2.3.4面面垂直的性质（合集5篇）

第一篇：2.3.4面面垂直的性质

山东省新泰市第二中学高一数学组主编人：李东 李健

2.3.4平面与平面垂直的性质

学习目标：

1、掌握平面与平面垂直的性质定理及其推论；

2、理解平面与平面垂直的判定定理与性质定理之间的联系。

预习导引：

1、要点扫描：

面面垂直的性质定理

2、预习自测：

课堂导学：

探索新知：

探究

1、平面与平面垂直的性质

问题1：黑板所在平面与地面所在平面垂直，在黑板上是否存在直线与地面垂直？若存在，怎样画线？

反思：通过上述问题你得出了什么结论？请用图形和符号语言把它描述在下面，并试着证明这个结论.新知

1、平面与平面垂直的性质定理

两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。

反思：这个定理实现了什么关系的转化？

典型例题：

例

1、如图，已知平面,，，直线a满足a，a，求证：a//面。

例

2、如图，四棱锥E-ABCD的地面是个矩形，AB=2，EAB是等边三角形，且侧面EAB垂直于地面ABCD。

（1）证明：侧面EAB垂直于侧面ABCD；

（2）求侧棱EC与底面ABCD所成的角。

错题集锦：

已知：，，m，求证：m。

错解：设AB,，BC，因为，，=m，所以 mAB，mBC,ABBCB，所以m垂直于平面ABC，即m。

错因分析：错解没有为线面垂直判定定理的应用做好铺垫，在第三个平面内构造垂直于m的两条相交直线时出现了错误。

总结提升：

学习小结：

1、两个平面垂直的性质定理及应用；可证明线面垂直、线线垂直、线在面内及求直二面角；

2、判定定理和性质定理的交替运用，三种垂直关系的相互转化。

当堂检测

1下列命题中正确的是()

A．两条直线在同一平面内的射影互相垂直，则这两条直线必互相垂直。

B．两条直线互不垂直，分别过这两条直线仍可作两个平面互相垂直。

C．两个平面互相垂直，过其中一个平面内一点作一直线垂直于这两个平面的交线，则此直线必垂直于另一个平面。

D．两个平面相交，其中一个平面垂直于第三个平面，则另一个平面也必垂直于第三个平面。2在正方形SG1G2G3中，E，F分别是G1G2及G2G3的中点，D是EF的中点(如下右图)。现在沿SE，SF及EF把这个正方形折成一个四面体，使G1，G2，G3三点重合，重合后的点变为G，那么四面体S-EFG中必有 []

A．SG⊥平面EFGB．SD⊥平面EFG

C．GF⊥平面SEFD．GD⊥平面SEF已知：S为△ABC平面处一点，SA⊥平面ABC，平面SAB⊥平面SBC。求证：AB⊥BC。

课后作业：

已知P、Q是单位正方体ABCD-A1B1C1D1的面AA1D1D、面A1B1C1D1中心。

（1）求线段PQ的长；

（2）证明：PQ//平面AA1B1B。

第二篇：面面垂直性质定理

数学学案

【学习目标】

1．掌握平面与平面垂直的性质定理；平面与平面垂直的性质编辑：

2.能运用平面垂直的性质定理解决一些简单问题；

3.了解平面与平面垂直的判定定理和性质定理间的相互联系。

【学习重点】掌握平面与平面垂直的性质定理并能运用解决一些简单问题

【数学思想】转化的思想

【知识回顾】

1.两个平面互相垂直的定义：

2.两个平面互相垂直的判定定理：符号表示：

【新知导航】

线面平行面面平行线面垂直面面垂直（面面垂直判定定理）

面面垂直线面垂直 ？

【探究1】黑板所在平面与地面垂直，你能否在黑板上画几条与地面垂直的直线？你为什么这么画？你能归纳总结出这些直线有什么共同点吗？

【探究2】下图正方体中，平面ADD1A1与平面ABCD垂直，直线A1A垂直于其交线AD，平面ADD1A1内的直线A1A与平面ABCD垂直吗？

A1B

1探究结论：（）

【新知学习】两个平面互相垂直的性质定理

定理的证明：（由文字语言转化为符号语言证明）已知： 求证： 证明：

【探究3】过平面外一点作已知平面的垂线，你能做出几条来？

探究结论（）【尝试练习1】如图，已知平面,,，直线a满足a,a，试判断直线a与平面的位置关系.【尝试练习2】如图，已知平面平面，平面平面，a，求证：

a.【课堂小结】

1、请归纳一下本节课你学习了什么性质定理，其内容各是什么？

2、类比两个性质定理，你发现它们之间有何联系？

【达标检测】

1、下列命题中，正确的是（）

A、过平面外一点，可作无数条直线和这个平面垂直 B、过一点有且仅有一个平面和一条定直线垂直 C、若a,b异面，过a一定可作一个平面与b垂直

D、a,b异面，过不在a,b上的点M，一定可以作一个平面和a,b都垂直.2、已知直线l,m，平面,，且l,m，给出下列命题：（1）//lm（2）lm//（3）l//m（4）l//m其中正确的命题是

BCAB

3、在三棱锥P—ABC中，平面PAB平面PBC，求证：PA面ABC，4、如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M是AB上的一点，N是A1C的中点，MN面A1DC，求证：（1）MN//AD1

(2)M是AB的中点

第三篇：面面垂直性质定理及习题

面面垂直性质定理及习题《必修2》1.2.4一、学习目标撰稿：第四组审稿：高二数学组时间：2009-9-8

1． 理解面面垂直的性质定理

2． 会用性质定理解决有关问题

3． 线线、线面、面面之间的位置关系及相互转化

4． 利用面面位置关系解决有关问题

二、学习重点

面面垂直的性质定理及应用

学习难点

“线线、线面、面面”判定及性质定理的应用

三、知识链接

1． 面面垂直的判定定理

2． 面面平行的判定与性质定理

3． 直线与面平行、垂直的判定与性质定理

四、学习过程

1． 回顾上节内容，问：如果两个平面垂直，那么一个面内的直线是否一定垂直于另一个平面？

通过以上讨论，得平面与平面垂直的性质定理（1）符号语言：

（2）图形语言：

2． 如何对定理加以证明：

性质定理体现了什么关系？

它反映了面面垂直与线面垂直之间的密切关系，两者可以互相转化。

3． 对性质定理的应用

例：P4

4练习4

拓展：P43 例

3五、基础达标

1、判断下列命题是否正确，说明理由：

（1）若α⊥β，α⊥γ，则α∥β

（2）若α⊥β，β⊥γ，则α⊥γ

（3）若α∥α1，β∥β1，α⊥β，则α1⊥β1。

2、如图α，β，γ，为平面，α∩β＝l,α∩γ＝a, β∩γ＝b,l⊥γ,指出图中哪个角是二面角

α-l-β的平面角，并说明理由。

3、判断下列说法是否正确：

（1）若平面α内的两条相交直线分别平面β 内的两条相交直线，则平面α平行与平面β；

（2）若两个平面分别经过两条平行直线，则这两个平面互相平行；

4、已知平面α、β直线l,且α∥β，l，且l∥α,求证：l∥β。

5、（1）已知平面外的一条直线上有两点到这个平面距离相等，试判断这条直线与该平面的位置关系；

（2）已知一个平面内有三点到另一平面距离相等，试判断这两个平面的位置关系。

6、如图，已知AB是平面α的垂线，AC是平面α的斜线，CDα，CD⊥AC。

求证：平面PAC⊥平面PBD.7、在四棱锥P—ABCD若PA⊥平面A BCD，且四边形ABCD是菱形。

求证：平面PAC⊥平面PBD.8、如图，已知正方体ABCD—A1B2C3D

4,求证：平面B1AC⊥平面B1BDD1.9、如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求二面角C1-BD-C的正切值。

10、已知平面α，β，γ，且α∥β，β∥γ，求证：α∥γ。

11、如图，在三棱柱ABC-A'B'C'中，点D，E分别是BC和 B'C'的中点。求证：平面A'EB

∥平面ADC'。

12、如图，有一块长方体的木料，经过木料表面A1B1C1D1内的一点P，在这个面内画线段，使其与木料表面ABCD内的线段EF平行，应该怎样画线？

今天我的收获

第四篇：线面、面面垂直性质测试题

线面、面面垂直性质练习试题

一、选择题

1在空间，如果一个角的两边分别与另一个角的两边垂直，那么这两个角的关系是()

A.相等B.互补C.相等或互补D.无法确定

2下列命题正确的是…………………………………………()

A、若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行

B、若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行

C、若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行

D、若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行

3.知下列命题：

（1）若一直线垂直于一个平面的一条斜线，则该直线必垂直于斜线在这个平面内的射影；

（2）平面内与这个平面的一条斜线垂直的直线互相平行；

（3）若平面外的两条直线，在这个平面上的射影互相垂直，则这两条直线互相垂直；

（4）若两条直线互相垂直，且其中的一条平行一个平面，另一条是这个平面的斜线，则这两条直线在这个平面上的射影互相垂直．上述命题正确的是（）．

A．（1）、（2）B．（2）、（3）C．（3）、（4）D．（2）、（4）

4.列图形中，满足唯一性的是（）．

A．过直线外一点作与该直线垂直的直线B．过直线外一点与该直线平行的平面

C．过平面外一点与平面平行的直线D．过一点作已知平面的垂线

5.平面α、β与另一平面所成的角相等，则()

A.α∥βB.α与β相交C.α∥β或α与β相交D.以上都不对

6.个平面,,，之间有，，则与（）(B)平行(C)相交(D)以上三种可能都有(A)垂直

7.，是两个平面，直线l，l，设（1）l，（2）l//，（3），若

以其中两个作为条件，另一个作为结论，则正确命题的个数是（）(A)0(B)1(C)2(D)

38.一点的三条直线两两垂直,则它们确定的平面互相垂直的对数有(D).A.0B.1C.2D.3

9.线m、n与平面α、β，给出下列三个命题：

①若m∥α,n∥α,则m∥n;②若m∥α,n⊥α，则n⊥m;③若m⊥α,m∥β,则α⊥β.其中真命题的个数是()

A.0B.1C.2D.310.在正四面体P－ABC中，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，下面四个结论不成立的是……………………………………()

A.BC∥平面PDFB.DF⊥平面PAEC.平面PDF⊥平面PAED.平面PDE⊥平面ABC

11.四个命题：①若直线a//平面，则内任何直线都与a平行；

②若直线a平面，则内任何直线都与a垂直；

③若平面//平面，则内任何直线都与平行；

④若平面平面，则内任何直线都与垂直．其中正确的两个命题是()Ａ．①与②Ｂ．②与③Ｃ．③与④Ｄ．②与④

12.如图、—ABCD的底面为正方形，SD底面ABCD，则下列结论中不正确的是…()

A.AC⊥SBB.AB∥平面SCD

C.SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角

D.AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角

二、解答题

13.已知平面α⊥平面β，交线为BC，P∈α，A∈β，且AC⊥BC，AC＝6cm, BC＝8cm,PA＝PB＝7cm.求点P到平面β的距离.14.如图，几何体ABCDE中，△ABC是正三角形，EA和DC都垂直于平面ABC，且EA＝AB＝2a，DC＝

a，F、G分别为EB和AB的中点。

（1）求证：FD∥平面ABC；（2）求证：AF⊥BD；

15.如图，（1）求证：（2）求证：（3）若

矩形

平面，求证：

平面

所在平面，分别是

和的中点.17.在四棱锥中，底面ABCD是正方形，侧面VAD是正三角形，平面VAD⊥底面ABCD

18.如图,AB是圆O的直径, PA垂直于圆O所在的平面, C是圆周上不同于

A, B的任意一点,（1）求证:平面PAC⊥平面PBC

（2）若A在PB、PC上的射影分别为E、F，求证：EF⊥PB

19.如图,PA⊥矩形ABCD所在的平面,M,N分别是AB,PC的中点(1)MN//平面PAD(2)PA=AD时,MN⊥平面PCD

AB,PD的中点，又二面角PCDB的大小为45，21.已知△

BCD中，∠BCD＝90°，BC＝CD＝1，AB⊥平面BCD，∠ADB＝60°，E、F分别是AC、AD上的动点，且

（Ⅰ）求证：不论λ为何值，总有平面BEF⊥平面ABC；（Ⅱ）当λ为何值时，平面BEF⊥平面ACD？

22.如图，平行四边形ABCD中，DAB60，AB2,AD4将 沿BD折起到EBD的位置，使平面EDB平面ABD

求证：ABDE

CBD

23.如图，正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1，P、Q分别是线段AD1和BD上的点，且D1P∶PA＝DQ∶QB＝5∶12.（1）求证PQ∥平面CD D1 C1；（2）求证PQ⊥AD；（3）求线段PQ的长.

第五篇：面面垂直的性质定理（范文模版）

线面、面面垂直的性质定理

教学目标：1.掌握垂直关系的性质定理,并会应用。

2.通过定理的学习，培养和发展空间想象能力、推理论证能力、运用图形

语言进行交流的能力、几何直观能力。

3.通过典型例子的分析和自主探索活动，理解数学概念和结论形成过程，体会蕴涵在其中的思想方法.重 难 点： 垂直关系的性质定理是重点也是难点。

课时安排：1课时.教学手段：多媒体.教学过程：

一、复习引入

线线垂直线面垂直 面面垂直

二、性质定理的引入

（一）问题探究一

为了改善小区电力供应，政府决定在大雄家外的马路边立两根电线杆，如果你是工程师，你有办法保证这两根电线杆平行吗？

答：令它们都垂直于地面！

【抽象概括】

定理6.3如果两条直线同垂直与一个平面，那么这两条直线平行.（文字描述）

ab

a,ba//b（数学语言，学生归纳）

※归纳线面垂直的性质：

1、线线垂直

2、线线平行（图形符号）

【练习】

表示平面，则下列命题 若m、n表示直线，中，正确的命题序号有__________.(1)m,nm//

n

(2)m//n,mn

(3)m,n//mn(4)m//,mnn

（二）问题探究二

在探究一中，如果大雄家有一面在马路边而且垂直于地面的围墙，那么你怎么保证电线

杆都垂直于地面呢？

答：令每一条电线杆紧贴墙面且都垂直于墙面与地面的交线！

【抽象概括】

定理6.4 如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直与它们交线的直线垂直于另

一个平面.(文字描述)m ,l mm(数学语言，学生归纳)ml 

（图形符号）※归纳面面垂直性质：线面垂直线面垂直面面垂直

【练习】

设两个平面互相垂直，则（）

A.一个平面内的任何一条直线都垂直与另一个平面

B.过交线上一点垂直于一个平面的直线必在另一个平面上

C.过交线上一点垂直于交线的直线，必垂直于另一个平面

D.分别在两个平面上的两条直线互相垂直 C1 例1在长方体ABCDA1B1C1D1中，MN在BA1 N平面B1BCCMNBC于M1内，且 DC（1）判断MN与AB的关系，说明理由（MN垂直的所有平面与直.线A 2）找出与

P

例2如图，在四面体PABC中，PA面ABC，面PAB面PBC，求证：BCAB.C分析：利用逆向思考的方法寻找证明思路.B

四、小结：面面平行

1、线线垂直线面垂直 面面垂直

2、几何证明中常常使用逆向思考的方法.五、作业：P49B3、P70C2

P68A5－A8 在书上