第一篇：圆的世界教案
《 圆的世界》
教学目标：
1、知识与技能目标： 运用基本形——圆形概括表现生活中的物象。
2、能力目标： 培养观察、想象力和用圆形进行造型的表现能力。
3、情意目标： 培养善于观察的习惯，并感受生活中圆形之美。教学重点：
通过回忆、联想，发现生活中能用圆形概括的物象，学习用圆形大胆的表现。教学难点：
如何借助圆形表现物象特征。教学过程：
一、游戏导入：
吹泡泡游戏：请一位同学玩吹泡泡游戏。大大小小的泡泡飞起来，同学们特别高兴。师问：我们可以用什么形状概括这些泡泡呢？ 真是圆的世界呀！板书：圆的世界
二、讲授新课：
师：看到这么多圆形你还能联想到生活中的什么？ 生：花朵、太阳、球类、车轮……
1、根据学生的发言，教师用彩色粉笔将黑板的圆形改变成大西瓜、气球、盘子……
2、请同学们说一说、想一想，图片中的物体是什么？哪些部分是球，可用圆形来概括？
3、师小结：大到星球、热气球，小到篮球，这些球状的物象可以用圆形来概括，其余的钟表、鼓面、花朵、自行车轮、风车等也可以用圆形概括。
4、小组讨论：学生之间互相说一说，生活中还有哪些物体可以用圆形概括。
三、教师示范：
在横竖不同的纸张上，演示一张完整的画面的创作方法。在过程中渗透选择的内容、画面安排及涂色方法。
选择的内容： 一幅画面不要画各种圆形物体，尽可能以一种形象为主，比如一堆圆形的小饼干、一些圆形各色纽扣、几个大小不同的球等等。可以巧妙地将几种类似的圆形物体概括到一个画面中。比如篮球、足球、排球等。
画面安排：低年级儿童画的画面尽可能饱满，在演示过程中渗透物体大小、在画面的位置、多少、多少，在变化中体现和谐的美感。
涂色方法：欣赏书中的学生作品，注意油画棒黑白色的运用要考虑先后顺序。
四、欣赏作品：
教师：都画了什么，用了哪些绘画材料，你受到了哪些启发？ 师引导：小朋友们表现生活中的向日葵花头、线描想象画盘子等等。
五、作业：
1、运用水彩笔、油画棒或其他材料表现生活中类似圆形的物体。
2、画面构图饱满，涂色均匀。
六、课后拓展：
请继续观察生活中圆形的物体，感受圆形的美吧！
第二篇：圆的世界教案
《圆的世界》
一、导入。
课件出示圆形。
二、由圆形联想事物。
1、师：这个圆形是位调皮的魔术师，你看，它来到了草地上，猜猜它会变成什么呢？
球、瓢虫、花（教师板贴图片）
2、依次出示天空、盘子、海洋、马路的场景，学生进行联想。（教师板贴图片）
三、生活中的圆形。
1、小朋友真聪明，想出了那么多圆形的东西，那，在我们身边有没有圆形？
2、我们再从图片中找一找。（课件生活物品中的圆）
三、表现圆形
1、根据板贴图片，总结绘画方法。（添加）
（1）圆内添加。
（2）圆内、外都添加。
2、教师示范。圆内添加——纽扣。圆内、圆外一起添加——蜗牛。
3、课堂小练习：用添加的方法，把纸上的圆形变一变。（音乐，一分钟）
四、画面指导：
师：小朋友画得真好，今天我们画的是圆的世界，光画一个圆够吗？
1、对比分析：
范画两张，哪张画面更好看，为什么？
圆形要有的大有的小、有的地方多有的地方少（遮挡、重叠）。（板书：大小
多少）
2、摆一摆：
老师这有6个大小不同的圆，请一个小朋友在纸上摆一摆，要摆的好看，谁来试一试。
大家一起摆，调整并粘贴在纸上。
3、对比欣赏：
看，沈老师还画了一张《圆的世界》
比一比：和刚才橙子的这张画面比起来，这张画面的内容选择有何不同？（一张内容统一，一张内容丰富，两种方法都可以）
4、学生作品欣赏。
五、艺术实践：
作业要求：利用大小不同的圆，画一幅有趣的画，也可以为自己的画取一个合适的名字。
六、拓展：
课件出示无锡大阿福。
说说中国喜欢圆形，代表团团圆圆，和和美美。
板书：
圆的世界 添加
大小
多少
第三篇：圆教案
圆知识点总结
一、本章知识点框架
圆心、半径基本元素：定义、弧、垂径定理对称、中心对称圆的认识对称性：旋转对称、轴 圆心角、弧、弦、弦心距与圆有关的角：圆心角、圆周角、弦切角
点与圆相交直线与圆相切—切线与切线长与圆有关的位置关系 相离圆与圆的位置关系积弧长和扇形、弓形的面圆中的有关计算 圆锥与圆锥的侧面展开图
二、本章重点 1.圆的定义
（1）线段OA绕着它的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的封闭曲线，叫做圆。
（2）圆是到定点的距离等于定长的点的集合。2.判定一个点P是否在圆O上，设圆O的半径为R，OP=d，则有
dr点P在圆O外； dr点P在圆O上； dr点P在圆O内。
西 北 首 家 教 育 综 合 体 · 精 心 打 造 中 国 教 育 第 一 品 牌
网址：www.xiexiebang.com
10楼
街南
14路学校长西武安灵台校区：灵台县国盛大厦校总区校:长：西武安县市新雁都滩会区
商含
业光
咨
号
楼
4-8嘉
翔层大
厦
216号
询
咨咨
电
询询
话
电电
话
：0933-3603331
话
029-34200707 ：029-88758405
3.与圆有关的角
（1）圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角。
圆心角的性质：圆心角的度数等于它所对弧的度数。
（2）圆周角：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角。圆周角的性质：
①圆周角等于它所对的弧的圆心角的一半；（图a）
②同弧或等弧所对圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等。（图b）
③90的圆周角所对的弦为直径；半圆或直径所对的圆周角为直角；（图c）④如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形； ⑤圆内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。
⑥在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优弧和劣弧分别相等。
图a 图b 图c 图d（3）弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角。弦切角定理：弦切角等于它夹的弧所对的圆周角。（图d）推论：如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等。弦切角的度数等于它夹的弧的度数的一半。4.圆的性质：
学校长西武安西 北 首 家 教 育 综 合 体 · 精 心 打 造 中 国 教 育 第 一 品 牌
网址：www.xiexiebang.com
10楼
街南
14路灵台校区：灵台县国盛大厦校总区校:长：西武安县市新雁都滩会区
商含
业光
咨
号
楼
4-8嘉
翔层大
厦
216号
询
咨咨
电
询询
话
电电
话
：0933-3603331
话
029-34200707 ：029-88758405
（1）旋转不变形：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；
圆是中心对称图形，对称中心是圆心。
在同圆或等圆中，两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距，这四组量中的任意一组相等，那么它所对应的其他各组分别相等。
（2）轴对称：圆是轴对称图形，经过圆心的任一直线都是它的对称轴。（3）垂径定理及推论：
①垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧；（图1）②平分弦（不是直径）的直径垂直与弦，并且平分弦所对的两条弧； ③弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条弧；
④平分一条弧所对的两条弧的直线过圆心，且垂直平分这条弦； ⑤平行弦夹的弧相等。（图2）
图1 图2 5.三角形的内心、外心、垂心、重心
（1）三角形的内心：是三角形三个角平分线的交点，它是三角形内切圆的圆心，在三角形内部，它到三角形三边的距离相等，通常用“I”表示。
（2）三角形的外心：是三角形三边中垂线的交点，它是三角形外接圆的圆心，锐角三角形外心在三角形内部，直角三角形的外心是斜边中点，钝角三角形外心在三角形外部，三角形外心到三角形三个顶点的距离相等，通常用O表示。
西 北 首 家 教 育 综 合 体 · 精 心 打 造 中 国 教 育 第 一 品 牌
网址：www.xiexiebang.com
10楼
街南
14路学校长西武安灵台校区：灵台县国盛大厦校总区校:长：西武安县市新雁都滩会区
商含
业光
咨
号
楼
4-8嘉
翔层大
厦
216号
询
咨咨
电
询询
话
电电
话
：0933-3603331
话
029-34200707 ：029-88758405
（3）三角形重心：是三角形三边中线的交点，在三角形内部；它到顶点的距离是到对边中点距离的2倍，通常用G表示。（4）垂心：是三角形三边高线的交点。6.切线的判定、性质（1）切线的判定：
①经过半径的外端并且垂直与这条半径的直线是圆的切线。②到圆心的距离d等于圆的半径的直线是圆的切线。（2）切线的性质：（图3）①圆的切线垂直与过切点的半径； ②经过圆心作圆的切线的垂线经过切点； ③经过切点作切线的垂线经过圆心。
（3）切线长：从圆外一点作圆的切线，这一点和切点之间的线段的长度叫做切线长。
（4）切线长定理：从圆外一点作圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。（图4）
图3 图4 7.圆内接四边形和外切四边形
西 北 首 家 教 育 综 合 体 · 精 心 打 造 中 国 教 育 第 一 品 牌
网址：www.xiexiebang.com
10楼
街南
14路学校长西武安灵台校区：灵台县国盛大厦校总区校:长：西武安县市新雁都滩会区
商含
业光
咨
号
楼
4-8嘉
翔层大
厦
216号
询
咨咨
电
询询
话
电电
话
：0933-3603331
话
029-34200707 ：029-88758405
（1）四个点都在圆上的四边形叫圆的内接四边形，圆内接四边形对角互补，外角等于内对角。
（2）各边都和圆相切的四边形叫做圆外切四边形，圆外切四边形对边之和相等。圆内正多边形的计算：（如下图所示）①正三角形
在圆O中，ABC是正三角形，有关计算在RtBOD中进行，OD:BD:OB1:3:2 ②正四边形
同理，四边形的有关计算在RtOAE中进行，OE:AE:OA1:1:2 ③正六边形
同理，六边形的有关计算在RtOAB中进行，AB:OB:OA1:3:2
8.直线和圆的位置关系：
设圆O半径为R，点O到直线I的距离为d，（1）直线和圆没有公共点直线和圆相离d>R；(图5)
（2）直线和圆O有唯一公共点直线I和圆O相切d=R；（图6）（3）直线I和圆O有两个公共点直线I和圆O相交d 学校长西武安西 北 首 家 教 育 综 合 体 · 精 心 打 造 中 国 教 育 第 一 品 牌 网址：www.xiexiebang.com 10楼 街南 14路灵台校区：灵台县国盛大厦校总区校:长：西武安县市新雁都滩会区 商含 业光 咨 号 楼 4-8嘉 翔层大 厦 216号 询 咨咨 电 询询 话 电电 话 ：0933-3603331 话 029-34200707 ：029-88758405 图5 图6 图7 9.圆与圆的位置关系： 设圆O1、圆O2的半径为R、r（R>r），圆心距O1O2d （1）圆O1和圆O2没有公共点，且每一个圆上的所以点在另一个圆的外部圆O1、圆O2外离d>R+r。（外离图8） （2）圆O1和圆O2没有公共点，且圆O2的每一个点都在圆O1内部圆O1、圆O2内含d （3）圆O1和圆O2有唯一公共点，除这个点外，每一圆上的点都在另一个圆外部圆O1、圆O2外切d=R+r。（外切图10） （4）圆O1和圆O2有唯一公共点，除这个点外，圆O2的每个点都在圆O1内部圆O1、圆O2内切d=R-r。（内切图11） （5）圆O1和圆O2有两个公共点圆O1、圆O2相交R-r 图8 图9 图10 西 北 首 家 教 育 综 合 体 · 精 心 打 造 中 国 教 育 第 一 品 牌 网址：www.xiexiebang.com 10楼 街南 14路学校长西武安灵台校区：灵台县国盛大厦校总区校:长：西武安县市新雁都滩会区 商含 业光 咨 号 楼 4-8嘉 翔层大 厦 216号 询 咨咨 电 询询 话 电电 话 ：0933-3603331 话 029-34200707 ：029-88758405 图11 图12 10.两圆的性质： （1）两个圆是一个轴对称图形，对称轴是两圆连心线； （2）相交两圆的连心线垂直平分公共弦，相切两圆的连心线经过切心。11.圆中有关计算: 2圆的面积公式：SR，周长C2R.圆心角为n、半径为R的弧长l圆心角为nnR.180nR21lR.、半径为R，弧长为l的扇形的面积S3602弓形的面积要转化为扇形和三角形的面积和、差来计算。 圆柱的侧面图是一个矩形，地面半径为R，母线长为1的圆柱的体积为nR2l，侧面积为2Rl，全面积为2Rl2R2。 圆锥的侧面积展开图为扇形，底面半径为R，母线长为l，高为h的圆锥的侧面积 222为Rl，全面积为RlR2，母线长、圆锥高、底面圆的半径之间有Rhl.例1.如图所示，已知AB为圆O直径，C为弧AB上一点，CDAB于点D，OCD的平分线CP交圆O与点P，试判断P点位置是否随C点位置改变而改变？ 学校长西武安西 北 首 家 教 育 综 合 体 · 精 心 打 造 中 国 教 育 第 一 品 牌 网址：www.xiexiebang.com 10楼 街南 14路灵台校区：灵台县国盛大厦校总区校:长：西武安县市新雁都滩会区 商含 业光 咨 号 楼 4-8嘉 翔层大 厦 216号 询 咨咨 电 询询 话 电电 话 ：0933-3603331 话 029-34200707 ：029-88758405 分析:要确定P点位置，我们可采用尝试的办法，在弧AB上再取几个符合条件的点试一试，观察P点位置的变化，然后从中观察规律。解: 连接OP，2P1P OC=OP21OP//CDPAPB CDABPD点为AB中点。 例2.下列命题正确的是（B）A.相等的圆周角所对的弧相等 B.等弧所对的弦相等 C.三点确定一个圆 D.平分弦的直径垂直于弦 例3.四边形ABCD内接与圆O，A:B:C1:2:3，求D.分析：园内接四边形对角之和相等，圆外切四边形对边之和相等。解：设Ax，B2x，C3x, 则DACB2x.x2x3x2x360，x45 D90 学校长西武安西 北 首 家 教 育 综 合 体 · 精 心 打 造 中 国 教 育 第 一 品 牌 网址：www.xiexiebang.com 10楼 街南 14路灵台校区：灵台县国盛大厦校总区校:长：西武安县市新雁都滩会区 商含 业光 咨 号 楼 4-8嘉 翔层大 厦 216号 询 咨咨 电 询询 话 电电 话 ：0933-3603331 话 029-34200707 ：029-88758405 练习：四边形ABCD外切于圆O，周长为20，且AB:BC:CD1:2:3,求AD 的长。 例4.为了测量一个圆柱形铁环的半径，某同学采用如下方法：将铁环平放在水平桌面上，用一个锐角为30的三角板和一个刻度尺，用如图所示的方法得到相关数据，进而可以求得铁环半径，若测得PA=5cm，则铁环的半径是______cm.分析：测量铁环半径的方法很多，本题主要考查切线长性质定理、切线性质、解直角三角形的知识进行合作解决，即过P点作直线OPPA，再用三角板画一个顶点为A、一边为AP、大小为60的角，这个角的另一边与OP的交点即为圆心O，在用三角函数知识求解。解:tanPAOOPOPPAtan605353cm PA例5.已知圆O1与圆O2相交于A、B两点，圆O1的半径是10，圆O2的半径是17，公共弦AB=16，求两圆的圆心距。 学校长西武安西 北 首 家 教 育 综 合 体 · 精 心 打 造 中 国 教 育 第 一 品 牌 网址：www.xiexiebang.com 10楼 街南 14路灵台校区：灵台县国盛大厦校总区校:长：西武安县市新雁都滩会区 商含 业光 咨 号 楼 4-8嘉 翔层大 厦 216号 询 咨咨 电 询询 话 电电 话 ：0933-3603331 话 029-34200707 ：029-88758405 图1 图2 解：分两种情况讨论： （1）若O1、O2位于AB的两侧如图1所示，设O1O2与AB交于C，连接O1A、O2A，则O1O2垂直平分AB，ACAB.又AB16AC8 在RtO1CA中，O1CO1A2AC26.在RtO2CA中，O2CO2A2AC215.故O1O2=O1C+O2C=21（2）若O1、O2位于AB的同侧如图2所示，设O1O2的延长线与AB交于C，连接O1A、O2A，CO2垂直平分AB，AC1AB.212又AB16AC8 在RtO1CA中，O1CO1A2AC26.在RtO2CA中，O2CO2A2AC215.故O1O2=O2C-O1C=9 三、相关定理： 1.相交弦定理 圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。（经过圆内一点引两条线，各弦被这点所分成的两段的积相等）如下图所示 即：弦AB、CD交于点P，PAPBPCPA（相交弦定理） 推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。 学校长西武安西 北 首 家 教 育 综 合 体 · 精 心 打 造 中 国 教 育 第 一 品 牌 网址：www.xiexiebang.com 10楼 街南 14路灵台校区：灵台县国盛大厦校总区校:长：西武安县市新雁都滩会区 商含 业光 咨 号 楼 4-8嘉 翔层大 厦 216号 询 咨咨 电 询询 话 电电 话 ：0933-3603331 话 029-34200707 ：029-88758405 即：CD垂直AB于点E，CE2DE2EAEB 例6.已知P为圆O内一点，OP=3cm，圆O半径为6cm，过P任作一弦AB，设AP=x，BP=y，则y关于x的函数关系式为______。 623227解：由相交弦定理得y，即y，其中3x9.xx2.切割线定理 推论：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。 即：若PA是切线，PB是割线，则PA2PCPB 例7.已知PT切圆O于T，PBA为割线，交OC于D，CT为直径，若OC=BD=4cm，AD=3cm,求PB长。 西 北 首 家 教 育 综 合 体 · 精 心 打 造 中 国 教 育 第 一 品 牌 网址：www.xiexiebang.com 10楼 街南 14路学校长西武安灵台校区：灵台县国盛大厦校总区校:长：西武安县市新雁都滩会区 商含 业光 咨 号 楼 4-8嘉 翔层大 厦 216号 询 咨咨 电 询询 话 电电 话 ：0933-3603331 话 029-34200707 ：029-88758405 解：设TD=x,BP=y,由相交弦定理得：ADDBCDTD 即34(8x)xx16，x22（舍） 由切割线定理，PT2APBP 由勾股定理得，PD2PT2TD2 PD2APBPTD2(y4)262y(y7) y20cm 四、辅助线总结 1.圆中常见的辅助线 （1）作半径，利用同圆或等圆的半径相等； （2）作弦心距，利用垂径定理进行证明或计算，或利用“圆心、弧、弦、弦心距”间的关系进行证明。 （3）作半径和弦心距，构造由“半径、半弦和弦心距”组成的直角三角形进行计算。 （4）作弦构造同弧或等弧所对的圆周角； （5）作弦、直径等构造直径所对的圆周角——直角；（6）遇到切线，作过切点的弦，构造弦切角；（7）遇到切线，作过切点的半径，构造直角； （8）欲证直线为圆的切线时，分两种情况：①若知道直线和圆有公共点时，常连接公共点和圆心证明直线垂直；②不知道直线和圆有公共点时，常过圆心向直线作垂线，证明垂线段的长等于圆的半径 （9）遇到三角形的外心常连接外心和三角形的各顶点； （10）遇到三角形的内心，常作：①内心到三边的垂线；②连接内心和三角形的顶点； 学校长西武安西 北 首 家 教 育 综 合 体 · 精 心 打 造 中 国 教 育 第 一 品 牌 网址：www.xiexiebang.com 10楼 街南 14路灵台校区：灵台县国盛大厦校总区校:长：西武安县市新雁都滩会区 商含 业光 咨 号 楼 4-8嘉 翔层大 厦 216号 询 咨咨 电 询询 话 电电 话 ：0933-3603331 话 029-34200707 ：029-88758405 （11）遇相交两圆，常作:①公共弦；②连心线；（12）遇两圆相切，常过切点作两圆的公切线； （13）求公切线时常过小圆圆心向大圆半径作垂线，将公切线平移成直角三角形的一条直角边。 2.圆中较特殊的辅助线 ① 过圆外一点或圆上一点作圆的切线； ②将割线、相交弦补充完整； ③作辅助圆。 例8.如图所示，AB是圆O的直径，弦CDAB,垂足为E，如果AB=10，CD=8，那么AE的长为（A） 分析：连接OC，由AB是圆O的直径，弦CDAB知CD=DE，设AE=x，则在RtCEO中，OC2OE2CE2, 即52(5x)242，则x12，x28（舍去） 例8图 例9图 例9.如图所示，CA为圆O的切线，切点为A，点B在圆O上，如果AOB等于（C） A.35 B.90 C.110 D.120 学校长西武安西 北 首 家 教 育 综 合 体 · 精 心 打 造 中 国 教 育 第 一 品 牌 网址：www.xiexiebang.com 10楼 街南 14路灵台校区：灵台县国盛大厦校总区校:长：西武安县市新雁都滩会区 商含 业光 咨 号 楼 4-8嘉 翔层大 厦 216号 询 咨咨 电 询询 话 电电 话 ：0933-3603331 话 029-34200707 ：029-88758405 分析：由弦切角与所夹弧所对的圆心角的关系可以知道 AOB2BAC255110 故选C 例10.如果圆柱的底面半径为4cm，母线长为5cm，那么侧面积等于（B）分析：圆柱的侧面展开图是矩形，这个矩形的一边长等于圆柱的高，即圆柱的母线长；另一边长是底面圆的周长，所以圆柱的侧面积等于底面圆的周长乘以圆柱的高，即24540(cm2) 例11.如图所示，在半径为4的圆O中，AB、CD是两条直径，M为OB的中点，延长CM交圆O于E，且EM>MC，连接OE、DE，DE15，求：EM的长。 解：由DC是圆O的直径，知DEEC，于是ECDC2DE27,设EM=x,则AMMBx(7x)，即x27x120，所以x13,x24，而EM>MC，即EM=4.学校长西武安西 北 首 家 教 育 综 合 体 · 精 心 打 造 中 国 教 育 第 一 品 牌 网址：www.xiexiebang.com 10楼 街南 14路灵台校区：灵台县国盛大厦校总区校:长：西武安县市新雁都滩会区 商含 业光 咨 号 楼 4-8嘉 翔层大 厦 216号 询 咨咨 电 询询 话 电电 话 ：0933-3603331 话 029-34200707 ：029-88758405 认识圆 教学目标： 1、知识与能力目标： 结合生活实际，通过观察、操作等活动认识圆，理解圆心、半径、直径的意义，掌握圆的特征，理解同一个圆里（或等圆）半径与直径的关系。 2、过程与方法目标： 结合具体的情境，体验数学与生活密切联系，能用圆的知识来解释生活中的简单现象。 3、情感态度与价值观目标： 通过观察、操作、想象等活动，培养学生自主探究的意识，进一步发展学生的空间观念。 教学重点： 在探索中发现圆的特征。教学难点： 理解同一个圆里（或等圆）半径与直径的关系，能利用圆的特征解决生活实际问题。 一、回顾已学过的平面图形 1、出示正方形、长方形、三角形等学过的平面图形。说出它们的特点。 2、出示圆 观察并比较和刚才的平面图形有什么区别？ 由直线构成的平面图形。由曲线围成的平面图形 3、找生活中的圆 你在生活中哪些地方见过圆？说一说。 4、你知道车轮为什么要做成圆形的？ 二、学习圆 1、找圆心 把圆对折几次，有什么发现。折痕相交于一点。（板书圆心：O）在圆里标出圆心。 2、认识直径 画出其中一条折痕，说一说。（经过圆心，两端都在圆上。）（板书直径：d）圆有多少条直径？ 量出它的一条直径的长度，再量另一条，比较长度。同一个圆中，所有直径长度相等。 比较不同大小的圆。（直径-----大小） 3、认识半径 （半径：r）（半径-----大小）直径和半径的关系 解决车轮为什么要做成圆形。 三、画圆 我们学习了圆，怎样来画一个圆。 1、画圆心 确定圆的位置 2、定半径 确定圆的大小 3、画圆 旋转一周 四、小结。 五、问题：怎么画一个大圆。 圆教案 一、本章知识框架 二、本章重点 1．圆的定义： (1)线段OA绕着它的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的封闭曲线，叫做圆． (2)圆是到定点的距离等于定长的点的集合． 2．判定一个点P是否在⊙O上． 设⊙O的半径为R，OP＝d，则有 d>r点P在⊙O 外； d＝r点P在⊙O 上； d (1)圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角． 圆心角的性质：圆心角的度数等于它所对的弧的度数． (2)圆周角：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角． 圆周角的性质： ①圆周角等于它所对的弧所对的圆心角的一半． ②同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等． ③90°的圆周角所对的弦为直径；半圆或直径所对的圆周角为直角． ④如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形． ⑤圆内接四边形的对角互补；外角等于它的内对角． (3)弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫弦切角． 弦切角的性质：弦切角等于它夹的弧所对的圆周角． 弦切角的度数等于它夹的弧的度数的一半． 4．圆的性质： (1)旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是中心对称图形，对称中心是圆心． 在同圆或等圆中，两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距，这四组量中的任意一组相等，那么它所对应的其他各组分别相等． (2)轴对称：圆是轴对称图形，经过圆心的任一直线都是它的对称轴． 垂径定理及推论： (1)垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． (2)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．(3)弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条弧． (4)平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心，且垂直平分此弦．(5)平行弦夹的弧相等． 5．三角形的内心、外心、重心、垂心 (1)三角形的内心：是三角形三个角平分线的交点，它是三角形内切圆的圆心，在三角形内部，它到三角形三边的距离相等，通常用“I”表示． (2)三角形的外心：是三角形三边中垂线的交点，它是三角形外接圆的圆心，锐角三角形外心在三角形内部，直角三角形的外心是斜边中点，钝角三角形外心在三角形外部，三角形外心到三角形三个顶点的距离相等，通常用O表示．(3)三角形重心：是三角形三边中线的交点，在三角形内部；它到顶点的距离是到对边中点距离的2倍，通常用G表示．(4)垂心：是三角形三边高线的交点． 6．切线的判定、性质：(1)切线的判定： ①经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． ②到圆心的距离d等于圆的半径的直线是圆的切线．(2)切线的性质： ①圆的切线垂直于过切点的半径． ②经过圆心作圆的切线的垂线经过切点． ③经过切点作切线的垂线经过圆心． (3)切线长：从圆外一点作圆的切线，这一点和切点之间的线段的长度叫做切线长． (4)切线长定理：从圆外一点作圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角． 7．圆内接四边形和外切四边形 (1)四个点都在圆上的四边形叫圆的内接四边形，圆内接四边形对角互补，外角等于内对角． (2)各边都和圆相切的四边形叫圆外切四边形，圆外切四边形对边之和相等． 8．直线和圆的位置关系： 设⊙O 半径为R，点O到直线l的距离为d． (1)直线和圆没有公共点直线和圆相离d>R． (2)直线和⊙O有唯一公共点直线l和⊙O相切d＝R．(3)直线l和⊙O 有两个公共点直线l和⊙O 相交d ． (1)外离(2)含(3)外切(4)d 内有唯一公共点，除这个点外，每个圆上的点都在另一个圆外部d＝R＋r． 的每个点都在内部有唯一公共点，除这个点外，内切d＝R－r． 相交(5)有两个公共点R－r 10．两圆的性质： (1)两个圆是一个轴对称图形，对称轴是两圆连心线． (2)相交两圆的连心线垂直平分公共弦，相切两圆的连心线经过切点． 11．圆中有关计算： 圆的面积公式：，周长C＝2πR． 圆心角为n°、半径为R的弧长． 圆心角为n°，半径为R，弧长为l的扇形的面积弓形的面积要转化为扇形和三角形的面积和、差来计算． ． 圆柱的侧面图是一个矩形，底面半径为R，母线长为l的圆柱的体积为面积为2πRl，全面积为 ．，侧圆锥的侧面展开图为扇形，底面半径为R，母线长为l，高为h的圆锥的侧面积为πRl，全面积为【经典例题精讲】 例1 如图23-2，已知AB为⊙O直径，C为上一点，CD⊥AB于D，∠OCD的平分线CP交⊙O于P，试判断P点位置是否随C点位置改变而改变？，母线长、圆锥高、底面圆的半径之间有 ． 分析：要确定P点位置，我们可采用尝试的办法，在上再取几个符合条件的点试一试，观察P点位置的变化，然后从中观察规律． 解： 连结OP，P点为中点． 小结：此题运用垂径定理进行推断． 例2 下列命题正确的是()A．相等的圆周角对的弧相等 B．等弧所对的弦相等 C．三点确定一个圆 D．平分弦的直径垂直于弦． 解： A．在同圆或等圆中相等的圆周角所对的劣弧相等，所以A不正确． B．等弧就是在同圆或等圆中能重合的弧，因此B正确． C．三个点只有不在同一直线上才能确定一个圆． D．平分弦(不是直径)的直径垂直于此弦． 故选B． 例3 四边形ABCD内接于⊙O，∠A︰∠B︰∠C＝1︰2︰3，求∠D． 分析：圆内接四边形对角之和相等，圆外切四边形对边之和相等． 解： 设∠A＝x，∠B＝2x，∠C＝3x，则∠D＝∠A＋∠C－∠B＝2x． x＋2x＋3x＋2x＝360°，x＝45°． ∴∠D＝90°． 小结：此题可变形为：四边形ABCD外切于⊙O，周长为20，且AB︰BC︰CD＝1︰2︰3，求AD的长． 例4 0 分析：测量铁环半径的方法很多，本题主要考查切线长性质定理、切线性质、解直角三角形的知识进行合作解决，即过P点作直线OP⊥PA，再用三角板画一个顶点为A、一边为AP、大小为60°的角，这个角的另一边与OP的交点即为圆心O，再用三角函数知识求解． 解： ． 小结：应用圆的知识解决实际问题，应将实际问题变成数学问题，建立数学模型． 例5 已知 相交于A、B两点，的半径是10，的半径是17，公共弦AB＝16，求两圆的圆心距． 解：分两种情况讨论：(1)若位于AB的两侧(如图23-8)，设 与AB交于C，连结又∵AB＝16 ∴AC＝8． 在在故(2)若，则垂直平分AB，∴ ． 中，中，． ． ． 位于AB的同侧(如图23-9)，设 ． 的延长线与AB交于C，连结∵垂直平分AB，∴． 又∵AB＝16，∴AC＝8． 在在故中，中，． ． ． 注意：在圆中若要解两不等平行弦的距离、两圆相切、两圆相离、一个点到圆上各点的最大距离和最小距离、相交两圆圆心距等问题时，要注意双解或多解问题． 三、相关定理： 1.相交弦定理 圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。（经过圆内一点引两条线，各弦被这点所分成的两段的积相等） 说明：几何语言： 若弦AB、CD交于点P，则PA·PB=PC·PD（相交弦定理） 例1． 已知P为⊙O内一点，P任作一弦AB，设为。，⊙O半径为，过，则关于的函数关系式解：由相交弦定理得，即，其中 2.切割线定理 推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项 说明：几何语言：若AB是直径，CD垂直AB于点P，则PC^2=PA·PB 例2． 已知PT切⊙O于T，PBA为割线，交OC于D，CT为直径，若OC=BD=4cm，AD=3cm，求PB长。 解：设TD=，BP=，由相交弦定理得：即由切割线定理，理，∴ ∴，（舍）由勾股定∴ 四、辅助线总结 1.圆中常见的辅助线 1）．作半径，利用同圆或等圆的半径相等． 2）．作弦心距，利用垂径定理进行证明或计算，或利用“圆心、弧、弦、弦心距”间的关系进行证明． 3）．作半径和弦心距，构造由“半径、半弦和弦心距”组成的直角三角形进行计算． 4）．作弦构造同弧或等弧所对的圆周角． 5)．作弦、直径等构造直径所对的圆周角——直角． 6)．遇到切线，作过切点的弦，构造弦切角． 7)．遇到切线，作过切点的半径，构造直角． 8)．欲证直线为圆的切线时，分两种情况：(1)若知道直线和圆有公共点时，常连结公共点和圆心证明直线垂直；(2)不知道直线和圆有公共点时，常过圆心向直线作垂线，证明垂线段的长等于圆的半径． 9)．遇到三角形的外心常连结外心和三角形的各顶点． 10)．遇到三角形的内心，常作：(1)内心到三边的垂线；(2)连结内心和三角形的顶点． 11)．遇相交两圆，常作：(1)公共弦；(2)连心线． 12)．遇两圆相切，常过切点作两圆的公切线． 13)．求公切线时常过小圆圆心向大圆半径作垂线，将公切线平移成直角三角形的一条直角边． 2、圆中较特殊的辅助线 1)．过圆外一点或圆上一点作圆的切线． 2)．将割线、相交弦补充完整． 3)．作辅助圆． 例1如图23-10，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，如果AB＝10，CD＝8，那么AE的长为() A．2 B．3 C．4 D．5 分析：连结OC，由AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB知CD＝DE．设AE＝x，则在Rt△CEO中，则，(舍去)．，即，答案：A． 例2如图23-11，CA为⊙O的切线，切点为A，点B在⊙O上，如果∠CAB＝55°，那么∠AOB等于() A．35° B．90° C．110° D．120° 分析：由弦切角与所夹弧所对的圆心角的关系可以知道∠AOB＝2∠BAC＝2×55°＝110°．答案：C． 例3 如果圆柱的底面半径为4cm，母线长为5cm，那么侧面积等于()A． B． C． D． 分析：圆柱的侧面展开图是矩形，这个矩形的一边长等于圆柱的高，即圆柱的母线长；另一边长是底面圆的周长，所以圆柱的侧面积等于底面圆的周长乘以圆柱的高，即 ．答案：B． 例4 如图23-12，在半径为4的⊙O中，AB、CD是两条直径，M为OB的中点，延长CM交⊙O于E，且EM>MC，连结OE、DE，． 求：EM的长． 简析：(1)由DC是⊙O的直径，知DE⊥EC，于是．设EM＝x，则AM·MB＝x(7－x)，即．所以 ．而EM>MC，即EM＝4． 例5如图23-13，AB是⊙O的直径，PB切⊙O于点B，PA交⊙O于点C，PF分别交AB、BC于E、D，交⊙O于F、G，且BE、BD恰好是关于x的方程 (其中m为实数)的两根． (1)求证：BE＝BD；(2)若，求∠A的度数． 简析：(1)由BE、BD是关于x的方程的两根，得，则m＝－2．所以，原方程为(2)由相交弦定理，得 ．得，即 ．故BE＝BD． ．而PB切⊙O于点B，AB为⊙O的直径，得∠ABP＝∠ACB＝90°．又易证∠BPD＝∠APE，所以△PBD∽△PAE，△PDC∽△PEB，则，所以，所以 ．在Rt△ACB中，故∠A＝60°．第四篇：圆教案
第五篇：圆 教案
点击咨询 