数学高考复习名师精品教案：第22课时：第三章 数列-等差数列、等比数列的基本运算大全

第一篇：数学高考复习名师精品教案：第22课时：第三章 数列-等差数列、等比数列的基本运算大全

数学高考复习名师精品教案

第22课时：

第三章 数列——等差数列、等比数列的基本运算

一．课题：等差数列与等比数列的基本运算

二．教学目标：掌握等差数列和等比数列的定义，通项公式和前n项和的公式，并能利用这些知识解决有关问题，培养学生的化归能力．

三．教学重点：对等差数列和等比数列的判断，通项公式和前n项和的公式的应用．

四．教学过程：

（一）主要知识：

1．等差数列的概念及其通项公式，等差数列前n项和公式； 2．等比数列的概念及其通项公式，等比数列前n项和公式； 3．等差中项和等比中项的概念．

（二）主要方法：

1．涉及等差（比）数列的基本概念的问题，常用基本量a1,d(q)来处理； 2．使用等比数列前n项和公式时，必须弄清公比q是否可能等于1还是必不等于1，如果不能确定则需要讨论；

3．若奇数个成等差数列且和为定值时，可设中间三项为ad,a,ad；若偶数个成等差数列且和为定值时，可设中间两项为ad,ad，其余各项再根据等差数列的定义进行对称设元．若干个数个成等比数列且积为定值时，设元方法与等

差数列类似．

4．在求解数列问题时要注意运用函数思想，方程思想和整体消元思想，设而不求．

（三）例题分析：

例1．（1）设数列{an}是递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项为 2 ．

（2）已知等差数列{an}的公差d0，且a1,a3,a9成等比数列，则

a1a3a913．

a2a4a1016例2．有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个书的和是12，求这四个数．

(ad)2(ad)ad16解：设这四个数为：ad,a,ad,，则 aa2ad122解得： a4a9或，所以所求的四个数为：4,4,12,36；或15,9,3,1． d8d6例3．由正数组成的等比数列{an}，若前2n项之和等于它前2n项中的偶数项之和的11倍，第3项与第4项之和为第2项与第4项之积的11倍，求数列{an}的通项公式．

解：当q1时，得2na111na1不成立，∴q1，a1(1q2n)11a1q(1q2n)① 21q∴1q

aq2aq311aqaq3② 1111由①得q1101，代入②得a110，10∴an()n2．

说明：用等比数列前n项和公式时，一定要注意讨论公比是否为1．

例4．已知等差数列110,116,122,，（1）在区间[450,600]上，该数列有多少项？并求它们的和；

（2）在区间[450,600]上，该数列有多少项能被5整除？并求它们的和.解：an1106(n1)6n104，（1）由4506n104600，得58n82，又nN*, ∴ 该数列在[450,600]上有25项, 其和Sn(a58a82)2513100．

（2）∵an1106(n1)，∴要使an能被5整除，只要n1能被5整除，即n15k，∴n5k1，∴585k182，∴12k16，∴在区间[450,600]上该数列中能被5整除的项共有5项即第61,66,71,76,81项，其和S

5(a61a81)2650． 212 3

第二篇：第2课时--等差数列与等比数列的基本运算

一．课题：等差数列与等比数列的基本运算

二．教学目标：掌握等差数列和等比数列的定义，通项公式和前n项和的公式，并能利用这些

知识解决有关问题，培养学生的化归能力．

三．教学重点：对等差数列和等比数列的判断，通项公式和前n项和的公式的应用．

四．教学过程：

（一）主要知识：

1．等差数列的概念及其通项公式，等差数列前n项和公式；

2．等比数列的概念及其通项公式，等比数列前n项和公式；

3．等差中项和等比中项的概念．

（二）主要方法：

1．涉及等差（比）数列的基本概念的问题，常用基本量a1,d(q)来处理；

2．使用等比数列前n项和公式时，必须弄清公比q是否可能等于1还是必不等于1，如果不能确定则需要讨论；

3．若奇数个成等差数列且和为定值时，可设中间三项为ad,a,ad；若偶数个成等差数列且和为定值时，可设中间两项为ad,ad，其余各项再根据等差数列的定义进行对称设元．若干个数个成等比数列且积为定值时，设元方法与等差数列类似．

4．在求解数列问题时要注意运用函数思想，方程思想和整体消元思想，设而不求．

（三）例题分析：

例1．（1）设数列{an}是递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项为 2 ．

（2）已知等差数列{an}的公差d0，且a1,a3,a9成等比数列，则a1a3a913． a2a4a1016

例2．有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个书的和是12，求这四个数． (ad)

2(ad)16ad解：设这四个数为：ad,a,ad,，则 aa2ad12

a4a9解得：或，所以所求的四个数为：4,4,12,36；或15,9,3,1． d8d62

例3．由正数组成的等比数列{an}，若前2n项之和等于它前2n项中的偶数项之和的11倍，第3项与第4项之和为第2项与第4项之积的11倍，求数列{an}的通项公式．

解：当q1时，得2na111na1不成立，∴q1，a1(1q2n)11a1q(1q2n)① 21q∴1q aq2aq311aqaq3② 111

11由①得q，代入②得a110，10

1n2∴an()． 10

说明：用等比数列前n项和公式时，一定要注意讨论公比是否为1．

第三章 数列——第2课时：等差数列、等比数列的基本运算

例4．已知等差数列110,116,122,，（1）在区间[450,600]上，该数列有多少项？并求它们的和；

（2）在区间[450,600]上，该数列有多少项能被5整除？并求它们的和.解：an1106(n1)6n104，（1）由4506n104600，得58n82，又nN, *

1(a58a82)2513100．

2（2）∵an1106(n1)，∴要使an能被5整除，只要n1能被5整除，即n15k，∴n5k1，∴585k182，∴12k16，∴在区间[450,600]上该数列中能被5整

5(a61a81)2650． 除的项共有5项即第61,66,71,76,81项，其和S2∴ 该数列在[450,600]上有25项, 其和Sn

五．课后作业：《优化设计》基础过关题

六．教学反思：

１．掌握等差数列和等比数列的通项公式和前n项和的公式并应用解题．

２．善于灵活运用等差中项和等比中项的性质．

３．在求解数列问题时要注意运用函数思想，方程思想和整体消元思想．

第三章 数列——第2课时：等差数列、等比数列的基本运算

第三篇：高三数学一轮教案：等差数列和等比数列的基本运算(二)

§3.2等差数列与等比数列的基本运算

（二）【复习目标】 灵活运用等差、等比数列的定义及通项公式的性质简化数列的有关运算； 2 在解题中总结方法和规律，加深对等差数列和等比数列的理解。

【重点难点】

在解题中总结方法和规律，简化数列的有关运算 【课前预习】

9121．在等比数列{an}中，已知首项为8，末项为3，公比为3，则项数n是

（）

A.3

B.4

C.5

D.6 2．等比数列{an}中，a1+a2=30,a3+a4=120,则a5+a6是

（）

A.240

B.±240

C.480

D.±480 3．设{an}是一个等差数列，且a4+a7+a10=17,a4+a5+a6+…+a14=77，如果ak=13，那么k等于

A.16

B.18

C.20

D.22

（）【典型例题】

a1a2a3a4a5a6a1a6a2a5例1

已知等差数列{an}的公差d≠0，且a1,a3,a9成等比数列，求的值。

例2 已知一个等差数列前10项的和为100，前100项的和为10，求前110项的和。

例3 已知等差数列n的前n项和为的通项公式。

asn，令

bn11ab,s3s521.33bsn，2且求数列n

2{a}Sn18n，试求数列{|an|}的前n项和Tn的表述式。nn例4 已知数列的前n项和为

【巩固练习】

1．在各项均为正数的等比数列{an}中，若a5a6=9，则log3a1+log3a2+…+log3a10的值为

.2．在等比数列{an}中,已知a2a8=9，则a3a5a7等于

.a1a3a93．已知等差数列{a}的公差d≠0，且a,a,a成等比数列，则a2a4a10的值是

。n

9【本课小结】

【课后作业】

ac24 设a,b,c成等比数列，x为a,b的等差中项，y为b,c的等差中项，求证xy.5 若a+b+c,b+c—a,a+c－b,a+b－c成等比数列，公比为q,求q+q2+q3的值。等差数列{an}中，当m≠2001时，有a2001=m,am=2001，若p∈N,且p>am，试比较am+p与0的大小关系。设数列{an}的首项a1=1，前n项的和Sn满足关系式：3tSn－(2t+3)Sn－1=3t(t>0,n=2,3,4,…)证明：数列{an}是等比数列.8 设等差数列 an的前n项和为Sn，若a312，S120，S130。

（1）求公差的取值范围；（2）指出S1，S2，……，S12中，哪个值最大？并说明理由。

第四篇：高考数学第九章数列第63课等差等比数列的综合问题教案

等差、等比数列的综合问题

一、教学目标

1.掌握等差、等比数列的性质；

2.能用类比的思想来研究等差、等比数列，体会它们的区别和联系；

3.理解等差数列前n项和Sn与二次函数的关系；掌握求等差数列前n项和最值的基本方法。

二、基础知识回顾与梳理

1、已知an是公差为d的等差数列，下列命题是否正确？

①a2,a4,...a12是等差数列 ；②an,an1,...a1是等差数列；③ca1,ca2,...can（c为常数）是等差数列． 【教学建议】本题选自书本第35页习题，主要复习等差数列的概念，让学生学会用定义判断一个数列是否为等差数列．

2、设an是等比数列，下列命题正确吗？

2①an是等比数列； ②anan1是等比数列；③1是等比数列； ④lgan是等比数列； an⑤anan1是等比数列．

【教学建议】本题选自课本第60页习题，提问学生：如何判断一个数列是否为等比数列，学会用定义判断一个数列是否为等比数列，第⑤小题学生容易忽略等比数列各项不能为零．

3、下列说法是否正确？

①1与4的等比中项是2； ②等比数列an中a11,a54，则a32；

【教学建议】本题考察等比中项的概念，学生可能在概念上犯错，教师在讲解时不需要避免学生出错，让学生暴露问题，老师进一步理清概念．

4、数列1,x,x2,...xn1的前n项和Sn_________．

【教学建议】本题选自书本第56页习题，等比数列求和学生使用时很容易忘记讨论q1，主要让学生加深印象，对等比数列求和一定要考虑q1的特殊情形，进一步练习：等比数列an中，S33a3，则公比q______，说明一些特殊情况下可以回避用求和公式，避免讨论．

三、诊断练习

1、教学处理：数列小题解法较多，要重视学生自己思路解法。课前学生自主完成，黑板板演，老师点评 学生思路方法，比较多种解法，比较优劣，归纳总结．

2、诊断练习点评

题1：在等差数列an中，若S1590，则a8=______________.【分析与点评】提出问题：条件S1590如何使用，引导学生思考用等差数列求和公式的两种表示形式来翻译条件，归纳思路：（1）完全化归为基本量表示，S1515a1寻求Sn和an的关系，S151514d90，化简得a8a17d6；（2）215(a1a15)90，利用性质2a8a1a15，解得a86．

2题2：公比不为1的等比数列an的前n项和为Sn，且3a,若a11，则S4＝________.a2,a3成等差数列，1答案为：20

【分析与点评】（1）等差等比数列的计算强调基本量的运算：化归为a1,d(q)的计算；（2）本题“递增”是关键，学生容易得到a11,a34q24q2，代入公式求解；也可以得到

a1a34,a1a35q24q2．

题3：等比数列an的各项均为正数,且a1a54,则log2a1log2a2log2a3log2a4log2a5.第3题答案为：5

题4：：等差数列{an}的公差是2，若a2,a4,a8成等比数列，则{an}的前n项和Sn第4题答案为：Sn_______ n(a1an)n(n1)2

3、要点归纳

（1）强化等差（比）数列的重要性质，对于下标和相等，等差（比）子数列的性质不同，要注意区别；（2）等差（比）数列的前n项和的性质也不同，特别注意有关等差数列前n项和Sn取最值问题，如“诊断练习”第3题；

（3）要重视等差（比）数列的性质在解题中的运用．

四、范例导析

例

1、数列an的前n项和为Sn，若a12且SnSn12nn2,nN

(1)求Sn；

(2)是否存在等比数列bn满足b1a1,b2a3,b3a9？若存在，求出数列bn的通项公式；若不存在，说明理由.【教学处理】让学生板演，了解学生读题后的第一想法，加以点评总结，同时规范学生的书写 【引导分析与精讲建议】

1、第1问强调等差数列的证明,注意n1的验证；

2、第2问注重等差等比数列基本量的计算.解析:(1)因为SnSn12nn2,nN，所以有SnSn12n对n2,nN成立.即an2n对n2,nN成立，又a1S121，所以an2n对nN成立.所以an1an2a对nN成立，所以an是等差数列，所以有Sn(2)存在.由(1)知，an2n对nN成立，所以有a36,a918,又a12，所以有b12，b26,b318,则a1annn2n,nN.2b2b33，b1b2所以存在以b12为首项，以3为公比的等比数列bn.练习:（1）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S10100，S10010，求S110；（2）已知等比数列{an}中，a1a2a37，a1a2a38，求an。

变式题：等差数列an的前m项和Sm30,前2m项和S2m100,求前3m项和S3m [点评]：这里变式题起到巩固知识的作用，引导学生用多种思路来求解． 例2：已知数列{an}的前n项和为Sn.(Ⅰ)若数列{an}是等比数列,满足2a1式;(Ⅱ)是否存在等差数列{an},使对任意nN*都有anSn2n2(n1)?若存在,请求出所有满足条件的等差数列;若不存在,请说明理由.第2题答案为：

解:(Ⅰ)设等比数列

a33a2, a32是a2,a4的等差中项,求数列an的通项公an的首项为a1,公比为q，a1(2q2)3a1q,(1)2a1a33a2,依题意,有即32aa2(a2).432a1(qq)2a1q4.(2)由(1)得 q23q20,解得q1或q当q当q2.1时,不合题意舍;2时,代入(2)得a12,所以,an22n12n

(Ⅱ)假设存在满足条件的数列{an},设此数列的公差为d,则

[a1(n1)d][a1nn(n1)d]2n2(n1),得 2d22331n(a1dd2)n(a12a1dd2)2n22n对nN*恒成立, 2222d222,32则a1dd2，21223aadd0,1212解得d2,d2,或此时an2n,或an2n.a2,a2.112故存在等差数列{an},使对任意nN*都有anSn2n(n1).其中an2n, 或an2n

例

3、已知等差数列{an}的首项a11，公差d0，且第2项、第5项、第14项分别是等比数列{bn}的第2项、第3项、第4项．

(1)求数列{an}与{bn}的通项公式；

（2）设数列cn对nN均有cc1c2nan1成立，求c1c2c2015． b1b2bn11an.22备用题：已知数列{an}的前n项和Sn与通项an满足Sn(1)求数列{an}的通项公式；

(2)设fxlog3x,bnfa1fa2fan，Tn(3)若cnanfan，求cn的前n项和Un.111，求T2015； b1b2bn【教学处理】第（1）题，可由学生自行解答；第（2）题教师可引导学生进行观察和思考，教师点评时要侧重学生解题方法，注意运用函数的思想，注意对n1时情况的关注，培养学生严密的思维和严谨的学习态度。【引导分析与精讲建议】

（1）用方程思想求出首项和公差公比是解决问题的基础；

（2）对于等差等比综合问题学生会有困难，要引导学生抓住关键，注意等比数列证明方法；

（3）用函数的思想是解决第（2）题的关键所在，解题中要注意培养学生思维的严谨性，对表达中字母n的取值范围加以重视，注意对n1时情况的关注。

五、解题反思

解决等差（比）数列的问题时，通常考虑两类方法：①基本量法，即运用条件转化成关于a1和dq的方程；②运用等差（比）数列的性质（如下标和的性质、子数列的性质、和的性质）．

第五篇：数学高考复习名师精品教案：第02课时：第一章 集合与简易逻辑-集合的运算

数学高考复习名师精品教案

第02课时：

第一章 集合与简易逻辑—集合的运算

一．课题：集合的运算

二．教学目标：理解交集、并集、全集、补集的概念，掌握集合的运算性质，能利用数轴或文氏图进行集合的运算，进一步掌握集合问题的常规处理方法．

三．教学重点：交集、并集、补集的求法，集合语言、集合思想的运用． 四．教学过程：

（一）主要知识：

1．交集、并集、全集、补集的概念； 2．ABAAB，ABAAB； 3．CUACUBCU(AB)，CUACUBCU(AB)．

（二）主要方法：

1．求交集、并集、补集，要充分发挥数轴或文氏图的作用；

2．含参数的问题，要有讨论的意识，分类讨论时要防止在空集上出问题； 3．集合的化简是实施运算的前提，等价转化常是顺利解题的关键．

（三）例题分析：

例1．设全集Ux|0x10,xN，若AB3，ACUB1,5,7，CUACUB9，则A1,3,5,7，B2,3,4,6,8． 解法要点：利用文氏图．

例2．已知集合Ax|x33x22x0，Bx|x2axb0，若

ABx|0x2，ABx|x2，求实数a、b的值．

解：由x33x22x0得x(x1)(x2)0，∴2x1或x0，∴A(2,1)(0,)，又∵ABx|0x2，且ABx|x2，∴B[1,2]，∴1和2是方程x2axb0的根，a1由韦达定理得：12a，∴． 12bb2说明：区间的交、并、补问题，要重视数轴的运用．

例3．已知集合A{(x,y)|x2y0}，B{(x,y)|y10}，则AB； x2AB{(x,y)|(x2y)(y1)0}；（参见《高考A计划》考点2“智能训练”第6题）．

解法要点：作图．

注意：化简B{(x,y)|y1,x2}，(2,1)A．

例4．（《高考A计划》考点2“智能训练”第15题）已知集合

A{y|y2(a2a1)ya(a21)0}，B{y|y125xx,0x3}，22若AB，求实数a的取值范围．

解答见教师用书第9页．

例5．（《高考A计划》考点2“智能训练”第16题）已知集合

A(x,y)|x2mxy20,xR，B(x,y)|xy10,0x2，若AB，求实数m的取值范围．

分析：本题的几何背景是：抛物线yx2mx2与线段yx1(0x2)有公共点，求实数m的取值范围．

x2mxy20解法一：由得x2(m1)x10 ①

xy10∵AB，∴方程①在区间[0,2]上至少有一个实数解，首先，由(m1)240，解得：m3或m1． 设方程①的两个根为x1、x2，（1）当m3时，由x1x2(m1)0及x1x21知x1、x2都是负数，不合题意；（2）当m1时，由x1x2(m1)0及x1x210知x1、x2是互为倒数的两个正数，故x1、x2必有一个在区间[0,1]内，从而知方程①在区间[0,2]上至少有一个实数解，综上所述，实数m的取值范围为(,1]．

2yxmx2在[0,2]上有解，解法二：问题等价于方程组yx1即x2(m1)x10在[0,2]上有解，令f(x)x2(m1)x1，则由f(0)1知抛物线yf(x)过点(0,1)，∴抛物线yf(x)在[0,2]上与x轴有交点等价于f(2)222(m1)10 ①

(m1)2401m2或0 ② 22f(2)22(m1)10由①得m，由②得m1，∴实数m的取值范围为(,1]．

（四）巩固练习：

1．设全集为U，在下列条件中，是BA的充要条件的有（D）①ABA，②CUAB，③CUACUB，④ACUBU，(A)1个(B)2个(C)3个(D)4个

2．集合A{(x,y)|ya|x|}，B{(x,y)|yxa}，若AB为单元素集，实数a的取值范围为[1,1] ．

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