2011突破难点(三十三)函数的连续及其应用

第一篇：2011突破难点(三十三)函数的连续及其应用

2011突破难点

（三十三）函数的连续及其应用

函数的连续性是新教材新增加的内容之一.它把高中的极限知识与大学知识紧密联在一起.在高考中，必将这一块内容溶入到函数内容中去，因而一定成为高考的又一个热点.本节内容重点阐述这一块知识的知识结构体系.●难点磁场

(x1)3 (★★★★)已知函数f(x)=x(x1)(1x1)

log(x1)(1x5)2(1)讨论f(x)在点x=－1,0,1处的连续性；(2)求f(x)的连续区间.●案例探究

x24［例1］已知函数f(x)=，x2(1)求f(x)的定义域，并作出函数的图象；(2)求f(x)的不连续点x0;(3)对f(x)补充定义，使其是R上的连续函数.命题意图：函数的连续性，尤其是在某定点处的连续性在函数图象上有最直观的反映.因而画函数图象去直观反映题目中的连续性问题也就成为一种最重要的方法.知识依托：本题是分式函数，所以解答本题的闪光点是能准确画出它的图象.错解分析：第(3)问是本题的难点，考生通过自己对所学连续函数定义的了解.应明确知道第(3)问是求的分数函数解析式.第 1 页 …… 共 6 页 技巧与方法：对分式化简变形，注意等价性，观察图象进行解答.解：(1)当x+2≠0时，有x≠－2 因此，函数的定义域是(－∞,－2)∪(－2,+∞)

x24当x≠－2时，f(x)= =x－2，x2其图象如上图

(2)由定义域知，函数f(x)的不连续点是x0=－2.(3)因为当x≠－2时，f(x)=x－2,所以limf(x)lim(x2)=－4.x2x2x24(x2)因此，将f(x)的表达式改写为f(x)=x2

4(x2)则函数f(x)在R上是连续函数.［例2］求证：方程x=asinx+b(a＞0,b＞0)至少有一个正根，且它不大于a+b.命题意图：要判定方程f(x)=0是否有实根.即判定对应的连续函数y=f(x)的图象是否与x轴有交点，因此根据连续函数的性质，只要找到图象上的两点，满足一点在x轴上方，另一点在x轴下方即可.本题主要考查这种解题方法.知识依托：解答本题的闪光点要找到合适的两点，使函数值其一为负，另一为正.错解分析：因为本题为超越方程，因而考生最易想到画图象观察，而忽视连续性的性质在解这类题目中的简便作用.证明：设f(x)=asinx+b－x, 则f(0)=b＞0,f(a+b)=a·sin(a+b)+b－(a+b)=a［sin(a+b)－1］≤0, 又f(x)在(0,a+b］内是连续函数，所以存在一个x0∈(0,a+b］，使f(x0)=0,即x0是方程f(x)=0的根，也就是方程x=a·sinx+b的根.因此，方程x=asinx+b至少存在一个正根，且它不大于a+b.●锦囊妙计

1.深刻理解函数f(x)在x0处连续的概念：

第 2 页 …… 共 6 页 等式limf(x)=f(x0)的涵义是：(1)f(x0)在x=x0处有定义，即f(x0)存在；(2)limf(x)xx0xx0存在，这里隐含着f(x)在点x=x0附近有定义；(3)f(x)在点x0处的极限值等于这一点的函数值，即limf(x)=f(x0).xx0函数f(x)在x0处连续，反映在图象上是f(x)的图象在点x=x0处是不间断的.2.函数f(x)在点x0不连续，就是f(x)的图象在点x=x0处是间断的.其情形：(1)limf(x)存在；f(x0)存在，但limf(x)≠f(x0);(2)limf(x)存在，但xx0xx0xx0f(x0)不存在.(3)limf(x)不存在.xx03.由连续函数的定义，可以得到计算函数极限的一种方法：如果函数f(x)在其定义区间内是连续的，点x0是定义区间内的一点，那么求x→x0时函数f(x)的极限，只要求出f(x)在点x0处的函数值f(x0)就可以了，即limf(x)=f(x0).xx0

●歼灭难点训练

一、选择题 1.(★★★★)若f(x)=3A.0x1x 1x12.(★★★★)设f(x)= 则f(x)的连续区间为（）21x21 1x11x1在点x=0处连续，则f(0)等于（）

C.1

D.0

32B.A.(0，2)

B.(0，1)D.(1，2)C.(0，1)∪(1，2)

二、填空题

x2ln(2x)3.(★★★★)lim =_________.x14arctanx第 3 页 …… 共 6 页

11x x04.(★★★★)若f(x)=处处连续，则a的值为_________.xabx x0

三、解答题

12x1(x0)5.(★★★★★)已知函数f(x)=1

x21(x0)1(1)f(x)在x=0处是否连续？说明理由；

(2)讨论f(x)在闭区间［－1,0］和［0,1］上的连续性.11x(x0)6.(★★★★)已知f(x)= xabx(x0)(1)求f(－x);(2)求常数a的值，使f(x)在区间(－∞,+∞)内处处连续.7.(★★★★)求证任何一个实系数一元三次方程a0x3+a1x2+a2x+a3=0(a0,a1,a2,a3∈R,a0≠0)至少有一个实数根.(x1)x 8.(★★★★)求函数f(x)=的不连续点和连续区间.1log(x)(x1)22

参考答案 难点磁场

解：(1)limf(x)=3, limf(x)=－1,所以limf(x)不存在，所以f(x)在x=－1处不x1x1x1连续，但limf(x)=f(－1)=－1, limf(x)≠f(－1),所以f(x)在x=－1处右连续，左不连x1x1第 4 页 …… 共 6 页 续

x1

所以limf(x)不存在，所以f(x)在x=1不连续，limf(x)=3=f(1), limf(x)不存在，x1x1但左连续，右不连续.又limf(x)=f(0)=0,所以f(x)在x=0处连续.x0(2)f(x)中，区间(－∞,－1),［－1,1］,(1,5］上的三个函数都是初等函数，因此f(x)除不连续点x=±1外，再也无不连续点，所以f(x)的连续区间是(－∞,－1),［－1,1］和(1,5].歼灭难点训练

一、1.解析：f(x)(31x)231x1(1x1)(1x1)[3(1x)231x1](1x1)[(1x)1x1][x11]3233

1x11113f(0)112

答案：A f(x)lim11 2.解析：limx1x1x1f(x)limx1,limf(x)1f(1)limx1x11 2即f(x)在x=1点不连续，显知f(x)在(0,1)和(1,2)连续.答案：C

二、3.解析：利用函数的连续性，即limf(x)f(x0)，xx0x2sin(2x)12sin(21)1lim x14arctan14arctan11答案：

4.解析:limf(x)lim11x11limx2x0x0x011x

1f(x)lim(abx)0,alim2x0x0第 5 页 …… 共 6 页 答案：

11(x0)1

三、5.解：f(x)=2x1

(x0)1 12(1)limf(x)=－1, limf(x)=1,所以limf(x)不存在，故f(x)在x=0处不连续.1x0x0x0(2)f(x)在(－∞,+∞)上除x=0外，再无间断点，由(1)知f(x)在x=0处右连续，所以f(x)在［

－1，0］上是不连续函数，在［0,1］上是连续函数.1x1(x0)6.解：(1)f(－x)= xabx(x0)(2)要使f(x)在(－∞,+∞)内处处连续，只要f(x)在x=0连续，limf(x)

x0= limx011xx11lim =limx2x0x(11x)x011xx0(a+bx)=a,因为要f(x)在x=0处连续，只要lim f(x)= limf(x)limf(x)=limx0x0x0x0= limf(x)=f(0),所以a=

7.证明：设f(x)=a0x3+a1x2+a2x+a3,函数f(x)在(－∞,+∞)连续，且x→+∞时，f(x)→+∞;x→－∞时，f(x)→－∞,所以必存在a∈(－∞,+∞),b∈(－∞,+∞),使f(a)·f(b)＜0,所以f(x)的图象至少在(a,b)上穿过x轴一次，即f(x)=0至少有一实根.8.解：不连续点是x=1,连续区间是(－∞,1),(1,+∞)

12第 6 页 …… 共 6 页

第二篇：分式函数难点

关于y=f（x）=x^2/1+x^2函数求值问题

如果记y=x^2/1+x^2=f（x），并且f（1）表示当x=1时y的值，即f（1）=1^2/1+1^2=1/2；f（1/2）表示当x=1/2时y的值，即f（1/2）=（1/2）^2/1+（1/2）^2=1/5，求f（1）+f（2）+f（1/2）+f（3）+f（1/3）+……+f（n）+f（1/n）的值（结果用含n的代数式表示，n为正整数）

解：

因为f（x）=x^2/1+x^2

所以f(1/x)=(1/x)^2/[1+(1/x)^2]上下乘x^2

=1/(1+x^2)

所以f(x)+f(1/x)=x^2/(1+x^2)+1/(1+x^2)=(1+x^2)/(1+x^2)=1 所以f(1)=1/(1+1)=1/2

f(2)+f(1/2)=1

……

f(n)+f(1/n)=1

所以f（1）+f（2）+f（1/2）+f（3）+f（1/3）+……+f（n）+f（1/n）

=1/2+1+1+……+1

=1/2+(n-1)

=n-1/2

第三篇：函数极限连续试题

····· ········密············································订·········线·································装·····系·····封················· ··················__ __：_ ：___： ___________名______________业_姓_____ _号_____ _：：___级_ ____别年专______学

· ·····密·········· ·············································卷···线·································阅·······封········································

函数 极限 连续试题

1.设f(x)

求

(1)f(x)的定义域;(2)12f[f(x)]2

;(3)lim

f(x)x0x

.2.试证明函数f(x)x3ex2

为R上的有界函数.3.求lim1nnln[(11n)(12

n)

(1nn)].4.设在平面区域D上函数f(x,y)对于变量x连续，对于变量y 的一阶偏导数有界，试证：f(x,y)在D上连续.（共12页）第1页

5.求lim（2x3x4x1

x03)x.1(1x)x

6.求lim[

x0e]x.7.设f(x)在[1,1]上连续，恒不为0，求x0

8.求lim(n!)n2

n

.9.设x

axb)2,试确定常数a和b的值.（共12页）第2页

10.设函数f(x)=limx2n1axb

n1x

2n连续，求常数a,b的值.11.若limsin6xxf(x)6f(xx0x30，求lim)

x0x2

.12.设lim

axsinx

x0c(c0),求常数a,b,c的值.xln(1t3)btdt

13.判断题：当x0时，x

1cost2

0t

是关于x的4阶无穷小量.114.设a为常数，且lim（ex

x0

2aarctan1

x)存在，求a的值，并计算极限.ex1

（共12页）第3页

215.设lim[

ln(1ex)x0

1a[x]]存在，且aN，求a的值，并计算极限.ln(1ex)

16.求n(a0).n

17.求limn2(a0,b0).

ln(1

f(x)

18.设lim)

x0

3x1

=5，求limf(x)x0x2.19.设f(x)为三次多项式，且xlim

f(x)f(x)f2ax2axlim4ax4a1，求xlim(x)

3ax3a的值.（共12页）第4页

24.设连续函数f(x)在[1,)上是正的，单调递减的，且

dnf(k)f(x)dx，试证明：数列dn收敛.n

n

20.设x1,求lim(1x)(1x2)(1x4n

n)

(1x2).21.试证明：(1)（1n1111+n)1





为递减数列；(2)n1ln(1n)n,n1,2,3,.limnn

22.求n3nn!

.23.已知数列：a1

112，a222，a32，22

a42

12

1的极限存在，求此极限.22

（共12页）第5页

k1

25.设数列xn，x0a，x1b，求limn

xn.26.求lima2n

n1a2n

.28.求limx

.x1

n2

(xn1xn2)(n2)，（共12页）第6页

29.设函数f(x)是周期为T(T0)的连续函数，且f(x)0,试证：

xlim1xx0f(t)dt1TT0f(t)dt.30.求lim1

1n0

x.en

(1x)n

n

31.设lim（1x)x

tetxx

dt，求的值.32.判断函数f(x)limxn1

nxn1的连续性.33.判断函数f(x.（共12页）第7页

34.设f(x)为二次连续可微函数，f(0)=0，定义函数

g(x)

f(0)当x0，试证：g(x)f(x)

x当x0连续可微.35.设f(x)在[a,b]上连续，f(a)f(b)，对x(a,b)，g(x)lim

f(xt)f(xt)

t0

t

存在，试证：存在c(a,b),使g(c)0.36.若f(x)为[a,b]上定义的连续函数，如果b

a[f(x)]2dx0，试证：

f(x)0(axb).37.设函数f(x)在x=0处连续，且lim

f(2x)f(x)

x0

x

A，试证：f(0)=A.（共12页）第8页

38.设f(x)在[a,b]上二阶可导，过点A(a,f(a))与B(b,f(b))的直线与曲线

yf(x)相交于C(c,f(c))，其中acb.试证：至少存在一点(a,b)，使得f()=0.39.设f(x)，g(x)，h(x)在axb上连续，在(a,b)内可导，试证：

f(a)

g(a)

h(a)

至少存在一点(a,b)，使得f(b)

g(b)h(b)=0,并说明拉格朗日中值 f()g()h()

定理和柯西中值定理是它的特例.40.试证明函数ysgnx在x[1,1]上不存在原函数.41.设函数f(x)=nf(x)的不可导点的个数.（共12页）第9页

42.设f(x(0x

),求f(x).43.设xn1(n1,2,3,)，0x13，试说明数列xn的极限存在.x0

44.求函数f(x)=sin1

x21

x(2x)的间断点.2cosx

x0

45.求曲线

3的斜渐近线.（共12页）第10页

1

46.求数列nn的最小项.

50.求lim

x.x0

sin1

x

47.求limtan(tanx)sin(sinx)

x0tanxsinx

.48.设f(x)在[0,2]上连续，在（0,2)内有二阶导数，且lim

f(x)

x1(x1)2

1，

f(x)dxf(2)，试证：存在(0,2)，使得f()=(1+1)f().49.试证：若函数f(x)在点a处连续，则函数f+(x)=maxf(x),0与

f-(x)=minf(x),0在点a处都连续.（共12页）第11页

12页）第12页

（共

第四篇：高等数学难点总结函数

函数（高等数学的主要研究对象）

极限：数列的极限（特殊）——函数的极限（一般）

极限的本质是通过已知某一个量（自变量）的变化趋势，去研究和探索另外一个量（因变量）的变化趋势

由极限可以推得的一些性质：局部有界性、局部保号性……应当注意到，由极限所得到的性质通常都是只在局部范围内成立

在提出极限概念的时候并未涉及到函数在该点的具体情况，所以函数在某点的极限与函数在该点的取值并无必然联系

连续：函数在某点的极限 等于 函数在该点的取值 连续的本质：自变量无限接近，因变量无限接近

导数的概念

本质是函数增量与自变量增量的比值在自变量增量趋近于零时的极限，更简单的说法是变化率

微分的概念：函数增量的线性主要部分，这个说法有两层意思，一、微分是一个线性近似，二、这个线性近似带来的误差是足够小的，实际上任何函数的增量我们都可以线性关系去近似它，但是当误差不够小时，近似的程度就不够好，这时就不能说该函数可微分了

不定积分：导数的逆运算

什么样的函数有不定积分

定积分：由具体例子引出，本质是先分割、再综合，其中分割的作用是把不规则的整体划作规则的许多个小的部分，然后再综合，最后求极限，当极限存在时，近似成为精确 什么样的函数有定积分

求不定积分（定积分）的若干典型方法：换元、分部，分部积分中考虑放到积分号后面的部分，不同类型的函数有不同的优先级别，按反对幂三指的顺序来记忆

定积分的几何应用和物理应用

高等数学里最重要的数学思想方法：微元法

微分和导数的应用：判断函数的单调性和凹凸性

微分中值定理，可从几何意义去加深理解

泰勒定理：本质是用多项式来逼近连续函数。要学好这部分内容，需要考虑两个问题：

一、这些多项式的系数如何求？

二、即使求出了这些多项式的系数，如何去评估这个多项式逼近连续函数的精确程度，即还需要求出误差（余项），当余项随着项数的增多趋向于零时，这种近似的精确度就是足够好的

第五篇：20120525突破作文难点

作文辅导教程：突破作文难点，引导思维规律龙门中心小学白锋艺小学生作文以写记叙文为主。记叙文的内容详略得当才能重点突出，才能很好地表达文章的中心思想。

但是，学生往往不分主次，要么都很简略、空泛；要么处处详写，繁琐冗长；甚至主次颠倒，喧宾夺主。总之，如何做到有详有略，详细得当，成了提高学生作文水平的一个难点。怎样突破这个难点呢?我是这样指导的。一是布置观察提纲，使学生有详有略地进行观察；二是指导学生拟定作文提纲，教给详写和略写的方法。比如写《参观自然博物馆》这篇作文。这里展出了成千上万的生物标本，学生写作的难点就是怎样选取素材，怎样安排详略。为了备好课，我分三步走。我事先去参观以便做到心中有数,学生观察什么?怎样观察?记些什么?指导课上突破什么难点?老师的头脑中要有蓝图。回来后给学生上参观前的“预备课”，课上指导以下几点：

1介绍展览室的布局与内容。

2指导怎么看，提三点要求：

①按展厅的空间位置观察。

②分门分类地看(有的浏览，有的详看。)

③注意观察生物的特点。

3指导参观时记哪些内容。

①浏览的内容，只记自己喜爱的生物名称。(展出的系目有“门、纲、目、科、属、种”如腔肠动物门、节肢动物门、昆虫纲等，学生记起来困难。)

②细致观察的动物，从各展室中选自己最喜欢的一两种生物的名称、形状、颜色、神态记下来。

③把同学们参观时赞美的语言及自己的想法，感情摘记下来。

第二步参观时做现场指导。讲解必要的知识，提示要点。学生边看边记，边听边想。有的粗看，有的细看，有的记得多，有的记得少。观察的粗细，记录的多少，为作文的详略做了必要的准备。

第三步是作文指导课。课上，我和同学们共同回忆参观时的情景，在头脑中重现了一幅幅的画面。我引导学生谈参观的感受，他们都说，大自然是美好的，是奇妙无穷的，激起了他们对大自然的热爱和探索的兴趣。这实际上是确定了文章的中心思想。然后指导学生按参观的顺序组织、选取材料，围绕中心安排详略。同学们凭借参观时的印象和手头的摘记，对于自己最喜爱的那一两种动物，写得都比较详细、具体。对于三个展厅的主要内容都能简略地记叙。作文中的难点迎刃而解了。

文章有了详略，如何进一步把详写部分写得具体、形象，还需要老师进一步指导。下面是一位同学作文中略写部分：

“我们怀着好奇心，来到了动物陈列第二室。这里是飞禽走兽的天下，左边展出的为鸟类，右边是兽类。

兽类中有长着大犄角的牦牛，有戴着„太阳眼镜‟和„黑耳套‟的大熊猫；有顽皮的猴子；鸟类中有美丽的孔雀，有善于学舌的八哥。我们看了，发出了一阵阵的笑声。”

下面是详写的段落：

“……鸟类中的大犀鸟更是奇特。那巨大的鸟从头到尾足有一米多长；胸腹部乌黑色，脖子金黄色；两翼和长尾的斑纹黑白相间，有一个桔红色的大嘴。在灯光的映照下全身闪闪发亮，真是雄姿勃勃，不愧为鸟类的雄杰，同学们看了都赞不绝口。”

再如，写一种动物也有详略之分。下面是一位同学描述昆虫类---蝴蝶的段落：

“哎呀!真好看啊!展橱里各式各样的蝴蝶把我吸引住了。一只只蝴蝶像五彩缤纷的花朵争妍斗艳，多漂亮呀!有金裳翼凤蝶、兰屿乌凤蝶、三尾褐风蝶等等。其中，重月纹凤蝶最漂亮。从„说明‟上了解到它也最珍贵。这种蝶前翅乌黑，上面布满了黄绿色的小点点，就像夜空中

闪烁的星星。它的后翅更美，灿烂的青蓝色斑点，边缘上还镶着朱红色的弦月纹，真是绝色佳品。怪不得人们把蝴蝶叫做会飞的花，真是名不虚传。”

这一段先概述蝴蝶种类很多，然后细致描写了一只蝴蝶。

在写《参观菊展》这篇作文时，学生描写菊花常常用“真美丽呀”“五颜六色”“争奇斗艳”等词语笼统地概括。怎样描绘一朵菊花，是这篇文章的详写部分，也是难点，我是这样指导的：

1写出菊花的名称。

2描写全貌(花朵的大小、颜色、样子)。

3描写花瓣的形状(有管状、丝状、条状、勺状)。

4写花的姿态(伸展的、弯曲的、上伸的、下垂的、四射的……)

5写看花时的感受。

学生按这些内容细致地观察、记述，尽管每一部分的语句不多，也能把一朵花写得形象了。上面的指导，不是死板的公式，是灵活的，根据人们观察事物的习惯和规律教给学生观察和记叙的方法。

人们第一眼看到的往往是花的颜色及花朵的姿态，花的神韵。细看时，才注意到花茎上挂着个小牌子，上面有花的名称。按这样的顺序写，显得更真实，更自然。学生运用这种方法独立思考，独立选材，使其个性有合理的表现余地，写出来的作文才不千篇一律。同时，也有助于转变那种说假话、说套话的文风。突破一个难点，学生就能举一反三。

再如写《一堂体育课》这篇作文。这节课的内容是“跳山羊”。一堂课的内容安排有“整队”、“做准备活动”，主要内容则是“练习跳山羊”。而在练习过程中，有“教师的示范动作”，有“其他同学怎样练习跳”，有“自己怎样练习跳”。“自己怎么跳”是这篇作文中的详写部分，也是这篇作文的难点。

我就重点指导写“一个同学„怎么跳‟”。我提示学生，无论写他人或自己都要按“跳之前”、“跳之中”、“跳之后”的顺序。写他人要注意观察人物的神情、动作及场上的气氛；写自己还要注意表达自己的心情。

下面是一位五年级学生写的重点段：

“下面轮到白云同学跳了，只见他脸上带着微笑，走到助跑的地方，没有一点紧张的神情。他一弓腰便开始跑了起来，步子逐渐加快，当他跑到踏跳板跟前，双脚在上面重重一踏，身子便腾空而起，双手好像只在山羊背上轻轻一沾，身子就像一只灵巧的小燕子跃了过去。双脚便稳稳地落在柔软的垫子上，然后双臂举起。全场同学不约而同地喊了声„好!‟，接着爆发出一阵热烈的掌声。”

叙事作文口诀

叙事作文是基础，三段写法要牢记。叙述方式有三种，顺叙倒叙和插叙。顺叙记事容易学，起因经过和结果；开头交代四要素，时间地点和人物； 事件起因点明白，经过具体写出来；结尾交代事结束，首尾内容要略写。倒叙方法变化多，结果提前是妙着；开头回忆多变化，结尾照应好处多。中间具体叙述事，细节描写要有趣；过渡照应衔接紧，线索清楚最要紧。选材要选新鲜事，话语实在感情真；话不在多而在精，事不在多而在新。一篇文章一主题，串串事例不离题；层次分明条理清，详写略写心里明。