2.2.4面面平行的性质

第一篇：2.2.4面面平行的性质

绍兴县鉴湖中学高中数学必修2《空间几何体》2011.9

第三课时2.2.4平面与平面平行的性质

【学习目标】：

掌握平面和平面平行的性质定理，灵活运用面面平行的判定定理和性质定理，掌握“线线、线面、面面”平行的转化.【教学重点】：

掌握面面平行的性质定理

【教学难点】：

掌握平行之间的转化

【教学过程】：

一、复习准备：

1．提问：线面平行、面面平行判定定理的符号语言？线面平行性质定理的符号语言？

2.讨论：两个平面平行，那么一个平面内的直线与另一个平面内的直线有什么关系？

二、讲授新课：

1.面面平行性质定理：

① 讨论：两个平面平行，其中一个平面内的直线与另一个平面有什么位置关系？两个平面内的直线有什么位置关系？当第三个平面和两个平行平面都相交，两条交线有什么关系？为什么？

②性质定理：两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。

∥③ 用符号语言表示性质定理：＝a，＝b

④ 讨论性质定理的证明思路.⑤例：求证夹在两个平行平面间的两条平行线的长相等.→首先要将文字语言转化为符号语言和图形语言：

已知：//，AB,CD是夹在两个平行平面,间的平行线段，求证：ABCD.DA

B

2.教学例题：

①例：如果一条直线与两个平行平面中的一个相交，那么它与另一个平面也相交.讨论：如何将文字语言转化为图形语言和符号语言？

② 练习：若//，//，求证：//． a（试用文字语言表示 → 分析思路 → 学生板演）

 a

b

3.小结：面面平行的性质定理及其它性质（//,aa//）；转化思想.三、巩固练习：

1.两条直线被三个平行平面所截，得到四条线段.求证：这四条线段对应成比例.l//平面，l//平面，m//面，m//平面，//．2.已知l,m是两条异面直线，求证：

*3.设P,Q是单位正方体AC1的面AA1D1D、面A1B1C1D1的中心，如图：（1）证明：PQ//平面AA1B1B；（2）求线段PQ的长。

班级学号姓名

【针对训练】：

1、已知直线a，平面，且a//,//,则，a与的位置关系是（）A．a//B.a与相交C.a//，或a与相交D.a//，或a

2、若平面//平面，直线a,点A,则在平面内，过点A的所有直线中（）

A．不一定存在与a平行的直线B.只有两条与a平行的直线C.存在无数条与a平行的直线D.存在唯一的一条与a平行的直线

3、给出下列命题：

①若一个平面内有两条直线平行于另一个平面，则这两个平面平行；②若一个平面内有无数条直线平行于另一个平面，则这两个平面平行

③若两个平面平行，则其中一个平面内的直线平行于另一个平面④若两个平面平行，则其中一个平面内的直线平行于另一个平面内的所有直线 其中假命题是________________

A．①②B.①②④C.③④D.①②③④

4、已知a,b,是直线，，是平面。

（1）//,a,则a与的位置是______________

(2)若//,a,b,则a与b的位置关系是 ______________

5、已知a是平面外的一条直线，过a作平面，使得//。给出下列结论： ①怎样的仅存在一个；②怎样的至少存在一个

③怎样的至多存在一个④怎样的不存在 其中正确的结论是________________

6、已知a,b,c是三条直线，，,是三个平面，给出下列命题：

////ca//c

//，①b//ca//b，②b//b//，③//c

////c

//④//，⑤a//ca//，其中真命题是__________________.













7、如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，过对角线BD的平面分别与棱AA,CC相交于E,F两点，求证：四边形EBFD为平行四边形。

'

'''

D'

C'

A'

A

F

C

B

A8、若点P是ABC所在平面外一点，A',B',C'分别是PBC,PCA,PAB的重心（1）求证：平面ABC//平面ABC（2）求AB:AB的值。

9、已知平面//平面，点A,C，点B,D，直线AB与CD交于点S，且AS=8,BS=9,CD=34.（1）当S在,之间时，求CS的值（2）当S不在,之间时，求CS的值

10、如图，平面//平面，点A,C，点B,D，点E,F分别在线段AB,CD上，且

'

'

‘’‘

AECF

,求证：EF// EBFD

F

'



11、如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E在AB上，点F在BD上，且BE=BF,求证：EF//平面BCCB.'

'

'''

'A'F

' '

第二篇：面面平行性质

平面与平面平行的性质

1.掌握两个平面平行的性质定理；

2.灵活运用面面平行的判定定理和性质定理，掌握“线线、线面、面面”平行的转化.1.导入：复习1：直线与平面平行的性质定理是

复习2：平面与平面平行的判定定理是_______

讨论：如果平面和平面平行,那么平面内的直线与另一个平面内的直线具有什么位置关系?

2探究：平面与平面平行的性质定理

问题1：如图8-1，平面和平面平行，a.请在图中的平面内画一条直线b和a平行.问题

2a,b

问题3：在你所画的图中，平面和平面、是相交平面，直线a,b分别是和、的交线，并且它们是平行的.根据以上的论述，你能得出什么结论？请把它用符号语言写在下面.问题4：在图8-2中，任意再作一个平面与,都相交，得到的两条交线平行吗？和你上面得出的结论相符吗？你能从理论上证明吗？

新知：两个平面平行的性质定理:反思：定理的实质是什么?

问题5：从面面平行的性质定理你还能得出什么推论？

3.典型例题

例1.已知m.n表示两直线，,表示两平面，则下列命题正确的是①若//，m,n，则m//n②若//,m//,n//,则m//n ③若//,m//,m//n,则n//④若//,m//n,m交，于A,B两点，n交，于C,D两点,则四边形ABCD是平行四边形。

例2．已知平面∥平面,AB,CD夹在,之间，A,C，B,D，E,F分别为AB,CD的中点，求证：EF∥，EF∥.(提示：注意AB,CD的关系)

例3．如图，已知四边形ABCD为平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH，求证：AP//GH

小结：应用两个平面平行的性质定理关键要找到和这两个面相交的平面.1.下列命题错误的是（）.A.平行于同一条直线的两个平面平行或相交B.平行于同一个平面的两个平面平行

C.平行于同一条直线的两条直线平行D.平行于同一个平面的两条直线平行或相交

2.m,n是不重合的直线，,是不重合的平面：

①m，n∥，则m∥n②m，m∥，则∥

③n，m∥n，则m∥且m∥

上面结论正确的有（）.A.0个B.1个C.2个D.3个

3.3个平面把空间分成6个部分，则（）.A.三平面共线B.三平面两两相交

C.有两平面平行且都与第三平面相交

D.三平面共线或者有两平面平行且都与第三平面相交

4.已知m,n为两条不同直线，,为两个不同的平面，下列命题正确的是 A.m,n,m//,n////

B.//,m,nm//

C.m,mnn//

D.m//n,nm

5.直线与两个平行平面中的一个平行，则它与另一平面_______________.6.一个平面上有两点到另一个平面的距离相等，则这两个平面________________.4、拾遗补缺：

两个平面平行，还有如下结论：

⑴如果两个平面平行，则一个平面内的任何直线都平行于另外一个平面；

⑵夹在两个平行平面内的所有平行线段的长度都相等；

⑶如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个，那么这条直线也垂直于另一个平面.⑷如果一条直线和两个平行平面中的一个相交,那么它和另一个也相交.五、拓展空间：

BCD1.设P,Q是单位正方体AC1的面AA1D1D、面A1111

∥平面AA1B1B；⑵面D1PQ∥面C1DB.2.如图，四边形ABCD与ABEF是两个全等的正方形，上，点N在BF上，且AM=FN,求证：MN//平面BCE

点M在AC的中心，如图8-4，证明：⑴PQ

第三篇：面面平行的性质

平面与平面平行的性质

教学目标：

1、通过直观感知、操作确认、思辨论证，空间中面面平行的性质;

2、能说出面面平行的性质定理，灵活运用面面平行性质定理；

3、会进行“线线”“线面”“面面”平行的转化.教学重、难点：

1．重点：两个平面平行的性质定理的探索过程及应用。

2．难点：两个平面平行的性质定理的探究发现及其应用。

设计思路：

由直线与直线的平行的定义得到的两个平面平行性质定理是证明直线与直线平行的重要方法。在两个平面平行的性质定理的研究中，重在引导学生如何将两个平面平行的问题转化为直线与直线平行、直线与平面平行的问题。

教学过程：

（一）温故知新

1.两个平面的位置关系？

2.面面平行的判定方法：

（1）定义法：若两平面无公共点，则两平面平行.（2）判定定理：

如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面，那么这两个平面平行.（二）创设情景

师：两个平面平行，那么其中一个平面内的直线与另一平面有什么样的关系？

生：通过分析可以发现，若平面和平面平行，则两面无公共点，那么就意味着平面内任一直线a和平面也无公共点，即直线a和平面平行。

师：正确，用语言表述就是：如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线平行与另一个平面。用式子可表示为：//,aa//。

师：两个平面平行，那么其中一个平面内的直线与另一平面内的直线有何关系？ 生：要么异面，要么平行，因为它们无公共点。

师：很好，以上两个结论都可以直接应用。

（三）探求新知

师：如图，设//,a,b，我们研究两条交线的位置关系。生：因为//，所以a,b内有公共点。而a,b又同在平面内，于是有a//b.师：我们把这个结论称为连个平面平行的性质定理。

//

两个平面平行的性质定理：如果两个平行平面同时和第三

aa//b

个平面相交，那么它们的交线平行。用符号表示为： b

（四）预讲例题

【例1】如图，设平面α∥平面β，AB、CD是两异面直线，M、CN分别是AB、CD的中点，且A、C∈α，B、D∈β.求证：MN∥α.证明：连接BC，取BC的中点E，分别连接ME、NE，则ME∥AC，∴ME∥平面α，MN

E又 NE∥BD，∴ NE∥β，又ME∩NE=E，∴平面MEN∥平面α，D

∵ MN平面MEN，∴MN∥α.【例2】如图，在正三棱柱ABC—A1B1C1中，E、F、G是侧面对角线上的点，且BECFAG，求证：平面EFG∥平面ABC.PBB1于P，证明：作E连接PF.在正三棱柱ABC—A1B1C1的侧面ABB1A1中，BEBP

EP//平面ABC.PBB1，易知A1B1BB1，又E所以EP//A1B1//AB.∴，BA1BB

1CFBP

又∵ BECF，BA1CB1，∴，∴ PF//BC，则PF//平面CB1BB1

ABC.∵ EPPFP，∴平面PEF//平面ABC.∵ EF平面PEF，∴ EF//平面ABC.同理，GF//平面ABC.∵ EFGFF，∴平面EFG//平面ABC.点评：将空间问题转化为平面问题，是解决立体几何问题的重要策略，关键在于选择或添加适当的平面或线，并抓住一些平面图形的几何性质，如比例线段等.此题通过巧作垂线，得到所作平面与底面平行，由性质//,ll//易得线面平行，进而转化出待证的面面平行，突出了平行问题中转化思想.【例3】如图，已知正方体ABCDA1B1C1D1中，面对角线AB1，BC1上分别有两点E、F，且B1EC1F.求证：EF∥平面ABCD.证明：过E、F分别作AB、BC的垂线，EM、FN分别交AB、BC于M、N，连接MN.∵ BB1⊥平面ABCD，∴BB1⊥AB，BB1⊥BC，∴ EM∥BB1，FN∥BB1，∴EM∥FN，∵ AB1=BC1，B1E=C1F，∴AE=BF，又∠B1AB=∠C1BC=45°，∴ Rt△AME≌Rt△BNF，∴EM=FN.A

∴ 四边形MNFE是平行四边形，∴EF∥MN.又MN平面ABCD，∴EF∥平面ABCD.E证法二：过E作EG∥AB交BB1于G，连接GF，BEBGCFBG

11，B1EC1F，B1AC1B11，∴FG∥B1C1∥BC.A

B1AB1BC1BB1B 又∵EGFG=G，ABBC=B，∴平面EFG∥平面ABCD.b又EF平面EFG，∴EF∥平面ABCD.点评：在熟知线面平行、面面平行的判定与性质之后，空间平行问题的证明，紧紧抓住

C

1B1

F

E

CN

M

“线线平行线面平行面面平行”之间的互相转化而完成证明.（五）自主练习练习：

1、课本P67练习

2、课本P67习题2.2：A组1、2； 学生独立完成，教师进行纠正。

（六）归纳整理

（七）布置作业

课本第69页习题2.2 B组第2、3题。

第四篇：线面平行面面平行性质学案

必修22.2.3—2.2.4直线与平面平行及平面与平面平行的性质多听、多思、多做，成功就在那里等你。

2.2.3-2.2.4直线与平面平行及平面与平面平行的性质

【学习目标】

1、探究直线与平面平行的性质定理；

2、体会直线与平面平行的性质定理的应用；

3、通过图形探究平面与平面平行的性质定理； 图形表示：

三、例题演示

4、熟练掌握平面与平面平行的性质定理的应用。

【学习重点】

1、直线与平面平行的性质定理.2、通过直观感知，操作确认，概括并证明平面和平面平行的性质定理。

【学习难点】

1、直线与平面平行的性质定理的应用.2、平面和平面平行的性质定理的证明和应用。

一、旧知重现

1、直线与平面的位置关系：直线在平面外(直线与平面相交、直线与平面平行)、直线在平面内。

2、直线与平面平行的判定定理：平面_____一条直线与此平面______的一条直线______，则该直线与

此平面平行。可以用符号表示为：“_______________________________________________________”。

简记为“________________________________”.3、平面与平面平行的判定定理：一个平面内的_____条_________直线分别________于另一个平面，则

这两个平面平行。可以用符号表示为：“_____________________________________________________”。

简记为“________________________________”.二、新知探究

1、思考题：一条直线与一个平面平行，那么在什么条件下，平面内的直线与这条直线平行？

2、直线与平面平行的性质定理：______________________________________________________

_____________________________________________________

简证为：____________________________________________________

符号表示：____________________________________________________

图形表示：

3、思考题：当一个平面与另一个平面平行时，那么在什么条件下，一个平面内的直线与另一个平

面内的直线平行？

4、平面与平面平行的性质定理：______________________________________________________

_____________________________________________________

简证为：____________________________________________________

符号表示：____________________________________________________例

1、已知平面外的两条平行直线中的一条平行于这个平面。求证：另一条也平行于这个平面.例

2、求证:夹在两个平行平面间的平行线段相等.ADB

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四、巩固训练

1、如图,E、H分别是空间四边形ABCD的边AB、AD的中点，平面α过EH分别交BC、CD于

2、已知AB、CD为异面线段，E、F分别为AC、BD中点，过E、F作平面α∥AB.（1）求证：CD∥α;F、G.求证：EH∥FG.2、求证：一条直线与两个相交平面都平行，则这条直线与这两个相交平面的交线平行.已知：如图,a∥α,a∥β,α∩β=b，求证：a∥b.3、判断下列结论是否成立：

① 过平面外一点，有且仅有一个平面与已知平面平行；（）② 若∥，∥，则∥；（）③平行于同一个平面的两条直线平行；（）

④ 两个平面都与一条直线平行，则这两个平面平行；（）

⑤ 一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个相交。（）

五、课后作业

1、如图，平行四边形EFGH的四个顶点分别在空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA上，求证：BD∥面EFGH，AC∥面EFGH.（2）若AB=4，EF=，CD=2，求AB与CD所成角的大小.六、课后思考

1、直线与平面平行的性质与平面与平面平行的性质体现了什么数学思想？

2、上述两条性质有哪些方面的应用？

3、你能将线线平行、线面平行、面面平行三者之间的关系图示表示出来吗？

线线平行

线面平行面面平行

第五篇：面面平行的性质练习

线面平行与面面平行的判定及性质

1、知识清单：(1)：直线与平面平行的判定定理____________，用符号表示是_____________。

（2）、两个平面平行的判定定理是____________________________________；用符号表示是_____________。它的实质是由__________平行推出__________平行.（3）、直线与平面平行的性质定理是___________________________________，用符号表示是_____________。

(4)面面平行的性质定理是___________________________________，用符号表示是_____________。

1.下列命题错误的是（）.A.平行于同一条直线的两个平面平行或相交B.平行于同一个平面的两个平面平行

C.平行于同一条直线的两条直线平行 D.平行于同一个平面的两条直线平行或相交

2.m,n是不重合的直线，,是不重合的平面：

①m，n∥，则m∥n②m，m∥，则∥

③n，m∥n，则m∥且m∥

上面结论正确的有（）.A.0个B.1个C.2个D.3个

3.3个平面把空间分成6个部分，则（）.A.三平面共线B.三平面两两相交C.有两平面平行且都与第三平面相交

D.三平面共线或者有两平面平行且都与第三平面相交

4.直线与两个平行平面中的一个平行，则它与另一平面_______________.5.一个平面上有两点到另一个平面的距离相等，则这两个平面________________.6、如图，四边形ABCD与ABEF是两个全等的正方形，点M在AC上，点N在BF上，AM

FN,求证：MN//平面BCE。

例

1、如图，平面四边形ABCD的四个顶点A、B、C、D均在平行四边形A`B`C`D`

````

所确定的平面外，且AA、BB、CC、DD互相平行,求证：ABCD是平行四边形。

例

2、如图正方体ABCDA`B`C`D`中，点E在AB`上，点F在BD上，且B`EBF.求证：EF//平面BBCC.``

例

3、如图，在底面是菱形的四棱锥PABCD中，

ABC60，PAACa,PBPD2a,点E在上，PE:ED2:1,那么在棱PC上是否存在一点F,使得BF//平面AEC?