高中数学 算法案例变式练习

第一篇：高中数学 算法案例变式练习

变式练习

一、选择题

1.用秦九韶算法求多项式

f(x)=2+0.35x+1.8x2－3.66x3+6x4－5.2x5+x6在x=－1.3的值时,令v0=a6;v1=v0x+a5;……v6=v5x+a0时,v3的值为()A.－9.8205

B.14.25

C.－22.445

D.30.9785 答案: C 2.三个数:4557、1953、5115的最大公约数是()A.31

B.93

C.217

D.651 答案:B

二、填空题

3.用冒泡法将字母“g,f,j,c,d,a,x,m”按字母顺序排序时,得到“c,d,a,f,g,j,m,x”,此过程共进行了_________趟排序.答案:3 4.11001101(2)=___________(10),318(10)=___________(5).答案:205 2233 5.用冒泡法对数据31,17,34,4,22,8,19,1进行排序,经过三趟排序后得到的数列是______________.答案:4,17,8,19,1,22,31,34 分析:第一趟后:17,31,4,22,8,19,1,34;第二趟后:17,4,22,8,19,1,31,34;第三趟后:4,17,8,19,1,22,31,34;第四趟后:4,8,17,1,19,22,31,34;第五趟后:4,8,1,17,19,22,31,34;第六趟后:4,1,8,17,19,22,31,34;第七趟后:1,4,8,17,19,22,31,34.三、解答题

6.用等值算法求下列各数的最大公约数(1)63, 84;(2)351, 513.答案:(1)21;(2)27.7.用辗转相除法求下列各数的最大公约数(1)5207,8323;(2)5671,10759.答案:(1)41;(2)53.8.求下列三个数的最大公约数.779,209,589 答案:19

54329.用秦九韶算法求多项式f(x)=7x+12x－5x－6x+3x－5在x=7时的值.答案:144468 10.将下列各数化成十进制数

(1)110100111(2);(2)76053(8);(3)2314(5).答案:(1)423;(2)31787;(3)334.11.将下列各数化为二进制和八进制的数

(1)102(10);(2)355(10);(3)60(10);(4)256(10).用心

爱心

专心 答案:(1)102(10)=1100110(2)=146(8);(2)355(10)=101100011(2)=543(8);(3)60(10)=111100(2)=74(8);(4)256(10)=100000000(2)=400(8).用心

爱心专心2

第二篇：高中数学 算法案例思维过程教案

思维过程

【例1】用“等值算法”求161、253的最大公约数.分析:所谓“等值算法”就是以两个数中较大的数减去较小的数,以差和较小的数构成新的一对数.对于这一对数,再用大数减去小数,用同样的方法一直做下去,直到得到两个相等的数,这个数就是最大公约数.解:253－161=92;161－92=69;92－69=23;69－23=46;46－23=23;即(161,253)→(92,161)→(69,92)→(23,69)→(23,46)→(23,23)所以253和161的最大公约数为23.【例2】求1734,816,1343的最大公约数.分析:三个数的最大公约数分别是每个数的约数,因此也是任意两个数的最大公约数的约数,也就是说三个数的最大公约数是其中任意两个数的最大公约数与第三个数的最大公约数.解法一:等值算法

先求1734和816的最大公约数, 1734－816=918;918－816=102;816－102=714;714－102=612;612－102=510;510－102=408;408－102=306;306－102=204;204－102=102.即(1734,816)→(816,918)→(816,102)→(714,102)→(612,102)→(510,102)→(408,102)→(306,102)→(204,102)→(102,102).所以 1734和816的最大公约数是102, 再求102和1343的最大公约数, 1343－102=1241;1241－102=1139;1139－102=1037;1037－102=935;935－102=833;833－102=731;731－102=629,629－102=527;527－102=425;425－102=323;323－102=221;221－102=119;119－102=17;102－17=85;85－17=68;68－17=51;51－17=34;34－17=17.所以1343与102的最大公约数是17,即 1734,816,1343的最大公约数是17.解法二:辗转相除法

先求1734和816的最大公约数, 1734=816×2+102;816=102×8;所以1734与816的最大公约数为102.再求102与1343的最大公约数, 1343=102×13+17;102=17×6;所以1343与102的最大公约数为17,即1734,816,1343的最大公约数为17.【例3】有甲、乙、丙三种溶液,分别重

413 kg、3 kg、2 kg千克.先要将它们分别641

用心

爱心

专心 全部装入小瓶中,每个小瓶装入液体的重量相同.问:每瓶最多装多少？

分析:根据题意,每个小瓶装的溶液的质量应是三种溶液质量的最大公约数.先求任意两个数的最大公约数,然后再求这个数与第三个数的最大公约数.125***080==;3==;2==;663644369936******05－=;－=;－=;***636105***51560－=;－=;－=;******301515－=;－=;－=;***6361315即4,3的最大公约数为.643680***01535351520－=;－=;－=;－=;***63636363620***5－=;－=;－=.***6361325即4、3、2的最大公约数是.649365因此每瓶最多装 kg.3665432【例4】用秦九韶算法求多项式f(x)=3x+12x+8x－3.5x+7.2x+5x－13在x=6时的值.解:f(x)=(((((3x+12)x+8)x－3.5)x+7.2)x+5)x－13 u0=3;u1=3×6+12=30;u2=u1×6+8=180+8=188;u3=u2×6－3.5=188×6－3.5=1128－3.5=1124.5;u4=u3×6+7.2=1124.5×6+7.2=6747+7.2=6754.2;u5=u4×6+5=6754.2×6+5=40525.2+5=40530.2;u6=u5×6－13=40530.2×6－13=243181.2－13=243168.2.所以f(6)=243168.2.【例5】填空:用冒泡排序法将下列各数排序

12,7,50,18,21,3,6排序时,请你填上第二趟和第四趟的顺序.解:4

12750***2***82***150

解:

用心

爱心

专心 2

12750***2***62*********150用心

爱心

专心 3

第三篇：高中数学课堂中变式教学的案例分析

高中数学课堂中变式教学的案例分析

摘要：变式教学，核心是利用构造一系列变式的方法来展现出知识的变化发展，体现数学结构的演变，同时创造出一种变式思维方式，促进有效思维的发展。将题目的本质固定不变，解题思路或解题方法多样化来拓展思维空间，加强训练，突出要强调的本质要素。本文通过分析高中数学变式教学的方式，来阐述变式教学的重要性，体现变式教学的作用。

关键词：高中数学； 变式教学 ；拓展性思维

数学是研究数量、结构、变化以及空间模型等概念的一门学科。信息时代的到来使得人们对于数学越来越关注，数学也由此作为从小培育的科目。在高中，数学的地位更是无与伦比，一度有“得数学者得高考”这一说法。因为数学独特的魅力和至高的地位，数学的学习方法也逐渐由专人来研究发表。近年来，数学的变式教学这一方式颇受重视，变式教学着重培养发散性思维，强调一题多解或变化多种题型而不改变其解题本质。

1.高中数学变式教学的基本原则

变式教学有着独特的技巧，一般来说，在课堂中进行变式教学时，要有着变式的意义，如果变式的目的不能达到使学生得到多样性思考，或是变式的结果没有答案，那么这种变式就是失败的，没有意义可言。变式教学的原则还得具有启迪性，能够给学生带来思考，下次面对类似题型的时候，能够举一反三。要知道，天下题目万变不离其宗，即使是高考的数学题目，相信也是变式得到的拓展型题型，掌握试题的本质就能够面对所谓创新而无所畏惧。与此同时，变式教学要有着创新性，只拘泥于一种题型的变式不能得到更多的效果，数学题目就是要不断地创新发展，不断变化，才能符合实际教学和学生实际学习的需要。

2.高中数学变式教学研究分析

2.1概念性变式

数学的概念给给学生进行教学一般分为概念形成、概念深化和概念应用三个阶段，它们分别是概念教学的基础、前提和目的。例如异面直线的概念为：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线，变式之后可以理解为①空间两条不相交直线是异面直线②不相交和不平行的直线称为异面直线③不同在同一个平面内的两条直线是异面直线④分别在两个不同平面内的两条直线是异面直线。这一结论可以通过立体的图形设计出多样的位置关系，直观的发映出异面直线概念的特征，从而对学生解题思路加以扩展。在概念形成阶段到概念运用阶段，即表象-定义-理解-运用的过程中，不同的学生会有不用的理解差异，这就需要教师因材施教，给学生最正确的解释。

2.2过程性变式

学生通过对概念的理解之后，就要开始习题的练习以巩固学到的知识。但这种巩固不能是机械式的照本宣科的联系，将习题进行变换，从简单到复杂，逐渐锻炼学生独立思考的能力和解题能力。一般的教学过程中，教师会先给学生复习概念，然后给出初步的较为简单的命题，给学生分析思路，作出解答，这种方法较为常见，但是略显枯燥，无法激发学生独立思考的动力，对知识的巩固也就不能得以完善。如在学习函数时，函数的几点特征如单调性、区间等都是要着重讲解的，面对同样的函数例如y=x2，在没有区间限制的情况下，是先减后增，但是在区间限制的情况下，就有着不同的解释，对区间变化就会有多种不同的答案。这样可以拓展学生的思维能力和想象空间，寻找到好的解题方法。一种好的解题方法能将数学知识综合系统的联系起来，而多种方法解题有利于思路的扩展，掌握数学基本知识并综合利用。

3.高中数学变式教学研究方法

高中数学变式的教学研究方法有文献综述法和案例研究法。文献综述法即通过对已有文献的研究，总结归纳多种教学方式，寻找到适合自己的教学方式，继而对自己的教学方式进行总结，形成独具一格的教学体系。案例研究法则是在文献综述法的基础上进行实践研究，通过变式来检验教学成果，检测学生是否掌握了理论性知识，是否能够自主的思考来解决难题。变式教学对高中数学教育相当重要，在例题的设计上，要有针对性，针对结论的本质特征进行设计，设计要有层次性，用复杂的题目加强巩固。设计的变式题目中表面上是看不出来有什么特别的联系，但是本质却是相同的，只是需要换个思路或者换个方法就能总结出一般规律，得到想要的结果。

4.高中数学变式教学作用

高中数学变式教学是一项重要的教学方式，高考中几乎大题目都有两点以上的小问题，一般第一题比较简单，第二题第三题则是在第一题的基础上变式得到的，虽然具有迷惑性，但是本质是不变的。在课堂上，教师就通过变式来进行知识点的深入理解和讲解。变式教学能够帮助学生提高对知识的理解，加强记忆，比如说前文提到的异面直线的问题，光是给学生进行概念性的讲解并不能帮助他们理解问题，但是辅以立体图形，更能直观的表现异面直线不相交的特点，提高学生对知识理解的准确性。同时要知道，数学上对于正确理论追求的是深刻性思维，变式教学是在理论和例题的基础上进行的升华，难度性是可想而知的，要想得到提高，一定要对基础知识有深刻的思考能力，再通过变式生成更加深刻的理念，进行广泛运用。

5.高中数学变式教学研究意义

维果茨基的“最近发展区”理论认为：每个学生都有两种水平，一种是现有水平，一种是潜在水平。这两种水平之间的差异在于现有水平可以通过外界的启发教育或帮助而激发潜在水平的力量，促进人的不断进步。在实际的教学中，变式教学用多变的形式来给课本上的例题或典型的数学问题进行变式阐述，帮助学生在理解的基础上把知识和自己的思考融为一体，转化成自己的数学能力，形成自己的解题方式和做题习惯，能够举一反三。学生通过变式教学的教育，提升自己的数学能力，增强数学解题技巧，养成良好的学习习惯，给学生能够学好数学增加信心。所以说数学的变式教学意义重大，值得去做系统的探索研究，不断更新关于变式教学的资料，以更好的进行教育活动。

总结

变式教学是高中数学非常有效地一种教学方式，能够让学生掌握新的知识技巧，激发学生思考的积极性，提高教学质量。相信教师能够综合运用自己的知识对对例题进行系统的分析变式讲解，领导学生走上更高的台阶，一定会收到意想不到的教学效果。

参考文献

[1] 刘兵生.高中数学变式教学的心理学浅议[J].中学课程辅导（教学研究），2013，7（24）：156-157，117.[2] 熊定祥.浅谈新课标下的高中数学变式教学[J].语数外学习（数学教育），2013，（8）：95-95.[3] 陈雪.变式教学在高一数学教学中的应用[D].辽宁师范大学，2012.

第四篇：高中数学变式教学有效性问卷调查

高中数学变式教学有效性问卷调查（学生卷）

1、你喜欢数学老师上课时提你的问吗？（）A.喜欢 B.无所谓

C.不喜欢

2、你认为数学老师上课经常提你的问对你的学习有帮助吗？（）A.很有帮助 B.帮助不大

C.没什么帮助

3、你喜欢数学老师上课时走到你的座位旁来吗？（）A.喜欢 B.无所谓

C.不喜欢

4、你上数学课会记笔记吗？（）A.会记 B.有时记

C.基本不记

5、你认为数学老师上课写板书对你学习和掌握知识有帮助吗？（）A.很有帮助

B.有点帮助

C.没感觉

6、你希望数学老师上课在黑板上多板书吗？（）A.很希望

B.随便

C.没感觉

7、你希望数学老师上课多讲一点，还是自己多练一点？（）A.尽量多讲

B.无所谓

C.少讲一点多练一点

8、你希望数学老师对学案知识点讲透一点，还是留点思考的余地？（）A.尽量讲透

B.点到为止

C.尽量让学生自己思考

9.关于课堂的学案练习，你喜欢采用什么方式？（）A.小组讨论

B.教师引导

C.学生独立 10.你希望老师的上课教学学案如何布置？（）

A.大量练习，当天知识当天练

B.精选精练，根据知识内容分层练习

C.个别布置，只针对难点

11.一天的学习结束后，你会认真回去完成学案后的巩固练习吗？（）A.只完成老师布置的书面作业；

B.不仅完成学案练习，还会预习第二天的知识；

C.不仅完成学案练习，还会做一些提高题，并主动阅读课外书籍，增长知识。12.关于作业讲评你希望老师采用什么样的讲评方式？（）A．课下个别点评 B． 面向大家全讲C．只讲典型问题

13、您觉得数学老师用变式学案上课时你的学习效率会更高吗？（）A.效率会更高

B.差不多

C.效率会更低

第五篇：《高中数学变式教学研究》中期报告

《高中数学概念教学的探索与研究》中期报告

——新受概念课教学的三个环节

代金珍

顾泠概念教学突出对概念内涵的理解，注重概念的情景引入、语言转换等，逐步从概念的“标准变式”转向概念的“非标准变式”，使学生获得对概念的多角度的理解；同时突出对概念外延的应用，注重知识之间的联系和拓展，通过对概念多角度的理解，使数学教学有层次地递进。一堂新授的概念课，总的来说，主要侧重概念性变式教学，因为这一阶段不适宜作高难度的知识综合训练。

我们课题组下一阶段的重点将放在新授课概念教学的环节的探索上，下面我们就新授概念课教学应注意的三个环节作些研究和探讨，并从大家熟知的等差数列新授课教学谈起。

一、设置情景，揭示概念的本质特征

（1）知识背景的创设

每节新授课要从学生最为熟悉的现实背景、生活背景、历史背景、数学知识背景等出发，设置最能体现新授概念本质特征的知识背景。

这是概念性变式教学的切入点。老师要列举学生学习经验中感受最深的例子。概念引入的背景可多可少，原则只有一条：尽可能地揭示概念的本质特征。

①班级同学的鞋子尺码：27.5，27，26.5，26，25.5，25，24.5，24，23.5，23。②每个同学的统一营养午餐费：5，5，5，„，5。③能被3整除的所有正整数：3，6，9，„

这里列举的三个例子，前两个例子源于学生的生活背景，第三个例子源于学生的数学知识背景。第一个例子中公差小于零，第二个例子中公差等于零，第三个例子中公差大于零。

等差数列概念的本质特征是：从第二项起，后一项与前一项的差是一个常数。这个常数d（公差）可以是任意的实数。即当n2,nN时，anan1d,dR。

（2）特殊情形的考虑

从概念的一般性出发，探讨概念的特殊情形。这在新授概念教学中，是学生容易接受的一个学习过程，这样的教学情景不可忽视，它是理解概念一般性结论的基础。我们在这里把对特殊情形的考虑视作为概念性变式教学的特殊情景。这个情景实际上是从概念的局部来解释概念的本质特征，是从学生容易理解的方面入手的。①三个数成等差数列的充要条件：

*a,A,b成等差数列AabA2AabA项。

②等差数列{an}中，任意相邻三项也成等差数列：

ab。称A为a,b的等差中2an1,an,an1(n2,nN*)成等差数列an是an1和an1的中项 2anan1an1由n的任意性，数列{an}成等差数列。

③等差数列{an}中，奇数项组成的数列a1,a3，成等差数列，其公差为2d；偶数项组成的数列a2,a4,成等差数列，其公差为2d；每隔相同的项组成的新数列am,amk,am2k，(m,kN*)„也是等差数列，其公差为kd。

（3）基本结论的推出

从概念的本原出发，进行演绎推理，得出一些基本的结论，如概念衍生出来的性质、定理、公式等。这些结论和新授概念一起成为新授课中的学习要点。我们在这里把基本结论的推演过程视作为概念性变式教学的一般情景。

① 归纳推广：

由等差数列的定义，得到：

a2a1d，a3a2da12d，a4a3da13d，„，ana1(n1)d。② 数列是特殊的函数。

从函数的角度来看等差数列的通项公式，当公差不为零时，其表达式是关于n的一次函数；当公差为零时，是常量函数。点(n,an)是直角坐标系中直线上离散的点。

作为新授概念，从以上的三个方面来理解，是概念性变式教学的三个不同角度，也是概念性变式教学的三个基本维度。在变式教学中，创设背景是概念呈现的孕育过程，是帮助学生进行知识建构的前提。得出了概念，不是概念教学的终结，还需要寻找概念的“知识固着点”，从两个方向进行寻找，最近的方向和较远的方向。最近的方向我们考虑的是概念的特殊情况，较远的方向是从概念出发的一般性推理，直到我们找到本节课新授概念所能依附的“知识固着点”为止，我们把这个环节称之为新授课概念性变式教学的第一个环节。等差数列新授课我们可以把等差数列的通项公式作为概念性变式教学中的“知识固着点”。在“知识固着点”未找到之前，新授概念与“知识固着点”之间存在一个“潜在距离”，我们可以理解为学生的“最近发展区”。为了完成第一环节的教学要求，从变式教学的层面上来说，老师要围绕新授的概念，多角度地设置问题情景，使学生在第一环节就找到“知识的固着点”，使新授概念有一个稳固的外显的“知识抓手”，为后续的概念应用作好充分的准备。

二、拓展外延，凸显概念的不变内涵

（1）概念的简单外延

我们把概念应用的较小适用范围称之为概念的简单外延。较小是一个模糊的量化。在讲完等差数列定义后，一些老师接下来请学生判断给出的具体数列是不是等差数列，如果是的话，说出首项和公差等。这个层次的能力训练要求比较低，实际上我们在背景设置当中，已经做过了这样的训练，这里可以再提高一步，如进行下列层次的变式训练：

①已知等差数列的首项和第二项，求出等差数列中的任意项； ②已知等差数列的前三项，求出等差数列中的任意项；

③已知等差数列的公差和某一项，求出等差数列中的任意项；

④已知等差数列中的任意两项，求出等差数列中的公差和通项公式。上面的问题比较简单，其中的实例就不再列举。我们在以上的变式中所凸显的不变内涵是：只要给出两个独立的条件，就可以求出等差数列的首项和公差，所有的问题变式最终都可转化为能够知道等差数列的首项和公差，就可以写出通项公式了。

总结数学思想方法，以不变应万变是概念性变式教学第二环节的着力点。一节课从知识的层面来说，不变的是等差数列的定义和通项公式；从方法层面来说，不变的是突出基本 2 量的数学思想方法。在四个量a1,d,n,an中，知三必可求一。

（2）概念的复杂外延

我们把概念应用的较大适用范围称之为概念的复杂外延。这也是一个模糊的量化，复杂到什么程度，直到概念应用的边界。如果外延复杂的程度较大就从概念性变式教学过渡到过程性变式教学中去了，概念性变式教学和过程性变式教学的分界在于概念外延中是不是与其他数学知识进行了整合。如果没有和其他知识进行整合，我们还是把这一阶段的变式教学视作为概念性变式教学。

如果把等差数列这节新授课限定在四十分钟的时间内完成，恐怕下面的变式教学就来不及了，但我们不能说，概念性变式教学就完成了。本节课的教学重点是等差数列定义和通项公式的应用。即使在第一节课内来不及完成，我们还要延续到下一节课作进一步的变式。

①已知等差数列某一项和另外两项的和（差、积、商），求数列的通项；

如：在等差数列{an}中，已知a11,a2a46，求数列{an}的通项公式。②已知等差数列两组相邻两项（三项、若干项）的和，求数列的通项；

如：在等差数列{an}中，已知a1a23,a3a46，求数列{an}的通项公式； ③利用等差数列的中项性质，求数列的通项；

如：在等差数列{an}中，已知a1a32,a2a4a66，求数列{an}的通项公式； ④已知等差数列两项的和与两项的积，求数列的通项。

在等差数列{an}中，已知a2a36,a1a55，求数列{an}的通项公式。

以上所作的变式都是停留在通项公式本身应用基础上的训练，没有涉及到和其他知识的整合，这些变式问题在知识层面和方法层面上，与概念的简单外延变式问题所要凸显的不变内涵都是相同的，因此，我们把这一环节作为新授课概念性变式教学的第二个环节，第二环节的变式教学的特征是突出不变的概念内涵，是从总结不变的基础知识和基本的方法为着落点的，因此，第二阶段的教学目标仍然是落实数学的双基教学和训练。在第一环节我们找到了“知识固着点”，在第二环节我们又找到了“方法固着点”，这样的概念性变式教学，使得新授的概念得到牢固的掌握。

能够和等差数列定义和通项公式进行整合的知识点很多，比如后面我们要学习的等差数列的求和公式等，又比如和后面要学习的等比数列的知识进行综合等，当然在这节课里绝对不能出现，因为等差数列的求和公式与等比数列的概念都是我们即将要学习的新授概念。但我们可以出现等差数列定义及通项公式与三角、直线方程、一般函数以及应用问题等知识的整合，但这已经从概念性变式教学过渡到了过程性变式教学了，不属于本文所要探讨的范畴。

三、变换问题，建构概念的内在体系

（1）问题的逆向提出

从逆向思维的角度来理解概念。前面的两个环节都是从正面，概念的“标准状态”来理解的，在第三个环节我们试图从概念的“非标准状态”来理解。

①已知等差数列的通项公式，求首项和公差；

②已知一个数列的通项公式是关于n的一次函数式，判断这个数列是不是等差数列？常数列是不是等差数列；

③已知一个数列的通项公式，判断这个数列是不是等差数列？

如：an1,n1n3,n2,nN2是不是等差数列？ann是不是等差数列？ n*④给出一个递推式，判断这个数列是不是等差数列？

如：数列{an}满足a11,an1ann，这个数列是不是等差数列？

第一和第二个例子，实际上是从等差数列通项公式结论展开的逆向变式，第二个例子实际上是寻找数列通项公式成为等差数列的充要条件。

第三和第四个例子，也是从数列的通项公式出发进行研究的，也是一个思维的逆向过程。实际上是给出了不是等差数列的反例，这在概念性变式教学中，是十分重要的，反例的构造，可以进一步强化学生对概念正面的理解。（2）问题的异化形式

变式教学中有一个重要的理论叫作“马顿理论”，认为新授概念的学习，是和其他知识进行比较和鉴别的过程，“鉴别”和“差异”是这个理论的核心。我们已经从概念的正面和反面进行了比较和鉴别，但还没有从过程性变式教学的角度，把等差数列的定义以及通项公式的学习放到与其他知识的综合环境中加以鉴别和联系，但对于具有异化形式的相近问题，我们可以在新授课概念性变式教学中作出初步的鉴别，鉴别的过程是对差异的进一步认识。

①设数列{an}满足a10且

111，求数列{an}的通项公式；

1an11anan，求数列{an}的通项公式。

12an1}，学生还是能够鉴别出来1an②设数列{an}满足a11，an1第一个问题实际上是鉴别由{an}生成的一个新数列{的。第二个问题有点困难了，需要作如下变形：

12an112，然后再来鉴别。an1anan异化形式的问题比较困难。因此，我们把它放在第三个环节加以呈现，这也是概念性变式教学的重要环节，我们把它设定为新授课概念性变式教学的最后一个环节，我们要把握好异化问题出现的时机，过早出现，适得其反，不利于概念正面的理解，但缺乏这个环节，学生的鉴别能力得不到提高。

整个第三个环节，我们都是从学生思维能力提高的层面提出的，新授概念课教学，不能形成这样的教学模式：先匆忙推出结论，然后举几个例子。例子之间又缺乏关联，这样的教学是不能健全学生完整的知识体系的，不但新学的知识不牢固，而且学到的知识也不成体系。

如果说第一环节我们侧重的是多角度的变式教学，则第二个环节是由多角度的变式教学到多层次变式教学的过渡，而第三个环节我们侧重的是多层次的变式教学。有了这三个环节学生对概念的理解也就到位了，应用起来也就得心应手了。