初三数学T05一元二次方程的概念与解法

第一篇：初三数学T05一元二次方程的概念与解法

一元二次方程的概念与解法

【知识要点】

1． 一元二次方程的概念

只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程。

2.一元二次方程的一般形式：

ax2bxc0（a0）是一元二次方程的一般形式.3．一元二次方程的解法主要有直接开方法、配方法、公式法、因式分解法.4．解一元二次方程，直接开平方法是一种特殊方法，配方法与求根公式法是一般方法，对于任何一元二次方程都可使用。解题的关键是要根据方程系数的特点及方程的不同形式，选择适当的方法，使解法简捷．

【经典例题】

例1．判断下列方程是不是一元二次方程：

（1）x2y1（2）

（5）a1x2k1（a、k是常数）（6）x1x2x1x22x1x1

例2．用直接开方法解下列方程:

(1)2x80

例3．用配方法解下列方程:

(1)x6x160

例4 用公式法解下列方程:

(1)2x3x102224212xx3xy10（3）（4）2x1(2)(x5)2360(3)(x4)(x4)8(3)2x5x1 2(2)x2x30

2例5用因式分解法解下列方程：(1)2x5x20

例6用恰当的方法解下列方程：(1)(4x2)2x(2x1)

例7解关于x的一元二次方程：(1)x2(m3)xm6m80

(2)(x3)(x7)9(3)(2y1)28(2y1)150

(2)x2(2)x20

(2)(m1)x3xm20(m1)

【经典练习】

一、选择题

1.下列方程中,常数项为零的是()

A.x+x=1B.2x-x-12=12；C.2(x-1)=3(x-1)D.2(x+1)=x+2 2．下列方程是一元二次方程的是（）.A．3x2y1C．4x

B.5x3x10 D.axbxc0

3x

3．已知x1是一元二次方程x2mx10的一个解，则m的值是（）

A．1 B.0

C.0或

1D.0或-1

4.用配方法解关于x的一元二次方程xpxq0时，此方程可变形为（）.pp24q

A．x

24

p4qp2

B.x

24

pp24q

C．x

24

p4qp2

D.x

24

12x32

25.下列方程:①x=0,②2-2=0,③2x+3x=(1+2x)(2+x),④3x

-8x+ 1=0中,一元二次方程的个

xx

数是()

A.1个B2个C.3个D.4个

6.把方程（+(2x-1)=0化为一元二次方程的一般形式是()

A.5x-4x-4=0B.x-5=0C.5x-2x+1=0D.5x-4x+6=0

二、填空题

1．方程xx616的解为.(x1)2

53x化为一元二次方程的一般形式是________,它的一次项系数是______.2.方程

23.如果2x+1与4x-2x-5互为相反数,则x的值为________.4．方程：x1x2x30的根是.三、解答题

1．用适当的方法解方程.（1）42x19（2）x2x1（3）x13xx1

(4)3y+1=;(5)(x-a)=1-2a+a(a是常数)（6）

2．用配方法证明：代数式3xx1的值不大于

1

x1x216 2

.12

3．阅读材料，并解答后面的问题：

材料：在解方程x215x2140时，我们将x1视为一个整体，然后设x21y，这样，原方程可化为y25y40①；解①得y11,y24.当y1时，即x1=1，解得x5 综合得：原方程的解是：x解答下列问题：

（1）填空：在由原方程得到方程①的过程中，利用方法，达到降次的目的。（2）应用上述解题方法解方程y4y260.



2,x22,x3,x4.4.已知关于x的一元二次方程x+mx+n=0的一个解是2,另一个解是正数, 而且也是方程(x+4)-52=3x的解,你能

求出m和n的值吗?

5.你能用所学知识解下面的方程吗?试一试：2x+5│x│-12=0.作业

1．用恰当的方法解方程（1）x3x16x4

（3）．x26x0．（4）3xx122x

（5）(2t1)5(2t1)60

2．用配方法证明：x4y2x4y3的值不小于1.（2）x225x20



（6）xx2k(x2x)0(k1)

第二篇：一元二次方程的解法小结

一元二次方程的解法小结

【学习目标】

1.会选择利用适当的方法解一元二次方程；

2.体验解决问题方法的多样性，灵活选择解方程的方法．

【前置学习】

一、自主学习（自主探究）：

1.独立思考·解决问题

解下列方程：

（1）；

（2）x2＋2x＝0；

（3）3x（x－2）＝2（x－2）

（4）（x＋3）2＝（2x－5）2；

（5）x2－x＋1＝0；

（6）（x－2）（x＋3）＝66．

2.合作探究·解决问题

通过对以上方程的解法，你能说出解一元二次方程的基本思路，总结出对于不同特点的一元二次方程选择什么样的方法去解了吗？

知识汇总

（1）.解一元二次方程的基本思路是：将二次方程化为，即

．

（2）.一元二次方程主要有四种解法，它们的理论根据和适用范围如下表：

方法名称

理论根据

适用方程的形式

直接开平方法

平方根的定义

配方法

完全平方公式

公式法

配方法

因式分解法

两个因式的积等于0，那么这两个因式至少有一个等于0

（3）.一般考虑选择方法的顺序是：

法、法、法或

法

二、疑难摘要：

【学习探究】

一、合作交流，解决困惑：

1.小组交流：（在小组内说说通过自主学习，你学会了什么？你的疑难与困惑是什么？请同伴帮你解决.）

2.班级展示与教师点拨：

展示1：用直接开方法解方程：（1）；

（2）．

展示2：用因式分解法解方程：（1）；

（2）．

展示3：用配方法解方程：（1）；

（2）．

展示4：用公式法解方程：（1）；

（2）．

二、反思与总结：本节课你学会了什么？你有哪些收获与体会？

【自我检测】

选择适当的方法解下列方程:

1.x2－3x＝0；

2.x2＋2x－8＝0；

3.3x2＝4x－1；

4.（x－2）（x－3）＝6；

5.（2x－1）2＝4x－2；

6.（3x－1）2＝（x＋5）2；

7.x2-7x＝0；

8.x2＋12x＝27；

9.x（x－2）－x＋2＝0；

10.；

11.．

12.(3x-1)(x-1)=(4x+1)(x-1)

第三篇：一元二次方程解法教学反思

用公式法解一元二次方程教学反思

张春元

通过本节课的教学，使我真正认识到了自己课堂教学的成功与失败。对我今后课堂教学有了一定引领方向有了很大的帮助。下面我就谈谈自己对这节课的反思。

本节课的重点主要有以下3点：

1.找出a,b,c的相应的数值

2.验判别式是否大于等于0

3.当判别式的数值符合条件,可以利用公式求根.在讲解过程中,我没让学生进行(1)(2)步就直接用公式求根,第一次接触求根公式,学生可以说非常陌生,由于过高估计学生的能力,结果出现错误较多.1、a,b,c的符号问题出错,在方程中学生往往在找某个项的系数时总是丢掉前面的符号

2、求根公式本身就很难,形式复杂,代入数值后出错很多.其实在做题过程中检验一下判别式着一步单独挑出来做并不麻烦,直接用公式求值也要进行,提前做着一步在到求根公式时可以把数值直接代入.在今后的教学中注意详略得当,不该省的地方一定不能省,力求收到更好的教学效果

3、板书不太理想。板书可以说在课堂教学也起关键作用，它可以帮学生温习本课的内容，而我许多本该板书的内容全部反映在大屏幕上，在继续讲一下个内容时，这些内容也就不会再出现，只给学生瞬间的停留，这样做也有欠妥当。

4、本节课没有激情，学习的积极性调动不起来，对学生地鼓励性的语言过于少，可以说几乎没有。

第四篇：初三数学一元二次方程

《一元二次方程的解》

知识回顾：

1、整式方程中只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，这样的方程叫做一元二次方程。

2、一般地，任何一个关于x的一元二次方程都可以化成ax2+bx+c=0（a，b，c为常数，a≠0）的形式，我们称之为一元二次方程的一般形式。

探究新知：

认识了一元二次方程，接下来我们就要探求一元二次方程的解。

方程解的定义是怎样的呢？

能使方程左右两边相等的未知数的值就叫方程的解。

问题1：要组织一次排球邀请赛，参赛的每两队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参加比赛？

解：设邀请了x个队参加比赛，根据题意得：

1/2x（x-1）=28

即：x2-x=56

当x=8时，x2-x=56，所以，x=8是x2-x=56的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根。思考：

你能否说出下列方程的解？

（1）x2-36=0（2）x2+36=0（3）（x-6）2=0

练习：

1、下面哪些数是方程x2-x-6=0的根？

-4-3-2-1012342、你能写出方程x2-x=0的根吗？（即：平方后是它本身的数是哪些？）

例题讲解

例1：已知关于x的一元二次方程（a-1）x2+x+a2-1=0的一根是0，则a的值为（）。

A、1B、-1C、1或-1D、0

例2：关于x的方程（m+2）2x2+3m2x+m2-4=0有一根为0，则2m2-4m+3的值为多少？

例3：已知m，n都是方程x2+2006x-2008=0的根，试求（m2+2006m-2007）（n2+2006n+2007）的值。

练习：

1、若a+b+c=0，则一元二次方程ax2+bx+c=0必有一解为_____。

2、若a-b+c=0，则一元二次方程ax2+bx+c=0必有一解为_____。

3、若4a+2b+c=0，则一元二次方程ax2+bx+c=0必有一解为_____。

4、根据下表的对应值，试判断一元二次方程ax2+bx+c=0的一解的范围是（）

A、3＜x＜3.23B、3.23＜x＜3.24C、3.24＜x＜3.25D、3.25＜x＜3.26

小结：

1、认识了一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根。

2、会检验一个数是不是一个一元二次方程的根。

3、能根据一元二次方程的根的定义代入方程求出待定字母的取值。

第五篇：一元二次方程解法——因式分解、配方法

一元二次方程解法——因式分解、配方法

知识点回顾：

定义：只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程．

一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0）．这种形式叫做一元二次方程的一般形式．

一个一元二次方程经过整理化成ax2+bx+c=0（a≠0）后，其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项．

解法一 ——直接开方法

适用范围：可解部分一元二次方程

直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法。用直接开平方法解形如(x-m)^2=n(n≥0)的方程，其解为x=m±√n

归纳小结：

共同特点：把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程．•我们把这种思想称为“降次转化思想”．由应用直接开平方法解形如x2=p（p≥0），那么x=

转化为应用直接开平方法解形如（mx+n）

2=p（p≥0），那么mx+n=，达到降次转化之目的．若p＜0则方程无解

自主练习：1：用直接开平方法解下列方程：

（1）x2225；（2）(x1)2

9；

（3）(6x1)2

250．（4）4(x2)2

810

（5）5(2y1)2

180；（61(3x1)264；（7）6(x2)2

41；

2.关于x的方程x29a212ab4b2

0的根x1，x2．

3.关于x的方程x2

2axb2

a2

0的解为解法二——分解因式法

适用范围：可解部分一元二次方程

因式分解法又分“提公因式法”、“公式法（又分“平方差公式”和“完全平方公式”两种）”和“十字相乘法”。因式分解法是通过将方程左边因式分解所得，因式分解的内容在八年级上学期学完。解下列方程．

（1）2x2+x=0（2）3x2+6x=0

上面两个方程中都没有常数项；左边都可以因式分解:

2x2+x=x（2x+1），3x2+6x=3x（x+2）因此，上面两个方程都可以写成：

（1）x（2x+1）=0（2）3x（x+2）=0

因为两个因式乘积要等于0，至少其中一个因式要等于0，也就是：

（1）x=0或2x+1=0，所以x11=0，x2=-

2．（2）3x=0或x+2=0，所以x1=0，x2=-2．

因此，我们可以发现，上述两个方程中，其解法都不是用开平方降次，而是先因式分解使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次，这种解法叫做因式分解法． 例1．解方程

（1）4x2=11x（2）（x-2）2=2x-4分析：（1）移项提取公因式x；（2）等号右侧移项到左侧得-2x+4提取-2因式，即-2（x-2），再提取公因式x-2，便可达到分解因式；一边为两个一次

式的乘积，•另一边为0的形式解：（1）移项，得：4x2-11x=0

因式分解，得：x（4x-11）=0于是，得：x=0或4x-11=0

x111=0，x2=

（2）移项，得（x-2）2-2x+4=0

（x-2）2-2（x-2）=0因式分解，得：（x-2）（x-2-2）=0整理，得：（x-2）（x-4）=0于是，得x-2=0或x-4=0x1=2，x2=

4例2．已知9a

2-4b2

=0，求代数式aba2b2

baab的值．

分析：要求aba2bb2

aab的值，首先要对它进行化简，然后从已知条

件入手，求出a与b的关系后代入，但也可以直接代入，因计算量比较大，比

较容易发生错误．

解：原式=

a2b2a2b2ab2b

a

∵9a2-4b2=0

∴（3a+2b）（3a-2b）=0

3a+2b=0或3a-2b=0，a=-23b或a=23b当a=-23b时，原式=-2b

=3，当a=2b时，原式23=-3．

3b

例3．（十字相乘法）我们知道x2-（a+b）x+ab=（x-a）（x-b），那么x2-（a+b）x+ab=0就可转化为（x-a）（x-b）=0，请你用上面的方法解下列方程．

（1）x2-3x-4=0（2）x2-7x+6=0（3）x2+4x-5=0

上面这种方法，我们把它称为十字相乘法． 一：用因式分解法解下列方程：(1)y2

＋7y＋6＝0；(2)t(2t－1)＝3(2t－1)；

(3)(2x－1)(x－1)＝1．(4)x2

＋12x＝0；

(5)4x2－1＝0；(6)x2

＝7x；

(7)x2

－4x－21＝0；(8)(x－1)(x＋3)＝12；

(9)3x2＋2x－1＝0；(10)10x2

－x－3＝0；

(11)(x－1)2

－4(x－1)－21＝0．

解法三——配方法

适用范围：可解全部一元二次方程引例：：x2+6x-16=0

x2+6x-16=0移项→x2+6x=16

两边加（6/2）2使左边配成x2+2bx+b2的形式 → x2+6x+32=16+9

左边写成平方形式 →（x+3）=25降次→x+3=±5 即 x+3=5或x+3=-5解一次方程→x1=2，x2=-8 像上面的解题方法，通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫配方拓展题．用配方法解方程（6x+7）2（3x+4）（x+1）=6

分析：因为如果展开（6x+7）2，那么方程就变得很复杂，如果把（6x+7）

看为一个数y，那么（6x+7）=y2，其它的3x+4=6x+7）+

211，x+1=6x+7）26

-，因此，方程就转化为y•的方程，像这样的转化，我们把它称为换元法． 6

1111y+，x+1=y-解：设6x+7=y则3x+4=

法．

可以看出，配方法是为了降次，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解．

配方法解一元二次方程的一般步骤：(1)先将已知方程化为一般形式；（2）化二次项系数为1；（3）常数项移到右边；（4）方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式；（5）变形为(x+p)2=q的形式，如果q≥0，方程的根是x=-p±√q；如果q＜0,方程无实根．

用配方法解一元二次方程小口诀

二次系数化为一；常数要往右边移；一次系数一半方；两边加上最相当 例1．用配方法解下列关于x的方程（1）x2-8x+1=0（2）x2-2x-

=0分析：（1）显然方程的左边不是一个完全平方式，因此，要按前面的方法化为完全平方式；（2）同上．

例3．解下列方程

（1）2x2+1=3x（2）3x2-6x+4=0（3）（1+x）2+2（1+x）-4=0

分析：我们已经介绍了配方法，因此，我们解这些方程就可以用配方法来 完成，即配一个含有x的完全平方．

2266

依题意，得：y2（12y+12）（16y-

16）=6

去分母，得：y2（y+1）（y-1）=72

y2（y2-1）=72，y4-y2=72

（y2-12）2=2894y2-1172=±2

y2=9或y2=-8（舍）

∴y=±3

当y=3时，6x+7=36x=-4x=-

当y=-3时，6x+7=-36x=-10x=-53

所以，原方程的根为x2

51=-3，x2=-3

例5.求证:无论y取何值时,代数式-3 y2+8y-6恒小于0.一元二次方程解法——因式分解、配方法

2013-7-14***（李老师）姓名：

（一）1．下面一元二次方程解法中，正确的是（）．A．（x-3）（x-5）=10×2，∴x-3=10，x-5=2，∴x1=13，x2=7

B．（2-5x）+（5x-2）2=0，∴（5x-2）（5x-3）=0，∴x2

31=5，x2=

5C．（x+2）2+4x=0，∴x1=2，x2=-2D．x2=x两边同除以x，得x=

12．下列命题①方程kx2-x-2=0是一元二次方程；②x=1与方程x2=1是同解方程；③方程x2=x与方程x=1是同解方程；④由（x+1）（x-1）=3可得x+1=3或x-1=3，其中正确的命题有（）．

A．0个B．1个C．2个D．3个

3．如果不为零的n是关于x的方程x2-mx+n=0的根，那么m-n的值为（）．A．-

12B．-1C．1

D．1 4．x2-5x因式分解结果为_______；2x（x-3）-5（x-3）因式分解的结果是______．

5．方程（2x-1）

2=2x-1的根是________．

6．二次三项式x2+20x+96分解因式的结果为________

；如果令x2+20x+96=0，那么它的两个根是_________．

8．用因式分解法解下列方程．

（1）3y2-6y=0（2）25y2-16=0

（3）x2-12x-28=0（4）x2-12x+35=0

9．已知（x+y）（x+y-1）=0，求x+y的值．

（二）1．配方法解方程2x2-

4x-2=0应把它先变形为（）．A．（x-13）2=89B．（x-221281210

3）=0C．（x-3）=9D．（x-3）=9

2．下列方程中，一定有实数解的是（）．

A．x2+1=0B．（2x+1）2=0C．（2x+1）2+3=0D．（x-a）22

=a 3．已知x2+y2+z2-2x+4y-6z+14=0，则x+y+z的值是（）．A．1B．2C．-1D．-2 4．将二次三项式x2-4x+1配方后得（）A．（x-2）2+3B．（x-2）2

．

-3C．（x+2）2+3D．（x+2）2-3 5．已知A．x2x2-8x+15=0-8x+（-4）2，左边化成含有=31B．x2x的完全平方形式，其中正确的是（-8x+（-4）2=1C．x2+8x+42=1D．x2）．

-4x+4=-116．如果mx2+2（3-2m）x+3m-2=0（m≠0）的左边是一个关于x的完全平方式，则m等于（）．

A．1B．-1C．1或9D．-1或9 7．方程x2+4x-5=0的解是________． 8.方程x2



x10左边配成一个完全平方式，所得的方程是． 9．代数式x2x2

x21的值为0，则x的值为________．

10．已知（x+y）（x+y+2）-8=0，求x+y的值，若设x+y=z，则原方程可变为_______，所以求出z的值即为x+y的值，所以x+y的值为______．

11．无论x、y取任何实数，多项式x2+y2-2x-4y+16的值总是_______数． 12．如果16（x-y）2+40（x-y）+25=0，那么x与y的关系是________． 13．用配方法解方程．

（1）9y2-18y-4=0

（2）x2

（3）x2

x10（4）3x2

6x10

（5）(x1)22(x1)

14．如果x-4x+y2

（6）2x25x40 0

（4）x23x2（5）(2x＋3)－25＝0.（6）2x27x20（7）（x-1）=2x-2（8）6x2-x-2=0，求（xy）的值．

z

15.用配方法证明：

（1）a2

a1的值恒为正；（2）9x2

8x2的值恒小于0．

（3）多项式2x4

4x2

1的值总大于x4

2x2

4的值．

16.用适当的方法解下列方程

（1）x2

-4x-3=0（2）（3y-2）2

=36（3）x2-4x+4=0

（9）(3x+1)2=7

（11）4(x+2)2-9(x-3)2=0

（13）3x2

+1=2

x（10）9x2-24x+16=11

（12）(x+5)(x-5)=3（14）(2x+3)2+5(2x+3)-6=0