面面平行的应用（精选）

第一篇：面面平行的应用（精选）

《面面平行的应用

教学内容和内容解析：

（1）内容：面面平行的判断方法和面面平行的性质的应用。

（2）内容： 面面平行的判断方法主要是面面平行判定定理及推论，也可以用反证法；

面面平行的性质主要性质定理，还有其他几点性质也需归纳总结。本节课是小结课，重在应用。教学重点是面面平行的判定定理理和性质定理的应用。其中隐含着数学转化思想，线线平行、线面平行、面面平行的相互转化是学生必须掌握思想方法。

教学目标和目标解析：

（1）目标：了解面面平行的定义，理解面面平行的判定定理和面面平行的性质，掌

握判定定理的推论及性质定理应用的条件并能灵活应用。

（2）目标解析：了解面面平行的定义，了解反证法证明面面平行，通过分析归纳理

解面面平行的判定方法和面面平行的性质，并通过例题来实践，能够灵活的应用。

教学问题诊断分析：

（1）面面平行的判定和性质使线线平行、线面平行、面面平行构成了“三角”关系，它们可以相互转化，相互利用，相互推证。少数同学会产生混淆，造成推理混乱，其原因是他们没有掌握定理的条件和结论，这是本课开始复习时应该注意的地方。

（2）在应用判定定理时，要得到面面平行先要证线线平行，学生在证明线线平行时会出现障碍，原因是不会构造出或找到面内的那条直线，这是多数同学易出现的障碍，通过例1可以解决。

（3）学生在应用性质定理时，要构建定理所需的条件，面面平行得到线线平行，有的学生会出现不会借助辅助面而产生障碍，其原因是他们并没有完全理解面面平行在怎样条件下得到线线平行的，学生有时会把在两个平行平面内的两条直线误认为共面而出现错误。

教学知识条件分析：

在40分钟内完成教学任务及当堂检测，可以利用多媒利教室、利用信息技术达到较好、较快的完成教学任务的教学目标。

教学过程设计：

（1）导入新课

老师：同学们，在前面我们学习过面面平行的判定和性质，请同学们归纳一下面面平

行的判定方法及面面平行的所有性质，看谁归纳的比较全面，呆会儿展示自己的成果。（导入语开门见山，直接布置小结课的内容，让学生自己去思考、归纳）

老师：哪位同学来总结归纳面面平行的判定方法？

学生甲：面面平行的判定方法首先应是判定定理和它的推论，还有依定义采用反证法。老师：归纳的非常好，完整、到位！请问哪位同学再归纳一下面面平行的性质？ 学生乙：面面平行的性质首先是性质定理，即由面面平行可得线线平行；还有面面平

行的传递性，即α∥β，β∥γα∥γ；两个平面平行没有公共点。我就

知道这三条。

学生丙：我还有补充，还有α∥β，a  αa∥β，即由面面平行可得线面平行。学生丁：我还有补充，夹在两个平行平面间的平行线段相等，两个平行平面间的距离

相等，和经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行。

老师：同学们归纳的非常好，请同学们一起进行归纳整理（板书）。、依定义采用反证法、面面平行的判定定理（线面平行推出面面平行）、面面平行的判定定理推论（线线平行得面面平行）

1、性质定理，即由面面平行可得线线平行

2、α∥β，a  αa∥β，即由面面平行可得线面平行

3、面面平行的传递性，即α∥β，β∥γα∥γ

4、α∥βα∩β=φ

5、经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行

6、夹在两个平行平面间的平行线段相等，两个平行平面间的距离处处相等

老师：通过同学们的归纳，我们发现线线平行、线面平行、面面平行可以互相转化，互相利用，互相推论，请同学们找到它们转化的条件（这体现了本节主要的数

学思想——数学转化思想，为下面面面平行的应用提供方法）（板书标题：面

面平行的应用）。

问题的呈现：

其中（1）bα，aα，且a∥ba∥α；

（2）a∥α，aβ，α∩β＝ba∥b；

（3）aβ，bβ，a∩b＝p，a∥α，b∥αα∥β；

（4）α∥β，a  αa∥β；

（5）aβ，b＇β，aα，bα，a∩b＝p，a∥a＇，b∥b＇a∥β；

（6）α∥β，α∩γ=a，β∩γ=ba∥b。

老师：学以致用，在用中体会，在用中探索。

例1：在棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1中，设M、N、E、F分别是棱A A1、A1 D1、C1D1、B1C1的中点，求证：平面AMN∥平面EFBD（目的是考察学生应用面面平行判定定理及推论，培养学生持果索因、自主探索的能力）。老师：哪位同学进行思路分析，找到解决问题的方法？

师生活动预设：

学生甲：要证平面AMN∥平面EFBD，连结B1 D1，可证

MN∥B1 D1，EF∥B1 D1，MN∥EF，由

判定定理，只要证明AN∥BF即可。

老师：很好，请坐。还有方法吗?

学生乙：我找到了，我证AM∥DE

老师：很好，看来同学们明白了本题的作法，通过辅助线把问题得到转化，掌握了本

题当中的数学转化思想和方法。请同学们用2分钟时间整理、解决完整的过．

下面我们来看例2：

已知AC、BD分别在两个平行平面α、β内的两条线段，M、N分别是A、B、C、D的中点，求证：MN∥α（目的是考察学生数学转化思想，要证MN∥α，转化为线线平

行或面面平行，并同时考察学生在应用性质定理时是否注意它的条件，这也是本课的难点）

老师：这道题目比较简单，请哪位同学谈谈思想方法（设置陷井，引部分同学上当）。师生活动预设：

学生甲：要证明MN∥α只要证MN∥BD，MN是梯形中位线，所以MN∥BD，可

以达到证明的目的。

学生乙：甲的证法有问题，请问你咋知道MN是梯形的中位线呢？要想得到梯形中

位线，首先要保证ABDC是梯形，除非AC、BD共面，这个条件没有了。

老师：分析的妙极了，这该咋办呢？请同学们讨论。

学生丙：通过我们讨论，我们认为分两种情况进行讨论：一种AC、BD

共面，这甲

已经证过；二AC、BD不共面，做辅助面

师生共论辅助面的做法，归纳有三种方法。

老师：同学们回答的很好，通过两个例题的学习，同学们有哪些体会？

师生活动预设：

学生甲：我学到了线线平行、线面平行、面面平行的相互转化、相互利用、相互推证，也就是数学转化思想的具体应用。

学生乙：我主要学习了面面平行的判定方法和应用，在应用时要注意它们成立的条件。

如例2中条件不明了时要注意分类、讨论。

学生丙：通过学习，我体会到在面面平行的应用当中最容易忽略的地方就是不讲条件、盲目证题，例2的图形也有一定的欺骗性，我们要注意分类。

学生丁：通过学习，解决了我在面面平行应用中的困惑，感受到数学的博大精深，今

后还需加强学习。

老师：同学们总结的好，不过，我还不知道同学们掌握的咋样，我们作几道检测题，展示一下自己。

目标检测设计：

1、已知a、b、c为三条不重合的直线，α、β、γ为三个不重合的平面，给出下面六个命题：（1）a∥c、b∥ca∥b；（2）a∥γ、b∥γa∥b；（3）c∥α、c∥β

（4）α∥γ、β∥γα∥β；（5）a∥c、c∥α a∥α；（6）a∥α∥β；

γ、α∥γa∥α，其中正确的命题是（）

A：（1）（2）（3）B：（1）（4）（5）C（1）（4）

D（1）（4）（5）（6）（目的是考察学生线线平行、线面平行、面面平行的性质）

2、若α∥β，，则a、b的关系为________（目的是考察面面平行的性质的简单应用）。

3、如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是D D1的中点，设Q是C C1上的点，问：当点Q在什么位置时，平面D1BQ∥平面PAO？（目的是应用面面平行的判定定理，掌握数学转化思想，培养学生探究能力）

作者简介：李先成，男，1972年8月出生，1993年毕业于郧阳师专数学系，2005年本科毕业，中学一级教师，1999年获郧西县人民政府优秀教育工作者称号，中考数学综合评估三等奖；2004年获郧西县优秀教师称号；2008年获郧西县优秀共产党员称号，现郧西第四中学高三数学教师。

第二篇：面面平行练习题

高一数学第3周周末作业

一、选择题

1．下列条件中,能判断两个平面平行的是()A．一个平面内的一条直线平行于另一个平面;B．一个平面内的两条直线平行于另一个平面 C．一个平面内有无数条直线平行于另一个平面 D．一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面

2． 直线a，b,c及平面，，使a//b成立的条件是（）

A．a//,bB．a//,b//C．a//c,b//cD．a//,b

3．若直线m不平行于平面，且m，则下列结论成立的是（）A．内的所有直线与m异面B．内不存在与m平行的直线 C．内存在唯一的直线与m平行D．内的直线与m都相交．，β是两个不重合的平面，a，b是两条不同直线，在下列条件下，可判定∥β的是（）

A．，β都平行于直线a，bB．内有三个不共线点到β的距离相等 C．a，b是内两条直线，且a∥β，b∥β

D．a，b是两条异面直线且a∥，b∥，a∥β，b∥β

5．两条直线a，b满足a∥b，b，则a与平面的关系是（）

A．a∥B．a与相交C．a与不相交

D．a

6．设a,b表示直线，,表示平面，P是空间一点，下面命题中正确的是（）A．a，则a//B．a//，b，则a//b

C．//,a,b，则a//bD．Pa,P,a//,//，则a

7．一条直线若同时平行于两个相交平面，那么这条直线与这两个平面的交线的位置关系是（）

A.异面B.相交C.平行D.不能确定

8.直线和平面平行是指该直线与平面内的（）

(A)一条直线不相交(B)两条直线不相交(C)无数条直线不相交(D)任意一条直线都不相交

9.若直线a,b都与平面平行，则a和b的位置关系是（）(A)平行(B)相交(C)异面(D)平行或相交或是异面直线

二、填空题

1．如下图所示，四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得到AB//面MNP的图形的序号的是

①②③④

2．正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为DD1中点，则BD1和平面ACE位置关系是．

3．a，b，ｃ为三条不重合的直线，α，β，γ为三个不重合的平面，直线均不在平面内，给出六个命题：

①

a∥cb∥c∥b;②a∥∥c

aa∥b;③∥;b∥∥c

④

∥c

a∥;⑤∥∥∥⑥

a∥a∥c∥a∥

其中正确的命题是________________.4．如图，正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G，H分别是棱CC1，C1D1，DD1，DC中点，N是BC中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M满足时，有MN∥平面B1BD D1．

三、解答题

1、已知E、F、G、H为空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA

上的点, A

且ＥＨ∥ＦＧ． 求证：EH∥BD.E

HB

D

FC

2.如图，在正四棱锥PABCD中，PAABa,点E在棱PC上． 问点E在何处时，PA//平面EBD，并加以证明.PE

C

A

B3、已知正方体ABCDA1B1C1D1，O是底ABCD对角线的交点.D

1求证：(１)C1O∥面AB1D1；(2)面OC1D//面AB1D1．A 1

C

A

B

4.在长方体ABCDA1B1C1D1中，E、F、E1、F1分别是AB、CD、A1B1、C1D1的中点．

求证：平面A1EFD1∥平面BCF1E1.5.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F、G、P、Q、R分别是所在棱AB、BC、BB、AD、DC、DD的中点，求证：平面PQR∥平面EFG。



C

E

6．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是

CC1上的点，问：当点Q在什么位置时，平面D1BQ∥平面PAO?

第三篇：怎么证明面面平行

怎么证明面面平行

线面垂直：1.一条线与平面内两条相交直线垂直

2.一条线在一个平面内，而这个平面与另外一个平面垂直，那么这条线与另外一个平面垂直

面面垂直：一条线与平面内两条相交直线垂直，且有一个平面经过这条线

2证明：∵平面α∥平面β

∴平面α和平面β没有公共点

又a在平面α上，b在平面β上

∴直线a、b没有公共点

又∵α∩γ=a，β∩γ=b

∴a在平面γ上，b在平面γ上

∴a∥b.3用反证法

命题：已知α∥β，AB∈α,求证：AB∥β

证明:假设AB不平行于β

则AB交β于点p，点p∈β

又因为p∈AB，所以p∈α

α、β有公共点p，与命题α∥β不符，所以AB∥β。

4【直线与平面平行的判定】

定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。

【判断直线与平面平行的方法】

(1)利用定义：证明直线与平面无公共点;

(2)利用判定定理：从直线与直线平行得到直线与平面平行;

(3)利用面面平行的性质：两个平面平行，则一个平面内的直线必平行于另一个

5用反证法

命题：已知α∥β，AB∈α,求证：AB∥β

证明:假设AB不平行于β

则AB交β于点p，点p∈β

又因为p∈AB，所以p∈α

α、β有公共点p，与命题α∥β不符，所以AB∥β。

线线平行→线面平行如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。

线面平行→线线平行如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行。

线面平行→面面平行如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行。

面面平行→线线平行如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。

线线垂直→线面垂直如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面。

线面垂直→线线平行如果连条直线同时垂直于一个平面，那么这两条直线平行。

线面垂直→面面垂直如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。

线面垂直→线线垂直线面垂直定义：如果一条直线a与一个平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线a垂直于平面α。

面面垂直→线面垂直如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。

三垂线定理如果平面内的一条直线垂直于平面的血现在平面内的射影，则这条直线垂直于斜线。

第四篇：面面平行性质

平面与平面平行的性质

1.掌握两个平面平行的性质定理；

2.灵活运用面面平行的判定定理和性质定理，掌握“线线、线面、面面”平行的转化.1.导入：复习1：直线与平面平行的性质定理是

复习2：平面与平面平行的判定定理是_______

讨论：如果平面和平面平行,那么平面内的直线与另一个平面内的直线具有什么位置关系?

2探究：平面与平面平行的性质定理

问题1：如图8-1，平面和平面平行，a.请在图中的平面内画一条直线b和a平行.问题

2a,b

问题3：在你所画的图中，平面和平面、是相交平面，直线a,b分别是和、的交线，并且它们是平行的.根据以上的论述，你能得出什么结论？请把它用符号语言写在下面.问题4：在图8-2中，任意再作一个平面与,都相交，得到的两条交线平行吗？和你上面得出的结论相符吗？你能从理论上证明吗？

新知：两个平面平行的性质定理:反思：定理的实质是什么?

问题5：从面面平行的性质定理你还能得出什么推论？

3.典型例题

例1.已知m.n表示两直线，,表示两平面，则下列命题正确的是①若//，m,n，则m//n②若//,m//,n//,则m//n ③若//,m//,m//n,则n//④若//,m//n,m交，于A,B两点，n交，于C,D两点,则四边形ABCD是平行四边形。

例2．已知平面∥平面,AB,CD夹在,之间，A,C，B,D，E,F分别为AB,CD的中点，求证：EF∥，EF∥.(提示：注意AB,CD的关系)

例3．如图，已知四边形ABCD为平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH，求证：AP//GH

小结：应用两个平面平行的性质定理关键要找到和这两个面相交的平面.1.下列命题错误的是（）.A.平行于同一条直线的两个平面平行或相交B.平行于同一个平面的两个平面平行

C.平行于同一条直线的两条直线平行D.平行于同一个平面的两条直线平行或相交

2.m,n是不重合的直线，,是不重合的平面：

①m，n∥，则m∥n②m，m∥，则∥

③n，m∥n，则m∥且m∥

上面结论正确的有（）.A.0个B.1个C.2个D.3个

3.3个平面把空间分成6个部分，则（）.A.三平面共线B.三平面两两相交

C.有两平面平行且都与第三平面相交

D.三平面共线或者有两平面平行且都与第三平面相交

4.已知m,n为两条不同直线，,为两个不同的平面，下列命题正确的是 A.m,n,m//,n////

B.//,m,nm//

C.m,mnn//

D.m//n,nm

5.直线与两个平行平面中的一个平行，则它与另一平面_______________.6.一个平面上有两点到另一个平面的距离相等，则这两个平面________________.4、拾遗补缺：

两个平面平行，还有如下结论：

⑴如果两个平面平行，则一个平面内的任何直线都平行于另外一个平面；

⑵夹在两个平行平面内的所有平行线段的长度都相等；

⑶如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个，那么这条直线也垂直于另一个平面.⑷如果一条直线和两个平行平面中的一个相交,那么它和另一个也相交.五、拓展空间：

BCD1.设P,Q是单位正方体AC1的面AA1D1D、面A1111

∥平面AA1B1B；⑵面D1PQ∥面C1DB.2.如图，四边形ABCD与ABEF是两个全等的正方形，上，点N在BF上，且AM=FN,求证：MN//平面BCE

点M在AC的中心，如图8-4，证明：⑴PQ

第五篇：面面平行证明题

如图，已知点P是平行四边形ABCD所在平面外的一点，E，F分别是PA，BD上的点且PE∶EABF∶FD，求证：EF//平面PBC．如图，空间四边形,平行于与的截面分别交、AC、CD、BD于E、F、G、H．

求证：四边形EGFH为平行四边形；

3如图，∥∥，直线a与b分别交，，于点A，B，C和点D，E，F，求证：

ABDE． BCEF第 7 页

4如图所示，在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中，Q分别是BC，C1D1，E，F，P，AD1，BD的中点．

（１）求证：PQ//平面DCC1D1．（２）求PQ的长．

（３）求证：EF//平面BB1D1D．如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，G，H分别棱是CC1，C1D1，D1D，CD的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M满足

时，有MN//平面B1BDD1．如图，M、N、P分别为空间四边形ABCD的边AB，BC，CD上的点，且AM∶MBCN∶NBCP∶PD．

求证：（１）AC//平面MNP，BD//平面MNP；（２）平面MNP与平面ACD的交线//AC．

第 8 页

7如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，求证：平面A1BD//平面CD1B1．图，在四棱锥PABCD中，ABCD是平行四边形，M，N分别是AB，PC的中点． 求证：MN//平面PAD．

9如图，正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长是2，3，D是AC的中点.求证：B1C//平面A1BD..如图，在正四棱锥PABCD中，PAABa,点E在棱PC上． 问点E在何处时，PA//平面EBD，并加以证明.A

P

AE

C

B

第 9 页