期末综合训练(一)直角三角形的边角关系
一、选择题
1．(2015·温州)如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，则cosA的值是(D)
A.B.C.D.,第1题图),第4题图)
2．若α的余角是30°，则cosα的值是(A)
A.B.C.D.3．在△ABC中，∠C＝90°，AB＝6，cosA＝，则AC等于(B)
A．18
B．2
C.D.4．如图，在2×2正方形网格中，以格点为顶点的△ABC的面积等于，则sin∠CAB＝(B)
A.B.C.D.5．已知锐角A满足等式2sin2A－7sinA＋3＝0，则sinA的值为(A)
A.B．3
C.或3
D．以上都不对
6．(2015·绵阳)如图，要在宽为22米的九州大道AB两边安装路灯，路灯的灯臂CD长为2米，且与灯柱BC成120°角，路灯采用圆锥形灯罩，灯罩的中轴线DO与灯臂CD垂直，当灯罩的轴线DO通过公路路面的中心线时照明效果最佳．此时，路灯的灯柱BC高度应该设计为(D)
A．(11－2)米
B．(11－2)米
C．(11－2)米
D．(11－4)米,第6题图),第7题图)
二、填空题
7．如图，在△ABC中，AC＝6，BC＝5，sinA＝，则tanB＝____．
8．(2015·邵阳)如图，某登山运动员从营地A沿坡角为30°的斜坡AB到达山顶B，如果AB＝2000米，则他实际上升了__1000__米．,第8题图),第10题图)
9．在△ABC中，若|sinA－|＋(cosB－)2＝0，则该三角形为__锐角__三角形．
10．如图，在△ABC中，AC＝2，∠A＝45°，tanB＝，则BC的长为____．
11．(2015·江西)如图1是小志同学书桌上的一个电子相框，将其侧面抽象为如图所示的几何图形，已知BC＝BD＝15
cm,∠CBD＝40°，则点B到CD的距离为__14.1__cm.(参考数据：sin20°≈0.342，cos20°≈0.940，sin40°≈0.643，cos40°≈0.766；精确到0.1
cm)
三、解答题
12．计算：
(1)cos60°－cos45°＋tan30°；
解：1
(2)－.解：2－
13．(2015·遂宁)如图，一数学兴趣小组为测量河对岸树AB的高，在河岸边选择一点C，从C处测得树梢A的仰角为45°，沿BC方向后退10米到点D，再次测得点A的仰角为30°.求树高．(结果精确到0.1米；参考数据：≈1.414，≈1.732)
解：由题意，∠B＝90°，∠D＝30°，∠ACB＝45°，DC＝10米，设CB＝x，则AB＝x，DB＝x，∵DB＝CB＋DC，∴x＝x＋10，∴x＝＝5＋5≈13.7，即树高为13.7米
14．如图，海中两个灯塔A，B，其中B位于A的正东方向上，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在点C处测得灯塔A在西北方向上，灯塔B在北偏东30°方向上，渔船不改变航向继续向东航行30海里到达点D，这时测得灯塔A在北偏西60°方向上，求灯塔A，B间的距离．(计算结果用根号表示，不取近似值)
解：过点A作AF⊥CD，垂足为F，由题意可得出，∠FCA＝∠ACN＝45°，∠NCB＝30°，∠ADE＝60°，则∠FAD＝60°，∠FAC＝∠FCA＝45°，∠ADF＝30°，∴AF＝FC＝AN＝NC，设FC＝AF＝x，∵tan30°＝，∴＝，解得x＝15(＋1)，∵tan30°＝，∴＝，解得BN＝15＋5，∴AB＝AN＋BN＝15(＋1)＋15＋5＝30＋20，则灯塔A，B间的距离为(30＋20)海里
15．(2015·凉山州)如图，在楼房AB和塔CD之间有一棵树EF，从楼顶A处经过树顶E点恰好看到塔的底部D点，且俯角α为45°，从距离楼底B点1米的P点处经过树顶E点恰好看到塔的顶部C点，且仰角β为30°，已知树高EF＝6米，求塔CD的高度．(结果保留根号)
解：∵∠ADB＝∠α＝45°，∠EFD＝90°，∴∠FED＝∠ADB＝45°，∴FD＝EF＝6.∵HF＝PB＝1，∴EH＝5.∵tanβ＝，即＝，∴PH＝5，∴BF＝PH＝5，∴PG＝BD＝5＋6.∵tanβ＝，即＝，∴CG＝2＋5，∴CD＝2＋6，即塔CD的高度为(2＋6)米
16．(2015·常德)图1，2分别是某吊车在吊一物品时的实物图与示意图，已知吊车底盘CD的高度为2米，支架BC的长为4米，且与地面成30°角，吊绳AB与支架BC的夹角为80°，吊臂AC与地面成70°角，求吊车的吊臂顶端A点距地面的高度是多少米？(精确到0.1米；参考数据：sin10°＝cos80°≈0.17，cos10°＝sin80°≈0.98，sin20°＝cos70°≈0.34，tan70°≈2.75，sin70°≈0.94)
解：作AF⊥BC于点F.∵∠BCH＝30°，∠ACE＝70°，∴∠ACB＝180°－∠BCH
－∠ACE
＝80°，∴∠ACB＝∠ABC
＝80°，∴AB＝AC.又AF⊥BC，BC＝4米，∴CF＝BC＝2米.∵在Rt△ACF中，cos∠ACF＝，∴AC＝≈11.76(米)．∵在Rt△ACE中，sin∠ACE＝，∴AE＝11.76×sin70°≈11.1(米)，∴AP＝11.1＋CD＝13.1(米)，则吊车的吊臂顶端A点距地面的高度是13.1米
期末综合训练(二)二次函数
一、选择题
1．抛物线y＝－(x＋2)2－5的顶点坐标是(C)
A．(2，－5)
B．(2，5)
C．(－2，－5)
D．(－2，5)
2．将抛物线y＝x2－6x＋5向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度后，得到的抛物线解析式是(B)
A．y＝(x－4)2－6
B．y＝(x－4)2－2
C．y＝(x－2)2－2
D．y＝(x－1)2－3
3．顶点为(6，0)，开口向下，开口的大小与函数y＝x2的图象相同的抛物线所对应的函数是(D)
A．y＝(x＋6)2
B．y＝(x－6)2
C．y＝－(x＋6)2
D．y＝－(x－6)2
4．抛物线y＝kx2－7x－7的图象和x轴有交点，则k的取值范围是(B)
A．k>－
B．k≥－且k≠0
C．k≥－
D．k>－且k≠0
5．图1是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在l时，拱顶(拱桥洞的最高点)离水面2
m，水面宽4
m．如图2建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式是(C)
A．y＝－2x2
B．y＝2x2
C．y＝－x2
D．y＝x2
6．已知一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的两个实数根x1，x2满足x1＋x2＝4和x1·x2＝3，那么二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象有可能是(C)
7．(2015·遂宁)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，下列结论：①2a＋b＞0；②abc＜0；③b2－4ac＞0；④a＋b＋c＜0；⑤4a－2b＋c＜0，其中正确的个数是(B)
A．2
B．3
C．4
D．5
二、填空题
8．若y＝(2－a)xa2－2－4x＋3是二次函数，则a的值为__－2__．
9．(2015·漳州)已知二次函数y＝(x－2)2＋3，当x__x<2__时，y随x的增大而减小．
10．(2015·杭州)函数y＝x2＋2x＋1，当y＝0时，x＝__－1__；当1＜x＜2时，y随x的增大而__增大__．(填“增大”或“减小”)
11．二次函数y＝x2－mx＋3的图象与坐标轴的交点如图所示，根据图中信息可得到m的值是__4__．,第11题图),第12题图)
12．如图，⊙O的半径为2，C1是函数y＝x2的图象，C2是函数y＝－x2的图象，则阴影部分的面积是__2π__．
13．已知二次函数的图象与x轴的两个交点A，B关于直线x＝－1对称，且AB＝6，顶点在函数y＝2x的图象上，则这个二次函数的表达式为__y＝x2＋x－__．
14．(2015·营口)某服装店购进单价为15元的童装若干件，销售一段时间后发现：当销售价为25元时平均每天能售出8件，而当销售价每降低2元，平均每天能多售出4件，当每件的定价为__22__元时，该服装店平均每天的销售利润最大．
三、解答题
15．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图，根据图象回答下列问题：
(1)写出方程ax2＋bx＋c＝0的两个根；
(2)写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围；
(3)若方程ax2＋bx＋c＝k有两个不相等的实数根，求k的取值范围．
解：(1)x1＝1，x2＝3
(2)x>2(3)观察图象，可知如果抛物线向下平移的单位长度小于2时，抛物线就与x轴有两个交点，∴要使方程ax2＋bx＋c＝k有两个不相等的实数根，需使k<2
16．(2015·宁夏)已知点A(，3)在抛物线y＝－x2＋x的图象上，设点A关于抛物线对称轴对称的点为B.(1)求点B的坐标；
(2)求∠AOB的度数．
解：(1)B(3，3)
(2)过B作BC⊥y轴于C，则点A在BC上，∵A(，3)，B(3，3)，∴BC＝3，AC＝，OC＝3，∴tan∠AOC＝＝，tan∠BOC＝＝，∴∠AOC＝30°，∠BOC＝60°，∴∠AOB＝30°
17．(2015·枣庄)如图，直线y＝x＋2与抛物线y＝ax2＋bx＋6(a≠0)相交于A(，)和B(4，m)，点P是线段AB上异于A，B的动点，过点P作PC⊥x轴于点D，交抛物线于点C.(1)求抛物线的解析式；
(2)是否存在这样的P点，使线段PC的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．
解：(1)y＝2x2－8x＋6(2)设动点P的坐标为(n，n＋2)，则C点坐标为(n，2n2－8n＋6)，∴PC＝(n＋2)－(2n2－8n＋6)＝－2n2＋9n－4＝－2(n－)2＋，∵PC＞0，∴当n＝时，线段PC最大且为
18．如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球从O点正上方2
m的A处发出，把球看成点，其运行的高度y(m)与运行的水平距离x(m)满足关系式y＝a(x－6)2＋h.已知球网与O点的水平距离为9
m，高度为2.43
m，球场的边界距O点的水平距离为18
m.(1)当h＝2.6时，求y与x的关系式；(不要求写出自变量x的取值范围)
(2)当h＝2.6时，球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由；
(3)若球一定能越过球网，又不出边界，求h的取值范围．
解：(1)把x＝0，y＝2及h＝2.6代入到y＝a(x－6)2＋h中，得2＝a(0－6)2＋2.6，解得a＝－，∴y＝－(x－6)2＋2.6(2)当h＝2.6时，y＝－(x－6)2＋2.6，把x＝9代入上式，得y＝－(9－6)2＋2.6＝2.45>2.43，∴球能越过网．把x＝18代入y＝－(x－6)2＋2.6，得y＝－(18－6)2＋2.6＝0.2>0，∴球会出界
(3)把x＝0，y＝2代入y＝a(x－6)2＋h，得a＝.当x＝9时，y＝(9－6)2＋h＝，∴>2.43①.当x＝18时，y＝(18－6)2＋h＝8－3h，∴8－3h≤0②，联立①②，解得h≥
期末综合训练(三)圆
一、选择题
1．(2015·河北)如图，AC，BE是⊙O的直径，弦AD与BE交于点F，下列三角形中，外心不是点O的是(B)
A．△ABE
B．△ACF
C．△ABD
D．△ADE,第1题图),第3题图)
2．已知圆O的直径是方程x2－5x－24＝0的根，且点A到圆心O的距离为6，则点A在(C)
A．圆O上
B．圆O内
C．圆O外
D．无法确定
3．(2015·张家界)如图，∠O＝30°，C为OB上一点，且OC＝6，以点C为圆心，半径为3的圆与OA的位置关系是(C)
A．相离
B．相交
C．相切
D．以上三种情况均有可能
4．如图，以点O为圆心的两个圆中，大圆的弦AB切小圆于点C，OA交小圆于点D.若OD＝2，tan∠OAB＝，则AB的长是(C)
A．4
B．2
C．8
D．4,第4题图),第5题图)
5．(2015·青岛)如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，若直线PA与⊙O相切于点A，则∠PAB＝(A)
A．30°
B．35°
C．45°
D．60°
6．如图，在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝90°，AB＝2，点D为AB的中点，以点D为圆心作圆心角为90°的扇形DEF，点C恰在弧EF上，则图中阴影部分的面积为(D)
A.＋
B．π－
C.＋
D.－,第6题图),第7题图)
二、填空题
7．如图，在⊙O中，弦AB垂直平分半径OC，垂足为D，若⊙O的半径为2，则弦AB的长为__2__．
8．如图，AB是⊙O的直径，∠BAC＝42°，点D是弦AC的中点，则∠DOC的度数是__48__度．,第8题图),第9题图)
9．如图，直线MN与⊙O相切于点M，ME＝EF且EF∥MN，则cosE＝____．
10．如图，半径5的半圆的初始状态是直径平行于桌面上的直线b，然后把半圆沿直线b进行无滑动滚动，使半圆的直径与直线b重合为止，则圆心O运动路径的长度等于__5π__．,第10题图),第11题图)
11．(2015·烟台)如图，直线l：y＝－x＋1与坐标轴交于A，B两点，点M(m，0)是x轴上一动点，以点M为圆心，2个单位长度为半径作⊙M，当⊙M与直线l相切时，则m的值为__2－2或2＋2__．
12．如图，在矩形ABCD中，AD＝8，E是边AB上一点，且AE＝AB.⊙O经过点E，与边CD所在直线相切于点G(∠GEB为锐角)，与边AB所在直线交于另一点F，且EG∶EF＝∶2.当边AD或BC所在的直线与⊙O相切时，AB的长是__12或4__．
三、解答题
13．⊙O为△ABC的外接圆，请仅用无刻度的直尺，根据下列条件分别在图①，图②中画出一条弦，使这条弦将△ABC分成面积相等的两部分．(保留作图痕迹，不写作法)
(1)如图①，AC＝BC；
(2)如图②，直线l与⊙O相切与点P，且l∥BC.解：(1)连接CO并延长交⊙O于D，CD即为所求(图略)(2)连接PO并延长交BC于E，连接AE并延长交⊙O于F，AF即为所求(图略)
14．在⊙O中，AB为直径，点C为圆上一点，将劣弧沿弦AC翻折交AB于点D，连接CD.(1)如图①，若点D与圆心O重合，AC＝2，求⊙O的半径r；
(2)如图②，若点D与圆心O不重合，∠BAC＝25°，请直接写出∠DCA的度数．
解：(1)
过点O作AC的垂线交AC于E，交劣弧于F，由题意可知，OE＝EF，∵
OE⊥AC，∴AE＝AC，在Rt△AOE中，AO2＝OE2＋AE2，∴r2＝1＋(r)2，∴r＝
(2)∠DCA＝40° 点拨：连接BC，则∠B＝90°－25°＝65°，∵∠B为劣弧AC所对圆周角，∠ADC等于优弧ABC所对圆周角，∴∠B＋∠ADC＝180°，又∠BDC＋∠ADC＝180°，∴∠BDC＝∠B＝65°，∴∠DCA＝65°－25°＝40°
15．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＋BC＝8，点O是斜边AB上一点，以O为圆心的⊙O分别与AC，BC相切于点D，E.(1)当AC＝2时，求⊙O的半径；
(2)设AC＝x，⊙O的半径为y，求y与x的函数关系式．
解：(1)连接OD，OE，则OD⊥AC，OE⊥BC，可证四边形ODCE是正方形，设OD＝CD＝r，由△ADO∽△ACB得＝，∴r＝(2)同(1)可得＝，∴y＝－x2＋x
16．(2015·安顺)如图，等腰三角形ABC中，AC＝BC＝10，AB＝12，以BC为直径作⊙O交AB于点D，交AC于点G，DF⊥AC，垂足为F，交CB的延长线于点E.(1)求证：直线EF是⊙O的切线；
(2)求cosE的值．
解：(1)连接OD，CD.∵BC是直径，∴CD⊥AB.∵AC＝BC，∴D是的AB中点．又O为CB的中点，∴OD∥AC.∵DF⊥AC，∴OD⊥EF，∴EF是⊙O的切线(2)连接BG.∵BC是直径，∴∠BGC＝90°.在Rt△ACD中，DC＝＝＝8.∵AB·CD＝2S△ABC＝
AC·BG，∴BG＝＝＝.∵BG⊥AC，EF⊥AC，∴BG∥EF，∴∠E＝∠CBG，∴cosE＝cos∠CBG＝＝
期末综合训练(四)总复习
一、选择题
1．函数y＝x2－2的图象与y轴的交点坐标是(B)
A．(0，2)
B．(0，－2)
C.D．－
2．如图，将∠AOB放置在5×5的正方形网格中，则tan∠AOB的值是(B)
A.B.C.D.,第2题图),第4题图)
3．将抛物线y＝3x2向上平移3个单位，再向左平移2个单位，那么得到的抛物线的解析式为(A)
A．y＝3(x＋2)2＋3
B．y＝3(x－2)2＋3
C．y＝3(x＋2)2－3
D．y＝3(x－2)2－3
4．(2015·潍坊)如图，AB是⊙O的弦，AO的延长线交过点B的⊙O的切线于点C，如果∠ABO＝20°，则∠C的度数是(B)
A．70°
B．50°
C．45°
D．20°
5．如图，在某监测点B处望见一艘正在作业的渔船在南偏西15°方向的A处，若渔船沿北偏西75°方向以40海里/小时的速度航行，航行半小时后到达C处，在C处观测到B在C的北偏东60°方向上，则B，C之间的距离为(C)
A．20海里
B．10海里
C．20海里
D．30海里,第5题图),第6题图)
6．如图，AB，CD是⊙O的两条互相垂直的直径，点O1，O2，O3，O4分别是OA，OB，OC，OD的中点，若⊙O的半径为2，则阴影部分的面积为(A)
A．8
B．4
C．4π＋4
D．4π－4
二、填空题
7．已知点A(0，y1)，B(1，y2)，C(3，y3)在二次函数y＝ax2－2ax＋1(a<0)的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是__y3＜y1＜y2__．(用“<”连接)
8．(2015·安徽)如图，点A，B，C在⊙O上，⊙O的半径为9，的长为2π，则∠ACB的大小是__20°__.,第8题图),第9题图)
9．如图，在半径为3的⊙O中，直径AB与弦CD相交于点E，连接AC，BD，若AC＝2，则cosD＝____.10．某景区为方便游客参观，在每个景点均设置两条通道，即楼梯和无障碍通道．如图，已知在某景点P处，供游客上下的楼梯倾斜角为30°(即∠PBA＝30°)，长度为4
m(即PB＝4
m)，无障碍通道PA的倾斜角为15°(即∠PAB＝15°)，则无障碍通道的长度为__9.5_m__．(结果精确到0.1
m，参考数据：sin15°≈0.21，cos15°≈0.98)
11．在平面直角坐标系中，⊙P的圆心是(2，a)(a＞2)，半径为2，函数y＝x的图象被⊙P截得的弦AB的长为2，则a的值是__2＋__．,第11题图),第12题图)
12．(2015·安顺)如图为二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象，则下列说法：①a>0；②2a＋b＝0；③a＋b＋c>0；④
当－1
三、解答题
13．计算：
(1)cos45°－4cos230°＋sin45°·tan60°；
(2)－cos60°.解：(1)－2(2)－
14．某煤矿发生瓦斯爆炸，该地救援队立即赶赴现场救援，救援队利用生命探测仪在地面A，B两个探测点探测到C处有生命迹象，已知A，B两点相距4米，探测线与地面的夹角分别是30°和45°(如图)，试确定生命所在点C的深度．(精确到0.1米，参考数据：≈1.414，≈1.732)
解：过点C作CD⊥AB于点D，设CD＝x
m．在Rt△CBD中，BD＝＝x(m)．在Rt△ACD中，tan30°＝＝，∴x＝2＋2≈5.5(m)，则生命所在点C的深度约是5.5
m
15．为了节省材料，某水产养殖户利用水库的岸堤(岸堤足够长)为一边，用总长为80
m的围网在水库中围成了如图所示的①②③三块矩形区域，而且这三块矩形区域的面积相等．设BC的长度为x
m，矩形区域ABCD的面积为y
m2.(1)求y与x之间的函数关系式，并注明自变量x的取值范围；
(2)x为何值时，y有最大值？最大值是多少？
解：(1)∵三块矩形区域的面积相等，∴矩形AEFD面积是矩形BCFE面积的2倍，∴AE＝2BE，设BE＝a，则AE＝2a，∴8a＋2x＝80，∴a＝－x＋10，2a＝－x＋20，∴y＝(－x＋20)x＋(－x＋10)x＝－x2＋30x，∵a＝－x＋10＞0，∴x＜40，则y＝－x2＋30x(0＜x＜40)(2)∵y＝－x2＋30x＝－(x－20)2＋300(0＜x＜40)，且二次项系数为－＜0，∴当x＝20时，y有最大值，最大值为300
m2
16．(2015·临沂)如图，点O为Rt△ABC斜边AB上的一点，以OA为半径的⊙O与BC切于点D，与AC交于点E，连接AD.(1)求证：AD平分∠BAC；
(2)若∠BAC＝60°，OA＝2，求阴影部分的面积．(结果保留π)
解：(1)∵BC为切线，∴OD⊥BC，∵∠C＝90°，∴OD∥AC，∴∠CAD＝∠ADO.∵OA＝OD，∴∠ADO＝∠OAD，∴∠CAD＝∠OAD，∴AD平分∠BAC(2)设EO与AD交于点M，连接ED.∵∠BAC＝60°，OA＝OE，∴△AEO是等边三角形，∴∠AEO＝60°，AE＝OA＝OD，由(1)知OD∥AC，∴∠EOD＝∠AEO＝60°，又∵∠AME＝∠OMD，∴△AME≌△OMD(AAS)，∴S阴影＝S扇形ODE＝×22＝π
17．如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴为直线x＝－1，且抛物线经过A(1，0)，C(0，3)两点，与x轴交于点B.(1)若直线y＝mx＋n经过B，C两点，求直线BC和抛物线的表达式；
(2)在抛物线的对称轴x＝－1上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求出点M的坐标；
(3)设点P为抛物线的对称轴x＝－1上的一个动点，求使△BPC为直角三角形的点P的坐标．
解：(1)y＝－x2－2x＋3，y＝x＋3(2)设直线BC与对称轴x＝－1的交点为M，则此时MA＋MC的值最小．把x＝－1代入直线y＝x＋3得y＝2，∴M(－1，2)，即当点M到点A的距离与到点C的距离之和最小时M的坐标为(－1，2)
(3)设P(－1，t)，又B(－3，0)，C(0，3)，∴BC2＝18，PB2＝(－1＋3)2＋t2＝4＋t2，PC2＝(－1)2＋(t－3)2＝t2－6t＋10.①若点B为直角顶点，则BC2＋PB2＝PC2，即18＋4＋t2＝t2－6t＋10，解得t＝－2；②若点C为直角顶点，则BC2＋PC2＝PB2，即18＋t2－6t＋10＝4＋t2，解得t＝4；③若点P为直角顶点，则PB2＋PC2＝BC2，即4＋t2＋t2－6t＋10＝18，解得t1＝，t2＝.综上所述，P的坐标为(－1，－2)或(－1，4)
或(－1，)
或(－1，)
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