概率论分析（精选多篇）

第一篇：概率论分析

课程论文草稿

默认分类 2008-06-09 10:14:12 草稿 字号：大中小

概率论起源于15世纪中叶.尽管任何一个数学分支的产生与发展都不外乎是社会生产、科学技术自身发展的推动,然而概率论的产生,却肇事于所谓的“赌金分配问题”.1494年意大利数学家帕西奥尼(1445－1509)出版了一本有关算术技术的书.书中叙述了这样的一个问题:在一场赌博中,某一方先胜6局便算赢家,那么,当甲方胜了4局,乙方性了3局的情况下,因出现意外,赌局被中断,无法继续,此时,赌金应该如何分配?帕西奥尼的答案是:应当按照4:3的比例把赌金分给双方.当时,许多人都认为帕西奥尼的分法不是那么公平合理.因为,已胜了4局的一方只要再胜2局就可以拿走全部的赌金,而另一方则需要胜3局,并且只少有2局必须连胜,这样要困难得多.但是,人们又找不到更好的解决方法.在这以后100多年中,先后有多位数学家研

究过这个问题,但均未得到过正确的答案.直到1654年一位经验丰富的法国赌徒默勒以自己的亲身经历向帕斯卡请教“赌金分配问题”,引起了这位法国天才数学家的兴趣,并促成了帕斯卡与费马这两位大数学家之间就此问题展开的异乎寻常频繁的通

信,他们分别用了自己的方法独立而又正确地解决了这个问题.甲甲甲甲甲甲乙乙甲乙乙乙

甲甲甲乙甲乙甲乙乙甲乙乙

甲甲乙甲甲乙乙甲

乙乙

甲乙

甲乙甲甲乙乙甲甲乙乙乙甲

帕斯卡和费马以“赌金分配问题”开始的通信形式讨论，开创了概率论研究的先河.后来荷兰数学家惠更斯（1629－1695）也参加了这场讨论,并写出了关于概率论的第一篇正式论文《赌博中的推理》.帕斯卡、费马、惠更斯一起被誉为概率论的创始人.事至今日,概率论已经在各行各业中得到了广泛的应用,发展成为

一门极其重要的数学学科.乙甲甲甲乙甲乙甲乙乙乙乙

乙甲甲乙

甲方胜乙方胜

在这16种排列中,当甲出现2次或2次以上时,甲方获胜,这种情况共有11种;当乙出现3次或3次以

上时,乙方胜出,这种情况共有5种.因此,赌金应当按11:5比例分配.大数定律及中心极限定理就是描述和论证这些规律的。在实际生活中，人们往往还需要研究某一特定随机现象的演变情况随机过程。例如，微小粒子在液体中受周围分子的随机碰撞而形成不规则的运动（即布朗运动），这就是随机过程。随机过程的统计特性、计算与随机过程有关的某些事件的概率，特别是研

究与随机过程样本轨道(即过程的一次实现)有关的问题，是现代概率论的主要课题。

数理统计中方法应用的选取

数理统计是应用数学学科之一，其应用十分广泛。随着研究随机现象规律性的科学——概率论的发展，应用概率论的结果更深入地分析研究统计资料，通过对某些现象的频率的观察来发现该现象的内在规

律性，并做出一定精确程度的判断和预测；将这些研究的某些结果加以归纳整理，逐步形成一定的数学概

型，这些组成了数理统计的内容。

数理统计在自然科学、工程技术、管理科学及人文社会科学中得到越来越广泛和深刻的应用，其研究的内容也随着科学技术和经济与社会的不断发展而逐步扩大。在学习了应用数理统计这门课程后，我了解了统计推断检验等方法，能够应用这些方法对研究对象的客观规律性做出一定的估计和判断。我认为在使用统计进行实际数据分析时，统计方法应用的正确与否至关重要。下面我就对于在本门课程中学习到的一些统计变量、方法等的应用做一个归纳阐述。

一、描述统计应用

描述统计是数理统计的初级阶段，反映所收集数据的某些现象的内容做出的统计加工。在处理实验数据或采样数据时，经常会遇到对相同采样或相同实验条件下同一随机变量的多个不同取值进行统计处理的问题。在数理统计学中，作为描述随机变量总体大小特征的统计量有算术平均值、几何平均值和中位数

等。在应用中应根据要根据随机变量的分布特征确定合适的均值。如表1:

随后，P.-S.拉普拉斯和A.M.李亚普诺夫等进行了推广和改进。自P.莱维在1919～1925年系统地建立了特征函数理论起，中心极限定理的研究得到了很快的发展，先后产生了普遍极限定理和局部极限定理等。极限定理是概率论的重要内容，也是数理统计学的基石之一，其理论成果也比较完美。长期以来，对于极限定理的研究所形成的概率论分析方法，影响着概率论的发展。同时新的极限理论问题也在实际中不断产

生。

中心极限定理，是概率论中讨论随机变量和的分布以正态分布为极限的一组定理。这组定理是

数理统计学和误差分析的理论基础，指出了大量随机变量近似服从正态分布的条件。

[编辑]林德伯格－列维定理

林德伯格－列维（Lindburg-Levy）定理，即独立同分布随机变量序列的中心极限定理。它表明，独立同分布、且数学期望和方差有限的随机变量序列的标准化和以标准正态分布为极限：

设随机变量X1, X2,...,Xn独立同分布，且具有有限的数学期望和方差E(Xi)= µ，D(Xi)= σ²

≠ 0(i=1,2,...n)。记

$bar=fracsum\_\{i=1\}^X\_$

则

$lim\_\{nrightarrowinfty\}Pleft(frac\{bar-mu\}\{sigma/sqrt\}leq\; zright)$

=Phileft(zright)

其中Φ(z)是标准正态分布的分布函数。

[编辑]棣莫佛－拉普拉斯定理

棣莫佛－拉普拉斯（de Movire-Laplace）定理，即服从二项分布的随机变量序列的中心极限定理。

它指出，参数为n, p的二项分布以np为均值、np(1-p)为方差的正态分布为极限

大数定律（laws oflarge number)

概率论历史上第一个极限定理属于贝努里，后人称之为“大数定律”。概率论中讨论随机变量序列的算

术平均值向常数收敛的定律。概率论与数理统计学的基本定律之一。又称弱大数理论

1733年，德莫佛——拉普拉斯在分布的极限定理方面走出了根本性的一步，证明了二项分布的极限分布是正态分布。拉普拉斯改进了他的证明并把二项分布推广为更一般的分布。1900年，李雅普诺夫进一步推广了他们的结论，并创立了特征函数法。这类分布极限问题是当时概率论研究的中心问题，卜里耶为之命名“中心极限定理”。20世纪初，主要探讨使中心极限定理成立的最广泛的条件，二三十年代的林德贝尔格条件和费勒条件是独立随机变量序列情形下的显著进展。贝努里是第一个研究这一问题的数学家，他

于1713年首先提出后人称之为“大数定律”的极限定理。

【举例说明】

例如，在重复投掷一枚硬币的随机试验中，观测投掷n次硬币中出现正面的次数。不同的n次试验，出现正面的频率（出现正面次数与n之比）可能不同，但当试验的次数n越来越大时，出现正面的频率将大体上逐渐接近于1／2。又如称量某一物体的重量，假如衡器不存在系统偏差，由于衡器的精度等各种因素的影响，对同一物体重复称量多次，可能得到多个不同的重量数值，但它们的算术平均值一般来说将随称量次数的增加而逐渐接近于物体的真实重量。由于随机变量序列向常数的收敛有多种不同的形式，按其收敛为依概率收敛，以概率 1 收敛或均方收敛，分别有弱大数定律、强大数定律和均方大数定律。常用的大数定律有：伯努利大数定律、辛钦大数定律、柯尔莫哥洛夫强大数定律和重对数定律

第二篇：概率论教案

西南大学本科课程备课教案 2015 —2016 学年第 1 学期

（理论课程类）

课 程 名 称 概率论

授课专业年级班级 统计专业 2014 级 教 教

师 师

姓 职

名 称

凌成秀 讲师

I

数学与统计学院

课程性质

专业必修

□专业选修

□公共必修

□通识教育选修

概率论是统计专业本科生的一门建立在微积分、基本代数知识基础上的重要

课程简介

专业课程，是继续学习、研究统计学及其应用的一门重要课程。该课程旨在 如何刻画随机现象的统计规律性，包括随机事件及其概率，随机变量及其分 布，随机变量的数字特征、特征函数、极限定理等。本课程总学时 5*18=90 节。

教材

孙荣恒《应用概率论》第二版，2005，科学出版社

（总学时）

教学方式 讲授式、启发式、研究型、收集网络小论文探究式

使用教具 黑板、粉笔

[1] 《概率论基础》第三版，李贤平著，高等教育出版社，2010.[2] 《概率论与数理统计》第四版，盛骤，谢式千，潘承毅 著，高等教育出 版社，2010.[3] 《概率论与数理统计习题全解指南》第四版，盛骤，谢式千，潘承毅 著，高等教育额出版社，2010.[4] Probability Essentials(Second edition), Jean Jacod and Philip Protter, Springer,2004.[5]《概率论与数理统计教程》第二版,茆诗松 程依明、濮晓龙，高等教育出 版社，2000.参考书目及文献（或互联网网址）

考核方式 闭卷笔试

II

随机事件及其概率

第一章 随机事件及其概率

概率论与数理统计是从数量化的角度来研究现实世界中一类不确定现象（随机现 象）规律性的一门应用数学学科，20 世纪以来，广泛应用于工程技术、经济及 医学技术等各个领域.本章介绍的随机事件与概率是概率论中最基本、最重要的 概念之一.第一、二节 随机事件及其关系与运算

教学内容： 随机事件是本课程的最基础的概念，主要涉及到包括确定性现象、随机现象、样本空间、样本点、随机事件等定义；以及事件的包含、相等、互不 相容（互斥）、互为对立等关系；事件的和、积、差、逆等运算的定义；事件的 运算律、文氏图等；事件序列的极限。会用简单事件通过其关系与运算将复杂事 件表示出来。重点难点：

随机事件的定义；互不相容、互为对立、互逆事件的判别；用简单事件通过其运 算将复杂事件表示出来；事件的恒等式证明；事件序列的极限关系 教学目标：

会判断给出的现象是否为随机现象；会写随机试验的样本空间；会判别随机事件 的类型；熟悉事件关系与运算的定义；熟悉事件的运算律、会作文氏图；能判别 事件的互不相容、互为对立、互逆等关系；能用事件的运算关系将复杂事件表示 出来；掌握事件的不等式、恒等式证明 教学过程：

1、确定性现象与随机现象。确定性现象：在一定的条件下必然发生某种结果的现象。例如：（1）重物在高处必然下落；（2）在标准大气压下纯水加热到 100 摄氏度时必然会沸腾；

（3）异性电荷必相互吸引。随机现象（偶然性现象）：在一定的条件下，有多种可能结果发生，事前人们不 能预言将有哪个结果会出现的现象，但大量重复观察时具有某种规律性。如：（1）从一大批产品中任取一个产品，它可能是合格品，也可能是不合格品；（2）一门炮向一目标射击，每次射击的弹落点一般是不同的，事前无法预料。2、随机试验与样本空间。

试验：我们把对自然现象的一次观察或一次科学试验统称为试验。随机试验：一个试验若满足条件

（1）在相同的条件下可以重复进行；

（2）每次试验的结果不止一个，并能事先明确试验的所有可能结果；

1随机事件及其概率

（3）试验前不知道哪一个结果会出现。

则称这样的试验为随机试验，用 表示。

样本空间：随机试验所有可能出现的基本结果的集合称为样本空间。用 表 示。

样本点：随机试验的每一个可能出现的基本结果称为样本点，常用 表示。

3、随机事件

随机事件：由随机试验的某些样本点做成的集合称为随机事件，简称事件。用大写英文字母、、、…表示。在随机试验中随机事件可能发生，也 可能不发生。称某个事件发生当且仅当它所包含的某个样本点出现。1）基本事件：只包含一个样本点的事件，记为{w}。

2）不可能事件：一个样本点都不包含的集合，记为。不可能事件在试验中 一定不会发生。

3）必然事件：包含所有样本点的集合，记为。必然事件在试验中一定会发 生。

一般事件（复合事件）：由不止一个样本点做成的事件。例 1 以下哪些试验是随机试验？

（1）抛掷一枚硬币，观察出现的是正面在上还是反面在上；（2）记录某电话机在一天内接到的呼叫次数；

（3）从一大批元件中任意取出一个，测试它的寿命；（4）观察一桶汽油遇到明火时的情形；

（5）记录一门炮向某一目标射击的弹着点位置；

解：（1）（2）（3）（5）是随机试验，（4）不是随机试验 例 2：写出下列随机试验的样本空间。

（1）抛掷一颗骰子，观察出现的点数；（2）抛掷二次硬币，观察出现的结果；

（3）记录某汽车站在 5 分钟内到达的乘客数；（4）从一批灯泡中任取一只，测试其寿命；（5）记录一门炮向其目标射击的弹落点；（6）观察一次地震的震源； 解：（1）1  1，2，3，4，5，6

 ；

（2）  （正，正），（正，反），（反，正），（反，反） ；（3）  01 2 3...；

，（4） 0

4  x x  ,其中 x 表示灯泡的寿命；（5）

 ,

（x，y x y ,其中 x、y 分别表示弹着

         5  )，点的横坐标、纵坐标；

2  

（6）

 （，,) , 0 ,其中 x、y、z 分别表 5 x y z   x  ,  y  z 

 2



示震源的经度、纬度、离地面的深度。

例 3 抛掷一个骰子，观察出现的点数。用 A 表示“出现的点数为奇数”，B 表示“出现的点数大于 4”，C 表示“出现的点数为 3”,D 表示“出现的点 数大于 6”，E 表示“出现的点数不为负数”，（1）写出实验的样本空间；（2）用样本点表示事件 A、B、C、D、E；（3）指出事件 A、B、C、D、E 何 为基本事件，何为必然事件，何为不可能事件。解：

（1）  1，2，3，4，5，6；（2）A  1，3，5，B   5,6 ，C   3 ，D  ，E  1，2，3，4，5，6（3）C 为基本事件，E 为必然事件，D 为不可能事件 讨论题：请给出现实生活中随机现象的一个例子。

4、事件的关系与运算

因为事件是样本空间的一个集合, 故事件之间的关系与运算可按集合之间 的关系和运算来处理.1）事件之间的关系与简单运算

设 A、B 为试验 E 的二事件，（1）子事件（事件的包含）：若 A 中的每一个样本点都包含在 B 中，则记为，也称事件 A 是事件 B 的子事件，或事件 B 包含了事件 A。此时事件 A 发生必然导致事件 B 发生。显然，对任意事件 A，有（2）事件的相等：若 等价的，记为。

且，则称事件 A 与事件 B 是相等的，或称

（3）事件的和（并）：用 A  B 表示属于 A 或属于 的样本点的集合，称之 为 与 的和（并）事件。事件

表示事件 与事件 B 至少有一个发生。

（4）事件的积（交）：用 A  B（或 AB）表示同时属于 A 与 B 的样本点的 集合，称为 A 与 的积（交）事件。事件 AB 表示事件 A 与事件 B 同时发生 的事件。

（5）事件的互不相容（互斥）：若 AB  ，则称为事件 A 与事件 B 互不相 容。即 A 与 B 不能同时发生。

当 与 B 互不相容时，记为。

（6）事件的差：用 A  B 表示包含在 A 中而不包含在 B 中的样本点的全体，称为事件 与事件 的差。事件 A  B 表示 A 发生而 B 不发生的事件。

第三篇：概率论课外作业（范文）

大数定律与中心极限定理在实际中的应用

大数定律阐明了大量随机现象平均结果具有稳定性，证明了在大样本条件下，样本平均值可以看作总体平均值，它是“算术平均值法则"的基本理论，在现实生活中，经常可见这一类型的数学模型。例如：在分析天平上秤重量为a的物品，若以x1,x2,x3,...,xn表示n次重复称

1n量的结果，经验告诉我们，当n充分大时，它们的算术平均值xi与

ni1a的偏差就越小。

中心极限定理比大数定律更为详细具体，它以严格的数学形式阐明了在大样本条件下，不论总体分布如何，样本均值总是服从或是近似的服从正态分布。正是这个结论使得正态分布在数理统计和误差分析中占用特殊的地位，是正态分布得以广泛应用的理论基础。概率论中用来阐明大量随机现象平均结果的稳定性的一系列定理，称为大数定律。

切比雪夫不等式：设随机变量X具有有限数学期望和方差2，2则对于任意正数，如下不等式成立 P2。

切比雪夫不等式的应用：在随机变量X的分布未知的情况下，只利用X的期望和方差，即可对X的概率分布进行估值。

例1 已知正常男性成人血液中，每毫升白细胞数的平均值是7300，均方差是700，利用切比雪夫不等式估计每毫升血液含白细胞数在5200～9400之间的概率。

(X)= 解 设X表示每毫升血液中含白细胞个数，则E（X）=7300，D(X)=700 则P{ 5200X9400}=P{ X73002100}=1-P{ X7300>2100}

70021 而P X73002100221009所以P 5200X9400

概率论中有关论证独立随机变量的和的极限分布是正态分布的一系列定理称为中心极限定理。

独立同分布的中心极限定理：设随机变量X1,X2,...,Xn相互独立，服从同一分布，且有有限的数学期望和方差2，则随机变量

89YXi1ninn的分布函数Fn(x)满足如下极限式

nXt2ix1limFn(x)limPi1xe2dt 2n定理的应用：对于独立的随机变量序列{Xn }，不管Xi(i=1，2，⋯，n)服从什么分布，只要它们是同分布，且有有限的数学期望和方差，那么，当n充分大时，这些随机变量之和Xi近似地服从正态分

i1n布N(n,n2)。

二项分布的极限分布是正态分布即如果X～B(n，p)则

tnnpb12Pabedt(b)(a)anp(1p)22例2 现有一大批种子，其中良种占1／6，今在其中任选60O0粒，试分别用切比雪夫不等式估计和用中心极限定理计算在这些种子中

良种所占的比例与1／6之差小于l％的概率是多少? 解

设取出的种子中的良种粒数为X，则 X～B(6000，)于是

E(X)np600011000616155D(X)np(1p)60001000

666(1)要估计的规律为PX11PX100060，相当60006100于在切比雪夫不等式中取=60，于是

X11D(X)PPX100060126000610060由题意得1D(X)511100010.23150.7685 26063600即用切比雪夫不等式估计此概率不小于0.7685(2)由中心极限定理，对于二项分布(6000，)可用正态分布N(1000，51000)近似，于是所求概率为 616X1(10601000)(9401000)P0.01P940X106010005/610005/660006从本例看出．用切比雪夫不等式只能得出来要求的概率不小于0.7685．而用中心极限定理可得出要求的概率近似等于0.9625．从而知道由切比雪夫不等式得到的下界是十分粗糙的．但由于它的要求比较低，只要知道X的期望和方差，因而在理论上有许多运用．

当Xi独立同分布(可以是任何分布)，计算P(aX1X2...Xnb)的概率时，利用中心极限定理往往能得到相当精确的近似概率，在实际问题上广泛运用．

例3某单位有200台电话分机，每台有5％的时间要使用外线通话，假定每台分机是否使用外线是相互独立的，问该单位总机要安装多少条外线，才能以90%以上的概率保证分机用外线时不等待？

解

设有X部分机同时使用外线，则有X～B(n，P)，其中n=200，P=0.05，np=10，np(1p)3.08 设有N条外线．由题意有P{XN}0．9 有

PXNPXnpnp(1p)NnpNnpN10()()3.08np(1p)np(1p)N101.28 3.08查表得(1.28)=0．90，故N应满足条件即N13.94，取N=14，即至少要安装14条外线．

参考文献：

[1]庄楚强.吴亚森．应用数理统计基础[M]．广州：华南理工大学出版社，2002．

[2]黄清龙.阮宏顺．概率论与数理统计[M]．北京：北京大学出版社，2005．

[3]贾兆丽．概率方法在数学证明中的应用[J]．安徽工业大学学报，2002，19(1)：75—76．

[4]周少强．大数定律与中心极限定理之问的关系[J]．高等数学研究，2001(1)：15—17．

[5]刘建忠．中心极限定理的一个推广及其应用[J]．华东师范大学学报(自然科学版)．2001，18(03)：8-12．

[6]杨桂元．中心极限定理及其在统计分析中的应用[J]．统计与信息论坛，2000(03)：13—15．

[7]钟镇权．关于大数定律与中心极限定理的若干注记[J]．玉林师范学院学报．2001(03)：8一10．

[8]周概容．概率论与数理统计[M]．北京：高等教育出版社，1984．

第四篇：概率论简答题

概率论简答题

1． 互不相容事件与等可能事件、对立事件及其相互独立事件有什么区别

2． 概率为1的事件的积概率是1么？

3． 直接计算古典概型有哪些计算方法？并举简单例子说明

4． 古典概型有哪些基本问题？举例说明。

5． 几何概型有什么特点又如何计算。

6． 如何正确计算条件概率和应用乘法公式。

7． 如何应用全概率公式和贝叶斯公式。

8． 如何理解“独立事件”

9． 如何证明几个事件相互独立

10．比赛双方实力相当，问9场比赛中赢5场和5场比赛中赢3场，哪一个可能性大？

11．引入随机变量的分布函数有什么作用？如何确定与判断？

12．离散型随机变量的概率分布或连续型随机变量的概率密度函数如何确定及判断？

13.离散型随机变量有哪些常见分布？其概率分布是什么？其分布函数是什么？

14.随机变量X服从参数λ的泊松分布，当k取何值时概率最大？

15.连续型随机变量有哪些常见分布？其密度函数是什么？其分布函数是什么？

16.求连续型随机变量有哪些常见方法？举例说明

17.二元函数为联合概率密度函数应如何判断？

18.离散型随机变量应（X,Y）的联合分布列与边缘分布列有什么关系？如何计算？举例说明。

19.连续型随机变量（X,Y）的联合密度函数与边缘密度函数有什么关系？如何计算？举例说明。

20.如何判断随机变量的独立性？（包括离散与连续）

21.如何计算离散型随机变量常见分布的期望与方差

22．如何计算连续型型随机变量常见分布的期望与方差

23.对于一些复杂的随机变量，求他们的期望和方差用什么简易方法，并举例。

24.准确定义协方差、相关系数？

25.两个随机变量独立和不相关有何关系？举例说明。

26.什么是中心极限定理？如何应用？举例说明

第五篇：概率论复习

概率论复习要点

第一章

1、随机事件的关系与运算,概率的性质(差并对立事件概率的计算公式),条件概率公式公式，事件的独立性。

2、古典概型的计算：例P28T9,11,12,203、全概率公式和贝叶斯公式的应用:例P48-49 T14,15,16,18,20

第二章

1、分布函数的定义及性质：例P74 T7,13，2、连续型随机变量的密度函数的性质: 例P74 T11，12,14, P143 T6,83、随机变量及随机变量函数的数学期望和方差的性质及计算：例P83 T10,13, P88 T3,54、切比雪夫不等式及其应用

5、常用离散型随机变量的概率分布列、常用连续型随机变量的概率密度及数学期望和方差

如P114表2.5.1，P115T11,12,196、随机变量函数的分布：P123 T7,8,1

1第三章

1、二维随机变量的分布函数定义及性质，边际分布函数的求解p145 例3.2.12、离散型二维随机变量的联合分布列和边际分布列的求解，及离散型二维随机变量函数分布列的求解：P136 例3.1.2，P143 T2,3；P155 例3.3.1；P163T13、连续型二维随机变量的联合密度函数的性质，边际密度函数的求解，随机变量独立性的判断：P147 例3.2.3，P152例3.2.8；P153T5，6，134、二维随机变量函数的数学期望和方差的计算，协方差的性质及计算，相关系数的定义及性质:P183T21,24,25

D(X+Y)=DX+DY+2COV(X,Y), D(X-Y)=DX+DY-2COV(X,Y)

5、独立和不相关之间的关系

第四章

1、特征函数的定义及性质P2012、常用分布的特征函数的计算P202 例4.1.23、证明随机变量序列是否服从大数定律：P216 T1,2,34、中心极限定理的应用:P237 T1,2,8,9,10