2019-2020学年市一中高考模拟卷（三）数学试题
一、单选题
1．设x∈R，则“|x－2|<1”是“x2＋x－2>0”的()
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】根据不等式的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
【详解】
解：由“|x﹣2|＜1”得1＜x＜3，由x2+x﹣2＞0得x＞1或x＜﹣2，即“|x﹣2|＜1”是“x2+x﹣2＞0”的充分不必要条件，故选：A．
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
2．已知集合，则有（）
A．
B．Ü
C．
D．
【答案】B
【解析】根据两个集合分别表示的平面区域分析可得答案.【详解】
因为表示四个顶点分别为的正方形围成的区域(包括边界),而表示的圆心为原点,半径为1的圆围成的区域(包括边界),所以Ü.故选:B
【点睛】
本题考查了集合之间的真子集关系,属于基础题.3．将向量=(，)，=(，)，…=(,)组成的系列称为向量列{}，并定义向量列{}的前项和．如果一个向量列从第二项起,每一项与前一项的差都等于同一个向量，那么称这样的向量列为等差向量列。若向量列{}是等差向量列，那么下述四个向量中，与一定平行的向量是
（）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】依题意，当
为等差向量列时，设每一项与前一项的差都等于，则可求出通项公式，所以前21项和，故与
平行的向量是，选B.点睛:
本题主要考查新定义:
等差向量列的理解和应用,属于中档题.解题思路：设每一项与前一项的差都等于，运用类似等差数列的通项和求和公式，计算可得，由向量共线定理，可得出结论.考查类比的数学思想方法和向量共线定理的运用.4．设集合A＝[0，)，B＝[，1]，函数，若x0∈A，且f[f(x0)]∈A，则x0的取值范围是()
A．(0，]
B．(，)
C．(，]
D．[0，]
【答案】B
【解析】【详解】
∵x0∈A，∴f(x0)＝x0＋∈B.∴f[f(x0)]＝f(x0＋)＝2(1－x0－)＝1－2x0.又因为f[f(x0)]∈A，∴0≤1－2x0<，解得 5．函数的最小正周期___________.【答案】 【解析】利用两角和的正弦公式化简函数表达式，由此求得函数的最小正周期.【详解】 依题意，故函数的周期.故填：.【点睛】 本小题主要考查两角和的正弦公式，考查三角函数最小正周期的求法，属于基础题.6．若函数，则其反函数_________.【答案】,【解析】计算二阶行列式化简,再根据求反函数的步骤可求得反函数.【详解】 因为,因为,所以,所以由得,所以,交换可得,所以，故答案为:,.【点睛】 本题考查了二阶行列式的计算,反函数的求法,属于基础题.7．在的展开式中，的系数为 .【答案】 【解析】展开式的通项为，由得，所以，所以该项系数为.【考点】二项式定理及二项展开式的通项.8．过原点且与圆相切的直线方程为_______.【答案】 【解析】切线的斜率显然存在,设出切线方程,利用圆心到直线的距离等于半径,列方程可解得答案.【详解】 由得,所以圆心为,半径为,因为圆心到轴的距离为2,所以所求切线的斜率一定存在,所以设所求切线方程为,即,依题意得,解得,所以所求切线方程为.故答案为:.【点睛】 本题考查了求圆的切线方程,属于基础题.9．我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓放粮，有人送来米石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得粒内夹谷粒，则这批米内夹谷约为__________石；（结果四舍五入，精确到各位）． 【答案】169 【解析】根据古典概型概率公式可得这批米内夹谷的概率约为，所以这批米内夹谷约为石，故答案为.10．抛物线x2=2py（p＞0）的焦点为F，其准线与双曲线-=1相交于A，B两点，若△ABF为等边三角形，则p=___________.【答案】6 【解析】因为抛物线x2=2py的准线和双曲线-=1相交交点横坐标为 【考点】本题主要考查抛物线的概念、标准方程、几何性质，考查分析问题解决问题的能力.11．若复数（x，i为虚数单位）满足，则的最小值为_______.【答案】6 【解析】根据复数模的计算公式将化为,将其代入到后,利用基本不等式可求得答案.【详解】 由得,化简得,即,所以,当且仅当时等号成立.故答案为:6 【点睛】 本题考查了复数的模的公式,基本不等式求最小值,属于基础题.12．一个等差数列中，是一个与无关的常数，则此常数的集合为 ． 【答案】 【解析】试题分析：设数列的首项为，公差为，是一个与无关的常数或，所以比值常数为 【考点】等差数列通项公式 13．已知直三棱柱的6个顶点都在球O的球面上，若，，则球的表面积为______.【答案】 【解析】把直三棱柱的补成一个长方体，则直三棱柱的外接球和长方体的外接球是同一个球，由长方体的对角线长等于球的直径，求得球的半径，再利用球的表面积公式，即可求解． 【详解】 由题意，直三棱柱的底面为直角三角形，可把直三棱柱的补成一个长方体，则直三棱柱的外接球和长方体的外接球是同一个球，又由长方体的对角线长等于球的直径，且，即，即，所以球的表面积为． 故答案为： 【点睛】 本题主要考查了直三棱柱与球的组合体问题，以及球的表面积的计算，其中解答中根据组合体的结构特征，求得球的半径是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题． 14．新一季“中国好声音”开唱，开场节目是四位导师各选一首自己的代表作供其他导师演唱，每人恰好都是唱别人的歌.假设四首歌已选定，则有______种不同演唱方式.【答案】9 【解析】将问题转化为四个元素填四个空的全错位排列后,再按照元素1的位置分3类讨论计算结果相加即可得到.【详解】 将四位导师抽象为四个元素,设为1,2,3,4,四首歌抽象为四个空位,设为1,2,3,4,依题意转化为四个元素填四个空的全错位排列,第一类:元素1填在2号空位,则元素2有3种填法,元素3,4填法唯一,此时共有3种填法; 第二类,元素1填在3号空位,则元素3有3种填法,元素2,4填法唯一,此时共有3种填法; 第三类,元素1填在4号空位,则元素4有3种填法,元素2,3填法唯一,此时共有3种填法; 根据分类计算原理可得共有3+3+3=9种填法.综上所述,共有9种不同的演唱方式.故答案为:9 【点睛】 本题考查了有限制条件的排列问题,属于中档题.15．若函数的图象关于点成中心对称，则______.【答案】3 【解析】在函数的图象上取两点，求出它们关于点对称的点,后,代入,解方程组可得答案.【详解】 在函数的图象上取两点，则它们关于点对称的点,也在函数的图象上,即,即,解得,所以.故答案为:3 【点睛】 本题考查了函数图象的对称中心的性质,属于基础题.16．在平面直角坐标系中，是坐标原点，两定点满足，由点集所表示的区域的面积是__________． 【答案】4 【解析】【详解】 由||＝||＝·＝2，知cos∠AOB＝，又0≤∠AOB≤π，则∠AOB＝，又A，B是两定点，可设A(，1)，B(0,2)，P(x，y)，由＝λ＋μ，可得⇒.因为|λ|＋|μ|≤1，所以＋≤1，等价于 由可行域可得S0＝×2×＝，所以由对称性可知点P所表示的区域面积S＝4S0＝4 三、解答题 17．已知，.（1）若，求的值； （2）在（1）的条件下，若，求sinβ的值.【答案】(1),(2) 【解析】(1)由可得,再由万能公式可得的值,(2)利用可得答案.【详解】 (1)因为,所以,即,所以.(2)由(1)知，且,所以,所以,所以，又,所以,所以,所以 .【点睛】 本题考查了向量平行的坐标表示,二倍角的正弦公式,同角公式,两角差的正弦公式,属于基础题.18．如图，正四棱锥内接于圆锥，圆锥的轴截面是边长为10cm的正三角形.（1）求异面直线PA与BC所成角的大小； （2）若正四棱锥由圆锥削去一部分得到，则需要削去部分的体积为多少？（精确到） 【答案】(1),(2).【解析】(1)根据可知,就是异面直线PA与BC所成的角,在三角形中由余弦定理可求得,(2)用圆锥的体积减去正四棱锥的体积即可得到答案.【详解】 (1)在正四棱锥中，所以就是异面直线PA与BC所成的角,在正方形中，所以,在三角形中，所以,所以,所以异面直线PA与BC所成角的大小为.(2)在直角三角形中，所以圆锥的体积,正四棱锥的体积,所以需要削去部分的体积为.所以需要削去部分的体积约为.【点睛】 本题考查了正四棱锥的结构特征,异面直线所成角,椎体的体积公式,属于中档题.19．首项为的无穷等比数列所有项的和为1，为的前n项和，又，常数，数列满足.（1）求数列的通项公式； （2）若是递减数列，求t的最小值.【答案】(1),(2)1 【解析】(1)根据无穷等比数列所有项的和为1,求出公比,再根据等比数列的通项公式可得; (2)求出后代入可得，然后根据数列递减可得恒成立,由不等式恒成立可得答案.【详解】 (1)设无穷等比数列的公比为,则,所以,解得,所以,(2)因为,所以,所以,所以,因为是递减数列,所以 恒成立,所以恒成立,所以恒成立,因为为递减函数,所以时,取得最大值,所以,又因为,所以的最小值为1.【点睛】 本题考查了无穷等比数列的和,等比数列的通项公式和前项和,数列的单调性,属于中档题.20．设S、T是R的两个非空子集，如果函数满足：①；②对任意，当时，恒有，那么称函数为集合S到集合T的“保序同构函数”.（1）试写出集合到集合R的一个“保序同构函数”； （2）求证：不存在从集合Z到集合Q的“保序同构函数”； （3）已知是集合到集合的“保序同构函数”，求s和t的最大值.【答案】(1),(2)证明见解析,(3)的最大值为1,的最大值为 【解析】(1)直接由题意写出即可; (2)用反证法证明即可; (3)用定义证明在上递增,在上递减后,可得,.【详解】 (1)取,该函数是集合到集合R的一个“保序同构函数”; 证明:任取,则,因为在上为增函数,所以,即,由定义可知,函数是集合到集合R的一个“保序同构函数”.(2)证明:假设存在一个从集合到集合的“保序同构函数”,由“保序同构函数”的定义可知,集合和集合中的元素必须是一一对应的,不妨设整数0和1在中的像分别为和,根据保序性,因为0<1,所以,又也是有理数,但是没有确定的原像,因为0和1之间没有另外的整数了,故假设不成立,故不存在从集合Z到集合Q的“保序同构函数”.(3)设,则,所以当时，所以,即,所以在上递增,当时，所以,即,所以在上递减,因为是集合到集合的“保序同构函数”,所以在上递增,所以,所以的最大值为1,的最大值为.【点睛】 本题考查了正切函数的单调性,函数单调性的定义,利用单调性求函数的最值,属于难题.
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