2010年高考数学冲刺专题三：数列与不等式的交汇题

第一篇：2010年高考数学冲刺专题三：数列与不等式的交汇题

2010年高考数学冲刺专题三：数列与不等式的交汇题

一、选择题

1．已知无穷数列{an}是各项均为正数的等差数列，则有

aaAaa

aaD．aa6

8（）

aaB．a≤a6

8aaCaa

2．设{an}是由正数构成的等比数列，bn＝an+1＋an+2，cn＝an＋an+3，则

A．bn＞cn

B．bn＜cn

C．bn≥cn

D．bn≤cn

（）

3．已知{an}为等差数列，{bn}为正项等比数列，公比q≠1，若a1＝b1，a11＝b11，则（）

A．a6＝b6 B．a6＞b6 C．a6＜b6 D．a6＞b6或a6＜b64．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－9n，第k项满足５＜ak＜８，则k＝（）

A．9 B．8 C．7 D．6

5．已知等比数列{an}的公比q＞0，其前n项的和为Sn，则S4a5与S5a4的大小关系是（）

A．S4a5＜S5a4 B．S4a5＞S5a4 C．S4a5＝S5a4 D．不确定

Sn

6．设Sn＝1＋2＋3＋…＋n，n∈N*，则函数f(n)＝（）

(n＋32)Sn+

11A．201B．30

1C401D．50

（）

7．已知y是x的函数，且lg3，lg(sinx－2)，lg(1－y)顺次成等差数列，则 A．y有最大值1，无最小值 11

C．y有最小值12，最大值1

B．y有最小值12，无最大值 D．y有最小值－1，最大值1

8．已知等比数列{an}中a2＝1，则其前3项的和S3的取值范围是

Ａ．(－∞，－1Ｂ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)Ｃ．3，＋∞)Ｄ．(－∞，－1∪3，＋∞)

（）

93b是1－a和1＋a的等比中项，则a＋3b的最大值为()A．1 B．2 C．3 D．

410．设等比数列{an}的首相为a1，公比为q，则“a1＜0，且0＜q＜1”是“对于任意n∈N*都有an+1

＞an”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充分比要条件D．既不充分又不必要条件

a11．{an}为等差数列，若a1，且它的前n项和Sn有最小值，那么当Sn取得最小正值时，10

n＝ A．11

B．17

C．19

D．21

（）

12．设f(x)是定义在R上恒不为零的函数，对任意实数x、y∈R，都有f(x)f(y)＝f(x＋y)，若a1＝

N*)，则数列{an}的前n项和Sn的取值范围是 2，an＝f(n)(n∈

（）

A．2，2)

二、填空题

B．[2，2]

1C．21)1

D．[21]

S13．等差数列{an}的前n项和为Sn，且a4－a2＝8，a3＋a5＝26，记Tnn如果存在正整数M，使得对一切正整数n，Tn≤M都成立．则M的最小值是__________．

14．无穷等比数列{an}中，a1＞1，|q|＜1，且除a1外其余各项之和不大于a1的一半，则q的取值范围是________.(a＋b)

215．已知x＞0，y＞0，x，a，b，y成等差数列，x，c，d，y成等比数列，则cd是________.Ａ．0 Ｂ．1 Ｃ．2 Ｄ．

416．等差数列{an}的公差d不为零，Sn是其前n项和，给出下列四个命题：①A．若d＜0，且

S3＝S8，则{Sn}中，S5和S6都是{Sn}中的最大项；②给定n，对于一定k∈N*(k＜n)，都有ank＋an+k＝2an；③若d＞0，则{Sn}中一定有最小的项；④存在k∈N*，使ak－ak+1和ak－ak1同号

其中真命题的序号是____________.三、解答题

17．已知{an}是一个等差数列，且a2＝1，a5＝－5．（Ⅰ）求{an}的通项an；（Ⅱ）求{an}前n项和

Sn的最大值．

18．已知{an}是正数组成的数列，a1＝1，且点(an，an+1)(n∈N*）在函数y＝x2＋1的图象上.(Ⅰ)

求数列｛an｝的通项公式；(Ⅱ)若列数｛bn｝满足b1＝1,bn+1＝bn＋2an，求证：bn ·bn+

2＜bn+1.3－an

119．设数列{an}的首项a1∈(0，1)，an＝2，n＝2，3，4，….（Ⅰ）求{an}的通项公式；

（Ⅱ）设bn＝a3－2an，证明bn＜bn+1，其中n为正整数．

20．已知数列{an}中a1＝2，an+1＝(2－1)(an＋2)，n＝1，2，3，….（Ⅰ）求{an}的通项公式；

（Ⅱ）若数列{an}中b1＝2，bn+1＝3，…

3bn＋

4，n＝1，2，3，….证明：2＜bn≤a4n3，n＝1，2，2bn＋

321．已知二次函数y＝f(x)的图像经过坐标原点，其导函数为f(x)＝6x－2，数列{an}的前n项和

为Sn，点(n，Sn)(n∈N*)均在函数y＝f(x)的图像上.（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设bn

1m＝，Tn是数列{bn}的前n项和，求使得Tn20对所有n∈N*都成立的最小正整数m； anan＋1，2，）22．数列an满足a11，an1(n2n)an（n1，是常数．（Ⅰ）当a21时，求及a3的值；（Ⅱ）数列an是否可能为等差数列？若可能，求出它的通项公式；若不可能，说明理由；（Ⅲ）求的取值范围，使得存在正整数m，当nm时总有an0．

【专题训练】参考答案

一、选择题

1．B【解析】a4a8＝(a1＋3d)(a1＋7d)＝a12＋10a1d＋21d2，a62＝(a1＋5d)2＝a12＋10a1d＋25d2，a4a6故a≤a6

82．D【解析】设其公比为q,则bn－cn＝an(q－1)(1－q2)＝－an(q－1)2(q＋1)，当q＝1时，bn

＝cn，当q＞0，且q≠1时，bn＜cn，故bn≤cn.a1＋a11b1＋b1

13．B【解析】因为q≠1，b1＞0，b11＞0，所以b1≠b11，则a6＝2＝2b1b11＝b6.4．B【解析】因数列为等差数列，an＝Sn－Sn1＝2n－10，由5＜2k－10＜8，得到k＝8.5．A【解析】S4a5－S5a4 ＝(a1＋a2＋a3＋a4)a4q－(a1＋a2＋a3＋a4＋a5)a

4＝－a1a4＝－a12q3＜0，∴S4a5＜S5a4． 6．D【解析】由Sn＝

n(n＋1)nn11

f(n)＝＝＝264(n＋32)(n＋2)n＋34n＋64264＋34

n＋n＋34

1641＝50，当n＝n，即n＝8时取等号，即f(n)max＝f(8)＝50

7．B【解析】由已知y＝－3(sinx－2)2＋1，且sinx＞2y＜1，所以当sinx＝1时，y有最小11

值12，无最大值.11

8．D【解】∵等比数列{an}中a2＝1，∴S3＝a1＋a2＋a3＝a2(q＋1＋q)＝1＋q＋q∴当公比q＞01

时，S3＝1＋q＋q≥1＋113，当公比q＜0时，S＝1－(－q3qq)≤1－

2(－q)·(－q＝

－1，∴S3∈(－∞，－1∪3，＋∞).9．B3b是1－a和1＋a的等比中项，则3b2＝1－a2a2＋3b2＝1，令a＝cosθ3b＝sinθ，θ∈(0，2π)，所以a＋3b＝cosθ＋3inθ＝2sin(θ＋6)≤2.10．A【解析】当a1＜0，且0＜q＜1时，数列为递增数列，但当数列为递增数列时，还存在另一情况a1＞0，且q＞1，故选A.1

2×20(a1＋a20)a＋aa＋aaS11．C【解析】由a＜－1，得a0a01＜0S0，则要使

10101019

×19(a1＋a19)2

Sn取得最小正值必须满足S19＞0，且S20＜0，此时n＝19.12．C【解析】f(x)是定义在R上恒不为零的函数，对任意实数x、y∈R，都有f(x)f(y)＝f(x＋

11n

－(22]111n

y)，a1＝2an＝f(n)(n∈N*)，an+1＝f(n＋1)＝f(1)f(n)2an，∴Sn＝＝1－(12).则数列

1－

21{an}的前n项和的取值范围是21).二、填空题

13．2【解析】由a4－a2＝8，可得公差d＝4，再由a3＋a5＝26，可得a1＝1，故Sn＝n＋2n(n2n－1

1－1)＝2n2－n，∴Tn＝n2－nTn≤M，只需M≥2即可，故M的最小值为2，答案：

21aqa1114．(－1，0∪(0，3【解析】23|q|＜1，且q≠0，故q∈(－1，0∪(0，3.1－q(a＋b)2(x＋y)2(2xy)2

15．4【解析】cdxyxy＝4.16．D【解析】对于①：∵S8－S3＝a4＋a5＋a6＋a7＋a8＝5a6＝0，∴S5＝S6，又d＜0，S5＝S6为

最大，故A正确；对于②：根据等差中项知正确；对于③：∵d＞0，点(n，Sn)分布在开口向上的抛物线，故{Sn}中一定有最小的项，故③正确；而ak－ak+1＝－d，ak－ak1＝d，且d≠0，故④为假命题.三、解答题

 a1＋d＝1

17．【解】（Ⅰ）设{an}的公差为d，由已知条件，，解出a1＝3，d＝－2．

a1＋4d＝－5

所以an＝a1＋(n－1)d＝－2n＋5．

n(n－1)

（Ⅱ）Sn＝na12＝－n2＋4n＝－(n－2)2＋4，所以n＝2时，Sn取到最大值4． 18．【解】(Ⅰ)由已知得an+1＝an＋1，即an+1－an＝1，又a1＝1，所以数列｛an｝是以1为首项，公差为1的等差数列，故an＝1＋(a－1)×1＝n.(Ⅱ)由（Ⅰ）知：an＝n从而bn+1－bn＝2n.bn＝(bn－bn1)＋(bn1－bn2)＋…＋（b2－b1）＋b1＝2

nn+2n1因为bn·bn+2－b2－1)2 n1＝(2－1)(2－1)－(2

n1

＋2

n2

1－2n

＋…＋2＋1＝＝2n－1.1－2

＝(22n+2－2n+2－2n＋1)－(22n+2－2－2n+1－1)＝－5·2n＋4·2n＝－2n＜0, 所以bn·bn+2＜b2n1.3－an1

19．【解】（Ⅰ）由an＝2n＝2，3，4，….整理得

1－an＝－2－an1)．

又1－a1≠0，所以{1－an}是首项为1－a1，2得an＝1－(1－a1)(－2)n1，3（Ⅱ）由（Ⅰ）可知0＜an＜2bn＞0．那么，3－an3－an9abn+12－bn2＝an+12(3－2an+1)－an2(3－2an)＝(2)2(3－2×2)－an2(3－2an)4(an－1)2.又由（Ⅰ）知an＞0，且an≠1，故bn+12－bn2＞0，因此

bn＜bn+1，为正整数．

20．【解】（Ⅰ）由题设：an+1＝(2－1)(an＋2)＝(2－1)(an－2)＋2－1)(22)，＝(2－1)(an2)＋2，∴an+1－2＝(2－1)(an－2)． 所以，数列{an－2}a是首项为22，公比为2－1)的等比数列，an－2＝2(2－1)n，即an的通项公式为an＝2[(2－1)n＋1]，n＝1，2，3，….（Ⅱ）用数学归纳法证明．

（ⅰ）当n＝1时，因2＜2，b1＝a1＝2，所以2＜b1≤a1，结论成立．（ⅱ）假设当n＝k2＜bk≤a4k3，也即0＜bn－2≤a4k3－2，当n＝k＋1时，bk+1－2＝又

3bk＋4(3－22)bk＋(4－32)(3－2)(bk－2)

2＞0，2bk＋32bk＋32bk＋3

3－22，2bk＋322＋3

(3－22)(b2)

所以bk+12(3－2)2(bk2)≤(2－1)4(a4k3－2)＝a4k+1－2

2bk＋3也就是说，当n＝k＋1时，结论成立．

根据（ⅰ）和（ⅱ2＜bn≤a4n3，n＝1，2，3，….21．【解】（Ⅰ）设这二次函数f(x)＝ax2＋bx(a≠0)，则 f`(x)＝2ax＋b，由于f`(x)＝6x－2，得a＝3，b＝－2，所以f(x)＝3x2－2x.，又因为点(n，Sn)(n∈N*)均在函数y＝f(x)的图像上，所以Sn＝3n2－2n，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝（3n2－2n）－[3(n－1)2－2(n－1)]＝6n－5，当n＝1时，a1＝S1＝3×12－2＝6×1－5，所以，an＝6n－5（n∈N*）.33111（Ⅱ）由（Ⅰ）得知bn＝2)，anan＋1(6n－5)[6(n－1)－5]6n－56n＋1

11111111

故Tn＝bi＝2[(1－7＋(713)＋…＋()]＝2），6n－56n＋16n＋1i=1

n

11m1m

因此，要使220n∈N*）成立的m，必须且仅须满足220，即m≥10，所以

6n＋1满足要求的最小正整数m为10.22．【解】（Ⅰ）由于an1(n2n)an(n1，2，)，且a11．

所以当a21时，得12，故3．从而a3(2223)(1)3．（Ⅱ）数列an不可能为等差数列，证明如下：由a11，an1(n2n)an 得a22，a3(6)(2)，a4(12)(6)(2)．

若存在，使an为等差数列，则a3a2a2a1，即(5)(2)1，解得3．于是a2a112，a4a3(11)(6)(2)24． 这与

an为等差数列矛盾．所以，对任意，an都不可能是等差数列．

（Ⅲ）记bnn2n(n1，2，)，根据题意可知，b10且bn0，即2 且n2n(nN*)，这时总存在n0N*，满足：当n≥n0时，bn0； 当n≤n01时，bn0．所以由an1bnan及a110可知，若n0为偶数，则an00，从而当nn0时，an0；若n0为奇数，则an00，从而当nn0时an0．因此“存在mN，当nm时总有an0” 的充分必要条件是：n0为偶数，b2k(2k)2k0

记n02k(k1．，2，)，则满足2

b(2k1)2k102k1

故的取值范围是4k22k4k22k(kN*)．

*

第二篇：数列与不等式的交汇应用

数列与不等式的交汇应用

数列与不等式的交汇问题，既有函数的思想方法，也有数列特定的思想方法，更有不等式求解、证明的方法和技巧，由于知识覆盖面广、综合性强而成为高考命题的热点之一，解答起来有一定的难度，一、函数性质

例1 设等差数列{an}的公差为d，若数列{ea1an}（e为自然对数的底数）为递增数列，则

A.d<0

B.d>0

C.a1d<0

D.a1d>0

分析 结合递增数列的性质建立不等式，通过求解指数不等式，结合等差数列的通项加以转化，即可判断相应的不等关系式.解 由数列{ea1an}是递增数列，可得ea1an

例2 若数列{an}满足：a1=2 018，an+1=an-3（n∈N*），则数列{an}的前n项和取得最大值时，n的值为

A.672

B.673

C.674

D.675

分析 根据题目条件，结合等差?盗械亩ㄒ迩笃渫ㄏ罟?式，由数列{an}的前n项和取得最大值，得到对应的不等式组，通过不等式组的求解，并结合项数的取值限制加以确定.解 由a1=2018，an+1-an=-3，可知数列{an}是以2018为首项、-3为公差的等差数列，所以an=2018+（-3）（n-1）=2021-3n.设数列{an}的前k（k∈N*）项和取得最大值，则

即，所以2018/3≤K≤2021/3.由于K∈N*，所以K=673，则满足条件的n的值为673.选B.小结 数列与不等式交汇中的项数问题，往往通过数列的定义、通项公式、相应性质以及数列求和的应用，结合不等式（组）的分析与求解来解决，注意不等式（组）的求解结果与数列对参数的限制条件之间的关系与应用.三、创新问题

例3 若数列{an}满足：1/an+1-1/an=d（n∈N*，d为常数），则称数列{an}为调和数列.已知正项数列{1/bn}为调和数列，且bl+b2+…+b2017=20170，则b1.b2017的最大值是

A.100

B.90

C200

D.400

分析 根据创新定义的转化得到{bn}为等差数列，结合等差数列的性质以及基本不等式来解决相应的最值问题.解 由调和数列的定义可知bn+1-bn=d，所以{bn}为等差数列，由于b1+b2+…+b2017=2017bl009=20170，所以b1009=10，b1+b2017=2b1009=20，则b1?b2017≤（b1+b2017/2）2=100，当且仅当bl=b2017时取等号.选A.小结 涉及最值等相关知识的数列创新问题，经常结合新定义，将新定义的数列转化为等差数列或等比数列，利用特殊数列的概念、公式、性质等，并结合不等式的相关知识进行解答.四、参数问题

例4 已知等比数列{an}满足an+1+an=3?2n-l，n∈N*.（I）求数列{an}的通项公式.（Ⅱ）设数列{an}的前n项和为Sn，若不等式Sn>kan+1对一切n∈N*恒成立，求实数k的取值范围.分析（I）利用等比数列所满足的关系式，通过特殊值法确定相关的关系式，结合整体思维求得公比，进而得到首项和对应的通项公式.（Ⅱ）结合（I）中的结论求前n项和，利用不等式Sn>kan+1分离参数，设出对应的函数并求得最值，进而求得参数的取值范围，解（I）设等比数列{an}的公比为q.由于an+1+an=3?2n-1，n∈N*，所以a2+a1=3，a3+a2=6，则q=a3+a2/a2+a1=6/3=2.于是可得2a1+a1=3，则a1=l，所以an=2n-l，n∈N*.（Ⅱ）由（I），可知Sn=a1（1-qn）/1-q=1-2n/1-2=2n-1.由题设有2n-1>k?2n-1+l，即k<2-1/2n-2对一切n∈N*恒成立，令f（n）=2-1/2n-2，由f（n）随n的增大而增大，可知fmin（n）=f（1）=2-2=0，则k<0，所以实数k的取值范围是（-∞，0）.小结 数列与不等式交汇中的参数问题，常将相应的不等式与数列中的相关公式加以综合，进行参数分离，利用相关函数的最值的求解，进行等价转化，达到解决问题的目的，五、应用问题

例5 为了加强环保建设，提高社会效益和经济效益，长沙市计划用若干时间更换一万辆燃油型公交车，每更换一辆新车，则淘汰一辆旧车，新车为电力型和？昆合动力型车，今年年初投入了电力型公交车128辆，混合动力型公交车400辆：计划以后电力型公交车每年的投入量比上一年增加50%，混合动力型公交车每年比上一年多投入a辆.（I）求经过n年，该市被更换的公交车总数S（n）.（Ⅱ）若该市计划5年内完成全部更换，求a的最小值，分析（I）设an，bn。分别为第n年投入的电力型公交车，混合动力型公交车的数量，分别确定数列的类型，根据数列的前n项和公式求解即可.（Ⅱ）根据题目条件转化为不等式关系S（5）≥10000，利用不等式的求解来确定参数a的最小值.解（I）设an，bn分别为第n年投入的电力型公交车，混合动力型公交车的数量.依题意得{an}是以128为首项、3/2为公比的等比数列，{bn}是以400为首项、a为公差的等差数列，所以数列{an}的前n项和Sn=128[1-（3/2）n]/1-3/2=256[（3/2）n-1]，数列{bn}的前n项和Tn=400n+n（n-1）/2 a，则经过n年，该市被更换的公交车总数S（n）=Sn+Tn=256[（3/2）n-1]+400n+n（n-1）/2 a.（Ⅱ）若计划5年内完成全部更换，则S（5）≥10000，所以256[（3/2）5-1]+400x5+5x4/2 a≥10000，即100≥6312，解得a≥631.2.又a∈N*，所以a的最小值为632.小结 数列与不等式交汇中的实际应用问题，往往通过相应数列的通项、求和公式确定相应的关系式，利用实际问题建立对应的不等关系进行求解.对求参数问题，一定要结合实际应用问题，确保参数在实际中有意义，六、证明问题

例6 已知数列{an}是公差不为零的等差数列，a5=5，且a3，a4，a7成等比数列.（I）求数列{an}的通项公式.（Ⅱ）设bn=an/2n，数列{bn}的前n项和为Tn，求证：-7/4≤Tn<-1（n∈N*）.分析（I）通过待定系数法，根据题目条件建立方程组，求得首项与公差，从而可得数列{an}的通项公式.（Ⅱ）先利用错位相减法求出数列{bn}的前n项和Tn，再确定其单调性，即可证明对应的数列不等式成立.（I）解：an=2n-5（n∈N*）.（解答过程省略）

（Ⅱ）（证明过程省略）

小结 数列与不等式交汇的综合问题，若是证明题，要灵活选择不等式的证明方法，如比较法、综合法、分析法、放缩法等：若是解不等式题，要选择不等式的不同解法，如列表法、因式分解法、穿根法等.

第三篇：数列不等式题

数列不等式综合题示例

例1 设等比数列an的公比为q，前n项和Sn0(n1,2,)（Ⅰ）求q的取值范围；（Ⅱ）设bn3an2an1，记bn的前n项和为Tn，试比较Sn与Tn2

41n12例2设数列an的前n项的和Snan22•,•3•,•，n1,•333

（Ⅰ）求首项a1与通项an； 2n

（Ⅱ）设TnSn，n1•,•2•,•3•,•，证明：Tii1n3 2例3数列{an}满足a1=1，且an1（Ⅰ）用数学归纳法证明：an（Ⅱ）已知不等式ln(1e =2.71828 ….(111)a(n1).n2nnn22(n2)； x)x对x0成立.证明：ane2(n1).其中无理数

第四篇：2012高考专题----数列与不等式放缩法

高考专题——放缩法

一、基本方法

1.“添舍”放缩

通过对不等式的一边进行添项或减项以达到解题目的，这是常规思路。例1.设a，b为不相等的两正数，且a3－b3＝a2－b2，求证1＜a＋b＜例2.已知a、b、c不全为零，求证：。aabb2bcc2c2aca2＞3（abc）

2[变式训练]已知an2n1(nN*).求证：an1a1a2...n(nN*).23a2a3an

12.分式放缩

一个分式若分子变大则分式值变大，若分母变大则分式值变小，一个真分式，分子、分母同时加上同一个正数则分式值变大，利用这些性质，可达到证题目的。例3.已知a、b、c为三角形的三边，求证：1＜

3.裂项放缩

若欲证不等式含有与自然数n有关的n项和，可采用数列中裂项求和等方法来解题。例4.已知n∈N*，求1a＋b＋c＜2。acab

121

„1

n＜2n。

n(n1)(n1)

2例5.已知nN且an223n(n1)，求证：an22对所有正整数n都成立。*

4.公式放缩

利用已知的公式或恒不等式，把欲证不等式变形后再放缩，可获简解。

n2x1*例6.已知函数f(x)x，证明：对于nN且n3都有f(n)。n121

例7.已知f(x)x2，求证：当ab时f（a）f（b）ab。

5.换元放缩

对于不等式的某个部分进行换元，可显露问题的本质，然后随机进行放缩，可达解题目的。

例8.已知abc，求证

0。abbcca

例9.已知a，b，c为△ABC的三条边，且有a2b2c2，当nN*且n3时，求证：

anbncn。

6.单调函数放缩

根据题目特征，通过构造特殊的单调函数，利用其单调性质进行放缩求解。

例10.已知a，b∈R，求证7.放大或缩小“因式”；

ab1ab



a1a



b1b。

n

例

4、已知数列{an}满足an1a,0a1,求证：(akak1)ak2.232k

1n

8.固定一部分项，放缩另外的项； 例

6、求证：

11117 122232n2

49.利用基本不等式放缩

例

7、已知an5n

41对任何正整数m，n都成立.10.先适当组合, 排序, 再逐项比较或放缩

例

8、.已知i，m、n是正整数，且1＜i≤m＜n.(1)证明：nAim＜mAin；(2)证明：(1+m)

i

i

n

＞(1+n)

m

二、放缩法综合问题

（一）、先求和后放缩

例1．正数数列an的前n项的和Sn，满足2Snan1，试求：（1）数列an的通项公式；（2）设bn

1，数列bn的前n项的和为Bn，求证：Bn。

2anan1

（二）、先放缩再求和（或先求和再放缩）例、函数f（x）=

4x14x，求证：f（1）+f（2）+„+f（n）>n+

12n

1(nN*).21．放缩后成等差数列，再求和

例2．已知各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn,且anan2Sn.an2an12(1)求证：Sn；

(2)

2．放缩后成等比数列，再求和

例3．（1）设a，n∈N*，a≥2，证明：a2n(a)n(a1)an；

（2）等比数列{an}中，a1，前n项的和为An，且A7，A9，A8成等差数列．设

a1bnn，数列{bn}前n项的和为Bn，证明：Bn＜．

31an

3．放缩后为差比数列，再求和

例4．已知数列{an}满足：a11，an1(1

n)an(n1,2,3)．求证： n2

an1an3

n1

2n1

n

4．放缩后为裂项相消，再求和

例

5、已知an=n，求证：∑

k=1ak

k

＜3．

第五篇：导数压轴题 导数与数列不等式的证明

导数与数列不等式的证明

例1.已知函数f(x)alnxax3aR(1)讨论函数f(x)的单调性;(2)证明:112131nln(n1)(nN*)(3)证明:ln22ln33ln44ln55lnnn1nn2,nN* n(4)证明:ln2ln3ln4ln5lnn1n122324252n22nn2,nN*(5)证明:ln24ln34ln44ln54lnn4(n1)224344454n44nn2,nN* ln22ln32(6)求证:lnn2n12n12232...n22n1n2,nN(7)求证:122114211182...1122nenN

例2.已知函数f(x)lnxx1｡(1)求f(x)的最大值;nnn(2)证明不等式:12nennne1nN*

例3.已知函数fxx2lnx1

(1)当x0时,求证:fxx3;

(2)当nN时,求证:nf1111151 k1k2333...n342nn1

例4.设函数f(x)x2mln(x1)m0

(1)若m12,求f(x)的单调区间;(2)如果函数f(x)在定义域内既有极大值又有极小值,求实数m的取值范围;(3)求证:对任意的nN*,不等式lnn1nn1n3恒成立｡

例5.已知函数f(x)ln(x1)k(x1)1(kR),(1)求函数f(x)的单调区间;(2)若f(x)0恒成立,试确定实数k的取值范围;(3)证明:ln23ln34lnnn1n(n1)4nN,n1.导数与数列不等式的证明 收集整理:张亚争 联系电话:*** 1 / 2 例6.已知函数f(x)axbc(a0)的图像在点(1,f(1))处的切线方程为yx1｡ x(1)用a表示出b,c;

(2)若f(x)lnx在[1,)上恒成立,求a的取值范围;(3)证明:1

例7.已知函数f(x)2alnxx21｡

(1)当a1时,求函数f(x)的单调区间及f(x)的最大值;(2)令g(x)f(x)x,若g(x)在定义域上是单调函数,求a的取值范围;111nln(n1)(n1).23n2(n1)3n2n222222(3)对于任意的n2,nN,试比较与的ln2ln3ln4ln5lnnn(n1)*大小并证明你的结论｡

1ln(x1)(x0)x(1)函数f(x)在区间(0,)上是增函数还是减函数?证明你的结论｡

k(2)当x0时,f(x)恒成立,求整数k的最大值;x1(3)试证明:(112)(123)(134)(1n(n1))e2n3(nN*).例8.已知函数f(x)

例9.已知函数fxxalnxa0(1)若a1,求fx的单调区间及fx的最小值;(2)若a0,求fx的单调区间;ln22ln32lnn2n12n1(3)试比较22...2与n2,nN的大小,并证明｡ 23n2n1

例10.已知函数fxlnx,gxxaaR, x(1)若x1时,fxgx恒成立,求实数a的取值范围｡(2)求证:

例11.已知函数fxlnxxax

2ln2ln3lnn1n2,nN 34n1n(1)若函数fx在其定义域上为增函数,求a的取值范围;(2)设an1

例12.设各项为正的数列an满足a11,an1lnanan2,nN.求证:an2n1.122Lanlnn12n nN,求证:3a1a2...ana12a2n导数与数列不等式的证明 收集整理:张亚争 联系电话:*** 2 / 2