第一篇：2014年河南文科高考数学试卷
2014年普通高等学校招生全国统一考试（课标I文科卷）
数学（文科）
一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）已知集合Mx|1x3,Bx|2x1，则MB（）
A.(2,1)B.(1,1)C.(1,3)D.(2,3)
（2）若tan0，则
A.sin0B.cos0C.sin20D.cos20
（3）设z1i，则|z| 1i
A.123B.C.D.2 22
2x2y2
1(a0)的离心率为2，则a（4）已知双曲线2a
3A.2B.65C.D.1 22
（5）设函数f(x),g(x)的定义域为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是
A.f(x)g(x)是偶函数B.|f(x)|g(x)是奇函数
C.f(x)|g(x)|是奇函数D.|f(x)g(x)|是奇函数
（6）设D,E,F分别为ABC的三边BC,CA,AB的中点，则EBFC
A.B.11ADC.BCD.22
（7）在函数①ycos|2x|，②y|cosx|，③ycos(2x
为的所有函数为
A.①②③B.①③④C.②④D.①③
),④ytan(2x)中，最小正周期64
8.如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的事一个几何体的三视图，则这个几何体是（）
A.三棱锥B.三棱柱C.四棱锥D.四棱柱
9.执行右面的程序框图，若输入的a,b,k分别为1,2,3，则输出的M()A.20
3B.7161
52C.5D.8
10.已知抛物线C：y2x的焦点为F,Ax0,y0是C上一点，AF54x0，则x0（A.1B.2C.4D.8
（11）设x，y满足约束条件xya,且zxay的最小值为7
xy1,，则a
（A）-5（B）3
（C）-5或3（D）5或-3）
（12）已知函数f(x)ax33x21，若f(x)存在唯一的零点x0，且x00，则a的取值范围是
（A）2,（B）1,（C）,2（D）,1
第II卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分
（13）将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为________.（14）甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A、B、C三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；
乙说：我没去过C城市；
丙说：我们三人去过同一城市；
由此可判断乙去过的城市为________.ex1,x1,（15）设函数fx1则使得fx2成立的x的取值范围是________.3x,x1,（16）如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点.从A点测得M点的仰角MAN60，C点的仰角CAB45以及MAC75；从C点测得MCA60.已知山高BC100m，则山高MN________m
.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（17）（本小题满分12分）
已知an是递增的等差数列，a2，a4是方程x5x60的根。
2（I）求an的通项公式；
（II）求数列an的前n项和.n2
（18）（本小题满分12分）
从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量表得如下频数
（I）在答题卡上作出这些数据的频率分布直方图：
（II）估计这种产品质量指标值的平均数及方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（III）根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的80%”的规定？
19(本题满分12分)
如图，三棱柱ABCA1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，且AO平面BB
1C1C.B1C的中点为O，（1）证明：B1CAB;
（2）若ACAB1,CBB160,BC1,求三棱柱ABCA1B1C1的高.20.（本小题满分12分）
已知点P(2,2)，圆C:x2y28y0，过点P的动直线l与圆C交于A,B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点.（1）求M的轨迹方程；
（2）当OPOM时，求l的方程及POM的面积
21（12分）
设函数fxalnx
（1）求b;
（2）若存在x01,使得fx01a2xbxa1，曲线yfx在点1，f1处的切线斜率为0 2a，求a的取值范围。a
1请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，解答时请写清题号.（22）（本小题满分10分）选修4-1，几何证明选讲
如图，四边形ABCD是O的内接四边形，AB的延长线与DC的延长线交于点E，且CBCE.（I）证明：DE；
（II）设AD不是O的直径，AD的中点为M，且MBMC，证明：ABC为等边三角形
.（23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 x2tx2y2
1，直线l:已知曲线C:（t为参数）49y22t
（1）写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程；
（2）过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求的最大值与最小值.（24）（本小题满分10分）选修4-5；不等式选讲
若a0,b0,且
3311ab ab（I）求ab的最小值；
（II）是否存在a,b，使得2a3b6？并说明理由.
第二篇：2017年广东省高考数学试卷(文科)
2017年广东省高考数学试卷(文科)
篇一：广东省广东实验中学2017届高三8月月考文科数学试卷含答案
2016-2017学年高三8月月考
文科数学
一、选择题：本大题共12小题。每小题5分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
B={x|lgx?0}，则A?B?（）1．已知全集U? RA B C D 2．已知a,b?R，i是虚数单位，若a?i?3?bi，则
a?bi ?（）1?i A．2?i B．2?iC．1?2i D．1?i 63 3．设a?2,b?()6,c?ln,则（）
7? A．c?a?b B．c?b?aC．a?b?cD．b?a?c 1 5 1 x2y2 ??1相切，则p的值为（）4．已知抛物线x?2py(p?0)的准线与椭圆64 2 A．2 B．3C．4 D．5 5．将函数y?2sin?2x? ? ? ?? 6? ?的图像向右平移 个周期后，所得图像对应的函数为()4 A．y?2sin?2x? ?? ?? 4? ? B．y?2sin?2x? ?? ?? ?? ? 3? C．y?2sin?2x? ?? ?? 4? ? D．y?2sin?2x? ?? ? 3? 6．已知一个三棱锥的三视图如图所示，若该三棱锥的四个顶点均在同一球面上，则该球的体
积为（）A．
32??4? B．? C． D． 333 7．若
cos2?sin(??)4 ?? ??25，且??(,)，则tan2?的值为（）
425 A．? 3434 B．? C． D． 4343 8．若下框图所给的程序运行结果为S?35，那么判断框中应填入的关于k的条件是（）
A．k?7B．k?6 C．k?6D．k?6 9．已知函数f(x)?cos2xcos??sin2xsin?(0???（? 2)的图像的一个对称中心为
?，0），则下列说法正确的个数是（）6 5 ?是函数f(x)的图像的一条对称轴 12 ①直线x? ②函数f(x)在[0，? 6 ]上单调递减
③函数f(x)的图像向右平移④函数f(x)在[0, ? 个单位可得到y?cos2x的图像 ? 2 ]的最小值为?1 A．1个 B ．2个
C ．3个 D．4个 10．函数y? 1?lnx 的图像大致为.（）
1?lnx
x2y2 11．过双曲线2?2?1（a?0，b?0）的一个焦点F作一条渐近线的垂线，垂足为点?，ab 与另一条渐近线交于点?，若F??2F?，则此双曲线的离心率（）
A B C．2 D x?1 ?1?x?1,x?2 12．已知函数f(x)??，g(x)?22，设方程f(x)?g(x)的根从小到大依
?2f(x?2),x?2 次为x1,x2,?xn,?,n?N*，则数列?f(x)?的前n项和为（）A．2 n?1 ?2B．2n?1 C．n2 D．n2?1
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知定义在R上的函数f(x)满足f(x?2)?f(x)?0，当x?(0,2]时，f(x)?2x，则
f(2016)? 14．某学校准备从4名男同学和2名女同学中选出2人代表学校参加数学竞赛,则有女同学被选中的概率是__________.15．如图，在?ABC中,D是BC上的一点.已知?B?60?,AD?2,AC?,DC?2,则
AB?__________.?2x?y?2? 16．设不等式组?x?2y??4所表示的平面区域为M，若z?2x?y?2a?b(a?0,b?0)的?3x?y?3? 最大值为3，则 ?的最小值为__________.ab
三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（本小题满分12分）
已知函数f(x)?xcosx?2cos2x?1.（1）求函数f(x)的最小正周期；
（2）在?ABC中，若f()?2，边AC?1,AB?2，求边BC的长及sinB的值..A 2 18．（本小题满分12分）
刚刚结束的奥运会女排决赛，中国队3:1战胜塞尔维亚队，勇夺冠军，这场比赛吸引了大量观众进入球迷吧看现场直播，不少是女球迷，根据某体育球迷社区统计，在“球色伊人”球迷吧，共有40名球迷观看，其中20名女球迷；在“铁汉柔情”球迷吧，共有30名球迷观看，其中10名是女球迷．
（Ⅰ）从两个球迷吧当中所有的球迷中按分层抽样方法抽取7个球迷做兴趣咨询．
①在“球色伊人”球迷吧男球迷中抽取多少个？
②若从7个球迷中抽取两个球迷进行咨询，求这两个球迷恰来自于不同球迷吧且均属女球迷的概率；
（Ⅱ）根据以上数据，能否有85%的把握认为男球迷或女球迷进球迷吧观看比赛的动机与球迷吧取名有关？
PK?k0.500.400.0.150.10
19．（本小题满分12分）n?ad?bc?K? a?bc?da?cb?d2 2 如图，四棱锥A?BCDE中，BE∥CD, CD?平面ABC，D AB?BC?CD，AB?BC，M为AD上一点，EM?平
面ACD．
（Ⅰ）求证：EM∥平面ABC.（Ⅱ）若CD?2BE?2，求点D到平面EMC的距离.20．（本小题满分12分）
已知曲线C上任意一点到原点的距离与到A(3,?6)的距离之比均为（Ⅰ）求曲线C的方程.C A 1 ． 2（Ⅱ）设点P(1,?2),过点P作两条相异直线分别与曲线C相交于B,C两点,且直线PB和直线
PC的倾斜角互补,求证：直线BC的斜率为定值.21．（本小题满分12分）已知函数f(x)? mx22，曲线y?f(x)在点(e,f(e))处的切线与直线2x?y?0垂直lnx（其中e为自然对数的底数）．
（Ⅰ）求f(x)的解析式及单调递减区间；
（Ⅱ）是否存在常数k，使得对于定义域内的任意x，f(x)? k ?求出lnx k的值；若不存在，请说明理由．
请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分，答题时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑。22．(本小题满分10分)选修4—1：几何证明选讲
如图，直线AB经过圆O上的点C，并且OA＝OB，CA＝CB，圆O交直线OB于点E、D，其中D在线段OB上．连结EC，CD．(1)证明：直线AB是圆O的切线.(2)若tan∠CED＝
23．(本题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程选讲 已知平面直角坐标系xOy，以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，P点的极坐 1，圆O的半径为3，求OA的长． 2 ??x?2cos? 标为)，曲线C 的参数方程为?（?为参数）.6??y??2sin? ?（1）写出点P的直角坐标及曲线C的直角坐标方程；
（2）若Q为曲线C上的动点，求PQ中点M到直线l:?cos??2?sin??1?0的距离的最
小值.24．(本题满分10分)选修4-5：不等式选讲
已知函数错误！未找到引用源。
(1)若错误！未找到引用源。的解集为错误！未找到引用源。，求实数错误！未找到引用源。的值.(2)当错误！未找到引用源。且错误！未找到引用源。时，解关于 错误！未找到引用源。
篇二：2015年广东高考数学(文科)A卷 解析版
绝密★启用前试卷类型：A 2015年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）
数学（文科）
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选
项中，只有一项是符合题目要求的．）
1、若集合1,1?，2,1,0?，则? ??（）
A．?0,?1? B．?0? C．?1? D．??1,1? 考点：集合的交集运算．
2、已知i是虚数单位，则复数?1?i??（）
A．2i B．?2iC．2 D．?2 2 【解析】?1?i??1?2i?i?1?2i?1?2i． 2 考点：复数的乘法运算．
3、下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（）A．y?x?sin2x B．y?x2?cosx C．y?2x?xD．y?x2?sinx 2 2 【解析】∵在R上函数f(x)?x,f(x)?sinx为奇函数，函数f(x)?x,f(x)?cosx为偶函数，∴f?x??x?sin2x是奇函数，f?x??x?cosx是偶函数，f?x??x?sinx既不是奇函数，也 2 不是偶函数.∵f??x??2考点：函数的奇偶性． ?x ? 111xx ??2?fxfx?2?，∴是偶函数． 2?x2x2x ?x?2y?2 ?
4、若变量x，y满足约束条件?x?y?0，则z?2x?3y的最大值为（）
?x?4? A．2 B．5 C．8 D．10 【解析】作出可行域如下图所示，作直线l0:2x?3y?0，再作一组平行于l0的直线l:2x?3y?z，?x?2y?2?x?4当直线l经过点A时，z?2x?3y取得最大值，由?，得?，则A(4,?1)，∴
x?4y??1??zmin?2?4?3?(?1)?5 考点：线性规划．
5、设???C的内角?，?，C的对边分别为a，b，c．若a? 2，c? cos??且b?c，则b?（）
A．3B ．C．2 D 【解析】由余弦定理a2?b2?c2? 2bccosA，得22?b2?2?2?b?即b2?6b?8?0，解得b?2或b?4，∵b?c，∴b?2．
考点：余弦定理．
，6、若直线l1和l2是异面直线，l1在平面?内，l2在平面?内，l是平面?与平面?的交线，则下列命题正确的是（）
A．l与l1，l2都不相交B．l与l1，l2都相交
C．l至多与l1，l2中的一条相交 D．l至少与l1，l2中的一条相交
考点：空间点、线、面的位置关系．
7、已知5件产品中有2件次品，其余为合格品．现从这5件产品中任取2件，恰有一件次品的概率为（）
A．0.4B．0.6C．0.8 D．1 【解析】5件产品中有2件次品，记为a，b，有3件合格品，记为c，d，e，从这5件产品中任取2件，有10种，分别是?a,b?，?a,c?，?a,d?，?a,e?，?b,c?，?b,d?，?b,e?，?c,d?，?c,e?，?d,e?，恰有一件次品，有6种，分别是?a,c?，?a,d?，?a,e?，?b,c?，?b,d?，?b,e?，设事件
??“恰有一件次品”，则? 考点：古典概型． ?0.6． 10 x2y2
8、已知椭圆?2?1（m?0）的左焦点为F1??4,0?，则m?（）25m
A．2 B．3 C．4D．9 【解析】由题意得：m?25?4?9，∵m?0，∴m?3． 考点：椭圆的简单几何性质． 2
9、在平面直角坐标系x?y中，已知四边形??CD是平行四边形，1,?2?，?D??2,1?，则?D??C?（）A．5 B．4 C．3D．2 【解析】在平行四边形ABCD 中，AC?AB?AD?(3,?1)，AD?AC?2?3?1?(?1)?5． 考点：
1、平面向量的加法运算；
2、平面向量数量积的坐标运算．
10、若集合p,q,r,s?0?p?s?4,0?q?s?4,0?r?s?4且p,q,r,s???，F???t,u,v,w?0?t?u?4,0?v?w?4且t,u,v,w???，用card???表示集合?中的元素
个数，则cardcard?F??（）
A．200 B．150C．100 D．50 【解析】当s?4时，p，q，r都是取0，1，2，3中的一个，有4?4?4?64种； 当s?3时，p，q，r都是取0，1，2中的一个，有3?3?3?27种； 当s?2时，p，q，r都是取0，1中的一个，有2?2?2?8种；
当s?1时，p，q，r都取0，有1种，∴card64?27?8?1?100．
当t?0时，u取1，2，3，4中的一个，有4种；当t?1时，u取2，3，4中的一个，有3种；
4中的一个，当t?2时，有2种；当t?3时，有1种，∴t、u取3，u取4，u的取值有1?2?3?4?10种，同理，v、w的取值也有10种，∴card?F??10?10?100．
因此，cardcard?F??100?100?200．
考点：推理与证明．
二、填空题（本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．）
（一）必做题（11~13题）
11、不等式?x2?3x?4?0的解集为．（用区间表示）【解析】由?x?3x?4?0变为x?3x?4?0，解得?4?x?1.考点：一元二次不等式．
12、已知样本数据x1，x2，???，xn的均值?5，则样本数据2x1?1，2x2?1，???，2xn?1的均值为．
【解析】∵样本数据x1，x2，???，xn的均值?5，∴样本数据2x1?1，2x2?1，???，2xn?1的均值为2?1?2?5?1?11．考点：均值的性质．
13、若三个正数a，b，c 成等比数列，其中a?5? c?5?b? 【解析】b?ac?5?考点：等比中项． ? 5??1，∵b?0，∴b?1．
（二）选做题（14、15题，考生只能从中选作一题）
14、（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系x?y中，以原点?为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C1的极坐标方程为??cos??sin2，曲线C2的参 2 ??x?t 数方程为?（t为参数），则C1与C2交点的直角坐标为．
??y?【解析】曲线C1的直角坐标方程为x?y??2，曲线C2的普通方程为y2?8x，由
?x?y??2?x?2，解得?，∴C1与C2交点的直角坐标为(2,?4).?2 y?8xy?4?? 考点：
1、极坐标方程化为直角坐标方程；
2、参数方程化为普通方程；
3、两曲线的交点．
15、（几何证明选讲选做题）如图1，??为圆?的直径，?为?? 的延长线上一点，过?作圆?的切线，切点为C，过?作直线?C 的垂线，垂足为D．若??? 4，C???D? ．
【解析】连结?C，则?C?D?，∵?D?D?，∴?C//?D，∴
图1 图1 ?C??2 ?，由切割线定理得：C???，∴??4??12，?D?? ?C???2?62 ??3． 即???4???12?0，解得：???2或6（舍去），∴?D? ??4 考点：
1、切线的性质；
2、平行线分线段成比例定理；
3、切割线定理．
三、解答题（本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演
算步骤．）
16、（本小题满分12分）已知tan??2．
???（1）求tan的值；
4?? sin2?（2）求2的值．
sin??sin?cos??cos2??1 2?1??3 解：（1）tan? 4?1?tan?tan1?2?1? 4 sin2?（2）2 sin??sin?cos??cos2??1 2sin?cos?2tan?2?2 1 sin2??sin?cos??2cos2?tan2??tan??222?2?2 考点：
1、两角和的正切公式；
2、特殊角的三角函数值；
3、二倍角的正、余弦公式；
4、同角三角函数的基本关系.tan??tan ?
17、（本小题满分12分）某城市100户居民的月平均用电量（单位：度），以?160,180?，?180,200?，?200,220?，?220,240?，?240,260?，?260,280?，?280,300?分组的频率分布
直方图如图2．
（1）求直方图中x的值；
（2）求月平均用电量的众数和中位数；（3）在月平均用电量为?220,240?，?240,260?，?260,280?，?280,300?的四组用
户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则月平均用电量在?220,240?的用户中应抽取
多少户？ 图2 解：（1）由(0.002?0.0025?0.005?x?0.0095?0.011?0.0125)?20?1，得x?0.0075 220?240 ?230（2）月平均用电量的众数为： ∵(0.002?0.0095?0.011)?20?0.45，(0.002?0.0095?0.011?0.0125)?20?0.7 ∴中位数在?220,240?内，设为a，由0.0125?(a?220)?0.05，得a?224 ∴月平均用电量的中位数为224．
（3）月平均用电量在?220,240?，?240,260?，?260,280?，?280,300?这四组的居民共有
(0.0125?0.0075?0.005?0.0025)?20?100?55户，月平均用电量在?220,240?的居民有0.0125?20?100?25户，用分层抽样的方法抽取11户居民，则月平均用电量在?220,240? 的用户中应抽取25? 11 ?5户． 55 考点：
1、频率分布直方图；
2、样本的数字特征（众数、中位数）；
3、分层抽样.18、（本小题满分14分）如图3，三角形?DC所在的平面与长方形??CD所在的平面垂直，?D??C?4，???6，?C?3．（1）证明：?C//平面?D?；（2）证明：?C??D；
（3）求点C到平面?D?的距离．
图3 C 篇三：2017届广东省高三上学期阶段性测评(一)数学(文)试题
广东省2017届高三上学期阶段性测评
（一）文科数学
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项
中，只有一项 是符合题目要求的.1.设集俣S?xx??5或x?5，T??x?7?x?3?，则S?T?（）
A．?x?7?x??5?B．?x3?x?5? C．?x?5?x?3? D．?x?7?x?5? ?? m?上随机选取一个数，若x?1的概率为2.在区间??1，A．2B．3 C．4 D．5 2，则实数m的值为（）5 x?1? x?2?2e，3.设函数f?x???，则f?f?2??的值为（）2 logx?1，x?23 A．0B．1 C．2 D．3 x2y2 ?1的左、右焦点分别为F1，F2，且F2为抛物线y2?2px的焦点.设P4.已知双曲线? 927为两曲线的一个公共点，则△PF1F2的面积为（）A.18B ． C.36D ．
?y?x?1? 5.若实数x，y满足?y?x，则z?2x?y的最大值为（）
2???x?y?1 A． B． C.1D．2 42 ??R，sin??sin??sin?.x2?2xsin??1?0；6.已知命题：p:?x?R，命题q:??，则下列命题中的真命题为（）
A．??p??qB．p???q? C.??p??qD．??p?q? 7.若函数f?x?为区间D上的凸函数，则对于D上的任意n个值x1，x2，…，xn，总有?x?x2?…?xnf?x1??f?x2??…?f?xn??nf?1 n? ?上是?.现已知函数f?x??sinx在?0，2??? 凸函数，则在锐角△ABC中，sinA?sinB?sinC的最大值为（）A． B C.D 22 8.三棱柱ABC?A1B1C1的侧棱垂直于底面，且AB?BC，AB?BC?AA1?2，若该三棱柱的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（）A．48?B．32? C.12?D．8? b?，y??0，4?，则b?a的最小值为（）9.执行如图所示的程序框图，若x??a，A．2B．3 C.4D．5 10.已知向量AB，AB?2，AD?1，E，AC，AD满足AC?AB?AD，F分别是线段
5BC，CD的中点，若DE?BF??，则向量AB与AD的夹角为（）A．
? 6 B．
? 3 C.2?5?D． 36 11.一块边长为6cm的正方形铁皮按如图（1）所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器，将该容器按如图（2）放置，若其正视图为等腰直角三角形，则该容器的体积为（）
A ．3B ． 3 C.3D ．3 x2y2 ?2?，?1的一个顶点为C?0，12.已知椭圆E:?直线l与椭圆E交于A，若E B两点，54的左焦点为△ABC的重心，则直线l的方程为（）
A．6x?5y?14?0B．6x?5y?14?0 C.6x?5y?14?0 D．6x?5y?14?0 第Ⅱ卷
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.若复数a?i是纯虚数，则实数a? ．
1?处的切线方程为 ． 14.曲线y?sinx?1在点?0，15.已知f?x?是定义在R上的奇函数，且f?x?2???f?x?，当0?x?1时，f?x??x，则
f?37.5?等于
n?时，f?x?至16.函数f? x??sin?x??x?1???0?的最小正周期为?，当x??m，少有5个零点，则n?m的最小值为 ．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本小题满分10分）
在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知A?60?，b?5，c?4.（Ⅰ）求a；
（Ⅱ）求sinBsinC的值.18.（本小题满分12分）
设等差数列?an?的公差为d，且2a1?d，2an?a2n?1.（Ⅰ）求数列?an?的通项公式；（Ⅱ）设bn? an?1，求数列?bn?的前n项和Sn.2n?1 19.（本小题满分12分）
某市为了解各校《国学》课程的教学效果，组织全市各学校高二年级全体学生参加了国学知识水平测试，测试成绩从高到低依次分为A、B、C、D四个等级.随机调阅了甲、乙两所学校各60名学生的成绩，得到如下的分布图：（Ⅰ）试确定图中a与b的值；
（Ⅱ）若将等级A、B、C、D依次按照90分、80分、60分、50分转换成分数，试分别估计两校学生国学成绩的均值；
（Ⅲ）从两校获得A等级的同学中按比例抽取5人参加集训，集训后由于成绩相当，决定从中随机选2人代表本市参加省级比赛，求两人来自同一学校的概率.20.（本小题满分12分）
如图，三棱锥P?ABC中，PA?PC，底面ABC为正三角形.（Ⅰ）证明：AC?PB；
（Ⅱ）若平面PAC?平面ABC，AB?2，PA?PC，求三棱锥P?ABC的体积.21.（本小题满分12分）
已知圆C:?x?6??y2?20，直线l:y?kx与圆C交于不同的两点A，B.（Ⅰ）求实数k的取值范围；（Ⅱ）若OB?2OA，求直线l的方程.2 22.（本小题满分10分）
已知函数f?x??alnx?x2?x，其中a?R.（Ⅰ）若a?0，讨论f?x?的单调性；
（Ⅱ）当x?1时，f?x??0恒成立，求a的取值范围.2016-2017学高三年级阶段性测评
（一）文科数学参考答案及评分参考
一、选择题
1-5:ACCDC 6-10:CDCAB11、12：DB 解析：
1.A 【解析】借助数轴可得S?T??x?7?x??5?.2.C 【解析】由 22 ?得m?4.m?15 3.C 【解析】f?2??log33?1，∴f??f?2f?1??2.0?，4.D 【解析】双曲线的右焦点为F2?6，∴
?x2y2 ?1?? 由?927得P9，?.?y2?24x? p 则抛物线的方程为y2?24x.?6，p?12，?∴△
PF1F2的面积S? 1 ?2c??6??2 21，y?时，z?2x?y取到最大值 1.33 5.C 【解析】由图可知，当x?
6.C 【解析】p正确，q正确，所以??p??q正确.7.D 【解析】
sinA?sinB?sinC?A?B?C??sin??sin60??.? 33?? 8.C 【解析】设AC，A1C1的中点分别为H，H1，由几何知识可知，HH1的中点O为三棱
柱外接球的球心，且OA2? 2 ?1?3，∴S?4?R2?12?.x?0?x?1，9.A 【解析】程序框图的功能为求分段函数y??的函数值，2 x?0?4x?x，b?，当a?0，如图可知2??a，b?2或a?2，b?4时符合题意，∴b?a?2.
第三篇：高考数学试卷（文科）（新课标）（含解析版）,10级
2010年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（5分）已知集合A={x||x|≤2，x∈R}，B={x|≤4，x∈Z}，则A∩B=（）A．（0，2）B．[0，2] C．{0，2} D．{0，1，2} 2．（5分）平面向量，已知=（4，3），=（3，18），则夹角的余弦值等于（）A． B． C． D． 3．（5分）已知复数Z=，则|z|=（）A． B． C．1 D．2 4．（5分）曲线y=x3﹣2x+1在点（1，0）处的切线方程为（）A．y=x﹣1 B．y=﹣x+1 C．y=2x﹣2 D．y=﹣2x+2 5．（5分）中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线经过点（4，2），则它的离心率为（）A． B． C． D． 6．（5分）如图，质点P在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P0（，﹣），角速度为1，那么点P到x轴距离d关于时间t的函数图象大致为（）A． B． C． D． 7．（5分）设长方体的长、宽、高分别为2a、a、a，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（）A．3πa2 B．6πa2 C．12πa2 D．24πa2 8．（5分）如果执行如图的框图，输入N=5，则输出的数等于（）A． B． C． D． 9．（5分）设偶函数f（x）满足f（x）=2x﹣4（x≥0），则{x|f（x﹣2）＞0}=（）A．{x|x＜﹣2或x＞4} B．{x|x＜0或x＞4} C．{x|x＜0或x＞6} D．{x|x＜﹣2或x＞2} 10．（5分）若cos α=﹣，α是第三象限的角，则sin（α+）=（）A． B． C． D． 11．（5分）已知▱ABCD的三个顶点为A（﹣1，2），B（3，4），C（4，﹣2），点（x，y）在▱ABCD的内部，则z=2x﹣5y的取值范围是（）A．（﹣14，16）B．（﹣14，20）C．（﹣12，18）D．（﹣12，20）12．（5分）已知函数，若a，b，c互不相等，且f（a）=f（b）=f（c），则abc的取值范围是（）A．（1，10）B．（5，6）C．（10，12）D．（20，24）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．（5分）圆心在原点上与直线x+y﹣2=0相切的圆的方程为 ． 14．（5分）设函数y=f（x）为区间（0，1]上的图象是连续不断的一条曲线，且恒有0≤f（x）≤1，可以用随机模拟方法计算由曲线y=f（x）及直线x=0，x=1，y=0所围成部分的面积S，先产生两组（每组N个），区间（0，1]上的均匀随机数x1，x2，…，xn和y1，y2，…，yn，由此得到N个点（x，y）（i﹣1，2…，N）．再数出其中满足y1≤f（x）（i=1，2…，N）的点数N1，那么由随机模拟方法可得S的近似值为 ． 15．（5分）一个几何体的正视图为一个三角形，则这个几何体可能是下列几何体中的（填入所有可能的几何体前的编号）①三棱锥②四棱锥③三棱柱④四棱柱⑤圆锥⑥圆柱． 16．（5分）在△ABC中，D为BC边上一点，BC=3BD，AD=，∠ADB=135°．若AC=AB，则BD= ． 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（10分）设等差数列{an}满足a3=5，a10=﹣9．（Ⅰ）求{an}的通项公式；
（Ⅱ）求{an}的前n项和Sn及使得Sn最大的序号n的值． 18．（10分）如图，已知四棱锥P﹣ABCD的底面为等腰梯形，AB∥CD，AC⊥BD，垂足为H，PH是四棱锥的高．（Ⅰ）证明：平面PAC⊥平面PBD；
（Ⅱ）若AB=，∠APB=∠ADB=60°，求四棱锥P﹣ABCD的体积． 19．（10分）为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老年人，结果如表：
性别 是否需要志愿者 男 女 需要 40 30 不需要 160 270（1）估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的比例；
（2）能否有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？（3）根据（2）的结论，能否提出更好的调查方法来估计该地区的老年人中需要志愿者提供帮助的老年人比例？说明理由． P（K2≥k）0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 附：K2=． 20．（10分）设F1，F2分别是椭圆E：x2+=1（0＜b＜1）的左、右焦点，过F1的直线l与E相交于A、B两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列．（Ⅰ）求|AB|；
（Ⅱ）若直线l的斜率为1，求b的值． 21．设函数f（x）=x（ex﹣1）﹣ax2（Ⅰ）若a=，求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若当x≥0时f（x）≥0，求a的取值范围． 22．（10分）如图：已知圆上的弧，过C点的圆的切线与BA的延长线交于E点，证明：
（Ⅰ）∠ACE=∠BCD．（Ⅱ）BC2=BE•CD． 23．（10分）已知直线C1（t为参数），C2（θ为参数），（Ⅰ）当α=时，求C1与C2的交点坐标；
（Ⅱ）过坐标原点O做C1的垂线，垂足为A，P为OA中点，当α变化时，求P点的轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线． 24．（10分）设函数f（x）=|2x﹣4|+1．（Ⅰ）画出函数y=f（x）的图象：
（Ⅱ）若不等式f（x）≤ax的解集非空，求a的取值范围． 2010年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标）参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（5分）已知集合A={x||x|≤2，x∈R}，B={x|≤4，x∈Z}，则A∩B=（）A．（0，2）B．[0，2] C．{0，2} D．{0，1，2} 【考点】1E：交集及其运算．菁优网版权所有 【专题】11：计算题． 【分析】由题意可得A={x|﹣2≤x≤2}，B={0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，16}，从而可求 【解答】解：∵A={x||x|≤2}={x|﹣2≤x≤2} B={x|≤4，x∈Z}={0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，16} 则A∩B={0，1，2} 故选：D． 【点评】本题主要考查了集合的交集的求解，解题的关键是准确求解A，B，属于基础试题 2．（5分）平面向量，已知=（4，3），=（3，18），则夹角的余弦值等于（）A． B． C． D． 【考点】9S：数量积表示两个向量的夹角．菁优网版权所有 【分析】先设出的坐标，根据a=（4，3），2a+b=（3，18），求出坐标，根据数量积的坐标公式的变形公式，求出两个向量的夹角的余弦 【解答】解：设=（x，y），∵a=（4，3），2a+b=（3，18），∴ ∴cosθ= =，故选：C． 【点评】本题是用数量积的变形公式求向量夹角的余弦值，数量积的主要应用：①求模长；
②求夹角；
③判垂直，实际上在数量积公式中可以做到知三求一． 3．（5分）已知复数Z=，则|z|=（）A． B． C．1 D．2 【考点】A5：复数的运算．菁优网版权所有 【专题】11：计算题． 【分析】由复数的代数形式的乘除运算化简可得Z=，由复数的模长公式可得答案． 【解答】解：化简得Z===• =•=•=，故|z|==，故选：B． 【点评】本题考查复数的代数形式的乘除运算，涉及复数的模长，属基础题． 4．（5分）曲线y=x3﹣2x+1在点（1，0）处的切线方程为（）A．y=x﹣1 B．y=﹣x+1 C．y=2x﹣2 D．y=﹣2x+2 【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．菁优网版权所有 【专题】1：常规题型；
11：计算题． 【分析】欲求在点（1，0）处的切线方程，只须求出其斜率的值即可，故先利用导数求出在x=1处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决． 【解答】解：验证知，点（1，0）在曲线上 ∵y=x3﹣2x+1，y′=3x2﹣2，所以k=y′|x﹣1=1，得切线的斜率为1，所以k=1；
所以曲线y=f（x）在点（1，0）处的切线方程为：
y﹣0=1×（x﹣1），即y=x﹣1． 故选：A． 【点评】本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题． 5．（5分）中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线经过点（4，2），则它的离心率为（）A． B． C． D． 【考点】KC：双曲线的性质．菁优网版权所有 【专题】11：计算题． 【分析】先求渐近线斜率，再用c2=a2+b2求离心率． 【解答】解：∵渐近线的方程是y=±x，∴2=•4，=，a=2b，c==a，e==，即它的离心率为． 故选：D． 【点评】本题考查双曲线的几何性质． 6．（5分）如图，质点P在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P0（，﹣），角速度为1，那么点P到x轴距离d关于时间t的函数图象大致为（）A． B． C． D． 【考点】3A：函数的图象与图象的变换．菁优网版权所有 【分析】本题的求解可以利用排除法，根据某具体时刻点P的位置到到x轴距离来确定答案． 【解答】解：通过分析可知当t=0时，点P到x轴距离d为，于是可以排除答案A，D，再根据当时，可知点P在x轴上此时点P到x轴距离d为0，排除答案B，故选：C． 【点评】本题主要考查了函数的图象，以及排除法的应用和数形结合的思想，属于基础题． 7．（5分）设长方体的长、宽、高分别为2a、a、a，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（）A．3πa2 B．6πa2 C．12πa2 D．24πa2 【考点】LG：球的体积和表面积．菁优网版权所有 【专题】11：计算题． 【分析】本题考查的知识点是球的体积和表面积公式，由长方体的长、宽、高分别为2a、a、a，其顶点都在一个球面上，则长方体的对角线即为球的直径，即球的半径R满足（2R）2=6a2，代入球的表面积公式，S球=4πR2，即可得到答案． 【解答】解：根据题意球的半径R满足（2R）2=6a2，所以S球=4πR2=6πa2． 故选：B． 【点评】长方体的外接球直径等于长方体的对角线长． 8．（5分）如果执行如图的框图，输入N=5，则输出的数等于（）A． B． C． D． 【考点】EF：程序框图．菁优网版权所有 【专题】28：操作型． 【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出S=的值． 【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：
该程序的作用是累加并输出S=的值． ∵S==1﹣= 故选：D． 【点评】根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）⇒②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模． 9．（5分）设偶函数f（x）满足f（x）=2x﹣4（x≥0），则{x|f（x﹣2）＞0}=（）A．{x|x＜﹣2或x＞4} B．{x|x＜0或x＞4} C．{x|x＜0或x＞6} D．{x|x＜﹣2或x＞2} 【考点】3K：函数奇偶性的性质与判断．菁优网版权所有 【专题】11：计算题． 【分析】由偶函数f（x）满足f（x）=2x﹣4（x≥0），可得f（x）=f（|x|）=2|x|﹣4，根据偶函数的性质将函数转化为绝对值函数，再求解不等式，可得答案． 【解答】解：由偶函数f（x）满足f（x）=2x﹣4（x≥0），可得f（x）=f（|x|）=2|x|﹣4，则f（x﹣2）=f（|x﹣2|）=2|x﹣2|﹣4，要使f（|x﹣2|）＞0，只需2|x﹣2|﹣4＞0，|x﹣2|＞2 解得x＞4，或x＜0． 应选：B． 【点评】本题主要考查偶函数性质、不等式的解法以及相应的运算能力，解答本题的关键是利用偶函数的性质将函数转化为绝对值函数，从而简化计算． 10．（5分）若cos α=﹣，α是第三象限的角，则sin（α+）=（）A． B． C． D． 【考点】GG：同角三角函数间的基本关系；
GP：两角和与差的三角函数．菁优网版权所有 【专题】11：计算题． 【分析】根据α的所在的象限以及同角三角函数的基本关系求得sinα的值，进而利用两角和与差的正弦函数求得答案． 【解答】解：∵α是第三象限的角 ∴sinα=﹣=﹣，所以sin（α+）=sinαcos+cosαsin=﹣=﹣． 故选：A． 【点评】本题主要考查了两角和与差的正弦函数，以及同角三角函数的基本关系的应用．根据角所在的象限判断三角函数值的正负是做题过程中需要注意的． 11．（5分）已知▱ABCD的三个顶点为A（﹣1，2），B（3，4），C（4，﹣2），点（x，y）在▱ABCD的内部，则z=2x﹣5y的取值范围是（）A．（﹣14，16）B．（﹣14，20）C．（﹣12，18）D．（﹣12，20）【考点】7C：简单线性规划．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；
16：压轴题． 【分析】根据点坐标与向量坐标之间的关系，利用向量相等求出顶点D的坐标是解决问题的关键．结合线性规划的知识平移直线求出目标函数的取值范围． 【解答】解：由已知条件得⇒D（0，﹣4），由z=2x﹣5y得y=，平移直线当直线经过点B（3，4）时，﹣最大，即z取最小为﹣14；
当直线经过点D（0，﹣4）时，﹣最小，即z取最大为20，又由于点（x，y）在四边形的内部，故z∈（﹣14，20）． 如图：故选B． 【点评】本题考查平行四边形的顶点之间的关系，用到向量坐标与点坐标之间的关系，体现了向量的工具作用，考查学生线性规划的理解和认识，考查学生的数形结合思想．属于基本题型． 12．（5分）已知函数，若a，b，c互不相等，且f（a）=f（b）=f（c），则abc的取值范围是（）A．（1，10）B．（5，6）C．（10，12）D．（20，24）【考点】3A：函数的图象与图象的变换；
3B：分段函数的解析式求法及其图象的作法；
4H：对数的运算性质；
4N：对数函数的图象与性质．菁优网版权所有 【专题】13：作图题；
16：压轴题；
31：数形结合． 【分析】画出函数的图象，根据f（a）=f（b）=f（c），不妨a＜b＜c，求出abc的范围即可． 【解答】解：作出函数f（x）的图象如图，不妨设a＜b＜c，则 ab=1，则abc=c∈（10，12）． 故选：C． 【点评】本题主要考查分段函数、对数的运算性质以及利用数形结合解决问题的能力． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．（5分）圆心在原点上与直线x+y﹣2=0相切的圆的方程为 x2+y2=2 ． 【考点】J1：圆的标准方程；
J9：直线与圆的位置关系．菁优网版权所有 【分析】可求圆的圆心到直线的距离，就是半径，写出圆的方程． 【解答】解：圆心到直线的距离：r=，所求圆的方程为x2+y2=2． 故答案为：x2+y2=2 【点评】本题考查圆的标准方程，直线与圆的位置关系，是基础题． 14．（5分）设函数y=f（x）为区间（0，1]上的图象是连续不断的一条曲线，且恒有0≤f（x）≤1，可以用随机模拟方法计算由曲线y=f（x）及直线x=0，x=1，y=0所围成部分的面积S，先产生两组（每组N个），区间（0，1]上的均匀随机数x1，x2，…，xn和y1，y2，…，yn，由此得到N个点（x，y）（i﹣1，2…，N）．再数出其中满足y1≤f（x）（i=1，2…，N）的点数N1，那么由随机模拟方法可得S的近似值为． 【考点】CE：模拟方法估计概率；
CF：几何概型．菁优网版权所有 【分析】由题意知本题是求∫01f（x）dx，而它的几何意义是函数f（x）（其中0≤f（x）≤1）的图象与x轴、直线x=0和直线x=1所围成图形的面积，积分得到结果． 【解答】解：∵∫01f（x）dx的几何意义是函数f（x）（其中0≤f（x）≤1）的图象与x轴、直线x=0和直线x=1所围成图形的面积，∴根据几何概型易知∫01f（x）dx≈． 故答案为：． 【点评】古典概型和几何概型是我们学习的两大概型，古典概型要求能够列举出所有事件和发生事件的个数，而不能列举的就是几何概型，几何概型的概率的值是通过长度、面积和体积的比值得到． 15．（5分）一个几何体的正视图为一个三角形，则这个几何体可能是下列几何体中的 ①②③⑤（填入所有可能的几何体前的编号）①三棱锥②四棱锥③三棱柱④四棱柱⑤圆锥⑥圆柱． 【考点】L7：简单空间图形的三视图．菁优网版权所有 【专题】15：综合题；
16：压轴题． 【分析】一个几何体的正视图为一个三角形，由三视图的正视图的作法判断选项． 【解答】解：一个几何体的正视图为一个三角形，显然①②⑤正确；
③是三棱柱放倒时也正确；
④⑥不论怎样放置正视图都不会是三角形；
故答案为：①②③⑤ 【点评】本题考查简单几何体的三视图，考查空间想象能力，是基础题． 16．（5分）在△ABC中，D为BC边上一点，BC=3BD，AD=，∠ADB=135°．若AC=AB，则BD= 2+ ． 【考点】HR：余弦定理．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；
16：压轴题． 【分析】先利用余弦定理可分别表示出AB，AC，把已知条件代入整理，根据BC=3BD推断出CD=2BD，进而整理 AC2=CD2+2﹣2CD 得AC2=4BD2+2﹣4BD把AC=AB，代入整理，最后联立方程消去AB求得BD的方程求得BD． 【解答】用余弦定理求得 AB2=BD2+AD2﹣2AD•BDcos135° AC2=CD2+AD2﹣2AD•CDcos45° 即 AB2=BD2+2+2BD ①AC2=CD2+2﹣2CD ② 又BC=3BD 所以 CD=2BD 所以 由（2）得AC2=4BD2+2﹣4BD（3）因为 AC=AB 所以 由（3）得 2AB2=4BD2+2﹣4BD（4）（4）﹣2（1）BD2﹣4BD﹣1=0 求得 BD=2+ 故答案为：2+ 【点评】本题主要考查了余弦定理的应用．考查了学生创造性思维能力和基本的推理能力． 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（10分）设等差数列{an}满足a3=5，a10=﹣9．（Ⅰ）求{an}的通项公式；
（Ⅱ）求{an}的前n项和Sn及使得Sn最大的序号n的值． 【考点】84：等差数列的通项公式；
85：等差数列的前n项和．菁优网版权所有 【分析】（1）设出首项和公差，根据a3=5，a10=﹣9，列出关于首项和公差的二元一次方程组，解方程组得到首项和公差，写出通项．（2）由上面得到的首项和公差，写出数列{an}的前n项和，整理成关于n的一元二次函数，二次项为负数求出最值． 【解答】解：（1）由an=a1+（n﹣1）d及a3=5，a10=﹣9得 a1+9d=﹣9，a1+2d=5 解得d=﹣2，a1=9，数列{an}的通项公式为an=11﹣2n（2）由（1）知Sn=na1+d=10n﹣n2． 因为Sn=﹣（n﹣5）2+25． 所以n=5时，Sn取得最大值． 【点评】数列可看作一个定义域是正整数集或它的有限子集的函数，当自变量从小到大依次取值对应的一列函数值，因此它具备函数的特性． 18．（10分）如图，已知四棱锥P﹣ABCD的底面为等腰梯形，AB∥CD，AC⊥BD，垂足为H，PH是四棱锥的高．（Ⅰ）证明：平面PAC⊥平面PBD；
（Ⅱ）若AB=，∠APB=∠ADB=60°，求四棱锥P﹣ABCD的体积． 【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；
LY：平面与平面垂直．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；
14：证明题；
35：转化思想． 【分析】（Ⅰ）要证平面PAC⊥平面PBD，只需证明平面PAC内的直线AC，垂直平面PBD内的两条相交直线PH，BD即可．（Ⅱ），∠APB=∠ADB=60°，计算等腰梯形ABCD的面积，PH是棱锥的高，然后求四棱锥P﹣ABCD的体积． 【解答】解：
（1）因为PH是四棱锥P﹣ABCD的高． 所以AC⊥PH，又AC⊥BD，PH，BD都在平PHD内，且PH∩BD=H． 所以AC⊥平面PBD． 故平面PAC⊥平面PBD（6分）（2）因为ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AC⊥BD，AB=． 所以HA=HB=． 因为∠APB=∠ADB=60° 所以PA=PB=，HD=HC=1． 可得PH=． 等腰梯形ABCD的面积为S=ACxBD=2+（9分）所以四棱锥的体积为V=×（2+）×=．（12分）【点评】本题考查平面与平面垂直的判定，棱柱、棱锥、棱台的体积，考查空间想象能力，计算能力，推理能力，是中档题． 19．（10分）为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老年人，结果如表：
性别 是否需要志愿者 男 女 需要 40 30 不需要 160 270（1）估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的比例；
（2）能否有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？（3）根据（2）的结论，能否提出更好的调查方法来估计该地区的老年人中需要志愿者提供帮助的老年人比例？说明理由． P（K2≥k）0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 附：K2=． 【考点】BL：独立性检验．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；
5I：概率与统计． 【分析】（1）由样本的频率率估计总体的概率，（2）求K2的观测值查表，下结论；
（3）由99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关，则可按性别分层抽样． 【解答】解：（1）调查的500位老年人中有70位需要志愿者提供帮助，因此在该地区老年人中，需要帮助的老年人的比例的估计值为（2）K2的观测值 因为9.967＞6.635，且P（K2≥6.635）=0.01，所以有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关．（3）根据（2）的结论可知，该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关，并且从样本数据能够看出该地区男性老年人与女性老年人中需要帮助的比例有明显差异，因此在调查时，先确定该地区老年人中男、女的比例，再把老年人分成男女两层，并采取分层抽样方法比简单随机抽样方法更好． 【点评】本题考查了抽样的目的，独立性检验的方法及抽样的方法选取，属于基础题． 20．（10分）设F1，F2分别是椭圆E：x2+=1（0＜b＜1）的左、右焦点，过F1的直线l与E相交于A、B两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列．（Ⅰ）求|AB|；
（Ⅱ）若直线l的斜率为1，求b的值． 【考点】K4：椭圆的性质．菁优网版权所有 【专题】15：综合题． 【分析】（1）由椭圆定义知|AF2|+|AB|+|BF2|=4，再由|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列，能够求出|AB|的值．（2）L的方程式为y=x+c，其中，设A（x1，y1），B（x1，y1），则A，B两点坐标满足方程组，化简得（1+b2）x2+2cx+1﹣2b2=0．然后结合题设条件和根与系数的关系能够求出b的大小． 【解答】解：（1）由椭圆定义知|AF2|+|AB|+|BF2|=4 又2|AB|=|AF2|+|BF2|，得（2）L的方程式为y=x+c，其中 设A（x1，y1），B（x2，y2），则A，B两点坐标满足方程组．，化简得（1+b2）x2+2cx+1﹣2b2=0． 则． 因为直线AB的斜率为1，所以 即． 则． 解得． 【点评】本题综合考查椭圆的性质及其运用和直线与椭圆的位置关系，解题时要注意公式的灵活运用． 21．设函数f（x）=x（ex﹣1）﹣ax2（Ⅰ）若a=，求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若当x≥0时f（x）≥0，求a的取值范围． 【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．菁优网版权所有 【专题】15：综合题；
53：导数的综合应用． 【分析】（I）求导函数，由导数的正负可得函数的单调区间；
（II）f（x）=x（ex﹣1﹣ax），令g（x）=ex﹣1﹣ax，分类讨论，确定g（x）的正负，即可求得a的取值范围． 【解答】解：（I）a=时，f（x）=x（ex﹣1）﹣x2，=（ex﹣1）（x+1）令f′（x）＞0，可得x＜﹣1或x＞0；
令f′（x）＜0，可得﹣1＜x＜0；
∴函数的单调增区间是（﹣∞，﹣1），（0，+∞）；
单调减区间为（﹣1，0）；
（II）f（x）=x（ex﹣1﹣ax）． 令g（x）=ex﹣1﹣ax，则g＇（x）=ex﹣a． 若a≤1，则当x∈（0，+∞）时，g＇（x）＞0，g（x）为增函数，而g（0）=0，从而当x≥0时g（x）≥0，即f（x）≥0． 若a＞1，则当x∈（0，lna）时，g＇（x）＜0，g（x）为减函数，而g（0）=0，从而当x∈（0，lna）时，g（x）＜0，即f（x）＜0． 综合得a的取值范围为（﹣∞，1]． 另解：当x=0时，f（x）=0成立；
当x＞0，可得ex﹣1﹣ax≥0，即有a≤的最小值，由y=ex﹣x﹣1的导数为y′=ex﹣1，当x＞0时，函数y递增；
x＜0时，函数递减，可得函数y取得最小值0，即ex﹣x﹣1≥0，x＞0时，可得≥1，则a≤1． 【点评】本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查分类讨论的数学思想，属于中档题． 22．（10分）如图：已知圆上的弧，过C点的圆的切线与BA的延长线交于E点，证明：
（Ⅰ）∠ACE=∠BCD．（Ⅱ）BC2=BE•CD． 【考点】N9：圆的切线的判定定理的证明；
NB：弦切角．菁优网版权所有 【专题】14：证明题． 【分析】（I）先根据题中条件：“”，得∠BCD=∠ABC．再根据EC是圆的切线，得到∠ACE=∠ABC，从而即可得出结论．（II）欲证BC2=BE x CD．即证．故只须证明△BDC～△ECB即可． 【解答】解：（Ⅰ）因为，所以∠BCD=∠ABC． 又因为EC与圆相切于点C，故∠ACE=∠ABC 所以∠ACE=∠BCD．（5分）（Ⅱ）因为∠ECB=∠CDB，∠EBC=∠BCD，所以△BDC～△ECB，故． 即BC2=BE×CD．（10分）【点评】本题主要考查圆的切线的判定定理的证明、弦切角的应用、三角形相似等基础知识，考查运化归与转化思想．属于基础题． 23．（10分）已知直线C1（t为参数），C2（θ为参数），（Ⅰ）当α=时，求C1与C2的交点坐标；
（Ⅱ）过坐标原点O做C1的垂线，垂足为A，P为OA中点，当α变化时，求P点的轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线． 【考点】J3：轨迹方程；
JE：直线和圆的方程的应用；
Q4：简单曲线的极坐标方程；
QJ：直线的参数方程；
QK：圆的参数方程．菁优网版权所有 【专题】15：综合题；
16：压轴题． 【分析】（I）先消去参数将曲线C1与C2的参数方程化成普通方程，再联立方程组求出交点坐标即可，（II）设P（x，y），利用中点坐标公式得P点轨迹的参数方程，消去参数即得普通方程，由普通方程即可看出其是什么类型的曲线． 【解答】解：（Ⅰ）当α=时，C1的普通方程为，C2的普通方程为x2+y2=1． 联立方程组，解得C1与C2的交点为（1，0）．（Ⅱ）C1的普通方程为xsinα﹣ycosα﹣sinα=0①． 则OA的方程为xcosα+ysinα=0②，联立①②可得x=sin2α，y=﹣cosαsinα；
A点坐标为（sin2α，﹣cosαsinα），故当α变化时，P点轨迹的参数方程为：，P点轨迹的普通方程． 故P点轨迹是圆心为，半径为的圆． 【点评】本题主要考查直线与圆的参数方程，参数方程与普通方程的互化，利用参数方程研究轨迹问题的能力． 24．（10分）设函数f（x）=|2x﹣4|+1．（Ⅰ）画出函数y=f（x）的图象：
（Ⅱ）若不等式f（x）≤ax的解集非空，求a的取值范围． 【考点】3A：函数的图象与图象的变换；
7E：其他不等式的解法；
R5：绝对值不等式的解法．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；
13：作图题；
16：压轴题． 【分析】（I）先讨论x的范围，将函数f（x）写成分段函数，然后根据分段函数分段画出函数的图象即可；
（II）根据函数y=f（x）与函数y=ax的图象可知先寻找满足f（x）≤ax的零界情况，从而求出a的范围． 【解答】解：（Ⅰ）由于f（x）=，函数y=f（x）的图象如图所示．（Ⅱ）由函数y=f（x）与函数y=ax的图象可知，极小值在点（2，1）当且仅当a＜﹣2或a≥时，函数y=f（x）与函数y=ax的图象有交点． 故不等式f（x）≤ax的解集非空时，a的取值范围为（﹣∞，﹣2）∪[，+∞）． 【点评】本题主要考查了函数的图象，以及利用函数图象解不等式，同时考查了数形结合的数学思想，属于基础题．
第四篇：湖南省高考数学试卷(文科)解析
2014年湖南省高考数学试卷（文科）
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一、选择题（共10小题，每小题5分，共50分）1．（5分）（2014•湖南）设命题p：∀x∈R，x+1＞0，则￢p为（）22 ∈R，x∈R，x A．B． ∃x+1＞0 ∃x+1≤0 000022∈R，x C．D． ∃x+1＜0 ∀x∈R，x+1≤0 00 2．（5分）（2014•湖南）已知集合A={x|x＞2}，B={x|1＜x＜3}，则A∩B=（）
A．{x|x＞2} B． {x|x＞1} C． {x|2＜x＜3} D． {x|1＜x＜3} 3．（5分）（2014•湖南）对一个容量为N的总体抽取容量为n的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为P，P，P，则（）123 A．B． C． D． P=P＜P P=P＜P P=P＜P P=P=P 123231132123 4．（5分）（2014•湖南）下列函数中，既是偶函数又在区间（﹣∞，0）上单调递增的是（）
23x ﹣ A．B． C． D． f（x）=x+1 f（x）=x f（x）=2 f（x）= 5．（5分）（2014•湖南）在区间[﹣2，3]上随机选取一个数X，则X≤1的概率为（）
A．B． C． D．
2222 6．（5分）（2014•湖南）若圆C：x+y=1与圆C：x+y﹣6x﹣8y+m=0外切，则12m=（）
19 9 A．B． C． D． ﹣11 7．（5分）（2014•湖南）执行如图所示的程序框图，如果输入的t∈[﹣2，2]，则输出的S属于（）第1页（共21页）
A．[﹣6，﹣2] B． [﹣5，﹣1] C． [﹣4，5] D． [﹣3，6] 8．（5分）（2014•湖南）一块石材表示的几何体的三视图如图所示，将该石材切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径等于（）2 3 4 A．B． C． D．
9．（5分）（2014•湖南）若0＜x＜x＜1，则（）1
2A．B．
﹣＞lnx﹣lnx ﹣＜lnx﹣lnx 2121
C．D．
x＞x x＜x 212
110．（5分）（2014•湖南）在平面直角坐标系中，O为原点，A（﹣1，0），B（0，），C（3，0），动点D满足||=1，则|++|的取值范围是（）
D． A．[4，6] B． C．，2] [﹣1，[﹣1，+1] [2+1]
二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）第2页（共21页）
11．（5分）（2014•湖南）复数（i为虚数单位）的实部等于 ．
12．（5分）（2014•湖南）在平面直角坐标系中，曲线C：（t为参数）的普通方程为
．
13．（5分）（2014•湖南）若变量x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值为 ．
14．（5分）（2014•湖南）平面上一机器人在行进中始终保持与点F（1，0）的距离和到直线x=﹣1的距离相等，若机器人接触不到过点P（﹣1，0）且斜率为k的直线，则k的取值范围是 ．
3x 15．（5分）（2014•湖南）若f（x）=ln（e+1）+ax是偶函数，则a= ．
三、解答题（共6小题，75分）
* 16．（12分）（2014•湖南）已知数列{a}的前n项和S=，n∈N． nn（Ⅰ）求数列{a}的通项公式； n
n（Ⅱ）设b=+（﹣1）a，求数列{b}的前2n项和． nnn
17．（12分）（2014•湖南）某企业有甲、乙两个研发小组，为了比较他们的研发水平，现随机抽取这两个小组往年研发新产品的结果如下：
（a，b），（a，），（a，b），（，b），（，），（a，b），（a，b），（a，），（，b），（a，），（，），（a，b），（a，），（，b）（a，b）
其中a，分别表示甲组研发成功和失败，b，分别表示乙组研发成功和失败．（Ⅰ）若某组成功研发一种新产品，则给该组记1分，否则记0分，试计算甲、乙两组研发新产品的成绩的平均数和方差，并比较甲、乙两组的研发水平；（Ⅱ）若该企业安排甲、乙两组各自研发一样的产品，试估计恰有一组研发成功的概率．
18．（12分）（2014•湖南）如图，已知二面角α﹣MN﹣β的大小为60°，菱形ABCD在面β内，A、B两点在棱MN上，∠BAD=60°，E是AB的中点，DO⊥面α，垂足为O． 第3页（共21页）
（Ⅰ）证明：AB⊥平面ODE；（Ⅱ）求异面直线BC与OD所成角的余弦值．
19．（13分）（2014•湖南）如图，在平面四边形ABCD中，DA⊥AB，DE=1，EC=，EA=2，∠ADC=，∠BEC=．（Ⅰ）求sin∠CED的值；（Ⅱ）求BE的长． 20．（13分）（2014•湖南）如图，O为坐标原点，双曲线C：﹣=1（a＞0，11 b＞0）和椭圆C：+=1（a＞b＞0）均过点P（，1），且以C的两个顶点和12221C的两个焦点为顶点的四边形是面积为2的正方形． 2（Ⅰ）求C、C的方程； 12（Ⅱ）是否存在直线l，使得l与C交于A、B两点，与C只有一个公共点，且|+|=||？12证明你的结论．
21．（13分）（2014•湖南）已知函数f（x）=xcosx﹣sinx+1（x＞0）．（Ⅰ）求f（x）的单调区间； 第4页（共21页）
**（Ⅱ）记x为f（x）的从小到大的第i（i∈N）个零点，证明：对一切n∈N，有++…+i ＜． 第5页（共21页）2014年湖南省高考数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题5分，共50分）21．（5分）（2014•湖南）设命题p：∀x∈R，x+1＞0，则￢p为（）22 ∈R，x∈R，x A．B． ∃x+1≤0 ∃x+1＞0 000022∈R，x C．D． ∃x+1＜0 ∀x∈R，x+1≤0 00 考点： 命题的否定． 专题： 简易逻辑． 分析： 题设中的命题是一个特称命题，按命题否定的规则写出其否定即可找出正确选项
2解答：
解∵命题p：∀x∈R，x+1＞0，是一个特称命题． 2∈R，x∴￢p：∃x+1≤0． 00故选B． 点评： 本题考查特称命题的否定，掌握其中的规律是正确作答的关键． 2．（5分）（2014•湖南）已知集合A={x|x＞2}，B={x|1＜x＜3}，则A∩B=（）A．{x|x＞2} B． {x|x＞1} C． {x|2＜x＜3} D． {x|1＜x＜3} 考点： 交集及其运算． 专题： 集合． 分析： 直接利用交集运算求得答案． 解答： 解：∵A={x|x＞2}，B={x|1＜x＜3}，∴A∩B={x|x＞2}∩{x|1＜x＜3}={x|2＜x＜3}．
故选：C．
点评： 本题考查交集及其运算，是基础的计算题．
3．（5分）（2014•湖南）对一个容量为N的总体抽取容量为n的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为P，1P，P，则（）23 A．B． C． D． P=P＜P P=P＜P P=P＜P P=P=P 123231132123 考点： 简单随机抽样；分层抽样方法；系统抽样方法． 专题： 概率与统计． 分析： 根据简单随机抽样、系统抽样和分层抽样的定义即可得到结论． 解答： 解：根据简单随机抽样、系统抽样和分层抽样的定义可知，无论哪种抽样，每个个体被抽中的概率都是相等的，即P=P=P． 123第6页（共21页）
故选：D． 点评： 本题主要考查简单随机抽样、系统抽样和分层抽样的性质，比较基础．
4．（5分）（2014•湖南）下列函数中，既是偶函数又在区间（﹣∞，0）上单调递增的是（）
23x ﹣ A．B． C． D． f（x）=x+1 f（x）=x f（x）=2 f（x）= 考点： 函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明． 专题： 函数的性质及应用． 分析： 利用函数函数的奇偶性和单调性即可判断出．
解答： 23解：只有函数f（x）=，f（x）=x+1是偶函数，而函数f（x）=x是奇函数，f（x）x﹣=2不具有奇偶性． 2，f（x）=x+1中，只有函数f（x）=而函数f（x）=在区间（﹣∞，0）上单调递增的． 综上可知：只有A正确． 故选：A． 点评： 本题考查了函数函数的奇偶性和单调性，属于基础题． 5．（5分）（2014•湖南）在区间[﹣2，3]上随机选取一个数X，则X≤1的概率为（）A．B． C． D． 考点： 几何概型． 专题： 概率与统计． 分析： 利用几何槪型的概率公式，求出对应的区间长度，即可得到结论． 解答： 解：在区间[﹣2，3]上随机选取一个数
X，则﹣2≤X≤3，则X≤1的概率P=，故选：B． 点评： 本题主要考查几何槪型的概率的计算，求出对应的区间长度是解决本题的关键，比较基础．
22226．（5分）（2014•湖南）若圆C：x+y=1与圆C：x+y﹣6x﹣8y+m=0外切，则m=（）12 21 19 9 A．B． C． D． ﹣11 考点： 圆的切线方程． 专题： 直线与圆． 分析： 化两圆的一般式方程为标准方程，求出圆心和半径，由两圆心间的距离等于半径和列式求得m值． 第7页（共21页）
22解答： 解：由C：x+y=1，得圆心C（0，0），半径为1，由圆C：x+y﹣6x﹣8y+m=0，得（x﹣3）+（y﹣4）=25﹣112222m，2∴圆心C（3，4），半径为．
2∵圆C与圆C外切，12 ∴，解得：m=9． 故选：C． 点评： 本题考查两圆的位置关系，考查了两圆外切的条件，是基础题．
7．（5分）（2014•湖南）执行如图所示的程序框图，如果输入的t∈[﹣2，2]，则输出的S属于（）
A．[﹣6，﹣2] B． [﹣5，﹣1] C． [﹣4，5] D． [﹣3，6] 考点： 程序框图． 专题： 算法和程序框图． 分析： 根据程序框图，结合条件，利用函数的性质即可得到结论． 解答： 解：若0≤t≤2，则不满足条件输出S=t﹣3∈[﹣3，﹣1]，2若﹣2≤t＜0，则满足条件，此时t=2t+1∈（1，9]，此时不满足条件，输出S=t﹣3∈（﹣2，6]，综上：S=t﹣3∈[﹣3，6]，故选：D 点评： 本题主要考查程序框图的识别和判断，利用函数的取值范围是解决本题的关键，比较基础．
8．（5分）（2014•湖南）一块石材表示的几何体的三视图如图所示，将该石材切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径等于（）
第8页（共21页）
A．B． C． D． 考点： 球内接多面体；由三视图求面积、体积；球的体积和表面积． 专题： 计算题；空间位置关系与距离． 分析： 由题意，该几何体为三棱柱，所以最大球的半径为正视图直角三角形内切圆的半径r． 解答： 解：由题意，该几何体为三棱柱，所以最大球的半径为正视图直角三角形内切圆的半径r，则
8﹣r+6﹣r=，∴r=2． 故选：B． 点评： 本题考查三视图，考查几何体的内切圆，考查学生的计算能力，属于基础题． 9．（5分）（2014•湖南）若0＜x＜x＜1，则（）12 A．B．
﹣＞lnx﹣lnx ﹣＜lnx﹣lnx 2121 C．D．
x＞x x＜x 2121 考点： 对数的运算性质． 专题： 导数的综合应用．
分析： x分别设出两个辅助函数f（x）=e+lnx，g（x）=，由导数判断其在（0，1）上的单调性，结合已知条件0＜x＜x＜1得答案． 12x解答： 解：令f（x）=e+lnx，当0＜x＜1时，f′（x）＞0，∴f（x）在（0，1）上为增函数，∵0＜x＜x＜1，12 ∴，即． 第9页（共21页）
由此可知选项A，B不正确．
令g（x）=，当0＜x＜1时，g′（x）＜0． ∴g（x）在（0，1）上为减函数，∵0＜x＜x＜1，12 ∴，即． ∴选项C正确而D不正确． 故选：C． 点评： 本题考查利用导数研究函数的单调性，考查了函数构造法，解答此题的关键在于想到构造两个函数，是中档题． 10．（5分）（2014•湖南）在平面直角坐标系中，O为原点，A（﹣1，0），B（0，），C
（3，0），动点D满足||=1，则|++|的取值范围是（）A．[4，6] B． C． D． [﹣1，+1] [2，2] [﹣1，+1] 考向量的加法及其几何意义． 点： 专平面向量及应用． 题： 分 由于动点D满足||=1，C（3，0），可设D（3+cosθ，sinθ）（θ∈[0，2π））．再利用向量析： 的坐标运算、数量积性质、模的计算公式、三角函数的单调性即可得出．
解
解：∵动点D满足||=1，C（3，0），答： ∴可设D（3+cosθ，sinθ）（θ∈[0，2π））． 又A（﹣1，0），B（0，），∴++=．
∴|++|===，（其中sinφ=，cosφ=）∵﹣1≤sin（θ+φ）≤1，第10页（共21页）
∴=sin（θ+φ）≤=，∴|++|的取值范围是．
故选：D． 点本题考查了向量的坐标运算、数量积性质、模的计算公式、三角函数的单调性等基础知评： 识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．
二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）
11．（5分）（2014•湖南）复数（i为虚数单位）的实部等于 ﹣3 ． 考点： 复数代数形式的乘除运算． 专题： 数系的扩充和复数． 分析： 直接由虚数单位i的运算性质化简，则复数的实部可求．
解答： 解：∵=． ∴复数（i为虚数单位）的实部等于﹣3． 故答案为：﹣3． 点评： 本题考查复数代数形式的乘法运算，考查了虚数单位i的运算性质，是基础题．
12．（5分）（2014•湖南）在平面直角坐标系中，曲线C：（t为参数）的普通方程为 x﹣y﹣1=0 ．
考点： 直线的参数方程． 专题： 选作题；坐标系和参数方程． 分析： 利用两式相减，消去t，从而得到曲线C的普通方程． 解答： 解：∵曲线C：（t为参数），∴两式相减可得x﹣y﹣1=0． 故答案为：x﹣y﹣1=0． 点评： 本题考查参数方程化成普通方程，应掌握两者的互相转化．
13．（5分）（2014•湖南）若变量x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值为 7 ．
第11页（共21页）
考点： 简单线性规划． 专题： 不等式的解法及应用． 分析： 作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，进行平移即可得到结论．
解答：
解：作出不等式组对应的平面区域如图： 由z=2x+y，得y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点C，直线y=﹣2x+z的截距最大，此时z最大，由，解得，即C（3，1），此时z=2×3+1=7，故答案为：7． 点评： 本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键． 14．（5分）（2014•湖南）平面上一机器人在行进中始终保持与点F（1，0）的距离和到直线x=﹣1的距离相等，若机器人接触不到过点P（﹣1，0）且斜率为k的直线，则k的取值范围是 k＜﹣1或k＞1 ．
考点： 抛物线的简单性质． 专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程． 分析： 由抛物线的定义，求出机器人的轨迹方程，过点P（﹣1，0）且斜率为k的直线方程2为y=k（x+1），代入y=4x，利用判别式，即可求出k的取值范围． 2解答： 解：由抛物线的定义可知，机器人的轨迹方程为y=4x，过点P（﹣1，0）且斜率为k的直线方程为y=k（x+1），22222代入y=4x，可得kx+（2k﹣4）x+k=0，∵机器人接触不到过点P（﹣1，0）且斜率为k的直线，224∴△=（2k﹣4）﹣4k＜0，∴k＜﹣1或k＞1． 故答案为：k＜﹣1或k＞1． 点评： 本题考查抛物线的定义，考查直线与抛物线的位置关系，属于中档题． 第12页（共21页）
3x15．（5分）（2014•湖南）若f（x）=ln（e+1）+ax是偶函数，则a= ﹣ ．
考点： 函数奇偶性的性质． 结论． 3x专题： 函数的性质及应用． 分析： 根据函数奇偶性的定义，建立方程关系即可得到解答： 解：若f（x）=ln（e+1）+ax是偶函数，则f（﹣x）=f（x），3x3x﹣即ln（e+1）点评： 本题主要考查函数奇偶性的应用，根据偶函数的定义得到f（﹣x）=f（x）是+ax=ln（e+1）﹣ax，3x3x3x﹣﹣即2ax=ln（e+1）﹣ln（e+1）=ln=lne=﹣3x，即2a=﹣3，解得a=﹣，故答案为：﹣，解决本题的关键．
三、解答题（共6小题，75分）*16．（12分）（2014•湖南）已知数列{a}的前n项和S=，n∈N． nn（Ⅰ）求数列{a}的通项公式； n
n（Ⅱ）设b=+（﹣1）a，求数列{b}的前2n项和． nnn 考点： 数列的求和；数列递推式． 专题： 等差数列与等比数列． 分析：（Ⅰ）利
解答： 解：（Ⅰ）当n=1时，a=s=1，用公式法即可求得；（Ⅱ）利用数列分组求和即可得出结论． 当n≥2时，a=s﹣s=﹣=n，nnn1﹣∴数列{a}的通项公式是a=n． nnnn（Ⅱ）由（Ⅰ）知，b=2+（﹣1）n，记数列{b}的前2n项和为T，则 nn2n122nT=（2+2+…+2）+（﹣1+2﹣3+4﹣…+2n）2n 2n+1=+n=2+n﹣2． 2n+1∴数列{b}的前2n项和为2+n﹣2． n
点评： 本题主要考查数列通项公式的求法﹣公式法及数列求和的方法﹣分组求和法，考查学生的运算能力，属中档题． 第13页（共21页）
17．（12分）（2014•湖南）某企业有甲、乙两个研发小组，为了比较他们的研发水平，现随机抽取这两个小组往年研发新产品的结果如下：（a，b），（a，），（a，b），（，b），（，），（a，b），（a，b），（a，），（，b），（a，），（，），（a，b），（a，），（，b）（a，b）
其中a，分别表示甲组研发成功和失败，b，分别表示乙组研发成功和失败．（Ⅰ）若某组成功研发一种新产品，则给该组记1分，否则记0分，试计算甲、乙两组研发新产品的成绩的平均数和方差，并比较甲、乙两组的研发水平；（Ⅱ）若该企业安排甲、乙两组各自研发一样的产品，试估计恰有一组研发成功的概率． 考点： 模拟方法估计概率；极差、方差与标准差． 专题： 概率与统计． 分析：（Ⅰ）分别求出甲乙的研发成绩，再根据平均数和方差公式计算平均数，方差，最后比较即可．（Ⅱ）找15个结果中，找到恰有一组研发成功的结果是7个，求出频率，将频率视为概率，问题得以解决． 解答： 解：（Ⅰ）甲组研发新产品的成绩为1，1，1，0，0，1，1，1，0，1，0，1，1，0，1，则=，== =，乙组研发新产品的成绩为1，0，1，1，0，1，1，0，1，0，0，1，0，1，1则
==．
因为 所以甲的研发水平高于乙的研发水平．（Ⅱ）记E={恰有一组研发成功}，在所抽到的15个结果中，恰有一组研发成功的结果是（a，），（，b），（a，），（，b），（a，），（a，），（，b）共7个，故事件E发生的频率为，． 将频率视为概率，即恰有一组研发成功的概率为P（E）=点评： 本题主要考查了平均数方差和用频率表示概率，培养的学生的运算能力．
18．（12分）（2014•湖南）如图，已知二面角α﹣MN﹣β的大小为60°，菱形ABCD在面β内，A、B两点在棱MN上，∠BAD=60°，E是AB的中点，DO⊥面α，垂足为O．（Ⅰ）证明：AB⊥平面ODE；（Ⅱ）求异面直线BC与OD所成角的余弦值． 第14页（共21页）
考点： 异面直线及其所成的角；直线与平面垂直的判定． 专题： 计算题；证明题；空间位置关系与距离；空间角． 分析：（Ⅰ）运用直线与平面垂直的判定定理，即可证得，注意平面内的相交二直线；（Ⅱ）根据异面直线的定义，找出所成的角为∠ADO，说明∠DEO是二面角α﹣MN﹣β的平面角，不妨设AB=2，从而求出OD的长，再在直角三角形AOD中，求出cos∠ADO． 解答：（1）证明：如图 ∵DO⊥面α，AB⊂α，∴DO⊥AB，连接BD，由题设知，△ABD是正三角形，又E是AB的中点，∴DE⊥AB，又DO∩DE=D，∴AB⊥平面ODE；（Ⅱ）解：∵BC∥AD，∴BC与OD所成的角等于AD与OD所成的角，即∠ADO是BC与OD所成的角，由（Ⅰ）知，AB⊥平面ODE，∴AB⊥OE，又DE⊥AB，于是∠DEO是二面角α﹣MN﹣β的平面角，从而∠DEO=60°，不妨设AB=2，则AD=2，易知DE=，在Rt△DOE中，DO=DEsin60°=，连AO，在Rt△AOD中，cos∠ADO==，故异面直线BC与OD所成角的余弦值为． 点评： 本题主要考查线面垂直的判定，以及空间的二面角和异面直线所成的角的定义以及计算，是一道基础题．
19．（13分）（2014•湖南）如图，在平面四边形ABCD中，DA⊥AB，DE=1，EC=，EA=2，∠ADC=，∠BEC=．（Ⅰ）求sin∠CED的值；（Ⅱ）求BE的长．
第15页（共21页）
考点： 余弦定理的应用；正弦定理． 专题： 解三角形． 分析：（Ⅰ）根据三角形边角之间的关系，结合正弦定理和余弦定理即可得到结论．（Ⅱ）利用两角和的余弦公式，结合正弦定理即可得到结论．
解答： 解：（Ⅰ）设α=∠CED，222在△CDE中，由余弦定理得EC=CD+ED﹣2CD•DEcos∠CDE，22即7=CD+1+CD，则CD+CD﹣6=0，解得CD=2或CD=﹣3，（舍去），在△CDE中，由正弦定理得，则sinα=，即sin∠CED=．
（Ⅱ）由题设知0＜α＜，由（Ⅰ）知cosα=，而∠AEB=，∴cos∠AEB=cos（）=coscosα+sinsinα=，在Rt△EAB中，cos∠AEB= 故BE=． 点评： 本题主要考查解三角形的应用，根据正弦定理和余弦定理是解决本题本题的关键，难度不大． 20．（13分）（2014•湖南）如图，O为坐标原点，双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）111 和椭圆C：+=1（a＞b＞0）均过点P（，1），且以C的两个顶点和C的两个22212焦点为顶点的四边形是面积为2的正方形．（Ⅰ）求C、C的方程； 12（Ⅱ）是否存在直线l，使得l与C交于A、B两点，与C只有一个公共点，且|+|=||？12证明你的结论． 第16页（共21页）
考点： 直线与圆锥曲线的综合问题．
专题： 圆锥曲线中的最值与范围问题． 分析：（Ⅰ）由条件可得a=1，c=1，根据点P（，1）在上求得=3，可得双曲线12 =﹣的值，从而求得椭圆C的方程．再由椭圆的定义求得a=，可得12C的方程．（Ⅱ）若直线l垂直于x轴，检验部不满足|+|≠||．若直线l不垂直于x轴，设
直线l得方程为 y=kx+m，由 可得y•y=．由 可12222得（2k+3）x+4kmx+2m﹣6=0，根据直线l和C仅有一个交点，根据判别式△=0，22求得2k=m﹣3，可得≠0，可得|+|≠||．综合（1）、（2）可得结论． 解答： 解：（Ⅰ）设椭圆C的焦距为2c，由题意可得2a=2，∴a=1，c=1． 22112 由于点P（，1）在上，∴﹣=1，=3，2∴双曲线C的方程为：x﹣=1． 1再由椭圆的定义可得 2a=+=2，∴a=，22 ∴=﹣=2，∴椭圆C的方程为：+=1． 2（Ⅱ）不存在满足条件的直线l．
（1）若直线l垂直于x轴，则由题意可得直线l得方程为x=，或 x=﹣． 当x=时，可得 A（，）、B（，﹣），求得||=2，||=2，第17页（共21页）
显然，|+|≠||． 时，也有|+|≠||． 同理，当x=﹣（2）若直线l不垂直于x轴，设直线l得方程为 y=kx+m，由 可得 222（3﹣k）x﹣2mkx﹣m﹣3=0，∴x+x=，x•x=． 1212 22于是，y•y=kx•x+km（x+x）+m=． 121212 222由 可得（2k+3）x+4kmx+2m﹣6=0，根据直线l和C仅有一个交点，1222222∴判别式△=16km﹣8（2k+3）（m﹣3）=0，∴2k=m﹣3．
∴=x•x+y•y=≠0，∴≠，1212 ∴|+|≠||． 综合（1）、（2）可得，不存在满足条件的直线l．
点评： 本题主要考查椭圆的定义、性质、标准方程，直线和圆锥曲线的位置关系的应用，韦达定理，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．
21．（13分）（2014•湖南）已知函数f（x）=xcosx﹣sinx+1（x＞0）．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
**（Ⅱ）记x为f（x）的从小到大的第i（i∈N）个零点，证明：对一切n∈N，有++…+i ＜． 考利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性． 点： 专导数的综合应用． 题：
分（Ⅰ）求函数的导数，利用导数研究页）
f（x）的单调区间； 第18页（共21
析（Ⅱ）利用放缩法即可证明不等式即可． ： 解解：（Ⅰ）∵f（x）=xcosx﹣sinx+1（x＞0），答∴f′（x）=cosx﹣xsinx﹣cosx=﹣xsinx，*： 由f′（x）=﹣xsinx=0，解得x=kπ（k∈N），当x∈（2kπ，（2k+1）π）（k∈N），sinx＞0，此时f′（x）＜0，函数单调递减，当x∈（（2k+1）π，（2k+2）π）（k∈N），sinx＜0，此时f′（x）＞0，函数单调递增，故f（x）的单调增区间为（（2k+1）π，（2k+2）π），k≥0，单调递减区间为（2kπ，（2k+1）π），k≥0．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）在区间（0，π）上单调递减，又f（）=0，故x=，1*当n∈N，nn+1∵f（nπ）f（（n+1）π）=[（﹣1）nπ+1][（﹣1）（n+1）π+1]＜0，且函数f（x）的图象是连续不间断的，∴f（x）在区间（nπ，（n+1）π）内至少存在一个零点，又f（x）在区间（nπ，（n+1）π）是单调的，故nπ＜x＜（n+1）π，n+1 因此当n=1时，有=＜成立． 当n=2时，有+＜＜． 当n≥3时，… ++…+＜ [][ ]（6﹣）＜．
*综上证明：对一切n∈N，有++…+＜． 点本题主要考查函数单调性的判定和证明，以及利用导数和不等式的综合，利用放缩法是评解决本题的关键，综合性较强，运算量较大． ： 第19页（共21页）
第20页（共21页）
参与本试卷答题和审题的老师有：xintrl；sxs123；maths；孙佑中；刘长柏；liu老师；whgcn；双曲线；caoqz（排名不分先后）菁优网 2015年5月20日 第21页（共21页）
第五篇：高考数学试卷（文科）（全国卷ⅰ）（含解析版）,08版
2008年全国统一高考数学试卷（文科）（全国卷Ⅰ）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）函数y=+的定义域为（）A．{x|x≤1} B．{x|x≥0} C．{x|x≥1或x≤0} D．{x|0≤x≤1} 2．（5分）汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s看作时间t的函数，其图象可能是（）A． B． C． D． 3．（5分）（1+）5的展开式中x2的系数（）A．10 B．5 C． D．1 4．（5分）曲线y=x3﹣2x+4在点（1，3）处的切线的倾斜角为（）A．30° B．45° C．60° D．120° 5．（5分）在△ABC中，=，=．若点D满足=2，则=（）A． B． C． D． 6．（5分）y=（sinx﹣cosx）2﹣1是（）A．最小正周期为2π的偶函数 B．最小正周期为2π的奇函数 C．最小正周期为π的偶函数 D．最小正周期为π的奇函数 7．（5分）已知等比数列{an}满足a1+a2=3，a2+a3=6，则a7=（）A．64 B．81 C．128 D．243 8．（5分）若函数y=f（x）的图象与函数y=ln的图象关于直线y=x对称，则f（x）=（）A．e2x﹣2 B．e2x C．e2x+1 D．e2x+2 9．（5分）为得到函数的图象，只需将函数y=sin2x的图象（）A．向左平移个长度单位 B．向右平移个长度单位 C．向左平移个长度单位 D．向右平移个长度单位 10．（5分）若直线=1与圆x2+y2=1有公共点，则（）A．a2+b2≤1 B．a2+b2≥1 C． D． 11．（5分）已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC内的射影为△ABC的中心，则AB1与底面ABC所成角的正弦值等于（）A． B． C． D． 12．（5分）将1，2，3填入3×3的方格中，要求每行、每列都没有重复数字，下面是一种填法，则不同的填写方法共有（）A．6种 B．12种 C．24种 D．48种 二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）若x，y满足约束条件，则z=2x﹣y的最大值为 ． 14．（5分）已知抛物线y=ax2﹣1的焦点是坐标原点，则以抛物线与两坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为 ． 15．（5分）在△ABC中，∠A=90°，tanB=．若以A、B为焦点的椭圆经过点C，则该椭圆的离心率e= ． 16．（5分）已知菱形ABCD中，AB=2，∠A=120°，沿对角线BD将△ABD折起，使二面角A﹣BD﹣C为120°，则点A到△BCD所在平面的距离等于 ． 三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）设△ABC的内角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，且acosB=3，bsinA=4．（Ⅰ）求边长a；
（Ⅱ）若△ABC的面积S=10，求△ABC的周长l． 18．（12分）四棱锥A﹣BCDE中，底面BCDE为矩形，侧面ABC⊥底面BCDE，BC=2，AB=AC．（Ⅰ）证明：AD⊥CE；
（Ⅱ）设CE与平面ABE所成的角为45°，求二面角C﹣AD﹣E的大小． 19．（12分）在数列{an}中，a1=1，an+1=2an+2n．（Ⅰ）设bn=．证明：数列{bn}是等差数列；
（Ⅱ）求数列{an}的前n项和Sn． 20．（12分）已知5只动物中有1只患有某种疾病，需要通过化验血液来确定患病的动物．血液化验结果呈阳性的即为患病动物，呈阴性即没患病．下面是两种化验方案：
方案甲：逐个化验，直到能确定患病动物为止． 方案乙：先任取3只，将它们的血液混在一起化验．若结果呈阳性则表明患病动物为这3只中的1只，然后再逐个化验，直到能确定患病动物为止；
若结果呈阴性则在另外2只中任取1只化验． 求依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数的概率． 21．（12分）已知函数f（x）=﹣x2+ax+1﹣lnx．（Ⅰ）当a=3时，求函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）若f（x）在区间（0，）上是减函数，求实数a的取值范围． 22．（12分）双曲线的中心为原点O，焦点在x轴上，两条渐近线分别为l1，l2，经过右焦点F垂直于l1的直线分别交l1，l2于A，B两点．已知||、||、||成等差数列，且与同向．（Ⅰ）求双曲线的离心率；
（Ⅱ）设AB被双曲线所截得的线段的长为4，求双曲线的方程． 2008年全国统一高考数学试卷（文科）（全国卷Ⅰ）参考答案与试题解析 一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）函数y=+的定义域为（）A．{x|x≤1} B．{x|x≥0} C．{x|x≥1或x≤0} D．{x|0≤x≤1} 【考点】33：函数的定义域及其求法．菁优网版权所有 【专题】51：函数的性质及应用． 【分析】保证两个根式都有意义的自变量x的集合为函数的定义域． 【解答】解：要使原函数有意义，则需，解得0≤x≤1，所以，原函数定义域为[0，1]． 故选：D． 【点评】本题考查了函数定义域的求法，求解函数的定义域，是求使的构成函数解析式的各个部分都有意义的自变量x的取值集合． 2．（5分）汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s看作时间t的函数，其图象可能是（）A． B． C． D． 【考点】3A：函数的图象与图象的变换．菁优网版权所有 【专题】16：压轴题；
31：数形结合． 【分析】由已知中汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，汽车的行驶路程s看作时间t的函数，我们可以根据实际分析函数值S（路程）与自变量t（时间）之间变化趋势，分析四个答案即可得到结论． 【解答】解：由汽车经过启动后的加速行驶阶段，路程随时间上升的速度越来越快，故图象的前边部分为凹升的形状；
在汽车的匀速行驶阶段，路程随时间上升的速度保持不变 故图象的中间部分为平升的形状；
在汽车减速行驶之后停车阶段，路程随时间上升的速度越来越慢，故图象的前边部分为凸升的形状；
分析四个答案中的图象，只有A答案满足要求，故选：A． 【点评】从左向右看图象，如果图象是凸起上升的，表明相应的量增长速度越来越慢；
如果图象是凹陷上升的，表明相应的量增长速度越来越快；
如果图象是直线上升的，表明相应的量增长速度保持不变；
如果图象是水平直线，表明相应的量保持不变，即不增长也不降低；
如果图象是凸起下降的，表明相应的量降低速度越来越快；
如果图象是凹陷下降的，表明相应的量降低速度越来越慢；
如果图象是直线下降的，表明相应的量降低速度保持不变． 3．（5分）（1+）5的展开式中x2的系数（）A．10 B．5 C． D．1 【考点】DA：二项式定理．菁优网版权所有 【专题】11：计算题． 【分析】利用二项展开式的通项公式求出展开式中x2的系数 【解答】解：，故选：C． 【点评】本题主要考查了利用待定系数法或生成法求二项式中指定项． 4．（5分）曲线y=x3﹣2x+4在点（1，3）处的切线的倾斜角为（）A．30° B．45° C．60° D．120° 【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．菁优网版权所有 【专题】11：计算题． 【分析】欲求在点（1，3）处的切线倾斜角，先根据导数的几何意义可知k=y′|x=1，再结合正切函数的值求出角α的值即可． 【解答】解：y′=3x2﹣2，切线的斜率k=3×12﹣2=1．故倾斜角为45°． 故选：B． 【点评】本题考查了导数的几何意义，以及利用正切函数的图象求倾斜角，本题属于容易题． 5．（5分）在△ABC中，=，=．若点D满足=2，则=（）A． B． C． D． 【考点】9B：向量加减混合运算．菁优网版权所有 【分析】把向量用一组向量来表示，做法是从要求向量的起点出发，尽量沿着已知向量，走到要求向量的终点，把整个过程写下来，即为所求．本题也可以根据D点把BC分成一比二的两部分入手． 【解答】解：∵由，∴，∴． 故选：A． 【点评】用一组向量来表示一个向量，是以后解题过程中常见到的，向量的加减运算是用向量解决问题的基础，要学好运算，才能用向量解决立体几何问题，三角函数问题，好多问题都是以向量为载体的 6．（5分）y=（sinx﹣cosx）2﹣1是（）A．最小正周期为2π的偶函数 B．最小正周期为2π的奇函数 C．最小正周期为π的偶函数 D．最小正周期为π的奇函数 【考点】GG：同角三角函数间的基本关系．菁优网版权所有 【分析】把三角函数式整理，平方展开，合并同类项，逆用正弦的二倍角公式，得到y=Asin（ωx+φ）的形式，这样就可以进行三角函数性质的运算． 【解答】解：∵y=（sinx﹣cosx）2﹣1 =1﹣2sinxcosx﹣1 =﹣sin2x，∴T=π且为奇函数，故选：D． 【点评】同角三角函数的基本关系式揭示了同一个角的六种三角函数间的相互关系，其主要应用于同角三角函数的求值和同角三角函数之间的化简和证明．单在应用这些关系式子的时候就要注意公式成立的前提是角对应的三角函数要有意义． 7．（5分）已知等比数列{an}满足a1+a2=3，a2+a3=6，则a7=（）A．64 B．81 C．128 D．243 【考点】87：等比数列的性质．菁优网版权所有 【分析】由a1+a2=3，a2+a3=6的关系求得q，进而求得a1，再由等比数列通项公式求解． 【解答】解：由a2+a3=q（a1+a2）=3q=6，∴q=2，∴a1（1+q）=3，∴a1=1，∴a7=26=64． 故选：A． 【点评】本题主要考查了等比数列的通项及整体运算． 8．（5分）若函数y=f（x）的图象与函数y=ln的图象关于直线y=x对称，则f（x）=（）A．e2x﹣2 B．e2x C．e2x+1 D．e2x+2 【考点】4R：反函数．菁优网版权所有 【专题】11：计算题． 【分析】由函数y=f（x）的图象与函数y=ln的图象关于直线y=x对称知这两个函数互为反函数，故只要求出函数y=f（x）的反函数即可，欲求原函数的反函数，即从原函数y=ln中反解出x，后再进行x，y互换，即得反函数的解析式． 【解答】解：∵，∴，∴x=（ey﹣1）2=e2y﹣2，改写为：y=e2x﹣2 ∴答案为A． 【点评】本题主要考查了互为反函数图象间的关系及反函数的求法． 9．（5分）为得到函数的图象，只需将函数y=sin2x的图象（）A．向左平移个长度单位 B．向右平移个长度单位 C．向左平移个长度单位 D．向右平移个长度单位 【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．菁优网版权所有 【专题】11：计算题． 【分析】先根据诱导公式将函数化为正弦的形式，再根据左加右减的原则进行平移即可得到答案． 【解答】解：∵，只需将函数y=sin2x的图象向左平移个单位得到函数的图象． 故选：A． 【点评】本题主要考查诱导公式和三角函数的平移．属基础题． 10．（5分）若直线=1与圆x2+y2=1有公共点，则（）A．a2+b2≤1 B．a2+b2≥1 C． D． 【考点】J9：直线与圆的位置关系．菁优网版权所有 【分析】用圆心到直线的距离小于或等于半径，可以得到结果． 【解答】解：直线与圆有公共点，即直线与圆相切或相交得：d≤r，∴，故选：D． 【点评】本题考查点到直线的距离公式，直线和圆的位置关系，是基础题． 11．（5分）已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC内的射影为△ABC的中心，则AB1与底面ABC所成角的正弦值等于（）A． B． C． D． 【考点】LP：空间中直线与平面之间的位置关系．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；
31：数形结合；
4R：转化法；
5G：空间角． 【分析】法一：由题意可知三棱锥A1﹣ABC为正四面体，设棱长为2，求出AB1及三棱锥的高，由线面角的定义可求出答案；
法二：先求出点A1到底面的距离A1D的长度，即知点B1到底面的距离B1E的长度，再求出AE的长度，在直角三角形AEB1中求AB1与底面ABC所成角的正切，再由同角三角函数的关系求出其正弦． 【解答】解：（法一）因为三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC内的射影为△ABC的中心，设为D，所以三棱锥A1﹣ABC为正四面体，设棱长为2，则△AA1B1是顶角为120°等腰三角形，所以AB1=2×2×sin60°=2，A1D==，所以AB1与底面ABC所成角的正弦值为==；
（法二）由题意不妨令棱长为2，点B1到底面的距离是B1E，如图，A1在底面ABC内的射影为△ABC的中心，设为D，故DA=，由勾股定理得A1D==故B1E=，如图作A1S⊥AB于中点S，过B1作AB的垂线段，垂足为F，BF=1，B1F=A1S=，AF=3，在直角三角形B1AF中用勾股定理得：AB1=2，所以AB1与底面ABC所成角的正弦值sin∠B1AE==． 故选：B． 【点评】本题考查了几何体的结构特征及线面角的定义，还有点面距与线面距的转化，考查了转化思想和空间想象能力． 12．（5分）将1，2，3填入3×3的方格中，要求每行、每列都没有重复数字，下面是一种填法，则不同的填写方法共有（）A．6种 B．12种 C．24种 D．48种 【考点】D4：排列及排列数公式．菁优网版权所有 【专题】16：压轴题． 【分析】填好第一行和第一列，其他的行和列就确定，因此只要选好第一行的顺序再确定第一列的顺序，就可以得到符合要求的排列． 【解答】解：填好第一行和第一列，其他的行和列就确定，∴A33A22=12，故选：B． 【点评】排列问题要做到不重不漏，有些题目带有一定的约束条件，解题时要先考虑有限制条件的元素． 二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）若x，y满足约束条件，则z=2x﹣y的最大值为 9 ． 【考点】7C：简单线性规划．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；
13：作图题． 【分析】首先作出可行域，再作出直线l0：y=2x，将l0平移与可行域有公共点，直线y=2x﹣z在y轴上的截距最小时，z有最大值，求出此时直线y=2x﹣z经过的可行域内的点的坐标，代入z=2x﹣y中即可． 【解答】解：如图，作出可行域，作出直线l0：y=2x，将l0平移至过点A处时，函数z=2x﹣y有最大值9． 【点评】本题考查线性规划问题，考查数形结合思想． 14．（5分）已知抛物线y=ax2﹣1的焦点是坐标原点，则以抛物线与两坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为 2 ． 【考点】K8：抛物线的性质．菁优网版权所有 【专题】11：计算题． 【分析】先根据抛物线y=ax2﹣1的焦点坐标为坐标原点，求得a，得到抛物线方程，进而可知与坐标轴的交点的坐标，进而可得答案． 【解答】解：由抛物线y=ax2﹣1的焦点坐标为坐标原点得，则 与坐标轴的交点为（0，﹣1），（﹣2，0），（2，0），则以这三点围成的三角形的面积为 故答案为2 【点评】本题主要考查抛物线的应用．考查了学生综合运用所学知识，解决实际问题的能力． 15．（5分）在△ABC中，∠A=90°，tanB=．若以A、B为焦点的椭圆经过点C，则该椭圆的离心率e=． 【考点】K2：椭圆的定义．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；
16：压轴题． 【分析】令AB=4，椭圆的c可得，AC=3，BC=5依据椭圆定义求得a，则离心率可得． 【解答】解：令AB=4，则AC=3，BC=5 则2c=4，∴c=2，2a=3+5=8 ∴a=4，∴e= 故答案为． 【点评】本题主要考查了椭圆的定义．要熟练掌握椭圆的第一和第二定义． 16．（5分）已知菱形ABCD中，AB=2，∠A=120°，沿对角线BD将△ABD折起，使二面角A﹣BD﹣C为120°，则点A到△BCD所在平面的距离等于． 【考点】MJ：二面角的平面角及求法；
MK：点、线、面间的距离计算．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；
16：压轴题． 【分析】本题考查了立体几何中的折叠问题，及定义法求二面角和点到平面的距离，我们由已知菱形ABCD中，AB=2，∠A=120°，沿对角线BD将△ABD折起，使二面角A﹣BD﹣C为120°，及菱形的性质：对角线互相垂直，我们易得∴∠AOC即为二面角A﹣BD﹣C的平面角，解△AOC后，OC边的高即为A点到平面BCD的距离． 【解答】解：已知如下图所示：
设AC∩BD=O，则AO⊥BD，CO⊥BD，∴∠AOC即为二面角A﹣BD﹣C的平面角 ∴∠AOC=120°，且AO=1，∴d=1×sin60°= 故答案为：
【点评】根据二面角的大小解三角形，一般先作出二面角的平面角．此题是利用二面角的平面角的定义作出∠AOC为二面角A﹣BD﹣C的平面角，通过解∠AOC所在的三角形求得∠AOC．其解题过程为：作∠AOC→证∠AOC是二面角的平面角→利用∠AOC解三角形AOC，简记为“作、证、算”． 三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）设△ABC的内角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，且acosB=3，bsinA=4．（Ⅰ）求边长a；
（Ⅱ）若△ABC的面积S=10，求△ABC的周长l． 【考点】HR：余弦定理．菁优网版权所有 【专题】11：计算题． 【分析】（I）由图及已知作CD垂直于AB，在直角三角形BDC中求BC的长．（II）由面积公式解出边长c，再由余弦定理解出边长b，求三边的和即周长． 【解答】解：（I）过C作CD⊥AB于D，则由CD=bsinA=4，BD=acosB=3 ∴在Rt△BCD中，a=BC==5（II）由面积公式得S=×AB×CD=×AB×4=10得AB=5 又acosB=3，得cosB= 由余弦定理得：b===2 △ABC的周长l=5+5+2=10+2 答：（I）a=5；
（II）l=10+2 【点评】本题主要考查了射影定理及余弦定理． 18．（12分）四棱锥A﹣BCDE中，底面BCDE为矩形，侧面ABC⊥底面BCDE，BC=2，AB=AC．（Ⅰ）证明：AD⊥CE；
（Ⅱ）设CE与平面ABE所成的角为45°，求二面角C﹣AD﹣E的大小． 【考点】LY：平面与平面垂直；
MJ：二面角的平面角及求法．菁优网版权所有 【专题】5F：空间位置关系与距离． 【分析】（1）取BC中点F，证明CE⊥面ADF，通过证明线面垂直来达到证明线线垂直的目的．（2）在面AED内过点E作AD的垂线，垂足为G，由（1）知，CE⊥AD，则∠CGE即为所求二面角的平面角，△CGE中，使用余弦定理求出此角的大小． 【解答】解：（1）取BC中点F，连接DF交CE于点O，∵AB=AC，∴AF⊥BC． 又面ABC⊥面BCDE，∴AF⊥面BCDE，∴AF⊥CE． 再根据，可得∠CED=∠FDC． 又∠CDE=90°，∴∠OED+∠ODE=90°，∴∠DOE=90°，即CE⊥DF，∴CE⊥面ADF，∴CE⊥AD．（2）在面ACD内过C点作AD的垂线，垂足为G． ∵CG⊥AD，CE⊥AD，∴AD⊥面CEG，∴EG⊥AD，则∠CGE即为所求二面角的平面角． 作CH⊥AB，H为垂足． ∵平面ABC⊥平面BCDE，矩形BCDE中，BE⊥BC，故BE⊥平面ABC，CH⊂平面ABC，故BE⊥CH，而AB∩BE=B，故CH⊥平面ABE，∴∠CEH=45°为CE与平面ABE所成的角． ∵CE=，∴CH=EH=． 直角三角形CBH中，利用勾股定理求得BH===1，∴AH=AB﹣BH=AC﹣1；
直角三角形ACH中，由勾股定理求得AC2=CH2+AH2=3+（AC﹣1）2，∴AB=AC=2． 由面ABC⊥面BCDE，矩形BCDE中CD⊥CB，可得CD⊥面ABC，故△ACD为直角三角形，AD===，故CG===，DG==，又，则，∴，即二面角C﹣AD﹣E的大小． 【点评】本题主要考查通过证明线面垂直来证明线线垂直的方法，以及求二面角的大小的方法，属于中档题． 19．（12分）在数列{an}中，a1=1，an+1=2an+2n．（Ⅰ）设bn=．证明：数列{bn}是等差数列；
（Ⅱ）求数列{an}的前n项和Sn． 【考点】8E：数列的求和；
8H：数列递推式．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；
14：证明题． 【分析】（1）由an+1=2an+2n构造可得即数列{bn}为等差数列（2）由（1）可求=n，从而可得an=n•2n﹣1 利用错位相减求数列{an}的和 【解答】解：由an+1=2an+2n．两边同除以2n得 ∴，即bn+1﹣bn=1 ∴{bn}以1为首项，1为公差的等差数列（2）由（1）得 ∴an=n•2n﹣1 Sn=20+2×21+3×22+…+n•2n﹣1 2Sn=21+2×22+…+（n﹣1）•2n﹣1+n•2n ∴﹣Sn=20+21+22+…+2n﹣1﹣n•2n = ∴Sn=（n﹣1）•2n+1 【点评】本题考查利用构造法构造特殊的等差等比数列及错位相减求数列的和，构造法求数列的通项及错位相减求数列的和是数列部分的重点及热点，要注意该方法的掌握． 20．（12分）已知5只动物中有1只患有某种疾病，需要通过化验血液来确定患病的动物．血液化验结果呈阳性的即为患病动物，呈阴性即没患病．下面是两种化验方案：
方案甲：逐个化验，直到能确定患病动物为止． 方案乙：先任取3只，将它们的血液混在一起化验．若结果呈阳性则表明患病动物为这3只中的1只，然后再逐个化验，直到能确定患病动物为止；
若结果呈阴性则在另外2只中任取1只化验． 求依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数的概率． 【考点】C5：互斥事件的概率加法公式．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；
35：转化思想． 【分析】（解法一）主要依乙所验的次数分类，并求出每种情况下被验中的概率，再求甲种方案的次数不少于乙种次数的概率；
（解法二）先求所求事件的对立事件即甲的次数小于乙的次数，再求出它包含的两个事件“甲进行的一次即验出了和甲进行了两次，乙进行了3次”的概率，再代入对立事件的概率公式求解． 【解答】解：（解法一）：主要依乙所验的次数分类：
若乙验两次时，有两种可能：
①先验三只结果为阳性，再从中逐个验时，恰好一次验中概率为：
（也可以用）②先验三只结果为阴性，再从其它两只中验出阳性（无论第二次验中没有，均可以在第二次结束）（）∴乙只用两次的概率为． 若乙验三次时，只有一种可能：
先验三只结果为阳性，再从中逐个验时，恰好二次验中概率为：∴在三次验出时概率为 ∴甲种方案的次数不少于乙种次数的概率为：
（解法二）：设A为甲的次数不小于乙的次数，则表示甲的次数小于乙的次数，则只有两种情况，甲进行的一次即验出了和甲进行了两次，乙进行了3次． 则设A1，A2分别表示甲在第一次、二次验出，并设乙在三次验出为B ∴ ∴ 【点评】本题考查了用计数原理来求事件的概率，并且所求的事件遇过于复杂的，要主动去分析和应用对立事件来处理． 21．（12分）已知函数f（x）=﹣x2+ax+1﹣lnx．（Ⅰ）当a=3时，求函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）若f（x）在区间（0，）上是减函数，求实数a的取值范围． 【考点】3D：函数的单调性及单调区间；
3E：函数单调性的性质与判断．菁优网版权所有 【专题】16：压轴题． 【分析】（1）求单调区间，先求导，令导函数大于等于0即可．（2）已知f（x）在区间（0，）上是减函数，即f′（x）≤0在区间（0，）上恒成立，然后用分离参数求最值即可． 【解答】解：（Ⅰ）当a=3时，f（x）=﹣x2+3x+1﹣lnx ∴ 解f′（x）＞0，即：2x2﹣3x+1＜0 函数f（x）的单调递增区间是．（Ⅱ）f′（x）=﹣2x+a﹣，∵f（x）在上为减函数，∴x∈时﹣2x+a﹣≤0恒成立． 即a≤2x+恒成立． 设，则 ∵x∈时，＞4，∴g′（x）＜0，∴g（x）在上递减，∴g（x）＞g（）=3，∴a≤3． 【点评】本题考查函数单调性的判断和已知函数单调性求参数的范围，此类问题一般用导数解决，综合性较强． 22．（12分）双曲线的中心为原点O，焦点在x轴上，两条渐近线分别为l1，l2，经过右焦点F垂直于l1的直线分别交l1，l2于A，B两点．已知||、||、||成等差数列，且与同向．（Ⅰ）求双曲线的离心率；
（Ⅱ）设AB被双曲线所截得的线段的长为4，求双曲线的方程． 【考点】KB：双曲线的标准方程；
KC：双曲线的性质．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；
16：压轴题． 【分析】（1）由2个向量同向，得到渐近线的夹角范围，求出离心率的范围，再用勾股定理得出直角三角形的2个直角边的长度比，联想到渐近线的夹角，求出渐近线的斜率，进而求出离心率．（2）利用第（1）的结论，设出双曲线的方程，将AB方程代入，运用根与系数的关系及弦长公式，求出待定系数，即可求出双曲线方程． 【解答】解：（1）设双曲线方程为，由，同向，∴渐近线的倾斜角范围为（0，），∴渐近线斜率为：，∴． ∵||、||、||成等差数列，∴|OB|+|OA|=2|AB|，∴|AB|2=（|OB|﹣|OA|）（|OB|+|OA|）=（|OB|﹣|OA|）•2|AB|，∴，∴，可得：，而在直角三角形OAB中，注意到三角形OAF也为直角三角形，即tan∠AOB=，而由对称性可知：OA的斜率为k=tan，∴，∴2k2+3k﹣2=0，∴；
∴，∴，∴．（2）由第（1）知，a=2b，可设双曲线方程为﹣=1，∴c=b． 由于AB的倾斜角为+∠AOB，故AB的斜率为tan（+∠AOB）=﹣cot（∠AOB）=﹣2，∴AB的直线方程为 y=﹣2（x﹣b），代入双曲线方程得：15x2﹣32bx+84b2=0，∴x1+x2=，x1•x2=，∴4=•=•，即16=﹣112b2，∴b2=9，所求双曲线方程为：﹣=1． 【点评】做到边做边看，从而发现题中的巧妙，如据，联想到对应的是2渐近线的夹角的正切值，属于中档题．
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