高中数学教学论文 例谈向量法解几何题的优越性

第一篇：高中数学教学论文 例谈向量法解几何题的优越性

例谈向量法解几何题的优越性

【文章摘要】本文着重通过例子说明应用向量法解答一些几何题的优越性。向量法解几何题 可减少“确定角的位置”、“确定距离的位置”的论证过程，减少立体几何问题的论证、探求的难度。我们在教学中可引导学生创新出更多更好的思维和方法，提高学生的分析能力和创新能力。

【关键词】“向量法”、“几何问题”、“求角”、“求距离”。

【正文内容】

向量是新教材新增加的内容，高中阶段学的向量有平面向量和空间向量两部分，其中空间向量是平面向量的推广和拓展。有了向量，在数学，尤其是几何中的研究产生了较大的影响。向量作为一种工具，在一定程度上可以使空间的几何学代数化，数量化，可以为学生提供全新的视角，使学生形成一种新的思维方式。在研究解析几何、立体几何的问题中，向量，特别是向量的坐标表示，有独特的优越性。下面通过几个例子谈谈用向量来解决一些几何问题的优越性。

一、用向量进行证明

例1 证明：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面。已知：m,n是平面内的两条相交直线,直线与的交点为B,且⊥m, ⊥n，求证: ⊥方法一(几何方法)分析:在内平移m,n,使它们都通过点B

.此时仍有⊥m, ⊥n, 过B点在内作任一条不与m,n重合的直线g,在上自点B起在平面的两侧分别截取BA=BA′,于是m,n都是线段AA′的垂直平分线,它们上面的点到A,A′的距离相等,如果我们能证明g也是AA′的垂直平分线即可。在g上任取一点E,过点E在线,分别与m,n相交于点D,C, 容易证明△CDA≌△CDA′

进而又可证明△CEA≌△CEA′ 于是EA=EA′，g⊥ 方法二(用向量)

内作不通过点B的直 1 证明:在内作不与m,n重合的任一条直线g ,在,m,n,g上取非零向量，， 因m与n相交，得使，向量不共线，由共面向量定理可知，存在唯一的有序实数对（x,y）, ∵∴ ∴l ∴g ∴l

方法二与方法一相比较, 方法二显得精练,简洁些,又不用作太多辅助线.二、用向量求距离

例2 如图，平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长都等于1，且两两夹角都为60º。求AC1的长。

解：∵

∴ =(2=2)2 =

=1+1+1+2cos60º+2cos60º+2cos60º =6 ∴∴AC1的长为.三、用向量求角

用向量不仅可以求两向量夹角还可以求两异面直线所成角，线面所成的角，二面角，特别用向量求二面角更显示其优越性。值得注意的是：用cos<成角时，要注意异面直线所成角的范围（0º，90º）即当cos

>＝，求两异面直线所< 0时，异面直线a,b所成角是的补角。当然向量也可求直线与平面所成角等。这时也要注意，斜线与平面所成角范围（0º，90º），直线与平面所成角范围[0º，90º]。

求二面角平面角是高中阶段的一个难点,求此角的关键在于找出哪个角为所求,而用向量方法刚好可以避免找哪个角为所求角这一个关键.例3 如图所示,三棱锥A-BCD,AB大小.解: 如图建立空间直角坐标系O-xyz, ∵AB=BC=2BD,设BD=1 则AB=BC=2,DC= ,0),D(0,0,0)

若AB=BC=2BD,求二面角B-AC-D的A(1,0,2),B(1,0,0),C(0,设平面ABC的法向量为则

取平面ABC的法向量设平面ACD的法向量为则

取法向量 , cos<>= ，.四、用向量解解析几何问题

例4 椭圆 的焦点为 F1、F2，点 P为动点，当∠F1PF2为钝角时，点 P 的横坐标的取值范围是。（2000年高考题）解：由椭圆方程知焦点F1（则），F2（），设点 P（x 0，y 0），∵ ∠F1PF2为钝角，∴cos∠F1PF2 = 即 ∴(x 0 +)(x 0，)+ y 02 < 0 即 x 02 + y 02 < 5 „„①

又 P(x 0，y 0)在椭圆上，∴ 即y02 = 4x 02 代入① 得： x 02 + 4x 02 < 5 所以 x 02 <，所以

即点 P的横坐标的取值范围是。

如果用常规的方法，用两点间距离公式才能将坐标与边长，用余弦定理将边长与角联系起来；但采取向量的方法可以大大减少繁琐的计算，使得解答过程简单明了。

当然，用向量解决以上问题并不是唯一的方法，但它是解决以上问题的一种有力工具。向量在高中数学中的优越性并不止这些，在此不一一列举了。掌握用向量方法解决问题，不仅可以达到问题解决的目的。还可以在解题过程中感受到成功的喜悦，何乐而不为呢？总之在解决问题的时候，要注意多角度考虑，应因时、因地制宜。这样做了，还会创新出更多更好的思路和方法。我们在教学中应注意引导学生加强知识之间的联系，提高学生的分析能力和创新意识。

第二篇：法向量的求法及其空间几何题的解答

XX一对一个性化辅导教案

教师

科目

数

学

时间

2013

年

X

月

X日

学生

年级

高二

学校

XX校区

授课内容

空间法向量求法及其应用

立体几何知识点与例题讲解

难度星级

★★★★

教学内容

上堂课知识回顾（教师安排）：

1.平面向量的基本性质及计算方法

2.空间向量的基本性质及计算方法

本堂课教学重点：

1.掌握空间法向量的求法及其应用

2.掌握用空间向量求线线角，线面角，面面角及点面距

3.熟练灵活运用空间向量解决问题

得分：

平面法向量的求法及其应用

一、平面的法向量

1、定义：如果，那么向量叫做平面的法向量。平面的法向量共有两大类（从方向上分），无数条。

2、平面法向量的求法

方法一(内积法):在给定的空间直角坐标系中，设平面的法向量[或，或]，在平面内任找两个不共线的向量。由，得且，由此得到关于的方程组，解此方程组即可得到。

二、平面法向量的应用

1、求空间角

(1)、求线面角：如图2-1，设是平面的法向量，AB是平面的一条斜线，则AB与平面所成的角为：

图2-1-1:

图2-1-2:

图2-1-1

α

B

A

C

A

B

α

图2-1-2

C

α

图2-3

β

β

α

图2-2

(2)、求面面角:设向量，分别是平面、的法向量，则二面角的平面角为：

（图2-2）;

(图2-3)

两个平面的法向量方向选取合适,可使法向量夹角就等于二面角的平面角。约定，在图2-2中，的方向对平面而言向外，的方向对平面而言向内；在图2-3中，的方向对平面而言向内，的方向对平面而言向内。我们只要用两个向量的向量积（简称“外积”，满足“右手定则”）使得两个半平面的法向量一个向内一个向外，则这两个半平面的法向量的夹角即为二面角的平面角。

2、求空间距离

图2-4

n

a

b

A

B

（1）、异面直线之间距离:

方法指导：如图2-4,①作直线a、b的方向向量、，求a、b的法向量，即此异面直线a、b的公垂线的方向向量；

②在直线a、b上各取一点A、B，作向量；

图2-5

A

α

M

B

N

O

③求向量在上的射影d，则异面直线a、b间的距离为,其中

A

a

B

α

图2-6

（2）、点到平面的距离:

方法指导：如图2-5,若点B为平面α外一点，点A

为平面α内任一点，平面的法向量为，则点P到

平面α的距离公式为

图2-7

α

β

A

B

（3）、直线与平面间的距离:

方法指导：如图2-6,直线与平面之间的距离：，其中。是平面的法向量

（4）、平面与平面间的距离:

方法指导：如图2-7,两平行平面之间的距离：

图2-8

α

a，其中。是平面、的法向量。

3、证明

图2-9

α

a

（1）、证明线面垂直：在图2-8中,向是平面的法向量，是直线a的方向向量，证明平面的法向量与直线所在向量共线（）。

（2）、证明线面平行：在图2-9中,向是平面的法向量，是直线a的方向向量，证明平面的法向量与直线所在向量垂直（）。

图2-10

β

α

（3）、证明面面垂直：在图2-10中，是平面的法向量，是平面的法向量，证明两平面的法向量垂直（）

图2-11

α

β

（4）、证明面面平行：在图2-11中,向是平面的法向量，是平面的法向量，证明两平面的法向量共线（）。

图3-1

C

D

M

A

P

B

三、高考真题新解

1、（2005全国I，18）（本大题满分12分）

已知如图3-1,四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形，AB∥DC，底面ABCD，且PA=AD=DC=AB=1，M是PB的中点

（Ⅰ）证明：面PAD⊥面PCD；

（Ⅱ）求AC与PB所成的角；

（Ⅲ）求面AMC与面BMC所成二面角的大小

解:以A点为原点,以分别以AD，AB，AP为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系A-xyz如图所示.，设平面PAD的法向量为，设平面PCD的法向量为，即平面PAD平面PCD。，，设平在AMC的法向量为.又,设平面PCD的法向量为..面AMC与面BMC所成二面角的大小为.2、(2006年云南省第一次统测19题)

(本题满分12分)

图3-2

如图3-2，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，已知AB＝AA1＝a，BC＝a，M是AD的中点。

(Ⅰ)求证：AD∥平面A1BC；

(Ⅱ)求证：平面A1MC⊥平面A1BD1；

(Ⅲ)求点A到平面A1MC的距离。

解:以D点为原点,分别以DA,DC,DD1为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系D-xyz如图所示.，设平面A1BC的法向量为

又，,即AD//平面A1BC.，设平面A1MC的法向量为:,又，设平面A1BD1的法向量为:，,即平面A1MC平面A1BD1.设点A到平面A1MC的距离为d,是平面A1MC的法向量,又,A点到平面A1MC的距离为:.四、用空间向量解决立体几何的“三步曲”

(1)、建立空间直角坐标系(利用现有三条两两垂直的直线，注意已有的正、直条件,相关几何知识的综合运用，建立右手系)，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；（化为向量问题）

（2）、通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；（进行向量运算）

（3）、把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。（回到图形问题）

立体几何知识点和例题讲解

一、知识点

<一>常用结论

1．证明直线与直线的平行的思考途径：（1）转化为判定共面二直线无交点；（2）转化为二直线同与第三条直线平行；（3）转化为线面平行；（4）转化为线面垂直；（5）转化为面面平行.2．证明直线与平面的平行的思考途径：（1）转化为直线与平面无公共点；（2）转化为线线平行；（3）转化为面面平行.3．证明平面与平面平行的思考途径：（1）转化为判定二平面无公共点；（2）转化为线面平行；（3）转化为线面垂直.4．证明直线与直线的垂直的思考途径：（1）转化为相交垂直；（2）转化为线面垂直；（3）转化为线与另一线的射影垂直；（4）转化为线与形成射影的斜线垂直.5．证明直线与平面垂直的思考途径：（1）转化为该直线与平面内任一直线垂直；（2）转化为该直线与平面内相交二直线垂直；（3）转化为该直线与平面的一条垂线平行；（4）转化为该直线垂直于另一个平行平面；（5）转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直.6．证明平面与平面的垂直的思考途径：（1）转化为判断二面角是直二面角；（2）转化为线面垂直.7.夹角公式

：设a＝，b＝，则cos〈a，b〉=.8．异面直线所成角：=

（其中（）为异面直线所成角，分别表示异面直线的方向向量）

9.直线与平面所成角：(为平面的法向量).10、空间四点A、B、C、P共面，且

x

+

y

+

z

=

11.二面角的平面角

或（，为平面，的法向量）.12.三余弦定理：设AC是α内的任一条直线，且BC⊥AC，垂足为C，又设AO与AB所成的角为，AB与AC所成的角为，AO与AC所成的角为．则.13.空间两点间的距离公式

若A，B，则=.14.异面直线间的距离：

(是两异面直线，其公垂向量为，分别是上任一点，为间的距离).15.点到平面的距离：（为平面的法向量，是经过面的一条斜线，）.16.三个向量和的平方公式：

17.长度为的线段在三条两两互相垂直的直线上的射影长分别为，夹角分别为,则有.（立体几何中长方体对角线长的公式是其特例）.18.面积射影定理

.(平面多边形及其射影的面积分别是、，它们所在平面所成锐二面角的).19.球的组合体(1)球与长方体的组合体:

长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长.(2)球与正方体的组合体:正方体的内切球的直径是正方体的棱长,正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线长,正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长.(3)

球与正四面体的组合体:

棱长为的正四面体的内切球的半径为,外接球的半径为.20.求点到面的距离的常规方法是什么？（直接法、体积法）

21.求多面体体积的常规方法是什么？（割补法、等积变换法）

〈二〉温馨提示：

1.在用反三角函数表示直线的倾斜角、两条异面直线所成的角等时，你是否注意到它们各自的取值范围及义？

①

异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的取值范围依次.②

直线的倾斜角、到的角、与的夹角的取值范围依次是．

③

反正弦、反余弦、反正切函数的取值范围分别是．

二、题型与方法

【例题解析】

考点1

点到平面的距离

求点到平面的距离就是求点到平面的垂线段的长度，其关键在于确定点在平面内的垂足，当然别忘了转化法与等体积法的应用.例1如图，正三棱柱的所有棱长都为，为中点．

A

B

C

D

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）求二面角的大小；

（Ⅲ）求点到平面的距离．

考查目的：本小题主要考查直线与平面的位置关系，二面角的大小，点到平面的距离等知识，考查空间想象能力、逻辑思维

能力和运算能力．

解答过程：解法二：（Ⅰ）取中点，连结．

为正三角形，．

在正三棱柱中，平面平面，平面．

x

z

A

B

C

D

O

F

y

取中点，以为原点，，的方向为轴的正方向建立空间直角坐标系，则，，，，．，，．

平面．

（Ⅱ）设平面的法向量为．，．，令得为平面的一个法向量．

由（Ⅰ）知平面，为平面的法向量．，．

二面角的大小为．

（Ⅲ）由（Ⅱ），为平面法向量，．

点到平面的距离．

小结：本例中（Ⅲ）采用了两种方法求点到平面的距离.解法二采用了平面向量的计算方法，把不易直接求的B点到平面的距离转化为容易求的点K到平面的距离的计算方法，这是数学解题中常用的方法；解法一采用了等体积法，这种方法可以避免复杂的几何作图，显得更简单些，因此可优先考虑使用这一种方法.考点2

异面直线的距离

此类题目主要考查异面直线的距离的概念及其求法，考纲只要求掌握已给出公垂线段的异面直线的距离.例2已知三棱锥，底面是边长为的正三角形，棱的长为2，且垂直于底面.分别为的中点，求CD与SE间的距离.思路启迪：由于异面直线CD与SE的公垂线不易寻找，所以设法将所求异面直线的距离，转化成求直线与平面的距离，再进一步转化成求点到平面的距离.解答过程：

如图所示，取BD的中点F，连结EF，SF，CF，为的中位线，∥∥面,到平面的距离即为两异面直线间的距离.又线面之间的距离可转化为线上一点C到平面的距离，设其为h，由题意知，,D、E、F分别是

AB、BC、BD的中点，在Rt中，在Rt中，又

由于，即，解得

故CD与SE间的距离为.小结：通过本例我们可以看到求空间距离的过程，就是一个不断转化的过程.考点3

直线到平面的距离

此类题目再加上平行平面间的距离，主要考查点面、线面、面面距离间的转化.例3．

如图，在棱长为2的正方体中，G是的中点，求BD到平面的距离.B

A

C

D

O

G

H

思路启迪：把线面距离转化为点面距离，再用点到平面距离的方法求解.解答过程：

解析一

∥平面，上任意一点到平面的距离皆为所求，以下求

点O平面的距离,，平面,又平面

平面，两个平面的交线是,作于H，则有平面，即OH是O点到平面的距离.在中，.又.即BD到平面的距离等于.解析二

∥平面，上任意一点到平面的距离皆为所求，以下求点B平面的距离.设点B到平面的距离为h，将它视为三棱锥的高，则,即BD到平面的距离等于.小结：当直线与平面平行时，直线上的每一点到平面的距离都相等，都是线面距离.所以求线面距离关键是选准恰当的点，转化为点面距离.本例解析一是根据选出的点直接作出距离；解析二是等体积法求出点面距离.考点4

异面直线所成的角

此类题目一般是按定义作出异面直线所成的角，然后通过解三角形来求角.异面直线所成的角是高考考查的重点.例

4、如图，在中，斜边．可以通过以直线为轴旋转得到，且二面角的直二面角．是的中点．

（I）求证：平面平面；

（II）求异面直线与所成角的大小．

思路启迪：（II）的关键是通过平移把异面直线转化到一个三角形内.解答过程：解法1：（I）由题意，，是二面角是直二面角，又，平面，又平面．

平面平面．

（II）作，垂足为，连结（如图），则，是异面直线与所成的角．

在中，，．

又．

在中，．

异面直线与所成角的大小为．

解法2：（I）同解法1．

（II）建立空间直角坐标系，如图，则，，，．

异面直线与所成角的大小为．

小结：

求异面直线所成的角常常先作出所成角的平面图形，作法有：①平移法：在异面直线中的一条直线上选择“特殊点”，作另一条直线的平行线，如解析一，或利用中位线，如解析二；②补形法：把空间图形补成熟悉的几何体，其目的在于容易发现两条异面直线间的关系，如解析三.一般来说，平移法是最常用的，应作为求异面直线所成的角的首选方法.同时要特别注意异面直线所成的角的范围：.考点5

直线和平面所成的角

此类题主要考查直线与平面所成的角的作法、证明以及计算.线面角在空间角中占有重要地位，是高考的常考内容.例5.四棱锥中，底面为平行四边形，侧面底面．已知，，．

（Ⅰ）证明；

（Ⅱ）求直线与平面所成角的大小．

考查目的：本小题主要考查直线与直线,直线与平面的位置关系，二面角的大小，点到平面的距离等知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力．

解答过程：

D

B

C

A

S

解法二：

（Ⅰ）作，垂足为，连结，由侧面底面，得平面．

因为，所以．

又，为等腰直角三角形，．

如图，以为坐标原点，为轴正向，建立直角坐标系，，，D

B

C

A

S，所以．

（Ⅱ）取中点，连结，取中点，连结，．，．，与平面内两条相交直线，垂直．

所以平面，与的夹角记为，与平面所成的角记为，则与互余．，．，所以，直线与平面所成的角为．

小结：求直线与平面所成的角时，应注意的问题是（1）先判断直线和平面的位置关系；（2）当直线和平面斜交时，常用以下步骤：①构造——作出斜线与射影所成的角，②证明——论证作出的角为所求的角，③计算——常用解三角形的方法求角，④结论——点明直线和平面所成的角的值.考点6

二面角

此类题主要是如何确定二面角的平面角，并将二面角的平面角转化为线线角放到一个合适的三角形中进行求解.二面角是高考的热点，应重视.例6．如图，已知直二面角，，，直线和平面所成的角为．

（I）证明；

A

B

C

Q

P

（II）求二面角的大小．

命题目的：本题主要考查直线与平面垂直、二面角等基本知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力.A

B

C

Q

P

O

H

过程指引：（I）在平面内过点作于点，连结．

因为，所以，又因为，所以．

而，所以，从而，又，所以平面．因为平面，故．

（II）解法一：由（I）知，又，，所以．

过点作于点，连结，由三垂线定理知，．

故是二面角的平面角．

由（I）知，所以是和平面所成的角，则，不妨设，则，．

在中，所以，于是在中，．

故二面角的大小为．

A

B

C

Q

P

O

x

y

z

解法二：由（I）知，，故可以为原点，分别以直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系（如图）．

因为，所以是和平面所成的角，则．

不妨设，则，．

在中，所以．

则相关各点的坐标分别是，，．

所以，．

设是平面的一个法向量，由得

取，得．

易知是平面的一个法向量．

设二面角的平面角为，由图可知，．

所以．

故二面角的大小为．

小结：本题是一个无棱二面角的求解问题.解法一是确定二面角的棱，进而找出二面角的平面角.无棱二面角棱的确定有以下三种途径：①由二面角两个面内的两条相交直线确定棱，②由二面角两个平面内的两条平行直线找出棱，③补形构造几何体发现棱；解法二则是利用平面向量计算的方法，这也是解决无棱二面角的一种常用方法，即当二面角的平面角不易作出时，可由平面向量计算的方法求出二面角的大小.考点7

利用空间向量求空间距离和角

众所周知，利用空间向量求空间距离和角的套路与格式固定.当掌握了用向量的方法解决立体几何问题这套强有力的工具时，不仅会降低题目的难度，而且使得作题具有很强的操作性.例7．如图，已知是棱长为的正方体，点在上，点在上，且．

（1）求证：四点共面；

（2）若点在上，点在上，垂足为，求证：平面；

（3）用表示截面和侧面所成的锐二面角的大小，求．

命题意图：本小题主要考查平面的基本性质、线线平行、线面垂直、二面角等基础知识和基本运算，考查空间想象能力、逻辑推理能力和运算能力．

过程指引：

解法二：

（1）

建立如图所示的坐标系，则，，所以，故，共面．

又它们有公共点，所以四点共面．

（2）如图，设，则，而，由题设得，得．

因为，有，又，所以，从而，．

故平面．

（3）设向量截面，于是，．

而，得，解得，所以．

又平面，所以和的夹角等于或（为锐角）．

于是．

故．

小结：向量法求二面角的大小关键是确定两个平面的法向量的坐标，再用公式求夹角；点面距离一般转化为在面BDF的法向量上的投影的绝对值.考点9.简单多面体的侧面积及体积和球的计算

棱柱侧面积转化成求矩形或平行四边形面积，棱柱侧面积转化成求三角形的面积.直棱柱体积V等于底面积与高的乘积.棱锥体积V等于Sh其中S是底面积，h是棱锥的高.课后练习题

15.【2012高考四川文14】如图，在正方体中，、分别是、的中点，则异面直线与所成的角的大小是____________。

28.【2012高考四川文19】(本小题满分12分)

如图，在三棱锥中，，点在平面内的射影在上。

（Ⅰ）求直线与平面所成的角的大小；

（Ⅱ）求二面角的大小。

29.【2012高考重庆文20】（本小题满分12分，（Ⅰ）小问4分，（Ⅱ）小问8分）

已知直三棱柱中，，为的中点。

（Ⅰ）求异面直线和的距离；

（Ⅱ）若，求二面角的平面角的余弦值。

43．【2012高考上海文19】本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分

如图，在三棱锥中，⊥底面，是的中点，已知∠＝，，求：（1）三棱锥的体积

（2）异面直线与所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）

第三篇：高中数学概念教学例谈

高中数学概念教学例谈

陕西省延安市子长县职教中心 杨东红

摘 要：数学概念教学是数学教学的第一环节，是学生学习和探究知识的基础。学生是否兴趣盎然，是否印象深刻，是概念教学成功的关键。因此，如何设计概念教学，如何引导学生探究和学习，如何提升学生对概念教学的认识，是每一个教师迫切需要解决的问题。当前，由于受应试教育的影响，在数学概念教学中教师们普遍有这样的看法，就是与其在概念教学中花费时间，不如教师多讲一些题，学生多做一些题，在做题的过程中学生们自然就会理解和掌握好概念。在这种思想支配下的教学结果是：数学教学缺乏必要的根基，学生对数学概念理解不准，大量的机械、盲目的做题起不到应有的效果，常常事倍功半，反而使学生对数学逐渐失去兴趣。那么，针对数学概念教学中存在的这些问题，如何抓住有限的概念教学的契机，进行有效教学呢？

一、重视对概念有效的导入

在实际的数学概念教学中，教师只注重概念的严密性，导入方式过于学术化。教学过程一般是先引进概念，再加几点注意，然后进行大量的解题练习，这样的教学机械、死板、千篇一律，挫伤了学生对概念学习的积极性。因此，在数学概念教学中，不应简单给出定义，让学生机械背诵定义，而应注重对概念导入的研究，注重对适宜情景的创设，激发学生学习的兴趣，调动学生参与的热情。

1、关注学生的知识和经验，建立概念

学生数学知识的学习，是一个由易到难，逐步延伸和提高的过程，前面的知识是后续知识学习的基础。正因如此，奥苏伯尔曾经说过：“影响学习的唯一最重要的因素，就是学习者已经知道了什么，要探明这一点，并应据此进行教学。”同时，学生已有的生活经验及熟悉的生活情景，都是数学概念教学的重要切入点。例如，函数的概念，初中是用变量之间的对应来描述的，高中函数的概念是在初中的基础 上进行了拓展和提高，是用集合与对应的语言来描述的，是初中函数概念的进一步深化。再如，在周期函数的教学中，可从自然界中日出日落、寒来暑往等周而复始的现象和天文地理、化学物理以及人类社会中的一些周期现象引入，使抽象的概念变得浅显易懂。

2、创设数学实验，引入概念

《普通高中数学课程标准》指出：“学生的数学学习活动不应只限于接受、记忆、模仿和练习，高中数学课程还应倡导自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学等学习数学的方式。”教师创设适宜的数学实验，让学生通过动手操作，观察比较，体验数学的直观性，更易于理解数学概念。例如，在讲指数函数定义前，让学生做这样的实验：拿一张纸来对折，观察折纸的次数与纸叠的层数之间的关系，得出折一次为2层，折两次为4层……以此类推可得出折纸的次数x与所得纸的层数y=2x的关系。

3、利用实际问题引入数学概念

波利亚说过，对数学特征的直观表征，往往能根植进学生的心灵。事实上，数学来源于生活，生活中的道理和数学中的道理是相通的。因此，如果利用生活中的实际问题，把数学概念的空间形式直观化，无疑会提高学生理解概念，应用概念的能力。例如：可用地面上直立的旗杆引入直线与平面垂直的定义；用“萝卜的集合”和“坑的集合”来讲映射的概念；用“照镜子”引入对称；用“芭蕾舞”导入旋转体等。

二、重视对概念本质的理解

概念是客观事物的本质属性在人脑中的反映。学生学习数学概念，贵在掌握概念的本质属性。如果对概念的理解不深刻，就会在平时的做题中出现这样或那样的错误，导致数学学习效率低下，成绩徘徊不前。因此，教师要利用多种方式，多种途径帮助学生深刻理解概念，让学生深刻感受到数学学习中概念的重要性。

1、抓住关键字词，全面理解概念。

数学概念历经前人不断地总结、概括和完善，表达已十分精炼。因此，在讲解概念时，要字斟句酌，特别是对其中的关键词语，要仔细推敲，深刻领会其中的深意，只有这样才能全面理解概念，避免产生不必要的误差。例如异面直线的定义是这样的：不同在任何一个平面内的两条直线，这里要引导学生理解“不同在任何一个平面”表达的意义；再如函数的概念中：对于集合A中的任意一个元素，在集合B中有唯一确定的元素与之对应。这里要重点讲清楚“任意”与“唯一”包含的意义。

2、利用对比和反例，有效理解概念

数学中许多概念具有一定的抽象性和相似性，使得学生对这些概念的理解容易产生混淆。例如频率与概率、映射与函数、对数与指数、子集与真子集、相互独立事件与互斥事件等。教师要引导学生讨论辨析这些概念的异同，推敲它们之间的区别与联系，深刻理解这些概念。另一方面，许多概念学生从正面理解比较困难，容易产生一些不正确的认识，而反例是推翻错误认识的有效手段，有时能起到意想不到的效果。例如：“异面直线”的概念，学生往往理解为“在不同平面内的两条直线”。这时可用书本作为反例：翻开的书本，书脊两侧页面的底边，可以近似地看做分别位于两个页面上的线段，符合“在不同平面内”，但它们所在直线却是相交于一点的，显然不是异面直线。

三、重视概念的形成过程

概念的形成是概念教学的基础和重点，有时也是一个难点。在具体教学中，教师可以根据教材和学生实际，精心设计问题串，为学生搭建脚手架，给学生预留一定的时间自主探究、合作交流、讨论反馈，学生在问题的解决过程中，建构概念。例如“向量”概念的教学，可设计如下问题：（1）举一些物理中既有大小又有方向的物理量；（2）请再举一些生活中既有大小又有方向的量；（3）数学中的向量与物理中的矢量有何区别；（4）你愿意怎样表示一个向量；（5）有向线段与向量有何异同。这样让学生依据问题逐步探究，既能体现学生的主体性，又让学生参与概念产生的过程。教学上确实花费了较多时间，但学生对这一概念却达到了真正掌握。

总之，数学概念的教学，是高中数学教学的重要环节，是基础知识和基本技能教学的核心。广大教师一定要走出轻视概念教学的误区，精心设计，大胆尝试，和学生一起参与到概念的形成过程中，达到对概念本质的理解。

第四篇：高中数学教学论文 新课标例谈情境教育

例 谈 情 境 教 育

内容提要：情境教育是素质教育的一种教育模式，它服务于素质教育，是实施素质教育的一条有效途径。创设良好的教学情境，能使数学教学达到意想不到的效果。本文从两个定理的教学情境的创设，以及达到的教学效果出发，论述情境教育在素质教育中的重要意义。

关键词：情境教育；情境教学；素质教育 一 情境教育

情境教育是由情境教学发展而来的。近半个世纪来，中国的教育受凯烙夫教育思想的影响极深，注重认知，忽略情感，学校成为单一传授知识的场所。这就导致了教育的狭隘性、封闭性，影响了人才素质的全面提高，尤其是影响了情感意志及创造性的培养和发展。情境教学则针对我国传统的注入式教学造成的中学数学教学的弊端而提出的，这些弊端是：呆板、繁琐、片面、低效，以及压抑学生兴趣、特长、态度、志向等素质发展。情境教学开辟了一条促进学生主动发展，人格素质全面发展的有效途径。

情境教育反映在数学教学中，就是要求教师注重数学的文化价值，创设有利于当今素质教育的问题情境。在数学课中加入数学史的讲授会使学生兴趣盎然。任何一个静止的事物，如果和它的历史联系起来，就会对它有浓厚的兴趣。教师讲授一条定理，如果不仅仅给出推导和证明，还指出它的思考路线，以及学者研究和发现定理的经过，课堂气氛会立刻活跃起来。教师也可以适当介绍和本定理有关的典故和趣事。学生开阔了眼界，知道一个定理的发现过程竟如此曲折，印象会非常深刻。讲述定理的来龙去脉，可以开拓学生的思维，使他们从多方面去思考问题。教师可以给予一定的物质条件，让学生自己动手实践，自主探索与合作交流。二 两个定理的教学

在初二几何的勾股定理的教学中，如果教师讲授新课时，照本宣科地将知识程式化地交给学生，学生即使知其然，却不知其所以然。失去了对知识、技能、方法的领悟过程。不如先给学生讲“勾股定理”的历史及其一些著名的证明方法，把学生带入勾股定理的教学情境。

教师可介绍：《九章算术》记载：今有勾三尺，股四尺，问为弦几何。答曰：五尺[1]。我国古代称直角三角形的短直角边为勾，长直角边为股，斜边为弦[2]。又如《周髀算经》称：“勾广三，股修四，径隅五。”课本表述为：勾股定理，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。这个定理，国外称为：毕达哥拉斯定理。勾股定理作为几何学中一条重要的定理，古往今来，有无数人探索它的证明方法。同学们能否猜出有几种证法？怎么证？

这个问题一提出，就让学生倍感新鲜、有趣。当教师告诉学生它的证明方法有500来种，更让他们吃惊。接着教师可以向学生介绍历史上几种著名的证法。如果学校教学条件允许的话，教师可发挥信息技术的优势，利用现代教育媒体，配合教学课件，为学

用心

爱心

专心

生展现证明的过程，使学生印象更深刻。

（课件演示）

（一）刘徽以割补术论证这一定理（图1）

（二）赵君卿注里记载的证法（图2）

2ab+(b-a)=c化简为 a+b=c

（三）利用相似三角形的性质的证法（图3）

直角三角形ABC，AD为斜边BC上的高。利用相似三角形的性质可得： AB∶BC=BD∶AB 即 AB2=BD×BC AC∶BC=DC∶AC AC2=DC×BC 两式相加得：AB2+AC2=BD×BC+DC×BC=（BD+DC）BC=BC2

22B

朱出

a 朱方

青入 C

b

A 青入

朱入

青出

青出

c

a b

（图1）（图2）（图3）

（四）如图一：两个正方形边长分别是a，b。它们的面积和为 a2+b2

如图二：在图一的基础上，构造了以a，b为直角边的直角三角形，斜边为c。

在图二的基础上把两个直角三角形顺时针旋转90°，构成了如图三的正方形，且它的边长为c，即面积为c2。

定理得证。

a b

b

a

用心

爱心

专心

a

a

c

b

c

b

（图一）（图二）（图三）

教师在演示课件时，可介绍这几种证明方法，让学生清楚运用割补法、等比法、代数法等可证明定理。学生们观看了教师所演示的勾股定理的几种证法之后，有了一种豁然开朗的感觉，并为之惊叹！产生“竟有此事”之感。如此简明、巧妙的证法，且都是非常形象、简单。这时，教师可抓住这时学生产生惊诧，思维正处于积极活动状态的教学情境，让学生用课前准备的材料，自己动手试一试。

要求：用8个全等的直角三角形，它们的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c；3个边长分别为a，b，c的正方形，用拼图的方法来证明勾股定理。

b c

a a

b c

（结果）

（图4）

教师演示的各种前人证明勾股定理的方法，激发了学生的求知欲，他们迫不及待地想自己动手尝试，希望自己也能证明定理。由于有了许多前人的证法作铺垫，学生有条件、有能力去思索和探究。学生们在教师的指导下，很快就能把定理证出来（如图4）。教师也就能在一个轻松的环境中完成“勾股定理”的教学。

因此，教师所创设的这个勾股定理的教学情境，由于引入了勾股定理的历史背景，及简明、巧妙的证法，为学生学习定理提供了环境，激发了学生的学习动机和好奇心，培养了学生的求知欲望。教学过程中教师还要求学生自己动手实践，使学生深入其境，真正作为一个主体去从事研究。调动了学生学习的积极性和主动性[3]。提高学生运用知识解决实际问题的能力和动手能力，学生在实践过程中，免不了与其他同学合作、交流，同时也就培养了学生的合作精神，在这过程还能使学生尝试失败和挫折，体验成功的喜悦！所有这些，都对后续学习起了一定的激励作用。所以，实施素质教育，创设教学情境至关重要。

在素质教育中，我们提倡提高教学效率，减轻学生学习负担。所谓教学效率是学习收获与师生的教学活动量在时间尺度上的度量。教师只有注重提高课堂教学效率，才能在保证教学质量的同时，努力减轻数学课的学习负担，让学生获得较好的自由度，发挥较大的积极性和主动性。下面以“三角形中位线定理”一节为例[4]，谈谈情境教学对提高课堂教学效率的积极作用。

在“三角形中位线定理”这一节中，教科书中利用“平行线等分线段定理推论2”

用心

爱心

专心

得到了“三角形中位线定理”。它是运用同一法思想来推理的。初中学生还不容易接受，但决不能因此而简单地把定理告诉学生，然后就开始练习。我们可以通过创设问题情境，启发诱导引入新知识，激发学生的求知欲，让他们在迫切要求之下学习。

在复习近平行线等分线段定理的推论2后，结合图形（图5）分清定理的条件是AD=BD，DE∥BC。结论是AE=CE。

问学生：“如果已知AD=BD，AE=CE是否有 DE∥BC的结论呢？”学生中有的回答“有”，有的回答“不一定”。这时可请学生互相讨论一下。如果有DE∥BC的结论，那么能否证明。如果说不一定，能否说出理由。学生的注意力很快地被吸引过来，迫切地想知道问题的答案。

提出问题后，学生可能证明结论有些困难，这时可稍作引导，提醒学生：“我们现有几种判定平行的方法？”学生容易联想到同位角相等，内错角相等，同旁内角互补等方法，可提醒学生还有：平行四边形来判定对边平行。并注意条件是AD=BD，AE=CE。这时同学们经思考有些已找到思路。通常能找到两种证明方法。

一种是如图6，延长DE至F使EF=DE。由ΔADE≌ΔCFE得AD∥CF且AD=CF。从而证得四边形DBCF是平行四边形，所以DE∥BC。

另一种是过点C作CF∥AB交DE的延长线于F。证法与上相似。然后再提示同学们，在证明过程中可得出DF=BC，再把结论总结为DE∥BC且DE12BC。

（图5）

（图6）

教师可用多媒体设备，演示课件，把两个证明过程演示出来，这样更吸引了学生的注意，最后介绍教科书上的推理过程。在这样的教学过程中，既激发了学生学习几何的兴趣，又使学生对三角形中位线定理有了深刻的理解。同时活跃了学生的思维，收到较好的课堂教学效果。

但教师应不极限于常规的证法，应积极创造条件，要学生去思索、去研究、去创造。比如三角形中位线定理，可尝试用向量的方法来证明。

如图7，在ΔOAB中，C、D分别为OA、OB的中点，设有向线段

OCa，ODc

∴CDODOCca

同理：ABOBOA2c2a2(ca)∴CD12AB 即CD平行且等于AB的一半。

用向量计算代替传统平面几何中有些过于复杂的演绎

（图7）推理，这不仅是一种解题方法的变革，更重要的是研究平面几何的观点的变革。这种

用心

爱心

专心

变革，已逐渐成为平面几何教材的一种流派。用向量法计算，有时可避免用演绎法时所带来的某些麻烦。

这里教师还可设置悬念，为下节课梯形中位线定理的教学埋下伏笔。让学生亲自动手画梯形，并测量其上、下底和中位线的长度，要求学生探索梯形的上、下底和中位线是否和三角形一样具有一定的数量关系。这样会激起学生继续学习的热情。

由于学生亲自做一做，测一测，猜一猜等实践活动，初步得出结论：梯形中位线好象平行于两底并且约等于两底和的一半。这时教师可通过多媒体关于角的重叠，线段的叠加等演示活动，让学生形象直观的进一步加深对自己的发现正确性的强烈印象。教师再给出证明定理的基本策略提示：

（一）证线段平行的途径和方法：

1、两条平行线互相平行→证线段平行

2、平行四边形两组对边平行→证平行四边形

3、三角形中位线平行底边→证三角形中位线

（二）证明一线段等于两线段和的途径和方法有：

把线段分成两段使其分别与要证的两线段相等，或把两线段合成一线段使其与另一线段相等，再利用三角形全等，或用三角形中位线定理证之。

证明基本策略给出后就给了学生充分自主的活动空间，充分调动了他们学习的积极性，使其成为学习的主人。因此，学生得出许多不同的证明方法。

（方法一）（方法二）（方法三）

用心

爱心

专心 5

（方法四）（方法五）

这种让学生实践、体验的教学方式与传统教学中单纯的知识传授和结果测查截然不同的，它更注重于学习的过程。

学习完了定理，如何让学生更好地掌握定理呢？数学中的定理是一个有序的结构体系，要掌握一个定理，必须了解它在定理体系中的地位和作用，以及它们之间的关系。杂乱无章的定理，犹如散沙一盘，不便于保持和选取。在教学中应引导学生按定理的内在联系将它们组织成一个逻辑图，形成定理链，使之在定理的结构体系中掌握定理。如“三角形中位线定理”与“梯形中位线定理”的联系：（如图8）当梯形的上底等于零时，梯形变成三角形，这时，“梯形中位线定理”与“三角形中位线定理”等价，即“三角形中位线定理”是当梯形上底等于零时的“梯形中位线定理”。教师可以用多媒体课件演示它们之间的关系，加深学生对它们的关系的理解。

（图8）

在此过程中，教师还可进一步拓展定理，提出：“当梯形和三角形的中位线所在的直线向上、下平移时，会产生什么后果？各线段之间有何联系？”这样又创设了一个问题情境，使学生很自然地进入到另一个问题情境中，教师也就顺利地把学生的思维带到了“平行线分线段成比例定理及其推论”的教学中来。这个教学过程是师生交流、共同发展的互动过程，教师在教学过程中，不仅是传播知识，更重要的是发挥育人的功能，培养学生掌握和利用知识的素质和能力。发现并激发学生的潜能，提高教学效率，减轻学生学习负担。

三 创设教学情境应注意的几个问题

以上两个例子的教学情境的创设说明：情境教学能促进教学过程变成一种不断能引起学生极大兴趣的，向知识领域不断探索的活动。它借助新异的教学手段，创设生动有趣的情境，激发学生的学习情绪，使学生固有的好奇心、求知欲得以满足。但应注意以下几个问题：

1、教师在创设问题情境时，一定要紧扣课题，不要故弄玄虚，离题太远，要有利于激发学生思维的积极性、要直接有利于当时所研究的课题的解决，既要考虑教学内容又要考虑学生的差异，注意向学生提示设问的角度和方法。使学生从教师的情境设计教学中学到提问题的本领。一个好问题应该是解答中包含着明显的数学概念与技巧；或问题有多种解法；或问题能够推广各种情形；或问题来自学生的经验和日常生活中[5]。

用心

爱心

专心

2、要启发引导，保持思维的持续性。首先要给学生一定的思考时间和空间，必要时可作适当的启发引导，教师的启发要遵循学生思维的规律，因势利导、步步释疑，切不可不顾学生的心理状态和思维状态，超前引路，也不可强制学生按照教师提出的方法和途径去思考问题，越俎代庖。

3、要不断向学生提出新的数学问题，要提出带有导向性、难度适宜、启发性的问题。其实，问题并不在多少，而在于是否具有启发性，是否是关键性的问题，是否能够触及问题的本质，并引导学生深入思考。

4、鼓励学生大胆发言，保护学生的独特见解，即使对没有多大价值的问题，也要尽量找出合理部分，给予及时的肯定和表扬。四 结束语

教学实践证明，精心创设各种教学情境，能够激发学生的学习动机和好奇心，培养学生的求知欲望，调动学生学习的积极性和主动性，提高学生运用知识解决实际问题的能力，同时又使课堂教学丰富多彩，生动活泼，另外，对教师也提出了更高要求，不仅自己要刻苦钻研、精心设计，而且要经常向别人学习，学习别人先进的教学方法和设计思路，另外还要敢于示范，在学生面前展示自己的思维过程，在教学中应打破“老师讲，学生听”的习惯，变“传播”为“探究”，充分暴露知识形成的过程，促使学生以探索者的身份去发现问题，总结规律，获得成功，同时激发学生钻研，从而为学生将来成为创造型人才奠定基础。总之，情境教育是实施素质教育的有效途径。

参考文献

【1】白尚恕 《九章算术》注释[M] 科学出版社 1983 【2】人民教育出版社中学数学室 几何[M] 人民教育出版社 2001，3 【3】燕国材 素质教育概论[M] 广东教育出版社 2002，1 【4】陈 虹 教学结构设计优化一例[J] 中学数学月刊 2000年，第2期

【5】 施文娟 发挥问题情境教育在数学教学中的作用[J] 宁波大学学报（教育科学版）2001年，第3期

用心

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第五篇：例谈中学数学中的向量构造法 新课标 人教版

例谈中学数学中的向量构造法

http:// 河南汤阴一中 杨焕庆王国伟

向量融数、形于一体，具有几何形式与代数形式的“双重身份”，是中学数学知识的一个重要的交汇点，是联系众多知识的媒介。它广泛应用于函数、三角函数、数列、不等式、解析几何、立体几何等知识。利用向量这个工具解题，可以简洁、规范的处理数学中的许多问题。特别是处理立体几何、解析几何的有关度量、角度、平行、垂直、共线等问题；运用向量知识，可以使几何问题直观化、符号化、数量化，从而把“定性”研究推向“定量”研究。

构造向量除有坚实的基础知识外，还特别要知道实现构造的理论基础：

（1）||a||b|||ab||a||b|.（2）|a·b||a|·|b|。一.证明不等式

通过构造向量，利用向量的重要不等式：或|a·b||a|·|a||b||ab|，|b|，以达证明不等式之目的。

例1.设a、b、c、d均为正数，求证a2b2

cd(ac)(bd)



证明：构造向量m(a，b)，n(c，d)，由|m||n||mn|得

a2b2

cd

(ac)(bd)

例2.若abc1，求证：abc



证明：构造向量m(a，b，c)，n(b，c，a)，p(c，a，b)



则mnp(abc，bca，cab)(1，1，1)



于是由|m||n||p||mnp|

222

有3abc3

得abc

222

将例1推广到更一般的形式，即有

例3.若a1，a2，a3，，an和b1，b2，，bn都是正数，则a1a2an

(a1b1)(a2b2)(anbn)



证明：构造向量m(a1，a2，，an)，n(b1，b2，，bn)



于是，由|m||n||mn|得

b1b2bn

222



222

a1a2an

222

b1b2bn

222



(a1b1)(a2b2)(anbn)

222

从上述证明，发现条件a1，a2，，an和b1，b2，，bn是正数是多余的。



而且利用|m||n||mn|还可以推出

a1a2an

222

b1b2bn

222



(a1b1)(a2b2)(anbn)

222

例4.设任意实数x，y满足|x|1，|y|1，求证：

11x



11y



21xy



证明：构造向量a(，)，b(1x，1y)

x1y

由向量数量积性质(ab)|a|2|b|2得

4(所以即

11x1



11y11y1

22)(1x1y)

42(xy)21xy

1x1



422xy



21xy

1x



1y



例5.设a，b为不等的正数，求证(a4b4)(a2b2)(a3b3)2



证明：构造向量m(a，b)，n(a，b)，则



332

(ab)(mn)2

222

|m||n|cos

22

|m||n|

(a4b4)(a2b2)



因为a，b为不相等的正数，所以mn，即0，

所以(a4b4)(a2b2)(a3b3)2 例6.已知x>0,y>0，且x+y=1，求证：(1



1x)(1





1y)9。

1xy

证明：构造向量a(1,



1x

),b(1,1y)，则ab1，而

|a||b|1

1x



1y

(1

1x)(1

1y)，222

由|a·b||a|·|b|，得|a·b||a|·|b|

所以(1

1x)(1

1y)(1

1xy)(1

2xy)9

例7.求证：(acbd)(ab)(cd)





证明：设OA(a,b),OB(c,d)





（1）当OA,OB至少有一个为零时，所证不等式00成立；





（2）当OA,OB都不是零向量时，设其夹角是，则有





cos

OAOB







acbdab

|OA||OB|

cd

22，因为|cos|1，即(acbd)(ab)(cd)

点拨：只要实质上，甚至形式上和向量沾点边的，都是向量的亲戚，用向量去思考，没错！二.研究等量关系

例8.已知：

sin

x

a



cosb

x



1ab

2nn1

(a0,b0)。

cosb

2nn1

证明：对于任何正整数n都有

sina

xx



1(ab)

n1

分析：借助向量不等式|a·b||a|·|b|等号成立的条件，构造向量，可化难为易。证明：构造向量p（sin

sin

a

cosb

xcos,x

x

b),q(a,b)，则pqsin

xcosx1

|p||q|

x

a



ab1，所以pq|p||q|，故p,q同向，则pq

即

sin

x

a

a,cosx

b

b，所以



sin

x

a



cosb

x

代入题设得：

(sin

xcos

2nn12nn1

x)

2nn12nn1

1ab

ab，cos

于是所以

sinasina

x



cosbcosb

x

sinx(1

sinx

a

n1)

n1

x（cosb

x)

n1



n1



1(ab)

n1

x



x



(ab)

例9.已知coscoscos()，求锐角,。

分析：本题如果直接进行三角恒等变换，较难求出,的值。换一种思路，引入向量，问题迎刃而解。

解：由已知得(1cos)cossinsin





cos，构造向量a(1cos,sin),b(cos,sin)，



则ab(1cos)cossinsin

由|a·b|2|a|2·|b|，得（32



cos，|a||b|

22cos

cos)22cos，即(cos

12)0

cos



，则sin（

)1



三.求值域或最值

例10.求函数yx39x2的最大值。

分析：本题是求无理函数的最值问题，按常规方法求解有一定的难度，若正确构造向量，利用向量数量积的性质|a·b||a|·|b|解答，将会使求解非常容易。解：原函数可变为y3

133x

9x，设f(x)

3x9x，因为

12222

(3x)(109x)10，所以构造向量a(,1),b(3x,109x)由

|a·b||a|·|b|

得|

3x9x

|

122

()13

(3x)(9x)

222



103，从而y3



13，当且仅当

9x3

3x,x

时，ymax

例11.求函数yx2x1x2x1的值域。

分析：分析函数解析式的特征，结构上接近两个向量的差，于是构造向量。



解：设a(x





12,32



),b(x



12,32

)，y|a||b|，a,b不共线

||a||b|||ab|1，即1y1

例12.已知x>0,y>0，且x+y=1，求2x12y1的最大值

2y1)

证明：构造向量

a(1,1),b(2x1,根据(ab)|a||b|得：

(12x112y1)(11)(2x12y1)即12x112y1

822故2x1

2y1最大值 为22.利用向量数量积的一个重要性质|a·b||a|·|b|，变形为

|a·b||a|·|b|可以解决不等式中一类含有乘积之和或乘方之和的式子的题目，采用构造向量去解往往能化难为易，同时提高了学生的观察分析能力和想象能力

总之，构造向量法，为我们研究数学问题提供了一种崭新的思维视角，体现了知识的交汇和联系，是高层次思维的反映,常用构造法解题 ,能起到发展思维,提高能力,挖掘潜力之功效.