常规数列求和之错位相减法教案

第一篇：常规数列求和之错位相减法教案

常规数列求和之错位相减法

例

1、已知数列{an}前n项和为Sn，且a1＝1，an＋1＝2Sn．

(1)证明数列{Sn}是等比数列；

(2)求数列{an}的通项公式；

(3)求数列{n·an}的前n项和Tn．

例

2、已知数列{an}满足Sn＝2an＋3n－12．

(1)证明数列{an－3}是等比数列；

(2)求数列{an}的通项公式；

(3)求数列{n·an}的前n项和Tn．

第二篇：《数列求和之错位相减法》教学设计

《数列求和之错位相减法》教学设计

教学目标：

让学生能够理解错位相减法，并能够应用错位相减法求数列的前n项和。教学重点： 错位相减法的应用 教学难点：

错位相减法的计算过程 教学内容：

一、课前复习

回顾等比数列前n项和的求和公式：

设计意图：由于应用错位相减法解题时必定会使用等比数列前n项和的通项公式求和，因此有必要做好复习铺垫工作。

二、问题探究

数列{an}的通项公式ann，数列{bn}的通项公式bn2n，求数列{anbn}的前n项和。设计意图：由具体问题引入课题，引导学生观察题目中所求数列通项的特点，即“等差×等比”型。

解决方法：展示并叙述“错位相减法”的具体操作步骤，具体如下：

由此归纳“错位相减法”核心要领：乘公比，错位，相减。设计意图：整个过程的完整展示，帮助学生建立一个清晰的计算步骤，以此学会解决此类型的数列求和问题，主要体现设计的实用性。

三、当堂练习

设计意图：为了巩固复习错位相减法，让学生对不同“长相”，但都属于“等差×等比”型题目能熟悉，从而确信并有意识强化学习。

四、归纳小结

1、首先进行使用“错位相减法”时易出错的4点进行归纳强调。

2、再整体上对此段的学习进行小结，再次提升

设计意图：有学习必有总结。任何一种解题方法都有其使用条件、适用范围，以及易错点等等。学生通过学习，也能自觉感知并总结，由此深化数学解题方法的学习。

五、作业布置

设计意图：课下练习，进一步巩固掌握“错位相减法”

第三篇：错位相减法毕业论文素材

导语：错位相减法是一种常用的数列求和方法。应用于等比数列与等差数列相乘的形式。下面是小编收集整理的错位相减法毕业论文素材，欢迎参考！

【错位相减法毕业论文素材一】

一、问题的提出

a1(1-qn)我们都知道，高一课本第一册(上)在推导等比数列前n项和公式Sn= 1-q，随即在书中的第137页复习参考题三B(q≠1)的过程中运用了著名的“错位相减法”。

组中出现了运用该方法来解决的求和问题：

6、S=1+2x+3x2+??+nxn-1。这类数列的主要特征是：已知数列{Cn}满足Cn=an?bn其中{an}等差，{bn}等比且公比不等于1，老师们形象地称这类数列{Cn}为“等差乘等比型”数列。求这类数列前n项的和时通常在和式的两边都乘以组成这个数列的等比数列的公比，然后再将得到的新和式和原和式相减，转化为同倍数的等比数列求和，这种方法即所谓的“错位相减法”。而且近年来的各地乃至全国高考的试卷中频频出现此类型的数列的求和问题，解法当然是不变的“错位相减法”，而且老师在平时的讲题中也一再强调该类型的前n项和只能用错位相减法来解决，似乎成了“自古华山一条道”的绝法。难道真的没有其他的解决方法了吗?这的确没有让我墨守成规，反而激起了我无限的探索欲。

二、特例解决带来的启发

当q≠1时等比数列{an}通项an=a1qn-1可变形为an=a1qn-1?a1-q=1(qn-1-qn)1-q1-q

于是前n项和Sn=a1a[(1-q1)+(q1-q2)+?+(qn-1-qn)]=1(1-qn)1-q1-q

受到上面变形的启发，我想既然等比数列的通项可以裂成两项的差的形式，那么公比不为1的“等差乘等比型”数列的通项如果也能裂成类似的形式，那么让我苦思冥想的那个求和方法不就神奇的找到了吗?在此之前，我们老师还一再强调此类数列的求和不能用裂项相消，如果这一设想成功的话，算不算是观念和方法上的一次突破。

三、一个方法的发现

裂项求和也是数列求和中最常用的一种方法，它的本质是将数列中的每一项都化为两项之差，并且前一项的减数恰好与后一项被减数相同，求和时中间项相抵消。

【错位相减法毕业论文素材二】

数列求和是数列的重要内容之一，在现行高中教材中，只对等差数列和等比数列的求和公式进行了计算推导，而数列种类繁多，形式复杂，绝大多数既非等差数列又非等比数列，也就不能直接用公式来求解。很多同学遇到数列求和问题总是感到力不从心，甚至有的同学把它看作是自己的死穴，觉得即使思考也做不出来，何必耽误时间，因此遇到这类问题就直接跳过。在这中间，错位相减是一个比较重要的内容，也是一个及其有效的解决数列求和的简便方法，但是由于它的计算量比较大，同时要反复列出几个式子并且不断求解，有的题目一眼看上去不容易找出公比，更加导致一些同学放弃或者只计算其中的一部分。实际上，通过分层次练习，总结经验，并找到规律，这类问题的求解会变得相当的简单。

一、错位相减理论分析

错位相减是高中数学教材中推导等比数列前n项和的一种思想方法，它在解决由一个等差数列和一个等比数列对应项之积所构成的数列求和，具有非常重要的意义。由于它的独特性与实用性，并且与课本知识紧密结合，所以，在高考中占有十分重要的地位。它所遵从的思想是一种转化的思想，经过转化可以把它转化成为等比问题求解。乘以相同的公比得到新式子，再同旧式子错位相减，就得到了一个含有等比数列的等式，细心计算，便不难求解。

二、错位相减题目举例

首先，我们先看一道最简单的例题，从简单题中得到启发。

例1.已知数列an=nλnλ，求数列的和。

解：∵Tn=λ+2λ2+…+n-1)λn-1+nλn，JY①

两边同时乘以λ，得

λTn=λ2+2λ3+…+n-1)λn+nλn+1，JY②

①-②，得

JZ1-λ)Tn=λ+λ2+…+λn-1+λn-nλn+1，JZ∴1-λ)Tn=SXλ1-λn)1-λSX)-nλn+1，JZ∴Tn=SXλ1-λn)1-λ)2SX)-SXnλn+11-λSX).这是一个最简单的错位相减，同时也是解决错位相减问题的一个基础题目。

下面，我们来看一道有些麻烦的题目。

例二.an=1-2n)2n，求Sn.解：由题意知，JZan=(1-2n)2n，JZ∴Sn=a1+a2+a3+…+an，即

DKSn=(1-2)2+(1-4)22+(1-6)23+…+(1-2n)2nDK)JY①

①×2得

DK2Sn=(1-2)22+(1-4)23+…+(3-2n)2n+(1-2n)2n+1DK)JY②

②-①得

JZSn=2+222+23+…+22n-(2n-1)2n+

1JZ=2+2SX4(1-2n-1)1-2SX)-(2n-1)2n+1

JZ=(1-n)2n+2+2n+1-6

例二是一个具体化的错位相减问题，对于这些直接列出的题目，大多数的学生都可以做出来，出错率也比较的低，但是，在如今这样一个考验学生综合素质=的社会中，我们遇到的大多都是多个知识点结合的题目。下面我们通过一道高考题来进一步认识一下错位相减。

例三.已知等差数列{an}的前3项和为6，前8项和为-4.(1)求数列的通项公式.(2)设bn=(4-an)qn-1q≠0，n∈求数列的前n项和.解：(1)设{an}的公差为d，则由已知得

JZJB{a1+a2+a3=6a1+a2+…+a8=-4，JB)即JB{3a1+3d=68a1+28d=-4，JB)

解得a1=3，d=-1，故an=3-n-1)=4-n.(2)由(1)知，bn=nqn-1，于是JZSn=1q0+2q1+3q2+…+nqn-1，若q≠1，上式两边同时乘以q.JZqSn=1q1+2q2+3q3+…+nqn-1，两式相减得：

JZ(1-q)Sn=1+q1+q2+…+qn-1-nqn=SX1-qn1-qSX)-nqn.JZ∴Sn=SX1-qn(1-q)2SX)-SXnqn1-qSX)=SXnqn+1-(n+1)qn+1(1-q)2SX).若q=1，则Sn=1+2+3+…+n=SXnn+1)2SX)，JZ∴Sn=JB{HL2SXn(n+1)2SX)(q=1)

SXnqn+1-(n+1)qn+1(1-q)2SX)q≠1)HL)JB)

针对这个问题，许多同学容易忽视对于q的讨论致使题目出错。这个问题的关键是对于等比数列的定义的认识，若是忽视了等比数列定义中对于公比的界定，则很容易导致问题出错。我们回顾例一可以发现，在例一中我们对公比进行了限定，因此，在下面的解题中就不需要进行讨论。

三、方法总结

A.分析题型，确定类型。错位相减问题具有很强的规律性，当然也适应特定的题目，所以，在做题之前首先需要明确题目的类型，错位相减法是否使用。首先，确定是否为数列类型的题目;其次再确定是否为求和问题;最后，通过观察通项的类型，确定是否可以使用错位相减法解决问题。错位相减法是等差数列和等比数列的有效结合，即

JZTn=a1b1+a2b2+…+an-1bn-1+anbn

其中an为等差数列，bn为等比数列。

B.错位相减的做题方法

以例1为例，即

Tn=λ+2λ2+…+(n-1)λn-1+nλnJY①

λTn=λ2+2λ3+…+(n-1)λn+nλn+1JY②

(1-λ)Tn=λ+λ2+…+λn-1+λn-nλn+1JY③

1.①×公比λ得②式(或乘以公比的倒数，解题方法类似);

2.①-②得③(③式为：留①头，减②尾，中间对应次数相减的同系数);

3.③里面含有n+1项;

4.按照等比数列求和方法求③式的前n项的和，减去第n-1项;

5.③式两边同时除以SX1λ-1SX)得最后的结果。

在使用错位相减求和时，一定要善于识别这类题目，准确的识别是正确解题的关键。同时要十分注意等比数列的公比为负数的情形，此外，一定要注意在书写的时候注意将①②两式的“错项对齐”，即将相同幂指数的项对齐，这样有一个式子(即式①)前面空出一项，另外一个式子(即式②)后面就会多出一项，①②两式相减得到③式，在式③中除了第一项和最后一项，剩下的n-1项是一个等比数列。当然认真细致，悉心体会，记住规律，耐住性子也是相当重要的。

“知行统一”的重要性大家应该都知道，当我们记住了理论的知识，勤加练习，反复运用才会使我们事倍功半，恰巧，错位相减正需要我们的大量练习，在不断的练习，反复的刺激我们的记忆细胞下才有可能使我们在做题的时理论练习实际，减少出错率。

第四篇：数列求和教案

数列求和

数列求和常见的几种方法：（1）公式法：①等差（比）数列的前n项和公式；

1n(n1)21222n2nn(

123......6② 自然数的乘方和公式：123......n（2）拆项重组：适用于数列

1n)(2 1)an的通项公式anbncn，其中bn、cn为等差数列或者等比数列或者自然数的乘方；

（3）错位相减：适用于数列an的通项公式anbncn，其中bn为等差数列，cn为等比数列；

（4）裂项相消：适用于数列a的通项公式：aknnn(n1),a1nn(nk)（其中k为常数）型；

（5）倒序相加：根据有些数列的特点，将其倒写后与原数列相加，以达到求和的目的.（6）

分段求和：数列an的通项公式为分段形式

二、例题讲解

例

1、（拆项重组）求和：311254718......[(2n1)12n]

练习1：求和Sn122334......n(n1)

例

2、（裂项相消）求数列11113,35,57,179,...,1(2n1)(2n1)的前n项和

练习2：求S11n11212311234...1123...n

例

3、（错位相减）求和：1473n222223...2n

练习3：求Sn12x3x24x3...nxn1(x0)

例

4、（倒序相加）设f(x)4x4x2，利用课本中推导等差数列前n项和的方法，求：f(11001)f(21001)f(31001)...f(10001001)的值

a3n2(n4)例

5、已知数列n的通项公式为an2n3(n5)(nN*)求数列an的前n项和Sn

检测题

1.设f(n)22427210...23n10(nN)，则f(n)等于（）

2n222n4(81)

B.(8n11)

C.(8n31)

D.(81)777712.数列{an}的前n项和为Sn，若an，则S5等于（）

n(n1)511A．1

B．

C．

D．

66303.设{an}是公比大于1的等比数列，Sn为数列{an}的前n项和．已知S37，且a13，3a2，a34构成等差数列． A.（1）求数列{an}的通项公式．（2）令banln3n1，n1，2...，求数列{bn}的前n项和Tn。

4.设数列a2nn满足a13a23a3…3n1a

3，aN*n．（Ⅰ）求数列an的通项；

（Ⅱ）设bnna，求数列bn的前n项和Sn n

5.求数列22,462n22,23,,2n,前n项的和.6：求数列112,123,,1nn1,的前n项和.7：数列{an}的前n项和Sn2an1，数列{bn}满b13,bn1anbn(nN).（Ⅰ）证明数列{an}为等比数列；（Ⅱ）求数列{bn}的前n项和Tn。

8：

求数列21，41，6114816，2n2n1，...的前n项和Sn．

．

9、已知数列an的前n项和Sn123456...1n1n，求S100.10：在各项均为正数的等比数列中，若a5a69,求log3a1log3a2log3a10的值.11：求数列的前n项和：11,1a4,11a27,,an13n2，…

12：求S12223242...(1)n1n2（nN）

13：已知函数fx2x2x2（1）证明：fxf1x1；

（2）求f1f10210f810f910的值。.

第五篇：数列求和教案

课题：数列求和

教学目标

（一）知识与技能目标

数列求和方法．

（二）过程与能力目标

数列求和方法及其获取思路．

教学重点：数列求和方法及其获取思路． 教学难点：数列求和方法及其获取思路．

教学过程

1．倒序相加法：等差数列前n项和公式的推导方法：（1）Sna1a2an2Snn(a1an)

Snanan1a112223210222 例1．求和：2110222923282101分析：数列的第k项与倒数第k项和为1，故宜采用倒序相加法．

小结: 对某些前后具有对称性的数列,可运用倒序相加法求其前n项和.2．错位相减法：等比数列前n项和公式的推导方法：

（2）Sna1a2a3an(1q)Sna1an1 qSaaaa23nn1n23n例2．求和：x3x5x(2n1)x(x0)

3．分组法求和

1的前n项和； 161例4．设正项等比数列an的首项a1，前n项和为Sn，且210S30(2101)S20S100

2例3求数列1,2,3,4（Ⅰ）求an的通项；（Ⅱ）求nSn的前n项和Tn。例5．求数列 1, 1a, 1aa,,1aaa121418,的前n项和Sn.n(n1)解:若a1,则an111n, 于是Sn12n;2 n1a1 若a1,则an1aan1 (1an)1a1a1a1a21an11a(1an)2n于是Sn [n(aaa)][n]

1a1a1a1a1a1a111 1212312n22n14．裂项法求和 例6．求和：12112()，n(n1)nn11111112n Sna1a2an2[(1)()()]2(1)223nn1n1n1解：设数列的通项为an，则an例7．求数列112,1231,,1nn1,的前n项和.解：设annn11n1n

（裂项）

1nn1则 Sn12312

（裂项求和）

＝(21)(32)(n1n)

＝n11

三、课堂小结：

1．常用数列求和方法有：

(1)公式法: 直接运用等差数列、等比数列求和公式;(2)化归法: 将已知数列的求和问题化为等差数列、等比数列求和问题；(3)倒序相加法: 对前后项有对称性的数列求和；

(4)错位相减法: 对等比数列与等差数列组合数列求和；(5)并项求和法: 将相邻n项合并为一项求和；(6)分部求和法：将一个数列分成n部分求和；

(7)裂项相消法：将数列的通项分解成两项之差，从而在求和时产生相消为零的项的求和方法.四、课外作业： 1．《学案》P62面《单元检测题》 2．思考题

11146前n项的和.481612n2（2）．在数列{an}中，an，又bn，求数列{bn}的前n项的和.n1n1n1anan12（1).求数列：（3）．在各项均为正数的等比数列中，若a5a69,求log3a1log3a2log3a10的值.解：设Snlog3a1log3a2log3a10

由等比数列的性质 mnpqamanapaq

（找特殊性质项）和对数的运算性质 logaMlogaNlogaMN

得

Sn(log3a1log3a10)(log3a2log3a9)(log3a5log3a6)

（合并求和）

＝(log3a1a10)(log3a2a9)(log3a5a6)

＝log39log39log39

＝10