2021中考九年级数学二轮复习专题训练：圆的有关计算
一、选择题
（本题共计
小题，每题
分，共计30分）
1.一个扇形的半径为6，圆心角为120∘，则该扇形的面积是（）
A.2π
B.4π
C.12π
D.24π
2.若一个圆锥的侧面展开图是半径为18cm，圆心角为240∘的扇形，则这个圆锥的底面半径长是（）
A.6cm
B.9cm
C.12cm
D.18cm
3.如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，∠BCD=30∘，OA=2，则阴影部分的面积是（）
A.B.C.π
D.2π
4.已知圆锥的侧面积为10πcm2，侧面展开图的圆心角为36∘，则该圆锥的母线长为（）
A.100cm
B.10cm
C.10cm
D.1010cm
5.已知圆O的半径是3，A，B，C 三点在圆O上，∠ACB＝60∘，则弧AB的长是（）
A.2π
B.π
C.32π
D.12π
6.如图，在扇形AOB中∠AOB=90∘，正方形CDEF的顶点C是AB的中点，点D在OB上，点E在OB的延长线上，当正方形CDEF的边长为22时，则阴影部分的面积为（）
A.2π-4
B.4π-8
C.2π-8
D.4π-4
7.制作一个圆锥模型，已知这个模型的侧面是用一个半径为9cm，圆心角为120∘的扇形铁皮制作的，再用一块圆形铁皮做底，则这块铁皮的半径为（）
cm．
A.32
B.1
C.2
D.3
8.如图，点C为扇形OAB的半径OB上一点，将△OAC沿AC折叠，点O恰好落在AB上的点D处，且BDl:ADl=1:3（BDl表示BD的长），若将此扇形OAB围成一个圆锥，则圆锥的底面半径与母线长的比为（）
A.1:3
B.1:π
C.1:4
D.2:9
9.如图一个扇形纸片的圆心角为90∘，半径为4，将这张扇形纸片折叠，使点A与点O恰好重合，折痕为CD，则图中阴影部分的面积为（）
A.16π3-43
B.43-4π3
C.16π3-83
D.93-3π
10.如图，AB为⊙O的直径，点P为AB延长线上的一点，过点P作⊙O的切线PE，切点为M，过A、B两点分别作PE的垂线AC、BD，垂足分别为C、D，连接AM，则下列结论正确的个数是（）
①AM平分∠CAB；
②AM2＝AC⋅AB；
③若AB＝4，∠APE＝30∘，则BM的长为π3；
④若AC＝3，BD＝1，则有CM=DM=3．
A.1
B.2
C.3
D.4
二、填空题
（本题共计
小题，每题
分，共计15分）
11.在一张边长为4cm的正方形纸上做扎针随机试验，纸上有一个半径为1cm的圆形阴影区域，则针头扎在阴影区域内的概率为________．
12.一个圆锥的侧面展开图半径为16cm，圆心角270∘的扇形，则这个圆锥的底面半径是________cm．
13.如图，在△ABC中，AB=CB=62cm，∠ABC=90∘，以AC的中点O为圆心，OB为半径作半圆．若∠MON=90∘，OM与ON分别交半圆于点E，F，则图中阴影部分的面积是________.14.如图，半径为2的⊙O与△AOB的边AB相切于点C，与OB相交于点D，且OD=BD，则图中阴影部分的面积为________．
15.如图，AC⊥BC,AC=BC=4，以BC为直径作半圆，圆心为点O；以点C为圆心，BC为半径作AB，过点O作AC的平行线分别交两弧于点D，E，则阴影部分的面积是________.三、解答题
（本题共计
小题，共计75分）
16.（9分）
如图，在Rt△ABC中，∠C=90∘，CA=CB=4，分别以A、B、C为圆心，以12AC为半径画弧，求三条弧与边AB所围成的阴影部分的面积．
17.(9分)
如图，⊙O是△ACD的外接圆，AB是直径，过点D作直线DE // AB，过点B作直线BE // AD，两直线交于点E，如果∠ACD=45∘，⊙O的半径是4cm
（1）请判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）求图中阴影部分的面积（结果用π表示）．
18.(9分)
如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=30∘，O是BC上一点，以点O为圆心，OB长为半径作圆，恰好经过点A，并与BC交于点D．
（1）判断直线CA与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若AB=43，求图中阴影部分的面积（结果保留π）．
19.(9分)
如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，四边形ABCD两组对边的延长线分别相交于点E，F，且∠E=40∘，∠F=50∘.(1)求∠A的度数；
(2)当⊙O的半径等于2时，请求出劣弧BD的长(结果保留π).20.(9分)
如图，AB是⊙O的直径，C，G是⊙O上两点，且AC = CG，过点C的直线CD⊥BG于点D，交BA的延长线于点E，连接BC，交OD于点F．
1求证：CD是⊙O的切线；
2若OFFD = 23，求证：AE=AO；
3连接AD，在2的条件下，若CD = 2，求AD的长．
21.(9分)
如图，AB是半圆的直径，O为半圆O的圆心，AC是弦，取BC的中点D，过点D作DE⊥AC交AC的延长线于点E.(1)求证：DE是半圆O的切线；
(2)当AB=10,AC=53时，求BC的长；
(3)当AB=20时，直接写出△ABC面积最大时，点D到直径AB的距离.22.(10分)
如图，点O是线段AH上一点，AH=3，以点O为圆心，OA的长为半径作⊙O，过点H作AH的垂线交⊙O于C，N两点，点B在线段CN的延长线上，连接AB交⊙O于点M，以AB，BC为边作▱ABCD．
(1)求证：AD是⊙O的切线；
(2)若OH=13AH，求四边形AHCD与⊙O重叠部分的面积；
(3)若NH=13AH，BN=54，连接MN，求OH和MN的长．
23.(11分)
如图，在△ABC中，AB=AC，AO⊥BC于点O，OE⊥AB于点E，以点O为圆心，OE为半径作半圆，交AO于点F．
(1)求证：AC是⊙O的切线；
(2)若点F是OA的中点，OE=3，求图中阴影部分的面积；
(3)在(2)的条件下，点P是BC边上的动点，当PE+PF取最小值时，直接写出BP的长_________．
参考答案
一、选择题
1.【答案】
C
【解答】
解：S=120×π×62360=12π.故选C.2.【答案】
C
【解答】
圆锥的弧长为：240π×18180=24π，∴
圆锥的底面半径为24π÷2π＝12，3.【答案】
B
【解答】
∵∠BCD=30∘
ABO=60∘
AB是OO的直径，CD是弦，OA=2
…阴影部分的面积是：60×π×22360=2π3
故选B．
4.【答案】
C
【解答】
设母线长为R，圆锥的侧面积=36πR2360=10π，∴
R＝10cm
5.【答案】
A
【解答】
如图，∵
∠ACB＝60∘，∴
∠AOB＝2∠ACB＝120∘，∴
l=nπr180=120×π×3180=2π．
6.【答案】
A
【解答】
解：连接OC
∵
在扇形AOB中∠AOB=90∘，正方形CDEF的顶点C是AB的中点，∴
∠COD=45∘，∴
OC=(22)2+(22)2=4，∴
阴影部分的面积=扇形BOC的面积-三角形ODC的面积
=45360×π×42-12×(22)2
=2π-4．
故选A.7.【答案】
D
【解答】
解：圆锥的底面周长为：120×π×9180=6π,设圆形铁皮的半径为r，则2πr=6π，解得：r=3cm．
这块圆形铁皮的半径为3cm.故选D.8.【答案】
D
【解答】
解：连接OD交OC于M.由折叠的知识可得：OM=12OD=12OA，∠OMA=90∘，∴
∠OAM=30∘，∴
∠AOM=60∘.∵
BDl:ADl=1:3，∴
∠AOB=80∘.设圆锥的底面半径为r，母线长为l，80πl180=2πr，∴
r:l=2:9.故选D.9.【答案】
B
【解答】
解：由折叠可知，S弓形AD=S弓形OD，DA=DO.∵
OA=OD，∴
AD=OD=OA，∴
△AOD为等边三角形，∴
∠AOD=60∘，∠DOB=30∘.∵
AD=OD=OA=4，∴
CD=23，∴
S弓形AD=S扇形ADO-S△ADO
=60π⋅42360-12×4×23
=83π-43，∴
S弓形OD=83π-43，∴
阴影部分的面积=S扇形BDO-S弓形OD
=30π⋅42360-(83π-43)
=43-4π3.故选B.10.【答案】
C
【解答】
连接OM，∵
PE为⊙O的切线，∴
OM⊥PC，∵
AC⊥PC，∴
OM // AC，∴
∠CAM＝∠AMO，∵
OA＝OM，∠OAM＝∠AMO，∴
∠CAM＝∠OAM，即AM平分∠CAB，故①正确；
∵
AB为⊙O的直径，∴
∠AMB＝90∘，∵
∠CAM＝∠MAB，∠ACM＝∠AMB，∴
△ACM∽△AMB，∴
ACAM=AMAB，∴
AM2＝AC⋅AB，故②正确；
∵
∠APE＝30∘，∴
∠MOP＝∠OMP-∠APE＝90∘-30∘＝60∘，∵
AB＝4，∴
OB＝2，∴
BM的长为60⋅π×2180=2π3，故③错误；
∵
BD⊥PC，AC⊥PC，∴
BD // AC，∴
PBPA=BDAC=13，∴
PB=13PA，∴
PB=12AB，BD=12OM，∴
PB＝OB＝OA，∴
在Rt△OMP中，OM＝2BD＝2，∴
OP＝4，∴
∠OPM＝30∘，∴
PM＝23，∴
CM＝DM＝DP=3，故④正确．
二、填空题
11.【答案】
π16
【解答】
根据题意，针头扎在阴影区域内的概率就是圆与正方形的面积的比值；
由题意可得：正方形纸边长为4cm，其面积为16cm2，圆的半径为1cm，其面积为πcm2，故其概率为π16．
12.【答案】
【解答】
解：设此圆锥的底面半径为r，根据圆锥的侧面展开图扇形的弧长等于圆锥底面周长可得，2πr=270π×16180，则r=12cm．
故答案为：12.13.【答案】
(9π-18)cm2
【解答】
解：∵
AC是半圆O的直径，∴
∠ABC=90∘=∠MON，又∵
AB=CB，点O是AC的中点，∴
∠BOC=90∘，∴
∠BOE=∠COF，∴
S扇形BOE=S扇形COF，将扇形BOE以点O为旋转中心，逆时针旋转90∘，∵
AB=CB=62,由勾股定理，得AC=AB2+BC2=622+622=12 ,∴
OB=OA=OC=6,S阴影=S扇形BOC-S△BOC
=90π×62360-12×6×6=(9π-18)cm2.故答案为：(9π-18)cm2.14.【答案】
23-2π3
【解答】
解：∵
⊙O与AB相切于点C，∴
OC⊥AB.∵
OD=DB，OD=OC=r=2，∴
OB=OD+DB=2OC=2r=4，∴
∠OBC=30∘，∴
∠BOC=60∘，∴
BC=OB2-OC2=42-22=23，∴
S阴影=S△OCB-S扇形DOC，=12×BC×OC-60×π×r2360，=12×23×2-60π×4360
=23-2π3.故答案为：=23-2π3.15.【答案】
5π3-23
【解答】
解：连接CE．
∵
AC⊥BC，AC=BC=4，以BC为直径作半圆，圆心为点O；
以点C为圆心，BC为半径作弧AB，∴
∠ACB=90∘，OB=OC=OD=2，BC=CE=4．
又∵
OE // AC，∴
∠ACB=∠COE=90∘，∴
在直角△OEC中，OC=2，CE=4，∴
∠CEO=30∘，∠ECB=60∘，∴
OE=23，∴
S阴影＝S扇形BCE-S扇形BOD-S△OCE
=60π×42360-14π×22-12×2×23
=5π3-23.故答案为：5π3-23.三、解答题
16.【答案】
解：∵
∠C=90∘，CA=CB=4，∴
12AC=2，S△ABC=12×4×4=8，∵
三条弧所对的圆心角的和为180∘，三个扇形的面积和=180π×22360=2π，∴
三条弧与边AB所围成的阴影部分的面积=S△ABC-三个扇形的面积和=8-2π．
17.【答案】
解：（1）DE与⊙O相切．理由如下：
连结OD，BD，则∠ABD=∠ACD=45∘，∵
AB是直径，∴
∠ADB=90∘，∴
△ADB为等腰直角三角形，∵
点O为AB的中点，∴
OD⊥AB，∵
DE // AB，∴
OD⊥DE，∵
OD是半径，∴
DE为⊙O的切线；
（2）∵
BE // AD，DE // AB，∴
四边形ABED为平行四边形，∴
DE=AB=8cm，∴
S阴影部分=S梯形BODE-S扇形OBD
=12(4+8)×4-90⋅π⋅42360
=(24-4π)cm2．
18.【答案】
解：（1）连接OA，∵
AB=AC，∴
∠C=∠B，∵
∠B=30∘，∴
∠C=30∘，∴
∠AOC=60∘，∴
∠OAC=90∘，∴
直线CA与⊙O相切；
（2）连接AD，过点D作DE⊥AC，过点O作OF⊥AB，∵
AB=43，∴
AD=OA=OB=OD=4，∵
∠DAE=30∘，∴
DE=2，∴
△ABC面积123，扇形AOD面积83π，△ABO面积43，∴
阴影面积83-83π．
19.【答案】
解：(1)∵
四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴
∠DCE=∠A，∵
∠EDF=∠A+∠F=∠A+50∘，而∠EDF+∠DCE+∠E=180∘，∴
∠A+50∘+∠A+40∘=180∘，∴
∠A=45∘.(2)连接OB，OD，∵
∠BOD=2∠A=90∘，∴
BD的长=90∘×π×2180∘=π．
20.【答案】
1证明：连接OC，∵
OC=OB，AC = CG，∴
∠OCB=∠OBC，∠OBC=∠CBD，∴
∠CBD=∠OCB，∴
OC // BD，∴
∠ECO=∠EDB，∵
CD⊥BG于点D，∴
∠EDB=90∘，∴
∠ECO=90∘，∵
OC是⊙O的半径，∴
CD是⊙O的切线．
2证明：∵
OC // BD，∴
∠OCF=∠DBF，∠COF=∠BDF，∴
△OCF∼△DBF，∴
OFDF = OCDB，∵
OFFD = 23，∴
OCDB = 23，∵
OC // BD，∴
△EOC∼△EBD，∴
OCBD = EOEB，∴
EOEB = 23，设OE=2a，则EB=3a，∴
OB=OA=a，∴
EA=a，∴
AE=AO．
3解：∵
OC=OA=a，EO=2a，∴
OC = 12EO，又∵
∠OCE=90∘，∴
∠E=30∘，∵
∠BDE=90∘，BC平分∠EBD，∴
∠EBD=60∘，∠OBC=∠DBC=30∘，∵
CD = 2，∴
BC=22，BD = 6，∵
OCBD = 23，∴
OC = 263，作DM⊥AB于点M，∴
∠DMB=90∘，∵
BD = 6，∠DBM=60∘，∴
BM = 62，DM = 322，∵
OC = 263，∴
AB = 463，∴
AM=AB-BM = 463-62 = 566，∵
∠DMA=90∘，DM = 322，∴
AD = AM2 + DM2 =(566)2 +(322)2 = 783．
21.【答案】
(1)证明：连接OD.∵
D是弧BC的中点，∴
BD=DC，∴∠1=∠2.∵OA=OD，∴∠1=∠3, ∴∠2=∠3，∴OD//AE.∵DE⊥AC，∴OD⊥DE，∴DE是⊙O的切线.(2)解：连接BC，OC，则∠ACB是直角.当AB=10,AC=53时，则cos∠BAC=ACAB=32，∴∠BAC=30∘,∠BOC=60∘，∴
BC=60π⋅5180=5π3.(3)解：连接OD，BC，OC，过点O作OF⊥AC，垂足为F，作DH⊥AB于点H,由(1)可知OD⊥DE.∴∠FOD=∠ODE=∠DEA=90∘，∴
四边形ODEF为矩形，∴OF=ED.当∠BAC=45∘时，△ABC为等腰直角三角形，此时，△ABC面积最大，∴AC=cos45∘⋅AB=22×20=102，∴OF=12BC=12AC=52.又∵
∠BAD=∠DAE，∴
DH=DE，即点D到直径AB的距离为52.22.【答案】
(1)证明：∵
四边形ABCD是平行四边形，∴
AD // BC.∵
∠AHC=90∘，∴
∠HAD=90∘，即OA⊥AD.又OA为半径，∴
AD是⊙O的切线.(2)解：连接OC.∵
OH=12OA，AH=3，∴
OH=1，OA=2.在Rt△OHC中，∠OHC=90∘，OH=12OC，∴
∠OCH=30∘，∴
∠AOC=∠OHC+∠OCH=120∘，∴
S扇形OAC=120×π×22360=4π3.∵
CH=22-12=3，∴
S△OHC=12×1×3=32，∴
四边形AHCD与⊙O重叠部分的面积=S扇形OAC+S△OHC=4π3+32.(3)解：设OA=r，则OH=3-r.连接ON.在Rt△OHN中，OH2+HN2=ON2，∴
(3-r)2+12=r2，∴
r=53，则OH=43；
在Rt△ABH中，AH=3，BH=54+1=94，则AB=154.在Rt△ACH中，AH=3，CH=NH=1，得AC=10.在△BMN和△BCA中，∠B=∠B，∠BMN=180∘-∠AMN=∠BCA，∴
△BMN∼△BCA，∴
MNCA=BNBA，即MN10=54154=13，∴
MN=103.23.【答案】
(1)证明：过点O作OM⊥AC于点M．
∵AB=AC，AO⊥BC，∴
AO平分∠BAC.∵OE⊥AB，OM⊥AC，∴OM=OE，∴
AC是⊙O的切线．
解：(2)∵OM=OF=OE=3，且点F是OA的中点，∴AO=2OF=6，在Rt△AEO中，AE=AO2-OE2=33，∴S△AEO=12AE⋅OE=932，∵
∠OEA=90∘，AO=6，AE=33，OE=3，∴∠EOF=60∘，∴S扇形OEF=9π×60∘360∘=3π2，∴S阴影=S△AEO-S扇形OEF=932-3π2．
(3)如图，作点F关于直线BC的对称点F＇，连接EF＇，交BC于点P，则此时PE+PF取最小值，为EF＇的长，∵
PF=PF＇，∴
PE+PF=PE+PF＇=EF＇，此时EP+FP最小，∵
OF＇=OF=OE，∴
∠F＇=∠OEF＇，而∠AOE=∠F＇+∠OEF＇=60∘，∴
∠F＇=30∘，∴
∠F＇=∠EAF＇，∴
EF＇=EA=33，即PE+PF最小值为33.在Rt△OPF＇ 中，OP=33OF＇=3，在Rt△ABO 中，OB=33OA=33×6=23，∴
BP=23-3=3，即当PE+PF取最小值时，BP的长为3.故答案为：3.
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