2013高考数学分类汇总 考点22 数列的概念与简单表示法

第一篇：2013高考数学分类汇总 考点22 数列的概念与简单表示法

考点22数列的概念与简单表示法

1.（2013·湖南高考文科·Ｔ15）.对于E={a1，a2,….a100}的子集X={ai,ai,ai},12k定义X的“特征数列”为x1,x2…,x100,其中xixixi1.其余项均为0，例如子12k

集{a2，a3}的 “特征数列”为0，1，1，0，0，…,0

（1）子集{a1,a3,a5}的“特征数列”的前3项和等于________________;

（2）若E的子集P的“特征数列”P1，P2，…,P100 满足p11，P1+Pi+1=1, 1≤i≤99;E 的子集Q的“特征数列” q1，q2，q100 满足q1=1，q1+qj+1+qj+2=1，1≤j≤98，则P∩Q的元素个数为___________.【解题指南】（1）读懂“特征数列”的定义是关键

（2）利用p1=1,pi+pi+1=1,1≤i≤99和q1=1,qj+qj+1+qj+2=1,1≤j≤98,列举出子集P、子集Q的“特征数列”至少10项,以便找出两者中均是“1”的项,因为该项是两个集合的公共元素.【解析】(1)子集{a1,a3,a5}的“特征数列”的前三项是1,0,1,故和为2.(2)根据题设条件,子集P的“特征数列”是1,0,1,0,1,0,1,0,1,0,1,0,1,„ 子集Q的“特征数列”是1,0,0,1,0,0,1,0,0,1,0,0,1,„

发现p1=q1,p7=q7,„p6i-5=q6i-5于是令6n-5=97,得n=17,所以P∩Q的元素个数为17.【答案】（1）2;(2)17

第二篇：2.1数列的概念与简单表示法教案

2．1数列的概念与简单表示法

（一）教学目标

1、知识与技能：了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图象、通项公式）；了解数列是一种特殊的函数；

2、过程与方法：通过三角形数与正方形数引入数列的概念；通过类比函数的思想了解数列的几种简单的表示方法（列表、图象、通项公式）；

3、情态与价值：体会数列是一种特殊的函数；借助函数的背景和研究方法来研究有关数列的问题，可以进一步让学生体会数学知识间的联系，培养用已知去研究未知的能力。

（一）教学重、难点

重点：理解数列的概念，认识数列是反映自然规律的基本数学模型，探索并掌握数列的几种间单的表示法（列表、图象、通项公式）；

难点：了解数列是一种特殊的函数；发现数列规律找出可能的通项公式。

（二）学法与教学用具 学法：学生以阅读与思考的方式了解数列的概念；通过类比函数的思想了解数列的几种简单的表示方法；以观察的形式发现数列可能的通项公式。教学用具：多媒体、投影仪、尺等

（三）教学设想

1、多媒体展示三角形数、正方形数，提问：这些数有什么规律？与它所表示的图形的序号有什么关系？

2、（1）概括数列的概念：按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项。（2）辩析数列的概念：“1，2，3，4，5”与“5，4，3，2，1”是同一个数列吗？与“1，3，2，4，5”呢？给出首项与第n 项的定义及数列的记法：{an}（3）数列的分类: 有穷数列与无穷数列；递增数列与递减数列，常数列。

3、数列的表示方法

（1）函数y=7x+9 与y=3 x，当依次取1，2，3，…时，其函数值构成的数列各有什么特点？

（2）定义数列{an}的通项公式

（3）数列{an}的通项公式可以看成数列的函数解析式，利用一个数列的通项公式，你能确定这个数列的哪些方面的性质？

（4）用列表和图象等方法表示数列，数列的图象是一系列孤立的点。

4、例1 写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：

（1）1，-1/2，1/3，-1/4；

（2）2，0，2，0．

引导学生观察数列的前4项的特点，寻找规律写出通项公式。再思考：根据数列的前若干项写出的数列通项公式的形式唯一吗？举例说明。

5、例

2、图2.1-5中的三角形称为希尔宾斯基（Sierpinski）三角形，在下图4个三角形

2．1数列的概念与简单表示法

海口一中

陆健青

中，着色三角形的个数依次构成一个数列的前4项，请写出这个数列的一个通项公式，并在直角坐标系中画出它的图象。

通过多媒体展示希尔宾斯基（Sierpinski）三角形，引导学生观察着色三角形的个数的变化，寻找规律写出数列的一个通项公式，并用图象表示数列。体会数列的图象是一系列孤立的点。

1、问题：如果一个数列{an}的首项a1=1，从第二项起每一项等于它的前一想的前一项的2倍再加1，即 an = 2 an-1 + 1（n∈N，n>1），（※）

你能写出这个数列的前三项吗？

像上述问题中给出数列的方法叫做递推法，（※）式称为递推公式。递推公式也是数列的一种表示方法。

2、例3 设数列{an}满足

写出这个数列的前五项。

此题与例1的学习是互为相反的关系，也是为了引入下文的等差数列，等差数列是最简单的递推数列。

3、课堂练习：P36

1~5，课后作业：P38习题2.1 A组

1，2，4，6。

4、课堂小结：

（1）数列的概念，认识数列是反映自然规律的基本数学模型；

（2）了解用列表、图象、通项公式、递推公式等方法表示数列；能发现数列规律找出可能的通项公式。

（3）了解数列是一种特殊的函数。

（四）评价设计

1、重视对学生学习数列的概念及表示法的过程的评价

关注学生在数列概念与表示法的学习中，对所呈现的问题情境是否充满兴趣；在学习过程中，能否发现数列中的项的规律特点，写出数列的通项公式，或递推公式。

2、正确评价学生的数学基础知识和基础技能

能否类比函数的性质，正确理解数列的概念，正确使用通项公式、列表、图象等方法表示数列，了解数列是一种特殊的函数。了解递推公式也是数列的一种表示方法。

第三篇：《数列的概念与简单表示法》 教案

2.1.1 数列的概念与简单表示法（第一课时）

一、教学目标

（1）了解数列的概念通过实例，引入数列的概念，并理解数列的顺序性，感受数列是刻画自然规律的数学模型。同时了解数列的几种分类。

（2）体会数列之间的变量依赖关系，了解数列与函数之间的关系。

二、教学重点与难点

教学重点：了解数列的概念，以及数列是一种特殊函数，体会数列是反映自然规律的数学模型。

教学难点：将数列作为一种特殊函数去认识，了解数列与函数之间的关系。

三、教学过程

一、创设情境，实例引入

1.斐波那契数列，《算盘全书》中兔子繁殖的问题

2.引导学生观察向日葵图片，建自然现象中体现出的数的规律。师：观察向日葵花瓣，你会发现花瓣的排列有怎样的规律? 2.早在春秋战国时期，惠施说过：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”。

实际上这里面就蕴含着数列的知识和以后要学习的极限思想，因此，我们所研究数列非常重要。今天我们就来学习数列的概念与简单表示法。板书课题：数列的概念与简单表示法

二、新课教学

（一）引入

1.古希腊毕达哥拉斯的学派的基本观点：万物皆数。他们认为数是万物的本源，因此他们曾经在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数，比如他们曾经过的三角形数。

师：什么叫做三角形数？这些数可以用图中的三角形点阵来表示。我们看三角形数分别是1，3，6，10„„(板书)师：类似的他们还研究了正方形数，他们分别是1，4，9，16，25„„（板书）

（二）新课教学

问题一：那么现在就请大家循着古代数学家的足迹，归纳一下这几列数都有那哪些特点？ 我们刚才说这个学派的最根本观点是什么？万物皆数 所以第一个特点是什么？都是一列数

第二个特点呢？我们看他的排列是不是乱排的，也就是说这几列数都研究的是数，同时有规律，那我们把满足这两个性质的一列数叫做数列。按照一定顺序排列的一列数成为数列。

师：数列中的每一个数叫做这个数列的项。数列中的每一项都和它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的第1项（或叫首项），排在第二位的数称为这个数列的第2项......排在第n位的数称为这个数列的第n项.板书记法：a1，a2，a3，...，an，...那么这里的角标起到什么作用？

代表着它的项数，也就是它在数列中的具体位置，对于任何数列都可以这样表示，但如果项数过多，这样表示又很麻烦，所以我们通常把数列简记为{an} 例如：三角形构成的数列{an}：1，3，6，10，15„„，a1=？a2=，a3=，a5，...活动一：分析下列5个数列，按照适当的标准分类.问题1：可以对数列进行怎样的分类？

教师引导：从数列的项的数量，或者数列前后各项之间的大小关系等角度,你能体会以上这些数列之间的区别吗?它们各有什么特点? 师：引导学生根据项数的多少和项数大小进行分类分类，并给出定义。师：提问学生对每个数列进行分类

活动二：分析下列两个数列的项与序号之间的关系

师：引导学生分析这两个数列，联想以前学过的知识，从函数的角度分析数列.生：分析并联想到函数，并从函数的角度分析数列，并找到相对应的函数，求出其定义域。

数列可以看成以N*(或它的有限子集{1，2，，n})为定义域的函数anf(n)当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值想一想：数列2，5，8，11，14与数列2，5，8，11，14„„有何不同？ 思考：你能用一个项an与序号n的式子来表示数列2，5，8，11，14„„吗？

师：强调有限子集必须从1开始，并重复说明函数角度下的数列定义.分析an=f(n)可以表示数列中的每一项，引出通项公式的概念，并让学生总结概念.师：总结并给出通项公式的概念：如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式

子表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式。

从集合、对应的观点来看，数列也可以看作是一个定义域为正整数集N+（或它的有限子集1,2,,n的函数，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，数列的通项公式就是相应函数的解析式。

问题：数列作为一种特殊的函数，也可以用列表法和图象法表示，你能把上面的这个数列用这两种方法表示出来吗？

（三）例题讲解

1.（1）数列：1，1，2，2，3，3，4，4，„

（2）数列

1，2，3，4 与数列 4，3，2，1 将以上几列数用集合如何表示？请写出相应的集合。观察集合中的元素和原来数列中数有什么差别。

经过以上问题可得出集合和数列的区别是：

第一，集合的对象可以是任意的东西。如全体中华人民共和国的公民组成一个集合，某农场全部拖拉机组成一个集合，所有的化学元素组成一个集合，等等。而数列的对象都是数，组成数列各项的元素只能是数，而不能是其他的对象。

第二，集合里的元素不能重复，而数列中的数是可以重复的。如数列：

1，1，2，2，3，3，4，4，„

是按照自然数列的规律，连续重复一次排列而成的，但是若把这个数列的各项看成是一个集合的元素，那么这个数列只能写成

｛1，2，3，4，„｝，而不能写成｛1，1，2，2，3，3，4，4，„｝。

第三，集合中的元素是不考虑顺序的，而数列中各数的顺序是十分重要的。例如：数列

1，2，3，4 与数列 4，3，2，1 是两个不同的数列。可是集合｛1，2，3，4｝与集合｛4，3，2，1｝则被认为是相同的。

教师引导学生讨论得出:（1）数列an中是一列数，而集合中的元素不一定是数；

（2）数列an中的数是有一定次序的，而集合中的元素没有顺序（无序性）；（3）数列an中的数可以重复，而集合中的元素不能重复（互异性）。【设计意图】：加深对数列概念的理解，分清集合和数列的区别。

例3.写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数.1111,，23

4（2）2，0，2，0（1）

师点评：(1)并不是所有数列都能写出通项公式

（2）一个数列的通项公式不是唯一的

（3）数列通项公式的作用：求数列中的任意一项；检验某书是否是该数列中的一项

（四）课堂小结

我们今天一同认识了一个新的概念：数列，我们知道它是一个与现实生活有密切联系的数学概念，我们一同来回忆一下数列的概念，是定义在正整数列集（或其有限子集）上的函数。数列的两种分类。

另外，我们发现数列实质上是一种特殊的函数。

点明本节课的重点是数列及其通项公式，数列是一种特殊的函数。

（五）作业布置（1）阅读课本P32－P36（3）课外阅读(选做)

（2）书面作业：课本P38习题2.1 A组 2、3、4

阅读课本P37-P38----斐波那契数列

第四篇：2012高考专题----数列与不等式放缩法

高考专题——放缩法

一、基本方法

1.“添舍”放缩

通过对不等式的一边进行添项或减项以达到解题目的，这是常规思路。例1.设a，b为不相等的两正数，且a3－b3＝a2－b2，求证1＜a＋b＜例2.已知a、b、c不全为零，求证：。aabb2bcc2c2aca2＞3（abc）

2[变式训练]已知an2n1(nN*).求证：an1a1a2...n(nN*).23a2a3an

12.分式放缩

一个分式若分子变大则分式值变大，若分母变大则分式值变小，一个真分式，分子、分母同时加上同一个正数则分式值变大，利用这些性质，可达到证题目的。例3.已知a、b、c为三角形的三边，求证：1＜

3.裂项放缩

若欲证不等式含有与自然数n有关的n项和，可采用数列中裂项求和等方法来解题。例4.已知n∈N*，求1a＋b＋c＜2。acab

121

„1

n＜2n。

n(n1)(n1)

2例5.已知nN且an223n(n1)，求证：an22对所有正整数n都成立。*

4.公式放缩

利用已知的公式或恒不等式，把欲证不等式变形后再放缩，可获简解。

n2x1*例6.已知函数f(x)x，证明：对于nN且n3都有f(n)。n121

例7.已知f(x)x2，求证：当ab时f（a）f（b）ab。

5.换元放缩

对于不等式的某个部分进行换元，可显露问题的本质，然后随机进行放缩，可达解题目的。

例8.已知abc，求证

0。abbcca

例9.已知a，b，c为△ABC的三条边，且有a2b2c2，当nN*且n3时，求证：

anbncn。

6.单调函数放缩

根据题目特征，通过构造特殊的单调函数，利用其单调性质进行放缩求解。

例10.已知a，b∈R，求证7.放大或缩小“因式”；

ab1ab



a1a



b1b。

n

例

4、已知数列{an}满足an1a,0a1,求证：(akak1)ak2.232k

1n

8.固定一部分项，放缩另外的项； 例

6、求证：

11117 122232n2

49.利用基本不等式放缩

例

7、已知an5n

41对任何正整数m，n都成立.10.先适当组合, 排序, 再逐项比较或放缩

例

8、.已知i，m、n是正整数，且1＜i≤m＜n.(1)证明：nAim＜mAin；(2)证明：(1+m)

i

i

n

＞(1+n)

m

二、放缩法综合问题

（一）、先求和后放缩

例1．正数数列an的前n项的和Sn，满足2Snan1，试求：（1）数列an的通项公式；（2）设bn

1，数列bn的前n项的和为Bn，求证：Bn。

2anan1

（二）、先放缩再求和（或先求和再放缩）例、函数f（x）=

4x14x，求证：f（1）+f（2）+„+f（n）>n+

12n

1(nN*).21．放缩后成等差数列，再求和

例2．已知各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn,且anan2Sn.an2an12(1)求证：Sn；

(2)

2．放缩后成等比数列，再求和

例3．（1）设a，n∈N*，a≥2，证明：a2n(a)n(a1)an；

（2）等比数列{an}中，a1，前n项的和为An，且A7，A9，A8成等差数列．设

a1bnn，数列{bn}前n项的和为Bn，证明：Bn＜．

31an

3．放缩后为差比数列，再求和

例4．已知数列{an}满足：a11，an1(1

n)an(n1,2,3)．求证： n2

an1an3

n1

2n1

n

4．放缩后为裂项相消，再求和

例

5、已知an=n，求证：∑

k=1ak

k

＜3．

第五篇：数学：2.1《数列的概念与简单表示法》教案(1课时)(新人教A版必修5)

课题: §2.1数列的概念与简单表示法

授课类型：新授课

（第1课时）

●三维目标

知识与技能：理解数列及其有关概念，了解数列和函数之间的关系；了解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项；对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的个通项公式。

过程与方法：通过对一列数的观察、归纳，写出符合条件的一个通项公式，培养学生的观察能力和抽象概括能力．

情感态度与价值观：通过本节课的学习，体会数学来源于生活，提高数学学习的兴趣。●教学重点

数列及其有关概念，通项公式及其应用 ●教学难点

根据一些数列的前几项抽象、归纳数列的通项公式 ●教学过程 Ⅰ.课题导入

三角形数：1，3，6，10，„ 正方形数：1，4，9，16，25，„ Ⅱ.讲授新课

⒈ 数列的定义：按一定次序排列的一列数叫做数列.注意：⑴数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列；

⑵定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现.⒉ 数列的项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项.各项依次叫做这个数列的第1项（或首项），第2项，„，第n 项，„.例如，上述例子均是数列，其中①中，“4”是这个数列的第1项（或首项），“9”是这个数列中的第6项.⒊数列的一般形式：a1,a2,a3,,an,，或简记为an，其中an是数列的第n项 结合上述例子，帮助学生理解数列及项的定义.②中，这是一个数列，它的首项是“1”，“

1”3是这个数列的第“3”项，等等

下面我们再来看这些数列的每一项与这一项的序号是否有一定的对应关系？这一关系可否用一个公式表示？（引导学生进一步理解数列与项的定义，从而发现数列的通项公式）对于上面的数列②，第一项与这一项的序号有这样的对应关系：

1111项

12345↓ ↓ ↓ ↓ ↓

序号 1 2 3 4 5

这个数的第一项与这一项的序号可用一个公式：an1来表示其对应关系 n即：只要依次用1，2，3„代替公式中的n，就可以求出该数列相应的各项 结合上述其他例子，练习找其对应关系

(5)将数列变形为1×2, －2×3, 3×4, －4×5, 5×6,„„，∴ an＝(－1)n1n(n＋1)Ⅳ.课时小结

本节课学习了以下内容：数列及有关定义，会根据通项公式求其任意一项，并会根据数列的前n项求一些简单数列的通项公式。Ⅴ.课后作业 ●板书设计 ●授后记