第六章证明二常用的公理.方法总结doc（5篇）

第一篇：第六章证明二常用的公理.方法总结doc

第一章常用的公理、定理和推论

本章是证明一些命题，在证明时要用到前面学过的一些公理及推论．为帮助同学们掌握好这一章的主要命题，下面将这一章出现的一些公理、定理和推论总结如下： 1．公理有：

（1）三边对应相等的两个三角形全等；(SSS)（2）两边及其夹角对应相等的两个三角形全等；(SAS)（3）两角及其夹边对应相等的两个三角形全等；(ASA)（4）全等三角形的对应边、对应角相等；

（5）两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等．(AAS)2．定理有：

（1）等腰三角形的两个底角相等；（2）有两个角相等的三角形是等腰三角形；

（3）有一个角等于60度 的等腰三角形是等边三角形；

（4）在直角三角形中，如果一个锐角等于30度，那么它所对的直角边等于斜边的一半；（5）直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方；

（6）如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形；（7）斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等；（8）线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；（9）到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上；

（10）三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等；（11）角平分线上的点到这个角的两边的距离相等；

（12）在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上；（13）三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等． 3．推论有：（1）等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合；（2）等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于 ；（3）三个角都相等的三角形是等边三角形．

一、方法总结

1、证明线段相等的方法

1）在两个三角形可证明它们所在的两个三角形全等； 2）同一三角形中等角对等边；

3）角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等；

4）中垂线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等 5）等腰三角形三线合一的性质；

6）等于同一线段的两条线段相等（线段的等量代换）7）相等线段的运算（和差关系）

8）直角三角形斜边的中点到三顶点距离相等。

2、证明两角相等的方法

1.二直线相交，对顶角相等。

2.角的平分线分得的两个角相等。3.平行线性质

4.同角（或等角）的余角（或补角）相等。

5.同一三角形中等边对等角.（等腰三角形，等边三角形）6.等腰三角形中，底边上的中线（或高）平分顶角。7.直角三角形两锐角互余（等腰直角三角形）

8.直角三角形中，斜边的中线分直角三角形为两个等腰三角形 9.两全等（相似）三角形的对应角相等。

10.等于同一角的两个角相等.（角的等量代换）12.相等角的运算（和差关系）13.外角性质

3、证明垂直的方法

1）证邻补角相等（有一个角是90度）； 2）证两锐角互余 3）勾股定理的逆定理

4）利用等腰三角形的三线合一性质； 5）证和已知直角三角形全等；

4、等腰三角形的证明

主要利用等腰三角形的两腰相等，两底角相等和三线合一性质解题。

第二篇：armstrong公理系统证明

 Armstrong公理系统的证明

① A1自反律：若Y X U，则X→Y为F所蕴含

证明1

设Y X U。

对R的任一关系r中的任意两个元组t,s：

若t[X]=s[X]，由于Y X，则有t[Y]=s[Y]，所以X→Y成立，自反律得证。

② A2增广律：若X→Y为F所蕴含，且Z U，则XZ→YZ为F所蕴含

证明2

设X→Y为F所蕴含，且Z U。

对R的任一关系r中的任意两个元组t,s：

若t[XZ]=s[XZ]，由于X XZ，Z XZ，根据自反律，则有t[X]=s[X]和t[Z]=s[Z]；

由于X→Y，于是t[Y]=s[Y]，所以t[YZ]=s[YZ]；所以XZ→YZ成立，增广律得证。

③ A3传递律：若X→Y，Y→Z为F所蕴含，则X→Z为F所蕴含

证明3

设X→Y及Y→Z为F所蕴含。

对R的任一关系r中的任意两个元组t,s：

若t[X]=s[X]，由于X→Y，有t[Y]=s[Y]；

再由于Y→Z，有t[Z]=s[Z]，所以X→Z为F所蕴含，传递律得证。

④ 合并规则：若X→Y，X→Z，则X→YZ为F所蕴含

证明4

因X→Y（已知）

故X→XY（增广律），XX→XY即X→XY

因X→Z（已知）

故XY→YZ（增广律）

因X→XY，XY→YZ（从上面得知）

故X→YZ（传递律）

⑤ 伪传递规则：若X→Y，WY→Z，则XW→Z为F所蕴含

证明5

因X→Y（已知）

故WX→WY（增广律）

因WY→Z（已知）

故XW→Z（传递律）

⑥ 分解规则：若X→Y，Z Y，则X→Z为F所蕴含

证明6

因Z Y（已知）

故Y→Z（自反律）

因X→Y（已知）

故X→Z（传递律）

第三篇：不等式证明方法(二)

不等式证明方法

（二）一、知识回顾

1、反证法：从否定结论出发，经过逻辑推理，导出矛盾，从而肯定原结论的正确；

2、放缩法：欲证AB，可通过适当放大或缩小，借助一个或多个中间量使得，常用的放缩方式： BB1,B1B2...A（或AA1,A1A2...B）舍去或加上一些项；

12nnn1；12nn1n；111

1;22nn(n1)nn(n1)

3、换元法：三角换元、代数换元；

4、判别式法

二、基本训练：

1、实数a、b、c不全为零的条件为（）

A)a、b、c全不为零

B)a、b、c中至多只有一个为零 C)a、b、c只有一个为零

D)a、b、c中至少有一个不为零

2、已知a、b、c、dR，sabcd，则有（）

abcabdcdacdbA)0sB)1s2

C)2s

3D)3s4

3、为已知x2y24，则2x3y的取值范围是________。

4、设x0、y0，Axyxy,B，则A、B大小关系为________。

1xy1x1y5、实数xxy，则x的取值范围是________。y13

3三、例题分析：

例

1、x＞0，y＞0，求证：xy(xy)

例

2、函数f(x)1x2(ab)，求证：|f(a)f(b)||ab|

例

3、已知:a2b21,x2y21,求证:1axby1（三角换元法）

例

4、求证：1x11（判别式法）

x2x1322

3例

5、若a,b,c都是小于1的正数，求证：(1a)b,(1b)c,(1c)a不可能同时大于

例

6、求证：1

例

7、设二次函数f(x)ax2bxc(a、b、cR且a0)，若函数yf(x)的图象与直线yx和yx均无公共点。

1.4（反证法）

1112(nN)（放缩法）22223n（1）求证：4acb21

（2）求证：对于一切实数x恒有|ax2bxc|

四、课堂小结：

1、凡是“至少”、“唯一”或含有否定词的命题适宜用反证法.2、换元法（主要指三角代换法）多用于条件不等式的证明，此法若运用恰当，可沟通三角与代数的联系，将复杂的代数问题转化成简单的三角问题.3、含有两上字母的不等式，若可化成一边为零，而另一边是关于某字母的二次式时，这时可考虑判别式法，并注意根的取值范围和题目的限制条件.4、有些不等式若恰当地运用放缩法可以很快得证，放缩时要看准目标，做到有的放矢，注意放缩适度.五、同步练习不等式证明方法

（二）1、若x2xyy21且x、yR，则nx2y2的取值范围是（）4|a|A)0n

1B)2nC)nD)2n2 32、已知a、bR，则下列各式中成立的是（）

A)acosbsin22ab

B)acosbsin22ab

C)cos2lgasin2lgblg(ab)

D)cos2lgasin2lgblga(b)

3、设,y∈R,且x2+y2=4,则A)2-

24、若f(n)=

2xy的最大值为（）

xy2B)2+2 C)-2 D)4 3n21-n,g(n)=n-n21,φ(n)=

1,则f(n),g(n),ф(n)的大小顺序为2n____________.5、设a,b是两个实数,给出下列条件:①a+b>1； ②a+b=2；③a+b>2；④a2+b2>2；⑤ab>1，其中能推出:“a、b中至少有一个实数大于1”的条件是____________.6、a、b、c∈R-，a≠b，求证：|ab|a2abb2a2b

2111 abbcac（提示：换元法，令a－b=m∈R＋，b－c=n∈R＋）

111112221

8、若nN，且n2，求证：2n123n7、a＞b＞c，求证：

|f(2)|，|f(3)|中至少有一个不少于

9、已知f(x)x2pxq，求证：|f(1)|，1。2

答案：DCB

4、g(n)>ф(n)> f(n)

5、③

第四篇：证明公理3的推论3

证明公理3的推论3

公理3的内容是：经过不在同一直线上的三个点，有且只有一个平面。

公理3的推论3是：两条平行的直线确定一个平面。

所有的推论是由相应的公理证明的。

证明：

设两直线l和m互相平行，取l上两个点A和B，取m上两个点C和D，显然任意三点都不共线，否则l和m将会相交，与两直线平行矛盾，根据公理3，知道

过A、C、D有且只有一个平面，设为平面α;过B、C、D有且只有一个平面，设为平面β;

假设两平面α和β不重合，则B在α外，在同一平面内，永不相交的两条直线叫平行线，所以在α内过A且与CD平行的直线有且只有一条，不妨设为AE，此时，AB和AE都与CD平行，与“过直线外一点与此直线平行的直线有且只有一条“矛盾,所以D也在α内，此时α和β重合，即α和β是同一个平面，即两条平行的直线确定一个平面。

2公理3的内容是：经过不在同一直线上的三个点，有且只有一个平面。

公理3的推论3是：两条平行的直线确定一个平面。

所有的推论是由相应的公理证明的。

证明：

设两直线l和m互相平行，取l上两个点A和B，取m上两个点C和D，显然任意三点都不共线，否则l和m将会相交，与两直线平行矛盾，根据公理3，知道

过A、C、D有且只有一个平面，设为平面α;过B、C、D有且只有一个平面，设为平面β;

假设两平面α和β不重合，则B在α外，在同一平面内，永不相交的两条直线叫平行线，所以在α内过A且与CD平行的直线有且只有一条，不妨设为AE，此时，AB和AE都与CD平行，与“过直线外一点与此直线平行的直线有且只有一条”矛盾,所以D也在α内，此时α和β重合，即α和β是同一个平面，即两条平行的直线确定一个平面。

两点定一条直线

三点(不直线)定一个平面

两条平行的直线中其中一条直线可以确定2个点

另一条中找随便一个点，这个点在第一条直线外

所以不在一直线上的三个点可确定一个平面

存在性：

在每一条直线上都任意取一点(不是交点),不在同一直线上的三个点有一个平面(公理3)。

唯一性：

不在同一直线上的三个点只有一个平面(公理3)。

综上所述，两条相交的直线确定一个平面。

第五篇：证明公理三的推论三

证明公理三的推论三

1.平面通常用一个平行四边形来表示.平面常用希腊字母α、β、γ…或拉丁字母M、N、p来表示，也可用表示平行四边形的两个相对顶点字母表示，如平面AC.在立体几何中，大写字母A，B，C，…表示点，小写字母，a,b,c,…l,m,n,…表示直线，且把直线和平面看成点的集合，因而能借用集合论中的符号表示它们之间的关系，例如：a)A∈l—点A在直线l上;Aα—点A不在平面α内;b)lα—直线l在平面α内;c)aα—直线a不在平面α内;d)l∩m=A—直线l与直线m相交于A点;e)α∩l=A—平面α与直线l交于A点;f)α∩β=l—平面α与平面β相交于直线l.2.平面的基本性质公理1如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内.公理2如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线.公理3经过不在同一直线上的三个点，有且只有一个平面.根据上面的公理，可得以下推论.推论1经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面.推论2经过两条相交直线，有且只有一个平面.推论3经过两条平行直线，有且只有一个平面.3.空间线面的位置关系共面平行—没有公共点(1)直线与直线相交—有且只有一个公共点异面(既不平行，又不相交)直线在平面内—有无数个公共点(2)直线和平面直线不在平面内平行—没有公共点(直线在平面外)相交—有且只有一公共点(3)平面与平面相交—有一条公共直线(无数个公共点)平行—没有公共点

存在性：

在每一条直线上都任意取一点(不是交点),不在同一直线上的三个点有一个平面(公理3)。

唯一性：

不在同一直线上的三个点只有一个平面(公理3)。

综上所述，两条相交的直线确定一个平面。

1)三点确定一个平面

2)在一条直线A上取一个点E，与另一条直线B可确定一个平面C。

3)在A上任取一点D(不与E重合)，证明D与B确定的平面与C重合。

否则可导致A，B不平行。

两点定一条直线

三点(不直线)定一个平面

两条平行的直线中其中一条直线可以确定2个点

另一条中找随便一个点，这个点在第一条直线外

所以不在一直线上的三个点可确定一个平面