函数的基本结论与解题技巧（全文5篇）

第一篇：函数的基本结论与解题技巧

高中数学第一轮复习学案函数概念及其性质

函数的基本结论与解题技巧

1.函数解析式的求法：①代入法：已知f(x),求f[g(x)]的解析式；

②换元法：(但要注意新变元的范围)如：(i)f(x2)x4x，求f(x).(ii)(2004湖北理)已知f（A．

x1x

2④判别式法(“△”法)：型如y



a1xa2x

2b1xc1b2xc2

(a1、a2不同时为零，且分子与分母无公因式)的最值,4x3x

12当x除定义域外无其他限制时,“△法”求解;如：求y当x还有其他限制时,换元成yx

kx的值域.答案：[-1,4]

bx

1x1x)

1x1x

2(k0)用基本不等式(或yax的单调性，单调性的证明,则f(x)的解析式为()

利用导数较简单)求解.x1x

B．

2x1x

C．

2x1x

D．1x

C ⑤不等式法：利用基本不等式ab2ab(a,bR*)求值域时，要注意条件“一正、二定、三相等”.⑥单调性法：不能用基本不等式时(等号不成立),可考虑利用函数的单调性求值域;

③拼凑法(整体代换法)：如：已知f(x

1x)x，求f(x)和f(2x1).型如：yxk(k0),如：求y

x



x5x

2的值域.答案：[2.5, +∞)

④待定系数法：如：f(x)为二次函数，且满足f(0)=1,f(x+1)-f(x)=2x, 求f(x).⑤构造方程组：通过变量赋值构造另一个方程，组成方程组，消元求f(x).如:(i)已知2f(x)f()3x,求f(x).(ii)已知f(x)2f(x)x25x9,求f(x).x

1⑦数形结合：根据函数的几何图形，利用数型结合的方法来求值域.如:求y(x3)216(x5)24的值域.⑧三角函数(或指数函数)有界法：转化为只含正弦、余弦的函数，运用三角函数有界性来求值域;

x

(iii)(2008安徽理)若函数f(x)，g(x)分别为R上的奇函数，偶函数，且满足f(x)－g(x)=e，则有()

A.f(2)< f(3)< g(0)B.g(0)< f(3)< f(2)C.f(2)

f(x)g(x)

型如:yasinxbcosx;y

asinxbcsinxd

;y

acosxbccosxd

;y

asinxbccosxd

等.⑨图象法：当一个函数图象可作时，通过图象可求其值域；

⑩导数法：设y=f(x)的导数为f(x)，由f(x)0可求的极值点的坐标，若函数定义域为[a,b]，则最值必定为极值点和区间端点中函数值的最大值和最小值.4.判定函数的单调性常用的方法有：(1)定义证明法;(2)图象法;(3)复合函数法;(4)导数法(适用于多项式函数):f'(x)0,f(x)为增函数；f'(x)0,f(x)为减函数(选修).复合函数法：①复合函数f[g(x)]的单调性是(内、外函数单调性)同(复合函数)增异减.②两个增(减)函数的和仍为增(减)函数；一个增(减)函数减一个减(增)函数仍为增(减)函数.5.函数的奇偶性：如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x都有f(x)f(x),那么函数f(x)就叫做奇函数，奇函数的图像关于原点对称；如果对于函数y=f(x)的定义域内任意一个x都有f(x)f(x),那么函数f(x)就叫做偶函数，偶函数的图像关于y轴对称。当函数f(x)是奇函数或偶函数时，称函数具有奇偶性.奇偶性的判定：①首先注意定义域D是否关于原点对称，②比较f(x)与f(-x)的关系.(函数的整体性质)定义：①xD,f(-x)= f(x)f(-x)－f(x)=0f(x)为偶函数；应用：利用f(-x)=f(x)=f(|x|)= f(-|x|)，把所求函数值都转移到区间(-∞,0]或[0,+∞),可避免讨论, 以简便计算.如：(i)(2009辽宁文)已知偶函数f(x)在区间0,)单调增加，则满足f(2x1)＜f()的x 取值范围

312，则 ②偶次方根 y=x)(n∈N *), 则

2n

③零指数幂或负指数幂y[f(x)]0(或y[f(x)],α<0)，则④对数函数或正切函数：如：ylog

f(x)0且f(x)1g(x)，则或，ytanx{xxk,kZ}.

g(x)0

f(x)

⑤复合函数的定义域：(i)f[g(x)]的定义域为[a,b],指的是x的取值范围为[a,b].(ii)f[g(x)]与f[h(x)]联系的纽带是内层函数g(x)与h(x)的值域相同.(1)由y=f(x)的定义域为D，求y=f[g(x)]的定义域，须解g(x)∈D;

(2)由y=f[g(x)]的定义域为D，求y=f(x)的定义域，只需求g(x)在D上的值域就是y=f(x)的定义域.3.求函数值域主要的方法与技巧:①配方法：二次函数或能转化为如F(x)=a[f(x)]2+bf(x)+ c型的值域，均可用配方法求值域，但要注意f(x)的取值范围.如:(1)求y=2x2-4x+1, x∈[0,3]的值域;答案:[-1,7](2)求y=4x+2 x +1的值域.(1,+∞)②逆求法（反函数法）：通过反解，用y来表示x(或x的式子)，再由x的取值范围，通过解不等式，得出y的取值范围；常用来解，型如：y

axbcxd,x(m,n),y

ac

;y21;yx1等.x

221

x1

x2

是()（A）（33,2）(B)［

33,2）(C)（1223,）(D)［

1223,）A

③换元法：通过变量代换转化为能求值域的函数，化归思想，但要注意新元的取值范围;型如：yaxb

②xD,f(-x)=－f(x)f(x)+f(-x)=0f(x)为奇函数.x0D,f(-x0)≠-f(x0),f(x)不是奇函数；x0D,f(-x0)≠f(x0),f(x)不是偶函数.cxd.如：求yx2x1的值域.答案：[0.5,+∞)

判别方法：定义法，图像法.技巧：①把多个分式的和差，通分化简为一个分式再判断；②一个多项式函数为奇函数，它的偶次方项系数全为0；为偶函数，它的奇次方项系数全为0.③已知函数的奇偶性，求参数a的值.可用特值法快速解决.奇函数当x=0有意义时，必有f(0)=0.在x=0无意义，可利用f(1)f(1)；偶函数可利用f(1)f(1)等.如：(i)(2010江苏)设函数f(x)=x(e+ae)，x∈R，是偶函数，则实数a=______(ii)(2007海南)设函数f(x)

(x1)(xa)

x

x

-x

同时讨论y=ax+bx+c在区间[m,n]上最大值与最小值时需分四种情况(设x0

①

b2a

mn2)：

m;② m

b2a

x0;③ x0

b2a

n;④

b2a

n.若只讨论y=ax+bx+c(a>0)在区间[m,n]上最小值, 需分三种情况，只讨论最大值需分两种情况.(5)二次方程实数根的分布问题:设实系数一元二次方程f(x)ax2bxc0的两根为x1,x2,则:

2.方程f(x)0有实根函数yf(x)的图像与x轴有交点函数yf(x)有零点.为奇函数，则a=

对称轴问题：函数f(x)的对称轴为xaf(ax)f(ax)f(2ax)f(x)

f(2ax)f(x)f(x+a)为偶函数.一般地，若f(x)满足f(ax)f(bx)，则f(x)的对称轴为x

ab2

.应用：(1)等式存在性问题：存在x0D，使得g(a)=f(x)成立或函数F(x)= f(x)-g(a)在区间D上有零点，即方程F(x)=0在区间D上有解，求参数a的取值范围，等价于g(a)=f(x),x∈D,转化为求f(x)的值域问题.如：(i)方程log2(ax22x2)2在[

12,2]内有解，求实数a的范围.[

32,12]

6.性质与结论：①y=f(x)是偶函数y=f(x)的图象关于y轴对称,且f(-x)=f(x)=f(|x|)=f(-|x|)，y=f(x)是奇函数y=f(x)的图象关于原点对称, 且x=0有意义，必定有f(0)=0.若奇函数在定义域上存在最大值M与最小值n，则M+n=0.②偶函数在定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反；奇函数在定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相同；原函数与反函数在各自对应区间上单调性相同.7.不等式恒成立原理：(注意最值点是否取到，即端点值问题，最值不存在时，注意要加等号)(i)若g(a)≥f(x)对于x∈Ｄ恒成立若f(x)

若g(a)>f(x)对于x∈Ｄ恒成立若f(x)k.(ii)若g(a)≤f(x)对于x∈Ｄ恒成立若f(x)>k或f(x)≥k恒成立，则g(a)≤k；

若g(a)k恒成立，则g(a)≤k；若f(x)≥k恒成立，则g(a)

3.零点定理：若函数yf(x)在区间[a,b]上的图像是连续不断的一条曲线，并且有f(a)f(b)0，那么，yf(x)在区间（a,b）内有零点，即存在c∈（a,b）,使得f(c)0，c也就是方程f(x)0的根.(1)F(x)=f(x)-g(x)有几个零点方程f(x)-g(x)=0有几个不同解y= f(x)与y= g(x)有几个不同交点.(2)方程f(x)-g(x)=0的解所在的区间y= f(x)与y= g(x)交点横坐标所在的区间函数F(x)=f(x)-g(x)零点

所在的区间.5.反比例函数:y

ax

(a0)反比例型函数yc=

axb

.令xb0,得定义域:(-∞,-b)(-b,+∞)，x3x1

8.周期性：定义：若f(xa)f(x)，则函数的周期Ta.a恒成立，则a的取值范围是．a

5令yc0,得值域：(－∞,－c)(－c,+∞)；对称中心为(-b,-c)；渐近线x=-b和y=-c.当a>0时,在(－∞,－b)和(－b,+∞)上都是减函数;当a<0时,在(－∞,－b)和(－b,+∞)上都是增函数.(技巧是反比例型函数通过分离常数法(也叫分子降次法)后与反比例函数的标准形式对照)



结论：(1)若f(xa)f(x),则函数的周期T2a.(2)若f(xa)(3)若f(xa)

1f(x)

1f(x),则函数的周期T2a.6.幂函数:yx（常数是实数）叫做幂函数.了解=1，2，3，幂函数：yx①定义域：利用根式的意义确定；



12，-1时的图像形状.,则函数的周期T2a.若f(xa)f(xb),则函数的周期T|ba|.②值域:利用奇偶性与单调性确定；③奇偶性:利用根式的化简处理；

(4)若函数f(x)有两条对称轴xa,xb，则f(x)为周期函数，周期T2|ba|；(5)若函数f(x)有两个对称中心(a,0),(b,0)，则f(x)为周期函数，周期T2|ba|；

(6)若函数f(x)有一条对称轴xa和一个对称中心(b,0)，则f(x)为周期函数，周期T4|ba|.最后三条周期的性质(4)、(5)、(6)可结合y=sinx的图象与性质加以理解记忆.9.二次函数在给定区间[m,n]的最值问题：考虑对称轴与区间的相对位置分类讨论.

④单调性:(i)当0时, yx在[0,+∞)是增函数,且过点(0,0)与(1,1)幂函数图象为抛物线型.在第一象限内，当0

1,抛物线靠近

x轴，当1,抛物线靠近y轴.

(ii)当0时, 幂函数图象为双曲线型，yx在(0,+∞)是减函数，且过点(1,1).指数函数：1.指数运算法则：①aa=a

a1(a0);④ap

mn m+n

;②a

m

a

n

a

mn

;③(a)a

m

n

m

mn

.

1a

p

1

a0;

a

p

a

p

n

a0;⑤a



aa0;an



n

a

m

a0

b(分数指数幂中分母为根式的根指数).a

*



a.b



2.根式的概念：如果一个数的n（n>1,n∈N）次方等于a，那么这个数叫做a的n次方根.即若xn=a，则x叫做a的n次方根，(其中n>1,且n∈N*).式子a叫做n次根式，其中n叫做根指数，a a叫做被开方数.当a≥0时，na≥0.两个重要公式：nan|a|,n为偶数；

ｎ

a,n为奇数

a

n

a.3.指数函数的定义：形如yax（a0且a1）的函数叫做指数函数，其中x是自变量.4.指数函数yax在底数a1及0a1这两种情况下的图象和性质：

指数函数:y=ax(a>0,a≠1)①定义域：(-∞,+∞).②值域：(0,+∞)；图象恒过点(0,1),单调性与a的值有关,在解题中，要对a分a>1和0

③单调性：当a>1时，y=ax

在(-∞,+∞)是增函数，且过点(0,1)；

当0

对数函数：

1．对数的定义：如果a

b

N

（a0且a1），那么数 b叫作以a为底N的对数，记作log

a

N。其中a叫做对数的底数，N叫做真数.2；1的对数等于0;a的对数等于1。3．两种特殊的对数：（注：e是一个无理数，它的值是e= 2.71828„„)

①常用对数：以10为底的对数叫作常用对数,N的常用对数log10N简记作lgN.②自然对数：以e为底的对数称为自然对数，N的自然对数logeN简记作lnN.4．对数的运算性质： ①(积的对数)loga(MN)= logaM +logaN；②(商的对数)logM

a

= logaM-logaN；

N

③(幂的对数)logaMn

= nlogaM5．对数的换底公式：换底公式log

n

a

b

logcb;推论：log

log

a

m

b

n



nc

a

m

log

a

b或log

a

n

b

log

a

b.几个重要等式：loglog

a

b

b;klogk

log

a1=0;logaa=1;aa

k

aa,ka

.(用于化为同底)

6．对数函数的定义：函数yloga

x(a>0且a≠1)叫作对数函数.ylog

a

x与yax

互为反函数。

(2)对数函数：y=logax(a>0,a≠1)①定义域:(0,+∞)；

②值域：(-∞,+∞)；

③单调性：当a>1时，logax在(0,+∞)是增函数，且过点(1,0)；

当01和0

注意：(1)指数式与对数式的互化：ab=N b=logaN；对数运算法则的双向运利用.(2)y=ax与y=logax互为反函数，它们的图象关系是关于直线y=x对称；

(3)比较两个指数或对数的大小的方法是构造相应的指数或对数函数,若底数不相同时,转化为同底数的指数或对数,有时还要注意与1比较或与0比较.(4)比较两个指数与底数都不同的指数式时,引入一个中间值,其指数与一个相同,底数与另一个相同.(5)已知函数f(x)log1(x2kx2)的定义域为R，求k的取值范围.已知函数f(x)log1(x2kx2)的值域为R，求k的取值范围.8.原函数与反函数之间的关系：(1)对应法则；(2)互为反函数的两个函数，图像关于直线y=x对称,反之成立；

(3)若点(a,b)在函数y=f(x)的图像上，那么点(b,a)就必定在其反函数yf

1(x)的图像上.9.反函数：(1)定义：

(2)函数存在反函数的条件：只有从定义域到值域上一一映射所确定的函数才有反函数；

(3)互为反函数的定义域与值域的关系：原函数的定义域就是反函数的值域；原函数的值域就是反函数的定义域.已知y=f(x)，求f

1

(a),可利用f(x)a，从中求出x,即是f

1

(a).(4)求反函数的步骤：①根据原函数定义域求出yf(x)的值域，即反函数的定义域；②将yf(x)看成关于x的方程，反解出xf1

(y)，若有两解，要根据定义域选择其一；③将x,y互换，得反函

数yf

1

(x)，并写出定义域.函数yf(abx)的反函数为y

1b[f

1

(x)a].如：求下列函数的反函数：f(x)x

22x3(x0)；f(x)

x

x

x；

21

f(x)log

x1

2(x0)(5)(6)原函数与反函数具有相同的单调性；(7)

(8)点M(a,b)在原函数或其反函数图象上,则点M关于直线y=x对称点M(b,a)必在对应的另一函数图

象上.如：(2006重庆理)设函数yf(x)的反函数为yf

yf

1

1

上移h下移h

(a0)平移|a|个单位即可得到； 1）y=f(x)y=f(x)+h；2）y=f(x)y=f(x)h(x)，且yf(2x1)的图像过点(,1)，则

②对称变换：(注意区别一个函数本身的对称性与两个函数之间的对称关系)

y轴

(x)的图像必过()（A）（-1,1)（B）(1,)（C）(1,0)（D）(0,1)答案为C.22

1

Ⅰ.函数yf(x)的图像可以将函数yf(x)的图像关于y轴对称即可得到；y=f(x)y=f(x);

x轴

(9)已知y=f(x)，求f(a)，可利用f(x)=a，从中求出x，即是f(a)；(10)f[f(x)]x;f[f

1

(x)]x.Ⅱ.函数yf(x)的图像可以将函数yf(x)的图像关于x轴对称即可得到；y=f(x)y= f(x);

原点

(11)证明y=f(x)的图象关于直线y=x对称，只需证得y=f(x)反函数和y=f(x)相同； 10.指数、对数函数型函数恒过定点问题,可利用基本函数法或图象变换法解决：

基本函数法是把所给函数化为标准的幂、指数、对数函数,利用其过定点解决.如:(1)函数y2a

∴函数

x

2Ⅲ.函数yf(x)的图像可以将函数yf(x)的图像关于原点对称即可得到；y=f(x)y= f(x);

yx

恒过定点().把y2ax2

y

Ⅳ.函数yf



1(x)的图像可以将函数yf(x)的图像关于直线yx对称得到：y=f(x)yf

xa

1

(x);

化为2

a

x2,令x-2=0,y2

=1,得x=2,y=2,Ⅴ.函数yf(2ax)的图像可以将函数yf(x)的图像关于直线xa对称得到：y=f(x)y=f(2ax).VI.函数y2bf(2ax)的图像可以将函数yf(x)的图像关于点(a,b)对称得到；

(a,b)

y2

3x2

(2)(2007山东理)函数yloga(x3)1(a0，且a1)的图象恒过定点A，若点A在直线

mxny10 上，其中mn0，则

1m2n

y=f(x)y=2b-f(2ax).函数yf(ax)与yf(bx)关于x③翻折变换：

ba2

对称.的最小值为．答案为8.注：指数、对数函数常与二次函数复合,处理技巧是把指数式或对数式换元，变成二次函数(注意新元的取值范围)问题.11.一个重要的函数(补充):(双曲函数):f(x)ax

bx

(a0,b0)

bx

(a0,b0)是奇函数；

Ⅰ.yf(x)的图象可以看作yf(x)的图象在x轴上方不变，x轴下方沿x轴向上翻折后所得.Ⅱ.函数yf(|x|)的图像可以将函数yf(x)的图像右边沿y轴翻折到y轴左边替代原y轴左边部分并保留yf(x)在y轴右边部分即可得到(注意：也可把它作为一个偶函数)

④伸缩变换：Ⅰ、函数yaf(x)(a0)的图像可以将函数yf(x)的图像中的每一点横坐标不变,纵坐

ya

(1)定义域：(,0)(0,)；(2)奇偶性：f(x)ax(3)单调性：f(x)ax(a0,b0)在,

x





b

标伸长(a1)或压缩（0a1）为原来的a倍得到； y=f(x)y=af(x)

b与a

b

,是增函数;在

a

b

,0与0,a

b是减函数；

a

Ⅱ.函数yf(ax)(a0)的图像可以将函数yf(x)的图像中的每一点纵坐标不变,横坐标缩短

(a1)或伸长(0a1)为原来的1a

x1a

(4)值域：当x0时f(x)axb2ab，当且仅当x

x

ba

时等号成立；



ba

倍得到.y=f(x)y=f(ax).当x0时

b

f(x)(ax)()2ab

x，当且仅当x

时等号成立.故值域为(,2ab][2ab,).函数的图象与变换

①平移变换：

Ⅰ.水平平移：函数yf(xa)的图像可以把函数yf(x)的图像沿x轴方向向左(a0)或向右

左移h

右移h

(a0)平移|a|个单位即可得到；1）y=f(x)y=f(x+h)；2）y=f(x)y=f(xh)；

Ⅱ.竖直平移：函数yf(x)a的图像可以把函数yf(x)的图像沿x轴方向向上(a0)或向下

第二篇：调查报告的基本结论

调查报告的基本结论

我们都知道，全面建设小康社会的基本标准包括了这样十个方面：一是人均国内生产总值超过3000美元。这是建成全面小康社会的根本标志。二是城镇居民人均可支配收入1.8万元。三是农村居民家庭人均纯收入8000元。四是。五是城镇人均住房建筑面积30平方米。六是城镇化率达到50%。七是居民家庭计算机普及率20%。八是大学入学率20%。九是每千人医生数2.8人。十是城镇居民最低生活保障率95%以上。经过我们的努力，我们的问卷调查和访谈工作已完成。针对我们的问卷和访谈中涉及的方面，我们已经对结果做出了归纳总结和分析。

从我们所调查的人群来看，有近64%的人认为我国的物价水平较高，而大约只有10%的人认为我国的物价水平是比较正常或者较低的，另外还4%的人对物价表示不关心。由此可见，在学生人群里，我国的物价高于他们的消费能力的。小康社会的标准是恩格尔系数要低于40%，从调查数据中，我们可以知道绝大多数人对小康的标准不是很清楚。另外，在被调查者的眼中，有接近一半的人认为小康社会就是社会保障体系比较健全，社会就业比较充分，人民过上更加富足的生活，接近26%的人则认为小康社会是基层民主更加健全，社会秩序良好，人民安居乐业，而认为小康社会是每个人都有工作，不像现在这么靠关系走后门，有事做，有钱拿就好这种情况在此次调查中我们尚未遇到。至于了解小康社会的途径，我们的调查结果显示，有44%是通过电视新闻这个途径，而其他的途径如平常讨论，报刊杂志，还有课本的则有30%多。也就是说人们了解小康社会，多数是通过官方途径的。在问及什么水平的国民月平均收入才是真正意义上达到“小康社会”时，有44%的人认为真正的小康是国民月平均收入要达到5000元以上，20%的人认为小康社会是国平月平均收入达到4000元左右。这就表明人们在月收入对小康社会的理解上还是比较理性的，但同时又是充满期待的。

第三篇：高一数学函数值域解题技巧

一．观察法

通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域。例1求函数y=3+√(2－3x)的值域。

点拨：根据算术平方根的性质，先求出√(2－3x)的值域。解：由算术平方根的性质，知√(2－3x)≥0，故3+√(2－3x)≥3。∴函数的知域为.点评：算术平方根具有双重非负性，即：（1）被开方数的非负性，（2）值的非负性。

本题通过直接观察算术平方根的性质而获解，这种方法对于一类函数的值域的求法，简捷明了，不失为一种巧法。

练习：求函数y=[x](0≤x≤5)的值域。（答案：值域为：｛0，1，2，3，4，5｝）二．反函数法

当函数的反函数存在时，则其反函数的定义域就是原函数的值域。例2求函数y=(x+1)/(x+2)的值域。

点拨：先求出原函数的反函数，再求出其定义域。

解：显然函数y=(x+1)/(x+2)的反函数为:x=(1－2y)/（y－1）,其定义域为y≠1的实数,故函数y的值域为｛y∣y≠1,y∈R｝。点评：利用反函数法求原函数的定义域的前提条件是原函数存在反函数。这种方法体现逆向思维的思想，是数学解题的重要方法之一。

练习：求函数y=(10x+10-x)/(10x－10-x)的值域。（答案：函数的值域为｛y∣y<－1或y>1｝）三．配方法

当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时,可以利用配方法求函数值域

例3：求函数y=√(－x2+x+2)的值域。

点拨：将被开方数配方成完全平方数，利用二次函数的最值求。

解：由－x2+x+2≥0,可知函数的定义域为x∈[－1，2]。此时－x2+x+2=－（x－1/2）2＋9/4∈[0，9/4] ∴0≤√－x2+x+2≤3/2,函数的值域是[0,3/2] 点评：求函数的值域不但要重视对应关系的应用,而且要特别注意定义域对值域的制约作用。配方法是数学的一种重要的思想方法。

练习：求函数y=2x－5＋√15－4x的值域.(答案:值域为{y∣y≤3})四．判别式法

若可化为关于某变量的二次方程的分式函数或无理函数,可用判别式法求函数的值域。

例4求函数y=(2x2－2x+3)/(x2－x+1)的值域。

点拨：将原函数转化为自变量的二次方程，应用二次方程根的判别式，从而确定出原函数的值域。

解：将上式化为（y－2）x2－(y－2)x+(y-3)=0（＊）

当y≠2时,由Δ=(y－2)2－4（y－2）x+(y－3)≥0，解得：2＜x≤10/3 当y=2时,方程(＊)无解。∴函数的值域为2＜y≤10/3。

点评：把函数关系化为二次方程F(x,y)=0，由于方程有实数解，故其判别式为非负数，可求得函数的值域。常适应于形如y=(ax2+bx+c)/(dx2+ex+f)及y=ax+b±√(cx2+dx+e)的函数。

练习：求函数y=1/(2x2－3x+1)的值域。（答案：值域为y≤－8或y>0）。五．最值法

对于闭区间[a,b]上的连续函数y=f(x),可求出y=f(x)在区间[a,b]内的极值,并与边界值f(a).f(b)作比较,求出函数的最值,可得到函数y的值域。

例5已知(2x2-x-3)/(3x2+x+1)≤0,且满足x+y=1,求函数z=xy+3x的值域。

点拨：根据已知条件求出自变量x的取值范围，将目标函数消元、配方，可求出函数的值域。

解：∵3x2+x+1＞0，上述分式不等式与不等式2x2-x-3≤0同解，解之得－1≤x≤3/2，又x+y=1，将y=1-x代入z=xy+3x中，得z=-x2+4x(-1≤x≤3/2)，∴z=-(x-2)2+4且x∈[-1,3/2],函数z在区间[-1,3/2]上连续，故只需比较边界的大小。

当x=-1时，z=－5；当x=3/2时，z=15/4。∴函数z的值域为｛z∣－5≤z≤15/4｝。

点评：本题是将函数的值域问题转化为函数的最值。对开区间，若存在最值，也可通过求出最值而获得函数的值域。

练习：若√x为实数，则函数y=x2+3x-5的值域为（）

A．（－∞，＋∞）B．[－7，＋∞] C．[0，＋∞）D．[－5，＋∞）（答案：D）。六．图象法

通过观察函数的图象，运用数形结合的方法得到函数的值域。例6求函数y=∣x+1∣+√(x-2)2 的值域。

点拨：根据绝对值的意义，去掉符号后转化为分段函数，作出其图象。解：原函数化为 －2x+1(x≤1)y= 3(-12)它的图象如图所示。

显然函数值y≥3,所以，函数值域[3，＋∞]。

点评：分段函数应注意函数的端点。利用函数的图象

求函数的值域，体现数形结合的思想。是解决问题的重要方法。

求函数值域的方法较多，还适应通过不等式法、函数的单调性、换元法等方法求函数的值域。七．单调法

利用函数在给定的区间上的单调递增或单调递减求值域。例1求函数y=4x－√1-3x(x≤1/3)的值域。

点拨：由已知的函数是复合函数，即g(x)= －√1-3x,y=f(x)+g(x)，其定义域为x≤1/3，在此区间内分别讨论函数的增减性，从而确定函数的值域。

解：设f(x)=4x,g(x)= －√1-3x ,(x≤1/3),易知它们在定义域内为增函数，从而y=f(x)+g(x)= 4x－√1-3x

在定义域为x≤1/3上也为增函数，而且y≤f(1/3)+g(1/3)=4/3,因此，所求的函数值域为｛y|y≤4/3｝。

点评：利用单调性求函数的值域，是在函数给定的区间上，或求出函数隐含的区间，结合函数的增减性，求出其函数在区间端点的函数值，进而可确定函数的值域。练习：求函数y=3+√4-x 的值域。(答案：｛y|y≥3｝)八．换元法

以新变量代替函数式中的某些量，使函数转化为以新变量为自变量的函数形式，进而求出值域。

例2求函数y=x-3+√2x+1 的值域。

点拨：通过换元将原函数转化为某个变量的二次函数，利用二次函数的最值，确定原函数的值域。

解：设t=√2x+1（t≥0）,则 x=1/2(t2-1)。

于是 y=1/2(t2-1)-3+t=1/2(t+1)2-4≥1/2-4=-7/2.所以，原函数的值域为｛y|y≥－7/2｝。

点评：将无理函数或二次型的函数转化为二次函数，通过求出二次函数的最值，从而确定出原函数的值域。这种解题的方法体现换元、化归的思想方法。它的应用十分广泛。

练习：求函数y=√x-1 –x的值域。（答案：｛y|y≤－3/4｝ 九．构造法

根据函数的结构特征，赋予几何图形，数形结合。例3求函数y=√x2+4x+5+√x2-4x+8 的值域。

点拨：将原函数变形，构造平面图形，由几何知识，确定出函数的值域。解：原函数变形为f(x)=√(x+2)2+1+√(2-x)2+22 作一个长为

4、宽为3的矩形ABCD，再切割成12个单位 正方形。设HK=x,则ek=2-x,KF=2+x,AK=√(2-x)2+22 , KC=√(x+2)2+1。

由三角形三边关系知，AK+KC≥AC=5。当A、K、C三点共 线时取等号。

∴原函数的知域为｛y|y≥5｝。

点评：对于形如函数y=√x2+a ±√(c-x)2+b(a,b,c均为正数)，均可通过构造几何图形，由几何的性质，直观明了、方便简捷。这是数形结合思想的体现。

练习：求函数y=√x2+9 +√(5-x)2+4的值域。（答案：｛y|y≥5√2｝）十．比例法

对于一类含条件的函数的值域的求法，可将条件转化为比例式，代入目标函数，进而求出原函数的值域。

例4已知x,y∈R，且3x-4y-5=0,求函数z=x2+y2的值域。

点拨：将条件方程3x-4y-5=0转化为比例式，设置参数，代入原函数。解：由3x-4y-5=0变形得，(x3)/4=(y-1)/3=k(k为参数)∴x=3+4k,y=1+3k, ∴z=x2+y2=(3+4k)2+(14+3k)2=(5k+3)2+1。当k=－3/5时，x=3/5,y=－4/5时，zmin=1。函数的值域为｛z|z≥1｝.点评：本题是多元函数关系，一般含有约束条件，将条件转化为比例式，通过设参数，可将原函数转化为单函数的形式，这种解题方法体现诸多思想方法，具有一定的创新意识。

练习：已知x,y∈R，且满足4x-y=0,求函数f(x,y)=2x2-y的值域。（答案：｛f(x,y)|f(x,y)≥1｝）

十一．利用多项式的除法

例5求函数y=(3x+2)/(x+1)的值域。

点拨：将原分式函数，利用长除法转化为一个整式与一个分式之和。解：y=(3x+2)/(x+1)=3－1/(x+1)。∵1/(x+1)≠0，故y≠3。

∴函数y的值域为y≠3的一切实数。

点评：对于形如y=(ax+b)/(cx+d)的形式的函数均可利用这种方法。练习：求函数y=(x2-1)/(x-1)(x≠1)的值域。（答案：y≠2）十二．不等式法

例6求函数Y=3x/(3x+1)的值域。

点拨：先求出原函数的反函数，根据自变量的取值范围，构造不等式。解：易求得原函数的反函数为y=log3[x/(1-x)], 由对数函数的定义知 x/(1-x)＞0 1-x≠0

解得，0＜x<1。

∴函数的值域（0，1）。

点评：考查函数自变量的取值范围构造不等式（组）或构造重要不等式，求出函数定义域，进而求值域。不等式法是重要的解题工具，它的应用非常广泛。是数学解题的方法之一。

以下供练习选用：求下列函数的值域 1．Y=√(15－4x)+2x-5；（｛y|y≤3｝）2．Y=2x/(2x－1)。（y>1或y<0）

第四篇：基本初等函数

基本初等函数

一、考点分析

函数是高中数学的主要内容，它把中学数学的各个分支紧密地联系在一起，是中学数学全部内容的主线。在高考中，至少三个小题一个大题，分值在３０分左右。以指数函数、对数函数、生成性函数为载体结合图象的变换（平移、伸缩、对称变换）、四性问题（单调性、奇偶性、周期性、对称性）、反函数问题常常是选择题、填空题考查的主要内容，其中函数的单调性和奇偶性有向抽象函数发展的趋势。函数与导数的结合是高考的热点题型，文科以三次（或四次）函数为命题载体，理科以生成性函数（对数函数、指数函数及分式函数）为命题载体，以切线问题、极值最值问题、单调性问题、恒成立问题为设置条件，与不等式、数列综合成题，是解答题试题的主要特点。

考点：函数的定义域和值域，了解并简单应用分段函数，函数的单调性、最值及几何意义、奇偶性，会利用函数图像表示并分析函数的性质；理解指数函数、对数函数的概念以及运算

性质，会画图像并且了解相关性质。了解幂函数的概念，结合图像了解变化情况。

易错点：容易遗忘判断单调性以及奇偶性的方法；容易遗忘指数、对数函数的图像性质，以及相关的运算性质。

难点：函数的单调性、奇偶性，指数、对数函数的图像性质以及运算性质。

二、知识分析

1．函数的三要素是什么？如何比较两个函数是否相同？（定义域、对应法则、值域）

2．求函数的定义域有哪些常见类型？

例：函数

ylgx3的定义域是答：0，233，4 2，3．如何求复合函数的定义域？

如：函数f(x)的定义域是a，b，ba0，则函数F(x)f(x)f(x)的定义域是_____________。答：a，a

4．求一个函数的解析式数时，注明函数的定义域了吗？

如：f

令texx，求f（x)t0，∴xt21，∴f(t)et

x2121t21，∴f(x)ex21x0

5．如何用定义证明函数的单调性？（取值、作差、判正负）

如何判断复合函数的单调性？，u(x)（内层），则yf(x) yf(u)（外层）

当内、外层函数单调性相同时，f

(x)为增函数，否则f(x)为减函数

如：求ylog1x22x的单调区间。

设ux2x，由u0，则0x2且log1u，ux11，如图



当x(0，1]时，u，又log1u，∴y

当x[1，2)时，u，又log1u，∴y

∴……）

6．如何利用导数判断函数的单调性？

在区间a，b内，若总有f'(x)0，则f(x)为增函数。（在个别点上导数等于零，不影响函数的单调性），反之也对，若f'(x)0呢？

如：已知a0，函数f(x)x3ax在1，上是单调增函数，则a的最大值是 A．0

B．1C．2D．

3x0令f'(x)3xa3x，则x

x，

由已知f(x)在1，1，即a3，∴a的最大值为3 7．函数f(x)具有奇偶性的必要（非充分）条件是什么？（f(x)定义域关于原点对称）

若f(x)f(x)总成立f(x)为奇函数函数图像关于原点对称 若f(x)f(x)总成立f(x)为偶函数函数图像关于y轴对称 注意如下结论：

（1）在公共定义域内：两个奇函数的乘积是偶函数；两个偶函数的乘积是偶函数；一个偶函数与奇函数的乘积是奇函数。

（2）若f(x)是奇函数且定义域中有原点，则f(0)0

a·2xa

2如：若f(x)为奇函数，则实数a

2x

1a·20a2

0，∴a1 ∵f(x)为奇函数，xR，又0R，∴f(0)0，即0

212x

又如：f(x)为定义在(11)，求f(x)在，上的奇函数，当x(0，1)时，f(x)x

41(11)，上的解析式。

2x

令x10，，则x01，，f(x)x

412x2x

又f(x)为奇函数，∴f(x)x

4114x

2x

0)4x1,x(1，

又f(0)0，∴f(x)0,x0

2x

x,x0，141

8．你熟悉周期函数的定义吗？

（T0）若存在实数T，在定义域内总有fxTf(x)，则f(x)为周期函数，T是

一个周期。如：若fxaf(x)，则答： T2a为f(x)的一个周期。

又如：若f(x)图像有两条对称轴xa，xb即f(bx)f(bx)，f(ax)f(ax)，则f(x)是周期函数，2|ab|为一个周期

如图：

9．你掌握常用的图象变换了吗？

f(x)与f(x)的图像关于y轴对称 f(x)与f(x)的图像关于x轴对称 f(x)与f(x)的图像关于原点对称 将yf(x)图像右移a(a0)个单位

左移a(a0)个单位

yf(xa)上移b(b0)个单位yf(xa)b

 下移b(b0)个单位

yf(xa)yf(xa)b

注意如下“翻折”变换：f(x)|f(x)|,f(x)f(|x|)

如：f(x)log2x1y=log2x

作出y|log2x1|及ylog2|x1|的图像

10．你熟练掌握常用函数的图象和性质了吗？

（1）一次函数：ykxbk0（2）反比例函数：y

kk

k0推广为ybk0是中心O'(a，b)的双曲线。

xxa

b4acb2

（3）二次函数yaxbxca0ax的图像为抛物线 

2a4a

b4acb2bx顶点坐标为，对称轴 2a4a2a

开口方向：a0，向上，函数ymin

4acb2

4a

a0，向下，ymax

4acb2

4a

应用：①“三个二次”（二次函数、二次方程、二次不

等式）的关系——二次方程axbxc0，0时，两根x1、x2为二次函数

也是二次不等式axbxc0(0)解集的端yax2bxc的图像与x轴的两个交点，点值。

②求闭区间［m，n］上的最值。

③求区间定（动），对称轴动（定）的最值问题。④一元二次方程根的分布问题。

如：二次方程axbxc0的两根都大于

0

bkk，一根大于k，一根小于kf(k)0

2af(k)0

（4）指数函数：ya

x

a0，a1

ax(a>1)

（5）对数函数：ylogaxa0，a1

由图象记性质！（注意底数的限定！）（6）“对勾函数”yx

(a

0)，k

k0 x

1ap

11．你在基本运算上常出现错误吗？

指数运算：a01(a0)，a

p



aa

0)，a

mn



mn



a0)

对数运算：logaM·NlogaMlogaNM0，N0

loga

M

1logaMlogaN，logalogaM Nn

logax

对数恒等式：a

x；对数换底公式：logab

logcbn

logambnlogab logcam

12．如何解抽象函数问题？（赋值法、结构变换法）

如：（1）xR，f(x)满足f(xy)f(x)f(y)，证明f(x)为奇函数。先令xy0f(0)0，再令yx，……

（2）xR，f(x)满足f(xy)f(x)f(y)，证明f(x)为偶函数。先令xytf[(t)(t)]f(tt)，∴f(t)f(t)f(t)f(t)，∴f(t)f(t)……

（3）证明单调性：f(x2)fx2x1x2…… 13．掌握求函数值域的常用方法了吗？

（二次函数法（配方法），换元法，均值定理法，利用函数单调性法，导数法等。）

三、习题

第五篇：VB函数_基本函数

VB函数大全_基本函数大全

Abs 函数 返回数的绝对值。

And 运算符 执行两个表达式的逻辑连接。Array 函数 返回含一数组的 变体。

Asc 函数 返回字符串首字母的 ANSI 字符代码。赋值运算符(=)给变量或属性赋值。Atn 函数 返回数的反正切值。

调用语句 将控制移交 Sub 或 Function 过程。

CBool 函数 返回已被转换为 Boolean 子类型的变体的表达式。CByte 函数 返回已被转换为字节子类型的变体的表达式。CCur 函数 返回已被转换为货币子类型的变体的表达式。CDate 函数 返回已被转换为日期子类型的变体的表达式。CDbl 函数 返回已被转换为双精度子类型的变体的表达式。Chr 函数 返回指定 ANSI 字符码的字符。

CInt 函数 返回已被转换为整数子类型的变体的表达式。Class 对象 提供对已创建的类的事件的访问。Class 语句 声明类名

Clear 方法 清除 Err 对象的所有属性设置。

CLng 函数 返回已被转换为 Long 子类型的变体的表达式。颜色常数 颜色常数列表。

比较常数 用于比较运算的常数列表。

连接运算符(&)

强制两个表达式的字符串连接。

Const 语句

声明用于字母值的常数。Cos 函数 返回角度的余弦值。

CreateObject 函数 创建并返回对“自动”对象的引用。

CSng 函数 返回已被转换为单精度子类型的变体的表达式。CStr 函数 返回已被转换为字符串子类型的变体的表达式。

日期和时间常数 在日期和时间运算中用来定义星期几和其他常数的常数列表。日期格式常数 用于日期和时间格式的常数列表。Date 函数 返回当前系统日期。

DateAdd 函数 返回加上了指定的时间间隔的日期。DateDiff 函数 返回两个日期之间的间隔。DatePart 函数 返回给定日期 的指定部分。

DateSerial 函数 返回指定年月日的 日期子类型的变体。DateValue 函数 返回日期子类型的变体。Day 函数 返回日期，取值范围为 1 至 31。

Description 属性 返回或者设置说明某个错误的字符串。Dictionary 对象 存储数据键、项目对的对象。Dim 语句 声明变量并分配存储空间。

除法运算符(/)两数相除并以浮点数格式返回商。

Do...Loop 语句 当条件为 True 或者当条件变为 True 时，重复一语句块。Empty 表示尚未初始化的变量值。Eqv 运算符 使两个表达式相等。

Erase 语句 重新初始化固定数组的元素并重新分配动态数组的存储空间。Err 对象 含有关于运行时错误的信息。Eval 函数 计算并返回表达式的值。

Execute 方法 根据指定的字符串，执行正则表达式的搜索。Execute 语句 执行单个或更多的指定语句。

Exit 语句 退出 Do...Loop、For...Next、Function 或 Sub 代码块。

Exp 函数 返回 e（自然对数的底）的多少次方。自乘运算符(^)指数函数，幂为自变量。False 关键字，其值为零。FileSystemObject 对象 提供对计算机文件系统的访问。

Filter 函数 根据指定的筛选条件,返回含有字符串数组子集的、下限为 0 的数组。FirstIndex 属性 返回字符串匹配的位置。Fix 函数 返回数的整数部分。

For...Next 语句 以指定的次数重复一组语句。

For Each...Next 语句 对于数组或集合中的每一个元素，重复一组语句。

FormatCurrency 函数 返回的表达式为货币值格式，其货币符号采用系统控制面板中定义的。FormatDateTime 函数 返回格式化为日期或时间的表达式。FormatNumber 函数 返回格式化为数的表达式。

FormatPercent 函数 返回格式化为百分比（乘以 100）的表达式，以 % 符号结尾。Function 语句 声明形成 Function 过程体的名称、参数和代码。GetObject 函数 从文件返回对“自动”对象的访问。GetRef 函数 返回对可以绑定到事件的过程的引用。Global 属性 设置或返回 Boolean 值。

Hex 函数 返回表示数的十六进制值的字符串。

HelpContext 属性 设置或返回帮助文件中某主题的上下文 ID。HelpFile 属性 设置或返回帮助文件的全路径。Hour 函数 返回小时数，取值范围为 0 至 23。

If...Then...Else 语句 根据表达式的值，有条件地执行一组语句。

IgnoreCase 属性 设置或返回 Boolean 值，指示模式搜索是否区分大小写。Imp 运算符 执行两个表达式的逻辑隐含。初始化事件

发生在创建相关类的实例时。

InputBox 函数 在对话框中显示提示，等待用户输入文本或者单击按钮，并返回文本框的内容。InStr 函数 返回一个字符串在另一个字符串中第一次出现的位置。

InStrRev 函数 返回一个字符串在另一个字符串中出现的位置，是从字符串的末尾算起。Int 函数 返回数的整数部分。

整数除法运算符()两数相除，返回的商取其整数部分。Is 运算符 比较两个对象引用变量。

IsArray 函数 返回 Boolean 值，表示变量是否为数组。

IsDate 函数 返回 Boolean 值，表示表达式是否可以转换为日期。IsEmpty 函数 返回 Boolean 值，表示变量是否已被初始化。

IsNull 函数 返回 Boolean 值，表示表达式是否含有无效数据(Null)。

IsNumeric 函数 返回 Boolean 值，表示表达式能否当作一个数，用来计算。IsObject 函数 返回 Boolean 值，表示表达式是否引用了有效的“自动”对象。Join 函数 返回连接许多包含在一个数组中的子串而创建的字符串。LBound 函数 对于指示的数组维数，返回最小的可用下标。LCase 函数 返回已被转换为小写字母的字符串。Left 函数 返回字符串最左边的指定数量的字符。

Len 函数 返回字符串中的字符数量，或者存储变量所需的字节数。Length 属性 返回在搜索字符串中匹配的长度。

LoadPicture 函数 返回图片对象。仅用于 32 位平台。Log 函数 返回数的自然对数。

LTrim 函数 返回去掉前导空格的字符串副本。

Match 对象 提供访问匹配正则表达式的只读属性。Matches 集合 正则表达式匹配对象的集合。Mid 函数 从字符串中返回指定数量的字符。

Minute 函数 返回小时内的分钟数，取值范围为 0 至 59。杂项常数 不能纳入任何其他类的常数列表。Mod 运算符 两数相除，只返回余数。

Month 函数 返回月份，取值范围为 1 至 12。MonthName 函数 返回表示月份的字符串。

MsgBox 常数 与MsgBox 函数一起使用的常数列表。

MsgBox 函数在对话框中显示消息，等待用户单击按钮，并返回表示用户所击按钮的数值。

乘法运算符(*)两数相乘。

取反运算符(-)表示数值表达式的相反数。Not 运算符执行表达式的逻辑“非”运算。

Now 函数 返回当前计算机的系统日期和时间。

Nothing 使对象变量与所有实际的对象没有任何关联。Null 表示变量含有无效的数据。

Number 属性 返回或设置代表某个错误的数值。Oct 函数 返回表示一数的八进制值的字符串。On Error 语句 启用错误处理。

运算符的优先级 表示各种 VBScript 运算符的优先顺序的列表。Option Explicit 语句 强制显式声明脚本中的所有变量。Or 运算符 执行两个表达式的逻辑“或”运算。

Pattern 属性 设置或返回正被搜索的正则表达式的模式。Private 语句 声明私有变量并分配存储空间。

PropertyGet 语句 声明在窗体属性过程中获取（返回）属性值的名称，参数和代码。PropertyLet 语句 声明在窗体属性过程中指定属性值的名称，参数和代码。PropertySet 语句 声明在窗体属性过程中设置引用到对象的名称，参数和代码。Public 语句 声明公有变量并分配存储空间。Raise 方法 产生运行时错误。

Randomize 语句 初始化随机数发生器。

ReDim 语句 声明动态数组变量，并分配或重新分配过程级的存储空间。RegExp 对象 提供简单正则表达式的支持。Rem 语句 包含程序中的注释。

Replace 函数 返回一个字符串，其中某个指定的子串被另一个子串替换，替换的次数也有规定。Replace 方法 替换在正则表达式搜索中已发现的正文。RGB 函数 返回表示 RGB 颜色值的数。

Right 函数 返回字符串最右边的指定数量的字符。Rnd 函数 返回一随机数。

Round 函数 返回指定位数、四舍五入的数。RTrim 函数 返回去掉尾部空格的字符串副本。

ScriptEngine 函数 返回表示正在使用中的脚本语言的字符串。

ScriptEngineBuildVersion 函数 返回使用中的脚本引擎的编译版本号。ScriptEngineMajorVersion 函数 返回使用中的脚本引擎的主版本号。ScriptEngineMinorVersion 函数返回使用中的脚本引擎的次版本号。

Second 函数 返回时间的秒数，取值范围为 0 至 59。

Select Case 语句 根据表达式的值，在若干组语句中选择一组执行。Set 语句 将对象引用赋予变量或属性。Sgn 函数 返回表示数的符号的整数。Sin 函数 返回角度的正弦值。

Source 属性 返回最早出错的对象或应用程序的名称。Space 函数 返回由指定数量的空格组成的字符串。

Split 函数 返回下限为 0 的、由指定数量的子串组成的一维数组。Sqr 函数 返回数的平方根。

StrComp 函数 返回反映字符串比较结果的值。字符串常数 字符串常数的列表。

String 函数 返回重复的字符串，达到指定的长度。

StrReverse 函数 返回一字符串，其中字符的顺序与指定的字符串中的顺序相反。Sub 语句 声明形成 Sub 过程体的名称、参数和代码。

减法运算符(-)求两数之差，或表示某数值表达式的相反数。Tan 函数 返回角度的正切值。终结事件

发生在相关类的实例终结之时。

Test 方法 根据指定的字符串，执行正则表达式的搜索。Time 函数 返回反映当前系统时间的日期子类型的变体。Timer 函数 返回时经子夜 12:00 AM 后的秒数。

TimeSerial 函数 返回含有指定时分秒时间的日期子类型的变体。TimeValue 函数 返回含有时间的日期子类型的变体。Trim 函数 返回去掉前导空格或末尾空格的字符串副本。三态常数 在代码中使用，以便表示每个显示的值。True 其值为-1 的关键字。

TypeName 函数 返回一字符串，它提供了关于变量的变体子类型信息。UBound 函数 返回指定维数数组的最大有效下标。UCase 函数 返回的字符串已经被转换为大写字母。

Value 属性 返回在搜索字符串中已发现匹配的值或正文。VarType 常数 定义变体子类型的常数列表。VarType 函数 返回标识变体子类型的数值。

VBScript 常数 在 VBScript 中提供不同种类的常数。Weekday 函数 返回表示星期几的数值。

WeekdayName 函数 返回表示星期几的字符串。

While...Wend 语句 只要给定的条件为 True，便执行一串语句。With 语句 对单个的对象执行一串语句。

Xor 运算符 执行两个表达式的逻辑“异或”运算。Year 函数返回表示年份的数值。

VB中整除运算符 与取整函数 INT 性质不同。一个是运算符，一个是函数。整除，顾名思义，有除法在里面，而取整只是删除零头而已。但它们在某种情况下可以相互替换，如： 32=Int(3/2)Int(10.11)=10.111