第一篇：第十四章整式乘法与因式分解单元教学
第十四章整式的乘法与因式分解单元教学计划
14.3因式分解。
小结复习。
一、教学内容：14.1整式的乘法。14.2乘法公式。
二、教学目标：
知识与技能：
1、使学生掌握正整数幂的乘、除运算性质，能用代数式和文字语言正确地表述这些性质，并能运用它们熟练地进行运算。使学生掌握单项式乘（或除以）单项式、多项式乘（或除以）单项式以及多项式乘多项式的法则，并运用它们进行运算。
2、使学生会推导乘法公式（平方差公式和完全平方公式），了解公式的几何意义，能利用公式进行乘法运算。
3、使学生掌握整式的加、减、乘、除、乘方的较简单的混合运算，并能灵活地运算运算律与乘法公式简化运算
4、使学生理解因式分解的意义，并感受分解因式与整式乘法是相反方向的变形，掌握提公因式法和运用公式法这两种分解因式的基本方法，了解因式分解的一般步骤；能够熟练地运用这些方法进行多项式的因式分解。过程与方法：
1、通过探索、猜测，进一步体会学会推理的必要性，发展学生 过程与方法〕 初步推理归纳能力；
2、通过揭示一些概念和法则之间的联系，对学生进行创新精神 和实践能力的及主观能动培养.情感态度与价值观：
1、通过观察、实验、归纳、类比、推断，体验
数学活动的趣 味性，以感受推理过程的严谨性以及结论的确定性；
2、开展探究性活动，充分体现学生的自主、合作精神，激发学生乐于探索的热情。
三、教学重点：掌握整式的乘法公式。
四、教学难点：掌握因式分解的方法。
五、课时分配：教学时间约需 14 课时，具体分配如下：
14.1整式的乘法6课时。14.2乘法公式3课时。14.3因式分解3课时。
小结复习2课时。
第二篇：因式分解与整式乘法的关系
因式分解与整式乘法的关系
【知识点】
整式乘法与因式分解一个是积化和差，另一个是和差化积，是两种互逆的变形．
即：
多项式整式乘积
【练习题】
1.下列因式分解正确的是
①
②
③
④
⑤
2.下列因式分解正确的是
①
②
③
④
⑤
3.下列因式分解正确的是
①
②
③
④
⑤
4.下列因式分解正确的是
①
②
③
④
⑤
5.下列因式分解正确的是
①
②
③
④
⑤
6.下列因式分解正确的是
①
②
③
④
⑤
答案
1.1；2
2.1；3；5
3.4；5
4.3；4
5.2；4
6.1；3；5
7.
第三篇：整式的乘法与因式分解复习教案
《整式的乘法与因式分解》复习
（一）教案
教学目标：
知识与技能：记住整式乘除的计算法则；平方差公式和完全平方公式；掌握因式分解的方法和则
过程与方法：会运用法则进行整式的乘除运算，会对一个多项式分解因式 情感态度与价值观：培养学生的独立思考能力和合作交流意识 教学重点：记住公式及法则
教学难点：会运用法则进行整式乘除运算，会对一个多项式进行因式分解 教学方法与手段：讲练结合 教学过程：
一．本章知识梳理：
幂的运算：
(1)同底数幂的乘法(2)同底数幂的除法
(3)幂的乘方(4)积的乘方
整式的乘除：(1)单项式乘单项式(2)单项式乘多项式
(3)多项式乘多项式
(4)单项式除以单项式(5)多项式除以单项式 乘法公式：
(1)平方差公式(2)完全平方公式 因式分解：
(1)提公因式法(2)公式法 二．合作探究：
(1)化简：a3·a2b=.(2)计算：4x2+4x2=(3)计算：4x2·(-2xy)=.(4)分解因式：a2-25=
三、当堂检测
1．am=2，an=3则a2m+n =___________，am－2n =____________ 2．若A÷5ab2=－7ab2c3,则A=_________, 若4x2yz3÷B=－8x,则B=_________.2(axb)(x2)x4，则ab=_________________.3．若4．若a-2+b2-2b+1=0，则a=a，b＝
5．已知
11a223aa的值是.，则6．已知被除式是x3+2x2－1，商式是x，余式是－1，则除式是（）
A、x2+3x－1 B、x2+2x C、x2－1 D、x2－3x+1 7.如(x+m)与(x+3)的乘积中不含x的一次项，则m的值为（）
A.–3 B.3
C.0
D.1 8.一个正方形的边长增加了2cm，面积相应增加了32cm，则这个正方形的边长为（）
A、6cm B、5cm C、8cm D、7cm 9．下列各式是完全平方式的是（）
2A、x2x14 B、1x2 C、xxy1
2D、x2x1
10．下列多项式中，含有因式(y1)的多项式是（y 2 2 y 1）
A.22222(y1)(y1)(y1)(y1)(y1)2(y1)1 B.C.D.三.课堂小结：
今天这节课，你学到了哪些知识？有哪些收获与感受？说出来大家分享。四.课后作业：
21．简便方法计算(1)98×102－992(2)991981
2．矩形的周长是28cm，两边长为x、y，若x3＋x2y－xy2－y3＝0，求矩形的面积． 3．已知a，b，c为△ABC的三条边的长．
(1)若b2＋2ab＝c2＋2ac，试判断△ABC的形状
222a2bc2b(ac)0，试判断三角形的形状(2)若板书设计：
第14章整式的乘法与因式分解复习
幂的运算：
(1)同底数幂的乘法(2)同底数幂的除法
(3)幂的乘方(4)积的乘方
整式的乘除：(1)单项式乘单项式(2)单项式乘多项式
(3)多项式乘多项式
(4)单项式除以单项式(5)多项式除以单项式 乘法公式：
(1)平方差公式(2)完全平方公式 因式分解：
(1)提公因式法(2)公式法 课后记载：
第四篇：初二整式的乘法与因式分解知识点总结
初二整式的乘法与因式分解知识点总结
（含答案解析）
知识点：
1.基本运算：
⑴同底数幂的乘法：
⑵幂的乘方：
⑶积的乘方：
2.整式的乘法：
⑴单项式单项式：系数系数，同字母同字母，不同字母为积的因式.⑵单项式多项式：用单项式乘以多项式的每个项后相加.⑶多项式多项式：用一个多项式每个项乘以另一个多项式每个项后相加.3.计算公式：
⑴平方差公式：
⑵完全平方公式：；
4.整式的除法：
⑴同底数幂的除法：
⑵单项式单项式：系数系数，同字母同字母，不同字母作为商的因式.⑶多项式单项式：用多项式每个项除以单项式后相加.⑷多项式多项式：用竖式.5.因式分解：把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个
式
子因式分解.6.因式分解方法：
⑴提公因式法：找出最大公因式.⑵公式法：
①平方差公式：
②完全平方公式：
③立方和：
④立方差：
⑶十字相乘法：
⑷拆项法
⑸添项法
常考题：
一．选择题（共12小题）
1．下列运算中，结果正确的是（）
A．x3•x3=x6
B．3x2+2x2=5x4
C．（x2）3=x5
D．（x+y）2=x2+y2
2．计算（ab2）3的结果是（）
A．ab5
B．ab6
C．a3b5
D．a3b6
3．计算2x2•（﹣3x3）的结果是（）
A．﹣6x5
B．6x5
C．﹣2x6
D．2x6
4．下列各式由左边到右边的变形中，是分解因式的为（）
A．a（x+y）=ax+ay
B．x2﹣4x+4=x（x﹣4）+4
C．10x2﹣5x=5x（2x﹣1）
D．x2﹣16+3x=（x﹣4）（x+4）+3x
5．下列多项式中能用平方差公式分解因式的是（）
A．a2+（﹣b）2
B．5m2﹣20mn
C．﹣x2﹣y2
D．﹣x2+9
6．下列各式中能用完全平方公式进行因式分解的是（）
A．x2+x+1
B．x2+2x﹣1
C．x2﹣1
D．x2﹣6x+9
7．下列因式分解错误的是（）
A．x2﹣y2=（x+y）（x﹣y）
B．x2+6x+9=（x+3）2
C．x2+xy=x（x+y）
D．x2+y2=（x+y）2
8．把代数式ax2﹣4ax+4a分解因式，下列结果中正确的是（）
A．a（x﹣2）2
B．a（x+2）2
C．a（x﹣4）2
D．a（x+2）（x﹣2）
9．如（x+m）与（x+3）的乘积中不含x的一次项，则m的值为（）
A．﹣3
B．3
C．0
D．1
10．在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（a＞b）（如图甲），把余下的部分拼成一个矩形（如图乙），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证（）
A．（a+b）2=a2+2ab+b2
B．（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2
C．a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）
D．（a+2b）（a﹣b）=a2+ab﹣2b2
11．图（1）是一个长为2a，宽为2b（a＞b）的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图（2）
那样拼成一个正方形，则中间空的部分的面积是（）
A．ab
B．（a+b）2
C．（a﹣b）2
D．a2﹣b2
12．如图，从边长为（a+4）cm的正方形纸片中剪去一个边长为（a+1）cm的正方形（a＞0），剩余部分沿虚线又剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙），则矩形的面积为（）
A．（2a2+5a）cm2
B．（6a+15）cm2
C．（6a+9）cm2
D．（3a+15）cm2
二．填空题（共13小题）
13．分解因式：3x2﹣27=
．
14．分解因式：a2﹣1=
．
15．因式分解：x2﹣9y2=
．
16．分解因式：x3﹣4x=
．
17．因式分解：a3﹣ab2=
．
18．分解因式：x2+6x+9=
．
19．分解因式：2a2﹣4a+2=
．
20．分解因式：x3﹣6x2+9x=
．
21．分解因式：ab2﹣2ab+a=
．
22．分解因式：2a3﹣8a2+8a=
．
23．分解因式：3a2﹣12ab+12b2=
．
24．若m2﹣n2=6，且m﹣n=2，则m+n=
．
25．如图，边长为a、b的矩形，它的周长为14，面积为10，则a2b+ab2的值为
．
三．解答题（共15小题）
26．计算：（x﹣y）2﹣（y+2x）（y﹣2x）
27．若2x+5y﹣3=0，求4x•32y的值．
28．已知：a+b=3，ab=2，求下列各式的值：
（1）a2b+ab2
（2）a2+b2．
29．若x+y=3，且（x+2）（y+2）=12．
（1）求xy的值；
（2）求x2+3xy+y2的值．
30．先化简，再求值3a（2a2﹣4a+3）﹣2a2（3a+4），其中a=﹣2．
31．若a2﹣2a+1=0．求代数式的值．
32．分解因式：
（1）2x2﹣x；
（2）16x2﹣1；
（3）6xy2﹣9x2y﹣y3；
（4）4+12（x﹣y）+9（x﹣y）2．
33．（2a+b+1）（2a+b﹣1）
34．分解因式：x3﹣2x2y+xy2．
35．分解因式：
（1）a4﹣16；
（2）x2﹣2xy+y2﹣9．
36．分解因式x2（x﹣y）+（y﹣x）．
37．分解因式
（1）a2（x﹣y）+16（y﹣x）；
（2）（x2+y2）2﹣4x2y2．
38．因式分解
（1）﹣8ax2+16axy﹣8ay2；
（2）（a2+1）2﹣4a2．
39．因式分解：
（1）3x﹣12x3
（2）6xy2+9x2y+y3．
40．若x2+2xy+y2﹣a（x+y）+25是完全平方式，求a的值．
初二整式的乘法与因式分解知识点总结
(含答案解析)
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题）
1．（2015•甘南州）下列运算中，结果正确的是（）
A．x3•x3=x6
B．3x2+2x2=5x4
C．（x2）3=x5
D．（x+y）2=x2+y2
【分析】A、利用同底数幂的乘法法则计算得到结果，即可做出判断；
B、合并同类项得到结果，即可做出判断；
C、利用幂的乘方运算法则计算得到结果，即可做出判断；
D、利用完全平方公式展开得到结果，即可做出判断．
【解答】解：A、x3•x3=x6，本选项正确；
B、3x2+2x2=5x2，本选项错误；
C、（x2）3=x6，本选项错误；
D、（x+y）2=x2+2xy+y2，本选项错误，故选A
【点评】此题考查了完全平方公式，合并同类项，同底数幂的乘法，以及幂的乘方，熟练掌握公式及法则是解本题的关键．
2．（2008•南京）计算（ab2）3的结果是（）
A．ab5
B．ab6
C．a3b5
D．a3b6
【分析】根据积的乘方的性质进行计算，然后直接选取答案即可．
【解答】解：（ab2）3=a3•（b2）3=a3b6．
故选D．
【点评】本题考查积的乘方，把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．
3．（2011•呼和浩特）计算2x2•（﹣3x3）的结果是（）
A．﹣6x5
B．6x5
C．﹣2x6
D．2x6
【分析】根据单项式乘单项式的法则和同底数幂相乘，底数不变，指数相加计算后选取答案．
【解答】解：2x2•（﹣3x3），=2×（﹣3）•（x2•x3），=﹣6x5．
故选：A．
【点评】本题主要考查单项式相乘的法则和同底数幂的乘法的性质．
4．（2005•茂名）下列各式由左边到右边的变形中，是分解因式的为（）
A．a（x+y）=ax+ay
B．x2﹣4x+4=x（x﹣4）+4
C．10x2﹣5x=5x（2x﹣1）
D．x2﹣16+3x=（x﹣4）（x+4）+3x
【分析】根据分解因式就是把一个多项式化为几个整式的积的形式，利用排除法求解．
【解答】解：A、是多项式乘法，故A选项错误；
B、右边不是积的形式，x2﹣4x+4=（x﹣2）2，故B选项错误；
C、提公因式法，故C选项正确；
D、右边不是积的形式，故D选项错误；
故选：C．
【点评】这类问题的关键在于能否正确应用分解因式的定义来判断．
5．（2017春•薛城区期末）下列多项式中能用平方差公式分解因式的是（）
A．a2+（﹣b）2
B．5m2﹣20mn
C．﹣x2﹣y2
D．﹣x2+9
【分析】能用平方差公式分解因式的式子特点是：两项平方项，符号相反．
【解答】解：A、a2+（﹣b）2符号相同，不能用平方差公式分解因式，故A选项错误；
B、5m2﹣20mn两项不都是平方项，不能用平方差公式分解因式，故B选项错误；
C、﹣x2﹣y2符号相同，不能用平方差公式分解因式，故C选项错误；
D、﹣x2+9=﹣x2+32，两项符号相反，能用平方差公式分解因式，故D选项正确．
故选：D．
【点评】本题考查用平方差公式分解因式的式子特点，两平方项的符号相反．
6．（2013•张家界）下列各式中能用完全平方公式进行因式分解的是（）
A．x2+x+1
B．x2+2x﹣1
C．x2﹣1
D．x2﹣6x+9
【分析】根据完全平方公式的特点：两项平方项的符号相同，另一项是两底数积的2倍，对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：A、x2+x+1不符合完全平方公式法分解因式的式子特点，故A错误；
B、x2+2x﹣1不符合完全平方公式法分解因式的式子特点，故B错误；
C、x2﹣1不符合完全平方公式法分解因式的式子特点，故C错误；
D、x2﹣6x+9=（x﹣3）2，故D正确．
故选：D．
【点评】本题考查了用公式法进行因式分解，能用公式法进行因式分解的式子的特点需熟记．
7．（2009•眉山）下列因式分解错误的是（）
A．x2﹣y2=（x+y）（x﹣y）
B．x2+6x+9=（x+3）2
C．x2+xy=x（x+y）
D．x2+y2=（x+y）2
【分析】根据公式特点判断，然后利用排除法求解．
【解答】解：A、是平方差公式，故A选项正确；
B、是完全平方公式，故B选项正确；
C、是提公因式法，故C选项正确；
D、（x+y）2=x2+2xy+y2，故D选项错误；
故选：D．
【点评】本题主要考查了对于学习过的两种分解因式的方法的记忆与理解，需熟练掌握．
8．（2015•菏泽）把代数式ax2﹣4ax+4a分解因式，下列结果中正确的是（）
A．a（x﹣2）2
B．a（x+2）2
C．a（x﹣4）2
D．a（x+2）（x﹣2）
【分析】先提取公因式a，再利用完全平方公式分解即可．
【解答】解：ax2﹣4ax+4a，=a（x2﹣4x+4），=a（x﹣2）2．
故选：A．
【点评】本题先提取公因式，再利用完全平方公式分解，分解因式时一定要分解彻底．
9．（2016秋•南漳县期末）如（x+m）与（x+3）的乘积中不含x的一次项，则m的值为（）
A．﹣3
B．3
C．0
D．1
【分析】先用多项式乘以多项式的运算法则展开求它们的积，并且把m看作常数合并关于x的同类项，令x的系数为0，得出关于m的方程，求出m的值．
【解答】解：∵（x+m）（x+3）=x2+3x+mx+3m=x2+（3+m）x+3m，又∵乘积中不含x的一次项，∴3+m=0，解得m=﹣3．
故选：A．
【点评】本题主要考查了多项式乘多项式的运算，根据乘积中不含哪一项，则哪一项的系数等于0列式是解题的关键．
10．（2009•内江）在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（a＞b）（如图甲），把余下的部分拼成一个矩形（如图乙），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证（）
A．（a+b）2=a2+2ab+b2
B．（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2
C．a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）
D．（a+2b）（a﹣b）=a2+ab﹣2b2
【分析】第一个图形中阴影部分的面积计算方法是边长是a的正方形的面积减去边长是b的小正方形的面积，等于a2﹣b2；第二个图形阴影部分是一个长是（a+b），宽是（a﹣b）的长方形，面积是（a+b）（a﹣b）；这两个图形的阴影部分的面积相等．
【解答】解：∵图甲中阴影部分的面积=a2﹣b2，图乙中阴影部分的面积=（a+b）（a﹣b），而两个图形中阴影部分的面积相等，∴阴影部分的面积=a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）．
故选：C．
【点评】此题主要考查了乘法的平方差公式．即两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差，这个公式就叫做平方差公式．
11．（2013•枣庄）图（1）是一个长为2a，宽为2b（a＞b）的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图（2）那样拼成一个正方形，则中间空的部分的面积是（）
A．ab
B．（a+b）2
C．（a﹣b）2
D．a2﹣b2
【分析】中间部分的四边形是正方形，表示出边长，则面积可以求得．
【解答】解：中间部分的四边形是正方形，边长是a+b﹣2b=a﹣b，则面积是（a﹣b）2．
故选：C．
【点评】本题考查了列代数式，正确表示出小正方形的边长是关键．
12．（2012•枣庄）如图，从边长为（a+4）cm的正方形纸片中剪去一个边长为（a+1）cm的正方形（a＞0），剩余部分沿虚线又剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙），则矩形的面积为（）
A．（2a2+5a）cm2
B．（6a+15）cm2
C．（6a+9）cm2
D．（3a+15）cm2
【分析】大正方形与小正方形的面积的差就是矩形的面积，据此即可求解．
【解答】解：矩形的面积是：（a+4）2﹣（a+1）2
=（a+4+a+1）（a+4﹣a﹣1）
=3（2a+5）
=6a+15（cm2）．
故选B．
【点评】本题考查了平方差公式的几何背景，理解大正方形与小正方形的面积的差就是矩形的面积是关键．
二．填空题（共13小题）
13．（2015•黄石）分解因式：3x2﹣27= 3（x+3）（x﹣3）．
【分析】观察原式3x2﹣27，找到公因式3，提出公因式后发现x2﹣9符合平方差公式，利用平方差公式继续分解．
【解答】解：3x2﹣27，=3（x2﹣9），=3（x+3）（x﹣3）．
故答案为：3（x+3）（x﹣3）．
【点评】本题主要考查提公因式法分解因式和利用平方差公式分解因式，熟记公式是解题的关键，难点在于要进行二次分解因式．
14．（2013•上海）分解因式：a2﹣1=（a+1）（a﹣1）．
【分析】符合平方差公式的特征，直接运用平方差公式分解因式．平方差公式：a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）．
【解答】解：a2﹣1=（a+1）（a﹣1）．
故答案为：（a+1）（a﹣1）．
【点评】本题主要考查平方差公式分解因式，熟记公式是解题的关键．
15．（2013•邵阳）因式分解：x2﹣9y2=（x+3y）（x﹣3y）．
【分析】直接利用平方差公式分解即可．
【解答】解：x2﹣9y2=（x+3y）（x﹣3y）．
【点评】本题主要考查利用平方差公式分解因式，熟记公式结构是解题的关键．
16．（2017•大庆）分解因式：x3﹣4x= x（x+2）（x﹣2）．
【分析】应先提取公因式x，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
【解答】解：x3﹣4x，=x（x2﹣4），=x（x+2）（x﹣2）．
故答案为：x（x+2）（x﹣2）．
【点评】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用平方差公式进行二次因式分解，分解因式一定要彻底，直到不能再分解为止．
17．（2016•乐山）因式分解：a3﹣ab2= a（a+b）（a﹣b）．
【分析】观察原式a3﹣ab2，找到公因式a，提出公因式后发现a2﹣b2是平方差公式，利用平方差公式继续分解可得．
【解答】解：a3﹣ab2=a（a2﹣b2）=a（a+b）（a﹣b）．
【点评】本题是一道典型的中考题型的因式分解：先提取公因式，然后再应用一次公式．
本题考点：因式分解（提取公因式法、应用公式法）．
18．（2013•三明）分解因式：x2+6x+9=（x+3）2 ．
【分析】直接用完全平方公式分解即可．
【解答】解：x2+6x+9=（x+3）2．
【点评】本题考查了公式法分解因式，熟记完全平方公式法的结构特点是解题的关键．
19．（2017•咸宁）分解因式：2a2﹣4a+2= 2（a﹣1）2 ．
【分析】原式提取2，再利用完全平方公式分解即可．
【解答】解：原式=2（a2﹣2a+1）
=2（a﹣1）2．
故答案为：2（a﹣1）2．
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
20．（2015•西藏）分解因式：x3﹣6x2+9x= x（x﹣3）2 ．
【分析】先提取公因式x，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．
【解答】解：x3﹣6x2+9x，=x（x2﹣6x+9），=x（x﹣3）2．
故答案为：x（x﹣3）2．
【点评】本题考查提公因式法分解因式和利用完全平方公式分解因式，关键在于需要进行二次分解因式．
21．（2008•大庆）分解因式：ab2﹣2ab+a= a（b﹣1）2 ．
【分析】先提取公因式a，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．
【解答】解：ab2﹣2ab+a，=a（b2﹣2b+1），=a（b﹣1）2．
【点评】考查提公因式法分解因式和利用完全平方公式分解因式，难点在于提取公因式后利用完全平方公式进行二次因式分解．
22．（2013•安顺）分解因式：2a3﹣8a2+8a= 2a（a﹣2）2 ．
【分析】先提取公因式2a，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．
【解答】解：2a3﹣8a2+8a，=2a（a2﹣4a+4），=2a（a﹣2）2．
故答案为：2a（a﹣2）2．
【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
23．（2013•菏泽）分解因式：3a2﹣12ab+12b2= 3（a﹣2b）2 ．
【分析】先提取公因式3，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解即可求得答案．
【解答】解：3a2﹣12ab+12b2=3（a2﹣4ab+4b2）=3（a﹣2b）2．
故答案为：3（a﹣2b）2．
【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解的知识．一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，注意因式分解要彻底．
24．（2013•内江）若m2﹣n2=6，且m﹣n=2，则m+n= 3 ．
【分析】将m2﹣n2按平方差公式展开，再将m﹣n的值整体代入，即可求出m+n的值．
【解答】解：m2﹣n2=（m+n）（m﹣n）=（m+n）×2=6，故m+n=3．
故答案为：3．
【点评】本题考查了平方差公式，比较简单，关键是要熟悉平方差公式（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2．
25．（2014•西宁）如图，边长为a、b的矩形，它的周长为14，面积为10，则a2b+ab2的值为 70 ．
【分析】应把所给式子进行因式分解，整理为与所给周长和面积相关的式子，代入求值即可．
【解答】解：∵a+b=7，ab=10，∴a2b+ab2=ab（a+b）=70．
故答案为：70．
【点评】本题既考查了对因式分解方法的掌握，又考查了代数式求值的方法，同时还隐含了整体的数学思想和正确运算的能力．
三．解答题（共15小题）
26．（2006•江西）计算：（x﹣y）2﹣（y+2x）（y﹣2x）
【分析】利用完全平方公式，平方差公式展开，再合并同类项．
【解答】解：（x﹣y）2﹣（y+2x）（y﹣2x），=x2﹣2xy+y2﹣（y2﹣4x2），=x2﹣2xy+y2﹣y2+4x2，=5x2﹣2xy．
【点评】本题考查完全平方公式，平方差公式，属于基础题，熟记公式是解题的关键，去括号时要注意符号的变化．
27．（2013春•苏州期末）若2x+5y﹣3=0，求4x•32y的值．
【分析】由方程可得2x+5y=3，再把所求的代数式化为同为2的底数的代数式，运用同底数幂的乘法的性质计算，最后运用整体代入法求解即可．
【解答】解：4x•32y=22x•25y=22x+5y
∵2x+5y﹣3=0，即2x+5y=3，∴原式=23=8．
【点评】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方，理清指数的变化是解题的关键．
28．（2009•十堰）已知：a+b=3，ab=2，求下列各式的值：
（1）a2b+ab2
（2）a2+b2．
【分析】（1）把代数式提取公因式ab后把a+b=3，ab=2整体代入求解；
（2）利用完全平方公式把代数式化为已知的形式求解．
【解答】解：（1）a2b+ab2=ab（a+b）=2×3=6；
（2）∵（a+b）2=a2+2ab+b2
∴a2+b2=（a+b）2﹣2ab，=32﹣2×2，=5．
【点评】本题考查了提公因式法分解因式，完全平方公式，关键是将原式整理成已知条件的形式，即转化为两数和与两数积的形式，将a+b=3，ab=2整体代入解答．
29．（2015•张家港市模拟）若x+y=3，且（x+2）（y+2）=12．
（1）求xy的值；
（2）求x2+3xy+y2的值．
【分析】（1）先去括号，再整体代入即可求出答案；
（2）先变形，再整体代入，即可求出答案．
【解答】解：（1）∵x+y=3，（x+2）（y+2）=12，∴xy+2x+2y+4=12，∴xy+2（x+y）=8，∴xy+2×3=8，∴xy=2；
（2）∵x+y=3，xy=2，∴x2+3xy+y2
=（x+y）2+xy
=32+2
=11．
【点评】本题考查了整式的混合运算和完全平方公式的应用，题目是一道比较典型的题目，难度适中．
30．（2014秋•德惠市期末）先化简，再求值3a（2a2﹣4a+3）﹣2a2（3a+4），其中a=﹣2．
【分析】首先根据单项式与多项式相乘的法则去掉括号，然后合并同类项，最后代入已知的数值计算即可．
【解答】解：3a（2a2﹣4a+3）﹣2a2（3a+4）
=6a3﹣12a2+9a﹣6a3﹣8a2
=﹣20a2+9a，当a=﹣2时，原式=﹣20×4﹣9×2=﹣98．
【点评】本题考查了整式的化简．整式的加减运算实际上就是去括号、合并同类项，这是各地中考的常考点．
31．（2007•天水）若a2﹣2a+1=0．求代数式的值．
【分析】根据完全平方公式先求出a的值，再代入求出代数式的值．
【解答】解：由a2﹣2a+1=0得（a﹣1）2=0，∴a=1；
把a=1代入=1+1=2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了完全平方公式，灵活运用完全平方公式先求出a的值，是解决本题的关键．
32．（2012春•郯城县期末）分解因式：
（1）2x2﹣x；
（2）16x2﹣1；
（3）6xy2﹣9x2y﹣y3；
（4）4+12（x﹣y）+9（x﹣y）2．
【分析】（1）直接提取公因式x即可；
（2）利用平方差公式进行因式分解；
（3）先提取公因式﹣y，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解；
（4）把（x﹣y）看作整体，利用完全平方公式分解因式即可．
【解答】解：（1）2x2﹣x=x（2x﹣1）；
（2）16x2﹣1=（4x+1）（4x﹣1）；
（3）6xy2﹣9x2y﹣y3，=﹣y（9x2﹣6xy+y2），=﹣y（3x﹣y）2；
（4）4+12（x﹣y）+9（x﹣y）2，=[2+3（x﹣y）]2，=（3x﹣3y+2）2．
【点评】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，是因式分解的常用方法，难点在（3），提取公因式﹣y后，需要继续利用完全平方公式进行二次因式分解．
33．（2011春•乐平市期中）（2a+b+1）（2a+b﹣1）
【分析】把（2a+b）看成整体，利用平方差公式和完全平方公式计算后整理
即可．
【解答】解：（2a+b+1）（2a+b﹣1），=（2a+b）2﹣1，=4a2+4ab+b2﹣1．
【点评】本题考查了平方差公式和完全平方公式的运用，构造成公式结构是利用公式的关键，需要熟练掌握并灵活运用．
34．（2009•贺州）分解因式：x3﹣2x2y+xy2．
【分析】先提取公因式x，再利用完全平方公式分解因式．完全平方公式：a2±2ab+b2=（a±b）2；
【解答】解：x3﹣2x2y+xy2，=x（x2﹣2xy+y2），=x（x﹣y）2．
【点评】主要考查提公因式法分解因式和利用完全平方公式分解因式，本题难点在于要进行二次分解．
35．（2011•雷州市校级一模）分解因式：
（1）a4﹣16；
（2）x2﹣2xy+y2﹣9．
【分析】（1）两次运用平方差公式分解因式；
（2）前三项一组，先用完全平方公式分解因式，再与第四项利用平方差公式进行分解．
【解答】解：（1）a4﹣16=（a2）2﹣42，=（a2﹣4）（a2+4），=（a2+4）（a+2）（a﹣2）；
（2）x2﹣2xy+y2﹣9，=（x2﹣2xy+y2）﹣9，=（x﹣y）2﹣32，=（x﹣y﹣3）（x﹣y+3）．
【点评】（1）关键在于需要两次运用平方差公式分解因式；
（2）主要考查分组分解法分解因式，分组的关键是两组之间可以继续分解因式．
36．（2008春•利川市期末）分解因式x2（x﹣y）+（y﹣x）．
【分析】显然只需将y﹣x=﹣（x﹣y）变形后，即可提取公因式（x﹣y），然后再运用平方差公式继续分解因式．
【解答】解：x2（x﹣y）+（y﹣x），=x2（x﹣y）﹣（x﹣y），=（x﹣y）（x2﹣1），=（x﹣y）（x﹣1）（x+1）．
【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
37．（2009秋•三台县校级期末）分解因式
（1）a2（x﹣y）+16（y﹣x）；
（2）（x2+y2）2﹣4x2y2．
【分析】（1）先提取公因式（x﹣y），再利用平方差公式继续分解；
（2）先利用平方差公式，再利用完全平方公式继续分解．
【解答】解：（1）a2（x﹣y）+16（y﹣x），=（x﹣y）（a2﹣16），=（x﹣y）（a+4）（a﹣4）；
（2）（x2+y2）2﹣4x2y2，=（x2+2xy+y2）（x2﹣2xy+y2），=（x+y）2（x﹣y）2．
【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
38．（2009春•扶沟县期中）因式分解
（1）﹣8ax2+16axy﹣8ay2；
（2）（a2+1）2﹣4a2．
【分析】（1）先提取公因式﹣8a，再用完全平方公式继续分解．
（2）先用平方差公式分解，再利用完全平方公式继续分解．
【解答】解：（1）﹣8ax2+16axy﹣8ay2，=﹣8a（x2﹣2xy+y2），=﹣8a（x﹣y）2；
（2）（a2+1）2﹣4a2，=（a2+1﹣2a）（a2+1+2a），=（a+1）2（a﹣1）2．
【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
39．（2011秋•桐梓县期末）因式分解：
（1）3x﹣12x3
（2）6xy2+9x2y+y3．
【分析】（1）先提取公因式3x，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解；
（2）先提取公因式y，再根据完全平方公式进行二次分解．完全平方公式：a2±2ab+b2=（a±b）2．．
【解答】解：（1）3x﹣12x3
=3x（1﹣4x2）
=3x（1+2x）（1﹣2x）；
（2）6xy2+9x2y+y3
=y（6xy+9x2+y2）
=y（3x+y）2．
【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
40．（2003•黄石）若x2+2xy+y2﹣a（x+y）+25是完全平方式，求a的值．
【分析】先把前三项根据完全平方公式的逆用整理，再根据两平方项确定出这两个数，利用乘积二倍项列式求解即可．
【解答】解：原式=（x+y）2﹣a（x+y）+52，∵原式为完全平方式，∴﹣a（x+y）=±2×5•（x+y），解得a=±10．
【点评】本题考查了完全平方式，需要二次运用完全平方式，熟记公式结构是求解的关键，把（x+y）看成一个整体参与运算也比较重要．
第五篇：整式的乘除与因式分解全单元教案
整式的乘除与因式分解全单元教案
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课
件www.xiexiebang.com 第十五章整式的乘除与因式分解
§15．1．1
整式
教学目标
．单项式、单项式的定义．
2．多项式、多项式的次数．
3、理解整式概念．
教学重点
单项式及多项式的有关概念．
教学难点
单项式及多项式的有关概念．
教学过程
Ⅰ．提出问题，创设情境
在七年级，我们已经学习了用字母可以表示数，思考下列问题
．要表示△ABc的周长需要什么条件？要表示它的面积呢？
2．小王用七小时行驶了Skm的路程，请问他的平均速度是多少？
结论：、要表示△ABc的周长，需要知道它的各边边长．要表示△ABc•的面积需要知道一条边长和这条边上的高．如果设Bc=a，Ac=b，AB=c．AB边上的高为h，•那么△ABc的周长可以表示为a+b+c；△ABc的面积可以表示为•c•h．
2．小王的平均速度是．
问题：这些式子有什么特征呢？
（1）有数字、有表示数字的字母．
（2）数字与字母、字母与字母之间还有运算符号连接．
归纳：用基本的运算符号（运算包括加、减、乘、除、乘方与开方）把数和表示数的字母连接起来的式子叫做代数式．
判断上面得到的三个式子：a+b+c、ch、是不是代数式？（是）
代数式可以简明地表示数量和数量的关系．今天我们就来学习和代数式有关的整式．
Ⅱ．明确和巩固整式有关概念
（出示投影）
结论：（1）正方形的周长：4x．
（2）汽车走过的路程：vt．
（3）正方体有六个面，每个面都是正方形，这六个正方形全等，•所以它的表面积为6a2；正方体的体积为长×宽×高，即a3．
（4）n的相反数是－n．
分析这四个数的特征．
它们符合代数式的定义．这五个式子都是数与字母或字母与字母的积，而a+b+c、ch、中还有和与商的运算符号．还可以发现这五个代数式中字母指数各不相同，字母的个数也不尽相同．
请同学们阅读课本P160～P161单项式有关概念．
根据这些定义判断4x、vt、6a2、a3、-n、a+b+c、ch、这些代数式中，哪些是单项式？是单项式的，写出它的系数和次数．
结论:4x、vt、6a2、a3、-n、ch是单项式．它们的系数分别是4、1、6、1、-
1、．它们的次数分别是1、2、2、3、1、2．所以4x、-n都是一次单项式；vt、6a2、•ch都是二次单项式；a3是三次单项式．
问题:vt中v和t的指数都是1，它不是一次单项式吗？
结论:不是．根据定义，单项式vt中含有两个字母，所以它的次数应该是这两个字母的指数的和，而不是单个字母的指数，所以vt是二次单项式而不是一次单项式．
生活中不仅仅有单项式，像a+b+c，它不是单项式，和单项式有什么联系呢？
写出下列式子（出示投影）
结论:（1）t-5．（2）3x+5y+2z．
（3）三角尺的面积应是直角三角形的面积减去圆的面积，即ab-3.12r2．
（4）建筑面积等于四个矩形的面积之和．而右边两个已知矩形面积分别为3×2、4×3，所以它们的面积和是18．于是得这所住宅的建筑面积是x2+2x+18．
我们可以观察下列代数式：
a+b+c、t-
5、3x+5y+2z、ab-3.12r2、x2+2x+18．发现它们都是由单项式的和组成的式子．是多个单项式的和，能不能叫多项式？
这样推理合情合理．请看投影，熟悉下列概念．
根据定义，我们不难得出a+b+c、t-
5、3x+5y+2z、ab-3.12r2、x2+2x+18都是多项式．请分别指出它们的项和次数．
a+b+c的项分别是a、b、c．
t-5的项分别是t、-5，其中-5是常数项．
3x+5y+2z的项分别是3x、5y、2z．
ab-3.12r2的项分别是ab、-3.12r2．
x2+2x+18的项分别是x2、2x、18．
找多项式的次数应抓住两条，一是找准每个项的次数，•二是取每个项次数的最大值．根据这两条很容易得到这五个多项式中前三个是一次多项式，后两个是二次多项式．
这节课，通过探究我们得到单项式和多项式的有关概念，它们可以反映变化的世界．同时，我们也体会到符号的魅力所在．我们把单项式与多项式统称为整式．
Ⅲ．随堂练习
．课本P162练习
Ⅳ．课时小结
通过探究，我们了解了整式的概念．理解并掌握单项式、多项式的有关概念是本节的重点，特别是它们的次数．在现实情景中进一步理解了用字母表示数的意义，•发展符号感．
Ⅴ．课后作业
．课本P165～P166习题15．1─1、5、8、9题．
2．预习“整式的加减”．
课后作业：《课堂感悟与探究》
§15．1．2整式的加减（1）
教学目的：
、解字母表示数量关系的过程，发展符号感。
2、会进行整式加减的运算，并能说明其中的算理，发展有条理的思考及语言表达能力。
教学重点：
会进行整式加减的运算，并能说明其中的算理。
教学难点：
正确地去括号、合并同类项，及符号的正确处理。
教学过程：
一、课前练习：
、填空：整式包括
和
2、单项式的系数是
、次数是
3、多项式是
次
项式，其中二次项
系数是
一次项是
，常数项是
4、下列各式，是同类项的一组是（）
（A）与
（B）与
（c）与
5、去括号后合并同类项：
二、探索练习：、如果用a、b分别表示一个两位数的十位数字和个位数字，那么这个两位数可以表示为
交换这个两位数的十位数字和个位数字后得到的两位数为
这两个两位数的和为
2、如果用a、b、c分别表示一个三位数的百位数字、十位数字和个位数字，那么这个三位数可以表示为
交换这个三位数的百位数字和个位数字后得到的三位数为
这两个三位数的差为
●议一议：在上面的两个问题中，分别涉及到了整式的什么运算？
说说你是如何运算的？
▲整式的加减运算实质就是
运算的结果是一个多项式或单项式。
三、巩固练习：、填空：（1）与的差是
（2）、单项式、、、的和为
（3）如图所示，下面为由棋子所组成的三角形，一个三角形需六个棋子，三个三角形需
（）个棋子，n个三角形需
个棋子
2、计算：
（1）
（2）
（3）
3、（1）求与的和
求与的差
4、先化简，再求值：
其中
四、提高练习：
、若A是五次多项式，B是三次多项式，则A+B一定是
（A）
五次整式
（B）八次多项式
（c）三次多项式
（D）次数不能确定
2、足球比赛中，如果胜一场记3a分，平一场记a分，负一场
记0分，那么某队在比赛胜5场，平3场，负2场，共积多
少分？
3、一个两位数与把它的数字对调所成的数的和，一定能被14
整除，请证明这个结论。
4、如果关于字母x的二次多项式的值与x的取值无关，试求m、n的值。
五、小结：整式的加减运算实质就是去括号和合并同类项。
六、作业：第8页习题1、2、3
15．1．2整式的加减（2）
教学目标：1.会进行整式加减的运算，并能说明其中的算理，发展有条理的思考及其语言表达能力。
2.通过探索规律的问题，进一步体会符号表示的意义，发展符号感，发展推理能力。
教学重点：整式加减的运算。
教学难点：探索规律的猜想。
教学方法：尝试练习法，讨论法，归纳法。
教学用具：投影仪
教学过程：
I探索练习：
摆第1个“小屋子”需要5枚棋子，摆第2个需要
枚棋子，摆第3个需要
枚棋子。按照这样的方式继续摆下去。
（1）摆第10个这样的“小屋子”需要
枚棋子
（2）摆第n个这样的“小屋子”需要多少枚棋子？你是如何得到的？你能用不同的方法解决这个问题吗？小组讨论。
二、例题讲解：
三、巩固练习：
、计算：
（1）（14x3－2x2）＋2（x3－x2）
（2）（3a2＋2a－6）－3（a2－1）
（3）x－（1－2x＋x2）+（－1－x2）（4）（8xy－3x2）－5xy－2（3xy－2x2）
2、已知：A=x3－x2－1，B=x2－2，计算：（1）B－A
（2）A－3B
3、列方程解应用题：三角形三个内角的和等于180°，如果三角形中第一个角等于第二个角的3倍，而第三个角比第二个角大15°，那么
（1）第一个角是多少度？
（2）其他两个角各是多少度？
四、提高练习：
、已知A＝a2＋b2－c2，B＝－4a2＋2b2＋3c2，并且A＋B＋c＝0，问c是什么样的多项式？
2、设A＝2x2－3xy＋y2－x＋2y，B＝4x2－6xy＋2y2－3x－y，若│x－2a│＋
（y＋3）2＝0，且B－2A＝a，求A的值。
3、已知有理数a、b、c在数轴上（0为数轴原点）的对应点如图：
试化简：│a│－│a＋b│＋│c－a│＋│b＋c│
小
结：要善于在图形变化中发现规律，能熟练的对整式加减进行运算。
作
业：课本P14习题1.3：1（2）、（3）、（6），2。
《课堂感悟与探究》
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