角的概念与表示(教案)

第一篇：角的概念与表示(教案)

7.3角的概念与表示

川沙中学南校 徐莲

教学目标

1.理解角的概念，掌握角的有关名称，并能用字母正确表示角.2.能识读并画出方向角.3.经历角的概念的形成与角的表示过程，体会数学的严谨性、规范性、简洁性.4.经历方向角的表示过程来体会数学与生活的密切关系.教学重点

1.角的概念及表示法.2.方向角的表示.教学难点

1.角的概念及内部和外部的认识.2.方向角的识别与表示.一.引入课题：角

背景图：时钟、剪刀、五角星、墙面.二.新课

1.角的两种定义

角是具有公共端点的两条射线组成的图形.这个公共端点叫做角的顶点，这两条射线叫做角的边.角是由一条射线绕着它的端点旋转到另一个位置所成的图形.初始位置的那条射线叫做角的始边，终止位置的那条射线叫做角的终边.2.角的内部和外部

角的始边转到角的终边所经过的平面部分，叫做角的内部，简称角内.本书中所说的角，除了周角外，未加说明的 角是指小于平角的角

3.角的表示方法

（1）用三个大写字母表示，如∠AOB或∠BOA

（注意：顶点字母必须写在中间）.顶点： 边：

（2）用角的顶点字母表示，如：∠O（只有一个角时）.（3）用一个数字表示，如:∠

1、∠ 2.（4）也可用一个希腊字母表示，/ 3 如：∠α、∠ β、∠ γ.练一练

(1)在下面图中用阴影表示∠1的外部.(2)①给角标出字母，写出角的记号，并指明角的顶点和边.②D、E分别是CB、CA上的点，∠ACB与∠DCE是同一个角吗？

③∠DCE和∠CDE指的是同一个角吗？

④∠E这种记法有错误吗？若有，请加以改正.4.方向角

探索：如图，射线ON、OE、OS、OW分别表示从点O出发北、东、南、西的四个方向.你能说出图中射线OA，OB，OC，OD分别表示什么方向吗？

用

例题：已知迪斯尼乐园在川沙中学南校约南偏西35°的方向，如果用点O表示川沙中学南校，用点A表示迪斯尼乐园，画出从川沙中学南校到迪斯尼乐园方向的射线./ 3

射线表示方向的一种基本形式：

练习：已知川沙人民医院在川沙中学南校约北偏东55°的方向，如果用点O表示川沙中学南校，用点B表示川沙人民医院，请画出从川沙中学南校到川沙人民医院方向的射线.三.课堂小结

四.作业

练习册

7.3

拓展练习

如图，点A表示A城，点D表示D城.（1）D在A的什么方向？

（2）如果B城在A城的南偏西60°方向，请画出从A城到B城方向的射线.（3）如果C城在A城的东北方向，在D城的正东方向，请确定C城的位置.（用点C表示）/ 3

第二篇：任意角的概念, 精品教案

1.1.1任意角

教学目标：

1、知识与技能

（1）推广角的概念、引入大于360角和负角；（2）理解并掌握正角、负角、零角的定义；（3）理解任意角以及象限角的概念；

(4)掌握所有与角终边相同的角（包括角）的表示方法；（5）树立运动变化观点，深刻理解推广后的角的概念；

2、过程与方法

通过创设情境：“转体720，逆（顺）时针旋转”，角有大于360角、零角和旋转方向不同所形成的角等，引入正角、负角和零角的概念；角的概念得到推广以后，将角放入平面直角坐标系，引入象限角、非象限角的概念及象限角的判定方法；列出几个终边相同的角，画出终边所在的位置，找出它们的关系，探索具有相同终边的角的表示；讲解例题，总结方法，巩固练习.3、情态与价值

通过本节的学习，使同学们对角的概念有了一个新的认识，即有正角、负角和零角之分.角的概念推广以后，知道角之间的关系.理解掌握终边相同角的表示方法，学会运用运动变化的观点认识事物.教学重点: 理解正角、负角和零角的定义，掌握终边相同角的表示法.教学难点: 终边相同的角的表示.教学过程：

一、创设问题情境

思考:你的手表慢了5分钟，你是怎样将它校准的？假如你的手表 快了1.25 小时，你应当如何将它校准？当时间校准以后，分针转了多少度？ [取出一个钟表,实际操作]我们发现，校正过程中分针需要正向或反向旋转，有时转不到一周，有时转一周以上,这就是说角已不仅仅局限于0360之间，这正是我们这节课要研究的主要内容——任意角.二、探索开发新结论

1．初中时，我们已学习了0360角的概念，它是如何定义的呢？ [展示投影]角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.如图1.1-1，一条射线由原来的位置OA，绕着它的端点O按逆时针方向旋转到终止位置OB，就形成角.旋转

OB叫终边，开始时的射线OA叫做角的始边，射线的端点O叫做叫的顶点.2.如上述情境中所说的校准时钟问题以及在体操比赛中我们经常听到这样的术语：“转体720”（即转体2周），“转体1080”（即转体3周）等,都是遇到大于360的角以及按不同方向旋转而成的角.同学们思考一下:能否再举出几个现实生活中“大于360的角或按不同方向旋转而成的角”的例子,这些说明了什么问题?又该如何区分和表示这些角呢? [展示课件]如自行车车轮、螺丝扳手等按不同方向旋转时成不同的角, 这些都说明了我们研究推广角概念的必要性.三、总结概括新结论 为了区别起见，我们规定:按逆时针方向旋转所形成的角叫正角(positive angle),按顺时针方向旋转所形成的角叫负角(negative angle).如果一条射线没有做任何旋转,我们称它形成了一个零角(zero angle).在今后的学习中，我们常在直角坐标系内讨论角，为此我们必须了解象限角这个概念.角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合。那么，角的终边（除端点外）在第几象限，我们就说这个角是第几象限角(quadrant angle).要特别注意:如果角的终边在坐标轴上,就认为这个角不属于任何一个象限,称为非象限角.四、验证开发新结论:(1)(口答)锐角是第几象限角?第一象限角一定是锐角吗?再分别就直角、钝角来回答这两个问题.(2)(回答)今天是星期三那么7k(kZ)天后的那一天是星期几? 7k(kZ)天前的那一天是星期几?100天后的那一天是星期几? 探究:将角按上述方法放在直角坐标系中后,给定一个角,就有唯一的一条终边与之对应.反之,对于直角坐标系中任意一条射线OB(如图1.1-5),以它为终边的角是否唯一?如果不惟一,那么终边相同的角有什么关系? [展示课件]不难发现,如果32的终边是OB,那么328,392角的终边都是OB,而328321360,39232(1)360.设S{|32k360,kZ},则328,392角都是S的元素,32 角也是S的元素.因此,所有与32角终边相同的角,连同32角在内,都是集合S的元素；反过来，集合S的任一元素显然与32角终边相同.一般地,我们有:所有与角终边相同的角,连同角在内,可构成一个集合

S{|k360,kZ},即任一与角终边相同的角,都可以表示成角与整数个周角的和.五、巩固应用新结论：

例1.例1在0360范围内，找出与－95012'角终边相同的角，并判定它是第几象限角.（注：0－360是指0360）

例2.写出终边在y轴上的角的集合.例3.写出终边直线在yx上的角的集合S,并把S中适合不等式360

720的元素写出来.六、练习

教材P6第3、4、5题.注意:（1）kZ；（2）是任意角（正角、负角、零角）；（3）终边相同的角不一定相等；但相等的角，终边一定相同；终边相同的角有无数多个，它们相差360的整数倍.七、课堂小结

(1)你知道角是如何推广的吗?(2)象限角是如何定义的呢?(3)你熟练掌握具有相同终边角的表示了吗?会写终边落在x轴、y轴、直线yx上的角的集合.八、作业：

1．习题1.1 A组第1,2,3题．

2．多举出一些日常生活中的“大于360的角和负角”的例子，熟练掌握他们的表示，进一步理解具有相同终边的角的特点．

九、板书设计

第三篇：2.1数列的概念与简单表示法教案

2．1数列的概念与简单表示法

（一）教学目标

1、知识与技能：了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图象、通项公式）；了解数列是一种特殊的函数；

2、过程与方法：通过三角形数与正方形数引入数列的概念；通过类比函数的思想了解数列的几种简单的表示方法（列表、图象、通项公式）；

3、情态与价值：体会数列是一种特殊的函数；借助函数的背景和研究方法来研究有关数列的问题，可以进一步让学生体会数学知识间的联系，培养用已知去研究未知的能力。

（一）教学重、难点

重点：理解数列的概念，认识数列是反映自然规律的基本数学模型，探索并掌握数列的几种间单的表示法（列表、图象、通项公式）；

难点：了解数列是一种特殊的函数；发现数列规律找出可能的通项公式。

（二）学法与教学用具 学法：学生以阅读与思考的方式了解数列的概念；通过类比函数的思想了解数列的几种简单的表示方法；以观察的形式发现数列可能的通项公式。教学用具：多媒体、投影仪、尺等

（三）教学设想

1、多媒体展示三角形数、正方形数，提问：这些数有什么规律？与它所表示的图形的序号有什么关系？

2、（1）概括数列的概念：按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项。（2）辩析数列的概念：“1，2，3，4，5”与“5，4，3，2，1”是同一个数列吗？与“1，3，2，4，5”呢？给出首项与第n 项的定义及数列的记法：{an}（3）数列的分类: 有穷数列与无穷数列；递增数列与递减数列，常数列。

3、数列的表示方法

（1）函数y=7x+9 与y=3 x，当依次取1，2，3，…时，其函数值构成的数列各有什么特点？

（2）定义数列{an}的通项公式

（3）数列{an}的通项公式可以看成数列的函数解析式，利用一个数列的通项公式，你能确定这个数列的哪些方面的性质？

（4）用列表和图象等方法表示数列，数列的图象是一系列孤立的点。

4、例1 写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：

（1）1，-1/2，1/3，-1/4；

（2）2，0，2，0．

引导学生观察数列的前4项的特点，寻找规律写出通项公式。再思考：根据数列的前若干项写出的数列通项公式的形式唯一吗？举例说明。

5、例

2、图2.1-5中的三角形称为希尔宾斯基（Sierpinski）三角形，在下图4个三角形

2．1数列的概念与简单表示法

海口一中

陆健青

中，着色三角形的个数依次构成一个数列的前4项，请写出这个数列的一个通项公式，并在直角坐标系中画出它的图象。

通过多媒体展示希尔宾斯基（Sierpinski）三角形，引导学生观察着色三角形的个数的变化，寻找规律写出数列的一个通项公式，并用图象表示数列。体会数列的图象是一系列孤立的点。

1、问题：如果一个数列{an}的首项a1=1，从第二项起每一项等于它的前一想的前一项的2倍再加1，即 an = 2 an-1 + 1（n∈N，n>1），（※）

你能写出这个数列的前三项吗？

像上述问题中给出数列的方法叫做递推法，（※）式称为递推公式。递推公式也是数列的一种表示方法。

2、例3 设数列{an}满足

写出这个数列的前五项。

此题与例1的学习是互为相反的关系，也是为了引入下文的等差数列，等差数列是最简单的递推数列。

3、课堂练习：P36

1~5，课后作业：P38习题2.1 A组

1，2，4，6。

4、课堂小结：

（1）数列的概念，认识数列是反映自然规律的基本数学模型；

（2）了解用列表、图象、通项公式、递推公式等方法表示数列；能发现数列规律找出可能的通项公式。

（3）了解数列是一种特殊的函数。

（四）评价设计

1、重视对学生学习数列的概念及表示法的过程的评价

关注学生在数列概念与表示法的学习中，对所呈现的问题情境是否充满兴趣；在学习过程中，能否发现数列中的项的规律特点，写出数列的通项公式，或递推公式。

2、正确评价学生的数学基础知识和基础技能

能否类比函数的性质，正确理解数列的概念，正确使用通项公式、列表、图象等方法表示数列，了解数列是一种特殊的函数。了解递推公式也是数列的一种表示方法。

第四篇：《数列的概念与简单表示法》 教案

2.1.1 数列的概念与简单表示法（第一课时）

一、教学目标

（1）了解数列的概念通过实例，引入数列的概念，并理解数列的顺序性，感受数列是刻画自然规律的数学模型。同时了解数列的几种分类。

（2）体会数列之间的变量依赖关系，了解数列与函数之间的关系。

二、教学重点与难点

教学重点：了解数列的概念，以及数列是一种特殊函数，体会数列是反映自然规律的数学模型。

教学难点：将数列作为一种特殊函数去认识，了解数列与函数之间的关系。

三、教学过程

一、创设情境，实例引入

1.斐波那契数列，《算盘全书》中兔子繁殖的问题

2.引导学生观察向日葵图片，建自然现象中体现出的数的规律。师：观察向日葵花瓣，你会发现花瓣的排列有怎样的规律? 2.早在春秋战国时期，惠施说过：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”。

实际上这里面就蕴含着数列的知识和以后要学习的极限思想，因此，我们所研究数列非常重要。今天我们就来学习数列的概念与简单表示法。板书课题：数列的概念与简单表示法

二、新课教学

（一）引入

1.古希腊毕达哥拉斯的学派的基本观点：万物皆数。他们认为数是万物的本源，因此他们曾经在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数，比如他们曾经过的三角形数。

师：什么叫做三角形数？这些数可以用图中的三角形点阵来表示。我们看三角形数分别是1，3，6，10„„(板书)师：类似的他们还研究了正方形数，他们分别是1，4，9，16，25„„（板书）

（二）新课教学

问题一：那么现在就请大家循着古代数学家的足迹，归纳一下这几列数都有那哪些特点？ 我们刚才说这个学派的最根本观点是什么？万物皆数 所以第一个特点是什么？都是一列数

第二个特点呢？我们看他的排列是不是乱排的，也就是说这几列数都研究的是数，同时有规律，那我们把满足这两个性质的一列数叫做数列。按照一定顺序排列的一列数成为数列。

师：数列中的每一个数叫做这个数列的项。数列中的每一项都和它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的第1项（或叫首项），排在第二位的数称为这个数列的第2项......排在第n位的数称为这个数列的第n项.板书记法：a1，a2，a3，...，an，...那么这里的角标起到什么作用？

代表着它的项数，也就是它在数列中的具体位置，对于任何数列都可以这样表示，但如果项数过多，这样表示又很麻烦，所以我们通常把数列简记为{an} 例如：三角形构成的数列{an}：1，3，6，10，15„„，a1=？a2=，a3=，a5，...活动一：分析下列5个数列，按照适当的标准分类.问题1：可以对数列进行怎样的分类？

教师引导：从数列的项的数量，或者数列前后各项之间的大小关系等角度,你能体会以上这些数列之间的区别吗?它们各有什么特点? 师：引导学生根据项数的多少和项数大小进行分类分类，并给出定义。师：提问学生对每个数列进行分类

活动二：分析下列两个数列的项与序号之间的关系

师：引导学生分析这两个数列，联想以前学过的知识，从函数的角度分析数列.生：分析并联想到函数，并从函数的角度分析数列，并找到相对应的函数，求出其定义域。

数列可以看成以N*(或它的有限子集{1，2，，n})为定义域的函数anf(n)当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值想一想：数列2，5，8，11，14与数列2，5，8，11，14„„有何不同？ 思考：你能用一个项an与序号n的式子来表示数列2，5，8，11，14„„吗？

师：强调有限子集必须从1开始，并重复说明函数角度下的数列定义.分析an=f(n)可以表示数列中的每一项，引出通项公式的概念，并让学生总结概念.师：总结并给出通项公式的概念：如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式

子表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式。

从集合、对应的观点来看，数列也可以看作是一个定义域为正整数集N+（或它的有限子集1,2,,n的函数，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，数列的通项公式就是相应函数的解析式。

问题：数列作为一种特殊的函数，也可以用列表法和图象法表示，你能把上面的这个数列用这两种方法表示出来吗？

（三）例题讲解

1.（1）数列：1，1，2，2，3，3，4，4，„

（2）数列

1，2，3，4 与数列 4，3，2，1 将以上几列数用集合如何表示？请写出相应的集合。观察集合中的元素和原来数列中数有什么差别。

经过以上问题可得出集合和数列的区别是：

第一，集合的对象可以是任意的东西。如全体中华人民共和国的公民组成一个集合，某农场全部拖拉机组成一个集合，所有的化学元素组成一个集合，等等。而数列的对象都是数，组成数列各项的元素只能是数，而不能是其他的对象。

第二，集合里的元素不能重复，而数列中的数是可以重复的。如数列：

1，1，2，2，3，3，4，4，„

是按照自然数列的规律，连续重复一次排列而成的，但是若把这个数列的各项看成是一个集合的元素，那么这个数列只能写成

｛1，2，3，4，„｝，而不能写成｛1，1，2，2，3，3，4，4，„｝。

第三，集合中的元素是不考虑顺序的，而数列中各数的顺序是十分重要的。例如：数列

1，2，3，4 与数列 4，3，2，1 是两个不同的数列。可是集合｛1，2，3，4｝与集合｛4，3，2，1｝则被认为是相同的。

教师引导学生讨论得出:（1）数列an中是一列数，而集合中的元素不一定是数；

（2）数列an中的数是有一定次序的，而集合中的元素没有顺序（无序性）；（3）数列an中的数可以重复，而集合中的元素不能重复（互异性）。【设计意图】：加深对数列概念的理解，分清集合和数列的区别。

例3.写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数.1111,，23

4（2）2，0，2，0（1）

师点评：(1)并不是所有数列都能写出通项公式

（2）一个数列的通项公式不是唯一的

（3）数列通项公式的作用：求数列中的任意一项；检验某书是否是该数列中的一项

（四）课堂小结

我们今天一同认识了一个新的概念：数列，我们知道它是一个与现实生活有密切联系的数学概念，我们一同来回忆一下数列的概念，是定义在正整数列集（或其有限子集）上的函数。数列的两种分类。

另外，我们发现数列实质上是一种特殊的函数。

点明本节课的重点是数列及其通项公式，数列是一种特殊的函数。

（五）作业布置（1）阅读课本P32－P36（3）课外阅读(选做)

（2）书面作业：课本P38习题2.1 A组 2、3、4

阅读课本P37-P38----斐波那契数列

第五篇：S01-0101-02教案 集合的概念及其表示(02)

苏教版『高中数学·必修1』教案

S01-0101-02集合的概念及其表示

（二）教学目标：了解有限集、元限集概念，掌握表示集合方法；了解空集的概念及其特殊性，渗透抽象、概括思想。

教学重点：集合的表示方法

教学难点：正确表示一些简单集合 课

型：自学辅导法 教学手段：多媒体 教学过程：

一、创设情境 复习提问

集合元素的特征有哪些？怎样理解，试举例说明，集合与元素关系是什么？如何表示？

二、活动尝试

阅读教材 苏教版『高中数学·必修1』教案

合的方法。

格式：{x∈A| P（x）} 含义：在集合A中满足条件P（x）的x的集合。

例如，“中国的直辖市”构成的集合，写成{xx为中国的直辖市}； “young中的字母” 构成的集合，写成{xx为young中的字母}； 不等式x12的解集可以表示为：{xR|x12}或{x|x3,xR} 注：（1）在不致混淆的情况下，可以省去竖线及左边部分。如：{直角三角形}；

4{大于10的实数}（2）错误表示法：{实数集}；{全体实数}

3、文氏图：用一条封闭的曲线的内部来表示一个集合的方法。

边界用直线还是曲线，用实线还是虚线都无关紧要，只要封闭并把有关元素和子集统统包含在里边就行，但不能理解成圈内每个点都是集合的元素.注：何时用列举法？何时用描述法？

（1）有些集合的公共属性不明显，难以概括，不便用描述法表示，只能用列举法。

如：集合{x,3x2,5yx,xy}

（2）有些集合的元素不能无遗漏地一一列举出来，或者不便于、不需要一一列举出来，常用描述法。

如：集合{(x,y)|yx1}；集合{1000以内的质数} 注：集合{(x,y)|yx1}与集合{y|yx1}是同一个集合吗？答：不是。

22集合{(x,y)|yx1}是点集，集合{y|yx1}={y|y1} 是数集。222232

2（二）集合相等的概念

一般地，对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素.我们就说集合A等于集合B.记作A＝B.如：{a，b，c，d}与{b，c，d，a}相等；{2，3，4}与{3，4，2}相等；{2，3}与{3，2}相等.“与2相差3的所有整数所组成的集合”，即{xZ||x2|3}= {-1，5} 思考：A＝{x｜x＝2m＋1，m∈Z}，B＝{x｜x＝2n－1，n∈Z}相等吗？

（三）集合的分类

1．有限集：含有有限个元素的集合。2．无限集：含有无限个元素的集合。

苏教版『高中数学·必修1』教案

3．空集：不含任何元素的集合。记作，如：{xR|x210}

五、巩固运用

例1解不等式2x35，并把结果用集合表示.解：由不等式2x35，知x4

所以原不等式解集是xRx4xx4,xRxx4 例2 求方程x2x10的解集 解：因为x2x10没有实数解，所以xx2x10,xR

六、回顾反思

1．描述法表示集合应注意集合的代表元素

{(x,y)|y= x2+3x+2}与 {y|y= x2+3x+2}不同，只要不引起误解，集合的代表元素也可省略，例如：{整数}，即代表整数集Z。注意：这里的{ }已包含“所有”的意思，所以不必写{全体整数}。写法{实数集}，{R}是错误的。

2．列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法，要注意，一般无限集，不宜采用列举法。

3．不含任何元素的集合叫做空集，记作，不能写成；

4．韦恩图表示集合

5．本节课在教学时主要教会学生学习集合的表示方法，在认识集合时，应从两方面入手：（1）元素是什么？

（2）确定集合的表示方法是什么？表示集合时，与采用字母名称无关。

七、课后练习

1．用描述法表示下列集合

①{1，4，7，10，13} ②{-2，-4，-6，-8，-10} 2．用列举法表示下列集合

①{x∈N|x是15的约数} ②{（x，y）|x∈{1，2}，y∈{1，2}} ③{(x,y)|xy2}

x2y4④{x|x(1)n,nN} ⑤{(x,y)|3x2y16,xN,yN} ⑥{(x,y)x,y分别是4的正整数约数} 3．集合B{mZ|6N*}中有几个元素，你能列举出来吗？ 3m4．问集合A与B相等吗？集合A与C相等吗？

苏教版『高中数学·必修1』教案

其中A{y|yx21,xR}，B{x|xt21,tR}，C{(x,y)|yx21,xR} 5．写出不等式2x2+3x-1>2(x+1)(x-1)的解集，并化简 6．已知集合A{x|ax22x10,aR,xR} ①若A中只有一个元素，求a的值，并求出这个集合； ②若A中至多只有一个元素，求a的取值范围； 参考答案：

1．①{x|x3n2,nN且n5}②{x|x2n,nN且n5} 2．①{1，3，5，15}②{（1，1），（1，2），（2，1）（2，2）} 注：防止把{（1，2）}写成{1，2}或{x=1，y=2} ③{(,)}④{-1，1}⑤{（0，8）（2，5），（4，2）} ⑥{（1，1），（1，2），（1，4）（2，1），（2，2），（2，4），（4，1），（4，2），（4，4）} 3．B{3,0,1,2}

4．A=B，A与C是两个不同的集合； 15．xx

383236．①a=0时，2x+1=0，得x111，集合为{}②a=0时，2x+1=0，得x；a0时，222=4-4a<0，得a>1；

a的取值范围是a>1或a=0；