新版小学六年级空间与几何知识点

第一篇：新版小学六年级空间与几何知识点

空间与几何六年级知识点

六年级上册

第二单元 位置与方向

（二）【知识要点】

1.记忆方向的儿歌：早上起来，面对太阳；前面是东，后面是西；左面是北，右面是南；东西南北，认清方向。

2.根据一个方向确定其它七个方向：

（1）南与北相对，西与东相对；西北与东南相对，东北与西南相对。（2）东、南、西、北按顺时针方向排列。

3.地图通常是按“上北下南左西右东”绘制的。（书：练习一第3、4题；）4.了解绘制简单示意图的方法：先确定好观察点，把选好的观察点画在平面图的中心位置，再确定好各物体相对于观察点的方向。在纸上按“上北 下南、左西右东”绘制，用箭头“↑”标出北方。（书：习二第2题。）

5、看简单的路线图描述行走路线。

（1）看简单路线图的方法：先要确定好自己所处的位置，以自己所处的位置为中心，再根据上北下南，左西右东的规律来确定目的地和周围事物所处的方向，最后根据目的地的方向和路程确定所要行走的路线。

（2）描述行走路线的方法：以出发点为基准，再看哪一条路通向目的地，最后把行走路线描述出来（先向哪走，再向哪走）。有时还要说明路程有多远。（书：p5和p9的做一做）（3）综合性题目：给出路线图，说出去某地的走法，并根据信息求出所用时间、应该按什么速度行驶、或几时能到达、付多少钱买车票等等。

6.可以借助太阳等身边事物辨别方向，也可以借助指南针等工具辨别方向。7.并能看懂地图。（p4例2：知道建筑或地点在整个地图的什么方向，地图上两个地点之间的位置关系：谁在谁的什么方向等）

第四单元 圆

【知识要点】

一、.圆的特征

1、圆是平面内封闭曲线围成的平面图形，.2、圆的特征：外形美观，易滚动。

3、圆心o：圆中心的点叫做圆心．圆心一般用字母O表示．圆多次对折之后，折痕的相交于圆的中心即圆心。圆心确定圆的位置。

半径r：连接圆心到圆上任意一点的线段叫做半径。在同一个圆里，有无数条半径，且所有的半径都相等。半径确定圆的大小。

直径d: 通过圆心且两端都在圆上的线段叫做直径。在同一个圆里，有无数条直径，且所有的直径都相等。直径是圆内最长的线段。

1d同圆或等圆内直径是半径的2倍：d=2r 或 r=d÷2=2d=2

4、等圆：半径相等的圆叫做同心圆，等圆通过平移可以完全重合。

同心圆：圆心重合、半径不等的两个圆叫做同心圆。

5、圆是轴对称图形：如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能够完全重合，这个图形是轴对称图形。折痕所在的直线叫做对称轴。

有一条对称轴的图形：半圆、扇形、等腰梯形、等腰三角形、角 有二条对称轴的图形：长方形 有三条对称轴的图形：等边三角形 有四条对称轴的图形：正方形 有无条对称轴的图形：圆，圆环

6、画圆

（1）圆规两脚间的距离是圆的半径。（2）画圆步骤：定半径、定圆心、旋转一周。

二、圆的周长：围成圆的曲线的长度叫做圆的周长，周长用字母C表示。

1、圆的周长总是直径的三倍多一些。

2、圆周率：圆的周长与直径的比值是一个固定值，叫做圆周率，用字母π表示。

周长 即：圆周率π=直径=周长÷直径≈3.14 所以,圆的周长(c)=直径(d)×圆周率(π)——周长公式： c=πd, c=2πr 注：圆周率π是一个无限不循环小数，3.14是近似值。

3、周长的变化的规律：半径扩大多少倍直径也扩大多少倍，周长扩大的倍数与半径、直径扩大的倍数相同。

如果r1∶r2∶r3=d1∶d2∶d3=c1∶c2∶c3

14、半圆周长=圆周长一半+直径=2×2πr=πr+d

三、圆的面积s

1、圆面积公式的推导

如图把一个圆沿直径等分成若干份，剪开拼成长方形，份数越多拼成的图像越接近长方形。

圆的半径 = 长方形的宽 圆的周长的一半 = 长方形的长 长方形面积 = 长 ×宽

所以：圆的面积 = 长方形的面积 = 长 ×宽 = 圆的周长的一半（πr）×圆的半径（r）S圆 = πr × r S圆 = πr×r = πr

2、几种图形，在面积相等的情况下，圆的周长最短，而长方形的周长最长；反之，在周长相等的情况下，圆的面积则最大，而长方形的面积则最小。

周长相同时，圆面积最大，利用这一特点，篮子、盘子做成圆形。

3、圆面积的变化的规律：半径扩大多少倍直径、周长也同时扩大多少倍，圆面积扩大的倍数是半径、直径扩大的倍数的平方倍。

如果: r1∶r2∶r3=d1∶d2∶d3=c1∶c2∶c3=2∶3∶4

则：S1∶S2∶S3=4∶9∶16

4、环形面积 = 大圆 – 小圆=πr大-πr小=π（r大-r小）

n2 扇形面积 = πr×360（n表示扇形圆心角的度数）

5、跑道：每条跑道的周长等于两半圆跑道合成的圆的周长加上两条直跑道的和。因为两条直跑道长度相等，所以，起跑线不同，相邻两条跑道起跑线也不同，间隔的距离是：2×π×跑道宽度。

注：一个圆的半径增加a厘米，周长就增加2πa厘米

一个圆的直径增加b厘米，周长就增加πb 厘米

6、任意一个正方形的内切圆即最大圆的直径是正方形的边长，它们的面积比是4∶π

7、常用数据

π=3.14 2π=6.28 3π=9.42 4π=12.56 5π=15.7

六年级下册

第三单元 圆柱和圆锥

【知识要点】

1、圆柱：以矩形的一边为轴，旋转一周所围成的立体图形，叫圆柱。如蜡烛、石柱、易拉罐等。

圆柱由3个面围成。圆柱的上、下两个面叫做底面；圆柱周围的面（上下底面除外），叫做侧面；圆柱的两个底面之间的距离叫做高。

2、圆柱的表面积：

圆柱的表面积＝圆柱的侧面积＋两个底面的面积 S表＝S侧＋2S底＝2πr(h＋r)圆柱的侧面积＝底面的周长×高，S侧＝Ch（注：c为πd）

3、圆柱的体积：圆柱所占空间的大小，叫做这个圆柱体的体积。

圆柱的体积＝底面积×高

V=Sh 或V=πr²h；

4、圆锥：以直角三角形边为轴，旋转一周所围成的立体图形，叫圆锥。生活中经常出现的圆锥有：沙堆、漏斗、帽子等。

5、圆锥的体积：一个圆锥所占空间的大小，叫做这个圆锥的体积。一个圆锥的体积等于与它等底等高的圆柱的体积的圆锥体积公式：V=

1。31Sh 3S是圆锥的底面积，h是圆锥的高，r是圆锥的底面半径

6、圆锥的表面积：一个圆锥表面的面积叫做这个圆锥的表面积。圆锥的表面积由侧面积和底面积两部分组成。S=πR²（n1n）+πr²或αR²+πr²（此n为角度制，α为弧度制，α=π（）36021807、圆柱与圆锥的关系：与圆柱等底等高的圆锥体积是圆柱体积的三分之一。

体积和高相等的圆锥与圆柱（等低等高）之间，圆锥的底面积是圆柱的三倍。体积和底面积相等的圆锥与圆柱（等低等高）之间，圆锥的高是圆柱的三倍。底面积和高不相等的圆柱圆锥不相等。

第二篇：六年级下册图形与几何知识点总结

六年级下册数学复习专题 图形与几何图形的认识、测量

量的计量

一、长度单位是用来测量物体的长度的。常用的长度单位有千米、米、分米、厘米、毫米。

二、长度单位：1千米=1000米

1米=10分米 1分米=10厘米 1厘米=10毫米

1米=100厘米

1米=1000毫米

三、面积单位是用来测量物体的表面或平面图形的大小的。常用面积单位：平方千米、公顷、平方米、平方分米、平方厘米。

四、测量和计算土地面积，通常用公顷作单位。边长100米的正方形土地，面积是1公顷。

五、测量和计算大面积的土地，通常用平方千米作单位。边长1000米的正方形土地，面积是1平方千米。

六、面积单位：

1平方千米=100公顷

1公顷=10000平方米

1平方米=100平方分米

1平方分米=100平方厘米

七、体积单位是用来测量物体所占空间的大小的。常用的体积单位有：立方米、立方分米（升）、立方厘米（毫升）。

八、体积单位：（1000）

1立方米=1000立方分米

1立方分米=1000立方厘米

1升=1000毫升

九、常用的质量单位有：吨、千克、克。

十、质量单位：

1吨=1000千克

1千克=1000克

十一、常用的时间单位有：

世纪、年、季度、月、旬、日、时、分、秒。

十二、时间单位：（60）

1世纪=100年

1年=12个月 1年=4个季

1个季度=3个月

1个月=3旬 大月=31天 小月=30天

平年二月=28天

闰年二月=29天

1天=24小时

1小时=60分

1分=60秒

十三、高级单位的名数改写成低级单位的名数应该乘以进率；低级单位的名数改写成高级单位的名数应该除以进率。

十四、常用计量单位用字母表示：千米：km

米：m

分米：dm

厘米：cm

毫米：mm

吨：t

千克：kg

克：g

升：l

毫升：ml

平面图形【认识、周长、面积】

一、用直尺把两点连接起来，就得到一条线段；把线段的一端无限延长，可以得到一条射线；把线段的两端无限延长，可以得到一条直线。线段、射线都是直线上的一部分。线段有两个端点，长度是有限的；射线只有一个端点，直线没有端点，射线和直线都是无限长的。

过一点可以画无数条直线、过两点只能画一条直线。

二、从一点引出两条射线，就组成了一个角。角的大小与两边叉开的大小有关，与边的长短无关。角的大小的计量单位是（°）。

三、角的分类：小于90度的角是锐角；等于90度的角是直角；大于90度小于180度的角是钝角；等于180度的角是平角；等于360度的角是周角。

四、相交成直角的两条直线互相垂直；在同一平面不相交的两条直线互相平行。同一平面内的两条直线有两种位置关系：平行和相交（垂直是相交的特殊情况）过直线上（外）一点只能画一条直线和已知直线垂直。五、三角形是由三条线段围成的图形。围成三角形的每条线段叫做三角形的边，每两条线段的交点叫做三角形的顶点。三角形有三条高。六、三角形按角分，可以分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形。按边分，可以分为等腰三角形和任意三角形(等边三角形是等腰三角形的特殊情况）。七、三角形的内角和等于180度，四边形的内角和是360°，多边形的内角和=（边数-2）×180°。

八、在一个三角形中，任意两边之和大于第三边。

九、在一个三角形中，最多只有一个直角或最多只有一个钝角，最少有两个锐角。十、四边形是由四条边围成的图形。常见的特殊四边形有：平行四边形、长方形、正方形、梯形。

十一、圆是一种曲线图形。圆上的任意一点到圆心的距离都相等，这个距离就是圆的半径的长。通过圆心并且两端都在圆的线段叫做圆的直径。两个圆，半径比=直径比=周长比，面积比等于它们平方的比。圆周率π是无限不循环小数。圆周率最早是有我国的祖冲之发现的。同圆或等圆中：所有的半径相等、所有的直径相等。周长相等的两个圆，面积相等

周长相等的情况下：圆的面积﹥正方形的面积﹥长方形的面积

长方形和正方形都是特殊的平行四边形，长方形对边相等，正方形四边相等。半径2厘米的圆，周长和面积不相等

圆的半径扩大2倍，周长和直径都分别扩大2倍，面积则扩大4倍。

十二、有一些图形，把它沿着一条直线对折，直线两侧的图形能够完全重合，这样的图形就是轴对称图形。这条直线叫做对称轴。

正方形有4条对称轴、长方形有2条对称轴、等边三角形有3条对称轴、等腰三角形有一条对称轴、等腰梯形有一条对称轴、圆有无数条对称轴、半圆有1条对称轴，扇形有1条对称轴，平行四边形没有对称轴。

十三、围成一个图形的所有边长的总和就是这个图形的周长。

十四、物体的表面或围成的平面图形的大小，叫做它们的面积。

十五、平面图形的面积计算公式推导： 【1】平行四边形面积公式的推导过程？

①把平行四边形通过剪切、平移可以转化成一个长方形。

②长方形的长等于平行四边形的底，长方形的宽等于平行四边形的高，长方形的面积等于平行四边形的面积。

③因为：长方形面积=长×宽，所以：平行四边形面积=底×高。即：S=ah。把一个长方形拉成平行四边形，周长不变，面积变小（高变小，底不变）。【2】三角形面积公式的推导过程？

①用两个完全一样的三角形可以拼成一个平行四边形。

②平行四边形的底等于三角形的底，平行四边形的高等于三角形的高，三角形 3 面积等于和它等底等高的平行四边形面积的一半

③因为：平行四边形面积=底×高，所以：三角形面积=底×高÷2。

即：S=ah÷2。

三角形的底=面积×2÷高

三角形的高=面积×2÷底 【3】梯形面积公式的推导过程？

①用两个完全一样的梯形可以拼成一个平行四边形。

②平行四边形的底等于梯形的上底和下底的和，平行四边形的高等于梯形的高，梯形面积等于平行四边形面积的一半。

③因为：平行四边形面积=底×高，所以：梯形面积=（上底＋下底）×高÷2。即：S=（a+b）h÷2。

梯形的高=面积×2÷（上底+下底）

梯形的（上底+下底）=面积×2÷高

【4】画图说明圆面积公式的推导过程

①把圆分成若干等份，剪开后，拼成了一个近似的长方形。②长方形的长相当于圆周长的一半，宽相当于圆的半径。

③因为：长方形面积=长×宽，所以：圆面积=πr×r=πr²。即：S=πr²。

十六、平面图形的周长和面积计算公式：

长方形周长 =（长+宽）× 2

长方形面积 = 长 × 宽 正方形周长 = 边长 × 4

正方形面积 = 边长 × 边平行四边形面积 = 底 × 高

三角形面积 = 底 × 高 ÷ 2 圆的面积，我国的刘徽的《割圆术》

十七、常用数据： 常用π值

2π=6.28

3π=9.42 4π=12.56

5π=15.7

6π=18.84

7π=21.98

8π=25.1 2 9π=28.26

10π=31.4

12π=37.68

15π=47.116π=50.24

18π=56.52

20π=62.8

25π=78.32π=100.48

6.25π=19.625

2.25π=7.065

立体图形【认识、表面积、体积】

一、长方体、正方体都有6个面，12条棱，8个顶点。正方体是特殊的长方体。

二、圆柱的特征：一个侧面、两个底面、无数条高。

三、圆锥的特征：一个侧面、一个底面、一个顶点、一条高。

四、表面积：立体图形所有面的面积的和，叫做这个立体图形的表面积。

五、体积：物体所占空间的大小叫做物体的体积。容器所能容纳其它物体的体积叫做容器的容积。

六、圆柱和圆锥三种关系：

1①等底等高，圆锥的体积是圆柱的，圆柱的高是圆锥的3倍。

3②等底等体积：圆锥的高是圆柱高的3倍。③等高等体积：圆锥的底面积是圆柱的3倍。

七、等底等高的圆柱和圆锥：

1①圆锥体积是圆柱的，②圆柱体积是圆锥的3倍，32 ③圆锥体积比圆柱少，④圆柱体积比圆锥多2倍。

3八、等底等高的圆柱和圆锥：锥

1、差

2、柱

3、和4。

九、立体图形公式推导：

【1】圆柱的侧面展开后得到一个什么图形？这个图形的各部分与圆柱有何关系？（圆柱侧面积公式的推导过程）

①圆柱的侧面展开后一般得到一个长方形。

②长方形的长相当于圆柱的底面周长，长方形的宽相当于圆柱的高。③因为：长方形面积=长×宽，所以：圆柱侧面积=底面周长×高。④圆柱的侧面展开后还可能得到一个正方形。

正方形的边长=圆柱的底面周长=圆柱的高。

【2】我们在学习圆柱体积的计算公式时，是把圆柱转化成以前学过的一种立体图形（近似的）进行推导的，请你说出这种立体图形的名称以及它与圆柱体有关部分之间的关系？

①把圆柱分成若干等份，切开后拼成了一个近似的长方体。②长方体的底面积等于圆柱的底面积，长方体的高等于圆柱的高。

③因为：长方体体积=底面积×高，所以：圆柱体积=底面积×高。即：V=Sh。

【3】请画图说明圆锥体积公式的推导过程？ ①找来等底等高的空圆锥和空圆柱各一只。

②将圆锥装满沙子，倒入圆柱中，发现三次正好装满，将圆柱里的沙子倒入圆锥中，发现三次正好倒完。

③通过实验发现：圆锥的体积等于和它等底等高的圆柱体积的三分之一；圆柱的1体积等于和它等底等高的圆锥体积的三倍。即：V=Sh。

3十、立体图形的棱长总和、表面积、体积计算公式：

长方体棱长总和 =（长+宽+高）× 4

长方体表面积=（长×宽+长×高+宽×高）×2 长方体体积=长×宽×高

正方体棱长总和=棱长×12

正方体表面积=棱长×棱长×6 正方体体积=棱长×棱长×棱长

圆柱体侧面积=底面周长×高

圆柱体表面积=侧面积+底面积×2 圆柱体体积=底面积×高

1圆锥体体积=底面积×高×

3（二）图形与变换

一、变换图形位置的方法有对称、平移、旋转等，在变换位置时，每个图形的相应顶点、线段、曲线应同步平移，旋转相同的角度。

二、不改变图形的形状，只改变它的大小时，通常要使每个图形的要素，如长方形的长与宽，三角形的底与高等同时按相同比例放大或缩小。

三、对称图形是对称轴两边的图形经对折后能够完全重合，而不是完全相同。

（三）图形与位置

一、当我们处在实际生活及情景中，面对教短距离时，通常用上、下、前、后来描述具体位置。

二、当我们面对地图、方位图时，通常用东、西、南、北，南偏东、北偏东……来描述方向。再结合所示比例尺计算出具体距离，把方向与距离结合起来确定位置。

第三篇：浅谈小学数学中几何与空间观念

浅谈小学数学中几何与空间观念

这一次的国培学习中，在《解密“图形与几何”》这一章节，讲授的专家一直强调：在小学阶段，要注重学生空间观念的培养。下面我结合平时的教学，对于如何培养学生的空间观念说说自己的一些认识和做法。

新课程标准强调学生空间观念的培养。空间观念就是要求学生能根据几何形体的名称，再现出它的表象。随着空间观念的累积，可以逐步形成空间想象力，这将为以后的学习奠定相当重要的基础。如果说幼儿对一些简单图形的初步认识是在游戏和生活中获得的，那么小学生的空间观念往往是在他们学习几何初步知识的过程中形成的，而且空间观念的形成又直接帮助他们更好地掌握几何知识。如何更科学地实施教学，培养学生的空间观念呢？

一、更新观念，培养对空间观念的认识

空间观念和空间想象力，是学生理解数学知识、掌握计算公式、提高应用解题能力不可忽视的素质。新课程标准要求培养学生初步的空间概念。我认为，在教学中，学生首先要有数学的基础和初步的几何观念，但这种能力最初是靠“猜想”来实现的。其实猜想也是一种思维活动，是有目标的猜想和判断。从学生的学习过程来看，猜想应该是学生有效学习的良好准备，它包括新的知识准备、积极动机和良好情感。培养学生的猜想意识，引导学生进行积极的猜想，是学生挖掘新知识和再创新的良好开端。学习直观几何，就必须采用儿童喜爱的“看一看折一折、剪一剪、拼一拼、摆一摆、量一量、画一画”等实际活动的方式，让他们通过亲自触摸、观察、测量、作图和实验，把视听觉、触觉、运动觉等协同利用起来，强有力地促进心理活动的内化，从而掌握图形的特征，形成空间观念。这些实际操作活动应该贯穿在几何初步知识教学的始终，低年级需要，中高年级也绝不能忽视；认识图形时固然必不可少，学习求积公式时，也必须通过学生自己的实验，逐步推出。这样，可使学生真正知道公式的由来，并促进空间观念的形成。观察和实验既是小学几何知识的基本教学方法，低中高年级也要有不同的要求。例如，指导小学生作图，低年级可在方格纸上连点成线、画线段、画直角；中年级就应在方格纸上画长方形、正方形等；高年级要求利用直尺和三角板直接画垂线、平行线、长方形和正方形等。这样，要求逐步提高，能力得到相应的培养。

二、观察思考，提高对空间观念的认识

空间观念是现实中的物体和几何体的形状、大小、位置关系及其变化的整体把握。从现实中的物体和几何体出发，就会涉及把现实中的经验移动到几何空间中，以此把握几何空间，在用几何空间中抽象而成的特征、性质来解释现实空间，在这样抽象、还原的过程中空间观念才能建立。例如，在教学“圆柱体侧面积”这一内容时，我引导学生将准备好的圆柱体模型侧面剪开，并观察剪开后的长方形或平行四边形、正方形各个部分之间与圆柱各部分之间的关系，从而概括出圆柱的侧面积公式通过这一系列操作观察思考概括，不仅使学生理解并掌握了圆柱侧面积公式，而且也增强了学生的操作意识，提高了学生变抽象为具体的思考方法，从而提高了对空间观念的认识。

三、动手操作，升华对空间观念的认识。

学生空间观念的形成，单靠观察是不够的，还需要通过自己动手操作，才会产生稳固的认识。动手操作是学生直接获取经验知识的最好的途径，它可以启发学生积极参与思考，激发学生对数学产生兴趣与探索欲望。学生的动手操作过程其实是学生手、眼、脑等多种器官协同合作的过程。它可以调动学生的多种感官参与学习过程。通过操作活动，可以帮助学生准确地想象出几何图形形成现实空间。图形的形象，能准确地描述实物或几何图形的运动和变化，使学生能进一步在大脑中留下空间图形的形象，从而建立空间观念。发展空间观念能力总是伴随人的活动而产生和提高的，培养空间观念的一个重要方法，就是加强空间想象的训练。例如，在教学正方体有几个顶点几个面几条棱时，首先以小组为单位（要求教师提供学具）搭一个正方体，学生纷纷动手，但问题随即出现了：有些小组搭出了正方体，有些小组搭不出来。我抓住这一机遇向学生提问，于是全班同学开始讨论，最后得出结论：原来不能搭成正方体的小组小棒只有根，搭得不好的正方体虽有根，但长短不一。从而使学生认识到正方体有条棱，每条棱都相等。只有在实践中探究，才能把握几何体的特征。

另外，新课程强调学生在学习中的感受和体验，学生只有在活动中才能感悟出空间概念的真谛，才能养成良好的习惯，培养创新意识和能力。离开空间，离开学生的活动，创新能力的培养就成了无根之木，无源之水。所以要给学生一个活动空间，让学生去发现、探索、创造。

总之，只要我们能创设情境激发兴趣，从生活实际出发，让学生动手操作实践，注意培养学生的想象能力，就一定能使学生的空间观念得到形成和发展。

第四篇：线性代数与空间几何,教学大纲

《线性代数与空间解析几何》A教学大纲

Linear Algebra and Analytic Geometry A

课程编码：09A00110

学分：3.课程类别：专业基础课（必修课）计划学时：56

其中讲课：56

实验或实践：0

上机：0 适用专业：信息科学与工程、机械工程、自动化与电气控制、土木建筑、资源与环境、物理科学与技术等学院理工类各专业

推荐教材：于朝霞 张苏梅 苗丽安主编.线性代数与空间解析几何(第二版).北京：高等教育出版社，2016.参考书目：

1、郑宝东主编.线性代数与空间解析几何(第三版).北京：高等教育出版社，2015.2、马柏林等主编.线性代数与解析几何.北京：科学出版社，2001.3、黄廷祝，成孝予主编.线性代数与空间解析几何(第三版).北京：高等教育出版社，2014.4、冯良贵等编著.线性代数与解析几何.北京：科学出版社，2013.5、龚冬保等主编.线性代数与空间解析几何要点与解题.西安：西安交通大学出版社，2006.6、黄廷祝，余时伟主编.线性代数与空间解析几何学习指导教程.北京：高等教育出版社，2005.课程的教学目的与任务

线性代数与空间解析几何具有较强的抽象性与逻辑性，所介绍的方法广泛地应用于各个学科，是高等学校本科各专业的一门重要的基础理论课。

通过本课程的教学，使得学生系统地获取线性代数与空间解析几何的基本知识、基本理论与基本方法，了解代数与几何的相互渗透关系，会用代数理论去解决几何方面的问题，具有较熟练的运算能力。通过本课程的学习使学生初步熟悉和了解抽象的、严格的代数证明方法，理解具体与抽象、特殊与一般的辩证关系，提高空间想象、抽象思维、逻辑推理的能力。学会理性的数学思维技术和模式，培养学生的创新意识和能力，能运用所获取的知识去分析和解决问题，并为后继课程的学习和进一步深造打下良好的基础。

课程的基本要求

通过本课程的学习，要求学生达到以下要求：

1.了解行列式的概念，熟记行列式的性质，掌握行列式的基本计算方法。2.掌握矩阵的基本运算，理解矩阵秩的概念及初等矩阵与初等变换的关系性质。

3.理解线性相关性、向量组的秩的概念，掌握线性相关性的性质及判定定理、三秩相等定理。4.掌握平面、直线、二次曲面的方程及方程所表示的曲面形状。

5.理解线性方程组解的存在定理、解的结构定理，掌握其在讨论空间平面位置关系中的应用。6.理解特征值、特征向量的概念。掌握方阵可相似对角化的条件及方法，正交变换化二次型为标准形的方法。掌握二次型理论在判别三元二次方程所表示的几何形状的应用。7.借助矩阵的初等行变换熟练掌握各类线性问题解的刻画及求解方法步骤。8.掌握线性方程组理论及二次型理论在几何上的应用。

各章节授课内容、教学方法及学时分配建议

本课程的内容按教学要求的不同，分为两个层次.其中，概念、理论用“理解”一词表述的，方法、运算用“掌握”一词表述的，属较高要求，必须使学生深入理解，牢固掌握，熟练应用；概念、理论用“了解”一 词表述的，方法、运算用“会”或“了解”表述的，也是教学中必不可少的，只是在要求上低于前者。第一章： 行列式

建议学时：8 [教学目的与要求]

1．理解n阶行列式的定义。

2．理解行列式的性质，掌握行列式的计算。3.了解克拉默(Cramer)法则。

[教学重点与难点] 行列式的性质，行列式的计算。

[授

课

方

法] 以课堂多媒体讲授为主，课堂讨论和课堂练习为辅。[授

课

内

容] 1.1 二阶与三阶行列式 1.1.1 二阶行列式 1.1.2 三阶行列式

1.2 n阶行列式的定义 1.2.1 排列与逆序数 1.2.2 n阶行列式的定义 1.3 行列式的性质与计算

1.3.1 行列式的性质 1.3.2 行列式的计算 1.4 克拉默法则习题课

第二章：矩阵及其运算

建议学时：10 [教学目的与要求]

1．理解矩阵的概念，知道某些特殊矩阵的定义及性质。2．熟练掌握矩阵的线性运算，乘法运算，转置及相关运算性质。

3．理解伴随阵概念及性质，理解逆矩阵的概念和性质、矩阵可逆充要条件。4．理解矩阵秩的概念，知道满秩矩阵及其性质。

5．理解矩阵的初等变换，熟练地用初等行变换求逆矩阵、求矩阵的秩、解矩阵方程。6．了解分块矩阵的运算，掌握准对角矩阵的运算性质。[教学重点与难点]

重点：矩阵、逆矩阵、矩阵的秩及矩阵的初等变换的概念。矩阵的各类运算及运算性质。矩阵可逆的充要条件。初等矩阵与初等变换的关系性质，用初等变换求逆矩阵、矩阵的秩、矩阵方程的解的方法。

难点：矩阵秩的概念，有关矩阵秩的性质的应用问题。

[授

课

方

法] 以课堂多媒体讲授为主，课堂讨论和课堂练习为辅。[授

课

内

容]

2.1 矩阵及其运算 2.1.1 矩阵的概念 2.1.2 矩阵的运算 2.2 逆矩阵 2.2.1逆矩阵的定义 2.2.2 方阵可逆的充要条件 2.3 分块矩阵及其运算 2.3.1 分块矩阵的概念 2.3.2 分块矩阵的运算

2.4 矩阵的初等变换与矩阵的秩 2.4.1 矩阵的初等变换 2.4.2 矩阵秩的概念与求法 2.5 初等矩阵

2.5.1 初等矩阵及其性质 2.5.2 用初等变换求逆矩阵习题课

第三章：向量与向量空间

建议学时：10 [教学目的与要求]

1.了解空间直角坐标系、几何向量的坐标表示及运算。

2.理解n维向量的概念、理解线性相关性概念。会判别向量组的线性相关性。

3.理解向量组的最大无关组、秩的概念，理解三秩相等定理。掌握用矩阵的初等变换求向量组的最大无关组及秩的方法。

4.理解n维向量空间、子空间、基、维数、坐标等概念，会求向量空间的基、维数。

[教学重点与难点]

重点：向量组的线性相关性的概念及性质，向量组的线性相关性的矩阵判别法及其推论以及上述结论的应用；向量组的最大无关组与秩的概念与求法；三秩相等定理及应用；向量空间、基底及维数的概念。

难点：向量组的线性相关性、向量组的最大无关组与秩及相关证明题。[授

课

方

法] 以课堂多媒体讲授为主，课堂讨论和课堂练习为辅。[授

课

内

容] 3.1 几何向量及其线性运算 3.1.1 几何向量的基本概念 3.1.2 几何向量的线性运算 3.2 空间直角坐标系 3.2.1 空间直角坐标系 3.2.2 几何向量的坐标表示 3.2.3 用坐标进行向量运算

3.3 n维向量及其线性运算 3.3.1 n维向量的概念 3.3.2 n维向量的线性运算 3.4 向量组的线性相关性 3.4.1 向量组及其线性组合 3.4.2 线性相关与线性无关的概念 3.4.3 线性相关性的性质 3.4.4 线性相关性的判定 3.5 向量组的秩

3.5.1 最大线性无关组 3.5.2 向量组的秩

3.5.3 矩阵的秩与向量组的秩的关系 3.6 向量空间

3.6.1 向量空间的概念 3.6.2 坐标变换习题课

第四章：欧氏空间

建议学时：8 [教学目的与要求]

1.理解向量的内积、长度、夹角等概念及性质；理解标准正交基、正交矩阵;会求几何向量的内积和外积。

2.掌握空间直线的标准式方程与平面的点法式、一般式方程。3.理解空间曲面、空间曲线的概念，会求空间曲线在坐标面上的投影。4.知道二次曲面方程及其所表示图形的形状。

[教学重点与难点] 标准正交基；直线与平面方程、曲面方程。

[授

课

方

法] 以课堂多媒体讲授为主，课堂讨论和课堂练习为辅。[授

课

内

容] 4.1 向量的内积

欧氏空间 4.1.1 R3中向量的内积

4.1.2 n维向量的内积

欧氏空间 4.2 标准正交基

4.3 R3中向量的外积和混合积

4.3.1 向量的外积 4.4 R3中的直线与平面 4.4.1平面及其方程 4.4.2 空间直线及其方程 4.4.3 位置关系 4.5 空间曲面及其方程

4.5.1 球面 4.5.2 旋转曲面 4.5.3 柱面

4.6 空间曲线及其方程 4.6.1 空间曲线的一般方程 4.6.2 空间曲线的参数方程 4.6.3 空间曲线在坐标面上的投影 4.7 二次曲面 4.7.1 椭球面 4.7.2 抛物面 4.7.3 双曲面 4.7.4 二次锥面习题课

第五章：线性方程组

建议学时：6 [教学目的与要求]

1．理解齐次线性方程组有非零解的充要条件及非齐次线性方程组有解的充要条件。2．理解齐次线性方程组的基础解系，线性方程组的通解的概念及解的结构。3．熟练掌握用行初等变换求线性方程组通解的方法。

4.掌握线性方程组解的理论在向量组的线性相关性和在几何上的应用。

[教学重点与难点] 齐次线性方程组有非零解的判断及基础解系的概念；非齐次线性方程组有解的判 断及通解结构；用矩阵的初等行变换求解线性方程组；线性方程组解的理论在几何上的应用。[授

课

方

法] 以课堂多媒体讲授为主，课堂讨论和课堂练习为辅。[授

课

内

容] 5.1 线性方程组有解的充要条件 5.2 线性方程组解的结构 5.2.1 齐次线性方程组解的结构 5.2.2 非齐次线性方程组解的结构

5.3 用初等变换解线性方程组及线性方程组的应用 5.3.1 用矩阵的初等行变换求解线性方程组

5.3.2 线性方程组应用举例（只介绍在几何中的应用）习题课

第六章：特征值、特征向量及相似矩阵

建议学时：8 [教学目的与要求]

1．理解矩阵的特征值与特征向量的概念并掌握其求法。

2．理解相似矩阵的概念与性质，理解矩阵可相似对角化的充要条件。

[教学重点与难点]

重点：矩阵的特征值与特征向量的概念、性质及求法；实对称矩阵的相似对角化。

难点：矩阵可相似对角化的条件及相关问题。

[授

课

方

法] 以课堂多媒体讲授为主，课堂讨论和课堂练习为辅。[授

课

内

容] 6.1 特征值与特征向量 6.1.1 特征值与特征向量的概念 6.1.2 特征值与特征向量的性质 6.2相似矩阵

6.2.1 相似矩阵的概念及性质 6.2.2 方阵的相似对角化问题 6.3 实对称矩阵及其对角化

6.3.1 实对称矩阵的特征值与特征向量 6.3.2 实对称矩阵的正交相似对角化习题课

第七章：二次型

建议学时：6 [教学目的与要求]

1.了解二次型及其矩阵表示、二次型的秩及二次型的标准形等概念。

2.掌握用正交变换将二次型化为标准形的方法,会用配方法化二次型为标准形。3.会用二次型理论讨论讨论一般二次曲面的形状。[教学重点与难点] 用正交变换化二次型为标准型。

[授

课

方

法] 以课堂多媒体讲授为主，课堂讨论和课堂练习为辅。[授

课

内

容] 7.1 二次型

7.1.1 二次型的定义及其矩阵 7.1.2 矩阵的合同 7.2 化二次型为标准形

7.2.1 用正交变换化二次型为标准形 7.2.2 用配方法化二次型为标准形 7.3 正定二次型 7.3.1 二次型的惯性定理 7.3.2 正定二次型

7.4 二次型在研究二次曲面中的应用 7.4.2 二次曲面方程化标准形

习题课

撰稿人：张苏梅

审核人：杨殿武

第五篇：空间几何证明

立体几何中平行、垂直关系证明的思路

平行垂直的证明主要利用线面关系的转化：

线∥线线∥面面∥面性质

判定线⊥线线⊥面面⊥面

线∥线线⊥面面∥面

线面平行的判定：

a∥b，b面，aa∥面

a b 

线面平行的性质：

∥面，面，ba∥b

三垂线定理（及逆定理）：

PA⊥面，AO为PO在内射影，a面，则

a⊥OAa⊥PO；a⊥POa⊥AO

P O a

线面垂直：

a⊥b，a⊥c，b，c，bcOa⊥

a O α b c

面面垂直：

a⊥面，a面⊥

面⊥面，l，a，a⊥la⊥

α a l β

a⊥面，b⊥面a∥b

面⊥a，面⊥a∥

a b 

定理：

1.如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。作用：判断直线是否在平面内；证明点在平面内；检验平面。2.过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。

作用：确定平面；判断两个平面是否重合；证明点线共面。推论：a.经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面；

b.经过两相交直线，有且只有一个平面；

c.经过两条平行直线，有且只有一个平面。

3.如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。

作用：a.判定两个不重合平面是否相交；

b.判断点在直线上。

4.平行于同一条直线的两条直线互相平行。（平行线的传递性）。5.等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。6.（直线与平面平行的判定定理）

平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与该平面平行。条件：a.一条直线在平面外；

b.一条直线在平面内；

c..这两条直线互相平行。7.（平面与平面平行的判定定理）

一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。条件：a.两条相交直线；

b.相交直线在一个平面内；

c.对应平行。

8.（直线与平面平行的性质定理）

一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。

条件：a.一条直线与一个平面平行；

b.过这条直线的任一个平面与此平面相交；

c.交线与直线平行。9.（平面与平面平行的性质定理）

如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。条件：a.两个平行平面：平面1和平面2和第三个平面：平面3

b.平面1与3相交，平面2与3相交

c.交线平行

点、线、面的相关证明

一.多点共线和多线共点问题证明

方法：公理3的熟练应用；两个相交平面有且只有一条公共直线。

1.如下图，在四边形ABCD中，已知AB//CD，直线AB，BC，AD，DC分别与平面α相交于点E，F，G，H。求证：E，F，G，H四点必定共线。

2.如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，设线段A1C与平面ABC1D1交于Q.求证：B，Q，D1三点共线。

3.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为AB 的中点，F为AA1的中点，求证：

a.E，C，D1，F四点共面；

b.CE，D1F，DA三线共点。

二．计算异面直线所成角度

方法：平移法和辅助线（中位线）构造角度

1.直三棱柱ABC-A1B1C1中，若∠BAC=90°，AB=AC=AA1，则异面直线BA1与AC1所成的角度为______________.2.如图所示，正四棱锥P-ABCD的底面面积为3，体积为√2/2，E为侧棱PC的中点，则PA与BE 所成的角为____________.3.如图所示，正三棱锥S-ABC（侧面为全等的等腰三角形，底面为正三角形）的侧棱长与底面边长相等，E、F分别是SC、AB的中点，异面直线EF与SA所成的角为____________.4.如下图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，E是PC的中点，已知AB=2，AD=2√2，PA=2.求：（1）三角形PCD的面积；

（2）异面直线BC与AE所成的角的大小.5.在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、N、P、Q分别是棱AB、BC、CD、CC1的中点，直线MN与PQ所成的度数_______________.