1．1回归分析的基本思想及其初步应用 教学设计 教案

第一篇：1．1回归分析的基本思想及其初步应用 教学设计 教案

教学准备

1.教学目标

1、能根据散点分布特点，建立不同的回归模型；了解有些非线性模型通过转化可以转化为线性回归模型

2、了解回归模型的选择，体会不同模型拟合数据的效果

2.教学重点/难点

教学重点：通过探究使学生体会有些非线性模型通过等量变换、对数变换可以转化为线性回归模型

教学难点：如何启发学生“对变量作适当的变换”（等量变换、对数变换），变非线性为线性，建立线性回归模型

3.教学用具

多媒体

4.标签

教学过程

一、复习引入

【师】问题1：你能回忆一下建立回归模型的基本步骤？

【师】提出问题，引导学生回忆建立回归模型的基本步骤（选变量、画散点图、选模型、估计参数、分析与预测）

【生】回忆、叙述建立回归模型的基本步骤 【板演/PPT】

【师】问题2.能刻画回归模型效果的类别有哪些？它们各有什么特点？ 【生】回忆思考 【板演/PPT】 刻画回归效果的方式（1）残差图法

作图时纵坐标为残差，横坐标可以选为的样本编号，或身高数据，或体重的估计值等，这样作出的图形称为残差图．在残差图中，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模型比较合适，这样的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精度越高．（2）残差平方和法 残差平方和，残差平方和越小，模型拟合效果越好．

（3）利用R2刻画回归效果

；R2表示解释变量对于预报变量变化的贡献率．R2越接近于1，表示回归的效果越好.二、新知介绍

（1）回归模型选择比较不同模型拟合效果

【师】我国是世界产棉大国，种植棉花是我国很多地区农民的主要经济来源，棉花种植中经常会遇到一种虫害，就是红铃虫，为有效采取防止方法，有必要对红铃虫的产卵数和温度之间的关系进行研究，如图我们搜集了红铃虫的产卵数y和温度x之间的7组观测数据如下表： 【板书/PPT】

【师】 试着建立y与x之间的回归方程

【生】类比前面所学过的建立线性回归方程分步骤动手实施

【师】 教师巡视指导 【板书/PPT】 解:1)作散点图

2）通过计算器求得线性回归方程：

3）进行回归分析计算：

即这个线性回归模型中温度解释了74.64%产卵数的变化

【师】几何数据发现，我们所建立的回归模型相关指数约为74.64%，即解释变量仅能解释预报变量74.64%的变化，所占比例偏小，因此用此模型进行预报会存在较大误差。从散点图上也可以看出，样本点并没有很好的集中在一条直线附近，那么还可以通过什么样的回归模型进行预报呢？ 【生】思考、交流，选择回归模型

【生】学生总结方案：方案一：建立二次函数模型y=c1x2+c2 方案二：建立指数函数模型

【师】那么，如何求出所建立的回归模型的系数呢

【生】思考、交流，观察模型，探究变换的方法并发表自己的意见。最后给出具体的方法。【板书/PPT】

令t=x2，建立与之间的线性回归方程

所以y=0.367t-202.543 因为t=x2，即y关于x的二次回归方程为y=0.367t2-202.543。

【师】如果选用指数型模型，是否也可以转化为线性模型呢？如何转化？ 【生】思考、交流，教师启发学生“幂指数中的自变量如何转化为自变量的一次幂” 【板书/PPT】

建立数据转换表

根据数据得线性回归方程转化为非线性回归模型

计算相关指数R2≈0.985这个回归模型中温度解释了98.5%产卵数的变化 【师】 引导学生进行不同模型的比较，体会“虽然任意两个变量的观测数据都可以用线性回归模型来拟合，但不能保证这种模型对数据得拟合效果最好，为更好地刻画两个变量之间的关系，要根据观测数据的特点来选择回归模型” 【板书/PPT】

可以利用直观（散点图和残差图）、相关指数来确定哪一个模型的拟合效果更好。（2）运用新知，立体讲解

【师】根据刚才的例题，我们看看下面的例题 【板书/PPT】

例2某地区不同身高的未成年男性的体重平均值如下表：

试建立y与x之间的回归方程． 【师】引导学生学生动手计算 【生】学生交流计算 【板书/PPT】

解 根据上表中数据画出散点图如图所示．

由图看出，样本点分布在某条指数函数曲线y＝c1e 的周围，于是令z＝ln y.画出散点图如图所示．

由表中数据可得z与x之间的线性回归方程：

z＝0.693＋0.020x，则有y＝e0.693＋0.020x.【板书/PPT】

例3 为了研究某种细菌随时间x变化时，繁殖个数y的变化，收集数据如下：

（1）用天数x作解释变量，繁殖个数y作预报变量，作出这些数据的散点图；（2）描述解释变量x与预报变量y之间的关系；（3）计算相关指数．

【师】给学生足够时间完成练习【生】交流完成 【学生表达/PPT】

解①所作散点图如图所示．

②由散点图看出样本点分布在一条指数函数y＝c1e 的周围，于是令z＝ln y，则

由计算器得：＝0.69x＋1.115，则有＝e0.69x＋1.115.③

即解释变量天数对预报变量繁殖细菌个数解释了99.98%.随堂练习

【师】下面针对本节课所学，做几道练习题 【板书/PPT】

1．散点图在回归分析中的作用是(D)A．查找个体个数

B．比较个体数据大小关系 C．探究个体分类

D．粗略判断变量是否相关 2．变量x，y的散点图如图所示，那么x，y之间的样本相关系数r最接近的值为(C)

A．1 B．－0.5

C．0 D．0.5 3．变量x与y之间的回归方程表示(D)A．x与y之间的函数关系 B．x与y之间的不确定性关系 C．x与y之间的真实关系形式

D．x与y之间的真实关系达到最大限度的吻合

4．非线性回归分析的解题思路是通过变量置换转化为线性回归．

课堂小结 引导学生总结本节课所学

1.建立回归模型及残差图分析的基本步骤；非线性模型向线性模型的转换方法。2.不同模型拟合效果的比较方法可利用相关指数和残差分析比较 3.数形结合思想，转化的数学思想。

板书

第二篇：高中数学《回归分析的基本思想及其初步应用》教案1 新人教A版选修1-2

1、1回归分析的基本思想及其初步应用。

教学目标：通过典型案例，掌握回归分析的基本步骤。

教学重点：熟练掌握回归分析的步骤。

教学难点：求回归系数 a, b

教学方法：讲练。

教学过程：

一、复习引入：回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法。

二、新课:

1、回归分析的基本步骤：(1)画出两个变量的散点图。(2)求回归直线方程。

(3)用回归直线方程进行预报。

2、举例：例

1、题（略）用小黑板给出。

解：(1)作散点图，由于问题是根据身高预报体重，因此要求身高与体重的回归直线方程，取身高为自变量x。体重为因变量 y，作散点图（如图）

（2）列表求 ,ˆ0.849 b

ˆ85.712a

回归直线方程y=0.849x-85.712

对于身高172cm 女大学生，由回归方程可以预报体重为y=0.849*172-85.712=60.316(kg)预测身高为172cm 的女大学生的体重为约60。316kg

问题：身高为172cm 的女大学生的体重一定是60。316kg吗?（留下一节课学习）

例2：（提示后做练习、作业）

研究某灌溉渠道水的流速y与水深x之间的关系，测得一组数据如下：

水深xm 1.40 1.50 1.60 1.70 1.80 1.90 2.00 2.10 流速1.70 1.79 1.88 1.95 2.03 2.10 2.16 2.21 ym/s

（1）求y对x的回归直线方程；

（2）预测水深为1。95m 时水的流速是多少？

解：（略）

三、小结

四、作业： 例

2、预习。

用心爱心专心 1

第三篇：高中数学第一章统计案例1.1回归分析的基本思想及初步应用教学反思

回归分析的基本思想及初步应用

本单元内容是普通高中课程标准实验教科书《数学（选修1-2）》第一章统计案例1.1回归分析的基本思想及其初步应用。考虑到在《数学（必修3）》的“统计”一章中，学生已经学习了两个变量之间的相关关系，本单元在此基础上进一步介绍回归模型的基本思想及其初步应用，因此根据教材，我在教学中设计如下主要流程进行：

一、让学生回忆建立线性回归模型的基本步骤。

二、写出教材第二页的例1，和学生一起手工制作身高与体重的散点图，并引导学生讨论后猜想回归模型y=^bx+^a。

三、介绍参数b、a及相关系数r的计算公式，并指导学生运用计算器进行计算。

四、介绍残差ê的计算公式并指导学生运用计算器计算、画残差图进行模型拟合效果分析。

五、引导学生探究如果不是线性回归模型如何估计参数，讲解教材中的例2并练习。

六、指导学生作业。

具体实施下来，在教师的指导下教学目标完成了，但通过课后的教学反馈，发现教学效果并不理想，学生仅限于记住了公式，会套用公式计算，极力寻找标准答案，并没有真正达到学以致用的目的。一直以来，我们教师的任务好像只是教学，只要按照教科书、教学参考资料、考试试卷和标准答案去讲课就行了。教师是根据教学大纲和教材上规定的内容严格进行教学的，教师充当的是一个课程执行者而不是积极参与者。教师被动地、忠实地执行教学大纲，学生被动地、机械地接受知识。因此，无论对教师还是学生来说，这种教学形式，关注的是知识本身的输出输入，抱着教材是权威的观念，完成教材内容的学习就算达到教学目标，其他的则很少关注。

经过与同组教师探讨、与学生交流后，我有如下新的认识： 存在的问题：

1.本单元的内容属于新增添知识，因此，对于教学重点与难点理解不透，教法选择不适当，效果不明显。

2.教学观念没有彻底转变，还只是按照教科书、教学参考资料、标准答案去讲课，没有创造性的使用新教材。

在新课程中，从其基本理念、课程标准的设计到课程结构、内容以及课程的具体实施与评价，都以学生的全面可持续发展和个性特征为出发点，关注学生的学习过程与方法以及伴随这一过程而产生的积极情感体验和正确的价值观，关注学生的亲自参与生动的思维活动、实践与创新过程，要求学生学习“生活化的知识”、“有生命力的知识”，让学生懂得学以致用。

3.对学生的学习方法上仅限于单纯的记忆和机械的套用公式计算，没有真正关注学生的学习方法，如让学生经历数据处理的过程，以达到学以致用的目的。

4.没有形成一个完善的学习评价体系，不能对学生的学习过程作以科学的评价。例如：教材中的例2，选择指数回归模型或是二次回归模型都可以，但存在一个模型模拟效果好坏的问题，只要学生掌握如何建立回归模型，就可以不断修改模型，以使其达到最佳的模拟效果。

5.没有条件使用配套的硬件设施，如学校微机室计算机上无统计软件，无法给学生进行必要的教学演示，导致教学效果不显著。

解决方法：

1.应该鼓励学生经历数据处理的过程，培养学生对数据的直观感觉，认识统计方法的特点（如统计推断可能犯错误，估计结果的随即性），体会统计方法应用的广泛性。尽量给学生提供一定的实践活动机会，选择一个案例，要求学生亲自实践。例如：让学生上网查询从1994年到2004年中国的国内生产总值（GDP）的数据并完成以下四个问题：（1）利用电脑做GDP和年份的散点图，根据散点图猜想它们之间的关系是什么？（2）建立年份为解释变量，GDP为预报变量的回归模型，并用计算器计算相关系数、残差？（3）根据你得到的模型，预报2005年的GDP，并查阅资料，看看你的预报与实际GDP是否一样，并给予解释？（4）你认为这个模型能较好地刻画GDP和年份的关系吗？若不能的话，如何修改？通过本例可使学生根据模型对数据的拟合效果好坏，更好地选择回归模型，来更好地刻画两个变量之间的相关关系。

2.应鼓励学生使用计算器、计算机等现代技术手段来处理数据，避免学生单纯记忆和机械套用公式进行计算。

3.应创造条件，运用统计软件在电脑上画数据的散点图和残差图，便于学生选择函数模型并进行模型拟合效果分析。

4.本单元是新增添内容，无论在知识内容上还是教法上都比较新颖，需要教师之间加强教学研究，更新观念，使本单元知识能真正得以实施，而不是形式上的应付。

第四篇：1．2 独立性检验的基本思想及其初步应用 教学设计 教案

教学准备

1.教学目标

1、结合生活中的实例了解分类变量的概念，了解列联表和等高条形图的特点

2、通过实例，让学生了解独立性性检验的基本思想及其初步应用

3、理解独立性检验的基本思想，会根据K2的观测值得大小判断两个分类变量有关的可信度

2.教学重点/难点

教学重点：独立性检验基本思想的初步应用，利用独立性检验的基本思想解决实际问题

教学难点：对独立性检验思想的理解

3.教学用具

多媒体

4.标签

教学过程

一、复习引入

【师】在现实生活中，会遇到各种各样的变量，如果要研究它们之间的关系，观察下面两组变量，分析在取不同的值时表示的个体有何差异？ 【板演/PPT】

问题1：

（1）体重、身高、学生的学习成绩

（2）性别、国籍、宗教信仰、是否吸烟、是否患病 【师】引导学生交流思想统一认识后回答

【生】1中每个变量取不同“值”时，表示不同个体，2中变量每取不同“值”表示个体所属不同的类别 【板演/PPT】

变量：分类变量、定量变量

【师】在日常生活中存在着大量分类变量，如何判断连个分类变量是否有关系也是我们需要解决的一个重要问题。【板演/PPT】

问题2在日常生活中，我们常常关心分类变量之间是否有关系：

例如，吸烟是否与患肺癌有关系？性别是否对于喜欢数学课程有影响？等等 【师】我们在研究两个定量变量之间的关系时，运用回归分析的基本思想进行回归分析，那么对于分类变量之间的关系该如何分析呢？

本节课就是要学习独立性检验思想在分析分类变量之间关系中的应用。【板演/PPT】

引例1．为调查吸烟是否对肺癌有影响，某肿瘤研究所随机地调查了9965人，得到如下结果：

那么吸烟是否对患肺癌有影响？估计吸烟者与不吸烟者患病的可能性差异？

二、新知介绍

[1]结合具体实例，引入列联表概念 【板演/PPT】

类似于上面的表格，我们称分类变量的汇总统计表为列联表，一般我们只研究两个分类变量只取两个值，这样的列联表称作2×2列联表.【师】由上述表格能否得出患病与吸烟有关？把握有多大？ 【生】引导学生根据数据进行分析 1.利用频率分布表判断;

由患肺癌在吸烟者与不吸烟者中的频率差异可粗略估计吸烟对患肺癌有影响;2.利用统计图直观判断

（1）通过三维柱形图判断两个分类变量是否有关系：

由图中能清晰看出各个频数的相对大小, 由患肺癌在吸烟者与不吸烟者中的相对频数差异可粗略估计吸烟对患肺癌有影响;（2）通过二维条形图判断两个分类变量是否有关系： 作出患肺癌在吸烟者与不吸烟者中的的频率条形图

由图中可看出,吸烟者中患肺癌的比例高于不吸烟者中患肺癌的比例, 可估计吸烟对患肺癌有影响.【师】教师引导:上面通过分析数据和图形,得到的直观印象是吸烟和患肺癌有关,那么事实是否如此呢?并且能够以多大的把握认为”吸烟与患肺癌有关”?能否用统计学观点进一步考察这个问题.【生】积极思考 【板书/PPT】

为研究的一般性,在列联表中用字母代替数字

【师】若假设吸烟与患肺癌两个变量没有关系,则应得到什么结论? 【生】在吸烟者中患肺癌的比例约等于不吸烟者中患肺癌的比例,即 a/a+b≈c/c+d

a(c+d)≈ c(a+b)

ad-bc ≈ 0 【师】若计算ad –bc的结果,由此可以初步得出什么结论? 【生】︱ad –bc︱越小,说明吸烟与患肺癌之间关系越弱;︱ad–bc︱越大,说明吸烟与患肺癌之间关系越强.【师】为使不同的样本容量的数据有统一的评判标准,可构造一个随机变量

其中n=a+b+c+d为样本容量

若假设成立，k2应该很小;若，k2很大,说明假设不成立,即两变量有关系.利用上述公式，可计算出问题中的k2的观测值为

同学们肯定会提出同一问题：那么这个值是不是很大？怎样才算很大？ 【板书/PPT】在假设成立的情况下，统计学家估算出如下的概率：

现在的观测值56.632远大于6.635，即假设成立的概率为0.01，是小概率事件，也就是假设不合理的程度约为99%，因此可以下结论：有99%的把握认为“吸烟与患肺癌有关系”。这就是两个分类变量独立性检验的基本思想，可以表述为：当很大时，就认为两个变量有关系；否则就认为没有充分的证据显示两个变量有关系。

【师】以上就是独立性检验的基本思想？同学们能否总结什么是独立性检验？ 【生】学生思考、交流、总结 【板书/PPT】

独立性检验的基本思想类似于数学中的反证法，要确认两个分类变量有关系这一结论成立的可信程度，首先假设该结论不成立，即假设结论“两个分类变量没有关系”成立，在该假设下用我们构造的随机变量K2应该很小，如果由观测数据计算得到的K2的观测值很大，则在一定程度上说明假设不合理，根据随机变量K2的含义，可以通过P(K2≥6.635)≈0.01来评价假设不合理的程度，由实际计算出K2>6.635，说明假设不合理的程度约为99%，即两个分类变量有关系这一结论成立的可信程度为99%.[2] 新知应用

【师】为了深刻的理解独立性检验思想和在生活中的应用，我们来看下列一个问题

【板书/PPT】

例2在某医院，因为患心脏病而住院的665名男性病人中，有214人秃顶；而另外772名不是因为患心脏病而住院的男性病人中有175人秃顶。分别利用图形和独立性检验方法判断秃顶与患心脏病是否有关系？你所得的结论在什么范围内有效？

【师】 能否根据引例中的检验方式进行相关分析 【生】学生交流分析过程 【板书/PPT】

解：根据题中所给数据列出二联表

相应的等高条形图如图所示：

比较来说，秃顶的病人中患心脏病的比例大一些，可以在某种程度上认为“秃顶与患心脏病有关”．

【师】 根据数据有多大把握判断秃顶与患心脏病是否有关系？ 【生】在假设的前提下，99％的把握认为“秃顶与患心脏病有关”.[3] 拓展迁移

【师】下面我们看这样具体实例 【板书/PPT】

跟踪训练 为了探究吸烟习惯与患慢性气管炎是否有关，调查了339名50岁以上的人，获数据如下：，所以有

吸烟习惯与患慢性气管炎是否相关？试用独立性检验的思想说明理由． 【生】结合例题进行计算，体会独立性检验思想 【学生表达/PPT】

解：根据列联表的数据得到K2的观测值：

所以，在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“吸烟习惯与患慢性气管炎有关”.（1）利用随机变量K2进行独立性检验的步骤： ①根据实际问题需要的可信度α确定临界值k0； ②根据给出数据计算得出随机变量K2的观测值k；

③如果k≥k0，就认为在犯错误的概率不超过α的前提下，认为两变量有关系；否则，认为两个分类变量没有关系．

（2）独立性检验能精确判断可靠程度，而等高条形图的优点是直观，但只可以粗略判断两个分类变量是否有关系，一般在通过图表判断后还需要用独立性检验来确认．

【师】引导学生共同总结独立性检验的基本步骤 【生】交流总结，组织语言 【学生表达/PPT】

在实际应用中，要在获取样本数据之前通过下表确定临界值：

[4]随堂练习【师】下面针对本节课所学，做几道练习题 【板书/PPT】

答：C

答：D

课堂小结 1．列联表与等高条形图

列联表由两个分类变量之间频率大小差异说明这两个变量之间是否有关联关系，而利用等高条形图能形象直观地反映它们之间的差异，进而推断它们之间是否具有关联关系．

2．对独立性检验思想的理解

独立性检验的基本思想类似于数学中的反证法．先假设“两个分类变量没有关系”成立，计算随机变量K2的值，如果K2值很大，说明假设不合理．K2越大，两个分类变量有关系的可能性越大．

板书

第五篇：应用回归分析证明题及答案

应用回归分析证明题及答案

n

n

一.证明残差满足的约束条件：ei0，xiei0。

i1

i1

证明：由偏导方程即得该结论：

Q2n

ˆ

0ˆ0

(yi1

i0ˆ1xi)0Q2n(yˆˆx)x11ˆ1

i1

i01ii0

证毕.二.证明平方和分解式：SSTSSRSSE。证明：

nSST(y2

n

(yˆ2i)iy

iyˆi)i1i1n

ˆ2n

n

(y

i)i1

(yiyˆi)22i1

(yiyˆi)(yˆi)i1

上式第三项2neiyˆnn

iei2ei(ˆ0ˆ1xi)0i1i1

i1n

2ˆ0eiˆn

1xei1iii1

0

nˆn

即SST(y

2i)i1

(yiyˆi)i1

SSRSSE

证毕.三.证明三种检验的关系：

（1）SSR/1ˆ2L；(2)F=

SSE/(n2)=1xxˆ2=t2证明：由于

r

L

ˆ

SSR 2r2SST,

ˆ2e2

i

n2



SSTSSR

n2

所以

t;FSSR/1

SSE/(n2)ˆ21Lxx

ˆ2.证毕.)1(x2四．证明：Var(ei)i12

。

n(x)2

i证明：由于

eiyiyˆiyi(ˆ0ˆ1xi)yi



ˆ1

(xi

)

y1ni(xi)yinyi(xi

)

i1Lxx

于是

Var(e1ni)Varyinyi(xi)yi(xi

)

i1Lxx

Vary1n

(xi)yiin2VaryiVar(xi)

i1Lxx

2Covy1n

(xi)yii,nyii12Covyi,L(xi)

xx

2Cov1n(xi)yi(xnyi,i1Li

)xx

2

1(x22i)2n(xi)2212L22

xxnLxx

11n

(xi)2L2

xx证毕.五．证明：在一元回归中，Cov(ˆ0,ˆ1)L2。xx

证明：

Cov(ˆ1n(xi)yi0,ˆ1)Cov(xi)yinyii1L,xxLxx

Covn1(xni)(xyi)i,yii1nLxxi1Lxx

Covnn1(xi)(xi)Lyi,yi

i1nxxi1Lxx



n

1(xi)(xi)2

i1n

L

Lxxxx2

Lxx

证毕.六．证明：

ˆ21

np1

SSE 是误差项方差2的无偏估计。

证明：由于D(e1(xi)2i)1n(xi)22



而E(e2

i)D(ie)

E(ie2)

Di(e)

所以

E(ˆ2)En

1np1SSE 1

np1

E(e2i)i1

nn

1np1D(e1i)i1np1(1hii)2 i1

1np1

(np1)22证毕.七．证明：E(βˆ)β；D(βˆ)2(XX)1。证明：

E(β

ˆ)E(XX)1Xy(XX)1XEy(XX)1XEXβε

(XX)1

XXβ

β

ˆ)Covβˆ,βˆCov(XX)1Xy,(XX)1XyD(β

(XX)1XCovy,yX(XX)1(XX)1X2IX(XX)12(XX)1



证毕.八．证明：在多元线性回归中，假设εN(0,2In)，则随机向量yN(Xβ,2In)。九．证明：当yN(Xβ,2In)时，则：

ˆN(β,2(XX)1)；（1）β（2）SSE/2(np1)。证明：

ˆ(XX)1Xy，X是固定的设计矩阵，因此，βˆ是y的线性变换。（1）因为β

ˆ服从正态分布，且 又当εN(0,2In)时，有随机向量yN(Xβ,2In)，所以β

ˆ)β,D(βˆ)2(XX)1，即有βˆN(β,2(XX)1)。E(β（2）：由于

ˆ)(y-yˆ)SSEee(y-y

(I-H)y(I-H)y

y(I-H)yyNy

(Xβε)N(Xβε)

NX0

εNε

借助于定理：设XN(0,In)，A为nn 对称阵，秩为r，则当A满足：A2A，二次型XA2X2r，只需证明：rk(N)np1即可。因为N是幂等阵，所以有rk(N)tr(N)，故

rk(N)trInX(XX)1X

ntrX(XX)1Xntr(XX)XXnp1

1

证毕.ˆ与残差向量e不相关，即十．证明：在多元线性回归中，最小二乘估计βˆ,e)0。Cov(β证明：

ˆ,e)Cov(XX)1Xy,(IH)yCov(β

(XX)1XCovy,y(IH)(XX)1X2I(IH)(XX)1X2I(IX(XX)1X)0

证毕.ˆ)，其中ˆ十一．证明：DW2(1



ee

n

tt1。

证明：由于

DW

(ee

t

t2

n

t1)

e

t2

n



ee

2tt2

t2

nn

2t1

2etet1

t22t

n

2t

e

t2

n

ˆ如果认为ee，则有

t

2t1

t2

t2

nn

ee

t2n

n

tt1，所以

e

t2

2t

n



eett1

ˆ).2(1DW21t2n

et2t2

证毕.十二.试证明：在二元线性回归模型yi01xi12xi2i中，当x1和x2 相互独立时，对回归系数1 和2的OLS估计值，等于yi分别对

x1和x2做简单线性回归时回归系数的OLS估计值。