2019-2020学年市高级中学高一下学期3月月考数学试题
一、单选题
1．下列表示中不正确的是（）
A．终边在轴上角的集合是
B．终边在轴上角的集合是
C．终边在坐标轴上角的集合是
D．终边在直线上角的集合是
【答案】D
【解析】根据终边相同的角的定义逐一判断得答案．
【详解】
解：对于，终边在轴上角的集合是，故正确；
对于，终边在轴上的角的集合是，故正确；
对于，终边在轴上的角的集合为，终边在轴上的角的集合为，故合在一起即为，，故正确；
对于，终边在直线上的角的集合是，故不正确．
表述不正确的是：．
故选：．
【点睛】
本题考查命题的真假的判断，角的定义以及终边相同的角的判断，是基础题．
2．已知，点为角的终边上一点，且，则角（）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由已知，得出
sin（α﹣β），将β角化为β＝α﹣（α﹣β），根据和差角公式，求出β的某种三角函数值，再求出β．
【详解】
∵|OP|＝7，∴sinα，cosα．
由已知，根据诱导公式即为sinαcosβ﹣cosαsinβ，∴，∵
∴0＜α﹣β，∴cos（α﹣β），∴sinβ＝sin[α﹣（α﹣β）]＝sinαcos（α﹣β）﹣cosαsin（α﹣β），∵，所以角β
故选：D．
【点睛】
本题考查三角函数诱导公式、和差角公式的应用：三角式求值、求角．运用和差角公式时，角的转化非常关键，注意要将未知角用已知角来表示．常见的角的代换形式：β＝α﹣（α﹣β），2α＝（α﹣β）+（α+β）等．
3．在中，a,b,c分别是角A,B,C的对边，若，则是（）
A．等边三角形
B．钝角三角形
C．等腰直角三角形
D．任意三角形
【答案】C
【解析】根据正弦定理及条件即可得出，于是。
【详解】
由正弦定理得：，又，于是，即是等腰直角三角形
故选：C.【点睛】
本题考查了解三角形中的正弦定理得运用，判断三角形的类型，属于基础题.4．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验方式为：弧田面积=，弧田（如图）由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”指半径长与圆心到弦的距离之差。现有圆心角为，半径等于4米的弧田.下列说法不正确的是（）
A．“弦”米，“矢”米
B．按照经验公式计算所得弧田面积（）平方米
C．按照弓形的面积计算实际面积为（）平方米
D．按照经验公式计算所得弧田面积比实际面积少算了大约0.9平方米（参考数据)
【答案】C
【解析】运用解直角三角形可得AD，DO，可得弦、矢的值，以及弧田面积，运用扇形的面积公式和三角形的面积公式，可得实际面积，计算可得结论．
【详解】
解：如图，由题意可得∠AOB，OA＝4，在Rt△AOD中，可得∠AOD，∠DAO，ODAO，可得矢＝4﹣2＝2，由AD＝AOsin42，可得弦＝2AD＝4，所以弧田面积（弦×矢+矢2）（42+22）＝4平方米．
实际面积，．
可得A，B，D正确；C错误．
故选：C．
【点睛】
本题考查扇形的弧长公式和面积公式的运用，考查三角函数的定义以及运算能力、推理能力，属于基础题．
二、填空题
5．已知扇形的半径为4，弧所对的圆心角为2
rad，则这个扇形的面积为_______.【答案】16
【解析】直接利用扇形的面积公式求出扇形的面积即可.【详解】
扇形的圆心角为2,半径为4,扇形的面积，故答案为16.【点睛】
本题主要考查扇形的面积的求法，弧长、半径、圆心角的关系，考查利用所学知识解答问题的能力，是基础题.在解决弧长、面积及扇形面积时要注意合理应用圆心角所在的三角形的性质.6．若，则______．
【答案】2
【解析】首先根据题中所给的条件，利用
差角公式展开，求得，之后将待求的式子利用倍角公式和同角三角函数关系式，将其转化为关于的式子，代入求得结果.【详解】
由，可求得，故答案是：2.【点睛】
该题考查的是有关三角函数化简求值问题，涉及到的知识点有正切的差角公式，正切的倍角公式，余弦的和角公式以及同角三角函数关系式，正确应用公式是解题的关键.7．已知，则______．
【答案】
【解析】利用两角差正切公式即可得到结果.【详解】,故答案为：
【点睛】
本题考查两角和与差的正切公式，考查计算能力，属于基础题.8．若函数y＝2－x＋1＋m的图象不经过第一象限，则m的取值范围是________．
【答案】(－∞，－2]
【解析】根据指数函数图象列不等式，解得m的取值范围.【详解】
函数y＝2－x＋1＋m＝()x－1＋m，∵函数的图象不经过第一象限，∴()0－1＋m≤0，即m≤－2.【点睛】
本题考查指数函数图象与性质，考查基本分析求解能力.9．定义在上的奇函数，当时，则当时，的解析式为_______.【答案】
【解析】由函数的奇偶性解函数的解析式。
【详解】
解：是定义在上的奇函数
当时，设，则，化简得
故答案为：
【点睛】
本题考查借助函数的奇偶性求解函数的解析式，属于基础题。
10．已知一个三角形的三边长分别为3,5,7，则该三角形的最大内角为_________
【答案】
【解析】由题意可得三角形的最大内角即边7对的角，设为θ，由余弦定理可得
cosθ的值，即可求得θ的值．
【详解】
根据三角形中，大边对大角，故边长分别为3，5，7的三角形的最大内角即边7对的角，设为θ，则由余弦定理可得
cosθ，∴θ＝，故答案为：C．
【点睛】
本题主要考查余弦定理的应用，大边对大角，已知三角函数值求角的大小，属于基础题．
11．若函数在上为减函数，则的取值范围是________.【答案】
【解析】对系数和指数函数的底数分类讨论。
【详解】
解：因为函数在上为减函数
故①解得
②解得
综上：
故答案为：
【点睛】
本题考查指数函数的单调性，属于基础题。
12．设且，若，则______．
【答案】1
【解析】根据对数函数的运算性质，得到，再根据三角函数的基本关系，准确化简，即可求解，得到答案.【详解】
设且，若，所以，所以，又，所以，又由，则
所以
故答案为：1．
【点睛】
本题主要考查了三角函数的基本关系的化简求值问题，其中解答中合理利用三角函数的基本关系式，准确化简、计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.13．内角、、的对边分别是，，且.当，的面积为______.【答案】
【解析】由，利用正弦定理得到，再用余弦定理求得b，可得a、c，利用面积公式计算可得结果.【详解】
由正弦定理可化为，所以，在三角形中，所以，因为，所以，又，所以，由余弦定理得，又，所以有.故的面积为.故答案为.【点睛】
本题考查了正弦定理、余弦定理的应用，考查了三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
14．在△ABC中，已知，其中，若为定值，则实数＝__.【答案】
【解析】首先根据，求得，根据题中所给的条件，得到，再结合题中所给的条件为定值，设其为k，从而整理得出恒成立，从而求得结果.【详解】
由，得：，由，得：，即，（k为定值），即，即恒成立，所以，故答案是：.【点睛】
该题考查的是有关根据条件求参数的值的问题，涉及到的知识点有同角三角函数关系式，两角差的正弦公式，三角形的内角和，诱导公式，熟练掌握基础知识是正确解题的关键.三、解答题
15．已知．
（1）求的值；
（2）若且，求的值．
【答案】（1）（2）
【解析】（1）利用诱导公式化简求解，代入直接求解即可；
（2）由条件可得，再平方得，结合角的范围可得，进而得和的值，从而得解.【详解】
（1）因为，所以
（2）因为，所以，所以，两边平方，得，所以，即，因为，所以，所以
所以，结合，解得，……
故
【点睛】
本题主要考查了同角的三角函数的基本关系，对于sin＋cos，sincos，sin－cos这三个式子，利用(sin±cos)2＝1±2sincos，可以知一求二．属于中档题.16．已知角的顶点与原点重合，始边与x轴正半轴重合，终边在直线y=2x上.则
(1)求的值；
(2)已知，求的值.【答案】（1）；（2）
【解析】(1)由条件利用任意角的三角函数的定义可得＝2，再利用两角和的余弦公式、同角三角函数的基本关系，求得的值．
(2)利用同角三角函数基本关系式求得再利用两角差的余弦函数化简求解即可．
【详解】
(1)依题意
c
=
.(2)，∴,，∴
.【点睛】
本题主要考查任意角的三角函数的定义、两角和与差的三角函数、同角三角函数的基本关系，考查计算能力，属于中档题．
17．在中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c，且.（1）求的值；
（2）若，求周长的最大值.【答案】（1）（2）
【解析】(1)根据正弦定理得到，即，进而得到角B；（2）由余弦定理结合第一问得到，利用均值不等式求最值即可.【详解】
（1）∵，由正弦定理得，即，∴，即，又，∴.（2）∵，又由（1）得，由余弦定理得，即，∴，可得，当且仅当时取等号，∴周长的最大值为.【点睛】
本题主要考查正弦定理边角互化及余弦定理的应用与特殊角的三角函数，属于简单题.对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）；（2），同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.18．设为实数，函数.（1）讨论函数的奇偶性并说明理由；
（2）求的最小值.【答案】（1）当时，函数是偶函数，当时，函数是非奇非偶函数；（2）当时，；当时，；当时，.【解析】（1）考查函数的奇偶性，用特殊值法判断函数及不是奇函数又不是偶函数；（2）先判断函数的单调性再求最值．
【详解】
解：（1）当时，函数
此时，为偶函数
当时，，此时既不是奇函数，也不是偶函数
（2）①当时，当，则函数在，上单调递减，从而函数在，上的最小值为．
若，则函数在，上的最小值为，且．
②当时，函数
若，则函数在，上的最小值为；
若，则函数在，上单调递增，从而函数在，上的最小值为．
综上，当时，函数的最小值为
当时，函数的最小值为
当时，函数的最小值为．
【点睛】
本题为函数的最值和奇偶性的考查；是高考常考的知识点之一；而求最值时需要注意的是先判断函数的单调性．
19．在中，内角，所对的边分别为，，满足.（1）求证：；
（2）若的面积为，求角的大小.【答案】（1）见解析；（2）或
【解析】（1）根据余弦定理，与可得，再利用正弦定理可得结合内角和定理与两角和与差正弦公式可得结果；
（2）利用面积公式有，可得，又从而有，进而可得结果.【详解】
（1）在中，根据余弦定理，又因为，所以，又因为，所以，根据正弦定理，.因为，即，则，所以，即.因为，则，所以，或（应舍去）.所以.（2）因为的面积为，所以，因为，所以，则，因为，所以，所以.因为，所以，即，所以或.当，即时，；
当时，由，解得，则.综上，或.【点睛】
解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：
第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向.第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化.第三步：求结果.20．已知函数，记．
⑴解不等式：；
⑵设k为实数，若存在实数，使得成立，求k的取值范围；
⑶记(其中a，b均为实数)，若对于任意的，均有，求a，b的值．
【答案】(1)
(2)
(3)，【解析】⑴函数，即为，即为，可得解集；
⑵根据，利用换元法，求解最值，即可求解k的取值范围；
⑶根据(其中a，b均为实数)，均有，建立关系即可求解a，b的值．
【详解】
⑴函数，即为，即为，即有，解得，即解集为；
⑵存在实数，使得成立，即为，设，在递增，可得，即有，则，设，即有，在递增，可得，即有.⑶，令，，．
若对于任意的，均有，即对任意，．，解得：，．
【点睛】
本题主要考查了函数恒成立问题的求解，分类讨论以及转化思想的应用，二次函数闭区间是的最值以及单调性的应用．
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