不仅影响着知识的传递、智力的发展，而且还潜移默化地影响学生的行为及意志品质的形成。于是，在讲授某个知识点时，我们可用当时流行的词语、歌曲名等适当插入，从而使学生从别的注意力上转移过来。例如，讲到双曲线cab中时，由于在前面已学过椭圆的相关性质，222222而在椭圆的相关性质acb中有，于是，我们可把这两个知识点结合起来讲，不经意的插上一句：它们真“给力”啊！高考中出现椭圆和双曲线的题目一般都得用到。接下来再强调一定不能用错，否则我们的高考试卷中就会少得几分，这几分又使你与大学擦肩而过，“伤不起”啊！

这样，学生不仅认为这个知识点重要，还会活跃课堂气氛，从而提高注意力。

（三）、名句激之

学生不可能整堂课都注意力集中，有时还会感到疲倦，这时，在数学教学中有意识地进行渗透，充分利用数学家故事或名人名句启迪学生热爱数学学科的思想。

例如，在进行一题多解的引导教学中，给同学们插上一句“梅花香自苦寒来，宝剑锋从磨砺出”，再讲现代著名数学大师陈省身刻苦求学的感人事迹，激发学生热爱数学、积极探索的精神，达到集中学生注意力的效果。

第三篇：浅谈小学数形结合思想

浅谈小学数形结合思想方法

摘要：数形结合既是一种重要的数学思想，又是一种常用的数学方法，在小学数学教学与解决问题中广泛应用，本文介绍相关概念并结合人教版小学数学教材，初步整理了数形结合思想方法在各教学领域的渗透与应用，提出培养数形结合思想方法的策略。

关键词：小学数学；数形结合

1.数形结合思想方法的概念

数形结合思想就是通过数和形之间的对应关系和互相转化来解决问题的思想方法。1数形结合既是一种重要的数学思想，又是一种常用的数学方法，在小学数学教学与解决问题中广泛应用，包含“以形助数”和“以数解形”两个方面：前者借助形的直观性来阐明抽象的数之间的关系；后者是利用数的精确性、规范性与严密性来阐明形的某些属性。数形结合思想方法使数与形两种信息互相转换并且优势互补，从而能够将复杂的问题简单化，抽象的问题具体化。2

2.数形结合思想在各个学习领域的渗透与应用

小学数学分为“数与代数”、“图形与几何”、“统计与概率”、“综合与实践”这四个学习领域，数形结合思想在这四个领域中都得到了广泛的应用。我通过对教材的分析，初步整理了数形结合思想方法在各教学领域的渗透与应用。

2.1数形结合思想方法在“数与代数”知识领域中的渗透与应用 数是十分抽象的，教材在编排上充分利用了数形结合，帮助孩子理解数的含义。如，一年级上册1~5的认识这一课时：

教材的内容与目标体现以下两方面：（1）体会“形”的直观性。借助各种实物图作为直观工具，帮助学生理解数字的含义。（2）了解可以用数来描述几何图形。通过让学生用相应数量的小棒摆一摆图形的过程，引导学生数一数，增强用数的量化来描述形，让学生初步感受数中有形、形中有数的思想。

除此之外，在加减法的计算学习中，利用画图来直观呈现各种信息，帮助学生分析数量关系；在乘法口诀的学习中，利用各种图形（点子图、数轴、表格）帮助学生理解乘法的意义和口诀的推导；在分数的学习中，为了让学生能够理解分数的含义，教材运用了大量的图形作为直观手段；在小数的学习中，利用尺子、线段、正方形等直观手段帮助学生理解小数的意义与性质；在方程的学习中，利用天平图作为直观手段，理解等式的性质，利用画线段图帮助学生理解数量关系……可以说，数形结合思想在“数与代数”的学习中无处不在，应用十分广泛。

2.2数形结合思想方法在“图形与几何”知识领域中的渗透与应用

王永春.小学数学与数学思想方法[M].上海:华东师范大学出版社,2014:65.毕保洪,贺家兰.数形结合思想的应用[J].中学教与学,2017,1:15-16.在探索图形的性质、特点等过程中，也需要数形结合思想方法的帮助。如：四年级下册第五单元三角形的内角和这一课时：

通过操作把一个三角形的三个内角拼成了一个平角，让学生直观体验三角形的内角和时180°，通过动手操作，体验知识的生成过程，提高了学生的学习兴趣与学习效率。在知道三角形的内角和的基础上再探索四边形的内角和，让学生体会从数量的角度研究图形的性质。

除此之外，在角、长方形、正方形等平面图形的认识中，通过直观的图形，让学生发现图形的特点与性质；在长方形和正方形面积的学生中，用数量表示长方形、正方形的大小，感受“以数解形”方法的实用性；在圆柱和圆锥的学习中，通过探索圆柱的表面积、体积，圆锥的体积等方面的知识，体会从量化的角度研究圆柱和圆锥，更好地认识它们的性质……在“图形与几何”的学习中，不仅让学生通过直观了解图形，也使学生体会以数解形的作用。

2.3数形结合思想方法在“统计与概率”知识领域中的渗透与应用 统计图就是一种把数据通过直观图形的形式体现的一种方法，是数形结合思想的体现。在二年级下册，教材便设计了用简单的条形图来表示数据，让学生初步感受图形也可以表示统计数据。四年级上册第七单元条形统计图：

描述生活中的各种数据，既可以用统计表，也可以用条形统计图，在直角坐标系里画长方形来表示数据，具有直观、易比较数据之间的大小等特点，让学生体会以形助数方法的直观性。

除此之外，在集合的学习中，通过文氏图帮助学生理解相关的统计概念和计算原理；在折线统计图的学习中，让学生理解统计图是数形结合思想的体现；在扇形统计图的学习中，体会把圆作为单位“1”，然后用圆中的一些扇形表示各部分的数量与总量之间的百分比……

2.4数形结合思想方法在“综合与实践”知识领域中的渗透与应用

数形结合思想在“综合与实践”学习领域也有广泛应用。如五年级下册打电话：

直接去解决这个问题十分抽象，对学生来说难度太大，可以引导学生运用树状图作为直观手段，帮助学生归纳出最优方法。

除此之外，在学习和解决排列组合问题时，结合操作卡片、列表、树状图、线段图等手段，感受数形结合的方法；在解决优化问题和植树问题的过程中，都利用了画图的方法来帮助理解，解决数学问题；在六年级上册的教材中，运用数形结合的方法让学生理解完全平方公式。

3.数学结合思想方法的培养

3.1引导学生体会数形结合思想方法的作用

数形结合思想方法能够把看上去困难的题目简单化、明朗化，能够帮助学生理解抽象的数学问题，因此，在教学过程中，教师要有意识地渗透数形结合思想方法，利用数形之间的关系，帮助学生通过几何直观理解抽象概括，树立起学生数形结合的数学思想，培养主动运用数形结合思想方法去解决问题的意识，提高学生的数学素养与能力。

3.2培养学生画图识图的能力

运用数形结合思想方法解决问题的基本要求是通过题意画出符合的图像，利用图像来探讨数量关系。在实际教学过程中，出现了两方面的困难。一方面，多数的学生在把题目转化成图像的过程中遇到了困难，画不出符合题意的图或者画错了图导致不会解题、解错题；另一方面，对于画出的图像，学生不能看懂其含义，不能利用图去解决问题。教师必须认识到这个问题，在教学过程中重视画图和看图过程，引导学生理解，培养学生画图、看图的能力。

3.3培养学生运用数形结合思想方法的习惯 在小学中，学生在解决问题的过程中，并不会选择数形结合的方法，一方面是教师意识薄弱，不重视这样的解题方法；另一方面，学生嫌麻烦，不喜欢画图。在这样的情况下，教师应引导学生认识到数形结合思想方法的作用，坚持培养和训练，使学生形成利用数形结合思想方法的习惯，从而提高学生思维能力、分析能力和解决问题的能力。

3.4适当拓展数形结合思想的应用

在小学数学的教学中，通常采用“以形助数”，而“以数解形”在中学中的应用较多，在小学中比较常见的就是计算图形的周长、面积和体积等内容。在此基础内容上，还可以创新求变，深入挖掘“图形与几何”学习领域的素材，在学生已有的知识基础上适当拓展，丰富小学数学的数形结合思想。

4.结语

著名的数学家华罗庚说过：“数缺形时少直觉，形少数时难入微。”这句话深

3刻地揭示了数形结合的重要性。小学生的逻辑思维能力较弱，但在学习数学时必须面对数学的抽象性这一现实问题，因此，数形结合思想在小学数学中有重大意义。不管是教材的编排还是课堂的教学，我们都应使抽象的数学问题转化成学生易于理解的方式呈现，借助数形结合思想中的图形直观手段，使学生通过直观理解抽象的数学，培养学生数形结合思维，提高学生用数形结合方法解决问题的能力，使数学的学习充满乐趣。

参考文献：

[1]毕保洪,贺家兰.数形结合思想的应用[J].中学教与学,2017,1:15-16.[2]梁秀娟.蒋建华.浅议小学数学教学中数形结合思想的渗透与应用[J].数学学习与研究:教研版,2013（22）:119-119.[3]王永春.小学数学与数学思想方法[M].上海:华东师范大学出版社,2014:65.3 梁秀娟.蒋建华.浅议小学数学教学中数形结合思想的渗透与应用[J].数学学习与研究:教研版,2013（22）:119-119.

第四篇：学习心得数形结合

数形结合学习心得

低年段数学中的数形结合思想很多。例如：在教学100以内进位加法时，我通过课件演示28根小棒加72根小棒两次满十进一的过程使学生理解相同数位对齐、满十进一的道理。通过多媒体教学，既充分展现数与形之间的内在关系，又激发了学生的好奇心和求知欲，为培养学生数形结合的兴趣提供了可靠的保证。

又例如：在教学有余数的除法时，我是利用7根小棒来完成的教学的。首先出示7根小棒，问能拼成几个三角形？要求学生用除法算式表示拼三角形的过程。像这样，把算式形象化，学生看到算式就联想到图形，看到图形能联想到算式，更加有效地理解算理。

再如：教学连除应用题时，课一始，呈现了这样一道例题：“有30个桃子，有3只猴子吃了2天，平均每天每只猴子吃了几个？”请学生尝试解决时，教师要求学生在正方形中表示出各种算式的意思。学生们经过思考交流，呈现了精彩的答案。

30÷2÷3，学生画了右图：平均分成2份，再将获得一份平均分成3份。

30÷3÷2，学生画了右图：先平均分成3份，再将获得一份平均分成2份。

30÷（3×2），学生画了右图：先平均分成6份，再表示出其中的1份。

在教学中我要求学生在正方形中表示思路的方法，是一种在画线段图基础上的演变和创造。因为正方形是二维的，通过在二维图中的表达，让学生很容易地表达出了小猴的只数、吃的天数与桃子个数之间的关系。通过数形结合，让抽象的数量关系、思考思路形象地外显了，非常直观，易于中下学生理解。在教学实践中，这样的例子多不胜数。数形结合，其实质是将抽象的数学语言与直观的图形联系起来，使抽象思维和形象思维结合起来，通过对图形的处理，发挥直观对抽象的支柱作用，揭示数和形之间的内在联系，实现抽象概念和具体形象、表象之间的转化，发展学生的思维。数形结合是学生建构知识的一个拐杖，有了这根拐杖，学生们才能走得更稳、更好。

第五篇：高考复习数形结合思想

数形结合

定义：数形结合是一个数学思想方法，包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面。

应用：大致可以分为两种情形：或者是借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数为目的，比如应用函数的图像来直观地说明函数的性质；或者是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质。Ⅰ、再现题组：

1.设命题甲：0

B.必要非充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

2.若loga2

B.0

C.a>b>1

D.b>a>1 π23.如果|x|≤4,那么函数f(x)＝cosx＋sinx的最小值是_____。(89年全国文)A.212112B.－2

C.－1

D.2

4.如果奇函数f(x)在区间[3,7]上是增函数且最小值是5，那么f(x)的[-7,-3]上是____。(91年全国)A.增函数且最小值为－5

B.增函数且最大值为－5 C.减函数且最小值为－5

D.减函数且最大值为－5

y35.设全集I＝{(x,y)|x,y∈R}，集合M＝{(x,y)| x2＝1}，N＝{(x,y)|y≠x＋1}，那么M∪N等于_____。

(90年全国)A.φ

B.{(2,3)}

C.(2,3)

D.{(x,y)|y＝x＋1

θθθ6.如果θ是第二象限的角，且满足cos2－sin2＝1sinθ,那么2是_____。

A.第一象限角

B.第三象限角

C.可能第一象限角，也可能第三象限角

D.第二象限角

7.已知集合E＝{θ|cosθ

3π3π5πππ3πA.(2,π)

B.(4,4)

C.(π, 2)

D.(4,4)

5π8.若复数z的辐角为6，实部为－23，则z＝_____。

A.－23－2ｉ

B.－23＋2ｉ

C.－23＋23ｉ

D.－23－23ｉ

y229.如果实数x、y满足等式(x－2)＋y＝3，那么x的最大值是_____。

(90年全国理)133A.B.3C.2

D.10.满足方程|z＋3－3ｉ|＝3的辐角主值最小的复数z是_____。

【注】 以上各题是历年的高考客观题，都可以借助几何直观性来处理与数有关的问题，即借助数轴（①题）、图像（②、③、④、⑤题）、单位圆（⑥、⑦题）、复平面（⑧、⑩题）、方程曲线（⑨题）。Ⅱ、示范性题组：

例1.若方程lg(－x＋3x－m)＝lg(3－x)在x∈(0,3)内有唯一解，求实数m的取值范围。2z1例2.设|z1|＝5，|z2|＝2, |z1－z2|＝13，求z2的值。

pp例3.直线L的方程为：x＝－

2(p>0),椭圆中心D(2＋2,0)，焦点在x轴上，长半轴为2，短半轴为1，它的左顶点为A。问p在什么范围内取值，椭圆上有四个不同的点，它们中每一个点到点A的距离等于该点到直线L的距离？

Ⅲ、巩固性题组：

1.已知5x＋12y＝60，则x2y2的最小值是_____。A.60 B.13 C.13 D.1 135122.已知集合P＝{(x,y)|y＝9x2}、Q＝{(x,y)|y＝x＋b}，若P∩Q≠φ，则b的取值范围是____。

A.|b|<3 B.|b|≤32 C.－3≤b≤32 D.－3

A.1 B.2 C.3 D.以上都不对 4.方程x＝10sinx的实根的个数是_______。

5.若不等式m>|x－1|＋|x＋1|的解集是非空数集，那么实数m的取值范围是_________。6.设z＝cosα＋1ｉ且|z|≤1,那么argz的取值范围是____________。

2x27.若方程x－3ax＋2a＝0的一个根小于1，而另一根大于1，则实数a的取值范围是______。

8.sin20°＋cos80°＋3sin20°·cos80°＝____________。22229.解不等式： x22x>b－x

x2xa≤0的解集，试确定a、b10.设A＝{x|<1x<3}，又设B是关于x的不等式组2x2bx5≤02的取值范围，使得AB。（90年高考副题）

11.定义域内不等式2x〉x＋a恒成立，求实数a的取值范围。

12.已知函数y＝(x1)21＋(x5)29，求函数的最小值及此时x的值。13.已知z∈C，且|z|＝1，求|(z＋1)(z－ｉ)|的最大值。

14.若方程lg(kx)＝2lg(x＋1)只有一个实数解，求常数k的取值范围。