函数一致连续的条件

第一篇：函数一致连续的条件

一、选题的目的和意义：在学习数学分析时，总是很难理解概念和公式的意义，常常只要求自己记住会用就行。学习函数的连续性和一致连续性时也有同样的情况，然而我们研究本课题的目的就是通过所学的知识，将课堂知识转化为实用的报告，让自己学会分析，提高自己的综合能力，将充实的内容与完美的外在形式的有机结合，本文给出5种函数一致连续性的证明，同时讨论其的应用。函数的一致连续性是数学分析中的一个重要的概念，它不仅是闭区间上连续函数黎曼可积的理论基础，而且与随后的参数积分，函数项积分等概念有着密切的联系。因此，找出函数一致连续的条件是数学分析中一个重要的内容。然而，本文对函数一致连续性的概念、判定条件进行了深入的分析和总结，目的是帮助大家掌握运用不同的方法证明函数一致连续，使大家对函数一致连续性的内涵和条件有更全面的理解和认识。

二、国内外研究现状简述：连续函数是数学分析中着重讨论的一类函数，一致连续函数又是从连续函数的概念派生出来的。而函数的一致连续性是数学分析课程中的一个重要内容,重要数学概念对数学发展的作用是不可估量的，函数概念对数学发展的影响，可以说是贯穿古今，回顾函数概念的历史发展，它不仅有助于我们提高对函数概念来龙去脉认识的清晰度，而且更能帮助我们领悟数学概念对数学发展，数学学习的巨大作用。19世纪中期，法国数学家黎紧吸收了莱布尼茨、达朗贝尔和欧拉的成果，第一次准确地提出了函数的定义。十七世纪中叶，笛卡儿（Descartes）引入变数（变量）的概念，制定了解析几何学，从而打破了局限于方程的未知数的理解；后来，牛顿（Newton）、莱布尼兹（Leibniz）分别独立的建立了微分学说。这期间，随着数学内容的丰富，各种具体的函

数已大量出现，但函数还未被给出一个一般的定义。牛顿于1665年开始研究微积分之后，一直用“流量”（fluent）一词来表示变量间的关系。国内是主要理论成熟于十九世纪，而第一块基石（二、三元线性方程组的解法）则早在两千年前出现（见于我国古代数学名著《九章算术》）。逐步形成了一门逻辑严密、系统完整的学科，不仅成为其他许多数学分支的重要基础，而且在自然科学、工程技术、生命科学、社会科学、经济管理等众多方面中获得了十分广泛的应用，成为处理有关连续量问题的强有力的数学工具。

三、毕业设计（论文）所采用的研究方法和手段：

查询法：通过文献调研有目的有计划有系统地收集并整理资料，了解图论在数学模型中 的应用。

分析法：通过对图论的研究，发现其性质。

文献研究法：调研文献，整理文章，获取所需材料。

归纳法：总结并整理论文。

四、主要参考文献与资料获得情况：

【1】对建立函数一致连续概念的认识大学数学2005,(02)

【2】证明函数连续的几个定理南阳师范学院学报2007,(09)

【3】判别函数一致连续的几种方法常州工学院院报2004,(02)

【4】函数一致连续的充要条件及其应用江西科学2009,(08)

【5】数学分析高等教育出版社2006,(01)

【6】数学分析的理论、方法和技巧华中科技大学出版社2005,(06)

【7】一致连续与一致收敛人民教育出版社1982,(07

第二篇：一致连续极限定义

一致连续函数的极限定义

连续函数的极限定义形式是我们熟悉的，一致连续函数却很少出现极限定义形式。还是先看看这两者的区别。先看定义：

函数f(x)在I上连续：xI00x2I:|x2x||f(x2)f(x)| 函数f(x)在I上一致连续：00x,x2I:|x2x||f(x2)f(x)| 令x2xh，则，两个定义可以表示为：

函数f(x)在I上连续：xI00h:|h||f(xh)f(x)| 函数f(x)在I上一致连续：00xIh:|h||f(xh)f(x)| 从在定义中的位置可知：连续函数的随x变化，一致连续函数则不。用关于h0的极限方式来表达：

函数f(x)在I上连续：xI:lim(f(xh)f(x))0 h0

函数f(x)在I上一致连续：lim(f(xh)f(x))0,xI h0

这看不出两者有什么不同，但前者h与x有关，后者则无关。后者可用二重极限表示：

lim(f(xh)f(x))0 xx0h0

问题是，后一个极限中x0在什么范围？我们指出：x0，即I的闭包。于是 函数f(x)在I上一致连续：x0:lim(f(xh)f(x))0 xx0h0

这样，一致连续函数也和连续函数一样，有了极限定义形式。我们将为此作出等价证明。

我们称不属于I的聚点为I的外聚点，如果I端点含，也算外聚点。连续函数和一致连续函数的本质区别发生在外聚点上。

先证函数f(x)在I上一致连续的充分性：x0:lim(f(xh)f(x))0，xx0h0

1)当I无外聚点时，二重极限可表示为：

x000xIh:|xx0||h||f(xh)f(x)|（*）当x0I时，有00h:|h||f(x0h)f(x0)|，于是f(x)在x0连续，由x0的任意性，f(x)在I上连续。当x0是I的外聚点时，对于数列xnx0,xnx0，n足够大时，有

00xnIh:|xnx0||h||f(xnh)f(xn)|

取h0，考虑到x0hI，f(x)在I上连续，令n，则

00:|h||f(x0h)limf(xn)|（这里用到一个极限存在，极限加减n

法便可实施的规则）

当n足够大时，取hn使xnx0hn，则

00:n|f(xn)limf(xn)| n

故f(xn)以limf(xn)为极限，考虑到极限的唯一性，limf(xn)必为确定的数，记为a nn

于是，00:|h||f(x0h)a|，即limf(x)a xx0

若定义f(x0)a，则f(x)在x0上连续，若x0为端点，则为单侧连续。此时f(x)在有限闭集上连续，故必一致连续。于是f(x)在I上也一致连续。

2）当x0是I的外聚点时，二重极限可表示为：

0'','0xIh:|x|'|h|''|f(xh)f(x)|（**）将沿'分为有限部分I1和无穷部分I2，由1）知，f(x)在I1上一致连续。而在I2满足（**），在I1有满足一致连续定义的统一的1，若取min(1,'')，则在整个上，有满足一致连续定义的，于是f(x)在有限闭集上一致连续。在I上也一致连续。再证函数f(x)在I上一致连续的必要性：

由 00xIh:|h||f(xh)f(x)|（***）

若x0I，因f(x)在x0连续，二元函数g(x,h)f(xh)f(x)在(x0,0)必连续，故lim(f(xh)f(x))0 xx0h0

若x0是I的外聚点时，在x0的任意邻域内，都有（***），所以

00xIh:|xx0|,|h||f(xh)f(x)|

或者

0,'0xIh:|x|',|h||f(xh)f(x)|（无穷远邻域）

故lim(f(xh)f(x))0 xx0h0

从证明过程不难发现，对于一个连续函数来说，当且仅当所有外聚点满足

xx0h0lim(f(xh)f(x))0时，函数一致连续。

用二重极限判定一致连续的最大好处，是无需寻找与自变量无关的，找这个是件很烦心的事情，找到固然好，没找到却不能说不一致连续，只说明问题处于悬疑状态。用二重极限则非常明朗，极限为0,则一致连续，否则不一致连续。以计算代替寻找，无疑方便许多。例1：讨论f(x)ex的一致连续性。

解：考虑外聚点，lim(f(xh)f(x))lim(exh0xh0xhex)limex(eh1)limexh xh0xh0

令h1xx1，则limehlime10，故原函数在整个实数集上不一致连续，但在任xxxexeh0

何区间(,a]（a为有限数）上一致连续，因为

x0lim|eh|lime|h|0，故limeh0 xh0h0xaxx0h0

例2：讨论f(x)sin1的一致连续性 x

x0h0解：lim(f(xh)f(x))lim(sinx0h011sin)xhx

取xh=1，则 4n

lim(sinx0h011sin)lim(sinsin)sinsin xhxn22

这个极限随着的取值不同而不同，故原二重极限不存在，函数在定义域上不一致连续，如果去掉0聚点，在|x|a0上，函数则是一致连续，因为仅有的一个外聚点是，而lim(f(xh)f(x))lim(sinxh0xh011sin)0 xhx

第三篇：函数极限与连续

函数、极限与连续

一、基本题

1、函数f

xln6x的连续区间ax2x2x

12、设函数fx，若limfx0，且limfx存在，则 x1x1x12axb

a-1，b

41sin2x

3、limx2sin-2x0xx

4、n2x4/(√2-3)k

5、lim1e2，则k=-1xx

x2axb5，则a3，b-

46、设limx1x

17、设函数fx2xsinx1,gxkx，当x0时，fx~gx，则k

ex2x0

8、函数fx2x10x1的定义域R ；连续区间(-oo,1),(1,+oo)3x1x1

1xsinx

a9、函数fx1xsinbxx0x0在x0处连续，则a1，b1x010、函数fxe

1e11

x1x的间断点为x=0，类型是 跳跃间断点。

11、fx,yx2y2xycosx，则f0,1ft,1y12、fxy,xyx2y2，则fx,yy^2+x13、函数zln

2x2y2的定义域为 {(x,y)|1=0}

14、1e2xylim-12；x,y0,0x2y2exyx,y0,01x2y2x2y2lim

3-12；lim12xyx15、x0

y0

二、计算题

1、求下列极限

（1）0

0型：

1）limexex2x

x0xsin3x；=0

2）limexx

1x0x1e2x;=-1/

43）limtan3xln12x

x01cos2x;=-

34）limtanxsinx

x0xsin2x2;=1/4

（2）

型：

1）lnsin3x

xlim0lnsin2x=1

lim2n13n1

2）n2n3n=3

（3）型：

1）lim11

x0xex1=1/

22）lim

x111x1lnx=-1/2

3)xlimarccosx=π/3

4)xlimx=-1 x0y2

（4）0型：

1）limxarctanx=1x2

2)limx1tanx1x2=-π/2

（5）1型：

21）lim1xx3x2=e^(-6)

4x23x12）limx3x2

3)lim12xx0 =e^(-4)=e^(2/5)1sin5x

14)limcos=e^(-1/2)xx

（6）00型：1）limxsinx=1 x0x2

方法:lim x^sinx=lim e^(sinxlnx)

公式：f(x)^g(x)=e^(g(x)ln(f(x)))

（7）型：1）limx20x

x1x=2

同上

2、已知：fxsin2xln13x2limfx，求fx x0x

f(x)=(sin2x)/x+ln(1-3x)+

2(方法：两边limf(x)x->0)

x2x3、求函数fx的间断点，并判定类型。2xx1驻点x=0,x=1,x=-

11）当x=0+时，f(x)=-1；当x=0-时，f(x)=1 跳跃间断点

2）当x=1时，f(x)=oo;第二类间断点

3）当x=-1时，f(x)=1/2;但f(-1)不存在，所以x=-1是可去间断点

sin2xx

4、设函数fxa

ln1bx1e2xx0x0在定义域内连续，求a与b x0

Lim sin(2x)/x|x->0-=2=a=b/-2=>a=2,b=-

45、证明方程：x33x29x10在0,1内有唯一的实根。（存在性与唯一性）证明：

1）存在性：

令f(x)=x^3-3x^2-9x+1

f(0)=1>0;

f(1)=-10<0;

因为f(0).f(1)<0所以在（0,1）内存在一个实根

2）唯一性

f’(x)=3x^2-6x-9=3(x+1)(x-3)

所以f(x)在(0,1)内为单调减函数

故x33x29x10在0,1内有唯一的实根。

第四篇：函数极限连续试题

····· ········密············································订·········线·································装·····系·····封················· ··················__ __：_ ：___： ___________名______________业_姓_____ _号_____ _：：___级_ ____别年专______学

· ·····密·········· ·············································卷···线·································阅·······封········································

函数 极限 连续试题

1.设f(x)

求

(1)f(x)的定义域;(2)12f[f(x)]2

;(3)lim

f(x)x0x

.2.试证明函数f(x)x3ex2

为R上的有界函数.3.求lim1nnln[(11n)(12

n)

(1nn)].4.设在平面区域D上函数f(x,y)对于变量x连续，对于变量y 的一阶偏导数有界，试证：f(x,y)在D上连续.（共12页）第1页

5.求lim（2x3x4x1

x03)x.1(1x)x

6.求lim[

x0e]x.7.设f(x)在[1,1]上连续，恒不为0，求x0

8.求lim(n!)n2

n

.9.设x

axb)2,试确定常数a和b的值.（共12页）第2页

10.设函数f(x)=limx2n1axb

n1x

2n连续，求常数a,b的值.11.若limsin6xxf(x)6f(xx0x30，求lim)

x0x2

.12.设lim

axsinx

x0c(c0),求常数a,b,c的值.xln(1t3)btdt

13.判断题：当x0时，x

1cost2

0t

是关于x的4阶无穷小量.114.设a为常数，且lim（ex

x0

2aarctan1

x)存在，求a的值，并计算极限.ex1

（共12页）第3页

215.设lim[

ln(1ex)x0

1a[x]]存在，且aN，求a的值，并计算极限.ln(1ex)

16.求n(a0).n

17.求limn2(a0,b0).

ln(1

f(x)

18.设lim)

x0

3x1

=5，求limf(x)x0x2.19.设f(x)为三次多项式，且xlim

f(x)f(x)f2ax2axlim4ax4a1，求xlim(x)

3ax3a的值.（共12页）第4页

24.设连续函数f(x)在[1,)上是正的，单调递减的，且

dnf(k)f(x)dx，试证明：数列dn收敛.n

n

20.设x1,求lim(1x)(1x2)(1x4n

n)

(1x2).21.试证明：(1)（1n1111+n)1





为递减数列；(2)n1ln(1n)n,n1,2,3,.limnn

22.求n3nn!

.23.已知数列：a1

112，a222，a32，22

a42

12

1的极限存在，求此极限.22

（共12页）第5页

k1

25.设数列xn，x0a，x1b，求limn

xn.26.求lima2n

n1a2n

.28.求limx

.x1

n2

(xn1xn2)(n2)，（共12页）第6页

29.设函数f(x)是周期为T(T0)的连续函数，且f(x)0,试证：

xlim1xx0f(t)dt1TT0f(t)dt.30.求lim1

1n0

x.en

(1x)n

n

31.设lim（1x)x

tetxx

dt，求的值.32.判断函数f(x)limxn1

nxn1的连续性.33.判断函数f(x.（共12页）第7页

34.设f(x)为二次连续可微函数，f(0)=0，定义函数

g(x)

f(0)当x0，试证：g(x)f(x)

x当x0连续可微.35.设f(x)在[a,b]上连续，f(a)f(b)，对x(a,b)，g(x)lim

f(xt)f(xt)

t0

t

存在，试证：存在c(a,b),使g(c)0.36.若f(x)为[a,b]上定义的连续函数，如果b

a[f(x)]2dx0，试证：

f(x)0(axb).37.设函数f(x)在x=0处连续，且lim

f(2x)f(x)

x0

x

A，试证：f(0)=A.（共12页）第8页

38.设f(x)在[a,b]上二阶可导，过点A(a,f(a))与B(b,f(b))的直线与曲线

yf(x)相交于C(c,f(c))，其中acb.试证：至少存在一点(a,b)，使得f()=0.39.设f(x)，g(x)，h(x)在axb上连续，在(a,b)内可导，试证：

f(a)

g(a)

h(a)

至少存在一点(a,b)，使得f(b)

g(b)h(b)=0,并说明拉格朗日中值 f()g()h()

定理和柯西中值定理是它的特例.40.试证明函数ysgnx在x[1,1]上不存在原函数.41.设函数f(x)=nf(x)的不可导点的个数.（共12页）第9页

42.设f(x(0x

),求f(x).43.设xn1(n1,2,3,)，0x13，试说明数列xn的极限存在.x0

44.求函数f(x)=sin1

x21

x(2x)的间断点.2cosx

x0

45.求曲线

3的斜渐近线.（共12页）第10页

1

46.求数列nn的最小项.

50.求lim

x.x0

sin1

x

47.求limtan(tanx)sin(sinx)

x0tanxsinx

.48.设f(x)在[0,2]上连续，在（0,2)内有二阶导数，且lim

f(x)

x1(x1)2

1，

f(x)dxf(2)，试证：存在(0,2)，使得f()=(1+1)f().49.试证：若函数f(x)在点a处连续，则函数f+(x)=maxf(x),0与

f-(x)=minf(x),0在点a处都连续.（共12页）第11页

12页）第12页

（共

第五篇：函数、极限和连续试题及答案

极限和连续试题（A卷）

1.选择题（正确答案可能不止一个）。（1）下列数列收敛的是（）。A.xnn1n(1)n

B.xn1n(1)n

C.xnnsinD.xn2n（2）下列极限存在的有（）。

A.lim1xsinx

B.xlimxsinx

C.lim11x02xD.limn2n21

（3）下列极限不正确的是（）。

A.lim(x1)2

B.lim1x1x0x11 12C.lim4x2xx2

D.xlim0e（4）下列变量在给定的变化过程中，是无穷小量的有（）。A.2x1(x0)

B.sinxx(x0)

2C.ex(x)

D.xx1(2sin1x)(x0)1（5）如果函数f(x)xsinx,x0;a,x0;在x0处连续，则a、b的值为（xsin1xb,x0.A.a0,b0

B.a1,b1 C.a1,b0

D.a0,b1 2.求下列极限：

（1）lim(x322x13x1)；

（2）xlim2(3x2x5)；

（3）lim1x(1x3)；

（4）limx30x2x2x；

x28x2（5）limx3x3；

（6）lim16x4x4；

（7）limx21x2x12x2x1；

（8）lim；

x2x2。）（9）limx0cosx1x1；

（10）lim；

xxxx33x1x43x1（11）lim；

（12）lim；

x3x3xx5x4x3x33x19x33x1（13）lim；

（14）lim； 42xxxxx1x3.（15）limx03xsin2x，x023.设f(x)2x1，0x1，求limf(x)，limf(x)，limf(x)，limf(x)。

1x0x3x1x3(x1)3，x124.证明：xsinx~x(x0)。

5.求下列函数的连续区间：

2x1,x1;（1）yln(3x)9x；

（2）y2

x1,x1.26.证明limx2x2不存在.x21xsin,x0;x7.设f(x)求f(x)在x0时的左极限，并说明它在x0时10x.sin,x右极限是否存在？

8.证明lim(n1n121n221nn2)存在并求极限值。

x21axb)0，求a、b的值。9.若lim(xx1

答案

1.（1）B；（2）BD；

（3）C；

（4）ACD ；（5）B.2.（1）-1；（2）3；（3）

21；（4）；（5）；（6）8；

36（7）21111；

（8）；（9）；（10）0；（11）；（12）； 323522（13）0；（14）；（15）

1.9x123.limf(x)3, limf(x)不存在, limf(x)x1x03, limf(x)11.2x35.（1）[3,3)；

（2）(,1)(1,).7.f(x)在x0时的左极限为0，在x0时右极限不存在。8.极限值为1.9.a1,b1.