2.6正多边形与圆
一、选择题
1.有以下说法:①各角相等的多边形是正多边形;②各边相等的三边形是正三边形;③各角相等的圆内接多边形是正多边形;④各顶点等分外接圆的多边形是正多边形.其中正确的有
()
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
2.下列图形中既是轴对称图形,又是中心对称图形的是
()
A.多边形
B.边数为奇数的正多边形
C.正多边形
D.边数为偶数的正多边形
3.[2019·湖州]
如图1,已知正五边形ABCDE内接于☉O,连接BD,则∠ABD的度数是
()
图1
A.60°
B.70°
C.72°
D.144°
4.[2019·苏州期末]
如图2,正六边形ABCDEF内接于☉O,若☉O的半径为6,则△ADE的周长是
()
图2
A.9+33
B.12+63
C.18+33
D.18+63
5.如图3,若干个全等的正五边形排成环状,图中所示的是前3个正五边形,要完成这一圆环还需正五边形的个数为()
图3
A.10
B.9
C.8
D.7
二、填空题
6.[2020·株洲]
一个蜘蛛网如图4所示,若多边形ABCDEFGHI为正九边形,其中心为点O,点M,N分别在射线OA,OC上,则∠MON= °.图4
7.如图5,正方形ABCD内接于☉O,若☉O的半径是1,则正方形的边长是.图5
8.[2020·葫芦岛]
如图6,以AB为边,在AB的同侧分别作正五边形ABCDE和等边三角形ABF,连接FE,FC,则∠EFA的度数是.图6
9.如图7,AB,AC分别为☉O的内接正四边形与内接正三角形的一边,而BC恰好是同圆一个内接正n边形的一边,则n=.图7
10.[2019·长春模拟]
如图8,点O是正八边形ABCDEFGH的中心,点M和点N分别在AB和DE上,且AM=DN,则∠MON的度数为.图8
三、解答题
11.如图9,已知五边形ABCDE是正五边形,AD是对角线.求证:AD∥BC.图9
12.作图与证明:如图10,已知☉O和☉O上的一点A,请完成下列任务:
(1)作☉O的内接正六边形ABCDEF;
(2)连接BF,CE,判断四边形BCEF的形状,并加以证明.图10
13.如图11,☉O的半径为4
cm,六边形ABCDEF是其内接正六边形,点P,Q分别从点A,D同时出发,以1
cm/s的速度沿AF,DC向终点F,C运动,连接PB,QE,PE,BQ.设运动时间为t
s.(1)求证:四边形PBQE为平行四边形.(2)填空:
①当t= 时,四边形PBQE为菱形;
②当t= 时,四边形PBQE为矩形.图11
14.如图12,在☉O中,如果作两条互相垂直的直径AB,CD,那么弦AC是☉O的内接正方形的一边;如果以点A为圆心,以OA为半径画弧,与☉O相交于点E,F,那么弦AE,CE,EF分别是☉O的内接正六边形、正十二边形、正三角形的一边,为什么?
图12
15.如图13,正三角形ABC、正方形ABCD、正五边形ABCDE分别是☉O的内接三角形、内接四边形、内接五边形,点M,N分别从点B,C开始,同时以相同的速度在☉O上逆时针运动,AM,BN相交于点P.图13
(1)求图①中∠APB的度数.(2)图②中∠APB的度数是 ,图③中∠APB的度数是.(3)根据前面的探索,你能否将本题推广到一般的正n边形?若能,写出推广问题和结论;若不能,请说明理由.答案
1.[解析]
B ①各角和各边均相等的多边形是正多边形,错误;
②各边相等的三边形是正三边形,正确;
③各边相等的圆内接多边形是正多边形,错误;
④各顶点等分外接圆的多边形是正多边形,正确.故选B.2.[解析]
D A选项,多边形无法确定是轴对称图形,无法确定是中心对称图形,故本选项不符合题意;
B选项,边数为奇数的正多边形是轴对称图形,不是中心对称图形,故本选项不符合题意;
C选项,正多边形是轴对称图形,不一定是中心对称图形,故本选项不符合题意;
D选项,边数为偶数的正多边形,既是轴对称图形又是中心对称图形,故本选项符合题意.故选D.3.[解析]
C ∵五边形ABCDE为正五边形,∴∠ABC=∠C=(5-2)×180°5=108°.∵CD=CB,∴∠CBD=180°-108°2=36°,∴∠ABD=∠ABC-∠CBD=72°.故选C.4.[解析]
D 连接OE.∵多边形ABCDEF是正多边形,∴∠DOE=360°6=60°,∴∠DAE=12∠DOE=12×60°=30°,∠AED=90°.∵☉O的半径为6,∴AD=2OD=12,∴DE=12AD=12×12=6,∴AE=AD2-DE2=63,∴△ADE的周长为6+12+63=18+63.故选D.5.[解析]
D ∵五边形的内角和为(5-2)×180°=540°,∴正五边形的每一个内角为540°÷5=108°.如图,延长正五边形的两边相交于点O,则∠1=360°-108°×3=360°-324°=36°,360°÷36°=10.∵已经有3个正五边形,∴10-3=7,即完成这一圆环还需7个正五边形.故选D.6.[答案]
[解析]
根据正多边形的性质,得
∠AOB=360°÷9=40°,∴∠MON=2∠AOB=80°.7.[答案]
[解析]
如图,连接OB,OC,则OC=OB=1,∠BOC=90°,在Rt△BOC中,BC=OB2+OC2=2,∴正方形的边长是2.8.[答案]
66°
[解析]
∵五边形ABCDE为正五边形,∴∠EAB=(5-2)×180°5=108°,AE=AB.∵△ABF是等边三角形,∴∠FAB=60°,AB=AF,∴∠EAF=108°-60°=48°.∵AE=AB,AB=AF,∴AE=AF,∴∠AEF=∠EFA=12×(180°-48°)=66°.9.[答案]
[解析]
如图,连接OA,OB,OC.∵AB,AC分别为☉O的内接正四边形与内接正三角形的一边,∴∠AOB=360°4=90°,∠AOC=360°3=120°,∴∠BOC=∠AOC-∠AOB=30°,∴n=360°30°=12.10.[答案]
135°
[解析]
如图,连接OA,OB,OC,OD.∵正八边形的中心角为360°÷8=45°,∴∠OAM=∠ODN=180°-45°2=67.5°.∵OA=OD,∠OAM=∠ODN,AM=DN,∴△OAM≌△ODN(SAS),∴∠AOM=∠DON,∴∠MON=∠MOB+∠BOC+∠COD+∠NOD=3∠AOB=135°.11.证明:∵五边形ABCDE是正五边形,∴∠E=∠EAB=∠B=108°,AE=ED,∴∠EAD=∠EDA=36°.∵∠BAD+∠EAD=∠EAB=108°,∴∠BAD=72°.∵∠BAD+∠B=72°+108°=180°,∴AD∥BC.12.[解析]
(1)由正六边形ABCDEF的中心角为60°,可得△OAB是等边三角形,继而可得正六边形的边长等于半径,则可画出☉O的内接正六边形ABCDEF;
(2)首先连接OE,由六边形ABCDEF是正六边形,易得EF=BC,BF=CE,则可得BF=CE,证得四边形BCEF是平行四边形,然后由∠EDC=∠DEF=120°,∠DEC=30°,求得∠CEF=90°,则可证得结论.解:(1)如图①,首先作直径AD,然后分别以A,D为圆心,OA长为半径画弧,分别交☉O于点B,F和C,E,连接AB,BC,CD,DE,EF,AF,则正六边形ABCDEF即为所求.(2)如图,连接BF,CE,四边形BCEF是矩形.证明:如图②,连接OE.∵六边形ABCDEF是正六边形,∴AB=AF=DE=DC=FE=BC,∴AB=AF=DE=DC,∴BF=CE,∴BF=CE,∴四边形BCEF是平行四边形.∵∠EOD=360°6=60°,OE=OD,∴△EOD是等边三角形,∴∠OED=∠ODE=60°,∴∠EDC=∠FED=2∠ODE=120°.∵DE=DC,∴∠DEC=∠DCE=30°,∴∠CEF=∠FED-∠DEC=90°,∴四边形BCEF是矩形.13.解:(1)证明:∵正六边形ABCDEF内接于☉O,∴AB=BC=CD=DE=EF=FA,∠A=∠ABC=∠C=∠D=∠DEF=∠F.∵点P,Q分别从点A,D同时出发,以1
cm/s的速度沿AF,DC向终点F,C运动,∴AP=DQ.在△ABP和△DEQ中,AB=DE,∠A=∠D,AP=DQ,∴△ABP≌△DEQ(SAS),∴BP=EQ.同理可证PE=QB,∴四边形PBQE是平行四边形.(2)①当PA=PF,QC=QD时,四边形PBQE是菱形,此时t=2.故答案为2.②当t=0时,∠EPF=∠PEF=30°,∴∠BPE=120°-30°=90°,∴此时四边形PBQE是矩形.当t=4
s时,同法可知∠BPE=90°,此时四边形PBQE是矩形.综上所述,当t=0或4时,四边形PBQE是矩形.故答案为0或4.14.解:如图,连接OE.∵OA=AE=OE,∴∠AOE=60°,∴AE是☉O的内接正六边形的一边.∵∠AOE=60°,∠AOC=90°,∴∠EOC=90°-60°=30°,∴CE是☉O的内接正十二边形的一边.如图,连接OF,易知∠AOF=60°,∴∠EOF=60°×2=120°,∴EF是☉O的内接正三角形的一边.15.解:(1)∵点M,N分别从点B,C开始,同时以相同的速度在☉O上逆时针运动,∴BM=CN,∴∠BAM=∠CBN,∴∠BPM=∠ABN+∠BAM=∠ABN+∠CBN=∠ABC=60°,∴∠APB=180°-∠BPM=120°.(2)90° 72°
(3)能推广到一般的正n边形.问题:正n边形ABCD…内接于☉O,点M,N分别从点B,C开始,同时以相同的速度在☉O上逆时针运动,AM,BN相交于点P,求∠APB的度数.结论:∠APB的度数为所在正多边形一个外角的度数,即∠APB=360°n.
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