公理3的推论3的证明

第一篇：公理3的推论3的证明

公理3的内容是：经过不在同一直线上的三个点，有且只有一个平面。

公理3的推论3是：两条平行的直线确定一个平面。

所有的推论是由相应的公理证明的。

证明：

设两直线l和m互相平行，取l上两个点A和B，取m上两个点C和D，显然任意三点都不共线，否则l和m将会相交，与两直线平行矛盾，根据公理3，知道

过A、C、D有且只有一个平面，设为平面α；过B、C、D有且只有一个平面，设为平面β；

假设两平面α和β不重合，则B在α外，在同一平面内，永不相交的两条直线叫平行线，所以在α内过A且与CD平行的直线有且只有一条，不妨设为AE，此时，AB和AE都与CD平行，与“过直线外一点与此直线平行的直线有且只有一条"矛盾,所以B也在α内，此时α和β重合，即α和β是同一个平面，即两条平行的直线确定一个平面。

第二篇：证明公理3的推论3

证明公理3的推论3

公理3的内容是：经过不在同一直线上的三个点，有且只有一个平面。

公理3的推论3是：两条平行的直线确定一个平面。

所有的推论是由相应的公理证明的。

证明：

设两直线l和m互相平行，取l上两个点A和B，取m上两个点C和D，显然任意三点都不共线，否则l和m将会相交，与两直线平行矛盾，根据公理3，知道

过A、C、D有且只有一个平面，设为平面α;过B、C、D有且只有一个平面，设为平面β;

假设两平面α和β不重合，则B在α外，在同一平面内，永不相交的两条直线叫平行线，所以在α内过A且与CD平行的直线有且只有一条，不妨设为AE，此时，AB和AE都与CD平行，与“过直线外一点与此直线平行的直线有且只有一条“矛盾,所以D也在α内，此时α和β重合，即α和β是同一个平面，即两条平行的直线确定一个平面。

2公理3的内容是：经过不在同一直线上的三个点，有且只有一个平面。

公理3的推论3是：两条平行的直线确定一个平面。

所有的推论是由相应的公理证明的。

证明：

设两直线l和m互相平行，取l上两个点A和B，取m上两个点C和D，显然任意三点都不共线，否则l和m将会相交，与两直线平行矛盾，根据公理3，知道

过A、C、D有且只有一个平面，设为平面α;过B、C、D有且只有一个平面，设为平面β;

假设两平面α和β不重合，则B在α外，在同一平面内，永不相交的两条直线叫平行线，所以在α内过A且与CD平行的直线有且只有一条，不妨设为AE，此时，AB和AE都与CD平行，与“过直线外一点与此直线平行的直线有且只有一条”矛盾,所以D也在α内，此时α和β重合，即α和β是同一个平面，即两条平行的直线确定一个平面。

两点定一条直线

三点(不直线)定一个平面

两条平行的直线中其中一条直线可以确定2个点

另一条中找随便一个点，这个点在第一条直线外

所以不在一直线上的三个点可确定一个平面

存在性：

在每一条直线上都任意取一点(不是交点),不在同一直线上的三个点有一个平面(公理3)。

唯一性：

不在同一直线上的三个点只有一个平面(公理3)。

综上所述，两条相交的直线确定一个平面。

第三篇：证明公理三的推论三

证明公理三的推论三

1.平面通常用一个平行四边形来表示.平面常用希腊字母α、β、γ…或拉丁字母M、N、p来表示，也可用表示平行四边形的两个相对顶点字母表示，如平面AC.在立体几何中，大写字母A，B，C，…表示点，小写字母，a,b,c,…l,m,n,…表示直线，且把直线和平面看成点的集合，因而能借用集合论中的符号表示它们之间的关系，例如：a)A∈l—点A在直线l上;Aα—点A不在平面α内;b)lα—直线l在平面α内;c)aα—直线a不在平面α内;d)l∩m=A—直线l与直线m相交于A点;e)α∩l=A—平面α与直线l交于A点;f)α∩β=l—平面α与平面β相交于直线l.2.平面的基本性质公理1如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内.公理2如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线.公理3经过不在同一直线上的三个点，有且只有一个平面.根据上面的公理，可得以下推论.推论1经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面.推论2经过两条相交直线，有且只有一个平面.推论3经过两条平行直线，有且只有一个平面.3.空间线面的位置关系共面平行—没有公共点(1)直线与直线相交—有且只有一个公共点异面(既不平行，又不相交)直线在平面内—有无数个公共点(2)直线和平面直线不在平面内平行—没有公共点(直线在平面外)相交—有且只有一公共点(3)平面与平面相交—有一条公共直线(无数个公共点)平行—没有公共点

存在性：

在每一条直线上都任意取一点(不是交点),不在同一直线上的三个点有一个平面(公理3)。

唯一性：

不在同一直线上的三个点只有一个平面(公理3)。

综上所述，两条相交的直线确定一个平面。

1)三点确定一个平面

2)在一条直线A上取一个点E，与另一条直线B可确定一个平面C。

3)在A上任取一点D(不与E重合)，证明D与B确定的平面与C重合。

否则可导致A，B不平行。

两点定一条直线

三点(不直线)定一个平面

两条平行的直线中其中一条直线可以确定2个点

另一条中找随便一个点，这个点在第一条直线外

所以不在一直线上的三个点可确定一个平面

第四篇：初三数学证明及相关公理、定理、推论

第一次课：证明及相关公理、定理、推论

一、考点、热点回顾

1、《证明

（一）》知识点回顾：全等三角形的四个公理和一个推论

公理三遍对应相等的两个三角形全等。(SSS)

公理两边及其夹角对应相等的两个三角形全等。(SAS)

公理两角及其夹边对应相等的两个三角形全等。(ASA)

公理全等三角形的对应边、对应角相等。

推论两角及其中一角的对应边相等的两个三角形全等。(AAS)

2、课堂新知

等腰三角形性质定理：

定理等腰三角形的两个底角相等。（简单叙述：等边对等角）

等腰三角形性质定理推论：

推论等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。

等腰三角形的判定定理：

定理有两个角相等的三角形是等腰三角形。（简单叙述：等角对等边）

等边三角形判定定理1：

定理有一个角等于60的等腰三角形是等边三角形。

等边三角形判定定理2：

定理三个角都相等的三角形是等边三角形。

含有30角的直角三角形的性质定理：

定理在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一半。

等边三角形性质定理：

等边三角形的三个角相等，并且每个角都等于60。

3、反证法

在ABC中，BC，求证：ABAC

反证法一般用于不方便直接证明的命题，从其反面予以证明不成立，从而肯定本命题整理，基本步骤为：假设命题结论不成立；从这个假设出发应用正确的推理方法；得出与定义、公理、已证定理或已知的矛盾；从而否定假设，得出肯定的结论。

4能力拓展：

（1）、利用辅助线构造等腰三角形或全等三角形解决问题

（2）、等腰三角形的性质在实际生活中的应用 

二、典型例题

ABDC

F

1F

例

1、（2010·昆明中考题）如图，点B、D、C、F在一条直线上，且BC=FD，AB=EF。

（1）请你只添加一个条件（不再加辅助线），使ABCEFD，你添加的条件是；（2）添加了条件后，证明ABCEFD。

例

2、（2011·济南模拟题）在ABC中，ABAC,点D在AC边上，且BDBCAD，则A的度数为（）。

A.30B.36C.45D.70

例

3、（2010·成都调研题）点D、E在ABC的边BC上，ABAC,ADAE,求证：BDCE。

例

4、（2011·宁波模拟题）在ABC中，ABC、ACB的角平分线相交于点O，过点O的直线









例

1MN//BC，分别交于点M、N，求证：MNBMCN。

例

5、（2011·乐山模拟题）在等边ABC中，点D、E分别在BC、AB上，且BDAE，AD与CE交于点F。

（1）求证：ADCE；（2）求DFC的度数。

例

6、（2010·北京四中测试题）D、E在线段BC上，A

BDCE，ACB120o，求证：ADE为等边三角形。

B

DE

C

例6

例

7、（2011·长春模拟题）已知如图，ABC是等边三角形，且1=2=3，求证：DEF是等边三角形。

D

A

C

E

B

例

8、（2010·华师一附中测试题）在ABC中，例7

F

ABA,CBAC12o，0是BCD的中点，DEAB于点E，求证：EB3EA

例

9、（2010·哈尔滨联考题）用反证法证明等腰三角形的底角都是锐角。

例

10、(2010·天津调研题)如图，D为等边ABC内一点，且

C

DBDA,BPAB,DBPDBC.求BPD的度数。

PD

B

例7

A

三、课后练习

1、D在AB上，点E在AC上，ABCACB,那么补充下列一个条件后，仍无法判定

ABEACD的是（）

A.ADAEB.AEBADCC.BECDD.ABAC

2、如图，ABAE,ABCAED,BCED,点F是CD的中点。（1）、求证：AFCD；

（2）、在连接BE后，还能得出什么结论？（至少写出三个）

3、如图，已知点C是线段AB上一点，分别以AC、CB为一边在AB的同侧作等边ACD和等边CBE，AE交CD于M，BD交CE于

B

E

C

FD

DA

C

EN

B

N。求证：MCN为等边三角形。

4、一艘船由西向东航行，在A处测得小岛P的方位是北偏东，又航行7海里后，在B处测得小岛P的方位是北偏东，若小岛周围3.8海里内有暗礁，该穿一直向东航行有无触礁的危险？

5、在等腰ABC中，CH是底边上的高线，点P是线段CH上不与端点重合75o

60o

P

AB

C

FP

E

AHB的任意一点，连接AP并延长交BC于点E，连接BP并延长交AC于点F。（1）求证：CAECBF（2）求证：AEBF

（3）以线段AE、BF和AB为边构成一个新的三角形ABG（点E和点F重合于点G），记ABC和ABG的面积分别为SABC和SABG，如果存在点P，能使得SABC=SABG，求A CB的取值范围。

6、用反证法证明：一个三角形中不能有两个直角。

第五篇：心理学十大人性公理的应用和推论

十大人性公理的应用和推论 ——灵遁者

上一章，我们用“公理”的形式总结了关于人性的10条认识。其实我在一开始就说了，此“公理”非数学概念的公理。只是说，我们要相信，虽然研究意识似乎脱离不了主观。但依然有一些我们公认的关于意识的理论。用这些公认的理论，去推理关于人的行为和性格，这样建立的心理学理论，我认为更靠谱。

我们总结一下最基本的东西，是要发挥这些最基本的东西的作用。就像我说的，最简单的东西，最实用。

我们应该回顾一下，总结的10条心理学公理。然后每一条分析它的推论。然后应用在心理学分析里，看看理论是怎么样。

公理一：意识产生的生物学机理别无差别。其他表述：此意识和彼意识无本质差别。

该公理的重要指示，有两点。

1、人的意识产生机制是一致的。不应该差别对待。这一种平等指示，尤其对于心理学研究而言，在心理上要对对象平等。我们承认大脑机制的效率会因人而异。但就产生意识方式是一致的。就好比说一个要人，肯定由一个精子和一个卵子结合而生成的。公理二：意识是由先天力量和后天力量共同驱动的。

该公理指出，考察一个人的人格的发展，行为，性格必须从两方面把握。一方面就是遗传，一方面是后天的各种影响。比如教育，父母，朋友，爱人，环境，工作等等。公理四，公理五其实都是后天的东西。

一般而言，后天力量对人格的发展形成起主要作用。但先天力量，有时候也是非常重要的。尤其对于那些先天有缺陷的人。正常人的体细胞染色体数目为23对，并有一定的形态和结构。染色体在形态结构或数量上的异常被称为染色体异常，由染色体异常引起的疾病为染色体病。现已发现的染色体病有100余种，染色体病在临床上常可造成流产、先天愚型、先天性多发性畸形、以及癌肿等。而且染色体异常的发生率并不少见，在一般新生儿群体中就可达0.5%~0.7%，平均3000新生儿出生数计算，其中可能有15~20例为染色体异常者。而在早期自然流产时，约有50%~60%是由染色体异常所致。染色体异常发生的常见原因有电离辐射、化学物品接触、微生物感染和遗传等。临床上染色体检查的目的就是为了发现染色体异常和诊断由染色体异常引起的疾病。所以其实大家还好发现，先天力量和后天力量有相互影响，构成一个人体的影响系统。

我有一个客户分享过一个案例，她的丈夫有先天小三阳，就是慢性肝病。最近几年，他丈夫酷爱锻炼，锻炼了大概3年多后，竟然发现先天的小三阳病痊愈了，查不出来了。她自己都说太神奇了。也不知道什么缘故。我听了也很惊讶。

我说一个我奶奶的案例，我奶奶有一个此生大病，瘫在床上一个多月，日日不能睡，吃也不行。找个一个医生来看看，说不行了。可是后来我奶奶竟然慢慢好转了，能吃了，也能慢慢能睡了。所以奇迹般的又活了5年多。所以有时候，医生宣判你要死亡的时候，你要自己更死亡说NO！

比这个还惊讶的，网上看到过案例。当然网上的案例真假难辨。比如肿瘤，癌症自愈等等。相信大家也看过。所以说先天力量和后天力量共同影响，是肯定的。意识就是这两方面共同作用的。所以意识如果是快乐的，开朗的，积极的，对于我们的身体，自然是好的，这是无疑的。

公理三：生命体体征存在时，意识时刻存在。该公理的推论：意识是客观存在的。

即人的脑活动正常，人体生命体征存在时候，人的意识伴随人而存在。不能以生命体没有体验到，而否认意识的存在。比如做梦，昏迷等时候，都可以认为意识此刻是存在的。

公理四：社会中人的意识，具有社会性。

社会性是个体不能脱离社会而孤立生存的属性。他是在社会中成长的。就像公理五中表明的。概念性的东西，必须是后天建立的。而概念性的东西是在社会发展中形成的。人们约定成俗的一些东西。

人并不是自然界中唯一具有社会性的生物。自然界中，还有很多生物具有社会性，如狮子，狼群，甚至蚂蚁、蜜蜂等。但在蚂蚁社会中个体的蚂蚁无论是当“工人”还是当“皇帝”都是天生的。

人的社会性和人类智能之间的关系很容易解释：人的智能的发展程度决定人在社会中解决问题的能力和人的认识能力，而这样的一些能力决定人和他人之间是否会产生严重冲突，人解决问题的能力和认识能力越高，个体间的冲突就小，人与他人之间的社会性就会自然。此类人我们一般会夸他情商高，会来事。但智商高，不一定情商高。有的智商高，却与社会格格不入。

相反，如果人解决问题的能力和认识能力越低，个体间的冲突就会越严重，人有可能会表现出违背社会性的行为。通常把一些对人类整体运行发展有利的基本特性称为人的社会性，如利他性、协作性、依赖性、以及更加高级的自觉性等，通常把对人类整体运行发展不利的基本特性称为人的反社会性。比如一些极端组织，恐怖组织就被认为具有反社会性意识。

公理五：概念性的东西，必须是后天建立的。概念是人类在认识过程中，从感性认识上升到理性认识，把所感知的事物的共同本质特点抽象出来，加以概括，是自我认知意识的一种表达，形成概念式思维惯性。在人类所认知的思维体系中最基本的构筑单位。

人或动物在出生的时候，意识里没有概念的东西。所有概念性的东西，是在后天成长中形成的。尤其是和教育有关。所以教育是使得一个人聪明和极具处理外界问题的能力。没有教育，人性中就会越乏光明。任何时候，任何一个家庭，一个国家，都应该把教育作为立国育民之本。

心理学上认为，概念是人脑对客观事物本质的反映，这种反映是以词来标示和记载的。概念是思维活动的结果和产物，同时又是思维活动借以进行的单元。表达概念的语言形式是词或词组。人类的文化和语言系统，就是在概念的基础上建立起来的。没有概念的表达，一定是混乱的。

概念随着社会历史和人类认识的发展而变化。中华人民共和国国家标准：“概念”是对特征的独特组合而形成的知识单元。德国工业标准2342将概念定义为一个“通过使用抽象化的方式从一群事物中提取出来的反映其共同特性的思维单位”。

可以这样说，概念是语言哲学的基础。比如我举一个例子，在古文明中，表达数量，由于人们的认识很有限的。他只能表达，10以内的数量。当超过10的时候，他会说有很多。可是很多是多少，是一个很模糊词。比如来了一群敌人，士兵报告，敌方有很多人。这个信息，对于一个将军排兵布阵，是很有影响的。

而慢慢人们可以表达100,1000的时候，就会说对方来敌，大概是800人。这样将军，就清楚了。不慌不忙，开始排兵布阵了。

比如有这样一句话：请你给每一个年龄超过30岁的高尚男性，一杯热的葡萄酒。我们可以很轻松表达和知道这句话。可以对于一个2岁的孩子，他是不清楚的。他得懂一个些概念之后才能懂。比如“超过30岁”，“高尚”，“男性”“热的”，“葡萄酒”。否则他不能完成该指令。

公理六：真伪的概念存在，但无法界定。

也可以这样表述：人是具有矛盾性意识的，即人的意识一定有非理性的一面。

我在前面的章节中，论述过，人的非理性是必然的。在哲学上，在数学上，在认识论上都有推理。哲学上就是矛盾性。数学上的证明由维特根斯坦和哥德尔给出。即哥德尔不完备定理。认识论上，由于个人的时间有限，人的认识有限。所以真伪的概念，随着认识会有深化。

当人的非理性是必然出现的时候，人阻止和减少非理性的出现，就是必然的。这就是宗教，社会规则，法律，道德出现的必然原因。大家好好思考一下。这在心理学方面，也是重中之重。

公理七：意识产生于行为之前。

意识产生与行为之前的一个推论是，引导意识，才能引导行为。当然行为可以反影响意识。

公理八：记忆机制表明遗忘是不可避免的。

这一点在上一章，有明确的论述和举例。值得庆幸的是，我们的虽然记忆有不完美之处。但人类完善了这种不完美性。比如笔记，书本，电脑都成为储存我们记忆的延伸物品。这对于人类的进步而言有不可估量的作用。

公理九：潜意识内容的提取具有不确定性。

该公理的推论就是：人的意识具有不确定性。就像我们销售人员经常说的：“在客户没有交钱之前，你永远不知道客户今天晚上想了什么，明天会做什么？”每个人都有这样的经历，计划一件事情，但是突然就变卦了，不想去了，不想做了。你这种意识出现，有可能是受新刺激出现的影响。也可能与回忆过去的某一个瞬间而有关。

所以其实公理九和公理十，可以有一个重要的推论：选择是意识博弈的结果。

这点非常重要，其实可以做为一个公理而存在。人会依据过去的经验，和当下的刺激，潜意识中产生意识的博弈。向左好，还是向右好？买大还是买小的？买红色还是黄色？都跟他过去的经历是有关。所以说意识是博弈的结果。

博弈论主要研究公式化了的激励结构间的相互作用，是研究具有斗争或竞争性质现象的数学理论和方法。博弈论考虑游戏中的个体的预测行为和实际行为，并研究它们的优化策略。这个方法非常好，可以运用到研究心理学方面。

从这个角度讲，每个人都是和过去的自己在博弈。在过去的自己身上成长起来的。所以变化对于每个人而言都是挑战。比如你要对工作，做出调整，说每天比原来多工作一个小时。以你的过去的经验而言，这是痛苦的。所以改变习惯，其实就是博弈过去。打破原来的模式。

这样你就会发现，很多现代人的健康问题，就源于此。焦虑，恐惧等等。比如焦虑就多来自于压力，而这样的压力就是博弈的结果。是他对现在的情况的不乐观。

还有很多人恐惧夜晚，很多原因是受过去听的可怕的故事，多发生在晚上。看过的电影，坏人和鬼怪总是在夜里出现。还有夜间的客观环境，阴暗。更加引发人们的不良猜想。于是就恐惧了。

选择是意识的博弈结果，这是很重要的一个推论。希望大家记住。

公理十：从遗传和发展角度共同来说，意识总服务于如何更好的存在。很多人在看了公理九的解释后，可能对于公理十有疑问。其实公理九和公理十是一致的。“意识”总服务于更好的存在。这种“更好的”认定主体，其实是以体验主体而言的。从人格发展来说，他认为这是对他好的。

当然我们上面，也说了，人的非理性一面，其实和此条公理有冲突性。但这种冲突无法避免。有时候，你清楚自己焦虑，神经质其实是不对的。但是肌体无法控制。也就是一个人的人格，和人格模式的形成非一朝一夕。甚至有遗传因素影响。所以改变是困难的。这也是我们有时候会说“江山易改，本性难移。”

其实通过上面的十个真理，和两个推论。你会发现。人的复杂性，就能从此体现。根本不用细说，你就察觉出来。

人是由先天力量和后天力量共同塑造的，而无论是先天还是后天因素，都不能全方面把握。然后人还有非理性一面，后天的教育等等。所以大家说人是最复杂的，人心难测，人是不可估量的。这样说，有道理的。

但大家也应该有这样的察觉，人在建立概念和理性之后，总是倾向于如何更好的存在。这一点就是人类进步的保证。

当人的非理性和人意识的博弈出现的时候，有很多时候，人是感觉无知的。或者迷茫，无助，不知所向。所以每个人成长，有迷茫期是正常的。人对于存在意义的思考，其实是自我的表现。这是人类的骄傲。大家要记住。

所以由此，我问大家一个问题：人活的最成功是什么样子？

各位，我来告诉大家。有钱，有权都不是最成功的。虽然有钱，有权，有文化，有素养，有名望……这些是普世价值最求。但作为人而言，大家永远记住，人的成功，就在于在非理性和意识博弈中，真正确立自己，认识自己。这样的话，你会发现，迷茫的人，都是别人，而你知道自己不迷茫。你也知道困难是正常的，你也能以坦然来面对困难。

所以这样的人，无疑就是强大的人，往往就会成为大圣人。他们自信，他们无畏，他们从来不为意识所困。作为人，他觉得自己很幸运。上文中的十个公理以及推论，其实没有一个不是这样说的。我写的是心理学科普书籍，但心理学科普，和哲学紧密相连。所以大家也多从哲学角度，来理解世界，理解我们的内心。

摘自独立学者，科普作家灵遁者心理学科普书籍《探索生命》