高一数学教案：3.4.2 换底公式(北师大版必修1)（精选五篇）

第一篇：高一数学教案：3.4.2 换底公式(北师大版必修1)

对数换底公式

一、新课引入：

已知lg2=0.3010,lg3=0.4771,求log56=?

像log56这样的对数值是不能直接从常用对数表中查出的。能不能将以5为底的对数，换成以10为底的对数呢？这就要学习对数换底公式。什么是对数换底公式？怎样用我们所掌握的知识来

二、新课讲解： *logaNlogbNlogab 公式：x证明：设xlogbN，则bN

xlogablogaNxlogaNlogaNlogbNlogab,即logab。

1、成立前提：b>0且b≠且a≠

12、公式应用：“换底”，这是对数恒等

10为底。

3eNe=2.71828

例11：logablogba

1nlogablogabm2：n

m

例

2、求下列各式的值。X k b 1.c o m

（1）、log98•log3227

（2）、（log43+log83）•(log32+log92)

(3)、log49•log

32(4)、log48•log39

(5)、（log2125+log425+log85）•(log52+log254+log1258)

例

3、若log1227=a,试用a表示log616.解：法

一、换成以2为底的对数。

法

二、换成以3为底的对数。

法

三、换成以10为底的对数。

练习：已知log189=a,18b=5,求log3645。

例

4、已知12x=3,12y=2,求812x

1xy的值。

22logalogb5,logbloga•b的8484练习：已知

值；

例

5、有一片树林，现有木材220002.5%，求1

5解：设15年后约有木材 A=22000（×1.02515

∴答：15年后约有木材131840方。

练习：

1、某种细菌在培养过程中，每20分钟分裂一次（一个分裂为两个），经过3小时，这种细菌由1个可繁殖成（）个。

2、在一个容积为a升的容器里满盛着酒精。先向外倒出x升，再用水注满；第二次又倒出x升溶液，再用水注满；如此操作t次后，容器里剩余的纯酒精为b升，试用含有a、b、t的式子表示x。logaNlogbN

三、小结：对数换底公式：

logab

第二篇：换底公式的说课稿

3.4.2 “换底公式”说课稿

瀛湖中学 李善斌

教材分析

本课是在学习了对数的概念和运算性质的基础上来研究换底公式，利用换底公式统一对数底数，即“化异为同”是解决有关对数问题的基本思想方法，一般利用它将对数转化为常用对数或自然对数来计算；在具体解题过程中，不仅要能正用换底公式，还要能熟练地逆用换底公式.另外还安排了两个对数的应用问题，使学生进一步认识到数学在现实生活、生产中的重要作用.教材通过实例研究引出换底公式，既明确学习换底公式的必要性，同时也在公式推导中应用对数的概念和对数的运算性质，在教学中可以根据学生的不同基础适当地增加具体实例，便于学生理解换底公式的本质，培养学生从具体的实例中抽象出一般公式的能力.学情分析： 对数是一个全新的概念，对数运算是一种类似于但又不同于实数的加减乘除运算及指数运算的全新运算.要探究并证明对数换底公式，学生是有相当难度的，但是通过前两节的学习，学生能够利用对数定义及对数的运算性质进行对数式与指数式的相互转化、对数计算，之前学生还熟知指数的运算性质.有这些已有知识作为基础，教师再设计合理的导学案，是能让学生主动参与课堂的，并能自主完成对数换底公式其性质的探究、发现、证明、应用的全过程的.教学目标

一、知识与技能 1.掌握换底公式，会用换底公式将一般的对数化为常用对数或自然对数，并能进行一些简单的化简和证明.2.能将一些生活实际问题转化为对数问题并加以解答.二、过程与方法

1.结合实例引导学生探究换底公式，并通过换底公式的应用，使学生体会化归与转化的数学思想.2.通过师生之间、学生与学生之间互相交流探讨，培养学生学会共同学习的能力.3.通过应用对数知识解决实际问题，帮助学生确立科学思想，进一步认识数学在现实生活、生产中的重要作用.三、情感态度与价值观

1.通过探究换底公式的概念，使学生体会知识之间的有机联系，感受数学的整体性，激发学生的学习兴趣，培养学生严谨的科学精神.2.在教学过程中，通过学生的相互交流，培养学生灵活运用换底公式的能力，增强学生数学交流能力，同时培养学生倾听并接受别人意见的优良品质.教学重点

1换底公式得出的过程及其应用.教学难点

推导换底公式过程中的“指、对转化”意识和对指数幂的换底想法。换底公式的灵活应用.教具准备

多媒体课件、投影仪、教学过程

一、引入新课

1、复习回顾：

（1）对数式与指数式的互化（2）对数的基本性质

（3）积、商、幂的对数运算法则: 设计意图：对数的恒等式和对数的运算性质是学习本节课的基础。通过对旧知识的回顾为新知识的学习做好认知铺垫。

2求新 问题：

（1）你能使用科学计算器计算：log215?计算器可以计算底数为多少的对数？

（2）对数的运算性质只能对同底数幂进行运算，那么对于不同底数的对数集中一起如何运算呢？如：

设计意图：通过一实例引入让学生发现问题，然后大胆探索、分析、归纳。

师：我们学习了对数运算法则，可以看到对数的运算法则仅适用于对数的底数相同的情形，若在解题过程中，遇到对数的底数不相同时怎么办？（产生认知冲突，激发学生的学习欲望）

二、讲解新课 问题（1）、通过计算器的计算，问题（1）可看成 已知 lg2=0.3010, lg3=0.4771, 求log215？

设计意图：进一步体现“解指数方程常用的方法是两边取对数的方法”

（一）探求换底公式，明确换底公式的意义和作用，提问（2）、由上述计算你可得出什么结论？合作探究换底公式及证明 方法引导：关于对数换底公式的证明方法有很多，证明的基本思路就是借助指数式.设计意图：通过证明换底公式，①使学生掌握证明换底公式的基本思路就是借助指数式。②培养学生勇于探索、分析、归纳的能力。

合作探究1：常用推论及变形 logablogba? logablogbclogca?

nlogab（a＞0，b＞0，a≠1，b≠1，N＞0.m合作探究：换底公式有什么重大作用？ 合作探究2：证明logambn结论：是把一个对数式的底数改变，可将不同底问题化为同底问题，为使用运算法则创设条件，如换底公式可以解决如下问题：

（二）换底公式的应用（多媒体显示如下例题，）

例1(1)log927(2)log89log2732 方法引导：在利用换底公式进行化简求值时，一般情况是根据题中所给的对数式的具体特点选择恰当的底数进行换底，如果所给的对数式中的底数和真数互不相同，我们可以选择以10为底数进行换底.设计意图：进一步熟练应用换底公式进行计算。充分体现换底公式的作用，提高学生灵活解题能力。

知识拓展：

例2 已知 log189a,18b5 求log3645的值（用a, b表示）考察学生对本节课的掌握情况

（三）对数的实际应用问题

合作探究：现在我们来用已学过的对数知识解决实际问题.（四）小结提升

设计意图：①培养学生善于全面总结,自觉归纳的好习惯。②使知识更加系统,有利于学生掌握。

课堂练习与作业 练习:P86 2、3、4 作业：课本 P88 B组3，4

设计意图：通过分层作业使学生进一步巩固本节课所学内容，并为学有余力和学习兴趣浓厚的学生提供进一步学习的机会。

(五)教学反思

对于课本中的“两边取对数”方法，我认真反思了很久，有些个人的感受。课本这样做的理由是此前课本中有这样的说法：“对任何正数N，log a N是存在的，并且由于指数函数是单调函数，所以log a N也是唯一的。”这就保证了“对两个相等的正数，两边取相同底数的对数后仍相等”是站得住脚的，也就保证了“两边取对数”的方法是有据可依的。

个人认为，课本这样做也是合理的。但这种做法不太适宜学生的接受，因为它的思维跨度较大，多数学生不宜想到这样做的理由，所以效果不一定会好。如果能过渡一下就好了。我想改变一下做法，让它仍然能够解决问题，同时学生也容易接受。大家知道，在“指、对互化”中，指数幂的底数就是对数的底数，所以我们可以把对数转化为指数，而后对指数幂进行换底，再把指数幂换回到对数，就达到了目的。这样做，也可以引出指数幂的换底公式，为学生的思考与拓展作了铺垫。

再者，课本的引入较为简单，突然出现一个对数让学生去计算，没有来龙，也不好确定去脉。个人在同行们的建议下，把引入变成了一个实际问题，从实际问题中提出关于一个对数的计算，从而引出问题，导入主题。当然，还有很多不成熟的地方，有待同行批评指正。

课后反思：

上课后，出乎我的意料，学生在最困难的“换底”处理上，还是首先想到的“两边取对数”的思想方法。看来，教材编排是有科学根据的，对“两边取对数”的思想方法实现作铺垫是很有必要的。

其实，关于变换指数幂的底数，教材在此之前也有铺垫，学生已经学过了公式。但从学生的实际出发，学生更愿意接受“两边取对数”的方法。

（六）板书设计

3.4.2 换底公式

一、换底公式 1.换底公式

2.换底公式的推导过程

3.使用换底公式应注意的地方

二、对数的应用问题 例1 例2

三、巩固练习

四、课堂小结与布置作业

第三篇：换底公式的两种证明方法

换底公式的几种证明

1、定义法

令 logcbq,logcap，则cqb,cpa

logablogcpcq

2、恒等式法 qqlogcb logccpplogca∵logablogcalogca∴logablogablogcb

logcb logca

第四篇：对数的换底公式教案

对数的换底公式

一、教学目标：

1.知识与技能

推导对数的换底公式，培养学生分析、综合解决问题的能力，以及科学分析问题的精神和态度

2.过程与方法

让学生经历推导对数的换底公式的过程，并应用换底公式简便运算 3.情感、态度与价值观

通过对数的运算法则、对数换底公式的学习，培养学生的探究意识和严谨的思维品质

二、重点、难点

重点：对数的运算性质、换底公式及应用

难点：正确使用对数的运算性质和换底公式

三、教学设计

1、课题引入

在前两节课，我们已经学习了对数的定义及性质，从对数的定义可以知道，任意不等于1的正数都可以作为对数的底。并且科学计算器通常只能对常用对数或自然对数进行计算，这样我们求任何对数都只需将它们的底数转换为以10或e为底的对数就行了。可是应该怎样转换呢，这就需要一个换底公式，也就是我们今天所要学习的内容————对数的换底公式。

2、探究

现在就来看一个具体的对数㏒215，如何使用科学计算器计算出它的值？如何对它进行转换？

设㏒215=x，写成指数式得 2x=15 两边取常用对数得 Xlg2=lg15 所以x=lg15 lg2lg15≈3.9068906.lg2ln15≈3.9068906.ln2这样就可以使用科学计算器计算㏒键算出㏒215=同理也可以使用科学计算器计算ln键算出㏒215=大家观察一下㏒215=x =

lg15 lg这个等式有什么特点

特点：① ㏒215是用 lg15与lg2 的商来表示的② ㏒215 转换为以10为底的对数 好了，这是一些特殊的情况，那一般的情况呢？如果是任意的对数b呢？它是否可以转换为以10为底的对数呢，或者更一般的情况，它是否可以转换为任意不等于1的正数为底对数呢？比如我们设任意的对数为㏒b N，它又是否可以转换为以a为底的对数呢？

3、对数的换底公式

我们可以先猜想㏒b N=

logaN(a,b>0,a,b≠1,N>0).logab下面就来具体的证明一下

证明：设㏒b N=x,根据对数定义，有

x N=b两边取以a为底的对数，得

x㏒aN=㏒ab

故 x㏒ab =㏒aN，由于b≠1则㏒ab≠0，解得

x=logaN

logablogaN

logab1

logba故㏒b N=由换底公式易知㏒ab=

这样就证明了我们的猜想是正确的，而这就是对数的换底公式

大家要注意它是将 ㏒b N转换为以a为底数N为真数的对数与以a为底数b为真数的对数的商

这样我们就把一个数的对数变换成了与原来对数的底数不同的两个对数的商

4、例题

例1：㏒89㏒2732

分析：大家观察，在这一个问题中，两对数底数不同，要计算它，就要利用对数的换底公式统一底数的问题，先换为以10为底，再换以e为底，再换其它，总结

lg3221g351g210lg9解：原式=·=·=.lg2731g231g39lg8

下面我们来看这个对数式具体有什么特点？（8和32,9和27，分别可以写为以2为底，以3为底的对数，这样的话底数任意选取）例2.一种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年剩留的质量是原来的

84℅，估计约经过多少年，该物质的剩留量是原来的一半（结果保留1个有效数字）。

四、课堂小结

在这一节课中，我们主要学习了换底公式，学习了它的推导过程，它的意义在于把对数的底数改变，把不同底的问题转换为同底问题，对于换底公式，大家重在它的运用掌握，关键在找准底数，从而为简便我们的运算创造条件。

五、作业：

本节练习题2 B组4题

第五篇：高一物理必修一公式

高一物理公式大全

一、质点的运动------直线运动 1匀变速直线运动

21）.平均速度v=x/t（定义式）2）.有用推论V –V0=2ax

23）.中间时刻速度 Vt=v=(V+V0)/2 4）.末速度V=V0+at 2222vv0t5）.中间位置速度Vx= 6）.位移x= vt=v0t + at/2=vt/2

227）.加速度a=(Vt-Vo)/t 以Vo为正方向，a与Vo同向(加速)a>0；反向则a<0 8).实验用推论ΔX=aT（ΔX为相邻连续相等T内位移之差）9).主要物理量及单位:初速(Vo):m/s 加速度(a):m/s 末速度(Vt):m/s 时间(t):秒(s)位移(X):米（m）路程:米 速度单位换算：1m/s=3.6Km/h 注：(1)平均速度是矢量。(2)物体速度大,加速度不一定大。(3)a=(Vt-Vo)/t只是量度式，不是决定式。(4)其它相关内容：质点/位移和路程/x--t图/v--t图/速度与速率/ 2 自由落体

1).初速度V0=0 2).末速度Vt=gt 3).下落高度h=gt/2（从Vo位置向下计算）4).推论V=2gh 注:(1)自由落体运动是初速度为零的匀加速直线运动，遵循匀变速度直线运动规律(2)a=g=9.8 m/s^2≈10m/s^2 重力加速度在赤道附近较小,在高山处比平地小，方向竖直向下。竖直上抛

1).位移X=V0t-gt/2 2).末速度Vt= V0-gt（g=9.8≈10m/s）

223).有用推论Vt2 –V0=-2gX 4).上升最大高度Hm=V0/2g(抛出点算起)2222225).往返时间t=2Vo/g（从抛出落回原位置的时间）

注:(1)全过程处理:是匀减速直线运动，以向上为正方向，加速度取负值。(2)分段处理：向上为匀减速运动，向下为自由落体运动，具有对称性。(3)上升与下落过程具有对称性,如在同点速度等值反向等。

二、质点的运动----曲线运动 万有引力 1平抛运动

1).水平方向速度Vx= Vo

2).竖直方向速度Vy=gt 3).水平方向位移X= V0t

4).竖直方向位移Y=5).运动时间t=2y(通常又表示为2h)gg12gt 26).合速度Vt=7).合位移S= vx202 合速度方向与水平夹角β: tanβ=Vy/Vx=gt/V0 vy2y

2位移方向与水平夹角α: tanα=Y/X＝gt/2V0 注：(1)平抛运动是匀变速曲线运动，加速度为g，通常可看作是水平方向的匀速直线运动与竖直方向的自由落体运动的合成。(2)运动时间由下落高度h(y)决定与水平抛出速度无关。（3）θ与β的关系为tanβ＝2tanα。（4）在平抛运动中时间t是解题关键。(5)曲线运动的物体必有加速度，当速度方向与所受合力(加速度)方向不在同一直线上时物体做曲线运动。注：(1)平抛运动是匀变速曲线运动，加速度为g，通常可看作是水平方向的匀速直线运动与竖直方向的自由落体运动的合成。(2)运动时间由下落高度h(y)决定与水平抛出速度无关。（3）θ与β的关系为tanβ＝2tanα。（4）在平抛运动中时间t是解题关键。(5)曲线运动的物体必有加速度，当速度方向与所受合力(加速度)方向不在同一直线上时物体做曲线运动。2匀速圆周运动

1).线速度V=s/t=2πR/T

2).角速度ω=Φ/t=2π/T=2πf 3).向心加速度a=V/R=ωR=(2π/T)R 4).向心力F心=Mv^2/R=mω^2*R=m(2π/T)^2*R 5).周期与频率T=1/f

6).角速度与线速度的关系V=ωR 7).角速度与转速的关系ω=2πn(此处频率与转速意义相同)8).主要物理量及单位： 弧长(S):米(m)角度(Φ)：弧度（rad）频率（f）：赫（Hz）周期（T）：秒（s）转速（n）：r/s 半径(R):米（m）线速度（V）：m/s角速度（ω）：rad/s 向心加速度：m/s

注：（1）向心力可以由具体某个力提供，也可以由合力提供，还可以由分力提供，方向始终与速度方向垂直。（2）做匀速度圆周运动的物体，其向心力等于合力，并且向心力只改变速度的方向，不改变速度的大小，因此物体的动能保持不变，但动量不断改变。3万有引力

1).开普勒第三定律T/R=K

R:轨道半径 T :周期 K:常量(与行星质量无关)2).万有引力定律F=Gm1m2/r

G=6.67×10

2211232222N·m/kg方向在它们的连线上

2223).天体上的重力和重力加速度GMm/R=mg

g=GM/R（R:天体半径）4).第一（二、三)宇宙速度V1=

2gR=GM=7.9Km/s

V2=11.2Km/s

V3=16.7Km/s

R

25).地球同步卫星GMm/(R+h)=m4π(R+h)/T

h≈3.6 km（h:距地球表面的高度）

ω=

2GM6).卫星绕行速度、角速度、周期 V=

RGM

T=2π3R

引R3 GM注意：(1)天体运动所需的向心力由万有引力提供,Fn=F。(2)应用万有引力定律可估算天体的质量密度等。(3)地球同步卫星只能运行于赤道上空，运行周期和地球自转周期相同(4)卫星轨道半径变小时,势能变小、动能变大、速度变大、周期变小。(5)地球卫星的最大环绕速度和最小发射速度均为7.9Km/S 三．功能关系 1.功

(1)做功的两个条件: 作用在物体上的力.物体在里的方向上通过的距离.(2)功的大小: W=Flcosa 功是标量 功的单位:焦耳(J)1J=1N*m 当 0≤a <π/2

w>0

F做正功 F是动力 当 a=π/2

w=0(cosπ/2=0)F不作功 当π/2≤ a <π W<0

F做负功 F是阻力(3)总功的求法: W总=W1+W2+W3……Wn W总=F合Lcosa 2.功率

(1)定义:功跟完成这些功所用时间的比值.P=W/t 功率是标量 功率单位:瓦特(w)

此公式求的是平均功率 1w=1J/s 1000w=1kw(2)功率的另一个表达式: P=Fvcosa 当F与v方向相同时, P=Fv.(此时cos0度=1)此公式即可求平均功率,也可求瞬时功率 1)平均功率: 当v为平均速度时

2)瞬时功率: 当v为t时刻的瞬时速度

3)额定功率: 指机器正常工作时最大输出功率 实际功率: 指机器在实际工作中的输出功率 正常工作时: 实际功率≤额定功率(4)机车运动问题(前提:阻力f恒定)P=Fv

F=ma+f(由牛顿第二定律得)汽车启动有两种模式

1)汽车以恒定功率启动(a在减小,一直到0)

P恒定 v在增加 F在减小 F=ma+f 当F减小=f时 v此时有最大值

VM=

p f2)汽车以恒定加速度前进(a开始恒定,再逐渐减小到0)a恒定 F不变(F=ma+f)V在增加 P也逐渐增加到最大，此时的P为额定功率 即P一定

P恒定 v在增加 F在减小 即F=ma+f 当F减小=f时 v此时有最大值（同上）3.功和能

(1)功和能的关系: 做功的过程就是能量转化的过程

功是能量转化的量度(2)功和能的区别: 能是物体运动状态决定的物理量,即过程量

功是物体状态变化过程有关的物理量,即状态量

这是功和能的根本区别.4.动能.动能定理

(1)动能定义:物体由于运动而具有的能量.用Ek表示 表达式 Ek=12mv

能是标量 也是过程量 2单位:焦耳(J)1kgm/s = 1J(2)动能定理内容:合外力做的功等于物体动能的变化 表达式 W合=ΔEk=221212mv-mv0 22适用范围:恒力做功,变力做功,分段做功,全程做功

5.重力势能

(1)定义:物体由于被举高而具有的能量.用Ep表示

表达式 Ep=mgh 是标量 单位:焦耳(J)(2)重力做功和重力势能的关系

W重=－ΔEp

重力势能的变化由重力做功来量度(3)重力做功的特点:只和初末位置有关,跟物体运动路径无关 重力势能是相对性的,和参考平面有关,一般以地面为参考平面 重力势能的变化是绝对的,和参考平面无关(4)弹性势能:物体由于形变而具有的能量

弹性势能存在于发生弹性形变的物体中,跟形变的大小有关

弹性势能的变化由弹力做功来量度

6.机械能守恒定律

(1)机械能:动能,重力势能,弹性势能的总称

总机械能:E=Ek+Ep 是标量 也具有相对性

机械能的变化,等于非重力做功(比如阻力做的功)ΔE=W非重

机械能之间可以相互转化

(2)机械能守恒定律: 只有重力做功的情况下,物体的动能和重力势能发生相互转化,但机械能保持不变表达式: Ek1+Ep1=Ek2+Ep2 成立条件:只有重力做功