概率试题

第一篇：概率试题

08~09（1）试题（2008.12.24）

一、填空（每题5分，共5题）

1、已知袋中有1个蓝球、2个红球、3个黑球、4个白球，从中不返回的取球，一次一个。则第一、二次都是红球的概率是。

2、已知三个随机变量,,中，EE1,E1,DDD1,0。令，则E；D

3、已知服从参数为的泊松分布，且EE23，则

4、已知~N1,4，1,,4是其样本，则P1（计算到可查表为止）。

5、作5次独立试验，且PA1，已知5次中事件A至少有1次不发生，则A发生3次的概率为

31i1,2,3。用表1i

二、计算（每题8分，共5题）

1、一实习生用同一台机器制造3个同种零件，第i个零件是不合格品的概率为pi

示3个零件中合格品的个数，求的概率分布率。

2、已知,的联合密度函数为fx,y8xy,0yx1，试求的边缘密度函数。其他0,3、某人打靶，得10分的概率为0.3，得9分的概率为0.4，得8分的概率为0.3。现射击100次，求总分多于900的概率（计算到可查表为止）。

4、已知1,,nm是取自总体N0,2的容量为nm的样本，设 

1i，Cmin1nmi1nm

in1n2ii。

2已知服从Fn1,n2。求C以及n1n2。

5、自动包装机装包的每包重量服从正态分布N,2。据以往资料，2.4，现在经过一段时间使用后，随机的抽查9包，观察得100,s3，在显著性水平0.05下，问方差有无显著差异。

三、（15分）

已知,相互独立，且为0,3上的均匀分布，服从参数0的指数分布。已知D1。

1、求,的联合密度函数fx,y；

2、P；

3、求的密度函数fz。

四、（16分）

设总体~N0,2，2有限且大于0，1,,n是其样本，S2是样本方差。

ˆ2；

2、上一问中的ˆ2与S2哪个更有效？

1、求2的极大似然估计

3、设n1,,n是未知参数的一个估计量，若对任意的0，有limPn1，则我们称nn

ˆ2是2的一致估计。是的一致估计量。试用切比雪夫不等式证明：

五、（4分）

假设对于随机变量,，有EE0,DD1,22，试证明Emax,1.5。2

08~09（2）试题（2009.6.22）

一、填空（共4题，每题4分）

1、若PA0.6,PAB0.8，且A,B相互独立，则P

2、已知~BN,p，且E3,D1.5，则N，p

3、连续扔n次硬币，以,分别表示正面和反面的次数，则,

4、已知随机变量是服从0,1的均匀分布，0.1，则的分位数等于

二、选择（共4题，每题4分）

x00,

1、已知的分布函数Fx0.5,。0x1，则的取值为（）

1ex1,x1

(A)0,0.5；(B)0.5；(C)0.5,1；(D)0,0.5；(E)0.5,1。

2、在假设检验中，若样本容量保持不变，则当发生第一类错误的概率变小时，发生第二类错误的概率将（）。

(A)不变；(B)变大；(C)变小；(D)无法确定。

3、已知~N1,1,~N1,4，a0我常数，且Pa0.5。则P2a（）。

(A)0.25；(B)0.5；(C)0.75；(D)1。

4、有如下四个命题：

⑴ 若T~tn，则T2~F1,n；⑵ 若~N0,1，则ab~Nab,a2b2； ⑶ 若~N0,1,~N0,1，则22~22；⑷ 若~N0,1,~N0,1，则/~t1。则以上命题正确的是（）。

(A)仅⑴、⑵；(B)仅⑴、⑶；(C)仅⑴、⑶、⑷；(D)全对；(E)(A)(B)(C)(D)都不对。

三、（10分）袋中有a个白球、b个黑球，从袋中随机抽取一球，看颜色后放回，再放入r个相同颜色的球，这是第一步。重复上面的步骤。求第二次取出白球的概率、以及第二次取到白球第三次取到黑球的概率。

a1x2y2,x2y2

1四、（10分）已知,的联合密度函数为：fx,y，0,其他

试求a及的边缘密度函数。

五、（10分）已知某种产品的次品率为1%，随机抽取10000件这种产品。令事件A{次品数介于91~109}。请用切比雪夫不等式估计PA、并用中心极限定理计算PA（计算到可查表为止）。

六、（8分）一种元件要求其使用寿命不低于1000小时。现从某批元件中抽取25件，测得其平均寿命为950小时。已知该种元件寿命服从标准差为100的正态分布。试在显著水平0.01下确定这批元件是否合格？（提示：检验假设H1:1000）

七、（15分）在长为1的线段上随机的任取两点，设为1,2。

20有实根的概率。⑴ 求12的密度函数；⑵ 求E12；⑶ 求x221x2

1x/,xe

八、（15分）设总体的密度函数为fx，其中0,R。1,,n是其样本，其他0,x1,,xn是其观察值。

ˆ；⑵ 求,极大似然估计量ˆ；⑶ 求Eˆm,EˆL。ˆm,ˆL,⑴ 求,的矩估计量mL

第二篇：概率教案

概率的预测

一、教学目标

掌握通过逻辑分析用计算的方法预测概率，知道概率的预测，概率的频率含义，所有事件发生的概率和为1；经历各种疑问的解决，体验如何预测一类事件发生的概率，培养学生分析问题解决问题的能力；

二、重点：通过逻辑分析用计算的办法预测概率

三、难点：要能够看清所有机会均等的结果，并能指出其中你所关注的结果

四、教学方法：讲练结合法

五、教学器具：多媒体、扑克

六、教学过程

（一）关注我们身边的事：

1）如果天气预报说：“明日降水的概率是95%，那么你会带雨具吗？” 2）有两个工厂生产同一型号足球，甲厂产品的次品率为0.001，乙厂产品的次品率是0.01． 若两厂的产品在价格等其他方面的条件都相同，你愿意买哪个厂的产品？

上述事例告诉我们知道了一件事情发生的概率对我们工作和生活有很大的指导作用.（二）热身运动：

我们三（1）班有21位同学，其中女同学11名，老师今天早上正好看见我们班一位同学在操场锻炼身体，问：我遇到男同学的机会大，还是女同学的机会大？

遇见男生的概率大还是女生的概率大？我们需要做实验吗？我们能否去预测？

复习上节课概率的计算方法

（三）热点探讨：

问题 2006年10月6日，经过三年的建设,由世界建筑大师贝聿铭老先生设计的苏州市博物馆新馆在百万苏州市民的热切期盼中正式开馆.为了让大家能一睹这一被贝老喻为“最亲爱的小女儿”的方容，老师准备带一部分同学去参观苏博新馆，那么带哪些同学去呢？老师准备这么做： 在我们班里有女同学11人，男同学10人。先让每位同学都在一张小纸条上写上自己的名字，放入一个盒中搅匀。如果老师闭上眼睛从中随便的取出一张纸条，想请被抽到的同学等会上讲台和老师一起去参观，这个方法公平吗?那么抽到男同学名字的概率大还是抽到女同学的概率大？

分析 全班21个学生名字被抽到的机会是均等的．

11解

P（抽到女同学名字）=，2110

P（抽到男同学名字）=，所以抽到女同学名字的概率大． 请思考以下几个问题：，表示什么意思？ 21如果抽一张纸条很多次的时候，平均21次就能抽到11次女同学的名字。

2、P(抽到女同学名字)+P(抽到男同学名字)=100%吗？

如果改变男、女生的人数，这个关系还成立吗？ 请学生回答

所有等可能事件发生的概率之和是1

1、抽到女同学名字的概率是

四、你能中奖吗：

1.一商场搞活动促销，规定购物满一百元可以抽一次奖，规则如下，在一只口袋中放着8只红球和16只黑球，抽到红球即获奖，这两种球除了颜色以外没有任何区别．袋中的球已经搅匀．蒙上眼睛从口袋中取一只球，取出黑球与红球的概率分别是多少？

162解 P（取出黑球）＝=, 2

431 P（取出红球）＝1－P（取出黑球）＝，321所以，取出黑球的概率是，取出红球的概率是． 想一想：

33如果商场换成以下的抽奖方案：甲袋中放着20只红球和8只黑球，乙袋中则放着20只红球、15只黑球和10只白球，这三种球除了颜色以外没有任何区别．两袋中的球都已经各自搅匀．蒙上眼睛从口袋中取一只球，取出黑球才能获奖，你选哪个口袋成功的机会大呢？

解题过程见课件

下面三位同学的说法，你觉得这些同学说的有道理吗？

1．A认为选甲袋好，因为里面的球比较少，容易取到黑球；

2．B认为选乙袋好，因为里面的球比较多，成功的机会也比较大。3．C则认为都一样，因为只摸一次，谁也无法预测会取出什么颜色的球．

幸运抽奖：老师手上有两组扑克，一组有7张，其中两张A，另一组16 张，其中四张A，现在老师抽一名同学上来选择一组抽一张，抽到A获奖。

小试身手

在分别写有1到20的20张小卡片中，随机地抽出1张卡片.试求以下事件的概率.（1）该卡片上的数字是5的倍数；（2）该卡片上的数字不是5的倍数；

（3）该卡片上的数字是素数；（4）该卡片上的数字不是素数.学生上黑板书写，纠正学生的不规范书写

注意关注所有机会均等的结果和所需要关注的事件个数 试一试

1、任意翻一下2005年日历，翻出1月6日的概率为________;翻出4月31日的概率为___________。翻出2号的概率为___________。

2、掷一枚普通正六面体骰子，求出下列事件出现的概率：（1）点数是3；（2）点数大于4；（3）点数小于5；（4）点数小于7；（5）点数大于6；（6）点数为5或3．

3、李琳的妈妈在李琳上学时总是叮咛她：“注意，别被来往的车辆碰着”，但李琳心里很不舒服，“哼，我市有300万人口，每天的交通事故只有几十件，事件发生的可能性太小，概率为0。”你认为她的想法对不对？

4、小强和小丽都想去看电影，但只有一张电影票，你能用手中的扑克牌为他们设计一个公平游戏决定谁去看电影吗？（方法多种多样，让学生自己分析）

以上两题组织学生讨论

幸运笑脸：有一个幸运翻板，参与同学回答老师一个问题，答对可以获得一次翻板机会，20个板块中有5个后面试笑脸，翻到笑脸可获得奖品。（是否公平，为下节课埋个伏笔）

五、小 结

1． 要清楚所有等可能结果； ．要清楚我们所关注的是发生哪个或哪些结果； 3 ． 概率的计算公式：

六、布置作业

教学反思：

用样本估计总体(1)知识技能目标

1.进一步体会随机抽样是了解总体情况的一种重要的数学方法,抽样是它的一个关键； 2.根据统计结果作出合理的判断和预测，体会统计对决策的作用，能比较清晰地表达自己的观点，并进行交流．

重点和难点

通过随机抽样选取样本，绘制频数分布直方图、计算样本平均数和标准差并与总体的频数分布直方图、平均数和标准差进行比较，得出结论．

教学过程

一、创设情境

有这么一个笑话：妈妈让一个傻儿子去买一盒火柴，走的时候特别嘱咐这个傻儿子：“宝贝，买火柴的时候要注意买好火柴，就是一划就着的火柴，别买那划不着的火柴啊．”傻儿子答应了妈妈，就去买火柴了．回来的时候，他兴高采烈地喊：“妈妈，妈妈，火柴买回来了，我已经把每一根火柴都划过了，根根都是一划就着的好火柴！” 这虽然是一个笑话，但告诉了我们抽样的必要性． 再请看下面的例子：

要估计一个湖里有多少条鱼，总不能把所有的鱼都捞上来，再去数一数，但是可以捕捞一部分作样本，把鱼作上标记，然后放回湖中，过一段时间后，等带有标记的鱼完全混入鱼群后，然后再捕捞一网作第二个样本，并计算出在这个样本中，带标记的鱼的数目，根据带标记的鱼所占的第二个样本的比例就可以估计出湖中有多少条鱼．

在刚才讲的笑话中，傻儿子其实只要抽取一盒火柴中的一部分来考察火柴是否一划就着就可以了．

二、探究归纳

像这样，抽取一部分作为样本进行考查，用样本的特性去估计总体的相应特性，就是用样本估计总体．为了更好地学习本节知识，我们来回顾一下：什么是平均数、总体平均数、样本平均数、方差、标准差？

平均数：一般地，如果有几个数X1、X2、、X3、„„、Xn，那么x1(x1x2x3xn)，n叫做这几个数的平均数．

总体平均数：总体中所有个体的平均数叫做总体平均数． 样本平均数：样本中所有个体的平均数叫做样本平均数．

方差：对于一组数据，在某些情况下，我们不仅要了解它们的平均水平，还要了解它们波动的大小（即偏离平均数的大小），这就是方差．

s21(x1x)2(x2x)2(xnx)2 n标准差：方差的算术平方根．

s1(x1x)2(x2x)2(xnx)2 n

三、例题解析

让我们仍以上一节300名学生的考试成绩为例，考察一下抽样调查的结果是否可靠．

假设总体是某年级300名学生的考试成绩，它们已经按照学号顺序排列如下（每行有20个数据）：

如图1所示，根据已知数据，我们容易得到总体的频数分布直方图、平均成绩和标准差．

总体的平均成绩为78.1分，标准差为10.8分

图1 用简单随机抽样方法，得到第一个样本，如5个随机数是111，254，167，94，276，这5个学号对应的成绩依次是80，86，66，91，67，图2是这个样本的频数分布直方图、平均成绩和标准差．重复上述步骤，再取第二和第三个样本．

第一个样本的平均成绩为78分，标准差为10.1分

图2 图3是根据小明取到的第二和第三个样本数据得到的频数分布直方图．

第二个样本的平均成绩为74.2分，标准差为3.8分

第三个样本的平均成绩为80.8分，标准差为6.5分

图3 思考 图2、3与图1相像吗？平均数以及标准差与总体的接近吗？

发现 不同样本的平均成绩和标准差往往差异较大．原因可能是因为样本太小．

用大一些的样本试一试，继续用简单随机抽样方法，选取两个含有10名学生的样本，图4是根据小明取到的两个样本数据得到的频数分布直方图．

第一个样本的平均成绩为79.7分，标准差为9.4分

第二个样本的平均成绩为83.3分，标准差为11.5分

图4 发现 此时不同样本的平均成绩和标准差似乎比较接近总体的平均成绩78.1分和标准差10.8分．

猜想 用大一些的样本来估计总体会比较可靠一点．

让我们用更大一些的样本试一试，这次每个样本含有40个个体．图5是根据小明取到的两个样本数据得到的频数分布直方图．

第一个样本的平均成绩为75.7分，标准差为10.2分

第二个样本的平均成绩为77.1分，标准差为10.7分

图4 发现 图4中样本的平均成绩和标准差与总体的平均成绩和标准差的差距更小了． 结论 样本大更容易认识总体的真面目． 下面请同学们也用自己的抽样数据分析一下．

四、交流反思

随着样本容量的增加，由样本得出的平均数、标准差会更接近总体的平均数、标准差． 样本大更容易认识总体的真面目．因此，可以通过选取恰当的样本来估计总体．

五、检测反馈

1．某校50名学生的体重记录如下（按学号顺序从小到大排列）（单位：kg）

试用简单的随机抽样的方法，分别抽取5个、15个、30个体重的样本各两个并计算样本平均数和标准差．把它们与总体平均数和标准差作比较，看哪个样本的平均数和方差较为接近．

2．某校九年级(1)班45名学生数学成绩如下（单位：分）

(1)请你用简单的随机抽样方法选取2个样本容量为10的样本，2个样本容量为20的样本，2个样本容量为30的样本，并将你选取的各样本的数据和相应的样本的平均数和标准差填入下表（精确到0.1）

(2)求出九年级(1)班45名学生数学的平均成绩和标准差．分别将表格中不同样本容量的平均数、标准差与总体的平均数、标准差进行比较，从比较中你发现些什么？

六：教学反思：

第三篇：概率教案

一、授课题目

1.4等可能概型（古典概型）

二、目的要求

教学目的：（1）理解基本事件、等可能事件等概念；

（2）会用枚举法求解简单的古典概型问题；

教学要求：要求学生熟练掌握等可能概率, 会计算古典概率

三、重点、难点

教学重点：理解古典概型的概念及利用古典概型求解随机事件的概率；

教学难点：如何判断一个试验是否是古典概型，分清在一个古典概型中某随机事件包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数。

四、授课内容

等可能概型

1．基本事件：在一次试验中可能出现的每一个基本结果称为基本事件；

2．等可能基本事件：若在一次试验中，每个基本事件发生的可能性都相同，则称这些基本事件为等可能基本事件；

3．古典概型：满足以下两个条件的随机试验的概率模型称为古典概型

①所有的基本事件只有有限个；

②每个基本事件的发生都是等可能的； 具有以上两个特点的试验是大量存在的，这种试验称为等可能概型（古典概型）。计算公式：

若事件A包含k个基本事件，即A={ei1}∪{ei2}∪„∪{eik},这里i1,i2,„ik是1,2，„，n中某k个不同的数，则有

PAknA包含的基本事件数

S包含的基本事件数例题1：将一枚硬币抛掷3次。（1）设事件A1为“恰有一次出现正面”，求P（A1）（2）事件A2为“至少有一次出现正面”，求P（A2）。解：（1）我们考虑样本空间：

S2={HHH,HHT,HTH,THH,HTT,THT,TTH,TTT}.而A1={HTT,THT,TTH}.S2中包含有限个元素，且由对称性知每个基本事件发生的可能性相同，故由古典概率的计算公式可得 P（A1）=

（2）由于A2={TTT},于是 P(A2)=1-P(A2)=1-=

当样本空间的元素较多时，我们一般不再将S中的元素一一列出，而只需分别求出S中与A中包含的元素的个数（即基本事件的个数），再由公式求出A的概率。

例题2：一个口袋装有6只球，其中4只白球，2只红球，从袋中取球两次，每次随机的取一只，第一次取一只球，观察其颜色后放回袋中，搅匀后再取一球，这种取球方式叫做放回抽样。试分别就上面的情况求（1）取到的两只球都是白球的概率；（2）取到的两只球颜色相同的概率；（3）取到的两只球中至少有一只是白球的概率。解：放回抽样的情况。

以A、B、C分别表示事件“取到的两只球都是白球”，“取到的两只球都是红球”，“取到的的两只球中至少有一只是白球”。易知“取到两只颜色相同的球”这一事件即时A∪B，而C=B.在袋中依次取两只球，每一种取法为一个基本事件，显然此时样本空间中仅包含有限个元素，且由对称性知每个基本事件发生的可能性相同，由此可计算出事件的概率。

每一次从袋中取球有6只球可供抽取，第二次也有6只球可供抽取。由组合法的乘法原理，共有6×6种取法，即样本空间中元素总数为6×6。对于事件A而言，由于第一次有4只白球可供抽取，第二次也有4只白球可供抽取，由乘法原理共有4×4个元素。同理B中包含2×2个元素。于是

444 P（A）= =

669

P(B)=

221= 669

由于AB=，得 P(A∪B)=P(A)+P(B)= P(C)=P(B)=1-P(B)=

9例题3：将一个骰子先后抛掷2次，观察向上的点数。

问：⑴两数之和是3的倍数的结果有多少种？ 两数之和是3的倍数的概率是多少？

⑵两数之和不低于10的结果有多少种？ 两数之和不低于10的的概率是多少？

分析：建立模型，画出可能出现结果的点数和表

解：由表可知，等可能的基本事件的总数是36种

(1)设“两次向上点数之和是3的倍数”为事件A，事件A的结果有12种，故121P(A)

363(2)设“两次向上点数之和不低于10”为事件B，事件B的结果有6种，故61P(B)

366思考：对于此题，我们还能得到哪些相关结论呢? 变式一：总数之和是质数的概率是多少？

变式二：点数之和是多少时，概率最大且概率是多少？

变式三：如果抛掷三次，问抛掷三次的点数都是偶数的概率，以及抛掷三次得点数之和等于16的概率分别是多少？

例题4：一个口袋内装有大小相同的5个红球和3个黄球，从中一次摸出两个球

(1)共有多少个基本事件？

(2)求摸出的两个球都是红球的概率；(3)求摸出的两个球都是黄球的概率；(4)求摸出的两个球一红一黄的概率。

分析：可用枚举法找出所有的等可能基本事件．

解：(1)分别对红球编号为1、2、3、4、5号，对黄球编号6、7、8号，从中任取两球，有

如下等可能基本事件，枚举如

（1，2）、（1，3）、（1，4）、（1，5）、（1，6）、（1，7）、（1，8）

（2，3）、（2，4）、（2，5）、（2，6）、（2，7）、（2，8）

（3，4）、（3，5）、（3，6）、（3，7）、（3，8）

（4，5）、（4，6）、（4，7）、（4，8）

（5，6）、（5，7）、（5，8）

（6，7）、（6，8）

（7，8）

共有28个等可能基本事件

（2）上述28个基本事件中只有10个基本事件是摸到两个红球（记为事件A）的事件

m105 n2814(3)设“摸出的两个球都是黄球”为事件B，事件B包含的基本事件有3个，m3故P(B)

n28(4)设“摸出的两个球是一红一黄”为事件C，事件C包含的基本事件有15m15个，故P(C)

n28故 P(A)思考：通过对摸球问题的探讨，你能总结出求古典概型概率的方法和步骤吗？

五、授课小结

1.学生反映古典概率比较难求。2．古典概型、等可能事件的概念；

六、布置作业

Page26习题19

第四篇：概率复习

第一章、概率论的基本概念

考点：

事件的关系及运算，概率的公理化定义及其性质，古典概型，条件概率的定义及贝叶斯公式，n重伯努利

试验及二项概率公式。

参考：例1.4、例1.6、例1.26、习题一28

第二章、随机变量

考点：

随机变量的分布函数的概念及性质，概率分布（密度）及两者的性质，分布函数与密度函数的关系，三大离散分布的定义及记号以及相关计算，三大连续分布的定义及记号以及相关计算。

参考：例3.1、例3.15、习题三1

3第三章，随机向量

考点：

二维离散型随机变量的联合概率分布，边缘分布，条件分布，独立的充要条件，二维离散型随机变量的函

数。

参考：例3.1、例3.15、习题三1

3第四章，随机变量的数字特征

考点：

均值、方差的定义及其性质，六大常见分布的均值及方差、计算过程。

参考：习题四1、5。

第五章，大数定律与中心极限定理

考点：

独立同分布中心极限定理，棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理。

参考：例5.4、例5.6、第六章 数理统计的基本概念

考点：

简单随机样本的定义，常用统计量，三大统计分布定义及其性质和相关计算（上分位点），正态总体抽样分布定理。

本部分主要考查对概念及性质的理解。特别注意：

若E(X),D(X)2,则E(Xi),D(Xi)

2第七章 参数估计

考点：

矩估计法，极大似然估计法，估计量的评价标准（无偏性及有效性），正态总体均值的区间估计。参考：例7.6、例7.8、例7.9、例7.12

第五篇：概率小结

理科第二学段数学学习报告

概率全章小结

班级：

姓名

评定：

【引语】

总结应做到“瞻前顾后”。一份认真的总结，应是对自己充分认识的基础上的行动纲领的设计，应是避免盲目乐观或自暴自弃的有效方法，应是过程的记录，从过程的开始阶段就已着手处理，应是复习过程中不可或缺的重要环节。总结内容分以下几个部分：

一．知识内容结构

二．重点知识梳理与注意事项 三．全章课程实录

在此只需写出: 每次课的序号;(如第几次课)课上所讲问题，习题(习题或问题的解答不用抄写);强调的重点问题，知识，方法.四．典型例题解析 五．典型错例分析

六．复习方法、效率总结

七．上阶段注意事项修正情况(本内容在本章小结中不写)八．下阶段注意事项

【注意】

请大家认真为自己做事并珍惜自己的劳动成果。

【正文】

3.1 事件与概率 3.2 古典概型

3.3 随机数的含义与应用 3.4 概率的应用

3.1 事件与概率

必然现象：一定条件下必然发生某种结果的现象。

随即现象的特点：当在相同的条件下多次观察同一现象，每次观察到的结果不一定相同，事

先很难预料。-不可能事件：该结果始终不会发生。必然事件：每次实验中一定会发生。

随机事件：在实验中可能发生也可能不发生的结果。

随机事件一般简称为事件。

-基本事件：实验中不能再分的最简单的随机事件。

所有基本事件构成的集合-->基本事件空间

概率的统计定义：一般地，在n次重复进行的实验中，事件A发生的频率m/n，当n很大时，总是在某个常数附近摆动，随着n的增加，摆动幅度越来越小，这时就把这个常数叫做事件A的概率，记作P(A).频率&概率：用频率估计概率。

概率的理解：概率，又称或然率、机会率或机率、可能性，是数学概率论的基本概念，是一个在0到1之间的实数，是对随机事件发生的可能性的度量。人们常说某人有百分之多少的把握能通过这次考试，某件事发生的可能性是多少，这都是概率的实例。但如果一件事情发生的概率是1/n，不是指n次事件里必有一次发生该事件，而是指此事件发生的频率接近于1/n这个数值。

* 降水概率70%的理解

概率的古典定义

如果一个试验满足两条：

（1）试验只有有限个基本结果

（2）试验的每个基本结果出现的可能性是一样的。

这样的试验，成为古典试验。对于古典试验中的事件A，它的概率定义为：P(A)=m/n，n表示该试验中所有可能出现的基本结果的总数目。m表示事件A包含的试验基本结果数。这种定义概率的方法称为概率的古典定义。

概率的几何概型

简单地说，如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型。

比如：对于一个随机试验，我们将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中每一个点被取到的机会都一样；而一个随机事件的发生则理解为恰好取到中述区域内的某个指定区域中的点。这里的区域可以是线段，平面图形，立体图形等。用这种方法处理随机试验，称为几何概型.特点：(1)试验中所有可能出现的基本事件有无限多个.(2)每个基本事件出现的可能性相等.计算公式:

一般地,在几何区域D中随机地取一点,记事件“该点落在其内部一个区域d内”为事件A,则事件A发生的概率为：

P(A)=构成事件A的区域长度(面积或体积)/ 实验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积)

这里要指出:D的测度不能为0,其中“测度”的意义依D确定.当D分别为线段,平面图形,立体图形时,相应的“测度”分别为长度,面积,体积等.#实例：1）投针求圆周率 >随机数

概率的一般加法公式： 设AB是Ω的两个事件，P(AUB)=A中基本事件个数+B中基本事件个数-A∩B中基本事件的个数/Ω的基本事件总数

P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)

* 对于两个互为对立事件的A,B 则有：

P(B)=1-P(A)

概率例题

1.In how many distinguishable ways can the seven letters in the word MINIMUM be arranged, if all the letters are used each time? 答案：420 【详解】

7个字母总的排列是: 7!=7*6*5*4*3*2*1=5040 需要剔除M、I重复的排列: 1/(2!*3!)=1/12 所以 结果为5040* 1/12=420

2.What is the probability of getting at least three heads when flipping four coins? 答案：5/16 【详解】

Sample space：1/2*1/2*1/2*1/2=1/16 [思路1]

[思路2] At least three heads=至少三次头朝上=3次头朝上1次头朝下+4次头都朝上 分别计算“3次头朝上1次头朝下”“4次头都朝上”，求和得结果。

例题解析：

1、两个事件互斥是两个事件对立的（）条件 A.充分不必要 B.必要不充分 C.充分必要

D.既不充分也不必要

答案：B

入选原因：该题所强调的概念需要牢记！

2.抛掷一枚质地均匀的硬币，如果连续抛掷1000次，那么第999次出现正面朝上的概率是（1/2）

入选原因：分清每一个时间与其他事件是否有联系，如该题中的事件就为一独立事件，与前998次所抛掷结果无关。

3.从一批产品中取出三件产品，设A=“三件产品全不是次品”，B=“三件产品全是次品”，C=“三件产品不全是次品”，则下列结论正确的是（）A.A与C互斥

B.B与C互斥

C.任何两个均互斥

D.任何两个均不互斥

答案：B

入选原因：概率的题里有许多“不全是”“全不是”之类的超级容易混淆的东西……所以看题时仔细！！

4.从一批羽毛球产品中任取一个，其质量小于4.8g的概率为0.3，质量小于4.85g的概率为0.32，那么质量在[4.8，4.85](g)范围内的概率是（）A.0.62

B.0.38

C.0.02

D.0.68

答案：C

入选原因：大多数时候两个事件的概率都不能相加减，但是如果一个A事件完全包含在另一个B事件中，那么后者的概率减去前者的概率就为A事件在B事件中的补集发生的概率。

5.从甲、乙、丙、丁4人中选3人当代表，则甲被选中的概率是(3/4)

入选原因：有时，有些题目可能正着想会十分复杂，但如果倒着想便十分简单，例如该题，如果算甲被选中肯定不如算甲未被选中简单。又因为甲被选中与未被选中是对立事件，概率和为1，所以甲被选中的概率为1-1/4=3/4

6.一个袋中装有2个红球和2个白球，现从袋中取出1球，然后放回袋中再取出一球，则取出的两个球同色的概率是（1/2）

入选原因：该类题也有一个投机取巧的方法……由于第一次取出两类球等概，取出后又放回了，使第二次取球也等概，所以可以忽略第一取出的是什么颜色得球，直接想第二次取出球的颜色即可。【方法推广】其实就算第一二次都不等概也没有关系，只要两次取球的情景相同（即红白球比例未变,假如是x：n）则怎么算取出两个相同颜色的概率都是x^2+n^2/(x+n)^2

7.对某种产品的5件不同正品和4件不同次品一一进行检测，直到区分出所有次品为止.若所有次品恰好经过五次检测被全部发现，则这样的检测方法有（）

A．20种

B．96种

C．480种

D．600种

答案：D

解析：能五次检测出所有次品的情况大致分两类。A：检验了5个正品 B：检验了1正4次

A的检测方法总数：5！

B的检测方法总数：5*4*4！（有五种从正品中选一个的情况，正品有4个位臵可选择被检测出，正品不能最后一个被检测出，否则仅需4次便可检测出所有次品，4个不同次品的检测顺序是4！）

8、甲、乙两人约定在6时到7时之间在某处会面，并约定先到者应等候另一个人一刻钟，过时即可离去，求两人能会面的概率。

入选原因：唯一一道几何概型的题目，不过集合概型的题目都差异不大，主要就是看能不能想出题目对应的几何模型了。

答案：建立XY坐标系，将甲到达时间设定为X 乙到达时间设定为Y，画出一条X-15=Y及X+15=Y的直线，然后大家肯定都会做了就不详细说了……（画不出图T^T)

概率方法整体总结：做题前首先要看清题目，分辨清很多易混淆词汇，然后要搞清所求事件是否为独立事件，或者它与谁为对立事件，这样有助于题目的求解，接着思考是否有能转变题目所问的方法，有时求另一个东西然后再推出题目所求远比直接求解题目要便利的多。最后就是认真计算，分清排列的组合，想清是否要考虑顺序。

概率这方面的题目难度并不特别大，主要就是靠认真= =！

【临终吐槽】这分明就是小学奥数里的排列组合啊……………………

附注：合作人 郭静茹！