一道课后数列复习题的几种变式探究

第一篇：一道课后数列复习题的几种变式探究

一道课后复习题的几种变式探究

颍上二中

刘强

摘要：通过近几年对高考数学命题的方向和题目的来源以及受到省内一些高校教授的启发，我发现：很多高考数学试题都可以在课本中找到他们的影子，不少试题是由课本教材中的例题、练习题或课后习题与复习题中变化而来，所以，我写下一点自己的感悟，以期能对我们平常的教学和学生的学习方式、方法的改进起到一定的帮助。关键词：复习题 变式 探究

北师大版高中数学教材（2011年6月第6版第1次印刷）必修五第38面复习题一A组第2题：

已知数列an中，anan12(n2)且a1=1，则这个数列的第10项为（）

A.18

B.19

C.20

D.21 解：由题意可知：数列an为首项a1=1为公差d=2的等差数列，所以由ana1+(n-1)d可知:a10=1+(10-1)219所以本题选B 分析

本题考查等差数列的定义及通项公式。

由此题的形式，笔者联想到本题可有以下几种常见的变式.变式一

已知数列an满足a11，an1ann，求其通项公式an。2解：an1annan1ann

a2a11aa232

a4a33

......anan1n

1将上述n1个等式相加可得：ana1123...(n1)

即ana1(n1)(1n1)n(n1)221n(n1)1n(n1)1又a1an 2222分析

此种变式属于an1anf(n)型，其解法为：把原递推公式转化为an1anf(n)，利用累加法(逐差相加法)求解。

变式二

已知数列an满足a12，an1解：an1ann ann1n1ann1nan，求其通项公式an。n1a21a21a32a32a 4

a34......ann1ann1

将上述n1个等式相乘可得：

由因为a12，所以an2 nan123n11... a1234nn分析

此种变式属于an1f(n)an型，其解法为：把原递推公式转化为an1f(n)，利用累乘法(逐商相乘法)求解。an变式三

（2011，重庆,文,14）

在数列an中，若a11,an12an3(n1)，则该数列的通项an_____

（an+）解：an12an3可设an1+=2即an1=2an+=3（an+3）又a1+31+3=an1+3=

2所以，数列an+3是首项为4，公比为2的等差数列，4所以

an+3=n12=n12ann12 3分析

此种变式属于an1panq（其中p，q均为常数，(pq(p1)0)）型，其解法（待定系数法）为：把原递推公式转化为：an1p(an)，其中q，再转化为等比数列求解。p1511,an1an()n1，求其通项公式an。632112解：an1an()n12n1an12nan1

3232

设bn2nanbn1bn1

322

设bn1(bn)即bn1bn13

3333254

bn13(bn3又)b13a2323136342

所以数列bn3是首项为，公比为的等比数列，334222

bn3(n)12(n)bn=32 n()3333232()n2n3n12n1n3

2an=32()an nn326变式四

已知数列an中，a1分析

此种变式属于an1panqn（其中p，q均为常数，(pq(p1)(q1)0)）。

（或an1panrqn,其中p，q, r均为常数）型，其解法为：一般地，要先在原递推公式两边同除以qn1，得：

an1pan1n引入辅助数列bn（其中n1qqqqbnanp1），得：再待定系数法解决。bbn1nqqqn21变式五

已知数列an中，a11,a22,an2an1an，求其通项公式an。

3321解：an2an1an可设an2san1t(an1san)

3321tst1t3(ts)an1stan)3 1或1sst3s13

an211

不妨取t,s1

an2an1(an1an)

又因为a2a1211 所以数列an1an是首项为1公比为的等比数列，311

an1an1()n1()n1

33a2a11a3a2(1)131

a4a3()2

3......anan1(1)n23

将上述n1个等式相加可得：

111ana11()1()2...()n2333111[1()n1]3()n233141()317()n23

又因为a11，所以an 4分析

此种变式属于an2pan1qan（其中p，q均为常数）型，其解法(待定系数法)为：先把原递推公式转化为an2san1t(an1san)

pts

其中s，t满足。

qst变式六

设数列an满足：a14,an+13an2n+1,，求其通项公式an

解：an+13an2n+1,可设an+1x(n1)y3(anxn+y)

2x2x1

an+13an2xn+2yx

2yx1y1)1a3n(n

an+1(n1+又1),a1+1+14 +1+1=6

所以数列an+n+1是首项为6，公比为3的等比数列，1n32n 3

ann+16nn1

an23 分析

此种变式属于an1pananb(p1、0，a0)型，其解法为：一般利用待定系数法构造等比数列，即令an1x(n1)yp(anxny)，与已知递推式比较，解出x,y,从而转化为anxny是公比为p的等比数列。

以上内容是我根据课本教材结合当前的高考命题的一点特点和平时的教学所作出的一点变式探究，我的想法是，我们能否在平时教学时首先由老师尝试这样的探究，当学生已经有所适应后，教师能否引导学生自己去尝试这样的探究，慢慢的接受这种学习的方式，我相信：这样对学生高中数学的学习应该有一定的帮助。

第二篇：高中《数列》专题复习题

《数列》专题复习题

1．等差数列{an}中，a1=1，a3+a5=14，其前n项和Sn=100，则n=（）

(A)9(B)10(C)11(D)1

22．等差数列{an}的前n项和为Sn，若S22,S410,则S6等于（）

（A）12（B）18（C）24（D）42

3．已知数列的通项an5n2，则其前n项和Sn．

4．数列{an}的前n项和为Sn，若an

56161，则S5等于（）n(n1)1 30A．1B．C．D．

5．设{an}为公比q>1的等比数列，若a2004和a2005是方程4x28x30的两根，则 a2006a2007__________.6．设等差数列an的公差d不为0，a19d．若ak是a1与a2k的等比中项，则k（）

Ａ．2Ｂ．4Ｃ．6Ｄ．8

7.在数列an中，a12，an14an3n1，nN*．（Ⅰ）证明数列ann是等比数列；

（Ⅱ）求数列an的前n项和Sn；

8.已知实数列{an}是等比数列,其中a71,且a4,a51,a6成等差数列.(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;

(Ⅱ)数列{an}的前n项和记为Sn,证明: Sn＜128(n1,2,3,…).9．设{an}是公比大于1的等比数列，Sn为数列{an}的前n项和．已知S37，且a13，3a2，a34构成等差数列．

（1）求数列{an}的等差数列．

（2）令bnlna3n1，n1，求数列{bn}的前n项和T． 2，，10．设{an}是等差数列，{bn}是各项都为正数的等比数列，且a1b11，a3b521，a5b31

3（Ⅰ）求{an}，{bn}的通项公式；（Ⅱ）求数列an的前n项和Sbn．

n

11．数列an的前n项和为Sn，a11，an12Sn(nN*)．（Ⅰ）求数列an的通项an；（Ⅱ）求数列nan的前n项和Tn．答案：

B，C，n(5n1)2，B，-18，B

7.（Ⅰ）证明：由题设an14an3n1，得

an1(n1)4(ann)，nN*．

又a111，所以数列ann是首项为1，且公比为4的等比数列．（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可知a1nn4n，于是数列an的通项公式为

an

1n．所以数列a项和S4n1n

4n的前nn3n(n1)

．（Ⅲ）证明：对任意的nN*，S4n11(n1)(n2)

4n1n(n1)n14Sn32432 1

(3n2n4)≤0．

所以不等式Sn1≤4Sn，对任意nN*皆成立． 8.解：（Ⅰ）设等比数列an的公比为q(qR)，由a647a1q1，得a1q6，从而a4a1q3q3，a5a1qq2，a56a1qq1． 因为a4，a51，a6成等差数列，所以a4a62(a51)，即q3q12(q21)，q1(q21)2(q21)．

1

所以q1．故aa16qn1641n2n1qnq2

．

1n641

（Ⅱ）San1(1q)1q21nn128112

128．

2aa9．

解：（1）由已知得12a37，:(a13)(a34)

解得a22． 2

3a2.设数列{a}的公比为q，由a，可得a2

n221q，a32q．

又S37，可知222q7，即2q25q20，解得q1q12，q22

．

由题意得q1，q2．a11．故数列{an}的通项为an2n1．（2）由于bnlna3n1，n1，2，，由（1）得a3n123nbnnln233nln2又bn1bn3ln2n{bn}是等差数列．Tnb1b2bn



n(b1bn)



n(3ln23ln2)3n(n1)2ln2.故T3n(n1)

n

ln2．

412dq21，10．解：（Ⅰ）设an的公差为d，则依题意有q0且 bn的公比为q，2

14dq13，解得d2，q2．所以a1n1(n1)d2n1，bnqn2n1．（Ⅱ）

anb2n1

n1． nS352n1

2122n32n22n12

n1，① 2S2352n322n1

n2n32

n2，②

②－①得S22222n21

n2222n22

n1，22121121

n122n22n1

1

22n12n12n3112n162n1． 2

11．解：（Ⅰ）aSn1

n12Sn，Sn1Sn2Sn，S3． n

又S1a11，数列Sn是首项为1，公比为3的等比数列，Sn1n3(nN*)．

当n≥2时，an2Sn123n2(n≥2)，a1，n1，n

3n2，n≥2．（Ⅱ）Tna12a23a3nan，当n1时，T11；

当n≥2时，Tn14306312n3n2，…………①

3T1n34316322n3n，………………………②

①②得：2Tn242(31323n2)2n3n1

23(13n22)

2n3n113

1(12n)3n1．

T12n

n1

2

3n1(n≥2)． 又T1a11也满足上式，T1n1

n

2

3n1(nN*2)．

数列单元复习题

（一）答案

一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)

1．C2．A3．D4．B5．C6．C7．A8．B9．B10．B

二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)

11．－9

112．－113．－11014．515．616．9

三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（本小题满分12分）在等差数列{an}中，a1＝－60，a17＝－12.(1)求通项an；(2)求此数列前30项的绝对值的和.考查等差数列的通项及求和.【解】（1）a17＝a1＋16d，即－12＝－60＋16d，∴d＝3 ∴an＝－60＋3(n－1)＝3n－63.(2)由an≤0，则3n－63≤0n≤21，∴|a1|＋|a2|＋…＋|a30|＝－(a1＋a2＋…＋a21)＋(a22＋a23＋…＋a30)

＝(3＋6＋9＋…＋60）＋（3＋6＋…＋27（3＋60）（3＋27）

2×20＋2 ×9＝765.18．（本小题满分14分）在等差数列{an}中，若a1＝25且S9＝S17，求数列前多少项和最大.考查等差数列的前n项和公式的应用.【解】 ∵S＋9×（9－1）17×（17－1）

9＝S17，a1＝25，∴9×252 d＝17×25＋2d

解得d＝－2，∴S25n＋n（n－1）

2(－2)＝－(n－13)2

n＝＋169.由二次函数性质，故前13项和最大.注：本题还有多种解法.这里仅再列一种.由d＝－2，数列an为递减数列.an＝25＋(n－1)(－2)≥0，即n≤13.5 ∴数列前13项和最大.19．（本小题满分14分）数列通项公式为an＝n2－5n＋4，问

（1）数列中有多少项是负数？（2）n为何值时，an有最小值？并求出最小值.考查数列通项及二次函数性质.【解】（1）由an为负数，得n2－5n＋4<0，解得1

5n＝n2－5n＋42)2－4，∴对称轴为n＝2

＝2.5

又∵n∈N*，故当n＝2或n＝3时，an有最小值，最小值为22－5×2＋4＝－2.20．（本小题满分15分）甲、乙两物体分别从相距70 m的两处同时相向运动，甲第一分钟走2 m，以后每分钟比前1分钟多走1 m,乙每分钟走5 m.(1)甲、乙开始运动后，几分钟相遇；（2）如果甲、乙到达对方起点后立即折返，甲继续每分钟比前1分钟多走1 m，乙继续每分钟走5 m，那么开始运动几分钟后第二次相遇？ 考查等差数列求和及分析解决问题的能力.【解】（1）设n分钟后第1次相遇，依题意得2n＋n（n－1）

2＋5n＝70

整理得：n2＋13n－140＝0，解得：n＝7，n＝－20(舍去）∴第1次相遇在开始运动后7分钟.（2）设n分钟后第2次相遇，依题意有：2n＋n（n－1）＋5n＝3×70

整理得：n2

＋13n－6×70＝0，解得：n＝15或n＝－28(舍去）第2次相遇在开始运动后15分钟.21．（本小题满分15分）已知数列{a的前n项和为S1

n}n，且满足an＋2Sn·Sn－1＝0(n≥2)，a1＝2.证：{1

S}是等差数列；（2）求an表达式；

n

（3）若bn＝2(1－n)an(n≥2)，求证：b22＋b32＋…＋bn2<1.考查数列求和及分析解决问题的能力.【解】（1）∵－an＝2SnSn－1，∴－Sn＋Sn－1＝2SnSn－1(n≥2)S1111

n≠0，∴Sn－Sn－1 ＝2，又S1 ＝a1 ＝2

∴{1

Sn }是以2为首项，公差为2的等差数列.（2）由（11S ＝2＋(n－1)2＝2n，∴S1

n＝n2n

当n≥2时，a1

n＝Sn－Sn－1＝－2n(n－1)

1

（n＝n＝1时，a1

21）1＝S1＝2，∴an＝ 

－1 2n(n－1)

（n≥2）(3)由（2）知b＝1

n＝2(1－n)ann

∴b2＋b2

11111123＋…＋bn22 ＋3＋…＋n 1×2 ＋2×3＋…＋(n－1)n

＝(1111111

2)＋2－3)＋…＋(n－1 －n)＝1－n <1.(1)求

第三篇：高中《数列》专题复习题

《数列》专题复习题

1．等差数列{an}中，a1=1，a3+a5=14，其前n项和Sn=100，则n=（）

(A)9(B)10(C)11(D)12

2．等差数列{an}的前n项和为Sn，若S22,S410,则S6等于（）

（A）12（B）18（C）24（D）42

3．已知数列的通项an5n2，则其前n项和Sn．

4．数列{an}的前n项和为Sn，若an

A．1B．1，则S5等于（）n(n1)56 C．16 D．1 30

5．设{an}为公比q>1的等比数列，若a2004和a2005是方程4x28x30的两根，则a2006a2007__________.6．设等差数列an的公差d不为0，a19d．若ak是a1与a2k的等比中项，则k（）Ａ．2Ｂ．4Ｃ．6Ｄ．8

*7.在数列an中，a12，an14an3n1，nN．

（Ⅰ）证明数列ann是等比数列；

（Ⅱ）求数列an的前n项和Sn；

（Ⅲ）证明不等式Sn1≤4Sn，对任意nN皆成立．

8.已知实数列{an}是等比数列,其中a71,且a4,a51,a6成等差数列.(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;

(Ⅱ)数列{an}的前n项和记为Sn,证明: Sn＜128(n1,2,3,…).*

3a2，a34构成等差数列． 9．设{an}是公比大于1的等比数列，Sn为数列{an}的前n项和．已知S37，且a13，（1）求数列{an}的等差数列．，2，，（2）令bnlna3n1，n1求数列{bn}的前n项和T．

10．设{an}是等差数列，{bn}是各项都为正数的等比数列，且a1b11，a3b521，a5b313

（Ⅰ）求{an}，{bn}的通项公式；（Ⅱ）求数列an的前n项和Sn． bn

*11．数列an的前n项和为Sn，a11，an12Sn(nN)．

（Ⅰ）求数列an的通项an；（Ⅱ）求数列nan的前n项和Tn．

第四篇：小学数学变式练习教学探究

小学数学变式练习教学探究

摘 要：所谓变式就是使提供给学生的各种感性材料不断变换其表现形式，使非本质属性变化，本质属性恒在。变式在小学数学教学中运用十分广泛，可以在概念形成阶段提供，也可以在知识巩固深化阶段以练习的形式呈现。

关键词：变式；变换；解决问题

所谓变式就是使提供给学生的各种感性材料不断变换其表现形式，使非本质属性变化，本质属性恒在。变式在小学数学教学中运用十分广泛，可以在概念形成阶段提供，也可以在知识巩固深化阶段以练习的形式呈现。通过变式练习，能使学生排除非本质属性的干扰而看清本质，不仅能深化所学的知识，而且还能培养学生灵活运用所学的知识解决实际问题的能力。那么，教师怎样设计变式练习呢？笔者有以下几点浅见，愿与同仁共研。

一、变换叙述形式

基本题：24的约数有。

变式题：（1）24能被 整除；（2）能被24整除；（3）24是 的倍数。

这三道变式题变换了叙述形式，但其约数的本质“必须整除”始终恒在。通过解答，使学生不只习惯于解答标准叙述形式的题目（基本题），而且能灵活地排除变式的非本质属性的干扰，并能正确地解答题目，从而对约数的概念理解得更加深刻，同时也培养了学生灵活运用知识的能力。又如：

基本题：黄花有5朵，红花比黄花多3朵，红花有多少朵？

变式题：黄花有5朵，黄花比红花少3朵，红花有多少朵？

变式题中的“黄花比红花少3朵”也就是“红花比黄花多3朵”。叙述学生变了，但“求比一个数多几的数”这类应用题（即解决问题）的本质属性不变，其数量关系仍然是“较小数+差数=较大数”，因此用加法计算，这种变式题不仅能有效地克服学生“见多就加，见少就减”，防止学生片面地根据一些固定的词语来选择算法，而且能培养学生认真审题，提高解决问题的能力。

二、变换图形的位置或条件

这类变式题的设计在几何初步知识中经常出现和使用，变式题中多余的条件“7”的设计，可以帮助学生更好地理解三角形面积计算公式，能克服学生乱套公式的坏习惯。

三、变换已知条件的叙述顺序

基本题：红星小学少先队员种树，每排种6棵，种了4排，一共种了多少棵？

变式题：红星小学少先队员种了4排树，每排种6棵，一共种了多少棵？

变式题条件叙述顺序上的变化，使已知条件出现了的数据与列式次序不一致，会使学生错列成4×6=24（棵）或4×6=24（排）的错误，这就要求学生必须认真审题，仔细分析数量关系，只有在明确求“4个6是多少”以后，才会纠正其错误。又如，文字题：

基本题：25与20的和除以它们的差，商是多少？

变式题：25与20的差除它们的和，商是多少？

变式题变换了条件的叙述顺序，旨在考查学生对“除”和“除以”的理解和掌握。

四、变换题目中的已知条件

1.将题目中的某一已知条件隐藏

基本题：把90°角按1∶2分成两个锐角，这两个锐角各是多少度？

变式题：直角三角形两个锐角的度数比是1∶2，这两个锐角的度数各是多少度？

这样设计的变式解决问题，表面上看是只有一个已知条件，如果不认真分析思考，学生的思维就会受阻，错误地认为条件不够，无法进行解答，这样设计旨在使学生从某些词语的背后发现蕴含的另一个已知条件，提高学生解答问题的能力。

2.将题目中的直接条件变换为间接条件

基本题：育才小学三年级有90人，四年级的人数比三年级多6人，三、四年级共有多少人？

变式题：（1）育才小学三年级有2个班，每班45人，四年级的人数比三年级多6人，三、四年级共有多少人？（2）育才小学三年级有90人，比四年级的人数比少6人，三、四年级共有多少人？

用这种方法设计的变式题，在解决问题的教学中经常运用，变式题（1）和（2）与基本题比较，虽然问题不变，但由于条件变换，将一步计算的解决问题扩展成二、三步计算的解决问题，从而使学生能认清复合解决问题的结构特征。

五、变换所求问题

基本题：光明小学五年级有男生120人，女生100人，男生人数是女生人数的几分之几？在学生正确的解答后，教师变换问题：

（1）女生是男生的几分之几？（2）男生比女生多几分之几？（3）女生比男生少几分之几？（4）男、女生人数各占五年级人数的几分之几？

通过解答和比较改变问题的变式题，使学生对“求一个数是另一个数的几分之几”解决问题有较深的认识，从而加深对这类解决问题的理解，培养学生思维的深刻性。

六、变化已知条件和所求条件――问题

基本题：长方形的长6厘米，宽5厘米，它的面积是多少？

变式题：长方形的面积是30厘米，长6厘米，宽是多少？

这种变式题，其解答思维方向是逆向的，经常设计这种练习供学生解答，不仅能深化所学的数学知识，而且还能培养学生的逆向思维能力。

七、变换题目叙述事理

基本题：一项工程，甲独做要8小时完成，乙独做要10小时完成，甲、乙两人合做要多少小时完成？

变式题：从甲地到乙地，客车要8小时，货车要10小时，现两车从甲、乙两地相向而行，几小时相遇？

变式题的叙述事理虽然发生了变化，但其数量关系与基本题相同。通过解答，可以使学生对工程问题的数量关系获得更为广泛的概念和理解。

八、变换数据、运算符号或计算步骤

这种方法的设计常常用于四则混合运算的教学。

基本题：0.32+7-2-0.32

变式题：（1）0.32×7+2×0.32（变换运算符号）；（2）0.32×7+2×0.25（变换数据和运算符号）；（3）0.32×（7+2）×0.25

变式题1与基本题一样，都能运用运算定律进行简算。这时，小学生往往会产生“简便计算”的心理定势，对这些貌似能简算，但实际不能简算的题目，学生极易失误；变式题2的设计目的是排除学生多余成分的干扰，防止“7+2”先求和；变式题3添上括号变换了运算顺序，其目的除了与变式题2进行对比外，还要引导学生灵活地计算。教师设计此种“一题多变”的变式题既能避免试题形式单调，又能使学生在“一题多变”练习中排除各种干扰，自觉认真审题，不断提高学生的计算能力。

第五篇：八大类数列及变式总结(公考资料)

八大类数列及变式总结

数字推理的题目通常状况下是给出一个数列，但整个数列中缺少一个项，要求仔细观察这个数列各项之间的关系，判断其中的规律。解题关键：

1，培养数字、数列敏感度是应对数字推理的关键。2，熟练掌握各类基本数列。

3，熟练掌握八大类数列，并深刻理解“变式”的概念。4，进行大量的习题训练，自己总结，再练习。

下面是八大类数列及变式概念。例题是帮助大家更好的理解概念，掌握概念。虽然这些理论概念是从教材里得到，但是希望能帮助那些没有买到教材，那些只做大量习题而不总结的朋友。最后跟大家说，做再多的题，没有总结，那样是不行的。只有多做题，多总结，然后把别人的理论转化成自己的理论，那样做任何的题目都不怕了。谢谢！

一、简单数列

自然数列：1，2，3，4，5，6，7，……

奇数列：1，3，5，7，9，……

偶数列：2，4，6，8，10，……

自然数平方数列：1，4，9，16，25，36，……

自然数立方数列：1，8，27，64，125，216，……

等差数列：1，6，11，16，21，26，……

等比数列：1，3，9，27，81，243，……

二、等差数列

1，等差数列：后一项减去前一项形成一个常数数列。例题：12，17，22，27，（），37 解析：17-12=5，22-17=5，……

2，二级等差数列：后一项减去前一项形成一个新的数列是一个等差数列。例题1： 9，13，18，24，31，（）

解析：13-9=4，18-13=5，24-18=6，31-24=7，…… 例题2.：66，83，102，123，（）

解析：83-66=17，102-83=19，123-102=21，……

3，二级等差数列变化：后一项减去前一项形成一个新的数列，这个新的数列可能是自然数列、等比数列、平方数列、立方数列、或者与加减“1”、“2”的形式有关。

例题1： 0，1，4，13，40，（）

解析：1-0=1，4-1=3，13-4=9，40-13=27，……公比为3的等比数列 例题2： 20，22，25，30，37，（）

解析：22-20=2，25-22=3，30-25=5，37-30=7，…….二级为质数列

4，三级等差数列及变化：后一项减去前一项形成一个新的数列，再在这个新的数列中，后一项减去前一项形成一个新的数列，这个新的数列可能是自然数列、等比数列、平方数列、立方数列、或者与加减“1”、“2”的形式有关。例题1： 1，9，18，29，43，61，（）

解析：9-1=8，18-9=9，29-18=11，43-29=14，61-43=18，……二级特征不明显

9-8=1，11-9=2，14-11=3，18-14=4，……三级为公差为1的等差数列 例题2.：1，4，8，14，24，42，（）

解析：4-1=3，8-4=4，14-8=6，24-14=10，42-24=18，……二级特征不明显

4-3=1，6-4=2，10-6=4，18-10=8，……三级为等比数列 例题3：（），40，23，14，9，6 解析：40-23=17，23-14=9，14-9=5，9-6=3，……二级特征不明显

17-9=8，9-5=4，5-3=2，……三级为等比数列

三、等比数列

1，等比数列：后一项与前一项的比为固定的值叫做等比数列 例题：36，24，（）32/3，64/9 解析：公比为2/3的等比数列。

2，二级等比数列变化：后一项与前一项的比所得的新的数列可能是自然数列、等比数列、平方数列、立方数列、或者与加减“1”、“2”的形式有关。例题1：1，6，30，（），360 解析：6/1=6，30/6=5，（）/30=4，360/（）=3，……二级为等差数列 例题2：10，9，17，50，（）

解析：1*10-1=9，2*9-1=18，3*17-1=50，…… 例题3：16，8，8，12，24，60，（）

解析：8/16=0.5，8/8=1，12/8=1.5，24/12=2，60*24=2.5，……二级为等差数列 例题4：60，30，20，15，12，（）

解析：60/30=2/1，30/20=3/2，20/15=4/3，15/12=5/4，……

重点：等差数列与等比数列是最基本、最典型、最常见的数字推理题型。必须熟练掌握其基本形式及其变式。

四、和数列

1，典型（两项求和）和数列：前两项的加和得到第三项。例题1：85，52，（），19，14 解析：85=52+（），52=（）+19，（）=19+14，…… 例题2：17，10，（），3，4，-1 解析：17-10=7，10-7=3，7-3=4，3-4=-1，…… 例题3：1/3，1/6，1/2，2/3，（）解析：前两项的加和得到第三项。

2，典型（两项求和）和数列变式：前两项的和，经过变化之后得到第三项，这种变化可能是加、减、乘、除某一常数；或者是每两项的和与项数之间具有某种关系。例题1：22，35，56，90，（），234 解析：前两项相加和再减1得到第三项。例题2：4，12，8，10，（）

解析：前两项相加和再除2得到第三项。例题3：2，1，9，30，117，441，（）解析：前两项相加和再乘3得到第三项。

3，三项和数列变式：前三项的和，经过变化之后得到第四项，这种变化可能是加、减、乘、除某一常数；或者是每两项的和与项数之间具有某种关系。例题1：1，1，1，2，3，5，9，（）解析：前三项相加和再减1得到第四项。例题2：2，3，4，9，12，25，22，（）解析：前三项相加和得到自然数平方数列。例题：-4/9，10/9，4/3，7/9，1/9，（）解析：前三项相加和得到第四项。

五、积数列

1，典型（两项求积）积数列：前两项相乘得到第三项。例题：1，2，2，4，（），32 解析：前两项相乘得到第三项。

2，积数列变式：前两项相乘经过变化之后得到第三项，这种变化可能是加、减、乘、除某一常数；或者是每两项的乘与项数之间具有某种关系。

例题1：3/2，2/3，3/4，1/3，3/8，（）解析：两项相乘得到1，1/2，1/4，1/8，……

例题2：1，2，3，35，（）

解析：前两项的积的平方减1得到第三项。例题3：2，3，9，30，273，（）解析：前两项的积加3得到第三项。

六、平方数列

1，典型平方数列（递增或递减）例题：196，169，144，（），100 解析：14立方，13立方，……

2，平方数列变式：这一数列特点不是简单的平方或立方数列，而是在此基础上进行“加减乘除”的变化。例题1：0，5，8，17，（），37 解析：0=12-1，5=22+1，8=32-1，17=42+1，（）=52-1，37=62+1 例题2：3，2，11，14，27，（）

解析：12+2，22-2，32+2，42-2，52+2，…… 例题3：0.5，2，9/2，8，（）

解析：等同于1/2，4/2，9/2，16/2，分子为12，22，32，42，…… 例题4：17，27，39，（），69 解析：17=42+1，27=52+2，39=62+3，…… 3，平方数列最新变化------二级平方数列 例题1：1，4，16，49，121，（）

解析：12，22，42，72，112，……二级不看平方

1，2，3，4，……三级为自然数列 例题2：9，16，36，100，（）

解析：32，42，62，102，……二级不看平方

1，2，4，……三级为等比数列]

七、立方数列

1，典型立方数列（递增或递减）：不写例题了。

2，立方数列变化：这一数列特点不是简单的立方数列，而是在此基础上进行“加减乘除”的变化。例题1：0，9，26，65，124，（）解析：项数的立方加减1的数列。例题2：1/8，1/9，9/64，（），3/8 解析：各项分母可变化为2，3，4，5，6的立方，分之可变化为1，3，9，27，81

例题3：4，11，30，67，（）

解析：各项分别为立方数列加3的形式。例题4：11，33，73，（），231 解析：各项分别为立方数列加3，6，9，12，15的形式。例题5：-26，-6，2，4，6，（）

解析：（-3）3+1，（-2）3+2，（-1）3+3，（0）3+4，（1）3+5，……

八、组合数列

1，数列间隔组合：两个数列（七种基本数列的任何一种或两种）进行分隔组合。例题1：1，3，3，5，7，9，13，15，（），（）

解析：二级等差数列1，3，7，13，……和二级等差数列3，5，9，15，……的间隔组合。例题2：2/3，1/2，2/5，1/3，2/7，（）

解析：数列2/3，2/5，2/7和数列1/2，1/3，……的间隔组合。2，数列分段组合：

例题1：6，12，19，27，33，（），48 解析：7 8 6（）8 例题2：243，217，206，197，171，（），151 解析：11 9 26（）9 特殊组合数列：

例题1：1.01，2.02，3.04，5.08，（）

解析：整数部分为和数列1，2，3，5，……小数部分为等比数列0.01，0.02，0.04，……

九、其他数列

1，质数列及其变式：质数列是一个非常重要的数列，质数即只能被1和本身整除的数。例题1：4，6，10，14，22，（）

解析：各项除2得到质数列2，3，5，7，11，…… 例题2：31，37，41，43，（），53 解析：这是个质数列。2，合数列：

例题：4，6，8，9，10，12，（）

解析：和质数列相对的即合数列，除去质数列剩下的不含1的自然数为合数列。3，分式最简式：

例题1：133/57，119/51，91/39，49/21，（），7/3

解析：各项约分最简分式的形式为7/3。

例题2：105/60，98/56，91/52，84/48，（），21/12 解析：各项约分最简分式的形式为7/4。

等差，等比这种最简单的不用多说，深一点就是在等差，等比上再加、减一个数列，如24,70,208,622，规律为a*3-2=b 深一点模式，各数之间的差有规律，如 1、2、5、10、17。它们之间的差为1、3、5、7，成等差数列。这些规律还有差之间成等比之类。B，各数之间的和有规律，如1、2、3、5、8、13，前两个数相加等于后一个数。

3、看各数的大小组合规律，做出合理的分组。如 7,9,40,74,1526,5436，7和9，40和74，1526和5436这三组各自是大致处于同一大小级，那规律就要从组方面考虑，即不把它们看作6个数，而应该看作3个组。而组和组之间的差距不是很大，用乘法就能从一个组过渡到另一个组。所以7*7-9=40 , 9*9-7=74 , 40*40-74=1526 , 74*74-40=5436，这就是规律。

4、如根据大小不能分组的，A，看首尾关系，如7，10，9，12，11，14，这组数;7+14＝10+11＝9+12。首尾关系经常被忽略，但又是很简单的规律。B，数的大小排列看似无序的，可以看它们之间的差与和有没有顺序关系。

5、各数间相差较大，但又不相差大得离谱，就要考虑乘方，这就要看各位对数字敏感程度了。如6、24、60、120、210，感觉它们之间的差越来越大，但这组数又看着比较舒服(个人感觉，嘿嘿)，它们的规律就是2^3-2=6、3^3-3=24、4^3-4=60、5^3-5=120、6^3-6=210。这组数比较巧的是都是6的倍数，容易导入歧途。

6)看大小不能看出来的，就要看数的特征了。如21、31、47、56、69、72，它们的十位数就是递增关系，如 25、58、811、1114，这些数相邻两个数首尾相接，且2、5、8、11、14的差为3，如论坛上答：256，269，286，302，（），2+5+6=1

32+6+9＝17

2+8+6＝16

3+0+2＝5，∵ 256+13＝269

269+17＝286

286+16＝302 ∴ 下一个数为 302+5＝307。

7)再复杂一点，如 0、1、3、8、21、55，这组数的规律是b*3-a=c，即相邻3个数之间才能看出规律，这算最简单的一种，更复杂数列也用把前面介绍方法深化后来找出规律。

8)分数之间的规律，就是数字规律的进一步演化，分子一样，就从分母上找规律；或者第一个数的分母和第二个数的分子有衔接关系。而且第一个数如果不是分数，往往要看成分数，如2就要看成2/1。

数字推理题经常不能在正常时间内完成，考试时也要抱着先易后难的态度(废话，嘿嘿)。应用题个人觉得难度和小学奥数程度差不多(本人青年志愿者时曾在某小学辅导奥数)，各位感觉自己有困难的网友可以看看这方面的书，还是有很多有趣、快捷的解题方法做参考。国家公务员考试中数学计算题分值是最高的，一分一题，而且题量较大，所以很值得重视(国家公务员125题，满分100分，各题有分值差别，但如浙江省公务员一共120题，满分120分，没有分值 的差别)

补充：

中间数等于两边数的乘积，这种规律往往出现在带分数的数列中，且容易忽略

如1/

2、1/

6、1/3、2、6、3、1/2

9）数的平方或立方加减一个常数，常数往往是1，这种题要求对数的平方数和立方数比较熟悉

如看到2、5、10、17，就应该想到是1、2、3、4的平方加1

如看到0、7、26、63，就要想到是1、2、3、4的立方减1

对平方数，个人觉得熟悉1~20就够了，对于立方数，熟悉1~10就够了，而且涉及到平方、立

方的数列往往数的跨度比较大，而且间距递增，且递增速度较快

10）A＾2－B＝C 因为最近碰到论坛上朋友发这种类型的题比较多，所以单独列出来

如数列 5，10，15，85，140，7085

如数列 5,;6,;19,;;17 ,;344 , －5

5如数列 5, 15, 10, 215，－115

这种数列后面经常会出现一个负数，所以看到前面都是正数，后面突然出现一个负数，就

考虑这个规律看看

11）奇偶数分开解题，有时候一个数列奇数项是一个规律，偶数项是另一个规律，互相成干扰项

如数列 1, 8, 9, 64, 25，216

奇数位1、9、25 分别是1、3、5的平方

偶数位8、64、216是2、4、6的立方

先补充到这儿。。。

12)后数是前面各数之各，这种数列的特征是从第三个数开始，呈2倍关系

如数列：1、2、3、6、12、24

由于后面的数呈2倍关系，所以容易造成误解！

数字推理的题目就是给你一个数列,但其中缺少一项,要求你仔细观察这个数列各数字之间的关系,找出其中的规律,然后在四个选项中选择一个最合理的一个作为答案.数字推理题中对数列的敏感非常重要，下面共享几个比较常见的数列： 1.1，1，2，6，24，120 2.1，2，3，5，8，13

3.1，2，4，7，11，16，22 4.1，2，5，14，41，122 5.3，4，6，9，13，18，24 6.3，4，6，9，13，18，24 7.2，3，5，7，11，13，8.1，4，27，256 9.2，3，5，7，11，13，17

数字推理题型的7种类型28种形式

数字推理由题干和选项两部分组成，题干是一个有某种规律的数列，但其中缺少一项，要求考生仔细观察这个数列各数字之间的关系，找出其中的规律，然后从四个供选择的答案中选出你认为最合适、最合理的一个，使之符合数列的排列规律。其不同于其他形式的推理，题目中全部是数字，没有文字可供应试者理解题意，真实地考查了应试者的抽象思维能力。

第一种情形----等差数列：是指相邻之间的差值相等，整个数字序列依次递增或递减的一组数。

１、等差数列的常规公式。设等差数列的首项为a1，公差为d，则等差数列的通项公式为an=a1+(n-1)d(n为自然数)。

[例1]1，3，5，7，9，（）A.7 B.8 C.11 D.13 [解析] 这是一种很简单的排列方式：其特征是相邻两个数字之间的差是一个常数。从该题中我们很容易发现相邻两个数字的差均为2，所以括号内的数字应为11。故选C。

２、二级等差数列。是指等差数列的变式，相邻两项之差之间有着明显的规律性,往往构成等差数列.[例2] 2, 5, 10, 17, 26,(), 50 A.35 B.33 C.37 D.36 [解析] 相邻两位数之差分别为3, 5, 7, 9，是一个差值为2的等差数列,所以括号内的数与26的差值应为11,即括号内的数为26+11=37.故选C。

３、分子分母的等差数列。是指一组分数中，分子或分母、分子和分母分别呈现等差数列的规律性。[例3] 2/3，3/4，4/5，5/6，6/7，（）

A、8/9 B、9/10 C、9/11 D、7/8 [解析] 数列分母依次为3，4，5，6，7；分子依次为2，3，4，5，6，故括号应为7/8。故选D。

４、混合等差数列。是指一组数中，相邻的奇数项与相邻的偶数项呈现等差数列。[例4] 1，3，3，5，7，9，13，15，（），（）。A、19 21 B、19 23 C、21 23 D、27 30 [解析] 相邻奇数项之间的差是以2为首项，公差为2的等差数列，相邻偶数项之间的差是以2为首项，公差为2的等差数列。

提示：熟练掌握基本题型及其简单变化是保证数字推理题不丢分的关键。

第二种情形---等比数列：是指相邻数列之间的比值相等，整个数字序列依次递增或递减的一组数。

5、等比数列的常规公式。设等比数列的首项为a1，公比为q(q不等于0)，则等比数列的通项公式为an=a1q n-1(n为自然数)。

[例5] 12，4，4/3，4/9，（）A、2/9 B、1/9 C、1/27 D、4/27 [解析] 很明显，这是一个典型的等比数列，公比为1/3。故选D。

6、二级等比数列。是指等比数列的变式，相邻两项之比有着明显的规律性，往往构成等比数列。[例6] 4，6，10，18，34，（）A、50 B、64 C、66 D、68 [解析] 此数列表面上看没有规律，但它们后一项与前一项的差分别为2，4，6，8，16，是一个公比为2的等比数列，故括号内的值应为34+16Ⅹ2=66 故选C。

7、等比数列的特殊变式。

[例7] 8，12，24，60，（）A、90 B、120 C、180 D、240 [解析] 该题有一定的难度。题目中相邻两个数字之间后一项除以前一项得到的商并不是一个常数，但它们是按照一定规律排列的：3/2，4/2，5/2，因此，括号内数字应为60Ⅹ6/2=180。故选C。此题值得再分析一下，相邻两项的差分别为4，12，36，后一个值是前一个值的3倍，括号内的数减去60应为36的3倍，即108，括号数为168，如果选项中没有180只有168的话，就应选168了。同时出现的话就值得争论了，这题只是一个特例。

第三种情形—混合数列式：是指一组数列中，存在两种以上的数列规律。

8、双重数列式。即等差与等比数列混合，特点是相隔两项之间的差值或比值相等。

[例8] 26，11，31，6，36，1，41，（）A、0 B、-3 C、-4 D、46 [解析] 此题是一道典型的双重数列题。其中奇数项是公差为5的等差递增数列，偶数项是公差为5的等差递减数列。故选C。

9、混合数列。是两个数列交替排列在一列数中，有时是两个相同的数列（等差或等比），有时两个数列是按不同规律排列的，一个是等差数列，另一个是等比数列。[例9] 5，3，10，6，15，12，（），（）

A、20 18 B、18 20 C、20 24 D、18 32 [解析] 此题是一道典型的等差、等比数列混合题。其中奇数项是以5为首项、公差为5的等差数列，偶数项是以3为首项、公比为2的等比数列。故选C。

第四种情形—四则混合运算：是指前两（或几）个数经过某种四则运算等到于下一个数，如前两个数之和、之差、之积、之商等于第三个数。

10、加法规律。

之一：前两个或几个数相加等于第三个数，相加的项数是固定的。

[例11] 2，4，6，10，16，（）A、26 B、32 C、35 D、20 [解析] 首先分析相邻两数间数量关系进行两两比较，第一个数2与第二个数4之和是第三个数，而第二个数4与第三个数6之和是10。依此类推，括号内的数应该是第四个数与第五个数的和26。故选A。

之二：前面所有的数相加等到于最后一项，相加的项数为前面所有项。[例12] 1，3，4，8，16，（）A、22 B、24 C、28 D、32 [解析] 这道题从表面上看认为是题目出错了，第二位数应是2，以为是等比数列。其实不难看出，第三项等于前两项之和，第四项与等于前三项之和，括号内的数应为前五项之和为32。故选D。

11、减法规律。是指前一项减去第二项的差等于第三项。[例13] 25，16，9，7，（），5 A、8 B、2 C、3 D、6 [解析] 此题是典型的减法规律题，前两项之差等于第三项。故选B。

12、加减混合：是指一组数中需要用加法规律的同时还要使用减法，才能得出所要的项。

[例14] 1，2，2，3，4，6，（）A、7 B、8 C、9 D、10 [解析] 即前两项之和减去1等于第三项。故选C。

13、乘法规律。

之一：普通常规式：前两项之积等于第三项。

[例15] 3，4，12，48，（）A、96 B、36 C、192 D、576 [解析] 这是一道典型的乘法规律题，仔细观察，前两项之积等于第三项。故选D。

之二：乘法规律的变式：

[例16] 2，4，12，48，（）A、96 B、120 C、240 D、480 [解析] 每个数都是相邻的前面的数乘以自已所排列的位数，所以第5位数应是5×48=240。故选D。

14、除法规律。

[例17] 60，30，2，15，（）A、5 B、1 C、1/5 D、2/15 [解析] 本题中的数是具有典型的除法规律，前两项之商等于第三项，故第五项应是第三项与第四项的商。故选D。

15、除法规律与等差数列混合式。

[例18] 3，3，6，18，（）A、36 B、54 C、72 D、108 [解析] 数列中后个数字与前一个数字之间的商形成一个等差数列，以此类推，第5个数与第4个数之间的商应该是4，所以18×4=72。故选C。

思路引导：快速扫描已给出的几个数字，仔细观察和分析各数之间的关系，大胆提出假设，并迅速将这种假设延伸到下面的数。如果假设被否定，立刻换一种假设，这样可以极大地提高解题速度。

第五种情形—平方规律：是指数列中包含一个完全平方数列，有的明显，有的隐含。

16、平方规律的常规式。

[例19] 49，64，91，（），121 A、98 B、100 C、108 D、116 [解析] 这组数列可变形为72，82，92，（），112，不难看出这是一组具有平方规律的数列，所以括号内的数应是102。故选B。

17、平方规律的变式。

之

一、n2-n [例20] 0，3，8，15，24，（）A、28 B、32 C、35 D、40 [解析] 这个数列没有直接规律，经过变形后就可以看出规律。由于所给数列各项分别加1，可得1，4，9，16，25，即12，22，32，42，52，故括号内的数应为62-1=35，其实就是n2-n。故选C。

之

二、n2+n [例21] 2，5，10，17，26，（）A、43 B、34 C、35 D、37 [解析] 这个数是一个二级等差数列，相邻两项的差是一个公差为2的等差数列，括号内的数是26=11=37。如将所给的数列分别减1，可得1，4，9，16，25，即12，22，32，42，52，故括号内的数应为62+1=37，其实就是n2+n。故选D。

之

三、每项自身的平方减去前一项的差等于下一项。

[例22] 1，2，3，7，46，（）A、2109 B、1289 C、322 D、147 [解析] 本数列规律为第项自身的平方减去前一项的差等于下一项，即12-0，22-1=3，32-2=7，72-3=46，462-7=2109，故选A。

第六种情形—立方规律：是指数列中包含一个立方数列，有的明显，有的隐含。

16、立方规律的常规式：

[例23] 1/343，1/216，1/125，（）A、1/36 B、1/49 C、1/64 D、1/27 [解析] 仔细观察可以看出，上面的数列分别是1/73，1/63，1/53的变形，因此，括号内应该是1/43，即1/64。故选C。

17、立方规律的变式：

之

一、n3-n [例24] 0，6，24，60，120，（）A、280 B、320 C、729 D、336 [解析] 数列中各项可以变形为13-1，23-2，33-3，43-4，53-5，63-6，故后面的项应为73-7=336，其排列规律可概括为n3-n。故选D。

之

二、n3+n [例25] 2，10，30，68，（）A、70 B、90 C、130 D、225 [解析] 数列可变形为13+1，23+1，33+1，43+1，故第5项为53+=130，其排列规律可概括为n3+n。故选C。

之

三、从第二项起后项是相邻前一项的立方加1。

[例26]-1，0，1，2，9，（）A、11 B、82 C、729 D、730 [解析] 从第二项起后项分别是相邻前一项的立方加1，故括号内应为93+1=730。故选D。

思路引导：做立方型变式这类题时应从前面几种排列中跳出来，想到这种新的排列思路，再通过分析比较尝试寻找，才能找到正确答案。

第七种情形—特殊类型：

18、需经变形后方可看出规律的题型：

[例27] 1，1/16，（），1/256，1/625 A、1/27 B、1/81 C、1/100 D、1/121 [解析] 此题数列可变形为1/12，1/42，（），1/162，1/252，可以看出分母各项分别为1，4，（），16，25的平方，而1，4，16，25，分别是1，2，4，5的平方，由此可以判断这个数列是1，2，3，4，5的平方的平方，由此可以判断括号内所缺项应为1/（32）2=1/81。故选B。

19、容易出错规律的题。

[例28] 12，34，56，78，（）A、90 B、100 C、910 D、901 [解析] 这道题表面看起来起来似乎有着明显的规律，12后是34，然后是56，78，后面一项似乎应该是910，其实，这是一个等差数列，后一项减去前一项均为22，所以括号内的数字应该是78+22=100。故选B。